Sneller dan het licht?

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Sneller dan het licht?"

Transcriptie

1 Sneller dan he lich? Hoe is he mogelijk da muonen de Aarde bereiken? Een profielwerksuk in he kader van HiSPARC K. Koudsaal, V6B K. Yahya, V6C D. Zoeewei, V6B Profiel: Nauur en Techniek Vak: Nauurkunde School: Dalon Lyceum Barendrech, e Zichwei 1 Begeleider: Dhr. Prins Daum:

2 Inhoudsopgave Voorwoord 3 1. Wa is kosmische sraling? Overzich elemenaire deeljes 7 1. Kosmische sraling en kosmische air showers Bronnen van kosmische sraling 17. Wa houd de speciale relaivieisheorie in? 19.1 Einseins voorgangers 19. Alber Einsein 0.3 Relaiviei 1.4 De wee posulaen van de speciale relaivieisheorie.5 Voorspellingen van de speciale relaivieisheorie 3.6 Verschil speciale relaivieisheorie en algemene relaivieisheorie 31 3 De snelheid van muonen Inleiding 3 3. Berekening minimale snelheid Maerialen Werkwijze Resulaen Conclusie Wa is de gemiddelde vervalijd van muonen? Inleiding Theorie Maerialen Werkwijze Resulaen Conclusie 57 Conclusie (beanwoording hoofdvraag) 58 Discussie 60 Nawoord 6 Bronnen 63 Bijlagen 66

3 Voorwoord In eerse insanie zouden wij ons profielwerksuk doen over olivijn, een sof die misschien he broeikaseffec egen kan gaan. Di zou dan voor he vak scheikunde zijn. Na een paar weken waren wij zelf nog seeds nie verder gekomen me he onderzoek over olivijn, simpelweg omda we er nauwelijks ies over konden vinden. Ook bleek he minder ineressan e zijn dan we voorheen dachen. Toen meneer Prins over HiSPARC begon, waren wij gelijk enhousias, en hadden we al snel besloen da we, ondanks da he laa was, och nog wilden oversappen naar nauurkundig profielwerksuk. HiSPARC is een projec waarbij meerdere deecoren op verschillende scholen over heel Nederland zijn verspreid. Hiermee meen ze de kosmische sraling die binnenval vanui de amosfeer. Wel gaan wij he ies anders aanpakken, wij gaan meer aan de slag me hoe muonen op aarde aan kunnen komen ondanks hun kore levensduur. We zijn nu nog seeds erg blij me onze keus, omda di dicher bij onze ineresses lig dan olivijn en he broeikaseffec. Ook hebben wij besloen om in plaas van de deecoren op he dak van Dalon Lyceum, gebruik e maken van de deecoren in Leiden. We kunnen namelijk daarmee wa gevarieerder onderzoek doen. We verwachen da di zeker geen makkelijk profielwerksuk zou worden. We zijn namelijk aan de slag gegaan me kosmische deeljes en me de relaivieisheorie van Alber Einsein! He is algemeen bekend da de relaivieisheorie een erg absrace heorie is, die moeilijk is om door e krijgen en veel wiskunde beva. Gelukkig hebben wij op de universiei Leiden wel hulp van een derdejaars suden nauurkunde gehad. Verder zijn we erg blij da he allemaal duidelijk is geworden. We wisen wa we gingen doen, hoe we he gingen doen, wa een rusgevend gevoel gaf. Di was waarschijnlijk ook de reden da we erg veel zin hadden om aan de slag e gaan! Ondanks da we dus verwachen da he moeilijk zou gaan worden, hoopen we me de hulp van Oliver (de suden in Leiden) en he commenaar van meneer Prins erui e komen. 3

4 Inleiding HiSPARC In he kader van HiSPARC is di profielwerksuk onsaan. HiSPARC saa voor High School Projec on Asrophysics Research wih Cosmics. He is dus een projec da zich bezighoud me nauurkundige onderzoeken die verband houden me kosmische sraling. Da he projec een Engelse naam heef, geef al aan da he om een inernaionaal projec gaa. In Nederland loop he projec vanaf 003. Scholen die zich hebben aangesloen bij he onderzoek, hebben een deecor op he dak van de school geplaas. De deecor mee kosmische sraling. Er zijn inmiddels verschillende newerken van deecoren gecreëerd. Hiermee word een groe hoeveelheid informaie verkregen, waardoor men seeds meer en seeds nauwkeurigere uispraken kan doen over kosmische sraling. Aan he eind van deze inleiding is een uileg gegeven van de werking van de deecor. Hoofdvraag en Deelvragen Bij di profielwerksuk hebben wij nies me de al eerder verkregen daa gedaan. Wij hebben ons bezig gehouden me de vraag hoe he mogelijk is da muonen, deeljes ui kosmische sraling, de Aarde kunnen bereiken. Nu denk je misschien: Waarom zou da nie kunnen? Zonder enige voorkennis zouden wij da waarschijnlijk ook hebben gedach. He is echer zo da muonen een zeer kore vervalijd hebben, wa beeken da ze erg kor besaan. Inussen leggen ze hele groe afsanden af. Als we deze afsanden delen door hun vervalijd, komen we ui op snelheden die groer zijn dan de lichsnelheid! In de weenschap is aangenomen da nies sneller is dan he lich. Hoe is he mogelijk da muonen, erwijl ze zo n kore vervalijd hebben, zulke groe afsanden kunnen afleggen? Om op deze hoofdvraag een duidelijk anwoord e kunnen geven, hebben we de volgende vier deelvragen geformuleerd: 1. Wa is kosmische sraling?. Wa houd de speciale relaivieisheorie in? 3. Wa is de gemiddelde vervalijd van muonen? 4. Wa is de gemiddelde snelheid van muonen? De eerse wee deelvragen, die de benodigde achergrondinformaie bevaen om de uieindelijke conclusie e bevaen, zijn geschreven aan de hand van lierauuronderzoek. Om de laase wee deelvragen e kunnen beanwoorden, zijn wee experimenen gedaan. De laase wee hoofdsukken bevaen echer ook wiskundige heorie die bij de experimenen pas, zoda de onderzoeken beer e begrijpen zullen zijn. 4

5 Overeenkomsen me lessof Lessof die overeenkom me informaie ui hoofdsuk 1 ui di profielwerksuk, is e vinden in hoofdsuk vier en vijf van he kernboek ui vwo 6 van sysemaische nauurkunde. Hoofdsuk 1 was echer al af oen wij deze sof klassikaal gingen behandelen. Verder zijn er geen noemenswaardige overeenkomsen. Hoe werk de deecor? Om de muonen e deeceren word een deecor gebruik die alle posiieve of negaieve deeljes van kosmische sraling kan deeceren. In deze paragraaf word op chronologische volgorde besproken wa er gebeur vanaf he momen da een geladen deelje de deecor aanraak. He eerse onderdeel van de deecor waarmee een muon in aanraking kom, is de scinillaor. Deze plaa is meesal groendeels van perspex gemaak en beva ook een kleine hoeveelheid van een organische sof. De aomen in de scinillaor worden aangeslagen door de geladen deeljes die de scinillaor passeren. Wanneer de elekronen van de aomen weer erugvallen, kom de opgeslagen energie vrij in de vorm van lich. De foonen van he lich worden weerkaas in de scinillaor, oda ze de doorgang naar de fooverserkerbuis hebben gevonden. Om e voorkomen da er lich onsnap, is de scinillaor verpak me speciaal maeriaal. He zijoppervlak van de fooverserkerbuis is veel kleiner dan he zijoppervlak van de scinillaor. Om er voor e zorgen da er zo veel mogelijk foonen ui de scinillaor in de fooverserkerbuis komen, heef men een lichgeleider ussen de wee onderdelen geplaas. De lichgeleider verbind de zijkanen van de scinillaor en de fooverserkerbuis me elkaar. Op deze manier worden er meer lichsralen opgevangen, dan wanneer de scinillaor en de fooverserkerbuis direc me elkaar verbonden zouden zijn. Er moe voor worden gezorgd da de invalshoek van he lich naar de lichgeleider kleiner is dan de grenshoek, omda he lich anders weer erug de scinillaor in word gekaas. Ondanks al deze maaregelen, zullen nie alle foonen de fooverserkerbuis bereiken. Afb. 1: foo van lichgeleider De fooverserkerbuis is een apparaa da een kleine hoeveelheid lich kan omzeen in elekrische sroom. In he begin van de fooverserkerbuis zi een kahode. Als de foonen hierop vallen, komen er elekronen los van de aomen in de kahode. Deze werking word he foo-elekrisch effec genoemd. De losgekomen elekronen worden foo-elekronen genoemd. In de fooverserkerbuis zien een aanal dynodes; een soor plaajes waarover seeds een hogere spanning saa. Er saa dus een lagere spanning over een dynode aan de kan van de kahode dan over een dynode aan de kan van de anode. De foo-elekronen bewegen via de krachen van de elekrische velden ussen de dynodes riching de anode. Bij he aanraken van een dynode, 5

6 komen meer elekronen los. De elekronen worden versneld door de oplopende spanning ussen de dynodes, waardoor uieindelijk een meebare sroom zal onsaan. Hoe meer dynodes, hoe serker de sroom. De fooverserkerbuis genereer een sroom, nada er een muon op de scinillaor is gevallen. Afb. : fooverserkerbuis; door oplopende spanningen komen seeds meer elekronen vrij Een aanal weenswaardigheden: - He is van belang da er wee scinillaoren, wee lichgeleiders en wee fooverserkerbuizen zijn aangesloen. Bepaalde insellingen zorgen ervoor da als op beide plaen egelijk een deelje erech kom, een signaal word opgeslagen. Overige impulsen worden genegeerd. Zo worden alleen deeljes ui dezelfde lawine geregisreerd. - He sroompje word gesignaleerd door een compuer, een ellerkasje of een oscilloscoop (een oscilloscoop is he nauwkeurigs). Bij de onderzoeken die voor di PWS zijn gedaan, is een compuer gebruik. - Er komen gemiddeld foonen vrij bij een bosing van een muon op de scinillaor. - Bij een bepaalde deecor onsaa in een periode van 10-7 s een sroom van 4,7 x 10-6 A (om een indruk e krijgen van de orde van grooe). - Hoeveel procen van he aanal muonen uieindelijk zal leiden o impulsen, is afhankelijk van de nauwkeurigheid van de apparauur. De balken die door ons worden gebruik, hebben een oppervlake van 600 cm. Er kom ongeveer één muon per vierkane cenimeer per seconde op de Aarde aan. Onze apparauur regisreerde één puls per 30 seconden, wa dus ongeveer 0,006% is van he oale aanal passerende muonen. 1 3 Afb. 3: 1 scinillaor, lichgeleider, 3 fooverserkerbuis 6

7 1. Wa is kosmische sraling? De kosmische deeljes die we gaan deeceren, zijn subaomaire deeljes. Om goed e begrijpen wa kosmische deeljes zijn, geven we eers een overzich van de indeling van subaomaire deeljes in he sandaardmodel van de deeljesfysica. Twee hoofdgroepen zijn fermionen en bosonen. Fermionen zijn krachvoelende deeljes en bosonen zijn krachdragende deeljes. 1.1 Overzich elemenaire deeljes Fermionen Een fermion bezi een halfallige spin (s=1/, s=3/, s=5/, enz.). De spin is de draaibeweging van een deelje. Een deelje kan om zijn eigen as draaien. Als je kijk naar een deelje da zich in een elekromagneisch veld bevind, zie je da he deelje alijd slechs in bepaalde richingen georiëneerd kan zijn en opziche van he elekromagneisch veld. Je kan he spinhoekmomen vergelijken me een kompasnaaldje. Afb. 4: eenvoudige weergave van de spin van een deelje (me spin=1/) Fermionen zijn op e delen in wee groepen, namelijk leponen en quarks. Leponen Lepon beeken in he Grieks klein of fijn. Er zijn drie generaies leponen. Deze moe je beschouwen als drie generaies binnen een familie me precies hezelfde genoype (erfelijke eigenschappen), alleen een andere leefijd. Als je leefijd naar gewich veraald, krijg je drie families me eigenschappen die alleen verschillen, doorda leponen van de eerse generaie veel licher zijn dan die van de weede generaie en nog veel licher zijn dan leponen van de derde generaie. De leponen hebben ieder een anideelje. Serker nog, alle deeljes hebben een corresponderend anideelje, me een gelijke massa maar een egengeselde lading. Ook deeljes zonder lading hebben een anideelje. Di is verklaarbaar door he fei da deeljes een bepaalde ladingsrucuur (posiief in he midden en aan de randen, negaief erussen) en een dipoolmomen hebben. 7

8 Er zijn waalf leponen (zes leponen en zes anileponen): Eerse generaie: Elekron: een zeer klein negaief deelje die gebonden of los kan voorkomen. He word weergegeven als e -. Als een elekron gebonden is, zi he in de elekronenschil van een aoom. Een elekron heef een lading van -1e (1e= 1,60x10-9 C) en een rusmassa van 0,511 MeV. Posiron: he anideelje van een elekron. He posiron word weergegeven als e +. De rusmassa is hezelfde als da van een elekron en de lading is +1e. Elekron-neurino: de neurinovorm van een elekron. He word weergegeven als Ve. Een neurino is een ongeladen deelje. De rusmassa is nie bekend, maar we ween wel da he kleiner is dan,5 ev. Elekron-anineurino: he anideelje van een elekron-neurino. Een elekronanineurino word weergegeven als Ve. De rusmassa is nie bekend, maar we ween wel da he kleiner is dan,5 ev. Tweede generaie: Muon: een deelje me een negaieve lading, da word weergegeven als -. Een muon heef een rusmassa van 105,6 MeV en een lading van -1e. Een muon heef een snelheid van 0,998c (c=lichsnelheid). Daarbij nader de snelheid van een muon de lichsnelheid. Tijdsdilaaie gaa dan een rol spelen (zie relaivieisheorie). He muon is he deelje da we gaan deeceren in de proeven. Animuon: he anideelje van een muon. He word weergegeven als +. Een animuon heef een rusmassa van 105,6 MeV en een lading van +1e. Muon-neurino: he neurinodeelje van een muon, da word weergegeven als V. He is nie zeker of een muon-neurino een rusmassa bezi, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 170 ev. Muon-anineurino: he anineurinodeelje van een muon. He muonanineurino word weergegeven als V. He is nie zeker of een muon-neurino een rusmassa bezi, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 170 ev. Derde generaie: Tau: een deelje me een negaieve lading, da word weergegeven als τ -. Tau heef een rusmassa van 1,777 GeV en een lading van -1e. Door de groe massa is he au-deelje erg insabiel. Aniau: he anideelje van au. Aniau word weergegeven als τ +. De rusmassa is 1,777 GeV en de lading is +1e. Tau-neurino: he neurinodeelje van au. Tau-neurino word weergegeven als Vτ. He is nie zeker of Vτ een rusmassa heef, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 18 MeV. Tau-anineurino: he anineurinodeelje van au. Tau-anineurino word weergegeven als Vτ. He is nie zeker of Vτ een rusmassa heef, maar als he da wel heef, is he kleiner dan 18 MeV. 8

9 Afb. 5: Leponen me hun eigenschappen Quarks Quarks zijn er in verschillende smaken. Je kan de generaies quarks weer he bese zien als generaies binnen een familie. De deeljes ui de eerse generaie zijn dezelfde als die ui de derde generaie, behalve da de quarks ui de derde generaie veel zwaarder zijn. Quarks zijn onder e verdelen in waalf deeljes (zes quarks en zes ani-quarks): Eerse generaie Up quark: een deelje da word weergegeven als u. Een up quark heef een lading van + e en een rusmassa ussen 1,7 MeV en 3,3 MeV. De up quark is sabiel en veel alledaagse maerie is opgebouwd ui up quarks. Ani-up quark: he anideelje van een up quark. De ani-up quark word weergegeven als u. Een ani-up quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 1,7 MeV en 3,3 MeV. He is erg insabiel. Down quark: een deelje da word weergegeven als d. Een down quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 4,1 MeV en 5,8 MeV. De down quark is sabiel en veel alledaagse maerie is opgebouwd ui down quarks. Ani-down quark: he anideelje van een down quark. De ani-down quark word weergegeven als d. Een ani-down quark heef een lading van + e en een rusmassa ussen 4,1 MeV en 5,8 MeV. He is erg insabiel. Tweede generaie Srange quark: een deelje da word weergegeven als s. Een srange quark heef een lading van - e en een rusmassa van 101 MeV. Een srange quark zi ook in deeljes in kosmische sraling. Ani-srange quark: he anideelje van een srange quark. Een ani-srange quark word weergegeven als s. He heef een lading van + e en een rusmassa van 101 MeV. He is erg insabiel. Charm quark: een deelje da word weergegeven als c. Een charm quark heef een lading van + e en een rusmassa van 170 MeV. Een charm quark zi ook in deeljes in kosmische sraling. Ani-charm quark: he anideelje van een charm quark. De ani-charm quark word weergegeven als c. He heef een lading van MeV. He is erg insabiel. e en een rusmassa van 9

10 Derde generaie Top quark: een deelje da word weergegeven als. Een op quark heef een lading van + e en een rusmassa van 17 GeV. Di is heel zwaar, waardoor he heel insabiel is en snel verval. Een opquark kom alleen voor in deeljesversnellers en he kwam waarschijnlijk voor bij de oerknal. Ani-op quark: he anideelje van een op quark. Een ani-op quark word weergegeven als. He heef een lading van - e en een rusmassa van 17 GeV. He is erg insabiel. Boom quark: een deelje da word weergegeven als b. Een boom quark heef een lading van - e en een rusmassa ussen 4,19 GeV en 4,67 GeV. He is heel insabiel en verval snel. Een boom-quark kom alleen voor in deeljesversnellers en he kwam waarschijnlijk voor bij de oerknal. Ani-boom quark: he anideelje van een boom quark. Een ani-boom quark word weergegeven als b. He heef een lading van + e en een rusmassa ussen 4,19 GeV en 4,67 GeV. He is zeer insabiel. Le op: we hebben he seeds over rusmassa. Massa is namelijk snelheidsafhankelijk (zie deelvraag ). Afb. 6: Quarks me hun eigenschappen Hadronen Hadronen zijn subaomaire deeljes die ui quarks besaan. Er zijn wee sooren hadronen, namelijk baryonen en mesonen. Baryon: een hadron da besaa ui drie quarks. De nucleonen (deeljes in een aoomkern, dus neuronen en proonen) zijn baryonen. Baryonen hebben een halfallige spin en zijn dus fermionen. Meson: een hadron da besaa ui een quark en een aniquark. Een meson heef een heelallige spin (he is dus een samengeselde boson). Hieronder zie je een overzich van de mees voorkomende mesonen, de quarks waarui ze besaan en 10

11 hun ladingen. Een meson da veel voorkom in kosmische sraling is he pion, - ( ud) of + ( du). Afb. 7: Mesonen me hun eigenschappen Bosonen Een boson bezi een heelallige spin (s=0, s=1, s=, enz.). Verschillende bosonen kunnen zich op hezelfde momen in dezelfde quanumoesand bevinden (ze kunnen dezelfde oriënaie aannemen). Bosonen zijn deeljes die krachen overbrengen ussen fermionen. Ze dragen een van de vier fundamenele nauurkrachen. Deze zijn: 1. Elekromagneisme: Elekromagneisme word overgebrach door foonen (lichdeeljes). Lich is dus elekromagneische sraling da door onze ogen waargenomen kan worden. Een foon word weergegeven als. Een heef geen rusmassa en beweeg zich in vacuüm me de snelheid van he lich. Een foon is heel sabiel, wan he ken geen ijd (zie deelvraag ). Elekromagneisme is de aanduiding voor de ineracie ussen he elekrische veld en he magneische veld. De wee componenen saan alijd loodrech op elkaar.. Serke kernkrach: De serke kernkrach is de krach die quarks samenbind en op groere schaal ook neuronen en proonen bij elkaar houd in een aoomkern. Serke kernkrach word veroorzaak door gluonen. Gluonen (glue=lijm) zijn de krachdragende deeljes die onderling worden uigewisseld door quarks. Ze worden weergegeven als g. Quarks hebben een kleurlading. Deze kleuren zijn rood, groen en blauw (en voor aniquarks zijn di ani-rood, ani-groen en ani-blauw). Deze kleuren hebben nies e maken me kleuren zoals wij ze kennen. Een rode quark is dus nie ech rood. De drie kleuren bij elkaar (of de drie anikleuren bij elkaar) geven een neurale kleurlading. Een meson beva een quark me een kleurlading en een ani-quark me en anikleurlading, dus di geef bij elkaar ook een neurale kleurlading. Hadronen zijn alijd kleur-neuraal. Een gluon hef een kleurlading en een ani-kleurlading. Bij ineracie ussen gluonen en quarks wisselen quarks gluonen ui en daarbij veranderen ze seeds van kleur. Bijvoorbeeld: er is een neuron, da besaa ui wee down-quarks en een upquark. Alle drie de quarks bevaen een verschillende kleur, wan een hadron is 11

12 alijd kleur-neuraal. Er is dus een rode, groene en blauwe quark. De blauwe quark zend een blauw-anigroen gluon ui naar de groene quark. De groene quark word dan blauw (he krijg een blauwe kleurlading en een ani-groene kleurlading) en de blauwe quark word dan groen (he verlies zijn blauwe kleurlading en zijn anigroene kleurlading). De neuron blijf kleur-neuraal. Quarks zouden onderling afgesoen worden doorda ze eenzelfde elekrische lading hebben, als ze nie bij elkaar worden gehouden door overdrach van gluonen. Zie ook afbeelding 8. Afb Zwakke kernkrach: De zwakke kernkrach is de krach die ervoor veranwoordelijk is da zware quarks en leponen vervallen in lichere quarks en leponen. Door he verval in lichere deeljes is al he gewone maerie op aarde opgebouwd ui de lichse quarks (up en down) en de lichse lepon (he elekron). De krachvoerende deeljes van de zwakke kernkrach zijn W +, W - en Z 0. De rusmassa van een W ± -deelje is 80,4 GeV en Z 0 heef een rusmassa van 90, GeV. Er zijn drie basisypen van wisselwerking voor de zwakke kernkrach, namelijk: Een geladen lepon kan een W-boson uizenden of absorberen en omzeen in een corresponderend neurino. Een down ype quark kan een W-boson absorberen of uizenden en overgaan in een superype van een up quark. Zo kan ook een up ype quark een W-boson absorberen of uizenden en overgaan in een superype van he down quark. Een lepon of een quark kan een Z-boson uizenden of absorberen. De eerse wee ypen zijn geladen-sroom-wisselwerkingen. Samen zijn ze veranwoordelijk voor bèa-verval. Hieronder saa muonverval eenvoudig weergegeven: - e - + V + Ve In werkelijkheid gaa he zo: - V + W- W - e - + Ve Je zie da een muon eers verval in een muon-neurino en W - boson, die vervolgens verval in een elekron en een elekron-neurino. 4. Zwaarekrach: Van de vier fundamenele krachen is de zwaarekrach de zwakse, maar wel de bekendse. Zwaarekrach is de aanrekkende krach die wee massa s op elkaar uioefenen. Onderzoekers denken da er een drager is voor de zwaarekrach, 1

13 namelijk he gravion. He gravion zou een sabiele boson zijn, zonder rusmassa en me spin=. De zwaarekrach die op een deelje word uigeoefend, is afhankelijk van de massa en de graviaieconsane. Een deelje krijg zijn massa door he higgs-boson. He higgs-boson is de drager van he higgsveld, da in he hele universum aanwezig is. He higgsveld is een energieveld da de massa van elemenaire deeljes veroorzaak. He higgsveld beïnvloed verschillende deeljes op een verschillende manier. Di hang af van de mae waarin higgs-bosonen aan een deelje blijven plakken. Hoe meer higgs-deeljes er blijven plakken, hoe zwaarder de quark of lepon. Wa bepaal of de higgs-deeljes blijven plakken, is nog onbekend. He werkelijke besaan van he higgs-deelje is echer nog nie bewezen. 13

14 Fermionen (krachvoelende deeljes) Leponen Quarks Eerse generaie Tweede generaie Derde generaie Eerse generaie Tweede generaie Derde generaie deelje symbool Lading rusmassa spin anideelje Elekron e ,511 MeV 1/ posiron Elekronneurino Muon ,6 MeV 1/ Animuon deelje symbool lading rusmassa spin fundamenele nauurkrach Bosonen (krachdragende deeljes) Foon Elekromagneisme Hadronen Ve -1 <,5 ev 1/ Elekronanineurino Muonneurino V -1 <0,17 MeV 1/ Muon-anineurino Tau τ ,777 GeV 1/ Aniau Tauneurino Vτ -1 <18 MeV 1/ Tau-anineurino Up u +/3 1,7 MeV - 1/ Ani-up 3,3 MeV Down d -1/3 4,1 MeV - 1/ Ani-down 5,8 MeV Srange s -1/3 101 MeV 1/ Ani-srange Charm c +/3 170 MeV 1/ Ani-charm Top +/3 17 GeV 1/ Ani-op Boom b -1/3 4,19 GeV - 1/ Ani-Boom 4,67 GeV Gluon g Serke kernkrach W-boson W + /W - +1/-1 80,4 GeV 1 Zwakke kernkrach Z-boson Z , GeV 1 Zwakke kernkrach Gravion Zwaarekrach Higgsboson H + /H - +1/ 0/ 15,3 GeV 0 Zwaarekrach /H 0-1 deelje symbool lading rusmassa spin quarks Mesonen (bosonen) Pion ,6 MeV 0 ud Pion ,6 MeV 0 du Kaon K + /K - +1/ 0/ 494 MeV 1 su/ sd/ ds/ us /K 0-1 Baryonen (fermionen) Proon p ,3 MeV 1/ uud Neuron n 0 939,6 MeV 1/ udd Afb. 9: overzich indeling deeljes (alleen de bekendse hadronen zijn vermeld, wan di zijn er heel veel) 14

15 1. Kosmische sraling en kosmische air showers Nu we een overzich hebben van kosmische deeljes, kunnen we dieper ingaan op he fenomeen kosmische sraling. Kosmische sraling is de verzamelnaam voor allerlei geladen en ongeladen deeljes me veel energie die op de aardamosfeer bosen. Kosmisch beeken: van he heelal afkomsig en sraling is he uizenden van energie in de vorm van elekromagneische golven of subaomaire deeljes. Wanneer een deelje de dampkring binnenkom, bos he egen aomen en onsaa er een air-shower, een lawine van secundaire deeljes. He deelje verval dan in andere deeljes. De invloed van de zwakke kernkrach op he verval van deeljes hebben we al eerder besproken. De lawine van kosmische deeljes die onsaa door verval van een deelje da egen de aardamosfeer bos, noemen we een kosmische air shower. Afb. 10: Kosmische air shower (in de legenda is gegeven da e + = elekron en da e - = posiron, maar di moe andersom zijn) 15

16 Op de bovensaande afbeelding kan je zien da een proon, een posiief geladen deelje (p + ), verval in drie verschillende pionen. - is een negaief geladen pion, + is een posiief geladen pion en v is een neuraal geladen pion. Een ongeladen pion verval bijna alijd in foonen en heel soms in een elekron, e -, een posiron, e +, en een foon. Foonen zijn sabiel en vervallen dus nie. Als een foon me veel energie op maerie bos, kan he veranderen in elekrisch geladen deeljes me massa, een e - en e +. Di word creaie genoemd (omda er maerie onsaa). Een posiief geladen pion val uieen in een +, een animuon, en in een V, een muon-neurino. Een negaief geladen pion val uieen in een -, een muon, en in een V. Een muon is negaief geladen en bij een animuon is di precies he egenovergeselde, dus deze is posiief geladen. Een muon verval in een negaieve e -, een V en een Ve, een elekron-anineurino. Di is he anideelje van he elekron-neurino, een ongeladen elekron. Een animuon verval in een e +, een V en een Ve, een elekron-neurino. Hieronder geven we de reacievergelijkingen van he verval van een proon en de reacies daarop weer. eerse generaie weede generaie derde generaie P v V V v (of in uizondering: v e - + e + + ) - e - + V + Ve + e + + V + Ve e - + e + 16

17 1.3 Bronnen van kosmische sraling Als je gaa opzoeken wa he woord kosmisch beekend, zal je vinden da he heel he heelal beref. He is nie zo da kosmische sraling afkomsig is ui de gehele kosmos. De sraling val nie in onder willekeurige hoeken, maar is afkomsig van bepaalde bronnen in he heelal. Nog lang nie alle bronnen zijn bekend. Afb. 11: Inval van kosmische sraling Ten eerse is de Zon een zeer belangrijke bron van kosmische sraling. Voornamelijk foonen en neurino s zijn afkomsig van de Zon. Ze komen vrij bij fusiereacies, reacies waarbij de kernen van wee verschillende deeljes samengaan. Neurino s zijn eerder in di hoofdsuk al uigebreid besproken. De laagenergeische deeljes die afkomsig zijn ui de zonnewind, een sroom van geladen deeljes die afkomsig is van de Zon, zijn waar e nemen op de polen als he poollich. Door de aardamosfeer worden de deeljes afgebogen naar de polen. Naas he fei da de Zon een bron van kosmische sraling is, besaa er ook een heorie die zeg da de Zon kan zorgen voor een vermindering van kosmische sraling die de Aarde bereik. Aan de hand van de grafieken hieronder is duidelijk e zien da er een verband besaa ussen de hoeveelheid kosmische sraling die de aarde bereik en de zonneaciviei, een verzamelnaam voor alle energierijke verschijnselen die kunnen plaasvinden op de Zon. De rode lijn is een grafiek van de hoeveelheid kosmische sraling en de blauwe lijn is een grafiek van de hoeveelheid zonnevlekken. Je kun zien da de hoeveelheid kosmische sraling afneem, naar mae de zonneaciviei oeneem. Di kom doorda een verhoogde zonneaciviei zorg voor een verserk magneisch veld, afkomsig van de Zon. He verserke magneische veld zorg ervoor da de kosmische sraling de Aarde nie kan bereiken. Abeelding 1b is hier een vereenvoudigde weergave van. zwak magneisch veld Kosmische sraling serk magneisch veld Kosmische sraling Afb. 1a: De rode grafiek geef de hoeveelheid kosmische sraling die de Aarde bereik weer. De blauwe grafiek geef de hoeveelheid zonnevlekken weer. Afb. 1b: De invloed van de magneische velden van de Zon op de kosmische sraling. 17

18 Kosmische sraling is ook afkomsig van supernova s, exploderende serren. Voorda een ser explodeer, sor de kern van de ser als he ware ineen. Hierbij word een massa die gelijk is aan een iende massa van de Zon omgeze in anineurino-paren. Deze paren hebben een energie van een paar MeV. Een groo deel van de neurino s verlaa de ser ongehinderd, waarbij zij een groo deel van de energie me zich meenemen. Deze kosmische deeljes bevaen dan ook veel meer energie dan de deeljes die afkomsig zijn van de Zon. Daarnaas is kosmische sraling ook nog afkomsig van zware gaen, een gebied me een oneindig groe dichheid, waardoor ze een groe aanrekkingskrach hebben. Deeljes die afkomsig zijn ui zware gaen, bevaen enorm veel energie. Waarschijnlijk zorgen zware gaen voor he onsaan van quasars. Quasars lijken op serren, maar he zijn eigenlijk acieve zware gaen. He blijk da ze hoogenergeische deeljes uizenden, omda er onzeend veel lich van deze bronnen afkom. Er zijn nog veel meer bronnen van kosmische sraling, binnen en buien ons Melkwegselsel, maar die worden hier nie genoemd. 18

19 . Wa houd de speciale relaivieisheorie in? Wa er zo bijzonder is aan een muon, is da he heel snel verval en in deze ijd een afsand kan overbruggen da nie realisisch is. Di word ook wel de muon paradox genoemd. He muon zou hiervoor me een snelheid moeen reizen da vele malen groer is dan de lichsnelheid. En da erwijl weenschappers alijd zeggen da nies sneller kan gaan dan he lich! Di is e verklaren me de speciale relaivieisheorie..1 Einseins voorgangers Voorda Einsein geboren was, waren er al veel nauurkundige ween opgeseld. Zonder deze ween had Einsein nooi zijn relaivieisheorieën op kunnen sellen. Galileo Galilei was een van de eerse nauur- en serrenkundigen. Hij kwam eracher da de aarde nie he middelpun van he heelal is. Ook ondeke hij door e experimeneren da voorwerpen zich verzeen egen verandering van beweging. De volgende weenschapper die een belangrijke nauurkundige basis legde was Isaac Newon. Hij heef drie ween opgeseld: 1. Op een voorwerp da me een consane snelheid rechdoor blijf bewegen, werk geen resulerende krach;. ; 3. Acie = -reacie, ofewel Daarbij heef Newon de we van graviaie (massa rek elkaar aan) bedach en zei hij al da je nie kan bepalen of je beweeg of silsaa, mis je eenparig beweeg en afgesloen ben van de wereld (bijvoorbeeld als je in een ruime ben zonder ramen). Di is een van de grondbeginselen van de speciale relaivieisheorie. Hendrik Anoon Lorenz deed vooral veel onderzoek naar elekromagneisme. Ook kwam hij o de veronderselling da massa en lenge worden beïnvloed door snelheid. James Clerk Maxwell is een heel bekende nauurkundige. De Maxwellvergelijkingen zijn heel moeilijk om e begrijpen, maar deze zijn ook nie van belang voor de relaivieisheorie. Wa wel belangrijk is, is zijn conclusie da lich een elekromagneische golf is, da zich voorplan me de snelheid van he lich. 19

20 . Alber Einsein De man die de algemene relaivieisheorie en de speciale relaivieisheorie heef verzonnen, is Alber Einsein. Over zichzelf zeg hij: Ik wee heel zeker da ik geen speciaal alen heb; ik heb mijn ideeën e danken aan mijn nieuwsgierigheid, obsessie en volharding, gecombineerd me zelfkriiek. Hij werd op 14 maar 1879 geboren in Ulm, Duisland. Toen Alber opgroeide, vond hij wiskunde vooral erg leuk. He was een periode waarin veel voorgang werd geboek op he gebied van weenschap. Na de middelbare school ging Einsein naar de Federale Polyechnische School in Zürich, om opgeleid e worden als leraar nauurkunde en wiskunde. He kose hem echer veel moeie om een vase baan als leraar e vinden, dus ging hij aan de slag bij de Zwiserse Ocrooiraad. Ondanks da di een zeer drukke ijd was voor Alber Einsein en hij ijdens zijn werk nie me nauurkunde bezig was, bleef hij nadenken over nauurkunde. Hij was erg onderzoekend en nam nooi ies als de waarheid aan zonder harde bewijzen. In 1905 publiceerde Einsein zijn arikel over de speciale relaivieisheorie. Afb. 13: Alber Einsein 0

21 .3 Relaiviei Wanneer je me een leuk meisje ben, lijk een uur een seconde. Wanneer je op een roodgloeiende sinel zi, lijk een seconde een uur. Da is relaiviei. Alber Einsein. Ies is relaief wanneer he berekkelijk is en alleen en opziche van ies anders besaa. Absoluu is daarenegen ies da los gezien word en kan worden van ies anders. He is in elk opzich hezelfde. Als je zeg da een dier 1 meer hoog is, dan is da absoluu. Maar als je zeg da he dier klein is, dan is da relaief. Ten opziche van wa is he dier klein? Ten opziche van een olifan is he dier klein, maar en opziche van een cavia zal he dier groo zijn. Je kan dus pas zeggen da ies groo of klein is als je he vergelijk me ies anders. Zo is snelheid ook relaief. Sel je voor: je zi in een auo die me 10 km/uur over de snelweg rijd. Dan merk je nie eens da je beweeg. Serker nog, als je ui he raam kijk lijk he alsof de omgeving de andere kan op beweeg. Afb. 14a Afb. 14b Afb. 14c Afb. 14: Een auo rijd me 10 km/uur naar rechs. In 14a zie je da de auo en opziche van de boom aan de linkerkan rijd. In 14b is de auo de boom voorbij gereden. In 14c bekijk je he vanui de auo en nie vanui de omgeving. He lijk alsof de boom naar links is geschoven en de auo nie is verplaas. In afbeelding 14a moe je de boom zien als symbool voor de omgeving. Je zie de auo die over de snelweg rijden me een snelheid van 10 km/uur. Een sukje verder (zie afbeelding 14b) zie je da de auo zich naar rechs heef verplaas en opziche van de omgeving. Maar als je he bekijk en opziche van de auo (zie afbeelding 14c), lijk he alsof de boom zich naar links heef verplaas me een snelheid van 10 km/uur en da de auo sil sond. Snelheid is hier verschillend per waarnemer en dus relaief. 1

22 .4 De wee posulaen van de speciale relaivieisheorie Aan de hand van he begrip relaiviei gaan we kijken naar de speciale relaivieisheorie. Einsein ging ui van wee aannames (posulaen) oen hij deze heorie opselde. De eerse aanname houd in da absolue rus nie besaa. Beweging of rus is alijd relaief en opziche van andere objecen. Ondanks da jij silsaa (en opziche van de aarde), beweeg je en opziche van de zon. In elk ineriaalselsel moeen dan ook dezelfde nauurween gelden. Een ineriaalselsel is een selsel da eenparig beweeg. De andere aanname houd in da de lichsnelheid voor elke waarnemer hezelfde is, ongeach deze persoon in beweging is of nie. Er is nog nooi een deelje gevonden da sneller ging dan he lich. He is goed e onderbouwen da lich in vacuüm consan is. Daarvoor moeen we lich zien als een golf. In deelvraag 1 hebben we al vereld da elekromagneisme de aanduiding is voor de ineracie ussen he elekrische veld en he magneische veld, waarbij de wee componenen alijd loodrech op elkaar saan. Een elekrisch veld heef een bepaalde krach da afhankelijk is van de krach van de elekrische lading. Om een magneisch veld op e wekken moe de elekrische lading bewegen (er moe sroom zijn). Hoe sneller de lading beweeg, hoe serker he magneische veld is. Bij een magneisch veld da precies even serk is als he elekrische veld, beweeg de lading me de lichsnelheid. Hiermee kan je beredeneren da de lichsnelheid consan is! Wan als de snelheid van de elekrische lading lager zou zijn dan de lichsnelheid, dan zou er een magneisch veld onsaan da zwakker is dan he elekrische veld. De golf verlies dan bij elke omzeing energie en doof heel snel ui. Als de snelheid van de elekrische lading hoger zou zijn dan de lichsnelheid, dan zou er een magneisch veld onsaan da serker is dan he elekrische veld. Di is nie mogelijk, omda er dan energie in de vorm van magneisme onsaa zonder oevoeging van exra elekrische energie en energie kan nie ui he nies onsaan. We ween nu dus da lich consan is. Da beeken da je snelheden nie in elk geval mag opellen. Di kan verduidelijk worden me een voorbeeld. Een auo rijd 100 km/h en aan de voorkan van de auo is een kanon bevesigd die schoen afvuur me een snelheid van 100 km/h. De schoen zullen me 00 km/h gaan aangezien x 100 = 00 km/h. Echer, wanneer de auo me de lichsnelheid rijd en de kanonnen ook me de lichsnelheid worden afgevuurd, gaan de schoen gewoon me de lichsnelheid, wan deze is consan. He blijk dus da je bij (relaief) lage snelheden geld:. Bij hoge snelheden geld echer: Als je voor en voor allebei de lichsnelheid invul, dan geld. De formule is dan ook afgeleid van de lichsnelheid en he gegeven.

23 .5 Voorspellingen van de speciale relaivieisheorie Me behulp van de aannames da absolue rus nie besaa en da de lichsnelheid consan is kon Alber Einsein de speciale relaivieisheorie opsellen. De speciale relaivieisheorie beschrijf da lenge, massa en ijdservaringen afhankelijk zijn van de waarnemers. Daarmee deed Einsein een aanal voorspellingen. Lorenzransformaies Lorenzransformaies zijn een vervolg op de Galilei ransformaies. Deze zijn geen voorspelling van Alber Einsein, maar van Hendrik Anoon Lorenz en Einsein heef ze gebruik. Bij de Galilei ransformaies word er uigegaan van wee refereniekaders. Een refereniekader is in de nauurkunde een ruimelijk coördinaenselsel om waarnemingen e beschrijven. Twee refereniekaders zijn dus de waarnemingen van wee verschillende waarnemers. S v S y y x x x O x Afb. 15: Twee refereniekaders In afbeelding 15 zie je die wee refereniekaders, refereniekader S en refereniekader S. S beweeg in de riching van de bal en S saa sil en opziche van S. Galilei bedach hier de volgende formules bij:, en. Galilei nam aan da je vanui S en S y en op dezelfde manier zou waarnemen, maar da de afsand o de bal anders zou zijn. Di zijn correce formules, indien. Di is he geval als klein is, maar we ween dankzij de speciale relaivieisheorie da wanneer de lichsnelheid nader, ijd nie meer als ies absoluus gezien kan worden en nie opgaa. Lorenz ging er al vanui da ijd nie absoluu is. Hij begreep nog nie helemaal waar hij mee bezig was. Einsein begreep di laer wel. Hij kwam op de volgende formules:, en. is de Lorenzfacor. De Lorenzfacor kan ook gedefinieerd worden als:. 3

24 In deze formule geld: - = de Lorenzfacor; - v = de snelheid van he voorwerp; - = de lichsnelheid. Bij Tijddilaaie word de formule van ijddilaaie afgeleid en uigelegd. De afleiding van de Lorenzfacor gaa op dezelfde manier. He begrip voorwerp kan heel breed worden genomen. Meesal gaa he om een bewegend voorwerp en een silsaand persoon als waarnemer. Massaoename Een andere voorspelling is da massa van een lichaam oeneem wanneer zijn snelheid oeneem. Deze neem ne als lenge oe me de Lorenzfacor. Di geef de formule: = In deze formule geld: - = de massa wanneer he voorwerp beweeg; - = de massa van he voorwerp in rus; - = de Lorenzfacor. E=mc Een van de bekendse formules van Einsein is. Eigenlijk is de formule:. De formule waarbij geen rekening word gehouden me de Lorenzfacor slaa dan ook op een voorwerp in rus. In deze formule geld: - = de energie; - = de Lorenz facor; - = de massa; - = de lichsnelheid zeg hier da energie en massa een andere vorm van elkaar zijn (energie en massa zijn equivalen). De massa van een lichaam is dus gelijkwaardig me zijn energie. Een duidelijk voorbeeld hiervan is een auomoor, als men daarin benzine verbrand onsaa er energie. Sel je nu voor da iemand in een ruimeschip de rakemooren aanze om zo o een groere snelheid e bereiken. De massa van de brandsof word omgeze in energie (ne als bij de auomoor en benzine). Maar aangezien energie zelf ook een massa heef, neem de massa van de rake oe. Voor een waarnemer buien de rake word in feie maar heel weinig van de exra energie gebruik om de snelheid e verhogen. Als de rake ook maar in de buur van de lichsnelheid kom word zijn massa zo groo, da he bijna onmogelijk is om door middel van exra energie de snelheid e verhogen. Volgens Einsein heef een 4

25 lichaam wanneer he nie beweeg een hoeveelheid energie da afhankelijk is van de massa. Massa kan worden omgeze in energie en andersom. Als je naar de formule kijk en je wee da c ongeveer m/s is, zie je da er maar een hele kleine hoeveelheid massa nodig is om erg veel energie vrij e maken, wan je moe de massa vermenigvuldigen me de lichsnelheid in he kwadraa om de hoeveelheid energie e berekenen. Lengeconracie Bewegende lichamen worden korer in de bewegingsriching. Di is een voorspelling die Lorenz al eerder had voorspeld. Hij kwam op de juise formules ui, hoewel hij he nog nie zo goed begreep als Einsein laer deed. Op afbeelding 13 kan je zien da Einseins gezich in de bewegingsriching korer word als je he heel snel opzij beweeg. Afb. 16: Bewegende foo van Alber Einsein. Lorenzconracie (ofwel lengeconracie) is he korer worden van bewegingslichamen in de bewegingsriching en di is e berekenen me de Lorenzfacor. Di volg ui de formule:. In deze formule geld: - = de lenge van he bewegende voorwerp; - = de lenge van he voorwerp in rus - = de snelheid van he voorwerp - = de lichsnelheid Tijddilaaie Einsein voorspelde da bewegende klokken rager lopen dan silsaande klokken. Di verschijnsel word ijddilaaie genoemd. Dilaaie beekend uirekking, dus ijddilaaie is de uirekking van de ijd. Zo verloop de ijd van zeer snel bewegende deeljes langzamer dan deze van minder snelle deeljes. Di is ook een verklaring voor de muon paradox. He muon kan in een zeer kore ijd (die wij op aarde meen) een groe afsand afleggen, doorda zijn ijd en opziche van die van ons langzaam verloop. 5

26 Afleiding formule ijddilaaie Afb. 17a en 17b: lichsralen weerkaas ussen wee evenwijdige spiegels In afbeelding 17a zijn wee evenwijdige spiegels e zien, waarussen een lichsraal word weerkaas. De ijd die de lichsraal daarvoor nodig heef, kan worden h berekend me de formule. c In afbeelding 17b zijn weer wee evenwijdige spiegels e zien, maar in di geval word de onderse spiegel over een reche lijn naar rechs verplaas. De ijd die de lichsraal in di geval nodig heef om heen en weer e gaan, kan worde berekend D me de formule. Me behulp van de selling van Pyhagoras kan de zijde D c van de rechhoekige driehoek worden berekend. Hiervoor hebben we de helf van de afgelegde afsand nodig. De gehele afsand die de spiegel afleg, is e berekenen me de formule s v. Hierui volg da 1 1 v. Nu kunnen we zeggen da D D gelijk is aan h ( 1 v ). Door D in e vullen bij de formule, onsaa c de formule word afgeleid. h ( 1 c v ) s. Hieronder is e zien hoe deze formule verder h ( 1 c v ) 1 4( h ( v ) ) c 1 4h 4( v ) c kwadraeren haakjes wegwerken 1 4h 4( 4 v ) c 6

27 c c 4 h v c 4h v v 4h ( c v ) 4h v c ( c (1 )) 4h 4h v c (1 c c 1 h v c h 1 c v 1 c 1 c v ) breuk wegwerken c naar één kan halen buien haakjes halen buien haakjes halen vrijmaken worel rekken splisen h c h vervangen door (immers geld: ) c Deze laase formule word gebruik om de ijddilaaie ui e rekenen op een direce manier. In deze formule geld: - = de ijd die een voorwerp heef doorlopen - v = de snelheid van da voorwerp - c = de lichsnelheid - = de ijddilaaie, dus de ijd die he voorwerp heef doorlopen en opziche van een silsaand voorwerp De indirece manier om de ijddilaaie ui e rekenen, is door eers de Lorenzfacor e berekenen. De formule om me de Lorenzfacor de ijddilaaie e berekenen, is:. In deze formule geld: - = de ijd die een voorwerp heef doorlopen; 7

28 - = de ijddilaaie, dus de ijd die he voorwerp heef doorlopen en opziche van een silsaand voorwerp; - = de Lorenzfacor. Voor ijddilaaie geld dus:. v 1 c Toepassing formule ijddilaaie Voorbeeld 1 Een fieser rijd me 18 km/h over een reche weg. Een man zi op een bankje en volg de fieser me zijn ogen. Me behulp van de formule van ijddilaaie kunnen we de facor berekenen waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens De snelheid van de fieser is 18 km/h. Voor de lichsnelheid gebruiken we de eenheid m/s, dus voor de snelheid van de fieser moe ook deze eenheid worden gebruik. 18 v = = 5,0 m/s 3,6 c = 3, m/s (ongeveer) Berekening Om de facor e bepalen waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd, hoeven we alleen maar naar de noemer e kijken. Hieronder saa de berekening van de noemer. 1 5 (3, ) = 1 (nagenoeg) Conclusie De facor waarmee de ijd van de fieser volgens de man is verraagd, is nagenoeg gelijk aan 1. Er is dus geen ijddilaaie waar e nemen. Voorbeeld Een rake gaa me 1300 m/s. Vanaf de aarde kijk iemand oe hoe de rake de luch in word geschoen. Me behulp van de formule van ijddilaaie kunnen we de 8

29 facor berekenen waarmee de ijd van de rake en opziche van de persoon is verraagd. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens v = 1300 m/s c = 3, m/s (ongeveer) Berekening (3, ) = 1 (nagenoeg) Conclusie Rakeen ondergaan geen ijddilaaie. Vaak worden rakeen in voorbeelden bij ijddilaaie genoemd, maar di is in werkelijkheid onjuis. Voorbeeld 3 Een elekron word versneld in de deeljesversneller in Geneve. He deelje word op een snelheid van, m/s gebrach. Me nauwkeurige meeapparauur word he deelje,00 seconden gevolgd. Aan de hand van de formule voor ijddilaaie kan de eigenijd van he deelje worden berekend. Formule ijddilaaie v 1 c Gegevens = s v =, m/s c = 3, m/s Berekening,00 8 (,70 10 ) 1 8 (3,00 10 ) = 4,59 s 9

30 Conclusie Terwijl de meeapparauur,00 seconden heef gemeen, heef he elekron zelf een ijd van 4,59 seconden ondergaan. Door de hoge snelheid van he deelje is er dus sprake van ijddilaaie. 30

31 .6 Verschil speciale relaivieisheorie en algemene relaivieisheorie In 1915 schreef Alber Einsein nog een arikel, De algemene relaivieisheorie is een verdieping op de speciale relaivieisheorie, waarbij rekening word gehouden me de zwaarekrach. De speciale relaivieisheorie hee zo, omda je he alleen kan gebruiken in speciale gevallen. He kan gebruik worden zolang je geen rekening hoef e houden me de zwaarekrach (of me versnellende deeljes). Als je wel e maken heb me een versnelling, gaan de formules van de speciale relaivieisheorie nie meer op en moe je de formules van de algemene relaivieisheorie gebruiken. 31

32 3 De snelheid van muonen 3.1 Inleiding In he weede hoofdsuk is de speciale relaivieisheorie van Einsein behandeld. Bij deze heorie hoor de formule van ijddilaaie. Me behulp van voorbeelden is duidelijk geworden da ijddilaaie alleen waarneembaar is bij zeer hoge snelheden. Een goede verklaring voor he fei da muonen op aarde worden gedeeceerd, erwijl ze zo n groe afsand afleggen, is da ze ijddilaaie ondergaan. Hiervoor zou hun snelheid in de orde van grooe van lichsnelheid moeen liggen. Wa is de snelheid van muonen? Wij vermoeden da de gemiddelde snelheid van muonen inderdaad in de orde van grooe van de lichsnelheid lig, omda er geen andere logische verklaring is voor he fei da muonen de aarde bereiken. Om de snelheid e kunnen berekenen, is een afsand en een ijd nodig. Bij di experimen worden wee gelijke deecoren op een bepaalde afsand precies boven elkaar geplaas. Een deel van de muonen, die van ongeveer 10 km hooge komen (volgens meerdere nauurkundesudenen van de universiei van Leiden), verval in de bovense deecor, maar een groer deel gaa door de bovense deecor heen en bereik ook de onderse deecor. Deze muonen zorgen dus in beide deecoren voor he onsaan van foonen. In deelvraag 3 is uigelegd hoe di werk. Beide deecoren zijn me een snoer aangesloen op een meekasje. Deze snoeren moeen even lang zijn, omda we he ijdsverschil ussen he neerkomen van een muon op de bovense deecor en he neerkomen op de onderse deecor gaan meen. In een langer snoer is een signaal namelijk langer onderweg dan in een kor snoer. Als we één langer snoer zouden gebruiken, zou de waarde van de ijd die bij da snoer gemeen word, e hoog zijn. De afsand ussen de wee deecoren word handmaig gemeen me een liniaal. Hierdoor kunnen we op de millimeer nauwkeurig de afsand ussen de wee deecoren bepalen. Als we er één millimeer naas zien, krijgen we een afwijking in de snelheid die in de orde is van een miljoen meer per seconde. Di lijk erg veel, maar die miljoen meer per seconde is slechs 1% van de werkelijke snelheid. He meen me een liniaal is dus nauwkeurig genoeg. Me behulp van zeer nauwkeurige meeapparauur, waarvan een afbeelding bij maerialen saa, kunnen we he ijdsverschil in nanoseconden meen. Als een muon de bovense deecor en de onderse deecor bereik, zal he meekasje dus wee ijdsippen waarnemen. He verschil ussen de wee ijdsippen word door de compuer uigerekend. We kunnen aannemen da de wee pulsen worden veroorzaak door één muon, omda de kans da wee muonen (nagenoeg) gelijk neerkomen, onzeend klein is. 3

33 µ - µ - Nu is he nauurlijk zo da muonen van allerlei verschillende kanen komen. Sommige muonen vallen loodrech op de scinillaor in, andere muonen vallen schuin in. Door de variaie in invalshoeken leggen verschillende muonen verschillende afsanden af ussen de wee deecoren. Deze afsanden kunnen we me de beschikbare apparauur nie onderscheiden, maar da is in principe ook nie noodzakelijk voor onze meing. De muonen gaan immers me zo n hoge snelheid, da he over zo n kleine afsand nie veel uimaak of ze nou 0 cm of 4 cm afleggen. Bij deze afsanden zal de ijd in dezelfde orde van grooe blijven liggen. µ - Afb. 18: De afgelegde afsand ussen de deecoren verschil per muon. Naas he fei da de afgelegde afsand per muon kan verschillen, zijn er ook nog een aanal andere meeonnauwkeurigheden. Andere onnauwkeurigheden onsaan doorda de afsanden ussen de plaen handmaig zijn gemeen me een liniaal, of doorda he meesyseem misschien nie helemaal perfec werk. He kan bijvoorbeeld zo zijn da wij de afsand ussen de wee scinillaorplaen nie op de millimeer nauwkeurig meen, of da we de plaen nie precies evenwijdig boven elkaar plaasen. Wij zouden door di soor meefouen veranwoordelijk zijn voor he onsaan van foue resulaen. Daarnaas besaa er ook een kans da onderdelen van de meeapparauur nie helemaal gaaf zijn. Er besaa bijvoorbeeld een mogelijkheid da één van de snoeren beschadigd is, waardoor he signaal door di snoer word verraagd. Indien di snoer word aangesloen op de bovense scinillaor, zal een groere worden gemeen, waardoor een lagere snelheid zal worden berekend. He signaal ui de bovense scinillaor kom immers laer aan dan zou moeen, erwijl he signaal ui de onderse scinillaor nie is verraagd. Bij he aansluien van he beschadigde snoer op de onderse scinillaor zal juis een langere worden gemeen, waardoor een hogere snelheid zal worden berekend. In de alinea hierboven zijn een aanal voorbeelden gegeven van meeonnauwkeurigheden. Er zijn nauurlijk nog veel meer oorzaken waardoor een experimen kan mislukken. Aangezien wij nie beschikken over de ervaring en de middelen om di experimen professioneel ui e voeren, zullen onze resulaen sowieso afwijken van de waarde voor de gemiddelde snelheid die in de lierauur is gegeven. Onderzoekers hebben al eerder een waarde van ongeveer, m/s gevonden voor de gemiddelde snelheid van muonen. Di is 97% van de lichsnelheid (, m/s). He is belangrijk om e beseffen da we een gemiddelde snelheid gaan meen, omda de snelheid van muonen verschil. 33

2.4 Oppervlaktemethode

2.4 Oppervlaktemethode 2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel)

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel) Faculei Bèaweenschappen Ioniserende Sralen Pracicum chergrondinformaie Eigenschappen van ioniserende sraling Bij he uizenden van ioniserende sraling röngensraling en α-, β- en γ-sraling door maerie gaa

Nadere informatie

1 Herhalingsoefeningen december

1 Herhalingsoefeningen december 1 Herhalingsoefeningen december Een lichaam word vericaal omhoog geworpen. Welke van de ondersaande v, diagrammen geef dan he juise verloop van de snelheidscomponen weer? Jan rijd me de fies over een lange

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor

Nadere informatie

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen Uiwerkingen opgaven hoofdsuk 4 Opgave 1 a 4.1 Sooren sraling en sralingsbronnen Eröngenfoon = h f h f 4 = 6, 6607 10 Js 19 = 1, 9 10 Hz E = = röngenfoon 4 19 14 6, 6607 10 1,9 10 1, 59 10 J b De hoeveelheid

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Profielwerkstuk

Inhoudsopgave. Profielwerkstuk Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Inleiding... 3 Proloog... 4 Hoofdsuk 1. Kosische sraling... 5 1. De herkos van kosische sraling... 5. Showers... 7 3. Hisparc... 8 Eerse inerezzo: Eleenaire deeljes... 9

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen

1 Inleidende begrippen 1 Inleidende begrippen 1.1 Wanneer is een pun in beweging? Leg di ui aan de hand van een figuur. Rus en beweging (blz. 19) Figuur 1.1 Een pun in beweging 1.2 Wanneer is een pun in rus? Leg di ui aan de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor

Nadere informatie

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd Tuinsijlen Tuinsijlen He aanleggen van een uin word voorafgegaan door he maken van een uinonwerp. Om de uin o een geheel e maken moe u in he onwerp rekening houden me een bepaalde uinsijl. Door allerlei

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Rust en beweging

Hoofdstuk 1: Rust en beweging Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak nauurkunde He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO Beweging Samenvaing Nauurkunde, HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden 6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel

Nadere informatie

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO.

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO. Beweging Samenvaing Nauurkunde VWO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John Complexiei onder conrole, kosen inzichelijk? Naar een diensbare Gezien de populariei van is he goed eens erug e gaan naar de basis en e kijken naar wa SOA eigenlijk is, wa de redenen zijn om he in e voeren,

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Exponentiële formules

Hoofdstuk 1 - Exponentiële formules V-1a 4 Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Voorkennis prijs in euro s 70 78,0 percenage 100 119 1,19 b Je moe de prijs me he geal 1,19 vermenigvuldigen. c De BTW op de fies

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0

Nadere informatie

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS Behorende bij de Bacheloropdrach HS Door: Julia Berkhou Lena Jezuia Sephen Willink Begeleider: Prof.dr. A.A. Soorvogel Daum: 17 juni 2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Achergrondinformaie 3 2.1 He geij.................................

Nadere informatie

Gebruik van condensatoren

Gebruik van condensatoren Gebruik van condensaoren He spanningsverloop ijdens he laden Als we de schakelaar s sluien laden we de condensaor op. De condensaorspanning zal oenemen volgens een exponeniële funcie en de spanning over

Nadere informatie

Testen aan de voorkant

Testen aan de voorkant esen als kriische Tesen aan de voorkan Opimaal rendemen halen ui s De meese organisaies zien esen als noodzakelijke en effecieve maaregel om de kwaliei van sysemen e bepalen en fouen erui e halen voorda

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2015

Correctievoorschrift VWO 2015 Correcievoorschrif VWO 205 ijdvak wiskunde C (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

digitale signaalverwerking

digitale signaalverwerking digiale signaalverwerking deel 2: sampling en digiale filerechniek Hoewel we de vorige keer reeds over he samplen van signalen gesproken hebben, komen we daar nu op erug, om de ermee samenhangende effecen

Nadere informatie

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes.

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes. 2.1 LWB 7A-20 Les: Geen vis INFORMATIE Leeseks Teks 1: informaieve eks over walvissen. Teks 1: oud AVI 9; nieuw AVI M6. Zie ook sofware. Cenrale sraegie/leerdoel Teks inerpreeren: je bedenk de hoofdvraag

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B,2 (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 86 punen e behalen; he examen besaa ui 9 vragen. Voor

Nadere informatie

Fibbe Advocaten. Wilhelminastraat 66. 2011 VP Haarlem

Fibbe Advocaten. Wilhelminastraat 66. 2011 VP Haarlem Fibbe Advocaen Wilhelminasraa 66 2011 VP Haarlem Wij, Fibbe Advocaen e Haarlem, doen ons bes om u zoveel mogelijk van diens e zijn. Daarom willen wij u vragen mee e werken aan een klanevredenheidsonderzoek.

Nadere informatie

elektriciteit voor 5TSO

elektriciteit voor 5TSO e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 2013 IB 275-1T31FD Volg u in 2013 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVC-procedure (Erkenning Verworven Compeenies)?

Nadere informatie

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken.

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken. Wa is een raining? He doel van een rainingssessie is om me he eam en de spelers vasgeselde doelsellingen e bereiken. De doelselling van de raining bepaal de inhoud van de rainingssessie. De keuze van de

Nadere informatie

Snelheid en richting

Snelheid en richting Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven

Nadere informatie

Transparantie: van bedreiging tot businessmodel

Transparantie: van bedreiging tot businessmodel rends Impac op organisaie en informaievoorziening Transparanie: van bedreiging o businessmodel Transparanie is een rend die zowel in he bedrijfsleven als in de publieke secor langzaam maar zeker in krach

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/11

C. von Schwartzenberg 1/11 G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d

Nadere informatie

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten Canonpercenages He vassellen van canonpercenages bij de herziening van erfpachconracen Juli 23 SBV School of Real Esae Drs. L.B. Uienbogaard Drs. J.P. Traudes Inhoud Blz. 1. Inleiding... 3 2. Toeliching

Nadere informatie

Belasting en schenken 2013

Belasting en schenken 2013 Belasing en schenken 2013 Krijg u een schenking? Dan moe u misschien schenkbelasing bealen. Doe u een schenking? Dan kun u die schenking mogelijk als gif van de belasing afrekken. In deze brochure lees

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Polarisatie

Hoofdstuk 8 Polarisatie Hoofdsuk 8 Polarisaie lecromagneische Sraling is Gepolariseerd Iedere ransversale rilling is gepolariseerd To nu alleen rillingen beschouwd waarvan (en B) in één vlak ril: Lineair gepolariseerd lich. (In

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven 12345 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing IB 266-1T02FD (2464) Sudiekosen of andere scholingsuigaven Volgde u in een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Dan mag u de uigaven

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 4 Goniometrie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 4 Goniometrie De Wageningse Mehode & VWO wiskunde B Uigebreidere anwoorden Hoofdsuk Goniomerie Paragraaf Cirkelbewegingen a. De hooge van he wiel is de y-coördinaa van he hoogse pun van de grafiek, dus 80 cm b. De periode

Nadere informatie

samenvatting interactie ioniserende straling materie ioniserende straling geladen deeltjes electromagnetische straling

samenvatting interactie ioniserende straling materie ioniserende straling geladen deeltjes electromagnetische straling ioniserende sraling samenvaing ineracie ioniserende sraling maerie geladen deeljes α-deeljes elecronen en posironen elecromagneische sraling Röngensaling (afkomsig ui aoom; E < 100 kev) γ-sraling (afkomsig

Nadere informatie

Krommen in het platte vlak

Krommen in het platte vlak Krommen in he plae vlak 1 Een komee beschrijf een baan om de zon. We brengen een assenselsel aan in he vlak van de baan van de komee, me de zon als oorsprong. Als eenheid in he assenselsel nemen we de

Nadere informatie

Belasting en schenken 2012

Belasting en schenken 2012 Belasing en schenken 2012 Krijg u een schenking? Dan moe u misschien schenkbelasing bealen. Doe u een schenking? Dan kun u die schenking mogelijk als gif van de belasing afrekken. In deze brochure lees

Nadere informatie

Lees deze bijsluiter op een rustig moment aandachtig door, ook als dit geneesmiddel al eerder aan u werd toegediend. De tekst kan gewijzigd zijn.

Lees deze bijsluiter op een rustig moment aandachtig door, ook als dit geneesmiddel al eerder aan u werd toegediend. De tekst kan gewijzigd zijn. I B2.4. Onwerp van de bijsluier voor HepBQuin Informaie voor de paiën Lees deze bijsluier op een rusig momen aandachig door, ook als di geneesmiddel al eerder aan u werd oegediend. De eks kan gewijzigd

Nadere informatie

Toelichting Hoe gebruikt u deze toelichting? Correspondentieadres Wat is een schenking? Voor meer ontvangers samen aangifte doen

Toelichting Hoe gebruikt u deze toelichting? Correspondentieadres Wat is een schenking? Voor meer ontvangers samen aangifte doen 2011 Toeliching Aangife schenkbelasing Di is een oeliching bij he formulier Aangife schenkbelasing. Deze oeliching besaa ui vier onderdelen: A Algemene informaie over de schenkbelasing B Uileg bij de vragen

Nadere informatie

Master data management

Master data management meadaa Maser daa Aanpak voor opzeen van maserdaa-programma De kwaliei van de oenemende hoeveelheid daa in ondernemingen is van groo belang. Om die kwaliei e waarborgen kan maser daa worden oegepas. De

Nadere informatie

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde Voor een profielwerksuk over de aarde www.aarde nu In opdrach van: Vrije Universiei Amserdam Universiei van Amserdam Technische Universiei Delf Universiei Urech Wageningen Universiei Teksen: Gerard Heijmeriks

Nadere informatie

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer IT-audi & Ousourcing in conrol Leveranciersmanagemen en hird pary reporing Via ousourcing van sandaardprocessen proberen veel organisaies hun diensverlening aan de klan e verbeeren. Om in conrol e blijven

Nadere informatie

Efficiënter zakendoen en innoveren met mobiele communicatie

Efficiënter zakendoen en innoveren met mobiele communicatie Whiepaper One Ne Efficiëner zakendoen en innoveren me mobiele communicaie One Ne is een complee oplossing voor hosed elefonie die kosen helder en beheersbaar maak, zorg voor eenvoud en de bereikbaarheid

Nadere informatie

Rekenen banken te veel voor een hypotheek?

Rekenen banken te veel voor een hypotheek? Rekenen banken e veel voor een hypoheek? J.P.A.M. Jacobs en L.A. Toolsema Me enige regelmaa word door consumenen en belangenorganisaies gesuggereerd da banken de hypoheekrene onmiddellijk naar boven aanpassen

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: Draadloze communicatie

Hoofdstuk 6: Draadloze communicatie Elekronica: Tweede kandidauur indusrieel ingenieur 1 Hoofdsuk 6: Draadloze communicaie 1: Principewerking He is de bedoeling in di hoofdsuk de elemenaire principes van draadloze communicaie e besuderen.

Nadere informatie

Overzicht Examenstof Wiskunde A

Overzicht Examenstof Wiskunde A Oefenoes ij hoofdsuk en Overzih Examensof Wiskunde A a X min 0, X max 0, Y min 0 en Y max 000. 0 lier per minuu. Als de ank leeg is, dan is W 0, dus 00 0 0 dus 0. Na 0 minuen is de ank leeg. a Neem de

Nadere informatie

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis De Woordpoor De beseksverwerker van He Digiale Huis Een STABU-beseksverwerker zonder weerga. Verfrissend eenvoudig en och me meer mogelijkheden dan welke andere beseksverwerker ook. Zeer uigebreide mogelijkheden

Nadere informatie

Wie is er bang voor zijn pensioen? Pleidooi voor een vraaggerichte aanpak van pensioenvoorlichting

Wie is er bang voor zijn pensioen? Pleidooi voor een vraaggerichte aanpak van pensioenvoorlichting Wie is er bang voor zijn pensioen? Pleidooi voor een vraaggeriche aanpak van pensioenvoorliching ERIK VAN DER SPEK De laase jaren is pensioenvoorliching vaak negaief in he nieuws gewees. Ui verschillende

Nadere informatie

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 GEBRUIKSAANWIJZING Binnenuni voor luch-waerwarmepompsyseem en opies EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 EKHBRD011ACV1 EKHBRD014ACV1 EKHBRD016ACV1 EKHBRD011ACY1

Nadere informatie

Labotekst. Meetsystemen

Labotekst. Meetsystemen Labo Meesysemen dr ir J.Baeen Laboeks Meesysemen 2004 3 II Elekronica 3 II Elekromechanica (opies au/el) - - J. Baeen Labo Meesysemen Proef 1: Digiale opische meesysemen Proef I: Digiale opische meesysemen

Nadere informatie

Labotekst. Meetsystemen

Labotekst. Meetsystemen Labo Meesysemen dr ir J.Baeen Laboeks Meesysemen MSYSL 2006 3 II Elekronica 3 II Elekromechanica (opie au) EK Elo EK EL - - J. Baeen Labo Meesysemen Doelsellingen - Inhoud - Evaluaie Doelsellingen Op basis

Nadere informatie

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen.

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen. 1a 1b G&R havo A deel 1 Tabellen en grafieken C. von Schwarzenberg 1/14 Een buspakje kan door de brievenbus, een pakke nie. Een zending die voorrang krijg. 1c 5, 40. (Worldpack Basic prioriy Buien Europa

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1 Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak

Nadere informatie

Evolueren met portfoliomonitoring

Evolueren met portfoliomonitoring sofware-engineering Evolueren me porfoliomonioring Toolki analyseer en visualiseer sofwaresysemen Door gebrek aan inzich beschouwen bedrijven hun sofwareporfolio vaak als weerbarsige en onbeheersbare doos

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven 12345 20 Aanvullende oeliching Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 20 Volg u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Dan mag u de uigaven hiervoor, zoals lesgeld en de uigaven

Nadere informatie

Studiekosten en andere scholings uitgaven

Studiekosten en andere scholings uitgaven bij aangife inkomsenbelasing 20 IB 266-1TFD (2576) Sudiekosen en andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVCprocedure (Erkenning

Nadere informatie

Einstein (4) deze "ziet" t=ta licht bereikt achterkant. t=tv licht bereikt voorkant. figuur 1.

Einstein (4) deze ziet t=ta licht bereikt achterkant. t=tv licht bereikt voorkant. figuur 1. Einsein (4) In he orig arikelje (nr 44b, bladz. 3-6) werd he begrip relaiiei geïnrodueerd me name de relaiiei an een bepaalde ijdsduur zoals de slingerijd an een slinger in een klok. In boengenoemd arikelje

Nadere informatie

Testgedreven projectvoering

Testgedreven projectvoering esen Tesgedreven projecvoering Uiloop en budgeoverschrijding voorkomen In veel i-projecen worden fouen in requiremens en documenaie pas bij de esvoorbereiding ondek. Di is duur omda de fouen pas laa in

Nadere informatie

Studiekosten en andere scholings uitgaven

Studiekosten en andere scholings uitgaven 20 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing 20 IB 266-1T12FD (2576) Sudiekosen en andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 - Exponentiële functies Hoofdsuk - Eponeniële funcies Voorkennis: Groeifacoren ladzijde 7 V-a 060, 80 8, - euro 079, 0, 9, 88 c 0, 98, - 998, V-a De facor waarmee je de oude prijs vermenigvuldig om de nieuwe prijs e krijgen is

Nadere informatie

Uw auto in 3 simpele stappen

Uw auto in 3 simpele stappen Uw auo in 3 simpele sappen 1 Als financieringsmaaschappij van Fia Group Auomobiles SA is Fia Financial Soluions als geen ander op de hooge van he Ialiaanse auoaanbod. Daarnaas beschik Fia Financial Soluions

Nadere informatie

Softwarearcheologie als basis voor strategie

Softwarearcheologie als basis voor strategie sofware legacy Besuurlijke grip op sofware Sofwarearcheologie als basis voor sraegie Als he managemen grip wil krijgen op de sofware binnen de organisaie, kan onderzoek door onafhankelijke expers uikoms

Nadere informatie

Privacy en cloud computing

Privacy en cloud computing legale kaders Privacy en cloud compuing Beveiliging van persoonsgegevens in de cloud E-mail leen zich goed als cloudservice. He voordeel is da de ICT-afdeling geen eigen mailserver hoef op e zeen, wa efficiëner

Nadere informatie

Integratiepracticum III

Integratiepracticum III Inegraiepracicum III Casus I Projecevaluaie Irrigaie landbouwgronden in Ruriania Bas Beerenhou (556622) & Cliff Voeelink (554506) Deadline casus I: 2 januari 2007 TR2 Inleiding Er zijn een hoop derdewereldlanden.

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholings uitgaven

Studiekosten of andere scholings uitgaven 20 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing 20 Sudiekosen of andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVCprocedure

Nadere informatie

Gebruiksvriendelijke compiler voor het onderwijs

Gebruiksvriendelijke compiler voor het onderwijs Helium moe funcioneel programmeren onderseunen Gebruiksvriendelijke compiler voor he onderwijs Foumeldingen van compilers zijn vaak moeilijk e inerpreeren. Om he programmeeronderwijs e verbeeren word aan

Nadere informatie

4.9 Berekening van dragend metselwerk onderworpen aan verticale belasting

4.9 Berekening van dragend metselwerk onderworpen aan verticale belasting De radioaciviei die mogelijk word uigesraald in consrucies, is hoofdzakelijk e wijen aan de aanwezigheid van radium (Ra 226) en/of horium (Th 232) in de kelder en in de gebruike maerialen. Ui de ondersaande

Nadere informatie

t 1 Hier staat hoe je een toetje maakt. 2 Het is

t 1 Hier staat hoe je een toetje maakt. 2 Het is Blok 2 LB 60-61 16-17 WB 12-13 Les 1 Maak een oeje INFORMATIE Leeseks Teks 1: Reep voor een oeje van peer in de vorm van een gezih (oe). Teks 1: oud AVI 2; nieuw AVI M3, me uizondering van he woord reep

Nadere informatie

Seizoencorrectie. Marcel van Velzen, Roberto Wekker en Pim Ouwehand. Statistische Methoden (10007)

Seizoencorrectie. Marcel van Velzen, Roberto Wekker en Pim Ouwehand. Statistische Methoden (10007) 109 Seizoencorrecie Marcel van Velzen, Robero Wekker en Pim Ouwehand Saisische Mehoden (10007) Den Haag/Heerlen, 2010 Verklaring van ekens. = gegevens onbreken * = voorlopig cijfer ** = nader voorlopig

Nadere informatie

Leveringsvoorwaarden voor werken van beeldende kunst Beroepsvereniging van Beeldende Kunstenaars BBK Amsterdam

Leveringsvoorwaarden voor werken van beeldende kunst Beroepsvereniging van Beeldende Kunstenaars BBK Amsterdam Leveringsvoorwaarden voor werken van beeldende kuns Beroepsvereniging van Beeldende unsenaars BB Amserdam Gedeponeerd er griffie van de Arrondissemens-Rechbank e Amserdam d.d. 23-6-1983 onder nummer 174/1983

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Blok - Vaardigheden bladzijde a domein en bereik b x = = = c Me behulp van onderdeel b en de grafiek: d Eers: log x = ofwel x = = Dan me behulp van de grafiek:

Nadere informatie

Geen enkel lakproces is gelijk aan andere systemen.

Geen enkel lakproces is gelijk aan andere systemen. My of i l er ec hni eki n er na i ona l T : +31( 0) 481461191 E : i nf o@my ogend. c om W: www. my ogend. c om Pos a dr es Wi l l em Al e x a nder s r a a 23c 6691E EGend Geen enkel lakproces is gelijk

Nadere informatie

Quantummechanica en Relativiteitsleer bij kosmische straling

Quantummechanica en Relativiteitsleer bij kosmische straling Quantummechanica en sleer bij kosmische straling Niek Schultheiss 1/19 Krachten en krachtdragers Op kerndeeltjes werkt de zwaartekracht. Op kerndeeltjes werkt de elektromagnetische kracht. Kernen kunnen

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008 EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

lsolatieboxen met of zonder sluis?

lsolatieboxen met of zonder sluis? lsolaieboxen me of zonder sluis? Modelonderzoek naar he risico voor kruisinfecies bij verschillende bouwkundige onwerpen voor een medium-care verpleegafdeling in he Wilhelmina Kinderziekenhuis e Urech

Nadere informatie

op het interval 5, 15 betekent 5 x 15. 4b x op het interval 6, 10 betekent 6 x < 10. 5d Bij 3 < x π hoort het interval 3, π

op het interval 5, 15 betekent 5 x 15. 4b x op het interval 6, 10 betekent 6 x < 10. 5d Bij 3 < x π hoort het interval 3, π G&R havo B deel Veranderingen C. von Schwarzenberg / a b c Tussen en uur. Van en uur neem de sijging oe. Van o 6 uur neem de sijging af. Van o 8 uur neem de daling oe. Van 8 o uur neem de daling af. 6,,,,,

Nadere informatie

Antwoordmodel VWO wa II. Speelgoedfabriek

Antwoordmodel VWO wa II. Speelgoedfabriek Anwoordmodel VWO wa 00-II Anwoorden Speelgoedfabriek Voorwaarde II hoor bij immeren Voor immeren zijn 60x + 40y minuen nodig Voor immeren zijn 80 uur dus 4800 minuen beschikbaar 60x + 40y 4800 kom overeen

Nadere informatie

Aandacht voor allochtone studenten in het hoger onderwijs

Aandacht voor allochtone studenten in het hoger onderwijs Aandach voor allochone sudenen in he hoger onderwijs Inhoudsopgave Samenvaing en conclusies 5 1 Inleiding 15 1.1 Achergrond van he onderzoek 15 1.2 Opze van he onderzoek 16 1.3 Analyse van de nonrespons

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - De afgeleide functie

Hoofdstuk 3 - De afgeleide functie ladzijde 7 V-a Plo de grafiek van y = x + x +. Me al-zero vind je x 8,. Plo ook de grafiek me y = x+ 5. Me al-inerse vind je x 89, en y= g( 89, ),. V-a d Exa, wan de vergelijking is lineair. Me de rekenmahine,

Nadere informatie

Voorkom onzichtbare verspilling: energiebehoefte

Voorkom onzichtbare verspilling: energiebehoefte Voorkom onzichbare verspilling: energiebehoefe van sofware Energie besparen dankzij zuinigere sofware De afgelopen jaren is de energie-efficiënie van ICT-sysemen al serk oegenomen als gevolg van de behoefe

Nadere informatie

Cloud computing: waar begin je aan?

Cloud computing: waar begin je aan? cloud compuing Cloud compuing: waar begin je aan? Succesfacoren voor cloud compuing Cloud compuing is er en gaa nie meer weg. In 2010 sond he helemaal bovenaan in Garners hype cycle. Da geef aan da er

Nadere informatie

Etagevloeren. Ruimte creëren doe je met Nolte Opslag Systemen. www.nolteopslagsystemen.nl

Etagevloeren. Ruimte creëren doe je met Nolte Opslag Systemen. www.nolteopslagsystemen.nl Eagevloeren Ruime creëre g Sysemen g Sysemen is gespecialiseerd in de producie en levering van Eagevloeren. Een eagevloer ook wel enresol, mezzanine, ussenvloer, verdiepingsvloer of bordes genoemd, is

Nadere informatie

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z Tenamen CT222 Dynamica van Sysemen 25 juni 212 14.-17. Le op: - Vermeld op ieder blad je naam en sudienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apar vel Opgave 1 (3 punen) 2 Een bekken (links) me berging

Nadere informatie

Een risico- en kostengedreven aanpak voor architectuur

Een risico- en kostengedreven aanpak voor architectuur Een risico- en kosengedreven aanpak voor archiecuur Risico- en kosenmanagemen als primair businessdoel Archiecuur is e beschouwen als een discipline die gedreven word door risico s en kosen. Risico- en

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije A: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare oe. B: Lineair veran, als x me oeneem, neem y sees me, oe. C: Geen lineair veran,

Nadere informatie

De essenties van drie jaar NK ICT Architectuur

De essenties van drie jaar NK ICT Architectuur Trends in de inzendingen De essenies van drie jaar NK ICT Archiecuur He Nederlands Kampioenschap ICT Archiecuur is voor he eers georganiseerd in 2004 en heef o nu oe geleid o 25 archiecuurbeschrijvingen.

Nadere informatie

1800W. 2. De klemspanning van een batterij daalt van 14,4V naar 8V bij het belasten met 100A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij?

1800W. 2. De klemspanning van een batterij daalt van 14,4V naar 8V bij het belasten met 100A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij? Basisleersof vragen: oplossingmodel. Een accu van ol lever een sroom van 50A aan een moor. Hoe groo is de weersand (impedanie) van de moor? Hoe groo is he geleverde vermogen in W en PK? Geg. Ω 4 Gevr.?

Nadere informatie

Door middel van deze memo informeren wij u over de stand van zaken met betrekking tot het dossier hoogspanningslijnen.

Door middel van deze memo informeren wij u over de stand van zaken met betrekking tot het dossier hoogspanningslijnen. Gemeene Ede Memo Aan : Gemeeneraad Van : College van burgemeeser en wehouders Daum : 5 okober 203 Zaaknummer : 594 Opgeseld door : Rikker Sniselaar, Adviseur geluid, luchkwaliei en exerne veiligheid Bijlagen

Nadere informatie

wiskunde A vwo 2015-I

wiskunde A vwo 2015-I wiskunde A vwo 05-I Diabeesrisicoes maximumscore 4 He aanal personen me verborgen diabees is binomiaal verdeeld me n = 400 en p = 0, 0 P( X 00 ) = P( X 99 ) Beschrijven hoe di me de GR berekend word De

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: Laden en ontladen van condensatoren.

Hoofdstuk 6: Laden en ontladen van condensatoren. Hoofdsuk 6: Laden en onladen van condensaoren. Inleiding Elekriciei We ween reeds da een elekrische bron energie kan leveren. (W=P. me P=U.I). Volgens de we van behoud van energie, is he onmogelijk energie

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak wiskunde A (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de

Nadere informatie

H2: Het standaardmodel

H2: Het standaardmodel H2: Het standaardmodel 2.1 12 Fundamentele materiedeeltjes De elementaire deeltjes worden in 2 groepen opgedeeld volgens spin (aantal keer dat een deeltje rond zijn eigen as draait), de fermionen zijn

Nadere informatie