Uitwerkingen Voorbereidend Materiaal Sum of Us 2013

Transcriptie

1 Uitwerkingen Voorbereidend Materiaal Sum of Us 201 Basisbegrippen Modulorekenen a) =,7. Dus hele ronden. b) 0,7 00 = 00 meter. a) 000 (mod 00) 200 meter. b) 000 (mod 00) 200 meter. Vraag a) 200 (mod 00) 0 meter. Dus op de startlijn. b) 000 meter komt overeen met 12, rondje. De finishlijn ligt dus 200 meter na de startlijn. De atleet kan dus al 120 (mod 00) meter afgelegd hebben. Vraag a) 77 0 = 12,17 minuten. Dus 12 hele minuten. b) 77 (mod 0) 7 seconden. 1

2 Vraag a) 1 = + 2. b) 7 = c) = 2 +. d) (Een vijfvoud + 2) plus (een vijfvoud + 2) = (een vijfvoud + ). Vraag a) 20 = b) 1 = c) 00 = d) (Een 12-voud + 8) maal (een 12-voud + 9) = een 12-voud + 72 = een 12-voud. In wiskunde notatie: 8 (mod 12) 9 (mod 12) = ( x) (9+12 y) = x+8 12 y+12 12xy = (9x+8y+12xy) = 12 (9x + 8y + 12xy + ) 0 (mod 12). Rijen a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17, 17, 18, 18. b) = 12. a) Ja, je telt steeds krijgen. 10 bij de huidige term op om de volgende term te b) = ( ) = 112. Ja, wielrenner B laat daarmee wielrenner A achter zich, want 112 <

3 Vraag a) Je krijgt steeds de volgende term door de huidige met te vermenigvuldigen. b) Je krijgt steeds de volgende term door de huidige met te vermenigvuldigen. Vraag a) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r b) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r = = 102. = = 1, c) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r = = 1, d) De som wordt steeds groter. Dit komt omdat de termen in de rij uiteindelijk ontzettend groot worden. Vraag a) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r = 1 ( )10 1 b) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r = 1 ( )0 1 c) Invullen geeft: eerste term 1 rn 1 r = 1 ( )100 1 =,99. =. =. d) De som nadert. Dit komt omdat de termen in de rij uiteindelijk ontzettend klein worden, omdat de reden is.

4 Grafentheorie V = {1,2,,,}; E = { 1,2, 1,, 1,, 2,, 2,,,,, }. Vraag De eerste ronde zijn de kanten,1, 2, en, weggehaald. Een mogelijke oplossing is: Bij oefening 1 heb je de volgende paren:,1, 2, en, ; Bij oefening 2 heb je de volgende paren:,2,,1 en, ; Bij oefening heb je de volgende paren:,,,2 en,1 ; Bij oefening heb je de volgende paren:,,, en 1,2 ; Bij oefening heb je de volgende paren:,, 1, en 2,. Na oefening twee blijft de volgende graaf over: Na oefening drie blijft de volgende graaf over:

5 Na oefening vier blijft de volgende graaf over: Na oefening vijf blijft de volgende graaf over: Vraag Als je het goed hebt gedaan komt de verzameling F i overeen met de paren die in oefening i samen spelen bij ons antwoord op vraag. Vraag Een route waarbij Siem de Jong uiteindelijk zo weinig mogelijk gewicht meeneemt is: A B C F D G. Als Siem de Jong deze route volgt heeft hij aan het einde van de oefening 1 kg bij zich.

6 Kansrekening a) Kans op ffggg of fgfgg of fggfg of fgggf of gffgg of gfgfg of gfggf of ggf f g of ggf gf of gggf f = 10 kans op ffggg = 10 0,7 0, 2 0,09. b) Kans op maximaal één fout = kans op nul of één fout = kans op nul fout + kans op één fout = 0,7 + 0,7 0, 0,28. c) Kans op deelnemen aan volgende wedstrijd en ook hierbij maximaal één fout maakt = (0,7 + 0,7 0,) (0, + 0, 0,) 0,12. a) 1) Bekijk de mogelijke standen waarbij het gelijk staat. 2) Bereken voor elke stand de kans op deze stand. ) Tel de resultaten op. 0-0 : 0,2 0, 0, : 0,8 0,2 0,7 0, 0, : ,8 2 0,2 0,7 2 0, 0,007 - : ,8 0,2 2 0,7 0, 2 0,0 - : 0,8 0,2 0,7 0, 0,18 - : 0,8 0,7 0,0 Uitkomst 0,27 b) Na vijf strafschoppen is het gelijkspel, dus dan is de wedstrijd in het punt Gelijk. Volgens wordt er door ieder team één strafschop genomen. Benutten ze deze beide of missen ze deze beide, dan blijft de wedstrijd in het punt Gelijk. Dit gebeurt met kans p 2. Benut NEC de strafschop en mist VVV dan wint NEC, dit gebeurt met kans p 1. Benut VVV de strafschop en mist NEC dan wint VVV, dit gebeurt met kans p.

7 c) p 1 = kans op NEC benut strafschop en VVV mist strafschop = 0,8 0, = 0,2. p 2 = kans op NEC en VVV benutten beide de strafschop of NEC en VVV missen beide de strafschop = 0,8 0,7 + 0,2 0, = 0,2. p = kans op VVV benut strafschop en NEC mist strafschop = 0,7 0,2 = 0,1. d) Kans op NEC wint na het eerste tweetal strafschoppen of NEC wint na het tweede tweetal strafschoppen of NEC wint na het derde tweetal strafschoppen of... = 0,2 + 0,2 0,2 + 0,2 2 0,2 + 0,2 0, = 0,2 1 0,2 0,2. 7

8 Kogelbanen Uit de wiskundeles weet je: cos(α) = sin(α) = Hieruit volgt: v h (0) = 1 cos(0) 9, m/s; v v (0) = 1 sin(0) 11,9 m/s. aanliggende zijde ; schuine zijde overstaande zijde. schuine zijde Uit de wiskundeles weet je ook dat: tan(α) = Hieruit volgt: v v (0) = 20 tan(7) 1,07 m/s; overstaande zijde aanliggende zijde. Vraag v h (t) = v(0) cos(α) v v (t) = v(0) sin(α) gt Vraag We gebruiken de volgende twee formules: s h (t) = v(0) cos(α 0 )t + c 1 (1) s v (t) = v(0) sin(α 0 )t gt2 + c 2 (2) Merk op dat c 1 = 0 en c 2 = h 0. Je wilt voor Bastiaan, Willem en Olivier weten wanneer (2) gelijk is aan 0, dit is het moment dat de kogel op de grond landt. Je krijgt dan,voor alle drie de stoters, de tijd t dat de kogel in de lucht is. Vul deze t in bij (1) en je weet hoever iedereen heeft gestoten. 8

9 Als je dit goed hebt gedaan, vind je de volgende uitslag: plaats Naam Afstand in meter 1 Bastiaan 11,8 2 Olivier 11,1 Willem 10,9 Vraag Je hebt de volgende twee vergelijkingen: s h (t) = 1 cos(α 0 )t () s v (t) = 0 = 1 sin(α 0 )t 9,81t2 + 1,89 () () is een kwadratische formule die is op te lossen met de ABC-formule, dit geeft: t = 1 sin(α 0) ± (1 sin(α 0 )) 2 (,90) 1,89 () 9,81 Vervang de t in () door t = 1 sin(α 0)± (1 sin(α 0 )) 2 +7,0818 9,81. Je krijgt: s h (t) = 1 cos(α 0 ) ( 1 sin(α 0) ± (1 sin(α 0 )) 2 + 7,0818 ) () 9,81 Ten eerste moet je hier opmerken dat we de vergelijking moeten gebruiken waar er een staat op de plaats van de ±, hierdoor wordt de breuk, en daarmee s h (t), zo groot mogelijk. Denk er zelf even over na waarom dit zo is. Nu wil je weten voor welke α 0 s h (t) maximaal is en welke horizontale afstand hierbij hoort. Voer de volgende formule op je grafische rekenmachine in en gebruik als scherm [0,90] [0,0]: s h (t) = 1 cos(α 0 ) ( 1 sin(α 0) (1 sin(α 0 )) 2 + 7,0818 ) (7) 9,81 De optie maximum geeft dat er een top ligt bij ongeveer (2,1; 19,02). Dit betekent dat Stefanie het best onder een hoek van 2,1 kan gooien en als ze dat doet dan gooit ze 19,02 m. Zij verbreekt het wereldrecord dus niet! 9