1. Rekenen met gehele getallen Rekenen met decimale getallen Rekenen met procenten Rekenen met breuken

Transcriptie

1 Inhoudsopgave. Rekenen met gehele getallen. Rekenen met decimale getallen 7. Rekenen met procenten 0. Rekenen met breuken 5 5. Eenheden 6. Rekenen met machten 5 7. Rekenen met wortels 6 8. Redactiesommen 0 9. Gelijksoortige termen samennemen 0. Substitueren 5. Machten met letters 7. Wortels met letters. Breuken met letters. Algebraïsche producten 8 5. Ontbinden in factoren Eerstegraads vergelijkingen 5 7. Eerstegraads ongelijkheden 5 8. Tweedegraads vergelijkingen Vervolg e graadsvergelijkingen Tweedegraads ongelijkheden 58. Antwoorden 59 Basisboek / 86

2 Basisboek / 86

3 . Rekenen met gehele getallen Gehele getallen We oefenen de meest gebruikte bewerkingen met gehele getallen, dus optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Als speciaal onderdeel is een stukje over het staartdelen met zowel getallen als letters toegevoeg Optellen ( SOM) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: , dan 8 opschrijven , dan opschrijven en de boven enz. Opgave Opgave Aftrekken ( VERSCHIL) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: Opgave Opgave Vermenigvuldigen ( PRODUKT) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: rijtje van 9 (x ) 575 rijtje van 5 (x 7) 700 rijtje van 60 (x ) rijtje van 70 (x 7) rijtje van 700 (x ) 5700 rijtje van 800 (x 7) rijtje van 6000 (x 7) 9085 Basisboek / 86

4 Opgave 5 56 x x x 55 x x 69 Opgave 7 5 x x x 95 x x 59 Opgave 6 x 6 57 x x x x Opgave 8 00 x 8 89 x x x 7 6 x 68 Delen ( QUOTIËNT) Er zijn vele methoden om delingen uit te voeren. We kunnen ze niet allemaal behandelen, dus maken we een selecti We gebruiken de methode van staartdelen op twee iets verschillende manieren. Bekijk de twee verschillende voorbeelden goed en zorg dat je beide methoden begrijpt (ze verschillen ook weer niet zoveel)! Voorbeeld : Voorbeeld : 89 : 9896 : 769 Uitwerking: Uitwerking: / 8 9 \ : x x verschil 6, nu 9 aanhalen 79 9 verschil 79, nu 9 aanhalen 69 - x x verschil 0, einde berekening 6 verschil 6, nu aanhalen 07 x verschil 07, nu 6 aanhalen x verschil 0, einde berekening Opgave 9 69 : 6 : : 6 5 : 676 : Opgave 600 : : : : 5 95 : 5 Opgave : 9 : 05 : 9 66 : 5978 : 789 Opgave 96 : 5 : 75 : 65 0 : 95 7 : 9 Basisboek / 86

5 Het kan ook zo zijn dat er geen geheel getal uit komt (zie voorbeeld ) Voorbeeld : Opgave is 6 : Uitwerking: 6 : Kijk of het eerste getal deelbaar is door ; ne (Als je een komma passeert moet in de uitkomst ook een komma gezet worden en eventueel nullen toevoegen, zie tweede voorbeeld) Kijk of de eerste twee getallen deelbaar zijn daar ; Ja, want keer is met rest. Schrijf de onder de en de op achter het is-teken. Het verschil tussen en is. Schrijf het verschil of de rest onder de op. 6 aanhalen, betekent de 6 achter de rest plaatsen, waardoor het getal 6 ontstaat. Kijk of 6 deelbaar is door ; Ja, want keer is 6, met rest 0. Schrijf de 6 onder de 6 en de op achter de. Rest nul betekent nu dat de deling is voltooid, want er zijn geen andere cijfers meer aan te halen. Schrijf de 0 van het verschil op. Uitkomst is. Voorbeeld : Opgave is : Uitwerking:,0 0 : 0, Maak de opgaven met de methode van staartdelen en gebruik maximaal decimalen. Opgave 78,5 : : 5 6 : 9 59 : 7 0 : 56 Staartdelen met letters kan natuurlijk ook en is vaak handig bij het herleiden van formules: (x 5x + 6) : (x ) x x past x keer in x 5x, want x x _ x (x ) x x. x + 6 x past keer in x + 6, want x + 6 _ (x ) x Controleer zelf de uitkomst door (x )(x ) uit te vermenigvuldigen. Nog één om goed te doorlopen, daarna zelf een aantal keer proberen. (x 8x + ) : (x 6) x x 6 past x keer in x 8x, want x 6x _ x (x 6) x 6x. x + x 6 past keer in x +, want x + _ (x 6) x +. 0 Basisboek 5 / 86

6 Controleer weer zelf de uitkomst. Probeer nu zelf de volgende staartdelingen met letters. Opgave (x + x + ) : (x + ) (x + x ) : (x ) (x + x + 5) : (x + 5) (-x + 8x 7) : (x ) (x + 8x ) : (x + ) Basisboek 6 / 86

7 . Rekenen met decimale getallen Decimalen getallen optellen ( SOM) Schrijf de op te tellen getallen onder elkaar. Zorg ervoor dat alle..., honderdsten, tienden, eenheden, tientallen, honderdtallen,. precies onder elkaar staan. Voorbeeld : Voorbeeld : 7, + 8, wordt 8+ 9, + 0 wordt 7, 8, + 0,5 Eerst de hondersten optellen: 0+ Dan tienden optellen: + 5 Eenheden optellen: 7+, noteer en een boven de Tientallen optellen: ++8 0, noteer 0 en een boven de Honderdtallen optellen: + Opgave Noteer onder elkaar en tel op:, ,0 + 8,09 5,00 +,5 + 00,0 + 0, 0,68 +,95 5,7 +,00 + 5,0 8 9, , Opgave Noteer onder elkaar en tel op: 0, ,00,07 +,8 +5,76 +, + 8,905 5,5 + 0,05 + 6, , ,, +, ,08 + 9,9 7,00 + 0,00 +,00 + 8, Decimale getallen aftrekken ( VERSCHIL) Schrijf de af te trekken getallen onder elkaar. Zorg ervoor dat alle..., honderdsten, tienden, eenheden, tientallen, honderdtallen,.. precies onder elkaar staan. Voorbeeld : Voorbeeld : 6,08 8,679 wordt 68,65 0,5 wordt ,080 8,679 7,0 7 68,65 0,50 67,95 Opgave Schrijf onder elkaar en trek af: 5,06,76 78,05 67,9 579,00,9 86,5 0,6 6,00 0,0 Opgave 86,08,00 0,869 0,00 809,68 0,0968,5 0,5 6,06 0,06 Basisboek 7 / 86

8 Decimalen getallen vermenigvuldigen ( PRODUKT) Voorbeeld :,7 x,8 wordt 8 7 x 876 rijtje van 7 (x 8) rijtje van 0 (x 8) 58656,8,7 x 58,656 cijfers achter de komma cijfer achter de komma cijfers achter de komma x Voorbeeld : 8, x 5, wordt 8 5 x 56 rijtje van (x 8) 00 + rijtje van 50 (x 8) , 5, x 56,66 cijfers achter de komma cijfer achter de komma cijfers achter de komma x Opgave 5 6, x,78 8,7 x 58,,6 x 7, 9,8 x,97 5,6 x 9,7 Opgave 6 0,7 x 0,68, x 0, 0, x,98 0,78 x 0, 0, x 0,68 Decimalen getallen delen ( QUOTIËNT) Voorbeeld 06,5 :, Uitwerking: 06,5 : 5, Schuif de komma bij beide getallen een gelijk aantal stappen naar rechts totdat het getal waardoor je deelt geen komma meer heeft (je vermenigvuldigt beide getallen telkens met 0 per plaats verschuiving). Eventueel dus één of meerdere nullen aan eerste getal toevoegen Kijk of de eerste drie getallen deelbaar zijn door ; Ja, want past keer in 06. Schrijf onder de 06 en schrijf de achter het is-teken. Het verschil tussen 06 en is 7, schrijf dit onder de op. aanhalen, dus de achter de rest 7 plaatsen. Kijk hoe vaak de past in de 7, dit is 5 keer, want 5 keer is 665. Schrijf de 665 op onder de 7. Het verschil tussen 7 en 665 is 66. Schrijf dit op onder de 665. Je passeert nu een komma voordat je de 5 kan aanhalen, dus in de uitkomst verschijnt nu ook een komm 5 aanhalen, dus de 5 achter de rest 66 plaatsen. 665 is deelbaar door, want 5 keer is 665. Schrijf de 5 op achter de komma van de uitkomst. Schrijf ook 665 op onder de 665 die er al ston Het verschil is nul geworden, dus de deling is klaar. Uitkomst is 5,5. Basisboek 8 / 86

9 Voorbeeld 750 :,5 Uitwerking: : Opgave 7, : 5,7 568, : 7,65,58 : 0,6 6,55 : 86,06 89,9 :,5 Opgave 8 7, : 5,6 6,8 : 0,98 0,68 :,65 77,5 : 5,5 68,7 : 0, Basisboek 9 / 86

10 . Rekenen met procenten Absolute verandering is een verandering in aantallen, een relatieve verandering is een verandering in procenten. Relatieve verandering Nieuw Oud x 00% Oud Procentberekeningen Gebeurtenis Vraag Berekening 5,8% van 5 Hoeveel is dat? 0,058 x 5,958 8 van 5 Hoeveel procent is dat 8 x00% 5,% 5 een toename van 60 naar 80 een afname van 80 naar 60 Hoeveel is de toename in procenten? Hoeveel procent is de afname in procenten? x00%,% x00% 5%, dus 80 een afname van 5% 60 neemt toe met 8% Hoeveel krijg je?,8 x 60 70,8 80 neemt af met 8% Hoeveel krijg je? 0,8 x 80 65,6 een toename met 8% geeft 80 Hoeveel had je? 80 67,8,8 een afname met 8% geeft 60 Hoeveel had je? Neemt het bedrag gedurende n jaar elk jaar met 5% toe, dan is 60 7, 0,8 NIEUW OUD x,05 x,05 x x,05 OUD x,05 n (dit zijn n factoren,05) Opgave De omzet is 5 miljoen euro. De winst is 7% van de omzet. Wat is de winst? De inkoop is 50. De winst is 57 (op de inkoop) Hoeveel procent winst is er? De omzet is 8 miljoen euro. Het verlies is % van de omzet. Wat is het verlies? De verkoopprijs is 0. De korting (op de verkoopprijs) is 5. Hoeveel procent korting heb je gekregen? De winst is % van de omzet en komt uit op 7,5 miljoen euro. Wat is de omzet? Basisboek 0 / 86

11 Opgave De korting is 9% van de verkoopprijs. De korting is 5. Wat is de verkoopprijs? De inkoopprijs is en de winst is 5. Hoeveel procent van de inkoopprijs is de winst? De verkoopprijs van de jas is 6. Je krijgt 'm voor 50. Hoeveel procent (van de verkoopprijs) korting heb je gekregen? In Ouddorp waren op januari inwoners. Op --99 waren het er 68. Hoeveel procent is de bevolking in de tijd toegenomen? Over 00 was de winst 7,5 miljoen euro. Over 00 was de winst 6 miljoen euro. Met hoeveel procent is de winst gedaald? Opgave In 00 kostte een jas 5,--; in 00 kost deze 65,--. Hoeveel procent prijsstijging is er geweest? Van een artikel is de inkoopprijs 9,65 en de verkoopprijs,0. Hoeveel procent winst is er gemaakt? De import vanuit België naar Nederland bedroeg in miljard euro. Van de Belgische export gaat % naar Nederlan Hoeveel was in 000 de totale Belgische export? Van de verkochte auto's in 00 was 6% een Citroën. In 00 werden er 56 Citroëns verkocht en de verkoop van Citroën was in 00 met % gedaal Hoeveel auto's werden er in 00 verkocht? Een artikel kostte inclusief 5% winst en 9% belasting 76,0. Wat kostte dat artikel zonder winst en belasting? Opgave Benzine kost zonder accijns 0, per liter. Inclusief kost het,07 Hoeveel procent is de accijns? % Van de Nederlandse beroepsbevolking verdient c per jaar, 8% verdient ca en de rest verdient modaal dit is circa Circa 5 miljoen mensen hebben een baan. Hoeveel verdienen alle mensen samen? Voor het Havo-examen wiskunde haalde in 00 8 % een voldoende Op het MFC waren dat 0 leerlingen. Hoeveel leerlingen deden in 00 mee aan het Havo-examen wiskunde? In 000 was het aantal inwoners in Oosterhout toegenomen met % tot een aantal van Hoeveel inwoners had Oosterhout in 999? Een kolonie apen is de afgelopen 0 jaar gegroeid met,% per jaar tot het aantal van 7. Hoeveel waren er 0 jaar eerder? Opgave 5 In Oudentange is het aantal inwoners de laatste 5 jaar jaarlijks gedaald met % tot een aantal van 579. Hoeveel inwoners waren er 5 jaar geleden? Als ik van huis naar school fiets en ik heb wind mee doe ik er minuten over. Op de terugweg heb ik tegenwind en doe ik er 8% langer over. Hoelang duurt de terugreis? De bierconsumptie in Nederland daalt van 5 liter naar 9 liter per persoon per jaar. Hoeveel procent is de afname? Een artikel kost in de winkel,5 inclusief 9 % BTW. De inkoopprijs stijgt 0,50. Hoeveel kost het artikel nu? In 00 zet ik 00 op een spaarrekening voor mijn kleinkin Ik krijg,% rente en in het begin van elk jaar zet ik er 50 bij. Hoeveel staat er begin 007 op de rekening? Basisboek / 86

12 Nu zonder rekenmachine! Opgave 6 Hoeveel is 50% van ½? Iemand verliest 5% van zijn geld en geeft van de rest weer 5% uit. Hij houdt 78,- over. Hoeveel had hij in het begin? Hoeveel is 8% van 50,-? Wat moet hier worden ingevuld? 6,50 is % van 00.- Appelflappen kosten,5 per stuk, maar neem je er vier, dan hoef je maar,95 te betalen. Hoeveel procent korting krijg je op deze manier per appelflap? En hoeveel procent korting op de vier appelflappen samen? Opgave 7 Bij een bushalte staan mensen te wachten. Een bus heeft 8 zitplaatsen en 6 staanplaatsen. Als 75% van het totaal aantal plaatsen bezet is, hoeveel mensen moeten dan op de volgende bus wachten? 5% van 7½% van 8,80 Van een krant worden er in een jaar exemplaren gedrukt. Het jaar daarop is dat aantal gestegen tot stuks. Is deze stijging meer of minder dan 0%? Je zet 5000,- op de bank tegen een rente van % per jaar. Hoeveel heb je na twee jaar op de bank staan, als je niets hebt opgenomen? Opgave 8 Hoeveel is ¼% van 60,-? Bij aankoop van een brillenmontuur geldt de leeftijd van de koper als kortingspercentag Een jongedame van 5 jaar hoeft nu maar 05,- te betalen voor haar montuur. Wat is de prijs van het montuur zonder korting? Zie Iemand hoeft voor een brillenmontuur van 50,- nu maar 60,- te betalen. Hoe oud is deze persoon? Deze week het tweede artikel voor de helft van de prijs. Hoeveel bedraagt de korting over beide artikelen?,50 is % van 900 Opgave is % van,50 Hoeveel procent korting krijg je bij een actie Alles voor de helft van de helft. 0,% van een bedrag is,-. Hoe groot is het hele bedrag? In de Mondriaanstraat verkeren 5 van de 5 woningen in slechte staat. In de Jan Steenlaan zijn dat er van de 60. In welke straat verkeert, procentueel gezien, het grootste aantal huizen in slechte staat? Een computer kost 550,- exclusief BTW (9%). Wat kost de computer inclusief BTW? Opgave 0 Een stad heeft aan het begin van het jaar inwoners. Men verwacht aan het eind van het jaar inwoners te hebben. Met hoeveel procent verwacht men dat het aantal inwoners toeneemt? Na een huurverhoging van 5% moet ik per jaar 780,- aan huur betalen. Wat was mijn maandelijkse huur voor de verhoging? Op mijn aanvangssalaris kreeg ik begin dit jaar een salarisverhoging van,5%. Helaas weet ik nu al dat er volgend jaar weer,5% van mijn huidige salaris afgaat. Zit ik nu weer op mijn aanvangsalaris, heb ik juist nog minder, of toch nog iets meer? Hoeveel is % van,-? Een tweedehands auto wordt afgeprijst van 98,- voor 99,-. Hoeveel procent korting is er ongeveer gegeven? Basisboek / 86

13 Opgave Je hebt een bedrag van 500,- dat je op een spaarrekening wilt zetten. Je vraagt van twee banken het rentepercentage op. De ene bank biedt een spaarrekening aan met een rentepercentage van 6,75%. De andere bank hanteert een percentage van 7%. Hoeveel heb je na een jaar méér als je kiest voor 7% in plaats van 6,75%? Bij een politiecontrole worden meer dan 00 bromfietsers gecontroleer op de 8 hielden zich niet aan de toegestane snelhei Zij kregen een bekeuring. Hoeveel procent reed te hard? Volgens prognoses van de VN zal in 050 de wereldbevolking zijn toegenomen van de huidige 6, miljard tot 8,9 miljar Dat is een stijging van net geen 50%. Klopt deze bewering? Annemarie zegt: Als het aantal leerlingen met 0% is toegenomen tot 760, dan waren er eerst dus 58. Welke fout maakt Annemarie? Wat was wel het oorspronkelijk aantal leerlingen? Hoeveel is 5% van 0? Opgave Als je deze week bij de supermarkt op het pleintje vier pakjes kauwgom koopt, krijg je er gratis een vijfde bij. Hoeveel procent korting krijg je met deze actie? Zelfs van een dorstige kameel bestaat 8% van zijn gewicht uit water. Nadat hij zijn dorst gelest heeft weegt hij 800 kg. Dit bestaat voor 85% uit water. Hoeveel woog de kameel voor hij begon met drinken? 67 kg. 680 kg. 75 kg. 70 kg. 750 kg. Een emmer, voor de helft gevuld met water, weegt 0 kilo. Als de emmer helemaal gevuld wordt is het gewicht toegenomen met 80%. Hoeveel procent is het gewicht van de emmer zelf, ten opzichte van het water als de emmer helemaal vol is? Jip maakt een lange reis. De eerste dag legt hij deel van de totale afstand af. De tweede 5 dag legt hij 0% van de totale afstand af. De derde dag rust hij uit. Van de overgebleven afstand legt hij de vierde dag deel af. Hoeveel procent van de totale afstand moet Jip nu 5 nog afleggen? Wat is meer? % van 0 of 5% van 0? Opgave Wat is meer? % van,50 of 86% van 76? Als je een wiskundeproefwerk mag herkansen en je gaat van een 5,0 naar een 7,5, dan kun je zeggen dat je je score met 5% verbeterd hebt. Maar wat betekent het als men adverteert voor een wasmiddel met: Nu 5% verbeterd!? Wat is meer: de helft van een derde van een vierde van 8 uur, of 75% van een uur? Bij Anton Wachter op school heeft 50% van de leerlingen een fiets. 0% van de leerlingen die een fiets hebben, hebben ook skeelers. Hoeveel procent van de leerlingen van deze school hebben een fiets èn skeelers? In een vat zit 6 liter wijn. We vervangen 6 liter uit het vat door 6 liter water en mengen het geheel goe Wederom vervangen we 6 liter uit het vat door 6 liter water en mengen het geheel goe Vervolgens schenken we een onszelf een glas in uit het vat. Hoeveel procent van de inhoud van het glas bestaat uit de oorspronkelijke wijn? Opgave Hielke heeft 00 knikkers. 50% is blauw, 5% is rood, 6 % is groen. De rest is wit. Hoeveel witte knikkers heeft Hielke? Van een kubus worden alle ribben 50% verklein Met hoeveel procent vermindert hierdoor de inhoud van de kubus? In 000 had de vereniging van mensen met een angst voor procentsommen een behoorlijk aantal leden. In 00 nam het ledenaantal toe met 5%. In 00 kwamen er zoveel leden bij dat de vereniging met 50% groeid In 00 steeg het aantal weer met met 0%, maar in 00 nam het aantal af met 0% tot een aantal van 975. Hoeveel leden had de vereniging in 000? In een CD-winkel hebben twee CD's dezelfde prijs. Eén van de CD s wordt 5% goedkoper, de andere wordt 5% duurder. Daardoor gaan ze 6 euro in prijsverschillen. Hoeveel euro gaat de duurste CD kosten? Een bedrag neemt toe van 80 tot 00. Met hoeveel procent is het bedrag toegenomen? Basisboek / 86

14 Opgave 5 66 % van 9, - is? Op een zak aardappelen staat: Nu 0% extra, inhoud kg. Hoeveel zat er in de zak voor deze aanbieding? Een tandpasta is afgeprijsd van,50 voor,69. Hoeveel procent korting is er gegeven? Deze week wordt bij de supermarkt op een pak koffie 5% korting gegeven. Normaal kost een pak,5. Hoeveel kost een pak koffie nu? Rond de prijs op eurocenten nauwkeurig af. Op de markt voert een marktkoopman een prijzenactie: halen betalen! Hoeveel procent korting krijg je als je vijf producten koopt? Basisboek / 86

15 . Rekenen met breuken Hier wordt het werken met niet decimale breuken bekeken. Breuken als en, let op : ½ betekent + ½. 7 We gaan de volgende bewerkingen met breuken oefenen. Herleiden: zowel kleinere als grotere noemer maken. Van decimaal getal naar breuk. Optellen van breuken Aftrekken van breuken Vermenigvuldigen van breuken Delen van breuken Rekenregels toepassen op breuken; volgorde van bewerkingen. Gemengde opgaven Bij elk onderdeel staan steeds twee voorbeelden (met soms wat extra tussenstappen en /of opmerkingen) en dan komen er opgaven om zelf te oefenen. Herleiden/vereenvoudigen van breuken: Voorbeeld : De vraag 6 geeft 6 Uitwerking: deel teller en noemer door een zo groot mogelijk geheel getal, in dit geval 6. (Haal als het kan de helen er altijd uit!) Voorbeeld : De vraag? geeft, dus het?. 7 7 Uitwerking: : 7 6, dus de noemer is met 6 vermenigvuldigd, dan de teller ook met 6 vermenigvuldigen. keer 6 geeft. Je kan ook een kruisproduct (kruislings vermenigvuldigen) uitvoeren om de oplossing te vinden: ( ) : 7. Herleid de volgende opgaven. Opgave Opgave Basisboek 5 / 86

16 Opgave Opgave Opgave Opgave Van decimaal getal naar breuk en omgekeerd: Een decimaal getal is te schrijven als een breuk en andersom. In deze paragraaf oefenen we dit. Voorbeeld, van decimaal getal naar breuk: 7, (altijd herleiden als dat mogelijk is!) Voorbeeld, van breuk naar decimaal getal: 8 6,6 (altijd de breuk herleiden naar een noemer met 0, 00, 000, ) Opgave 7 Schrijf van decimaal getal naar breuk 6, 0,0 0,0,090,8 Opgave 8 Schrijf van decimaal getal naar breuk, 6,6 00,68,76 8,7 Basisboek 6 / 86

17 Opgave 9 Schrijf van breuk naar decimaal getal 5 Opgave 0 Schrijf van breuk naar decimaal getal a c a+ c Optellen van breuken: + b b b Vaak moeten eerst de breuken gelijknamig worden gemaakt. vb ( + ) + (5 + ) (altijd herleiden als dat mogelijk is!) , (gebruik 7 keer 9 is 6 voor het vinden van de gemeenschappelijke noemer gelijknamig maken) of eerst de helen wegwerken (met + + ), (een andere manier) Opgave Opgave ( ) Basisboek 7 / 86

18 Opgave Opgave ( ) Aftrekken van breuken: a c a c b b b Voorbeeld : 7 5 (altijd herleiden als dat mogelijk is!) Voorbeeld : , of eerst de helen wegwerken (wat wel verstandiger is): Voorbeeld : 5 ( + ) ( + ) (een andere manier) Opgave Opgave 6 ( ) Basisboek 8 / 86

19 Opgave Opgave 8 ( ) Vermenigvuldigen van breuken: a c ac b d bd v ( + ) 8 9 9, dus niet de noemer vermenigvuldigen teller teller, dus noemer noemer Opgave Opgave ( ) Opgave ( ) 7 Opgave Basisboek 9 / 86

20 Delen van breuken: a : c a d ad b d b c bc Algemeen: delen door een getal/breuk is vermenigvuldigen met de omgekeerde v : : 7: 7 : :, dus niet de noemer delen door! : :, We gebruiken: delen door een breuk 7 is vermenigvuldigen met het omgekeerde van de breuk 7 9! Opgave : :6 : 5 : 7 8 : 5 Opgave 7: 5 :( 8 ) : : 5 5 : Opgave 5 : 5 5 : : 7 7 : 7 5 : 6 5 Opgave 6 5: 7 :( ) 8 : 5 : : 7 7 Basisboek 0 / 86

21 Toepassen van rekenregels bij breuken: Denk aan de rekenregels (volgorderegels): Haakjes Machten en wortels Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts Optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeeld : Voorbeeld : Opgave 7 + : + : 6 : 6 + : 5 0 : 5 : Opgave 8 : + : (6 : ) ( ) (+ ) 5 ( ): : + (5: ) ( ) 5 5 Opgave 9 + : 5 + : 6 : + 6 : 5 7 : : Opgave 0 : + : 5 ( : ) ( ) + : 9 7 (+ ) 5 ( ): 7 9 : 5 + (: ) 7 ( ) Basisboek / 86

22 Gemengde opgaven: Opgave :(7+ ) 7 8 Opgave + : : 5 6 ( + ) :( ) 5 6? + : 6 Basisboek / 86

23 5. Eenheden We gaan oefenen met het omrekenen van eenheden. ) Lengte (km hm dam m dm cm mm) Voorbeeld : 5 dm km. 5 dm,5 m,5 dam,5 hm,5 km. Voorbeeld : 0,65 dam mm. 0,65 dam 6,5 m 65, dm 65, cm 65 mm. Let op het verschil tussen komma s voor decimale getallen en punten voor duizendtallen Opgave, km. m.00 mm m 0,000 hm dm.009 cm km m hm Opgave, km cm 0,005 dam mm,00 dm cm 9,65 hm m 0, m... mm Opgave,5 dm km km mm 7.50 mm km, m dm 65, dam km Opgave 7, dm... hm 0,5 m... km 56,8 mm dam dam hm 97, cm m ) Oppervlakte (km hm dam m dm cm mm ) (Verder geldt: ha hm en are dam ) Voorbeeld : 0 mm m. 0 mm, cm 0,0 dm 0,000 m (,x0 - m ). Voorbeeld : 0,05 ha... m. 0,05 ha ( hm ),5 are ( dam ),5 m (,5x0 m ). Opgave 5,0 cm are 0,0 km... m 9800 dm cm 9800 dm m,x0 8 m km Opgave 7,7 km dam 0,0 dm cm 0,00 hm... dm km mm 0,05 dam mm Opgave 6, ha dm 0,0 dm... mm,x0-8 hm mm,5x0 6 cm... are 9,68x0-7 ha x0 - m (pas op!) Opgave 8 7 mm m 0, hectare km cm hm 500 dm are mm km Basisboek / 86

24 ) Inhoud (km hm dam m dm cm mm ) kl hl dal liter dl cl ml Voorbeeld : 0,0 dam dal 0,0 dam m kl 0 hl 00 dal (,x0 dal) Voorbeeld : x0 7 dl hm x0 7 dl x0 6 lit x0 6 dm x0 m x0 0 dam x0 - hm,x0 - hm ( 0,0 hm ) Opgave 9, km dl 8,7x0 ml m 967, cl kl,7 hl mm 0,00 cm lit Opgave,0 kl mm 0,00009 hm dal,65 lit dm 0, dl... ml 0,5 m dl Opgave 0,5x0 cm hl,85x0 - km dl 00 ml kl 8,x0 - cl m,5x0 7 dal x0 dam (pas op!) Opgave ml m dal dam 0,98 lit kl 00 cm lit hl km ) Formules met eenheden herleiden Voorbeeld : m m/sec m m a sec, is in de natuurkunde de versnelling. sec sec sec sec sec Voorbeeld : kg A kg m kg m V : sec m sec A sec A, is in de natuurkunde de spanning Volt. Opgave Herleid Herleid lit m m sec kg m : sec sec m Herleid m kg s m : kg Herleid f F l l E I tot f Herleid Q I R t I t tot Q Basisboek / 86

25 6. Rekenen met machten Machten Getallen kunnen een of meerdere keren met zichzelf worden vermenigvuldig Zo is : x 6 x x 6 Als je nu tien keer met zichzelf wil vermenigvuldigen krijg je: x x x x x x x x x Dit is nog al een bewerking om op te schrijven, dit kan daarom eenvoudiger met zogeheten machten: x x x x x x x x x 0 uitgesproken vier tot de tiende (macht). Deze bewerking is niet alleen uit te voeren met getallen maar ook met letters. Deze worden bijvoorbeeld gebruikt in kwadratische of hogere machtfuncties. Overigens wordt x, uitgesproken als vier kwadraat. Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave ( 9) ( ) Opgave Opgave 6 5 / 5 8 / 6 5 / / Opgave / Basisboek 5 / 86

26 7. Rekenen met wortels Wortels Het is ook mogelijk om bij getallen te onderzoeken uit welke dezelfde getallen deze is opgebouwd, bijv.: 6 x ( ) 6 x x ( ) Deze bewerking kan worden gedaan via het begrip wortel ( ). Dit ziet er als volgt uit: 6, is hierbij het getal dat met zichzelf wordt vermenigvuldigd om 6 te krijgen (dit wordt wortel uit 6 genoemd). 6, is hierbij het getal dat tweemaal met wordt vermenigvuldigd om 6 te krijgen. De drie boven het wortelteken geeft aan dat er gezocht wordt naar het getal dat drie keer vermenigvuldigd is met zichzelf (dit wordt derdemachtswortel uit 6 genoemd). Als er geen geheel getal bestaat dat een of meerdere malen met zichzelf wordt vermenigvuldigd om het getal te krijgen dat onder het wortelteken staat, dan kan men het getal herleiden naar de getallen waaruit het is opgebouwd: 6 (xx7) 7 Uitleg: Het getal onder het wortel teken wordt gedeeld door de mogelijke priemgetallen te beginnen bij en moet weer een geheel getal opleveren tot het getal overblijft, dus: 6/, kan niet 6/ / 7 7/, kan niet 7/5, kan niet 7/7 Het getal 6 is dus te herschrijven als xx7. Dit betekent dat buiten het wortelteken kan omdat het tweemaal voorkomt, 7 blijft staan Als het getal niet herleid kan worden dan blijven twee opties over: het getal met wortelteken laten staan ( 7 7) met behulp van de rekenmachine benaderen ( ) De tweede optie kan ook toegepast worden bij hogere machtswortels. In het geval dat er breuken binnen het wortelteken staan kun je teller en noemer apart bekijken: (9/5) /5 Opgave Opgave Basisboek 6 / 86

27 Opgave Opgave 5 0,000,96 6,5 0,006 0,089 Opgave 7 5 x 8 96 x 6 / 6 6 x 5 / 5 Opgave 0,6 0,6 0,9 0,0, Opgave Opgave 8 0,09 + 0,6 0, ,5, - 0,6 0,6-0,05 0,8 +,96 Opgave 9 0,5 x 0,0 0,8 x 0,006 0,6 / 0,09 0,0 x 0,9,5 / 0,5 a is het getal dat in het kwadraat a geeft. v 6 want 6 want 9 9 Veel wortels zijn alleen te benaderen tot een decimaal getal, daarvoor gebruiken we onze rekenmachin Het is gebruikelijk in de wiskunde om de wortels vereenvoudigd te laten staan in het antwoord, als er niet naar een benadering wordt gevraag Voor het werken met wortels zijn wat regels afgelei Optellen en aftrekken van wortels: Alleen gelijksoortige wortels kunnen worden samen genomen tot één wortel (zie gelijksoortige termen) v dit kan je niet eenvoudiger schrijven Basisboek 7 / 86

28 Opgave Opgave Vermenigvuldigen van wortels: a b ab v Opgave Opgave Opgave ( 7) ( ) (5 5) ( ) (5 ) Delen van wortels: v 8 9 a b a b Opgave Opgave Basisboek 8 / 86

29 Vereenvoudigen van wortels: Als er een wortel in het antwoord voorkomt en er wordt niet gevraagd naar een benadering, is het gebruikelijk de wortels zover mogelijk te vereenvoudigen. Dit betekent dat je zoveel mogelijk kwadraten buiten de wortel brengt. v Opgave Opgave Basisboek 9 / 86

30 8. Redactiesommen Zonder rekenmachine! Opgave Drie broers, Ron, Rick en Roger, moeten.700,- zo verdelen dat Ron 600,- meer krijgt dan Rick en Rick 500,- meer krijgt dan Roger. Hoeveel krijgt elk? In een regenton kan hl. Water. Hoeveel volle emmers van liter kan ik er uitscheppen, als de ton voor deel gevuld is? De oppervlakte van de vloer van onze kamer is het 8 deel van de oppervlakte van vloer in de klas. De oppervlakte van de vloer in de klas is 0 m groter. Hoe groot is de oppervlakte van de vloer van onze kamer? En wat is de oppervlakte van de vloer in de klas? Wat is voordeliger: 0.- per maand of 5,- per week? Verdeel 00 schriften in de verhouding : :. Opgave Twee bedragen verhouden zich als : 7. Het grootste bedrag is 800,-. Wat is het andere bedrag? Hoeveel flessen van 0,8 liter kunnen gevuld worden met liter water? Deel de som van 5 en door het verschil van 6 en. Gisteren duurde de nacht 8 uur en minuten langer dan de dag. Hoe lang duurde gisteren de dag? Wat is de wortel uit het verschil tussen 5 in het kwadraat en in het kwadraat? Opgave Een leerling heeft voor zes proefwerken gemiddeld een 7. Er is één bij en geen 9 of 0. De proefwerkcijfers zijn gehele getallen. Hoeveel achten heeft de leerling ten minste gehaald? Kan er ook een vijf bij de punten zitten? Tijdens de sportdag is er grote belangstelling voor de touwtrekwedstrijd tussen twee grote tweelingbroers en drie meisjes aan de ene kant van het touw en jongens en een meisje aan de andere kant. Tijdens voorgaande wedstrijden is gebleken dat: jongens even sterk zijn als 5 meisjes. meisjes en jongen even sterk zijn als de tweelingbroers. Wie gaat er winnen bij de bovengenoemde wedstrijd? Hoeveel kost 850 gram noten van,- per kilo? Heb jij al miljard seconden geleefd? In een pizzeria krijgt een groep van negen kinderen vijf pizza s voorgezet. Aan een andere tafel zitten elf kinderen met zeven pizza s voor zich. In welke groep krijgen de kinderen het grootste stuk pizza? Opgave Vul op de puntjes hieronder één cijfer in, zó dat de opgave klopt:. 88. :.. Vul de goede maat in: De oppervlakte van een voetbalveld is ongeveer Deze jongeman weegt Een jachtluipaard kan wel per uur lopen. Ons moestuintje in de achtertuin is 500 groot. In de benzinetank van een grote auto gaat ongeveer benzin Schrijf de breuk 7 9 als decimaal getal. Rond af op decimalen. Van welk getal is de helft even groot als het dubbele van 5? Van welke getal is het dubbele even groot als de helft van 6? Basisboek 0 / 86

31 Opgave 5 Van welk getal is de helft even groot als de helft van,596? Hoeveel is 6,5 meer dan 6? Wat is het kleinste achtvoud boven de 00? Op een stuk snelweg is de maximumsnelheid 00 km/u. De politie volgt een auto en voert een trajectmeting uit. Over een afstand van precies kilometer doet de auto minuut en 0 seconden. Heeft deze auto te hard gereden? Vul op de stippeltjes +,, of : in zó, dat de volgende som klopt: (650 6) 6 6 Opgave 6 Welk getal ligt even ver van 7 als van 7 af? Voor het maken van 6 maïskoeken heb je nodig: 70 gram bakmeel 00 gram maïskorrels kopje geraspte kokos eieren eetlepel boter Wat heb ik aan ingrediënten nodig voor het maken van 5 maïskoeken? Hieronder zie je de aanbiedingen van vier groenteboeren. Zet ze op volgorde, de goedkoopste voorop. Verse aardappelen: 5 kilo voor slechts,50 Aardappelen: 7500 gram voor maar 5,50!! Aardappelen:,5 kilogram voor,75 (op op) Mooie aardappelen: 0 kilootjes voor meeneemprijs ( 7,50). Je hebt de cijfers,, 5 en 6. Daarmee ga je een vermenigvuldigopgave maken van twee getallen. Ieder cijfer moet je één keer gebruiken, bijvoorbeeld 56 of 6 5. Wat is de vermenigvuldigopgave met de kleinst mogelijke uitkomst? En met de grootste uitkomst? Maak met de cijfers,,, 5, 6 en 7 twee hele getallen die samen 80 zijn. Gebruik daarbij ieder cijfer precies één keer. Opgave 7 Bereken (nog steeds zonder rekenmachine!): (,8,5) + (8,8) Zeven vrienden storten samen een bedrag voor een goed doel. Ieder stort evenveel. Het totaalbedrag is een getal van vijf cijfers:.?5,-. Zoals je ziet is het opéénnalaatste cijfer weggevallen. Welk cijfer moet op de plaats van het vraagteken komen? Fransje heeft voor zijn verjaardag het boek Okki gaat verhuizen gekregen. In de eerste week leest hij de helft van het boek. Van de andere helft leest hij in de week daarna een derde deel. Welk deel van het boek moet hij nu nog lezen? Welk getal ligt het verst af van 8? 0,7 0, 0,65 Waar of niet waar? 0,7 > 5 0, > 7 <,0 9 <,5 6 Basisboek / 86

32 Opgave 8 Twee getallen zijn met elkaar vermenigvuldigd 76 en bij elkaar opgeteld 7. Welke getallen zijn dit? Ruben heeft een rechthoekige tuin van 9 meter bij 7 meter. Hij wil de hele tuin 5 cm ophogen. Hoeveel kubieke meter grond heeft hij daarvoor nodig? Zet in volgorde van klein naar groot: 6 0, 0, Een hardloopster sprint de 00 meter in 5 seconden. Wat is haar gemiddelde snelheid? Er zijn twee breuken die precies 5 verschillen van. Welke twee breuken zijn dat? Opgave 9 Voor een kinderfeestje maakte ik limonad Ik gebruikte 6 liter siroop op liter water. Omdat het veel drukker werd dan ik had verwacht moest ik nog 6 liter limonade (siroop met water) bijmaken. Hoeveel liter siroop had ik daarvoor nodig, als de limonade even zoet moest zijn? Jozef heeft voor zijn zoon een zandbak gemaakt. De bodem van de zandbak heeft een oppervlakte van m. Jozef wil de zandbak vullen met een laag van 0 cm zan Hoeveel liter zand moet hij hiervoor kopen? We gooien met drie dobbelstenen en tellen de ogen op. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk? Een digitale klok toont de uren van 00 t/m en de minuten van 00 t/m 59. Op sommige tijdstippen kun je dezelfde tijd zowel van voor naar achter als van achter naar voor lezen, zoals bijvoorbeeld: :. Hoeveel van deze tijdstippen zijn er? Arie, Bert, Caroline, Dirk, Els en Ferdy staan op een rij. Dirk staat ergens tussen Els en Ferdy, Caroline ergens tussen Dirk en Els, Bert ergens tussen Caroline en Dirk, Arie ergens tussen Bert en Carolin Welke bewering is waar? - Arie staat helemaal links of helemaal rechts in de rij. - Arie is de tweede van links of de tweede van rechts. - Arie is de derde van links of de derde van rechts. - Deze opstelling is onmogelijk. - Deze opstelling kan wel, maar je kunt de plaats van Arie niet weten. Opgave 0 Casper wil 00 chocolaatjes kopen. Ze kosten 0 cent per stuk. Bij de kassa ziet hij pas de aanbieding: 7 chocolaatjes halen, 6 betalen. Casper had 0 bij zich. Hoeveel geld hield hij hiervan over? Erik heeft 7 jongens meer als klasgenoot dan meisjes. In zijn klas zijn er ook twee keer zoveel jongens als meisjes. In deze klas zit ook Jannek Hoeveel meisjes heeft zij als klasgenoot? Een vader vertelt: Als ik de leeftijden van mijn kinderen met elkaar vermenigvuldig, dan is de uitkomst 66. De jongste is half zo oud als de oudst Hoeveel kinderen heeft deze vader? 5 6 Er zijn positieve gehele getallen waarvan de som van de cijfers gelijk is aan 00. Met welk cijfer begint het kleinste van deze getallen? 5 Een voetbal is gemaakt van zwarte vijfhoeken en witte zeshoeken. Aan elke zijde van een vijfhoek komt een zeshoek. Aan drie van de zijden van elke zeshoek komt weer een zeshoek, aan de drie andere zijden komt een vijfhoek. De bal heeft twaalf vijfhoeken. Hoeveel zeshoeken heeft de bal? Basisboek / 86

33 9. Gelijksoortige termen samennemen Inleiding Je weet Met letters gaat dat net zo p + p + p + p + p 5 p. Dit laatste antwoord kunnen we ook schrijven als 5 p of kortweg 5p. Zo is ab het product van de factoren, a en Verder is ab alleen uit te rekenen als je voor a en b getallen invult. Voor a en voor b krijg je het antwoord (controleer dit!). Voor a kun je schrijven 8 We zeggen dat a te herleiden (eenvoudiger opschrijven) is tot 8 Zo is 6q p te herleiden tot pq. Bij het herleiden van producten vermenigvuldig je de getallen en zet ze voorop, zet je de letters in alfabetische volgorde en laat je alle maaltekens weg. Dus: r t 5s 0rst. Opgave 6x 9t 8a 7b 7d c 5k 9m 7y z x Opgave 0,c a 5b 5f h g 0,5ad 8b x,5y,5z q r 5s Let op: met a bedoelen we eigenlijk a. Gelijksoortige termen Van de som a + a zijn a en a de termen. In deze termen komt dezelfde letter voor. Zulke termen heten gelijksoortige termen. Ook ab + ab heten gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen kun je bij elkaar optellen: a + a a + a + a + a + a 5a ab + ab ab + ab + ab ab Niet gelijksoortige termen kun je niet bij elkaar optellen. Dus de som van x + 5y is niet korter op te schrijven. Evenzo zijn 7ac + 6bc en 9p + niet korter op te schrijven, want zowel 7ac en 6bc als 9p en zijn niet gelijksoortig. Opgave 5a + a x + 7x p + p + q x + x + 6y + 5y 8q q + 5q + Opgave bc + 5ac + bc + 7ac + ab pqr + pr + pq +7pr + pqr xy + xy + xy + yx + yx ab + ba + 7ab + ac + ac 7xyz + xy + 6xz +zxy + xy Gelijksoortige termen kun je ook samennemen als er mintekens voorkomen. Zo is: 7a a a want 7 b + 6b b want + 6 x x 5x want 5 8p p 9p want 8 9. Let op: met p bedoelen we p. Opgave 5 6p p a + 5a c c ab ab a + 8b 6a b Opgave 6 6p 7q 8q 9p pq 5pr + qr + pq pr 5a + ab 7a + a 8ab def de + 6ed 8fed 5x + 5y xy y + 5yx Basisboek / 86

34 Opgave 7 p 8q ( 6p) + 5p q x ( x) + ( 7y) 5y x 8a b (7a + b) a 8m + 7 ( m) + m a b 9a ( b) + 8a Opgave 9 a + 8b 6a b p 5q 8p + q x + 5y x 7y 8m 6n n + m 7c 9d + 6c + 8d Opgave 8 x + (5y x) (x 7y) xy + 9xz ( 5xy + xz) yz 6abc + b abc + 5a b 5xy (y 6xy) + ( x) y (5k ) ( + 7k) k Opgave 0 x 7x 6y + y 8a b 9b 6 7q + 8q + p x + 6y 5x 6y 9a 5a b + b Opgave 8a b (7a + b) a x (5y x) ( y) + y (7p + q) + ( p) 5p 8m + 7 ( m) + c c ( 5b + c) (b c) Opgave 5q + 8p ( 7q p) + ( q) 7 5z (z + 8) + ( z) x (5y x) (x + 7y) a 5b + ( c + a) (b 5c) + b ( 5c + a) (x + y) + 5y ( 8z + 7x 5y) z + x y Opgave a b + 5b 5a 7p q p ( q) 6x y + x y 8m 5n 0m n 7p 5 8p Opgave 6q r 5r q x y 7x 5y a 5b + ( 7a) b 5ab ( ) 7a ( b) 6 5p ( q) r r q 8p Basisboek / 86

35 0. Substitueren Op de plaats van letters in formules kun je getallen invullen. Je vervangt dan een letter door een getal, maar als eenzelfde letter meer dan één keer in de formule voorkomt, dan moet daarvoor wel op alle plaatsen hetzelfde getal worden ingevul Dit vervangen van letters door getallen noemen we substitueren. Als je in xy + x de x voor 7 en de y door 5 vervangt, dan krijg je Maar neem je x en y 0, dan krijg je v Substitueer a door 5, b door 7 en c door en bereken: a+ bc abc (a + b)c (5 + 7) 8 a(b c) 5(7 ) 5 (7 + ) 5 55 ab ac ab c ab ac 5 0 Opgave Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. a + b 6c 5a ab c ab : c ac : (b + ) Opgave Substitueer in de volgende opgaven x, y en z. y (x + z) xz : y 6x : z + 5y y 5z : x + x 7xy : (z y) + x Opgave Substitueer in de volgende opgaven k, l en m 5. (k + 6l) : m 6+ kl m (6k m) kl l (5m + k) lm 6lm k + km : l Opgave Substitueer in de volgende opgaven p, q en r. p q pq pqr + 5r qr p 6pr + 5q pqr pq Basisboek 5 / 86

36 Opgave 5 Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. 6a : c 5ab (ab bc ) : 5a 5b c : (a + b c) 9ac a bc : ab 7b c : (ab + 5bc) Opgave 6 Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. (5c ab) : (a b) abc b c + 5a ac a b 7 5b c + ac (a b) (c ab) c : a + 9b ac Opgave 7 Substitueer in de volgende opgaven x, y en z. x yz 6x z x y yz + x y y z 6x y x x 9y 5xyz + x y z + 7xy 7z 5xy x + y Een belangrijke toepassing waarbij substitueren een grote rol speelt is de wortelformule (abcformule): x,. Met de wortelformule kun je de oplossingen van kwadratische b± b ac a vergelijkingen van de vorm ax + bx c 0 vinden. Bepaal bij de volgende opgaven m.v. de wortelformule de oplossingen van de vergelijking Opgave 8 Opgave 9 x x+ 0 x x x x 8 0 6x x 7 x 00 0 x x+ 8 x+ 8 x + x 0 x x 5 + x 0x 0 x + x Opg ave 0 x x 0 x + x + 0 5x x 5 x x + x x + x + 0 x x + Basisboek 6 / 86

37 . Machten met letters Een macht is een kortere schrijfwijze voor een herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde factoren. v a a a a ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) (x + y) (x + y) (x + y) Let op het verschil tussen 9 en ( ) ( ) ( ) 9 Voor het rekenen met machten bestaan de volgende regels Optellen en aftrekken van machten: x en 6x zijn gelijksoortige termen en daarom kunnen we ze bij elkaar optellen (of van elkaar aftrekken). Ook x en 7x zijn gelijksoortige termen. We kunnen deze dus ook bij elkaar optellen. We krijgen dan: x + 7x 9x. Op een soortgelijke manier kunnen we verder gaan met x, x, x 5, x 6,. Net zo min als en a gelijksoortige termen zijn, zijn a en a dat ook niet. We kunnen ze dus niet bij elkaar optellen (of van elkaar aftrekken). Ook kunnen we 5 + 7b, c + 7c, y + y, enz. niet bij elkaar optellen. Dus alleen gelijksoortige machten kunnen samen worden genomen (zie gelijksoortige termen) v x + 9x x 6x 8x kan je niet korter schrijven Opgave a 7 + 8a 7 p p a 6 + 5a 5 b + b z 0z Opgave x 0y 7 + 5y 7 y c 7c 5 5c 5 + c x 5 + x 7x 5 + x x 5 + d d + 6d d Vermenigvuldigen van machten: Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op. v 7 a a (a a a) (a a a a) a 6 x x ( x x) ( x x x x) x x x x x x 6x 5 b b ( b b b b) ( b) b b b b b b + 6 r r + r r We kunnen de volgorde waarin we vermenigvuldigen zelf bepalen. Net zoals het niet uitmaakt of je 5 of 5 doet. De haakjes mag je in de tussenantwoorden natuurlijk weglaten. v x x x x x (bij het rekenen met machten is x x) 9x y xy 7x y Opgave 7x x 0 5 5y 0y 8 8a a 9 x 6x x 8m m m Opgave 6 5b m 0bm p q 6p q 6 5axy a x y a x 5 p q q r p k m n km n 5km Basisboek 7 / 86

38 Delen van machten: Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten van elkaar af. 5 x x/ x/ x/ x x x x 5 v x ( x ) x x/ x/ x/ a :a a a a 7 7 p : p p p 9q q 5 5 q q x y xy x y xy 5 5 6x y 6 x y x y x y x y xy 5 9xy y Opgave 5 6 c :c 6 0q : q 8 y : 7y 5 a b : ab 5 0p q 0q Opgave 6 6x y x y 7 5a b 5ab 5 6a p x 8a p p q r : p q x y z : 7x y z Macht van een macht: Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten, v 6 (a ) a a a (a a) (a a) (a a) a ( a ) (a ) 5a 5a (x ) 6x 6x ( x ) x Opgave 7 8 (a ) (q ) 6 (x ) 7 0 (b ) (x ) + (x ) Opgave 8 (y ) (y) (p ) + p 5(p ) (a ) + 5(a ) (a ) 5 0 (p ) (p ) 6 (q ) + (q ) (q ) Basisboek 8 / 86

39 Macht van een product: Bij de macht van een product neem je van elke factor die macht v ( x ) ( x ) ( ) (x ) x x x x x x x ( x ) (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) 8 x x x x y y y y x y x y ( x y ) (x ) (x ) (x ) (x ) x x x x x x 6 x x x x x x 7x ( x ) ( q ) ( ) (q ) 8q 8q ( 5x y ) ( 5) (x ) (y ) 5x y 5x y (ab ) ( a b ) a b ( ) x x 8x ( ) ( ) x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( pq ) 6 6 x y x y x y 6 6 a a 7a a 8a 5p q 5p q 5p 6 pq q Opgave 9 5 (k m ) 5 ( p ) 6 (x ) 5 (c d ) ( a p ) Opgave 0 7 (s t ) ( xyz ) 5 ( a b c ) 5 0 ( a p ) + (a p) ( p q r ) (pq r ) Rekenregels voor machten: p q p+ q a a a p P q a p q q a :a a a p q pq (a ) a (ab) p p q a b Gemengde opgaven Opgave 5 a 6ab : 9a b 7 (5p q : 5pq ) : pq xy :x xy 5 6 6m n : (m n : mn ) 0 5 8c d : (0c d : 5d ) Opgave 7 7 p q 0pq : 8p q 7 0k m : k 5km 0 6 (56a b : 7a b) : a b 6 (5pq:5pq)pq 7pq x z : (0x z : x z ) x z Basisboek 9 / 86

40 Opgave 0 6 5x y 5 5 5x y 6 0p q 6 p q 6a b a 5 p y 5 8p y 7 5 6y z 6 y z Opgave 5 6 ( a b ) + (a b ) (xy ) + x y 5 0 ( x y ) (xy) (x y ) + x y 6 5x y 8 ( x z ) + ( x z ) (5p q ) ( p q ) Opgave (k m ) ( k m ) 5 ( x y ) ( x y) 7 5 (p q ) : ( pq ) 5 7 (a b ) (a b) ( m n ) :( m n ) Opgave 9 5 bp :6bp+ 9bp 5 a c (9a c 5a c) 5 5 (mx 0mx):7mx 6 7q y 5 qy 8q y 6 5a b a b : 0a b Opgave (cy ) + 5c cy 9c y 6 6 ( a b ) ( a b ) + a b 6 (xyz) + (xyz) 8xyz 5 6 (xy ) x y : x y + xy 5 abc :abc 8abc :(abc ) Opgave (a b ) 5 ( x y ) 7 ( k l ) (x y z ) 5 6 5x(x y ) Opgave 6 5 (a b ) (a b ) 5 ( x y ) :(x y) 5 ( c d ) :( cd ) 5 (p x ) : ( p x ) ( q r ) :(q r ) Opgave a a a x + x 7x + x 7k ( 5k ) + k 7m + 7m m p p + r p Opgave 0 6 (p q 0p q ) 5p q 5 9 5m n m n 7m n 5 5x y : (0x y 5x y) 8 5a m : 5am + a m 9am 7 px 6px 9px :p Opgave 7 5 5a x 7a x ax 8a x 7 5 m c + 5m c : m c m 6 (5p q 8p q) p q 7p q 5 7 x y 8 8 5x y : (9x y 6x y) 6 8 (0a b 6 8 6a b ) : (a b a b ) Opgave 5m y + my my 0m y (my ) 0aq 7a aq+ 5aq + ( a)q 8 6 (c d) + 5cd 8c d + 96c d : 6c d 5 7p y p y 5p y : 6p y ( b m ) + 6b m 5b m b m b m Basisboek 0 / 86

41 . Wortels met letters Bij vermenigvuldigen en of delen mag je een wortel splitsen: a a Dus ab a b en b b Dit kun je gebruiken om wortels te herleiden 6 zo is a a a a a a a en a a a a a Een wortel en een kwadraat heffen elkaar op: Dus ( a) a en ook (a b) a ( b) a b Een wortel onder de breukstreep wegwerken: a a b a b a b b b b b b a a a b ab ab b b b b b b Alleen gelijksoortige wortels kun je optellen: Dus a + a a en 5 b b b Je kunt een noemer wortelvrij maken: (a b)(a + b) a b p+ q p+ q p+ q p q p q p+ q p ( q) p q V 50a + 8a a 5 a + 9 a a 5 a+ a a a 5a 7a 6 5a 6 5 a 6a 5 a + 7a kan niet a a a b ab b b b b b b ab 8a a a a a a a a a a a (6a b) 6a b 7a b 5a ( 5a) 5a + 5a + 5a 5a (+ 5a)( 5a) 5a ( a ) ( a ) 9 a a 8a a 6a 5a + 7 9b 5a + 7 b 5a + b a( ab) a a b a a b Basisboek / 86

42 Herleid (laat geen wortels in de noemer van een breuk staan!) Opgave a 7 ab ( a) ( a) 8p 9p a Opgave e e e a( a + b) a a( 8a a) ( a+ 5b) (a a ) Opgave 5 5x 5x + x + 75x a 5 a a a Opgave a 8a 8a + 6x 8x x 9a 7b 5y 5y a 8a 8a Opgave ( 5a + )(+ 5a) 8a 6a a a a 5a a a a a 6 Opgave 6 5 ( a) ( a b) ( x + y) ( x y) ( a b) a( a a ) Opgave 7 x ( y + ) ( x)( x 6x) ( d ) ( x + 5 y) (x 5 + y 0)(x 5 y 0) Opgave ( + x) (5 + x) 5 a. b 5 6 8x + 5x Basisboek / 86

43 Opgave 9 ( x y)( x + y) x( 8 x) ( x+ y) ( x+ y) 7 5 xy xy Opgave 0 ( 5 x y) a 5b ( 5 x) ( 5x x) ( x+ y) ( x y) a b ab 0 7 b 5 x y xy y Basisboek / 86

44 . Breuken met letters Vereenvoudigen van breuken: v 8a + b 8a + b a + b 0ab + 5b 0ab 5b + ab + b 5b 5b 5b a b ab Opgave 60ab 0b 5 8z 7z 0b 8ab 7y z 8yz 8p q pq a b Optellen en aftrekken van breuken: Aanpak: noemers gelijk maken; dan tellers optellen of aftrekken v x z x+ z + y y y a b a a + b + + b b b b r 5 r 5 7xy r + 5xy + + 7x y x 7x y 7x y 7x y a x a a b x a + bx + + b a ab ab ab Opgave a a + p q p q q p q p p 0p p q Opgave + a ab + ab ab zy zx x y a+ b c + a a + b Basisboek / 86

45 V x+ x (x + )(x + ) (x )(x ) x + x + x x + x x+ (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) x + x + (x x + ) 7x (x )(x + ) (x )(x + ) Opgave + a+ a a a b+ a+ x x x y x y x+ x + x+ x Vermenigvuldigen van breuken: teller teller Aanpak: breuk breuk noemer noemer x r rx v y s sy u ux x v v axy abc abcxy abcxy abc xyz abcxyz z 6 5 Opgave 5 x 5x + 5 a b b x p 6p x a b 6a b 5 6z p z p pz Basisboek 5 / 86

46 Delen van breuken: Aanpak: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerd v xy y xy x x y x : z x z y y z y z 6 5 axy xyz axy abc abcxy abcxy : abc abc abc xyz abcxyz z Opgave 6 0x : x + b b : a a a : bc ab : 00s 0as : 0t t Opgave 7 0x : x+ : ab ab x y : y x 6 0 ab 9 x 6y 8 :a b x : 9y Gemengde opgaven Opgave 8 : p p x + a + a p x x Opgave 9 a a xy abc abx a b 8a b : 9x y x y + x x+ a ab b a Opgave 0 : p p x + a xyz p : pyz z 6 a a : b ab Opgave + a+ b a b 6a a : : p p x y + x y x+ y x x x+ Basisboek 6 / 86

47 Opgave a a+ a p p: q Opgave p + 5 q a a q qp : p q: 5 5 p : 5 p + 5 p + q 5 6z z : 9z z Basisboek 7 / 86

48 . Algebraïsche producten Een techniek die veel wordt toegepast op algebraïsche vormen is het herleiden van producten tot een som of een verschil. We herkennen daarbij een aantal veel voorkomende technieken.. e Algemeen product: a(b + c) ab + ac v x(x 6) 6x 8x c (a + ac) ac + ac x (x + y) 6x + x y Opgave a(a+ 5) x (5 x ) p (p 6pq) ab(ab + c) ac(a c 5a ) Opgave x (x x) 6x(x x + ) x y ( + x + xy) 6a( 7a + 6ab 7ac) xy(x xy 5y + 6z). e Algemeen product: (a + b) (c + d) ac + ad + bc + bd v (x + )(x 6) 6x x + 9x 8 6x x 8 (x + )(x + ) x + x + x + x + 7x + (x y)(x + y ) 6x + xy xy y Opgave (x + )(5y + z) ( + a)(b ) (a b)(c d) (a + )(a + 9) (8 + y)(7 + y) Opgave (p 8)(p + 6) (x )(x + 0) (t 6)(t + 6) (a )(a ) (x + y)(x y). e Bijzondere / merkwaardige product: (a b)(a + b) a ab + ab b a b v (x )(x + ) (x) 9x 6 (a + b)(a b) (a) (b) a 9b 6 (x + )(x ) (x ) x Opgave 5 (x + y)(x y) (a 6)(a + 6) ( t)( + t) ( a + b)(a + b) (x 0,5)(x + 0,5) Opgave 6 (x 5y)(x + 5y) ( 7y)( + 7y) (6a + 5b)(6a 5b) ( xy)( + xy) (pq + st)(pq st) Basisboek 8 / 86

49 Opgave 7 ( x + y )(x + y ) (a + )( a ) (k + 5)(k 5) 98 0 (00 )(00 + ) 5 6. e Bijzondere / merkwaardige product: (x + 5)(x + 7) x + 5x + 7x + 5 x + x + 5 De e term ontstaat uit de som van 5 en 7 en de e term uit het product van 5 en 7. v (x )(x + 9) x + 5x 6 (p 6)(p 5) p p e Bijzondere / merkwaardige product: (a + b) a + ab + ab + b (a b) a ab ab+ b a + ab+ b a ab+ b De middelste term noemt men het dubbelproduct. v (x + 7) x + x + 9 (x ) x x + 9 (x + y) x + x y + (y) x + 6xy+ 9y Opgave 8 (p + q) (p q) (a ) ( x) (z + 0) Opgave 9 (a b) (xy + yz) (5k 5l) ( a+ b) (a + b ) Gemengde opgaven Opgave 0 (a b)(a + b) (m + n)(m n) 8pq(p pq ) ( 7y)( + 7y) y (x + y + xy) Opgave ( xy)( + xy) (t + 6) (t 6) (a b)(a + b) (k + 0)(k 7) (5+ p)( p p ) Basisboek 9 / 86

50 5. Ontbinden in factoren Dit betekent dat een som van termen wordt geschreven als product. We kennen daarvoor een aantal methoden. De methoden zijn afgeleid van de algebraïsche producten Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen: v ab + ac a(b + c) x + xy x(x y) x 8x x(x ) 6a b ab ab(a b) x + x 7x 7x(x x + ) [neem het min-teken mee naar buiten] Opgave 5p + 5q a + 8b + 6c 8xyz + xy 5x 6x 6x y x y Som-product methode bij drietermen van de e graad: v x + 5x + 6 (x + )(x + ) [want + 5 en 6] p p 0 (p 5)(p + ) [want 5 + en 5 0] x + x + 0 (x + )(x + 0) Verschil van kwadraten: v x y (x y)(x + y) a 6 (a )(a + ) 9a 5b (a 5b)(a + 5b) Ontbind in factoren of zet k.n. Opgave x y p q 9x 6y k + m ab 5c Opgave x 8x+ 6 y 6y p + p 9x + 6x + p 0pq + 5q Opgave x + xy+ y p pq+ q a + 0ab+ 5b p + 0p+ 5 x + 8x+ 6 Opgave 5 a + a+ 6 p + p+ 6 x + x x 5x 6 a 0a+ 9 Basisboek 50 / 86

51 Opgave 6 x x+ 0 x 9x 0 x + 7x+ 0 x x 0 x + x 0 Opgave 8 a 6a p + 7pq + 0q 7x + 7 9x 6x + c 5c 50 Opgave 7 x x x + x x 8x+ 5 x + x x + 8x+ 5 Opgave 9 a a 08 x 8xy + 9y y p p + b+ b Doorontbinden: ontbind in zoveel mogelijk factoren Probeer eerst buiten haakjes te brengen; daarna de merkwaardige producten of de som-product method v x 7 (x 9) (x + )(x ) 7x x + 7 7(x x + ) 7(x ) p p 8 (p p ) (p 7)(p + 6) Opgave 0 x x p 6 y yz + z a + a 5 Basisboek 5 / 86