1. Rekenen met gehele getallen Rekenen met decimale getallen Rekenen met procenten Rekenen met breuken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Rekenen met gehele getallen 3. 2. Rekenen met decimale getallen 7. 3. Rekenen met procenten 10. 4. Rekenen met breuken 15. 5."

Transcriptie

1 Inhoudsopgave. Rekenen met gehele getallen. Rekenen met decimale getallen 7. Rekenen met procenten 0. Rekenen met breuken 5 5. Eenheden 6. Rekenen met machten 5 7. Rekenen met wortels 6 8. Redactiesommen 0 9. Gelijksoortige termen samennemen 0. Substitueren 5. Machten met letters 7. Wortels met letters. Breuken met letters. Algebraïsche producten 8 5. Ontbinden in factoren Eerstegraads vergelijkingen 5 7. Eerstegraads ongelijkheden 5 8. Tweedegraads vergelijkingen Vervolg e graadsvergelijkingen Tweedegraads ongelijkheden 58. Antwoorden 59 Basisboek / 86

2 Basisboek / 86

3 . Rekenen met gehele getallen Gehele getallen We oefenen de meest gebruikte bewerkingen met gehele getallen, dus optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Als speciaal onderdeel is een stukje over het staartdelen met zowel getallen als letters toegevoeg Optellen ( SOM) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: , dan 8 opschrijven , dan opschrijven en de boven enz. Opgave Opgave Aftrekken ( VERSCHIL) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: Opgave Opgave Vermenigvuldigen ( PRODUKT) Voorbeeld : Voorbeeld : Uitwerking: Uitwerking: rijtje van 9 (x ) 575 rijtje van 5 (x 7) 700 rijtje van 60 (x ) rijtje van 70 (x 7) rijtje van 700 (x ) 5700 rijtje van 800 (x 7) rijtje van 6000 (x 7) 9085 Basisboek / 86

4 Opgave 5 56 x x x 55 x x 69 Opgave 7 5 x x x 95 x x 59 Opgave 6 x 6 57 x x x x Opgave 8 00 x 8 89 x x x 7 6 x 68 Delen ( QUOTIËNT) Er zijn vele methoden om delingen uit te voeren. We kunnen ze niet allemaal behandelen, dus maken we een selecti We gebruiken de methode van staartdelen op twee iets verschillende manieren. Bekijk de twee verschillende voorbeelden goed en zorg dat je beide methoden begrijpt (ze verschillen ook weer niet zoveel)! Voorbeeld : Voorbeeld : 89 : 9896 : 769 Uitwerking: Uitwerking: / 8 9 \ : x x verschil 6, nu 9 aanhalen 79 9 verschil 79, nu 9 aanhalen 69 - x x verschil 0, einde berekening 6 verschil 6, nu aanhalen 07 x verschil 07, nu 6 aanhalen x verschil 0, einde berekening Opgave 9 69 : 6 : : 6 5 : 676 : Opgave 600 : : : : 5 95 : 5 Opgave : 9 : 05 : 9 66 : 5978 : 789 Opgave 96 : 5 : 75 : 65 0 : 95 7 : 9 Basisboek / 86

5 Het kan ook zo zijn dat er geen geheel getal uit komt (zie voorbeeld ) Voorbeeld : Opgave is 6 : Uitwerking: 6 : Kijk of het eerste getal deelbaar is door ; ne (Als je een komma passeert moet in de uitkomst ook een komma gezet worden en eventueel nullen toevoegen, zie tweede voorbeeld) Kijk of de eerste twee getallen deelbaar zijn daar ; Ja, want keer is met rest. Schrijf de onder de en de op achter het is-teken. Het verschil tussen en is. Schrijf het verschil of de rest onder de op. 6 aanhalen, betekent de 6 achter de rest plaatsen, waardoor het getal 6 ontstaat. Kijk of 6 deelbaar is door ; Ja, want keer is 6, met rest 0. Schrijf de 6 onder de 6 en de op achter de. Rest nul betekent nu dat de deling is voltooid, want er zijn geen andere cijfers meer aan te halen. Schrijf de 0 van het verschil op. Uitkomst is. Voorbeeld : Opgave is : Uitwerking:,0 0 : 0, Maak de opgaven met de methode van staartdelen en gebruik maximaal decimalen. Opgave 78,5 : : 5 6 : 9 59 : 7 0 : 56 Staartdelen met letters kan natuurlijk ook en is vaak handig bij het herleiden van formules: (x 5x + 6) : (x ) x x past x keer in x 5x, want x x _ x (x ) x x. x + 6 x past keer in x + 6, want x + 6 _ (x ) x Controleer zelf de uitkomst door (x )(x ) uit te vermenigvuldigen. Nog één om goed te doorlopen, daarna zelf een aantal keer proberen. (x 8x + ) : (x 6) x x 6 past x keer in x 8x, want x 6x _ x (x 6) x 6x. x + x 6 past keer in x +, want x + _ (x 6) x +. 0 Basisboek 5 / 86

6 Controleer weer zelf de uitkomst. Probeer nu zelf de volgende staartdelingen met letters. Opgave (x + x + ) : (x + ) (x + x ) : (x ) (x + x + 5) : (x + 5) (-x + 8x 7) : (x ) (x + 8x ) : (x + ) Basisboek 6 / 86

7 . Rekenen met decimale getallen Decimalen getallen optellen ( SOM) Schrijf de op te tellen getallen onder elkaar. Zorg ervoor dat alle..., honderdsten, tienden, eenheden, tientallen, honderdtallen,. precies onder elkaar staan. Voorbeeld : Voorbeeld : 7, + 8, wordt 8+ 9, + 0 wordt 7, 8, + 0,5 Eerst de hondersten optellen: 0+ Dan tienden optellen: + 5 Eenheden optellen: 7+, noteer en een boven de Tientallen optellen: ++8 0, noteer 0 en een boven de Honderdtallen optellen: + Opgave Noteer onder elkaar en tel op:, ,0 + 8,09 5,00 +,5 + 00,0 + 0, 0,68 +,95 5,7 +,00 + 5,0 8 9, , Opgave Noteer onder elkaar en tel op: 0, ,00,07 +,8 +5,76 +, + 8,905 5,5 + 0,05 + 6, , ,, +, ,08 + 9,9 7,00 + 0,00 +,00 + 8, Decimale getallen aftrekken ( VERSCHIL) Schrijf de af te trekken getallen onder elkaar. Zorg ervoor dat alle..., honderdsten, tienden, eenheden, tientallen, honderdtallen,.. precies onder elkaar staan. Voorbeeld : Voorbeeld : 6,08 8,679 wordt 68,65 0,5 wordt ,080 8,679 7,0 7 68,65 0,50 67,95 Opgave Schrijf onder elkaar en trek af: 5,06,76 78,05 67,9 579,00,9 86,5 0,6 6,00 0,0 Opgave 86,08,00 0,869 0,00 809,68 0,0968,5 0,5 6,06 0,06 Basisboek 7 / 86

8 Decimalen getallen vermenigvuldigen ( PRODUKT) Voorbeeld :,7 x,8 wordt 8 7 x 876 rijtje van 7 (x 8) rijtje van 0 (x 8) 58656,8,7 x 58,656 cijfers achter de komma cijfer achter de komma cijfers achter de komma x Voorbeeld : 8, x 5, wordt 8 5 x 56 rijtje van (x 8) 00 + rijtje van 50 (x 8) , 5, x 56,66 cijfers achter de komma cijfer achter de komma cijfers achter de komma x Opgave 5 6, x,78 8,7 x 58,,6 x 7, 9,8 x,97 5,6 x 9,7 Opgave 6 0,7 x 0,68, x 0, 0, x,98 0,78 x 0, 0, x 0,68 Decimalen getallen delen ( QUOTIËNT) Voorbeeld 06,5 :, Uitwerking: 06,5 : 5, Schuif de komma bij beide getallen een gelijk aantal stappen naar rechts totdat het getal waardoor je deelt geen komma meer heeft (je vermenigvuldigt beide getallen telkens met 0 per plaats verschuiving). Eventueel dus één of meerdere nullen aan eerste getal toevoegen Kijk of de eerste drie getallen deelbaar zijn door ; Ja, want past keer in 06. Schrijf onder de 06 en schrijf de achter het is-teken. Het verschil tussen 06 en is 7, schrijf dit onder de op. aanhalen, dus de achter de rest 7 plaatsen. Kijk hoe vaak de past in de 7, dit is 5 keer, want 5 keer is 665. Schrijf de 665 op onder de 7. Het verschil tussen 7 en 665 is 66. Schrijf dit op onder de 665. Je passeert nu een komma voordat je de 5 kan aanhalen, dus in de uitkomst verschijnt nu ook een komm 5 aanhalen, dus de 5 achter de rest 66 plaatsen. 665 is deelbaar door, want 5 keer is 665. Schrijf de 5 op achter de komma van de uitkomst. Schrijf ook 665 op onder de 665 die er al ston Het verschil is nul geworden, dus de deling is klaar. Uitkomst is 5,5. Basisboek 8 / 86

9 Voorbeeld 750 :,5 Uitwerking: : Opgave 7, : 5,7 568, : 7,65,58 : 0,6 6,55 : 86,06 89,9 :,5 Opgave 8 7, : 5,6 6,8 : 0,98 0,68 :,65 77,5 : 5,5 68,7 : 0, Basisboek 9 / 86

10 . Rekenen met procenten Absolute verandering is een verandering in aantallen, een relatieve verandering is een verandering in procenten. Relatieve verandering Nieuw Oud x 00% Oud Procentberekeningen Gebeurtenis Vraag Berekening 5,8% van 5 Hoeveel is dat? 0,058 x 5,958 8 van 5 Hoeveel procent is dat 8 x00% 5,% 5 een toename van 60 naar 80 een afname van 80 naar 60 Hoeveel is de toename in procenten? Hoeveel procent is de afname in procenten? x00%,% x00% 5%, dus 80 een afname van 5% 60 neemt toe met 8% Hoeveel krijg je?,8 x 60 70,8 80 neemt af met 8% Hoeveel krijg je? 0,8 x 80 65,6 een toename met 8% geeft 80 Hoeveel had je? 80 67,8,8 een afname met 8% geeft 60 Hoeveel had je? Neemt het bedrag gedurende n jaar elk jaar met 5% toe, dan is 60 7, 0,8 NIEUW OUD x,05 x,05 x x,05 OUD x,05 n (dit zijn n factoren,05) Opgave De omzet is 5 miljoen euro. De winst is 7% van de omzet. Wat is de winst? De inkoop is 50. De winst is 57 (op de inkoop) Hoeveel procent winst is er? De omzet is 8 miljoen euro. Het verlies is % van de omzet. Wat is het verlies? De verkoopprijs is 0. De korting (op de verkoopprijs) is 5. Hoeveel procent korting heb je gekregen? De winst is % van de omzet en komt uit op 7,5 miljoen euro. Wat is de omzet? Basisboek 0 / 86

11 Opgave De korting is 9% van de verkoopprijs. De korting is 5. Wat is de verkoopprijs? De inkoopprijs is en de winst is 5. Hoeveel procent van de inkoopprijs is de winst? De verkoopprijs van de jas is 6. Je krijgt 'm voor 50. Hoeveel procent (van de verkoopprijs) korting heb je gekregen? In Ouddorp waren op januari inwoners. Op --99 waren het er 68. Hoeveel procent is de bevolking in de tijd toegenomen? Over 00 was de winst 7,5 miljoen euro. Over 00 was de winst 6 miljoen euro. Met hoeveel procent is de winst gedaald? Opgave In 00 kostte een jas 5,--; in 00 kost deze 65,--. Hoeveel procent prijsstijging is er geweest? Van een artikel is de inkoopprijs 9,65 en de verkoopprijs,0. Hoeveel procent winst is er gemaakt? De import vanuit België naar Nederland bedroeg in miljard euro. Van de Belgische export gaat % naar Nederlan Hoeveel was in 000 de totale Belgische export? Van de verkochte auto's in 00 was 6% een Citroën. In 00 werden er 56 Citroëns verkocht en de verkoop van Citroën was in 00 met % gedaal Hoeveel auto's werden er in 00 verkocht? Een artikel kostte inclusief 5% winst en 9% belasting 76,0. Wat kostte dat artikel zonder winst en belasting? Opgave Benzine kost zonder accijns 0, per liter. Inclusief kost het,07 Hoeveel procent is de accijns? % Van de Nederlandse beroepsbevolking verdient c per jaar, 8% verdient ca en de rest verdient modaal dit is circa Circa 5 miljoen mensen hebben een baan. Hoeveel verdienen alle mensen samen? Voor het Havo-examen wiskunde haalde in 00 8 % een voldoende Op het MFC waren dat 0 leerlingen. Hoeveel leerlingen deden in 00 mee aan het Havo-examen wiskunde? In 000 was het aantal inwoners in Oosterhout toegenomen met % tot een aantal van Hoeveel inwoners had Oosterhout in 999? Een kolonie apen is de afgelopen 0 jaar gegroeid met,% per jaar tot het aantal van 7. Hoeveel waren er 0 jaar eerder? Opgave 5 In Oudentange is het aantal inwoners de laatste 5 jaar jaarlijks gedaald met % tot een aantal van 579. Hoeveel inwoners waren er 5 jaar geleden? Als ik van huis naar school fiets en ik heb wind mee doe ik er minuten over. Op de terugweg heb ik tegenwind en doe ik er 8% langer over. Hoelang duurt de terugreis? De bierconsumptie in Nederland daalt van 5 liter naar 9 liter per persoon per jaar. Hoeveel procent is de afname? Een artikel kost in de winkel,5 inclusief 9 % BTW. De inkoopprijs stijgt 0,50. Hoeveel kost het artikel nu? In 00 zet ik 00 op een spaarrekening voor mijn kleinkin Ik krijg,% rente en in het begin van elk jaar zet ik er 50 bij. Hoeveel staat er begin 007 op de rekening? Basisboek / 86

12 Nu zonder rekenmachine! Opgave 6 Hoeveel is 50% van ½? Iemand verliest 5% van zijn geld en geeft van de rest weer 5% uit. Hij houdt 78,- over. Hoeveel had hij in het begin? Hoeveel is 8% van 50,-? Wat moet hier worden ingevuld? 6,50 is % van 00.- Appelflappen kosten,5 per stuk, maar neem je er vier, dan hoef je maar,95 te betalen. Hoeveel procent korting krijg je op deze manier per appelflap? En hoeveel procent korting op de vier appelflappen samen? Opgave 7 Bij een bushalte staan mensen te wachten. Een bus heeft 8 zitplaatsen en 6 staanplaatsen. Als 75% van het totaal aantal plaatsen bezet is, hoeveel mensen moeten dan op de volgende bus wachten? 5% van 7½% van 8,80 Van een krant worden er in een jaar exemplaren gedrukt. Het jaar daarop is dat aantal gestegen tot stuks. Is deze stijging meer of minder dan 0%? Je zet 5000,- op de bank tegen een rente van % per jaar. Hoeveel heb je na twee jaar op de bank staan, als je niets hebt opgenomen? Opgave 8 Hoeveel is ¼% van 60,-? Bij aankoop van een brillenmontuur geldt de leeftijd van de koper als kortingspercentag Een jongedame van 5 jaar hoeft nu maar 05,- te betalen voor haar montuur. Wat is de prijs van het montuur zonder korting? Zie Iemand hoeft voor een brillenmontuur van 50,- nu maar 60,- te betalen. Hoe oud is deze persoon? Deze week het tweede artikel voor de helft van de prijs. Hoeveel bedraagt de korting over beide artikelen?,50 is % van 900 Opgave is % van,50 Hoeveel procent korting krijg je bij een actie Alles voor de helft van de helft. 0,% van een bedrag is,-. Hoe groot is het hele bedrag? In de Mondriaanstraat verkeren 5 van de 5 woningen in slechte staat. In de Jan Steenlaan zijn dat er van de 60. In welke straat verkeert, procentueel gezien, het grootste aantal huizen in slechte staat? Een computer kost 550,- exclusief BTW (9%). Wat kost de computer inclusief BTW? Opgave 0 Een stad heeft aan het begin van het jaar inwoners. Men verwacht aan het eind van het jaar inwoners te hebben. Met hoeveel procent verwacht men dat het aantal inwoners toeneemt? Na een huurverhoging van 5% moet ik per jaar 780,- aan huur betalen. Wat was mijn maandelijkse huur voor de verhoging? Op mijn aanvangssalaris kreeg ik begin dit jaar een salarisverhoging van,5%. Helaas weet ik nu al dat er volgend jaar weer,5% van mijn huidige salaris afgaat. Zit ik nu weer op mijn aanvangsalaris, heb ik juist nog minder, of toch nog iets meer? Hoeveel is % van,-? Een tweedehands auto wordt afgeprijst van 98,- voor 99,-. Hoeveel procent korting is er ongeveer gegeven? Basisboek / 86

13 Opgave Je hebt een bedrag van 500,- dat je op een spaarrekening wilt zetten. Je vraagt van twee banken het rentepercentage op. De ene bank biedt een spaarrekening aan met een rentepercentage van 6,75%. De andere bank hanteert een percentage van 7%. Hoeveel heb je na een jaar méér als je kiest voor 7% in plaats van 6,75%? Bij een politiecontrole worden meer dan 00 bromfietsers gecontroleer op de 8 hielden zich niet aan de toegestane snelhei Zij kregen een bekeuring. Hoeveel procent reed te hard? Volgens prognoses van de VN zal in 050 de wereldbevolking zijn toegenomen van de huidige 6, miljard tot 8,9 miljar Dat is een stijging van net geen 50%. Klopt deze bewering? Annemarie zegt: Als het aantal leerlingen met 0% is toegenomen tot 760, dan waren er eerst dus 58. Welke fout maakt Annemarie? Wat was wel het oorspronkelijk aantal leerlingen? Hoeveel is 5% van 0? Opgave Als je deze week bij de supermarkt op het pleintje vier pakjes kauwgom koopt, krijg je er gratis een vijfde bij. Hoeveel procent korting krijg je met deze actie? Zelfs van een dorstige kameel bestaat 8% van zijn gewicht uit water. Nadat hij zijn dorst gelest heeft weegt hij 800 kg. Dit bestaat voor 85% uit water. Hoeveel woog de kameel voor hij begon met drinken? 67 kg. 680 kg. 75 kg. 70 kg. 750 kg. Een emmer, voor de helft gevuld met water, weegt 0 kilo. Als de emmer helemaal gevuld wordt is het gewicht toegenomen met 80%. Hoeveel procent is het gewicht van de emmer zelf, ten opzichte van het water als de emmer helemaal vol is? Jip maakt een lange reis. De eerste dag legt hij deel van de totale afstand af. De tweede 5 dag legt hij 0% van de totale afstand af. De derde dag rust hij uit. Van de overgebleven afstand legt hij de vierde dag deel af. Hoeveel procent van de totale afstand moet Jip nu 5 nog afleggen? Wat is meer? % van 0 of 5% van 0? Opgave Wat is meer? % van,50 of 86% van 76? Als je een wiskundeproefwerk mag herkansen en je gaat van een 5,0 naar een 7,5, dan kun je zeggen dat je je score met 5% verbeterd hebt. Maar wat betekent het als men adverteert voor een wasmiddel met: Nu 5% verbeterd!? Wat is meer: de helft van een derde van een vierde van 8 uur, of 75% van een uur? Bij Anton Wachter op school heeft 50% van de leerlingen een fiets. 0% van de leerlingen die een fiets hebben, hebben ook skeelers. Hoeveel procent van de leerlingen van deze school hebben een fiets èn skeelers? In een vat zit 6 liter wijn. We vervangen 6 liter uit het vat door 6 liter water en mengen het geheel goe Wederom vervangen we 6 liter uit het vat door 6 liter water en mengen het geheel goe Vervolgens schenken we een onszelf een glas in uit het vat. Hoeveel procent van de inhoud van het glas bestaat uit de oorspronkelijke wijn? Opgave Hielke heeft 00 knikkers. 50% is blauw, 5% is rood, 6 % is groen. De rest is wit. Hoeveel witte knikkers heeft Hielke? Van een kubus worden alle ribben 50% verklein Met hoeveel procent vermindert hierdoor de inhoud van de kubus? In 000 had de vereniging van mensen met een angst voor procentsommen een behoorlijk aantal leden. In 00 nam het ledenaantal toe met 5%. In 00 kwamen er zoveel leden bij dat de vereniging met 50% groeid In 00 steeg het aantal weer met met 0%, maar in 00 nam het aantal af met 0% tot een aantal van 975. Hoeveel leden had de vereniging in 000? In een CD-winkel hebben twee CD's dezelfde prijs. Eén van de CD s wordt 5% goedkoper, de andere wordt 5% duurder. Daardoor gaan ze 6 euro in prijsverschillen. Hoeveel euro gaat de duurste CD kosten? Een bedrag neemt toe van 80 tot 00. Met hoeveel procent is het bedrag toegenomen? Basisboek / 86

14 Opgave 5 66 % van 9, - is? Op een zak aardappelen staat: Nu 0% extra, inhoud kg. Hoeveel zat er in de zak voor deze aanbieding? Een tandpasta is afgeprijsd van,50 voor,69. Hoeveel procent korting is er gegeven? Deze week wordt bij de supermarkt op een pak koffie 5% korting gegeven. Normaal kost een pak,5. Hoeveel kost een pak koffie nu? Rond de prijs op eurocenten nauwkeurig af. Op de markt voert een marktkoopman een prijzenactie: halen betalen! Hoeveel procent korting krijg je als je vijf producten koopt? Basisboek / 86

15 . Rekenen met breuken Hier wordt het werken met niet decimale breuken bekeken. Breuken als en, let op : ½ betekent + ½. 7 We gaan de volgende bewerkingen met breuken oefenen. Herleiden: zowel kleinere als grotere noemer maken. Van decimaal getal naar breuk. Optellen van breuken Aftrekken van breuken Vermenigvuldigen van breuken Delen van breuken Rekenregels toepassen op breuken; volgorde van bewerkingen. Gemengde opgaven Bij elk onderdeel staan steeds twee voorbeelden (met soms wat extra tussenstappen en /of opmerkingen) en dan komen er opgaven om zelf te oefenen. Herleiden/vereenvoudigen van breuken: Voorbeeld : De vraag 6 geeft 6 Uitwerking: deel teller en noemer door een zo groot mogelijk geheel getal, in dit geval 6. (Haal als het kan de helen er altijd uit!) Voorbeeld : De vraag? geeft, dus het?. 7 7 Uitwerking: : 7 6, dus de noemer is met 6 vermenigvuldigd, dan de teller ook met 6 vermenigvuldigen. keer 6 geeft. Je kan ook een kruisproduct (kruislings vermenigvuldigen) uitvoeren om de oplossing te vinden: ( ) : 7. Herleid de volgende opgaven. Opgave Opgave Basisboek 5 / 86

16 Opgave Opgave Opgave Opgave Van decimaal getal naar breuk en omgekeerd: Een decimaal getal is te schrijven als een breuk en andersom. In deze paragraaf oefenen we dit. Voorbeeld, van decimaal getal naar breuk: 7, (altijd herleiden als dat mogelijk is!) Voorbeeld, van breuk naar decimaal getal: 8 6,6 (altijd de breuk herleiden naar een noemer met 0, 00, 000, ) Opgave 7 Schrijf van decimaal getal naar breuk 6, 0,0 0,0,090,8 Opgave 8 Schrijf van decimaal getal naar breuk, 6,6 00,68,76 8,7 Basisboek 6 / 86

17 Opgave 9 Schrijf van breuk naar decimaal getal 5 Opgave 0 Schrijf van breuk naar decimaal getal a c a+ c Optellen van breuken: + b b b Vaak moeten eerst de breuken gelijknamig worden gemaakt. vb ( + ) + (5 + ) (altijd herleiden als dat mogelijk is!) , (gebruik 7 keer 9 is 6 voor het vinden van de gemeenschappelijke noemer gelijknamig maken) of eerst de helen wegwerken (met + + ), (een andere manier) Opgave Opgave ( ) Basisboek 7 / 86

18 Opgave Opgave ( ) Aftrekken van breuken: a c a c b b b Voorbeeld : 7 5 (altijd herleiden als dat mogelijk is!) Voorbeeld : , of eerst de helen wegwerken (wat wel verstandiger is): Voorbeeld : 5 ( + ) ( + ) (een andere manier) Opgave Opgave 6 ( ) Basisboek 8 / 86

19 Opgave Opgave 8 ( ) Vermenigvuldigen van breuken: a c ac b d bd v ( + ) 8 9 9, dus niet de noemer vermenigvuldigen teller teller, dus noemer noemer Opgave Opgave ( ) Opgave ( ) 7 Opgave Basisboek 9 / 86

20 Delen van breuken: a : c a d ad b d b c bc Algemeen: delen door een getal/breuk is vermenigvuldigen met de omgekeerde v : : 7: 7 : :, dus niet de noemer delen door! : :, We gebruiken: delen door een breuk 7 is vermenigvuldigen met het omgekeerde van de breuk 7 9! Opgave : :6 : 5 : 7 8 : 5 Opgave 7: 5 :( 8 ) : : 5 5 : Opgave 5 : 5 5 : : 7 7 : 7 5 : 6 5 Opgave 6 5: 7 :( ) 8 : 5 : : 7 7 Basisboek 0 / 86

21 Toepassen van rekenregels bij breuken: Denk aan de rekenregels (volgorderegels): Haakjes Machten en wortels Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts Optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeeld : Voorbeeld : Opgave 7 + : + : 6 : 6 + : 5 0 : 5 : Opgave 8 : + : (6 : ) ( ) (+ ) 5 ( ): : + (5: ) ( ) 5 5 Opgave 9 + : 5 + : 6 : + 6 : 5 7 : : Opgave 0 : + : 5 ( : ) ( ) + : 9 7 (+ ) 5 ( ): 7 9 : 5 + (: ) 7 ( ) Basisboek / 86

22 Gemengde opgaven: Opgave :(7+ ) 7 8 Opgave + : : 5 6 ( + ) :( ) 5 6? + : 6 Basisboek / 86

23 5. Eenheden We gaan oefenen met het omrekenen van eenheden. ) Lengte (km hm dam m dm cm mm) Voorbeeld : 5 dm km. 5 dm,5 m,5 dam,5 hm,5 km. Voorbeeld : 0,65 dam mm. 0,65 dam 6,5 m 65, dm 65, cm 65 mm. Let op het verschil tussen komma s voor decimale getallen en punten voor duizendtallen Opgave, km. m.00 mm m 0,000 hm dm.009 cm km m hm Opgave, km cm 0,005 dam mm,00 dm cm 9,65 hm m 0, m... mm Opgave,5 dm km km mm 7.50 mm km, m dm 65, dam km Opgave 7, dm... hm 0,5 m... km 56,8 mm dam dam hm 97, cm m ) Oppervlakte (km hm dam m dm cm mm ) (Verder geldt: ha hm en are dam ) Voorbeeld : 0 mm m. 0 mm, cm 0,0 dm 0,000 m (,x0 - m ). Voorbeeld : 0,05 ha... m. 0,05 ha ( hm ),5 are ( dam ),5 m (,5x0 m ). Opgave 5,0 cm are 0,0 km... m 9800 dm cm 9800 dm m,x0 8 m km Opgave 7,7 km dam 0,0 dm cm 0,00 hm... dm km mm 0,05 dam mm Opgave 6, ha dm 0,0 dm... mm,x0-8 hm mm,5x0 6 cm... are 9,68x0-7 ha x0 - m (pas op!) Opgave 8 7 mm m 0, hectare km cm hm 500 dm are mm km Basisboek / 86

24 ) Inhoud (km hm dam m dm cm mm ) kl hl dal liter dl cl ml Voorbeeld : 0,0 dam dal 0,0 dam m kl 0 hl 00 dal (,x0 dal) Voorbeeld : x0 7 dl hm x0 7 dl x0 6 lit x0 6 dm x0 m x0 0 dam x0 - hm,x0 - hm ( 0,0 hm ) Opgave 9, km dl 8,7x0 ml m 967, cl kl,7 hl mm 0,00 cm lit Opgave,0 kl mm 0,00009 hm dal,65 lit dm 0, dl... ml 0,5 m dl Opgave 0,5x0 cm hl,85x0 - km dl 00 ml kl 8,x0 - cl m,5x0 7 dal x0 dam (pas op!) Opgave ml m dal dam 0,98 lit kl 00 cm lit hl km ) Formules met eenheden herleiden Voorbeeld : m m/sec m m a sec, is in de natuurkunde de versnelling. sec sec sec sec sec Voorbeeld : kg A kg m kg m V : sec m sec A sec A, is in de natuurkunde de spanning Volt. Opgave Herleid Herleid lit m m sec kg m : sec sec m Herleid m kg s m : kg Herleid f F l l E I tot f Herleid Q I R t I t tot Q Basisboek / 86

25 6. Rekenen met machten Machten Getallen kunnen een of meerdere keren met zichzelf worden vermenigvuldig Zo is : x 6 x x 6 Als je nu tien keer met zichzelf wil vermenigvuldigen krijg je: x x x x x x x x x Dit is nog al een bewerking om op te schrijven, dit kan daarom eenvoudiger met zogeheten machten: x x x x x x x x x 0 uitgesproken vier tot de tiende (macht). Deze bewerking is niet alleen uit te voeren met getallen maar ook met letters. Deze worden bijvoorbeeld gebruikt in kwadratische of hogere machtfuncties. Overigens wordt x, uitgesproken als vier kwadraat. Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave ( 9) ( ) Opgave Opgave 6 5 / 5 8 / 6 5 / / Opgave / Basisboek 5 / 86

26 7. Rekenen met wortels Wortels Het is ook mogelijk om bij getallen te onderzoeken uit welke dezelfde getallen deze is opgebouwd, bijv.: 6 x ( ) 6 x x ( ) Deze bewerking kan worden gedaan via het begrip wortel ( ). Dit ziet er als volgt uit: 6, is hierbij het getal dat met zichzelf wordt vermenigvuldigd om 6 te krijgen (dit wordt wortel uit 6 genoemd). 6, is hierbij het getal dat tweemaal met wordt vermenigvuldigd om 6 te krijgen. De drie boven het wortelteken geeft aan dat er gezocht wordt naar het getal dat drie keer vermenigvuldigd is met zichzelf (dit wordt derdemachtswortel uit 6 genoemd). Als er geen geheel getal bestaat dat een of meerdere malen met zichzelf wordt vermenigvuldigd om het getal te krijgen dat onder het wortelteken staat, dan kan men het getal herleiden naar de getallen waaruit het is opgebouwd: 6 (xx7) 7 Uitleg: Het getal onder het wortel teken wordt gedeeld door de mogelijke priemgetallen te beginnen bij en moet weer een geheel getal opleveren tot het getal overblijft, dus: 6/, kan niet 6/ / 7 7/, kan niet 7/5, kan niet 7/7 Het getal 6 is dus te herschrijven als xx7. Dit betekent dat buiten het wortelteken kan omdat het tweemaal voorkomt, 7 blijft staan Als het getal niet herleid kan worden dan blijven twee opties over: het getal met wortelteken laten staan ( 7 7) met behulp van de rekenmachine benaderen ( ) De tweede optie kan ook toegepast worden bij hogere machtswortels. In het geval dat er breuken binnen het wortelteken staan kun je teller en noemer apart bekijken: (9/5) /5 Opgave Opgave Basisboek 6 / 86

27 Opgave Opgave 5 0,000,96 6,5 0,006 0,089 Opgave 7 5 x 8 96 x 6 / 6 6 x 5 / 5 Opgave 0,6 0,6 0,9 0,0, Opgave Opgave 8 0,09 + 0,6 0, ,5, - 0,6 0,6-0,05 0,8 +,96 Opgave 9 0,5 x 0,0 0,8 x 0,006 0,6 / 0,09 0,0 x 0,9,5 / 0,5 a is het getal dat in het kwadraat a geeft. v 6 want 6 want 9 9 Veel wortels zijn alleen te benaderen tot een decimaal getal, daarvoor gebruiken we onze rekenmachin Het is gebruikelijk in de wiskunde om de wortels vereenvoudigd te laten staan in het antwoord, als er niet naar een benadering wordt gevraag Voor het werken met wortels zijn wat regels afgelei Optellen en aftrekken van wortels: Alleen gelijksoortige wortels kunnen worden samen genomen tot één wortel (zie gelijksoortige termen) v dit kan je niet eenvoudiger schrijven Basisboek 7 / 86

28 Opgave Opgave Vermenigvuldigen van wortels: a b ab v Opgave Opgave Opgave ( 7) ( ) (5 5) ( ) (5 ) Delen van wortels: v 8 9 a b a b Opgave Opgave Basisboek 8 / 86

29 Vereenvoudigen van wortels: Als er een wortel in het antwoord voorkomt en er wordt niet gevraagd naar een benadering, is het gebruikelijk de wortels zover mogelijk te vereenvoudigen. Dit betekent dat je zoveel mogelijk kwadraten buiten de wortel brengt. v Opgave Opgave Basisboek 9 / 86

30 8. Redactiesommen Zonder rekenmachine! Opgave Drie broers, Ron, Rick en Roger, moeten.700,- zo verdelen dat Ron 600,- meer krijgt dan Rick en Rick 500,- meer krijgt dan Roger. Hoeveel krijgt elk? In een regenton kan hl. Water. Hoeveel volle emmers van liter kan ik er uitscheppen, als de ton voor deel gevuld is? De oppervlakte van de vloer van onze kamer is het 8 deel van de oppervlakte van vloer in de klas. De oppervlakte van de vloer in de klas is 0 m groter. Hoe groot is de oppervlakte van de vloer van onze kamer? En wat is de oppervlakte van de vloer in de klas? Wat is voordeliger: 0.- per maand of 5,- per week? Verdeel 00 schriften in de verhouding : :. Opgave Twee bedragen verhouden zich als : 7. Het grootste bedrag is 800,-. Wat is het andere bedrag? Hoeveel flessen van 0,8 liter kunnen gevuld worden met liter water? Deel de som van 5 en door het verschil van 6 en. Gisteren duurde de nacht 8 uur en minuten langer dan de dag. Hoe lang duurde gisteren de dag? Wat is de wortel uit het verschil tussen 5 in het kwadraat en in het kwadraat? Opgave Een leerling heeft voor zes proefwerken gemiddeld een 7. Er is één bij en geen 9 of 0. De proefwerkcijfers zijn gehele getallen. Hoeveel achten heeft de leerling ten minste gehaald? Kan er ook een vijf bij de punten zitten? Tijdens de sportdag is er grote belangstelling voor de touwtrekwedstrijd tussen twee grote tweelingbroers en drie meisjes aan de ene kant van het touw en jongens en een meisje aan de andere kant. Tijdens voorgaande wedstrijden is gebleken dat: jongens even sterk zijn als 5 meisjes. meisjes en jongen even sterk zijn als de tweelingbroers. Wie gaat er winnen bij de bovengenoemde wedstrijd? Hoeveel kost 850 gram noten van,- per kilo? Heb jij al miljard seconden geleefd? In een pizzeria krijgt een groep van negen kinderen vijf pizza s voorgezet. Aan een andere tafel zitten elf kinderen met zeven pizza s voor zich. In welke groep krijgen de kinderen het grootste stuk pizza? Opgave Vul op de puntjes hieronder één cijfer in, zó dat de opgave klopt:. 88. :.. Vul de goede maat in: De oppervlakte van een voetbalveld is ongeveer Deze jongeman weegt Een jachtluipaard kan wel per uur lopen. Ons moestuintje in de achtertuin is 500 groot. In de benzinetank van een grote auto gaat ongeveer benzin Schrijf de breuk 7 9 als decimaal getal. Rond af op decimalen. Van welk getal is de helft even groot als het dubbele van 5? Van welke getal is het dubbele even groot als de helft van 6? Basisboek 0 / 86

31 Opgave 5 Van welk getal is de helft even groot als de helft van,596? Hoeveel is 6,5 meer dan 6? Wat is het kleinste achtvoud boven de 00? Op een stuk snelweg is de maximumsnelheid 00 km/u. De politie volgt een auto en voert een trajectmeting uit. Over een afstand van precies kilometer doet de auto minuut en 0 seconden. Heeft deze auto te hard gereden? Vul op de stippeltjes +,, of : in zó, dat de volgende som klopt: (650 6) 6 6 Opgave 6 Welk getal ligt even ver van 7 als van 7 af? Voor het maken van 6 maïskoeken heb je nodig: 70 gram bakmeel 00 gram maïskorrels kopje geraspte kokos eieren eetlepel boter Wat heb ik aan ingrediënten nodig voor het maken van 5 maïskoeken? Hieronder zie je de aanbiedingen van vier groenteboeren. Zet ze op volgorde, de goedkoopste voorop. Verse aardappelen: 5 kilo voor slechts,50 Aardappelen: 7500 gram voor maar 5,50!! Aardappelen:,5 kilogram voor,75 (op op) Mooie aardappelen: 0 kilootjes voor meeneemprijs ( 7,50). Je hebt de cijfers,, 5 en 6. Daarmee ga je een vermenigvuldigopgave maken van twee getallen. Ieder cijfer moet je één keer gebruiken, bijvoorbeeld 56 of 6 5. Wat is de vermenigvuldigopgave met de kleinst mogelijke uitkomst? En met de grootste uitkomst? Maak met de cijfers,,, 5, 6 en 7 twee hele getallen die samen 80 zijn. Gebruik daarbij ieder cijfer precies één keer. Opgave 7 Bereken (nog steeds zonder rekenmachine!): (,8,5) + (8,8) Zeven vrienden storten samen een bedrag voor een goed doel. Ieder stort evenveel. Het totaalbedrag is een getal van vijf cijfers:.?5,-. Zoals je ziet is het opéénnalaatste cijfer weggevallen. Welk cijfer moet op de plaats van het vraagteken komen? Fransje heeft voor zijn verjaardag het boek Okki gaat verhuizen gekregen. In de eerste week leest hij de helft van het boek. Van de andere helft leest hij in de week daarna een derde deel. Welk deel van het boek moet hij nu nog lezen? Welk getal ligt het verst af van 8? 0,7 0, 0,65 Waar of niet waar? 0,7 > 5 0, > 7 <,0 9 <,5 6 Basisboek / 86

32 Opgave 8 Twee getallen zijn met elkaar vermenigvuldigd 76 en bij elkaar opgeteld 7. Welke getallen zijn dit? Ruben heeft een rechthoekige tuin van 9 meter bij 7 meter. Hij wil de hele tuin 5 cm ophogen. Hoeveel kubieke meter grond heeft hij daarvoor nodig? Zet in volgorde van klein naar groot: 6 0, 0, Een hardloopster sprint de 00 meter in 5 seconden. Wat is haar gemiddelde snelheid? Er zijn twee breuken die precies 5 verschillen van. Welke twee breuken zijn dat? Opgave 9 Voor een kinderfeestje maakte ik limonad Ik gebruikte 6 liter siroop op liter water. Omdat het veel drukker werd dan ik had verwacht moest ik nog 6 liter limonade (siroop met water) bijmaken. Hoeveel liter siroop had ik daarvoor nodig, als de limonade even zoet moest zijn? Jozef heeft voor zijn zoon een zandbak gemaakt. De bodem van de zandbak heeft een oppervlakte van m. Jozef wil de zandbak vullen met een laag van 0 cm zan Hoeveel liter zand moet hij hiervoor kopen? We gooien met drie dobbelstenen en tellen de ogen op. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk? Een digitale klok toont de uren van 00 t/m en de minuten van 00 t/m 59. Op sommige tijdstippen kun je dezelfde tijd zowel van voor naar achter als van achter naar voor lezen, zoals bijvoorbeeld: :. Hoeveel van deze tijdstippen zijn er? Arie, Bert, Caroline, Dirk, Els en Ferdy staan op een rij. Dirk staat ergens tussen Els en Ferdy, Caroline ergens tussen Dirk en Els, Bert ergens tussen Caroline en Dirk, Arie ergens tussen Bert en Carolin Welke bewering is waar? - Arie staat helemaal links of helemaal rechts in de rij. - Arie is de tweede van links of de tweede van rechts. - Arie is de derde van links of de derde van rechts. - Deze opstelling is onmogelijk. - Deze opstelling kan wel, maar je kunt de plaats van Arie niet weten. Opgave 0 Casper wil 00 chocolaatjes kopen. Ze kosten 0 cent per stuk. Bij de kassa ziet hij pas de aanbieding: 7 chocolaatjes halen, 6 betalen. Casper had 0 bij zich. Hoeveel geld hield hij hiervan over? Erik heeft 7 jongens meer als klasgenoot dan meisjes. In zijn klas zijn er ook twee keer zoveel jongens als meisjes. In deze klas zit ook Jannek Hoeveel meisjes heeft zij als klasgenoot? Een vader vertelt: Als ik de leeftijden van mijn kinderen met elkaar vermenigvuldig, dan is de uitkomst 66. De jongste is half zo oud als de oudst Hoeveel kinderen heeft deze vader? 5 6 Er zijn positieve gehele getallen waarvan de som van de cijfers gelijk is aan 00. Met welk cijfer begint het kleinste van deze getallen? 5 Een voetbal is gemaakt van zwarte vijfhoeken en witte zeshoeken. Aan elke zijde van een vijfhoek komt een zeshoek. Aan drie van de zijden van elke zeshoek komt weer een zeshoek, aan de drie andere zijden komt een vijfhoek. De bal heeft twaalf vijfhoeken. Hoeveel zeshoeken heeft de bal? Basisboek / 86

33 9. Gelijksoortige termen samennemen Inleiding Je weet Met letters gaat dat net zo p + p + p + p + p 5 p. Dit laatste antwoord kunnen we ook schrijven als 5 p of kortweg 5p. Zo is ab het product van de factoren, a en Verder is ab alleen uit te rekenen als je voor a en b getallen invult. Voor a en voor b krijg je het antwoord (controleer dit!). Voor a kun je schrijven 8 We zeggen dat a te herleiden (eenvoudiger opschrijven) is tot 8 Zo is 6q p te herleiden tot pq. Bij het herleiden van producten vermenigvuldig je de getallen en zet ze voorop, zet je de letters in alfabetische volgorde en laat je alle maaltekens weg. Dus: r t 5s 0rst. Opgave 6x 9t 8a 7b 7d c 5k 9m 7y z x Opgave 0,c a 5b 5f h g 0,5ad 8b x,5y,5z q r 5s Let op: met a bedoelen we eigenlijk a. Gelijksoortige termen Van de som a + a zijn a en a de termen. In deze termen komt dezelfde letter voor. Zulke termen heten gelijksoortige termen. Ook ab + ab heten gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen kun je bij elkaar optellen: a + a a + a + a + a + a 5a ab + ab ab + ab + ab ab Niet gelijksoortige termen kun je niet bij elkaar optellen. Dus de som van x + 5y is niet korter op te schrijven. Evenzo zijn 7ac + 6bc en 9p + niet korter op te schrijven, want zowel 7ac en 6bc als 9p en zijn niet gelijksoortig. Opgave 5a + a x + 7x p + p + q x + x + 6y + 5y 8q q + 5q + Opgave bc + 5ac + bc + 7ac + ab pqr + pr + pq +7pr + pqr xy + xy + xy + yx + yx ab + ba + 7ab + ac + ac 7xyz + xy + 6xz +zxy + xy Gelijksoortige termen kun je ook samennemen als er mintekens voorkomen. Zo is: 7a a a want 7 b + 6b b want + 6 x x 5x want 5 8p p 9p want 8 9. Let op: met p bedoelen we p. Opgave 5 6p p a + 5a c c ab ab a + 8b 6a b Opgave 6 6p 7q 8q 9p pq 5pr + qr + pq pr 5a + ab 7a + a 8ab def de + 6ed 8fed 5x + 5y xy y + 5yx Basisboek / 86

34 Opgave 7 p 8q ( 6p) + 5p q x ( x) + ( 7y) 5y x 8a b (7a + b) a 8m + 7 ( m) + m a b 9a ( b) + 8a Opgave 9 a + 8b 6a b p 5q 8p + q x + 5y x 7y 8m 6n n + m 7c 9d + 6c + 8d Opgave 8 x + (5y x) (x 7y) xy + 9xz ( 5xy + xz) yz 6abc + b abc + 5a b 5xy (y 6xy) + ( x) y (5k ) ( + 7k) k Opgave 0 x 7x 6y + y 8a b 9b 6 7q + 8q + p x + 6y 5x 6y 9a 5a b + b Opgave 8a b (7a + b) a x (5y x) ( y) + y (7p + q) + ( p) 5p 8m + 7 ( m) + c c ( 5b + c) (b c) Opgave 5q + 8p ( 7q p) + ( q) 7 5z (z + 8) + ( z) x (5y x) (x + 7y) a 5b + ( c + a) (b 5c) + b ( 5c + a) (x + y) + 5y ( 8z + 7x 5y) z + x y Opgave a b + 5b 5a 7p q p ( q) 6x y + x y 8m 5n 0m n 7p 5 8p Opgave 6q r 5r q x y 7x 5y a 5b + ( 7a) b 5ab ( ) 7a ( b) 6 5p ( q) r r q 8p Basisboek / 86

35 0. Substitueren Op de plaats van letters in formules kun je getallen invullen. Je vervangt dan een letter door een getal, maar als eenzelfde letter meer dan één keer in de formule voorkomt, dan moet daarvoor wel op alle plaatsen hetzelfde getal worden ingevul Dit vervangen van letters door getallen noemen we substitueren. Als je in xy + x de x voor 7 en de y door 5 vervangt, dan krijg je Maar neem je x en y 0, dan krijg je v Substitueer a door 5, b door 7 en c door en bereken: a+ bc abc (a + b)c (5 + 7) 8 a(b c) 5(7 ) 5 (7 + ) 5 55 ab ac ab c ab ac 5 0 Opgave Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. a + b 6c 5a ab c ab : c ac : (b + ) Opgave Substitueer in de volgende opgaven x, y en z. y (x + z) xz : y 6x : z + 5y y 5z : x + x 7xy : (z y) + x Opgave Substitueer in de volgende opgaven k, l en m 5. (k + 6l) : m 6+ kl m (6k m) kl l (5m + k) lm 6lm k + km : l Opgave Substitueer in de volgende opgaven p, q en r. p q pq pqr + 5r qr p 6pr + 5q pqr pq Basisboek 5 / 86

36 Opgave 5 Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. 6a : c 5ab (ab bc ) : 5a 5b c : (a + b c) 9ac a bc : ab 7b c : (ab + 5bc) Opgave 6 Substitueer in de volgende opgaven a, b en c. (5c ab) : (a b) abc b c + 5a ac a b 7 5b c + ac (a b) (c ab) c : a + 9b ac Opgave 7 Substitueer in de volgende opgaven x, y en z. x yz 6x z x y yz + x y y z 6x y x x 9y 5xyz + x y z + 7xy 7z 5xy x + y Een belangrijke toepassing waarbij substitueren een grote rol speelt is de wortelformule (abcformule): x,. Met de wortelformule kun je de oplossingen van kwadratische b± b ac a vergelijkingen van de vorm ax + bx c 0 vinden. Bepaal bij de volgende opgaven m.v. de wortelformule de oplossingen van de vergelijking Opgave 8 Opgave 9 x x+ 0 x x x x 8 0 6x x 7 x 00 0 x x+ 8 x+ 8 x + x 0 x x 5 + x 0x 0 x + x Opg ave 0 x x 0 x + x + 0 5x x 5 x x + x x + x + 0 x x + Basisboek 6 / 86

37 . Machten met letters Een macht is een kortere schrijfwijze voor een herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde factoren. v a a a a ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) (x + y) (x + y) (x + y) Let op het verschil tussen 9 en ( ) ( ) ( ) 9 Voor het rekenen met machten bestaan de volgende regels Optellen en aftrekken van machten: x en 6x zijn gelijksoortige termen en daarom kunnen we ze bij elkaar optellen (of van elkaar aftrekken). Ook x en 7x zijn gelijksoortige termen. We kunnen deze dus ook bij elkaar optellen. We krijgen dan: x + 7x 9x. Op een soortgelijke manier kunnen we verder gaan met x, x, x 5, x 6,. Net zo min als en a gelijksoortige termen zijn, zijn a en a dat ook niet. We kunnen ze dus niet bij elkaar optellen (of van elkaar aftrekken). Ook kunnen we 5 + 7b, c + 7c, y + y, enz. niet bij elkaar optellen. Dus alleen gelijksoortige machten kunnen samen worden genomen (zie gelijksoortige termen) v x + 9x x 6x 8x kan je niet korter schrijven Opgave a 7 + 8a 7 p p a 6 + 5a 5 b + b z 0z Opgave x 0y 7 + 5y 7 y c 7c 5 5c 5 + c x 5 + x 7x 5 + x x 5 + d d + 6d d Vermenigvuldigen van machten: Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op. v 7 a a (a a a) (a a a a) a 6 x x ( x x) ( x x x x) x x x x x x 6x 5 b b ( b b b b) ( b) b b b b b b + 6 r r + r r We kunnen de volgorde waarin we vermenigvuldigen zelf bepalen. Net zoals het niet uitmaakt of je 5 of 5 doet. De haakjes mag je in de tussenantwoorden natuurlijk weglaten. v x x x x x (bij het rekenen met machten is x x) 9x y xy 7x y Opgave 7x x 0 5 5y 0y 8 8a a 9 x 6x x 8m m m Opgave 6 5b m 0bm p q 6p q 6 5axy a x y a x 5 p q q r p k m n km n 5km Basisboek 7 / 86

38 Delen van machten: Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten van elkaar af. 5 x x/ x/ x/ x x x x 5 v x ( x ) x x/ x/ x/ a :a a a a 7 7 p : p p p 9q q 5 5 q q x y xy x y xy 5 5 6x y 6 x y x y x y x y xy 5 9xy y Opgave 5 6 c :c 6 0q : q 8 y : 7y 5 a b : ab 5 0p q 0q Opgave 6 6x y x y 7 5a b 5ab 5 6a p x 8a p p q r : p q x y z : 7x y z Macht van een macht: Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten, v 6 (a ) a a a (a a) (a a) (a a) a ( a ) (a ) 5a 5a (x ) 6x 6x ( x ) x Opgave 7 8 (a ) (q ) 6 (x ) 7 0 (b ) (x ) + (x ) Opgave 8 (y ) (y) (p ) + p 5(p ) (a ) + 5(a ) (a ) 5 0 (p ) (p ) 6 (q ) + (q ) (q ) Basisboek 8 / 86

39 Macht van een product: Bij de macht van een product neem je van elke factor die macht v ( x ) ( x ) ( ) (x ) x x x x x x x ( x ) (x y) (x y) (x y) (x y) (x y) 8 x x x x y y y y x y x y ( x y ) (x ) (x ) (x ) (x ) x x x x x x 6 x x x x x x 7x ( x ) ( q ) ( ) (q ) 8q 8q ( 5x y ) ( 5) (x ) (y ) 5x y 5x y (ab ) ( a b ) a b ( ) x x 8x ( ) ( ) x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( pq ) 6 6 x y x y x y 6 6 a a 7a a 8a 5p q 5p q 5p 6 pq q Opgave 9 5 (k m ) 5 ( p ) 6 (x ) 5 (c d ) ( a p ) Opgave 0 7 (s t ) ( xyz ) 5 ( a b c ) 5 0 ( a p ) + (a p) ( p q r ) (pq r ) Rekenregels voor machten: p q p+ q a a a p P q a p q q a :a a a p q pq (a ) a (ab) p p q a b Gemengde opgaven Opgave 5 a 6ab : 9a b 7 (5p q : 5pq ) : pq xy :x xy 5 6 6m n : (m n : mn ) 0 5 8c d : (0c d : 5d ) Opgave 7 7 p q 0pq : 8p q 7 0k m : k 5km 0 6 (56a b : 7a b) : a b 6 (5pq:5pq)pq 7pq x z : (0x z : x z ) x z Basisboek 9 / 86

40 Opgave 0 6 5x y 5 5 5x y 6 0p q 6 p q 6a b a 5 p y 5 8p y 7 5 6y z 6 y z Opgave 5 6 ( a b ) + (a b ) (xy ) + x y 5 0 ( x y ) (xy) (x y ) + x y 6 5x y 8 ( x z ) + ( x z ) (5p q ) ( p q ) Opgave (k m ) ( k m ) 5 ( x y ) ( x y) 7 5 (p q ) : ( pq ) 5 7 (a b ) (a b) ( m n ) :( m n ) Opgave 9 5 bp :6bp+ 9bp 5 a c (9a c 5a c) 5 5 (mx 0mx):7mx 6 7q y 5 qy 8q y 6 5a b a b : 0a b Opgave (cy ) + 5c cy 9c y 6 6 ( a b ) ( a b ) + a b 6 (xyz) + (xyz) 8xyz 5 6 (xy ) x y : x y + xy 5 abc :abc 8abc :(abc ) Opgave (a b ) 5 ( x y ) 7 ( k l ) (x y z ) 5 6 5x(x y ) Opgave 6 5 (a b ) (a b ) 5 ( x y ) :(x y) 5 ( c d ) :( cd ) 5 (p x ) : ( p x ) ( q r ) :(q r ) Opgave a a a x + x 7x + x 7k ( 5k ) + k 7m + 7m m p p + r p Opgave 0 6 (p q 0p q ) 5p q 5 9 5m n m n 7m n 5 5x y : (0x y 5x y) 8 5a m : 5am + a m 9am 7 px 6px 9px :p Opgave 7 5 5a x 7a x ax 8a x 7 5 m c + 5m c : m c m 6 (5p q 8p q) p q 7p q 5 7 x y 8 8 5x y : (9x y 6x y) 6 8 (0a b 6 8 6a b ) : (a b a b ) Opgave 5m y + my my 0m y (my ) 0aq 7a aq+ 5aq + ( a)q 8 6 (c d) + 5cd 8c d + 96c d : 6c d 5 7p y p y 5p y : 6p y ( b m ) + 6b m 5b m b m b m Basisboek 0 / 86

41 . Wortels met letters Bij vermenigvuldigen en of delen mag je een wortel splitsen: a a Dus ab a b en b b Dit kun je gebruiken om wortels te herleiden 6 zo is a a a a a a a en a a a a a Een wortel en een kwadraat heffen elkaar op: Dus ( a) a en ook (a b) a ( b) a b Een wortel onder de breukstreep wegwerken: a a b a b a b b b b b b a a a b ab ab b b b b b b Alleen gelijksoortige wortels kun je optellen: Dus a + a a en 5 b b b Je kunt een noemer wortelvrij maken: (a b)(a + b) a b p+ q p+ q p+ q p q p q p+ q p ( q) p q V 50a + 8a a 5 a + 9 a a 5 a+ a a a 5a 7a 6 5a 6 5 a 6a 5 a + 7a kan niet a a a b ab b b b b b b ab 8a a a a a a a a a a a (6a b) 6a b 7a b 5a ( 5a) 5a + 5a + 5a 5a (+ 5a)( 5a) 5a ( a ) ( a ) 9 a a 8a a 6a 5a + 7 9b 5a + 7 b 5a + b a( ab) a a b a a b Basisboek / 86

42 Herleid (laat geen wortels in de noemer van een breuk staan!) Opgave a 7 ab ( a) ( a) 8p 9p a Opgave e e e a( a + b) a a( 8a a) ( a+ 5b) (a a ) Opgave 5 5x 5x + x + 75x a 5 a a a Opgave a 8a 8a + 6x 8x x 9a 7b 5y 5y a 8a 8a Opgave ( 5a + )(+ 5a) 8a 6a a a a 5a a a a a 6 Opgave 6 5 ( a) ( a b) ( x + y) ( x y) ( a b) a( a a ) Opgave 7 x ( y + ) ( x)( x 6x) ( d ) ( x + 5 y) (x 5 + y 0)(x 5 y 0) Opgave ( + x) (5 + x) 5 a. b 5 6 8x + 5x Basisboek / 86

43 Opgave 9 ( x y)( x + y) x( 8 x) ( x+ y) ( x+ y) 7 5 xy xy Opgave 0 ( 5 x y) a 5b ( 5 x) ( 5x x) ( x+ y) ( x y) a b ab 0 7 b 5 x y xy y Basisboek / 86

44 . Breuken met letters Vereenvoudigen van breuken: v 8a + b 8a + b a + b 0ab + 5b 0ab 5b + ab + b 5b 5b 5b a b ab Opgave 60ab 0b 5 8z 7z 0b 8ab 7y z 8yz 8p q pq a b Optellen en aftrekken van breuken: Aanpak: noemers gelijk maken; dan tellers optellen of aftrekken v x z x+ z + y y y a b a a + b + + b b b b r 5 r 5 7xy r + 5xy + + 7x y x 7x y 7x y 7x y a x a a b x a + bx + + b a ab ab ab Opgave a a + p q p q q p q p p 0p p q Opgave + a ab + ab ab zy zx x y a+ b c + a a + b Basisboek / 86

45 V x+ x (x + )(x + ) (x )(x ) x + x + x x + x x+ (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) x + x + (x x + ) 7x (x )(x + ) (x )(x + ) Opgave + a+ a a a b+ a+ x x x y x y x+ x + x+ x Vermenigvuldigen van breuken: teller teller Aanpak: breuk breuk noemer noemer x r rx v y s sy u ux x v v axy abc abcxy abcxy abc xyz abcxyz z 6 5 Opgave 5 x 5x + 5 a b b x p 6p x a b 6a b 5 6z p z p pz Basisboek 5 / 86

46 Delen van breuken: Aanpak: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerd v xy y xy x x y x : z x z y y z y z 6 5 axy xyz axy abc abcxy abcxy : abc abc abc xyz abcxyz z Opgave 6 0x : x + b b : a a a : bc ab : 00s 0as : 0t t Opgave 7 0x : x+ : ab ab x y : y x 6 0 ab 9 x 6y 8 :a b x : 9y Gemengde opgaven Opgave 8 : p p x + a + a p x x Opgave 9 a a xy abc abx a b 8a b : 9x y x y + x x+ a ab b a Opgave 0 : p p x + a xyz p : pyz z 6 a a : b ab Opgave + a+ b a b 6a a : : p p x y + x y x+ y x x x+ Basisboek 6 / 86

47 Opgave a a+ a p p: q Opgave p + 5 q a a q qp : p q: 5 5 p : 5 p + 5 p + q 5 6z z : 9z z Basisboek 7 / 86

48 . Algebraïsche producten Een techniek die veel wordt toegepast op algebraïsche vormen is het herleiden van producten tot een som of een verschil. We herkennen daarbij een aantal veel voorkomende technieken.. e Algemeen product: a(b + c) ab + ac v x(x 6) 6x 8x c (a + ac) ac + ac x (x + y) 6x + x y Opgave a(a+ 5) x (5 x ) p (p 6pq) ab(ab + c) ac(a c 5a ) Opgave x (x x) 6x(x x + ) x y ( + x + xy) 6a( 7a + 6ab 7ac) xy(x xy 5y + 6z). e Algemeen product: (a + b) (c + d) ac + ad + bc + bd v (x + )(x 6) 6x x + 9x 8 6x x 8 (x + )(x + ) x + x + x + x + 7x + (x y)(x + y ) 6x + xy xy y Opgave (x + )(5y + z) ( + a)(b ) (a b)(c d) (a + )(a + 9) (8 + y)(7 + y) Opgave (p 8)(p + 6) (x )(x + 0) (t 6)(t + 6) (a )(a ) (x + y)(x y). e Bijzondere / merkwaardige product: (a b)(a + b) a ab + ab b a b v (x )(x + ) (x) 9x 6 (a + b)(a b) (a) (b) a 9b 6 (x + )(x ) (x ) x Opgave 5 (x + y)(x y) (a 6)(a + 6) ( t)( + t) ( a + b)(a + b) (x 0,5)(x + 0,5) Opgave 6 (x 5y)(x + 5y) ( 7y)( + 7y) (6a + 5b)(6a 5b) ( xy)( + xy) (pq + st)(pq st) Basisboek 8 / 86

49 Opgave 7 ( x + y )(x + y ) (a + )( a ) (k + 5)(k 5) 98 0 (00 )(00 + ) 5 6. e Bijzondere / merkwaardige product: (x + 5)(x + 7) x + 5x + 7x + 5 x + x + 5 De e term ontstaat uit de som van 5 en 7 en de e term uit het product van 5 en 7. v (x )(x + 9) x + 5x 6 (p 6)(p 5) p p e Bijzondere / merkwaardige product: (a + b) a + ab + ab + b (a b) a ab ab+ b a + ab+ b a ab+ b De middelste term noemt men het dubbelproduct. v (x + 7) x + x + 9 (x ) x x + 9 (x + y) x + x y + (y) x + 6xy+ 9y Opgave 8 (p + q) (p q) (a ) ( x) (z + 0) Opgave 9 (a b) (xy + yz) (5k 5l) ( a+ b) (a + b ) Gemengde opgaven Opgave 0 (a b)(a + b) (m + n)(m n) 8pq(p pq ) ( 7y)( + 7y) y (x + y + xy) Opgave ( xy)( + xy) (t + 6) (t 6) (a b)(a + b) (k + 0)(k 7) (5+ p)( p p ) Basisboek 9 / 86

50 5. Ontbinden in factoren Dit betekent dat een som van termen wordt geschreven als product. We kennen daarvoor een aantal methoden. De methoden zijn afgeleid van de algebraïsche producten Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen: v ab + ac a(b + c) x + xy x(x y) x 8x x(x ) 6a b ab ab(a b) x + x 7x 7x(x x + ) [neem het min-teken mee naar buiten] Opgave 5p + 5q a + 8b + 6c 8xyz + xy 5x 6x 6x y x y Som-product methode bij drietermen van de e graad: v x + 5x + 6 (x + )(x + ) [want + 5 en 6] p p 0 (p 5)(p + ) [want 5 + en 5 0] x + x + 0 (x + )(x + 0) Verschil van kwadraten: v x y (x y)(x + y) a 6 (a )(a + ) 9a 5b (a 5b)(a + 5b) Ontbind in factoren of zet k.n. Opgave x y p q 9x 6y k + m ab 5c Opgave x 8x+ 6 y 6y p + p 9x + 6x + p 0pq + 5q Opgave x + xy+ y p pq+ q a + 0ab+ 5b p + 0p+ 5 x + 8x+ 6 Opgave 5 a + a+ 6 p + p+ 6 x + x x 5x 6 a 0a+ 9 Basisboek 50 / 86

51 Opgave 6 x x+ 0 x 9x 0 x + 7x+ 0 x x 0 x + x 0 Opgave 8 a 6a p + 7pq + 0q 7x + 7 9x 6x + c 5c 50 Opgave 7 x x x + x x 8x+ 5 x + x x + 8x+ 5 Opgave 9 a a 08 x 8xy + 9y y p p + b+ b Doorontbinden: ontbind in zoveel mogelijk factoren Probeer eerst buiten haakjes te brengen; daarna de merkwaardige producten of de som-product method v x 7 (x 9) (x + )(x ) 7x x + 7 7(x x + ) 7(x ) p p 8 (p p ) (p 7)(p + 6) Opgave 0 x x p 6 y yz + z a + a 5 Basisboek 5 / 86

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

SAMENVATTING BASIS & KADER

SAMENVATTING BASIS & KADER SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

1.Tijdsduur. maanden:

1.Tijdsduur. maanden: 1.Tijdsduur 1 etmaal = 24 uur 1 uur = 60 minuten 1 minuut = 60 seconden 1 uur = 3600 seconden 1 jaar = 12 maanden 1 jaar = 52 weken 1 jaar = 365 (of 366 in schrikkeljaar) dagen 1 jaar = 4 kwartalen 1 kwartaal

Nadere informatie

Duizend 3 getallen achter de komma 230 duizend 230 000 46 duizend 46 000 Andersom 345 600 345,6 duizend 24 500 24,5 duizend

Duizend 3 getallen achter de komma 230 duizend 230 000 46 duizend 46 000 Andersom 345 600 345,6 duizend 24 500 24,5 duizend Hoofdstuk 5 5A Grote getallen Duizend 3 getallen achter de komma 230 duizend 230 000 46 duizend 46 000 Andersom 345 600 345,6 duizend 24 500 24,5 duizend Miljoen 6 getallen achter de komma 230 miljoen

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

Rekentermen en tekens

Rekentermen en tekens Rekentermen en tekens Erbij de som is hetzelfde, is evenveel, is gelijk aan Eraf het verschil, korting is niet hetzelfde, is niet evenveel Keer het product kleiner dan, minder dan; wijst naar het kleinste

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

De laatste loodjes...

De laatste loodjes... De laatste loodjes... Hieronder vindt je een uittreksel van alles dat we met rekenen hebben geoefend. En nog een paar herhaalsommetjes. Om als laatste nog even door te lezen om te zien of je alles nog

Nadere informatie

REKENEN Hfst 1-3 PROCENTEN. Procenten betekent per honderd.

REKENEN Hfst 1-3 PROCENTEN. Procenten betekent per honderd. REKENEN Hfst 1-3 PROCENTEN Procenten betekent per honderd. Percentage Groeifactor 1% 1/100 0,01 2% 2/100 0,02 10% 10/100 0,10 99% 99/100 0,99 104% 104/100 1,04 150% 150/100 1,50 Rekenen met procenten:

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

Onthoudboekje rekenen

Onthoudboekje rekenen Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen

Nadere informatie

Strategiekaarten. Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Rekenen: een hele opgave, deel 2

Strategiekaarten. Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Rekenen: een hele opgave, deel 2 Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Joep van Vugt Anneke Wösten Handig optellen; tribunesom* Bij optellen van bijna ronde getallen zoals 39, 198, 2993,..

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Klok dag en nacht. Hulpkaart OPTELLEN/AFTREKKEN

Klok dag en nacht. Hulpkaart OPTELLEN/AFTREKKEN OPTELLEN/AFTREKKEN Zet de getallen onder elkaar in je schrift eerst zelf proberen uit te rekenen bij aftrekken: denk om lenen bij optellen: denk om doorschuiven geen vergissingen? bij lang nadenken: rekenmachine

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

(o.a. voor 2F en 3F) Inhoud

(o.a. voor 2F en 3F) Inhoud (o.a. voor 2F en 3F) Inhoud Optellen... 2 Aftrekken... 3 Vermenigvuldigen... 4 Delen... 5 Tot de macht... 6 Combinaties... 7 Wortels... 7 Afronden... 8 Breuken... 10 Procenten... 11 Verhoudingen... 12

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y y = + 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a g = 7 ( a+ ) a + 7 g = 7 a+ 0 b w= 9n(

Nadere informatie

Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN

Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN Onderwijsassistent REKENEN BASISVAARDIGHEDEN Verhoudingstabel Wat zijn verhoudingen Rekenen met de verhoudingstabel Kruisprodukten Wat zijn verhoudingen * * * 2 Aantal rollen 1 2 12 Aantal beschuiten 18

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Het weetjesschrift. Weetjesschrift Galamaschool

Het weetjesschrift. Weetjesschrift Galamaschool Het weetjesschrift Dit is het weetjesschrift. In dit schrift vind je heel veel weetjes over taal, rekenen en andere onderwerpen. Sommige weetjes zal je misschien al wel kennen en anderen leer je nog! Uiteindelijk

Nadere informatie

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker.

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker. Samenvatting leerjaar 4 hoofdstuk 1: Rekenen Grote getallen Grote getallen, zoals 5300000000 zijn niet eenvoudig te lezen. Je kunt je gemakkelijk vergissen in een nul meer of minder, met grote gevolgen.

Nadere informatie

mei 2009 Auteurs: P.C.M.M. Hosli B.D. De Wilde A.M.P. van de Luitgaarden Rekenvaardigheden: Inleiding bladzijde 1

mei 2009 Auteurs: P.C.M.M. Hosli B.D. De Wilde A.M.P. van de Luitgaarden Rekenvaardigheden: Inleiding bladzijde 1 mei 2009 Auteurs: P.C.M.M. Hosli B.D. De Wilde A.M.P. van de Luitgaarden Rekenvaardigheden: Inleiding bladzijde 1 Inhoud Inleiding met docentenhandleiding Handleiding voor leerlingen Werkbladen en antwoordbladen

Nadere informatie

1 Inleiding 2 Lengte en zijn eenheden 3 Omtrek 4 Oppervlakte 5 Inhoud. Meten is weten. Joke Braaksma. November 2010

1 Inleiding 2 Lengte en zijn eenheden 3 Omtrek 4 Oppervlakte 5 Inhoud. Meten is weten. Joke Braaksma. November 2010 November 2010 Wat kunnen we allemaal meten? Wat kunnen we allemaal meten? 1. Lengte / breedte / hoogte / omtrek / oppervlakte / inhoud en volume 2. Tijd 3. Gewicht 4. Geld 5. Temperatuur Wij gaan ons

Nadere informatie

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen 1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 6 Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y = + y 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a r = ( s+ )( s + ) e h= ( + i)( i +

Nadere informatie

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen.

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen. Uitwerkingen hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. Deel van geheel Opdracht. a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd?

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? Oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen RekenWijzer, oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. eel van geheel Opdracht Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? deel

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd? Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:

Nadere informatie

Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen

Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen Leerlijnen groep 7 Wereld in Getallen 1 2 REKENEN Boek 7a: Blok 1 - week 1 in geldcontext 2 x 2,95 = / 4 x 2,95 = Optellen en aftrekken tot 10.000 - ciferend; met 2 of 3 getallen 4232 + 3635 + 745 = 1600

Nadere informatie

Overstapprogramma 6-7

Overstapprogramma 6-7 Overstapprogramma - Cijferend optellen 9 Verdeel het getal. Het getal 8 kun je verdelen in: duizendtallen honderdtallen tientallen eenheden D H T E 8 D H T E 8 = 8 9 9 9 = = = = Zet de getallen goed onder

Nadere informatie

Tijd: seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden, jaren

Tijd: seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden, jaren Uren, Dagen, Maanden, Jaren,. Tijd: seconden, minuten, uren, dagen, weken, maanden, jaren 1 minuut 60 seconden 1 uur 60 minuten 1 half uur 30 minuten 1 kwartier 15 minuten 1 dag (etmaal) 24 uren 1 week

Nadere informatie

Toets gecijferdheid augustus 2005

Toets gecijferdheid augustus 2005 Toets gecijferdheid augustus 2005 Naam: Klas: score: Datum: Algemene aanwijzingen: - Noteer alle berekeningen en oplossingen in dit boekje - Blijf niet te lang zoeken naar een oplossing - Denk aan de tijd

Nadere informatie

Rekenboek 3 havo/vwo. Antwoorden NOORDHOFF UITGEVERS 2014 REKENBOEK 3 HAVO/VWO ANTWOORDEN 1

Rekenboek 3 havo/vwo. Antwoorden NOORDHOFF UITGEVERS 2014 REKENBOEK 3 HAVO/VWO ANTWOORDEN 1 Rekenboek havo/vwo Antwoorden NOORDHOFF UITGEVERS 04 REKENBOEK HAVO/VWO ANTWOORDEN Blok Getallen. Bewerkingen a 45 d 6 g 8 b 60 e 90 h 687 c 4 f 56 i 48 a 4 d 000 b 4 000 e 000 c 70 f 0 000 a 7 d 0 b 70

Nadere informatie

Het metriek stelsel. Grootheden en eenheden.

Het metriek stelsel. Grootheden en eenheden. Het metriek stelsel. Metriek komt van meten. Bij het metriek stelsel gaat het om maten, zoals lengte, breedte, hoogte, maar ook om gewicht of inhoud. Er zijn verschillende maten die je moet kennen en die

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 gaat over rekenen. Deel 2 is eigenlijk herhaling van alle stof. Trainen voor het examen.

Hoofdstuk 5 gaat over rekenen. Deel 2 is eigenlijk herhaling van alle stof. Trainen voor het examen. Hoofdstuk 5 gaat over rekenen. Deel 2 is eigenlijk herhaling van alle stof. Trainen voor het examen. Het werkt als volgt, Je maakt een opgave bijv. opgave 1. Hoe gaat het ook al weer denk je dan. Nou,

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

Verkorte versie van de SYLLABUS REKENEN 2F EN 3F (VO en MBO, versie mei 2015) Aanpassing van product van CvTE

Verkorte versie van de SYLLABUS REKENEN 2F EN 3F (VO en MBO, versie mei 2015) Aanpassing van product van CvTE Verkorte versie van de SYLLABUS REKENEN 2F EN 3F (VO en MBO, versie mei 2015) Aanpassing van product van CvTE 1. Inleiding Vanaf 1 oktober 2015 gelden nieuwe afspraken omtrent het rekenexamen 3F. De exameneisen

Nadere informatie

Bloemlezing uit 36 bladzijden voor een eerste indruk. inzicht in het complete metriek stelsel. Op een eenduidige

Bloemlezing uit 36 bladzijden voor een eerste indruk. inzicht in het complete metriek stelsel. Op een eenduidige Meten is weten Bloemlezing uit 36 bladzijden voor een eerste indruk Leer- Meten en is oefenboek weten Bloemlezing metriek uit stelsel 36 bladzijden voor ISBN: een 978-90-821249-1-0 eerste indruk Auteur

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Spiekboekje. Knowledgebridge Onderwijs Hein v.d. Velden

Spiekboekje. Knowledgebridge Onderwijs Hein v.d. Velden Spiekboekje Knowledgebridge Onderwijs Hein v.d. Velden 1 rekenen tot 20 verliefde getallen verliefde getallen zijn samen 10 1+9= 2+8= 3+7= 10 4+6= 5+5= 0+10= 2 getallenlijn 20 + plus 7 + 6= 7 + 3 = 10

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Procenten 75% 33% 10% 50% 40% 25% 50% 100%

Procenten 75% 33% 10% 50% 40% 25% 50% 100% Procenten 50% 75% 25% 100% 10% 40% 50% 33% Uitleg procenten & Hoofdstuk 1A: hele procenten Uitleg : Procent betekent: 1/100 deel Bij procentrekenen werken we met HOEVEELHEDEN Bij een hoeveelheid van iets

Nadere informatie

RekenWijzer, uitwerkingen hoofdstuk 2 Gebroken getallen

RekenWijzer, uitwerkingen hoofdstuk 2 Gebroken getallen Uitwerkingen 2. Kennismaken met breuken 2.. Deel van geheel Opdracht B 8 deel. ( deel + 8 deel). Opdracht 2 C 5 deel Opdracht C Driehoek C past in driehoek A. Aangezien driehoek A deel is van de tekening,

Nadere informatie

handelingswijzer rekenen

handelingswijzer rekenen handelingswijzer rekenen Naslagwerk Voor leerlingen en ouders HANDELINGSWIJZER REKENEN INHOUD HANDELINGSWIJZER REKENEN... 1 1 INHOUD... 1 HOOFDBEWERKINGEN... 2 OPTELLEN... 3 AFTREKKEN... 3 VERMENIGVULDIGEN...

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

ALBERDINGK THIJM COLLEGE REKENGIDS. Basis en afspraken rekenen

ALBERDINGK THIJM COLLEGE REKENGIDS. Basis en afspraken rekenen ALBERDINGK THIJM COLLEGE REKENGIDS Basis en afspraken rekenen VOORWOORD Deze rekengids is bedoeld als overzichtelijk naslagwerk voor leerlingen, ouders, docenten en alle anderen die met rekenen te maken

Nadere informatie

Blok 6A - Vaardigheden

Blok 6A - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a + = + = 7 7 e = 8 b = = 9 f 9 = = = = 7 8 0 0 0 6 6 8 8 c = = 9 g 6 = = = 7 7 7 7 d + = + = h = 6 9 9 9 9 7 9 B-a 0,666 6, = kilogram b 0, = e,0 c Er zijn in totaal + 9 = delen.

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Wiskunde Werktuigbouwkunde & Metaal. Mechatronica

Wiskunde Werktuigbouwkunde & Metaal. Mechatronica Wiskunde 2-2016 Werktuigbouwkunde & Metaal Mechatronica Wiskunde 2-2016 Summa College Techniek Werktuigbouwkunde, Metaal en Mechatronica Auteurs: Ruud van Melis Jens Bijsterveld Inhoudsopgave 1. REKENEN...

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN

BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN a De standaardprocedure: getallen splitsen Zo lukt het altijd: 98 + 476 = 98 + 400 + 70 + 6 = 698 + 70 + 6 = 768 + 6 = 774 b Van plaats wisselen

Nadere informatie

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1.

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1. Derde domein: gebroken getallen 1 Kennismaking met breuken 1.1 De breuk als deel van een geheel Opdracht 2 blaadje 1 blaadje 2 blaadje 3 blaadje 4 Een blaadje in twee delen vouwen geeft de helft van een

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Getallen. 1 Doel: een getallenreeks afmaken De leerlingen maken de getallenreeks af met sprongen van 150 000.

Getallen. 1 Doel: een getallenreeks afmaken De leerlingen maken de getallenreeks af met sprongen van 150 000. Getallen Basisstof getallen Lesdoelen De leerlingen kunnen: een reeks afmaken; waarde van cijfers in een groot getal opschrijven; getallen op de getallenlijn plaatsen; afronden op miljarden; getallen in

Nadere informatie

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Hoofdstuk Basisbewerkingen. Bewerkingen in beeld a. : splitsen in 5 en. Eerst min 5, dan min 0 en tenslotte nog min : splitsen in 5 en, die uitvoeren en dan nog stapsgewijs

Nadere informatie

Leerlijnen rekenen: De wereld in getallen

Leerlijnen rekenen: De wereld in getallen Leerlijnen rekenen: De wereld in getallen Groep 7(eerste helft) Getalbegrip - Telrij tot en met 1 000 000 - Uitspraak en schrijfwijze van de getallen (800 000 en 0,8 miljoen) - De opbouw en positiewaarde

Nadere informatie

Vergelijkingen met één onbekende

Vergelijkingen met één onbekende - 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................

Nadere informatie

Inhoud. Eenheden... 2 Omrekenen van eenheden I... 4 Omrekenen van eenheden II... 9 Omrekenen van eenheden III... 10

Inhoud. Eenheden... 2 Omrekenen van eenheden I... 4 Omrekenen van eenheden II... 9 Omrekenen van eenheden III... 10 Inhoud Eenheden... 2 Omrekenen van eenheden I... 4 Omrekenen van eenheden II... 9 Omrekenen van eenheden III... 10 1/10 Eenheden Iedere grootheid heeft zijn eigen eenheid. Vaak zijn er meerdere eenheden

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste

Nadere informatie

Rekenportfolio. Naam: cm 2. m 3 + = 1 _ 12

Rekenportfolio. Naam: cm 2. m 3 + = 1 _ 12 Tytsjerksteradiel Rekenportfolio Naam: cm 2 1 5 7 + = 5 10 10 m 3 1 _ 12 X 5 1 + = 5 1 + Inhoudsopgave Voorwoord 3 Domein getallen 4 - Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen 5 - Breuken 6 - Rekenvolgorde

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie