Meetkundige constructies Docenthandleiding

Transcriptie

1 Meetkundige constructies Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013

2 Inhoud Inleiding... 3 Inhoud modules... 6 Module 1: De basisconstructies... 6 Module 2: Constructies van bijzondere lijnen in driehoeken en de diepere betekenis... 6 Module 3: Lengtes construeren die de uitkomst van een som representeren... 7 Module 4: De wortel van een getal construeren in de vorm van een lengte... 7 Module 5: Regelmatige veelhoeken construeren... 7 Bronnen... 8 Tips bij opgaven... 9 Uitwerkingen Module 1: Basisconstructies Module 2: Bijzondere lijnen in driehoeken Module 3: Construerend rekenen Module 4: Wortels Module 5: Regelmatige veelhoeken construeren

3 Inleiding Een meetkundige constructie is een tekening van vlakke figuren en lijnen, gemaakt met passer, lat, en potlood, waarbij beschreven staat hoe de tekening is ontstaan. Omdat de lat geen liniaal is met schaalaanduiding, kunnen er geen maten mee opgenomen of afgezet worden. Ook wordt er geen gebruik gemaakt van een geodriehoek of iets dergelijks om hoeken mee op te nemen of af te zetten. Om dan toch allerlei figuren te construeren is kennis van de eigenschappen van de figuren vereist. Ook vergt het inzicht om te verantwoorden waarom een bepaalde constructie oplevert wat je wilde construeren. Inzicht stimuleren is één van de leerdoelen van deze lessenserie. Een ander doel is de leerlingen kennis te laten maken met hoe wiskunde in de klassieke oudheid door de Grieken werd bedreven en hoe die manier van naar vlakke meetkunde kijken nog steeds is verweven in de hedendaagse wiskunde. Doel Wiskunde wordt door veel leerlingen op de middelbare gezien als een moeilijk vak. Vaak gebruiken leerlingen trucjes om zich door toetsen heen te slaan. Dit komt niet alleen door de leerlingen. Het gebeurt vaak genoeg dat leraren uitspraken doen als `neem het nou maar aan of het is nu eenmaal zo. Niet uit kwade bedoelingen, maar vaak eerder door gebrek aan tijd of kennis, door frustratie of simpelweg geen puf meer. Wanneer dit gebeurt is dit betreurenswaardig te noemen, omdat dit de schoonheid van het vak wegneemt en het vak reduceert tot het uitvoeren van stappenplannen. Maar wiskunde is geen leervak, en zo zou het ook niet moeten worden aangeboden. Zonder begrip en samenhang worden er teveel onnodige fouten gemaakt en is de kans klein dat een leerling wiskunde leuk zal gaan vinden, er iets van zal opsteken en zal participeren in de les. Vandaar dat wij als schrijvers hebben besloten een module te schrijven waarin leerlingen leren construeren. Natuurlijk vanwege de schoonheid van het onderwerp zelf, maar bovenal om ze wiskunde te laten bedrijven waarin je de stof op een onderzoekende manier leert begrijpen en waar je met trucjes niet weg kan komen. De sobere manier van construeren met alleen een passer en lat als hulpmiddel, dwingt de leerling om echt na te denken, iets wat ons betreft veel meer gestimuleerd mag worden. Het doel van deze module is dan ook om de leerlingen door middel van een lessenserie met veel opgaven hun hersens te laten kraken. Door goed na te denken ze inzicht te laten creëren in hoe wiskundige problemen dienen te worden aangepakt. Naast het bevorderen van inzicht is gekozen voor het onderwerp construeren omdat het een belangrijke rol heeft gespeeld in het ontstaan van de meetkunde. De axiomatische manier van het bedrijven van meetkunde ontstond namelijk 24 eeuwen geleden en is 23 eeuwen lang een leidraad geweest voor meetkunde, maar ook zeker voor de wiskunde in het algemeen. De precieze manier van wiskunde bedrijven met axioma s en proposities, zoals in de Elementen van Euclides, is een methode die in alle gebieden van de wiskunde is doorgedrongen. Daarom kan er tijdens het uitvoeren van deze modules niet vaak genoeg teruggegrepen worden op deze feiten om het besef van het grotere geheel binnen de wiskunde te ontwikkelen. De modules lenen zich uitstekend voor uitstapjes in die eeuwenlange ontwikkeling in de wiskunde. Door de beperkte tijd van dit project ligt nu de focus vooral op het construeren met op verschillende plaatsen verdiepingen in elementen uit de geschiedenis van de meetkunde. Waar nodig kan een docent extra verdieping aanbrengen of uitweiden over de geschiedkundige achtergrond. Zo kan er bij module 4 over wortels naar aanleiding van de constructie van 2 en de irrationaliteit van 2, niet alleen worden ingegaan op dit debacle voor de Grieken, maar ook op de school van Pythagoras. Bij 3

4 het construeren van lengtes als uitkomsten van sommen in module 3 kan gekozen worden om een verdieping aan te brengen over de invloed van Descartes op de meetkunde en het leggen van de overbrugging met de algebra en het zogenaamde cartesiaanse assenstelsel. Het aanhalen van de geschiedenis van de wiskunde in de wiskundeles heeft meerdere voordelen. De voordelen van het aanhalen van de geschiedenis van de wiskunde in deze module hebben we aan de hand van de classificatie van Tzanakis (5) op een rij gezet: Ten eerste is er een groot voordeel als de leraar zich überhaupt van de geschiedenis bewust is. Daarmee kan worden vermeden dat er wiskundige concepten worden geïntroduceerd zonder inleiding. De leraar wordt uitgedaagd de stof wellicht op een andere manier te introduceren. Namelijk met geschiedenis in plaats van een methode van in dit geval een constructie voordoen. (7.2.a.1, 7.2.c.4) Deze lessenserie (of een deel er van) zou met veel verwijzing naar Euclides voor de huidige meetkunde hoofdstukken worden gegeven. Er is dan waarschijnlijk meer begrip en basis voor het bewijzen met bepaalde regels en geen geodriehoek. Op dit moment is dit namelijk het enige onderwerp op de middelbare school waar een axiomatische manier van wiskunde bedrijven wordt aangeboden. (7.2.b.1) De leraar kan bij uitstek bij dit onderwerp op problemen in de klas stuiten die ook al bij de Grieken aanwezig waren. Aangezien dit een onderwerp is wat ver van de wiskunde in de lesboeken staat, en daarom hopelijk een vrijere manier van denken aan de leerling overlaat. Zo wordt de leraar eens geconfronteerd met hoe leerlingen echt denken, omdat ze geen wiskundige context hebben waarachter ze zich kunnen verschuilen. Hierdoor kunnen wel eens opmerkingen uit verassende hoeken komen. (7.2.c.2.i) Op een andere manier naar de vlakke meetkunde kijken dan je gewend bent is lastig, en daardoor leerzaam. Het leert de leerling abstract denken en leren rekening houden met een context met bepaalde regels waarin hij of zij aan het werk is. (7.2.c.5) Omdat we tegenwoordig latten met schaal, geodriehoeken en nog veel meer preciezere meetcomputers tot onze beschikking hebben, lijkt het niet per se meer nodig om constructies met passer en lat te maken. Maar het is gewoonweg een uitdaging om dat wel te kunnen en daarom alleen al houden sommige problemen wiskundigen in hun greep. (7.2.e.1, v) Een voordeel is dat de leerling überhaupt geschiedenis leert. Hij of zij kan dit meenemen in het zijn of haar algemene framework en hiermee een beter beeld vormen over hoe ontwikkeld bepaalde volken in periodes van de geschiedenis waren. (7.3.1.a) Maar ook de meer recente geschiedenis, welke ontwikkeling heeft meetkunde doorgemaakt in de 19 e eeuw, met de komst van andere vormen van meetkunde. (7.3.3.i & ii & iii) Volgens de indeling van Tzanakis (5) bestaat deze lessenserie uit werkbladen (7.4.4) waarin de leerling een verzameling opgaven krijgt om een onderwerp te verwerken, waarin primaire bronnen (7.4.3) kunnen worden geraadpleegd en historische weetjes (7.4.1) zitten verwerkt. Maar waarin ook meerdere perspectief veranderende onderwerpen (7.4.6, 7.4.7) kunnen worden aangehaald. Zoals het ontstaan van nieteuclidische meetkunde, de irrationaliteit van 2, dat het bewezen is dat drie beroemde meetkundige problemen niet te construeren zijn terwijl daar eeuwen gepuzzel aan vooraf is gegaan, en nog meer mogelijke uitstapjes. 4

5 Niveau De modules kunnen los van elkaar worden gegeven en lopen qua niveau op. De eerste module zou al in de tweede klas havo/vwo kunnen worden gegeven, de laatste module echter pas in de vijfde klas vwo (tenzij de docent meer informatie bij de opgaven geeft). Er kan dus voor gekozen worden om elk half jaar één module te doen, of juist alle modules in de vijfde of zesde klas. Ook kan er een enkele module in de klas worden behandeld. Het is dan wel aan te raden om de inleiding en module 1 Basisconstructies desnoods klassikaal te behandelen. Om in te schatten welke modules de leerlingen aan zouden kunnen, kan er gekeken worden naar de afsluitende opgaven. Deze zijn in elke module van het hoogste niveau. Uiteraard kan er ook voor gekozen worden om bij een klas met een lager niveau eerder in de module te stoppen. De bronnen die zijn gebruikt voor deze lessenserie staan beschreven, waaronder de twee links naar digitale boeken. Mocht er tijd of behoefte zijn aan verdieping of verbreding, is er veel interessants in deze bronnen te vinden. De uitwerkingen van alle opgaven zijn verderop in deze handleiding te vinden. Voor de uitwerkingen staan er tips bij een aantal opgaven die aan de leerlingen gegeven kunnen worden, aangezien sommige opgaven flink puzzelen zijn. Vaak is er juist voor gekozen om in eerste instantie geen hulp te geven, zodat goede leerlingen voldoende uitgedaagd worden. Benodigdheden Per leerling zijn de volgende materialen nodig: Passer, lat, potlood & gum Opgavenbladen & werkbladen Eventueel extra blanco papier 5

6 Inhoud modules Deze lessenserie bestaat uit vijf modules. Hieronder staat voor elke module beschreven wat de inhoud is, wat de leerdoelen zijn, wat de vereiste voorkennis is en hoeveel SLU de module ongeveer is. De voorkennis kan ook voor de start van de module geleerd worden. Het aantal SLU is zeer afhankelijk van de snelheid van de leerling. Snelle leerlingen kunnen een flinke hoeveelheid minder tijd nodig hebben dan langzame leerlingen. Daarom is er een boven en ondergrens aangegeven. Elke module kan totaal zelfstandig door de leerling worden gemaakt. Het is wel de bedoeling dat elke module wordt ingeleid door de docent, ook al is dat dus niet per se nodig. Het is voor alle leerlingen een nieuw onderwerp, er zal dus zonder achtergrond vanuit de leerling zelf worden nagedacht. Daarom is overleg waardevol, aangezien een gesprek over hoe constructies te maken zijn tot nieuwe inzichten kan leiden, ook al is dat dus niet per se nodig. Module 1: De basisconstructies SLU: 23 Vereiste voorkennis: De definities driehoek, vierkant, rechthoek, parallellogram, evenwijdigheid en loodrecht. Inhoud: In deze module worden de basisconstructies geleerd zoals deze in boek I van Euclides Elementen aan bod komen. De leerling leert lijnstukken, hoeken en evenwijdige en loodrechte lijnen construeren. Deze constructies zijn nodig om ingewikkeldere constructies te maken in latere opgaven of in latere modules. In latere opgaven worden deze basisconstructies gebruikt voor het construeren van vlakke figuren. Leerdoelen: De leerling kan na deze module lijnstukken en hoeken kopiëren lijnstukken n keer verlengen en hoeken n keer vergroten evenwijdige lijnen aan en loodrechte lijnen op een gegeven lijn construeren de bissectrice van een hoek construeren de middelloodlijn van een lijnstuk construeren driehoeken, parallellogrammen, vierkanten en rechthoeken van gegeven afmetingen construeren. Module 2: Constructies van bijzondere lijnen in driehoeken en de diepere betekenis SLU: 23 Vereiste voorkennis: Module 1 Basisconstructies Inhoud: Deze module gaat over de hoogtelijnen, zwaartelijnen, bissectrices en middelloodlijnen binnen een driehoek. Er wordt ingegaan op hun onderlinge snijpunten en eigenschappen. De leerling wordt uitgedaagd om na te denken waarom elk drietal lijnen van de bijzondere lijnsoorten door één punt gaan. Leerdoelen: De leerling kan na deze module het hoogtepunt en zwaartepunt construeren verklaren waarom de bissectrices, middelloodlijnen en hoogtelijnen elk door één punt gaan de ingeschreven cirkel en omgeschreven cirkel van een driehoek construeren het middelpunt van een cirkel construeren. 6

7 Module 3: Lengtes construeren die de uitkomst van een som representeren SLU: 34 Vereiste voorkennis: Module 1 Basisconstructies, rekenen met verhoudingen die volgen uit gelijkvormigheid Inhoud: De leerling leert in deze module optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met lengtes als representatie van getallen. Leerdoelen: De leerling kan na deze module een lijnstuk met een lengte construeren welke de uitkomst representeert van een som waarin optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voorkomt een lijnstuk in n gelijke delen verdelen met een directe constructie een lijnstuk met een lengte construeren welke de uitkomst is van een vermenigvuldiging of deling en uitleggen hoe en waarom de constructie werkt. Module 4: De wortel van een getal construeren in de vorm van een lengte SLU: 34 Vereiste voorkennis: Module 1 Basisconstructies, de stelling van Pythagoras, de stelling van Thales, rekenen met verhoudingen die volgen uit gelijkvormigheid Inhoud: In deze module gaat de leerling lijnstukken construeren met een lengte die de wortel van een getal representeert. Wortels zijn soms irrationaal, maar wel te construeren. Leerdoelen: De leerling kan na deze module met een directe constructie een lijnstuk met een lengte construeren welke de wortel is van een getal en uitleggen hoe en waarom de constructie werkt. Module 5: Regelmatige veelhoeken construeren SLU: 34 Vereiste voorkennis: Module 1 Basisconstructies, Module 4 Wortelconstructies, goniometrische formules, hoekensom driehoek, rekenen met verhoudingen die volgen uit gelijkvormigheid NB: Indien stellingen en bewijzen onderdeel van de voorkennis is, kan er voor gekozen worden om de leerlingen het bewijs van gelijkvormigheid van twee driehoeken te laten geven als daarom gevraagd wordt. Inhoud: In deze module leert de leerling een aantal regelmatige veelhoeken construeren Leerdoelen: De leerling kan na deze module een regelmatige driehoek, vierhoek en zeshoek in een gegeven cirkel construeren een regelmatige vijfhoek construeren een regelmatige 12 en 15hoek construeren. Verdieping: De leerling heeft de kennis om nu ook een 10 en 20hoek te construeren. 7

8 Bronnen Hieronder de gebruikte en andere interessante bronnen, mocht er ruimte en interesse zijn voor meer uitweiding over bepaalde onderwerpen: 1. John Stillwell, The four pillars of geometry, San Francisco, Springer, 2005 ftp:// /math/2007_07_06/utm/j.stillwell%20the%20four%20pillars%20of%20geomet ry.pdf In dit boek wordt in hoofdstuk 1 & 2 ingegaan op de Euclidische meetkunde, de constructies voor delen en vermenigvuldigen kwamen uit dit boek. 2. R. Fitzpatrick, Euclid s elements of geometry, Griekse tekst van J.L Heiberg, De Elementen van Euclides vertaald door Heiberg in het Grieks rond 1885, met daarnaast een Engelse vertaling door Fitzpatrick. In dit boek staan alle 13 boeken van Euclides. 3. P. Molenbroek, Leerboek der vlakke meetkunde, Groningen, Batavia, Noordhoff, Euclid, The Elements of Geometry, from the Latin translation of Commandine, J. Keil, London, C. Tzanakis & A. Arvaci, Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey, hoofdstuk 7, Dordrecht,

9 Tips bij opgaven Module 4 Opgave 1: + Gebruik Pythagoras Opgave 2d: + Gebruik verhoudingstabellen + Geef de verhouding tussen de twee rechthoekszijden van beide driehoek + Neem p lengte 1 en lengte q n Module 5 Opgave 1: + Wat is een regelmatige vierhoek? + Hoe construeer je het middelpunt van de cirkel? + Met welke lijnstukken leg je een regelmatige vierhoek vast? Opgave 2a: + Welke bijzondere punten zijn de snijpunten van de hoogtelijnen en de overstaande zijden? + Het hoogtepunt samen met nog twee bijzondere punten van de driehoek. Welke? + In welke verhouding wordt een zwaartelijn gedeeld als deze door een andere zwaartelijn gesneden wordt? Opgave 3a: + Wat heeft een regelmatige zeshoek te maken met regelmatige driehoeken? + Wat voor bijzondere driehoek vormen twee aanliggende punten op de cirkel met het punt in het midden? + Wat weet je van de som van de hoeken in het middelpunt van de cirkel? + Waarom zijn de zijden van de zeshoek van gelijke lengte? + Waarom zijn alle hoeken van de zeshoek van gelijke grootte? Opgave 4a: + Wat voor bijzondere figuur is ABCE? + Wat voor bijzondere figuur is CDES? + Hoe lang is CS en hoe lang is dus AS? + Waarom is ΔABS gelijkvormig met ΔCES? Opgave 5a: + Wat is de kleinste draaihoek van een twaalfhoek? + Wanneer M het middelpunt van de omgeschreven cirkel is, hoe groot is dan CMF? + Hoe kun je nog meer regelmatige driehoeken of vierhoeken toevoegen, zo dat er een regelmatige twaalfhoek ontstaat? + Hoe lang is CS en hoe lang is dus AS? + Waarom is ΔABS gelijkvormig met ΔCES? Opgave 6a: + Wat is de kleinste draaihoek van een vijftienhoek? + Welke regelmatige veelhoeken moet je combineren om deze draaihoek te krijgen? + Is het handiger om met de vijfhoek of om met de driehoek te beginnen? + Hoe construeer je het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de vijfhoek? 9

10 Uitwerkingen Module 1: Basisconstructies 1. Een lijnstuk met gelijke lengte aan gegeven lijnstuk figuur 1.2 a. Geef het stappenplan waarmee lijnstuk CD geconstrueerd is. Trek een lijn vanuit C in willekeurige richting. Neem met een passer de lengte AB op. Zet de passerpunt op C en teken, met de vaste passermaat, een cirkelboog die de getekende lijn vanuit C snijdt. Het snijpunt van de lijn vanuit C en de cirkelboog is D. b. Gegeven is lijnstuk KL en punt M op het werkblad. Construeer een lijnstuk MN met lengte KL. Zelfde constructie als 1a. c. Gegeven is lijnstuk PQ op het werkblad. Construeer de gelijkzijdige driehoek PQR. Neem de vaste passermaat PQ en teken twee cirkelbogen, één om P en één om Q. Het snijpunt van de twee cirkelbogen is R. 10

11 2. De lengte van een lijnstuk verdubbelen a. Construeer op het werkblad een lijnstuk CD, zo dat deze een lengte van 2 AB heeft. b. Beschrijf de stappen die je hebt doorlopen. Neem dezelfde constructie als 1a Zet de passerpunt op het geconstrueerde punt en teken een tweede cirkelboog met dezelfde vaste passermaat Het snijpunt van de tweede cirkelboog met de lijn vanuit C is D c. Gegeven is lijnstuk PQ en punt R op het werkblad. Construeer een lijnstuk RS met een lengte van 4 PQ. Neem dezelfde constructie als 2b en teken nog twee cirkelbogen. of : Neem dezelfde constructie als 2b. Neem met een passer de geconstrueerde lengte van 2 PQ op. Herhaal de constructie van 2b nog één maal met de nieuwe passermaat. d. Gegeven is lijnstuk KL en punt A op het werkblad. Construeer ΔABC waarvoor geldt dat AB = 5 KL, BC = 3 KL en AC = 6 KL. Construeer een lijnstuk AD = 6 KL. Zet punt B op 5 KL op AD vanaf A. Teken een cirkelboog om A met straal 6 KL. Teken een cirkelboog om B met straal 3 KL. Het snijpunt van de twee cirkelbogen is C. 11

12 3. Een hoek met gelijke grootte aan een gegeven hoek figuur 1.5 a. Leg uit met welke stappen B geconstrueerd is. Teken een lijn vanuit B. Teken met een passer een cirkelboog over hoek A, en dezelfde over de lijn vanuit B. Noem de snijpunten van de cirkelboog om A met hoek A, P en Q. Noem het snijpunt van de cirkelboog om B met de lijn vanuit B, R. Neem met een passer de lengte op tussen P en Q. Zet de passerpunt op R en teken een cirkelboog met de passermaat PQ over de eerst getekende cirkelboog om B. Het snijpunt van de twee cirkelbogen is het punt S. Teken een lijn vanuit B door S. b. Gegeven is D en punt E op het werkblad. Construeer een E, zo dat geldt E = D. Zelfde constructie als 3a. c. Gegeven is D en punt F op het werkblad. Construeer een F, zo dat geldt F = 2 D. Zelfde constructie als 3a. Maar de lengte PQ is tweemaal uitgezet voor punt S. 12

13 4. Een lijn door een gegeven punt evenwijdig aan een gegeven lijn a. Construeer op het werkblad een lijn door punt A evenwijdig aan k. Hint: Creëer Zhoeken. b. Beschrijf de stappen die je hebt doorlopen. Teken een willekeurige lijn m door A die lijn k snijdt. Kopieer de hoek die ontstaat tussen m en k naar A met m als been van hoek A. c. Op het werkblad staan de lijnstukken KL en KN getekend. KL en KN zijn twee zijden van het parallellogram KLMN. Construeer, gebruikmakend van evenwijdigheid, het parallellogram KLMN. Construeer een evenwijdige lijn aan KL door N. Construeer een evenwijdige lijn aan NK door L. Het snijpunt van de twee lijnen is M. 5. Een loodrechte lijn op een lijn door een punt op de lijn a. Volg de beschrijving hierboven en construeer op het werkblad de lijn m door B loodrecht op k. 13

14 b. Gegeven is lijnstuk KL op het werkblad. Construeer vierkant KLMN. Construeer een lijn door K loodrecht op KL. Zet de passerpunt op K en teken een cirkelboog met straal KL om K. Het snijpunt van de cirkelboog en de loodlijn op K is N. Behoudt de vaste passermaat KL en teken een cirkelboog om N en een cirkelboog om L. Het snijpunt van de twee cirkelbogen is M. c. Gegeven is lijnstuk AB op het werkblad. Van rechthoek PQRS is gegeven dat zijde PQ = 3 AB en zijde PS = 4 AB. Construeer rechthoek PQRS. Construeer zijde PQ. Construeer een loodlijn door P op PQ. Construeer S op de loodlijn. Teken een cirkelboog met straal PQ om S. Teken een cirkelboog met straal PS om Q. Het snijpunt van de twee cirkelbogen is R. 14

15 6. Een hoek in twee gelijke hoeken delen a. Volg de beschrijving hierboven en construeer op het werkblad deellijn m. b. Beschrijf de relatie tussen ΔAFD en ΔAFE en licht toe hoe hieruit volgt dat CAF = BAF. AD = AE, D en E liggen op de zelfde cirkelboog om A. DF is EF, F ligt op de cirkelboog om D en op de cirkelboog om E, welke dezelfde straal hebben. AF = AF Dus ΔAFD is congruent met ΔAFE. Daaruit volgt CAF = BAF. c. Euclides maakt in zijn constructie gebruik van een gelijkzijdige driehoek. Waarom hoeft de driehoek niet per se gelijkzijdig te zijn? Welke andere vorm driehoek kan je ook gebruiken? Hij gebruikt bij de constructie voor F de lengte DE als vaste passermaat. Dit mag ook elke andere passermaat groter dan ½ DE zijn. Dan is F de top van de gelijkbenige driehoek DEF in plaats van de gelijkzijdige driehoek. Dit heeft geen invloed op de constructie, de stappen bij 6b gelden nog steeds. d. Het is mogelijk om een bissectrice te construeren met een vaste passermaat. Dit wil zeggen dat je met één vaste passerstand alle cirkelbogen in je constructie tekent. Construeer met een vaste passermaat de bissectrice van BAC op het werkblad. Aangezien je volgens 3c elke passermaat mag gebruiken, kan je vanaf het begin dezelfde passermaat aanhouden. 15

16 e. Gegeven is P op het werkblad. Deel P door middel van construeren in vier gelijke hoeken. Zelfde constructie als 6a. En dan nog twee maal in de twee ontstane hoeken. Hier zijn uiteindelijk maar vier cirkelbogen in totaal voor nodig. 7. Een lijnstuk in twee gelijke lengten verdelen figuur 1.10 a. Leg uit dat geldt AD = BD. Hint: gebruik congruente driehoeken. Vanuit A en B zijn met de vaste passermaat AB cirkelbogen afgetekend, om de gelijkzijdige driehoek ΔABC te construeren. Het snijpunt van de bovenste twee cirkelbogen is het punt C en er geldt AC = BC door de vaste passermaat. Vervolgens is de bissectrice vanuit C getekend, dus ACD = BCD. Omdat CD = CD, geldt nu dat ΔADC congruent is met ΔBDC. Dus AD = BD. b. Licht toe dat de lijn door CD de middelloodlijn van lijnstuk AB is. Voor ΔACD en ΔBCD geldt dat AB = AC, ACD = BCD (bissectrice) en CD hebben ze gemeen, 16

17 zijn ΔACD en ΔBCD congruent. Hieruit volgt dat AD = BD en ADC = BDC en we weten dat ADB =180 (gestrekte hoek), dus ADC = BDC = 90. Hieruit volgt dat CD middelloodlijn is van AB. c. Euclides maakt in zijn constructie wederom gebruik van gelijkzijdige driehoeken. Licht toe dat de driehoeken niet per se gelijkzijdig hoeven te zijn. Indien ABC gelijkbenig is met AC = BC, kan hetzelfde bewijs geleverd worden. d. Het is mogelijk om de middelloodlijn te construeren met een vaste passermaat anders dan lengte AB. Construeer met een vaste passermaat (anders dan lengte AB) de middelloodlijn van AB op het werkblad. Vanuit het antwoord bij vraag c kunnen nu aan weerszijden van lijnstuk AB twee gelijkbenige driehoek geconstrueerd worden. De middelloodlijn is de lijn door de te construeren hoekpunten van de gelijkbenige driehoeken. e. Wat is de maximale en minimale vaste passermaat die je kan nemen ten opzichte van lengte AB? Maximale vaste passermaat: Bestaat niet. Je kan hem zo groot nemen als je wil. Minimale passermaat: ½ AB. Er moeten namelijk twee snijpunten van de cirkelbogen zijn om een lijn door heen te trekken. 17

18 f. Op het werkblad zijn A en lijnstuk BC gegeven. Voor parallellogram KLMN geldt dat KL = BC en KN = BC : 2. Verder is gegeven dat K = A. Construeer parallellogram KLMN. Kopieer A naar K. Construeer de middelloodlijn van BC. Teken een cirkelboog met straal BC over het ene been van K en een cirkelboog met straal ½ BC over het andere been van K. Noem de ontstane snijpunten van de cirkelbogen met de benen van K respectievelijk L en N. Teken een cirkelboog met straal KN om L. Teken een cirkelboog met straal KL om N. Het snijpunt van de laatste twee cirkelbogen is M. 18

19 8. Een loodrechte lijn op een lijn door een punt naast de lijn a. Construeer op het werkblad loodlijn m door A op lijn k. Hint: gebruik de opgedane kennis van opdracht 5 en 7. b. Beschrijf de stappen die je hebt doorlopen. Teken een cirkelboog om A die lijn k twee keer snijdt. Neem het lijnstuk tussen deze twee punten als basis voor een middelloodlijn. Construeer de middelloodlijn van dat lijnstuk. Dit is de loodlijn door A op k. Punt A heeft namelijk gelijke afstand tot de twee eindpunten van het lijnstuk, omdat die twee punten beide op de cirkelboog om A zitten. 9. Afsluitende opdrachten a. Gegeven is de stomphoekige driehoek ABC op het werkblad. Construeer ΔKLM waarvoor geldt dat opp ΔKLM = opp ΔABC als geldt dat KL = AB en K = 90. Construeer ΔKLP die congruent is met ΔABC. Construeer een lijn door P evenwijdig met KL. Construeer de loodlijn door K op KL. Het snijpunt van de loodlijn op KL en de evenwijdige lijn aan KL is punt M. 19

20 b. Gegeven is lijnstuk PQ. Van piramide T ABCD is gegeven dat het grondvlak rechthoekig is met AB = 3 PQ en BC = 5 PQ. Verder is gegeven dat TA = TD = 4 PQ en TB = TC = 3 PQ. Construeer de uitslag van T ABCD. Construeer het rechthoekige grondvlak ABCD. Construeer de zijvlakken ABT, BCT, CDT en ADT. 20

21 Module 2: Bijzondere lijnen in driehoeken 1. De zwaartelijnen van een driehoek a. Hoeveel zwaartelijnen heeft elke driehoek? Drie, door elke hoek en overstaande zijde één. b. Construeer op het werkblad de zwaartelijnen van ΔABC. Wat valt je op? Constructie van één zwaartelijn: Construeer het midden van een zijde (module 1, opgave 7). Teken de zwaartelijn vanuit het midden van de zijde naar de overstaande hoek. De drie zwaartelijnen gaan door één punt binnen de driehoek, het zwaartepunt. 2. De hoogtelijnen van een driehoek a. Hoeveel hoogtelijnen heeft elke driehoek? Drie, door elke hoek en bijbehorende overstaande zijde één. b. Construeer op het werkblad de hoogtelijnen van ΔDEF. Wat valt je op? Constructie van één hoogtelijn: Construeer de loodlijn vanuit een hoek op de overstaande zijde (module 1, opgave 8). De drie hoogtelijnen gaan door één punt, het hoogtepunt. 3. De bissectrices van de hoeken van een driehoek a. Gegeven is ΔPQR op het werkblad. Construeer de bissectrices van P, Q en R. Wat valt je op? Pas de constructie van de bissectrice (module 1, opgave 6) toe bij elke hoek van de driehoek. De drie bissectrices gaan door één punt. 4. De middelloodlijnen van de zijden van een driehoek a. Gegeven is ΔPQR op het werkblad. Construeer de middelloodlijnen van zijden PQ, QR en PR van ΔPQR. Wat valt je op? Pas de constructie van de middelloodlijn (module 1, opgave 5) toe bij elke zijde van de driehoek. De drie middelloodlijnen gaan door één punt. 5. Omgeschreven en ingeschreven cirkel Notatie: Schrijf afstand A tot B als d(a, B) a. Leg uit waarom de drie bissectrices door één punt gaan. Hint: maak gebruik van de eerder genoemde eigenschap van de bissectrice. Neem een willekeurige driehoek ABC. Dan geldt voor een punt P 1 op de bissectrice van A: d(p 1, AB) = d(p 1, AC) en voor een punt P 2 op de bissectrice B: d(p 2, AB) = d(p 2, BC). De bissectrice van A en B snijden in punt S.In punt S geldt d(s, AB) = d(s, AC), wat precies de eigenschap is van alle punten op de bissectrice van C. Dus punt S ligt op de bissectrice van C en de bissectrice van C gaat daarom door het snijpunt S van de bissectrices van A en B. Dus de drie bissectrices gaan door één punt. b. Noem in de figuur van 3a het punt waar de drie bissectrices doorheen gaan het punt M en teken de cirkel met middelpunt M rakend aan zijde PQ. Wat valt je op? Dat de cirkel ook de twee andere zijdes raakt. c. De cirkel die alle drie de zijden van een driehoek raakt, heet de ingeschreven cirkel. 21

22 Beschrijf hoe je in zo weinig mogelijk stappen de ingeschreven cirkel kunt construeren. Het snijpunt van twee bissectrices is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De middelloodlijnen van de drie zijden van een driehoek gaan door één punt. Noem dit punt N. d. Leg uit waarom de drie lijnen door één punt gaan. Hint: maak gebruik van de eerder genoemde eigenschap van de middelloodlijn. Neem een willekeurige driehoek ABC. Dan geldt voor een willekeurig punt P 1 de middelloodlijn van AB dat d(p 1, A) = d(p 1, B) en voor een willekeurig punt P 2 op de middelloodlijn van BC dat d(p 2, B) = d(p 2, C). De middelloodlijnen van zijde AB en BC snijden elkaar in punt S.In punt S geldt d(s, A) = d(s, C), wat precies de eigenschap is van alle punten op middelloodlijn AC. Dus S ligt op middelloodlijn van AC en middelloodlijn AC gaat daarom door het snijpunt van middelloodlijnen AB en BC. Dus de drie middelloodlijnen gaan door één punt. e. Noem in de figuur van 4a het punt waar de drie middelloodlijnen doorheen gaan het punt N en teken de cirkel met middelpunt N en straal NP. Wat valt je op? Dat de cirkel ook door de andere twee punten gaat. f. De cirkel door alle drie de hoekpunten van een driehoek heet de omgeschreven cirkel. Beschrijf hoe je in zo weinig mogelijk stappen de omgeschreven cirkel kunt construeren. Het snijpunt van twee middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. 6. De rechte van Euler a.&b. Teken een lijn door de drie punten en controleer of de drie punten op één lijn liggen. Als je netjes getekend hebt, zou dit moeten kloppen. Het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn te construeren door twee hoogtelijnen, twee zwaartelijnen en twee middelloodlijnen te construeren. 7. Afsluitende opdracht: Middelpunt van een cirkel a. Gegeven is cirkel c op het werkblad. Construeer het middelpunt M. Hint: denk aan de omgeschreven cirkel. b. Beschrijf hoe je met behulp van construeren, in zo weinig mogelijk stappen, het middelpunt van een cirkel kunt vinden. Teken drie willekeurige punten op cirkel. De drie punten vormen een driehoek waarvan de cirkel de omgeschreven cirkel is. Teken twee zijden van de driehoek en construeer de middelloodlijnen. Het snijpunt van de twee middelloodlijnen is het middelpunt van de cirkel. 8. Afsluitende opdracht: Middendriehoek a. Gegeven is ΔABC op het werkblad. Construeer de middelloodlijnen van ΔABC en vervolgens de middendriehoek van ΔABC. Noem de middendriehoek ΔDEF. Construeer de middens van de zijden AB, BC en AC. Noem deze middens respectievelijk D, E en F en verbindt deze met elkaar. b. De middelloodlijnen van ΔABC zijn een drietal bijzondere lijnen van middendriehoek ΔDEF. Welk drietal bijzondere lijnen zijn dit? De drie hoogtelijnen 22

23 c. Leg uit hoe je hieruit af kunt leiden dat de hoogtelijnen altijd door één punt gaan. Deze constructie is omgekeerd te maken met elke driehoek. De hoogtelijnen van een driehoek, zijn dus altijd de middelloodlijnen van een grotere driehoek. Aangezien de middelloodlijnen van een driehoek altijd door één punt gaan (opgave 5d), gaan de hoogtelijnen dus ook door één punt. 23

24 Module 3: Construerend rekenen 1. Optellen a. Gegeven zijn twee lijnstukken AB van lengte 3 en CD van lengte 5 op het werkblad. Construeer een derde lijnstuk EF met lengte 8. Teken een lijn vanuit een punt E en zet met de passer de lengtes van AB en CD achter elkaar daar op uit. b. Construeer een lijnstuk AG met lengte 8. Verleng AB tot een lijn en zet met de passer lengte CD achter AB op de verkregen lijn uit. 2. Aftrekken a. Neem dezelfde lijnstukken AB van lengte 3 en CD van lengte 5 op het werkblad. Construeer lijnstuk CH van lengte twee. Construeer CE van lengte CD. Construeer in tegengestelde richting DE van lengte AB. b. Construeer een lijnstuk KL van lengte 1. Je mag daarbij geen gebruik maken van het delen van lijnstuk CH. Dit kan op meerdere manieren. Construeer bijvoorbeeld een lijnstuk van lengte 6 en haal daar 5 van af. Een andere mogelijkheid is twee lengtes van 5 en daar drie lengtes van 3vanaf gehaald. 3. Vermenigvuldigen a. Gegeven is het lijnstuk BC van een willekeurige lengte op het werkblad. Construeer een lijnstuk BD dat 2 keer zo lang is als BC. b. Construeer een lijnstuk BE dat 5 keer zo lang is als BC. c. Construeer een lijnstuk BF dat 8 keer zo lang is als BC. Ga voor hulp bij constructies 3a, 3b en 3c naar module 1, opgave 2. d. Maak deze opdracht als je bij 3b geen verdubbelingsconstructie hebt gebruikt. Construeer nogmaals in zo weinig mogelijk stappen een lijnstuk dat 5 keer zo lang is als BC. Verdubbel het lijnstuk BC, verdubbel vervolgens het verkregen lijnstuk zodat je een lijnstuk hebt dat 4 keer zo lang is als BC. Verleng dit lijnstuk met nogmaals een lengte BC. e. Beredeneer hoeveel constructiestappen minimaal nodig zijn om een lijnstuk 200 keer zo lang te maken. Met zes maal verdubbelen heb je een lijnstuk dat 128 keer zo lang is, let op dat je dan al 7 constructiestappen gemaakt hebt. Die kan je verlengen met het lijnstuk dat 64 keer zo lang is, welke je bij een tussenstap hebt geconstrueerd. Dan heb je een lijnstuk dat = 192 keer zo lang is. De laatste stap is het lijnstuk verlengen met het lijnstuk dat 8 keer zo lang, welke je ook bij een tussenstap hebt geconstrueerd. Dat zijn 9 stappen. f. Kun je met deze techniek ook een lijnstuk vermenigvuldigen met 2,8? Nee. 2,5 zou wel kunnen, verdubbelen en de helft toevoegen. Maar één vijfde van een lijnstuk heb je nog niet leren construeren. g. Leg uit hoe de constructie is opgezet en hoe daaruit volgt dat lengte BD het product is van lengte AB en lengte CE. Hint: maak gebruik van gelijkvormigheid. Constructie: Teken AB met lengte a. 24

25 Teken AC onder een willekeurige hoek van AB met lengte 1. Verleng AC met lengte b tot E. Verleng AB ver genoeg. Construeer een evenwijdige lijn aan CB door E. Het snijpunt van de verlenging van AB met de evenwijdige lijn is D. Berekening: AB AD AD AB BD ΔABC is gelijkvormig met ΔADE, dus = = = en dus AB = BD. Invullen geeft AC AE AE AC CE AC CE a ab = en dat klopt. 1 b h. Op het werkblad zijn gegeven de lijnstukken KL, MN en PQ met lengtes 1, c en d. Construeer een lijnstuk met de lengte van het product cd. Zelfde constructie als 3g. i. Op het werkblad zijn gegeven de lijnstukken AB, CD, EF en GH met lengtes 1, a, b en c. Construeer een lijnstuk met de lengte van het product abc. Construeer ab, herhaal de constructie met ab en c. 4. Delen a. Welke eerdere constructie kan opgevat worden als het delen door 2? De middelloodlijn constructie (module 1, opgave 7). b. Gebruik deze constructie om op het werkblad lijnstuk AB in 8 gelijke stukken te delen. Construeer de middelloodlijn van AB. Construeer vervolgens de middelloodlijnen van de twee verkregen lijnstukken,nu is AB in vier gelijke stukken verdeeld. Construeer nu nogmaals de vier middelloodlijnen van de vier stukken. c. Kun je met deze constructie een lijnstuk ook in 6 gelijke stukken verdelen? Licht je antwoord toe. Nee, dan heb je een driedeling nodig en die kent de leerling nog niet. d. Beschrijf de stappen van de constructie. Teken een lijn k vanuit A onder hoek ten opzichte van AB. Neem een vaste passermaat en zet vijfde vijf punten A 1, A 2, A 3, A 4 en A 5 uit op k met gelijke afstand van elkaar. Verbindt A 5 met B. Construeer vier evenwijdige lijnen A 1, A 2, A 3, A 4 aan lijnstuk A 5 B. e. Maakt het uit welke straal gekozen wordt voor de cirkelbogen en hoe schuin lijn k staat? Nee. f. Op het werkblad staat lijnstuk AB nogmaals gegeven. Verdeel lijnstuk AB in zes gelijke delen. Zelfde constructie maar dan met een extra punt A 6. g. Kun je deze techniek gebruiken om een lijnstuk te delen door 2,8? Nee. 25

26 h. Bedenk een constructie voor het delen van twee getallen en voer deze uit. Noem in tegenstelling tot bij vermenigvuldigen niet lijnstuk CE = b, maar BD = b. De deling b/a wordt nu gegeven door de lengte CE. i. Op het werkblad zijn gegeven de lijnstukken CD, EF en GH met lengtes 1, a en b. Construeer een lijnstuk met de lengte van de deling a/b. Soortgelijke constructie als bij h. 5. Afsluitende opdrachten a. Op het werkblad zijn gegeven de lijnstukken AB, BC, CD, DE en EF met lengtes 1, a, b, c en d. Construeer een lijnstuk met de lengte van ab cd. Construeer ab, cd en daarna ab/cd. b. Gegeven zijn de lijnstukken AB, BC en EF met lengtes 1, a en d. De lengte van product ad is de omtrek van de gelijkzijdige driehoek KLM. Construeer ΔKLM. Construeer ad. Deel ad in drie gelijke lengten. Construeer de gelijkzijdige driehoek met 1/3 van het lijnstuk met lengte ad. c. Gegeven zijn de lijnstukken PQ, QR en RS met lengtes 1, p en q. Construeer het vierkant ABCD waarvan AC lengte p q heeft. Construeer het vierkant ABCD. Construeer p, noem de uiteinden A en.c q Construeer de middelloodlijn van AC, noem S het midden van AC. Teken de cirkel met middelpunt S en straal AS. De snijpunten van de middelloodlijn en cirkel zijn de punten B en D van vierkant ABCD. 26

27 Module 4: Wortels 1. Wortel constructies a. Construeer 2. Construeer twee gelijke lijnstukken onder een rechte hoek met elkaar. Het lijnstuk dat de twee andere uiteinden verbindt heeft de gevraagde lengte volgens de stelling van Pythagoras. b. Construeer 5. Zelfde constructie als 1a, maar dan met een lijnstuk van lengte 1 en van lengte 2. c. Construeer 8. Zelfde constructie als 1a, maar dan met twee lijnstukken van lengte 2. d. Construeer 10. Zelfde constructie als 1a, maar dan met een lijnstuk van lengte 1 en van lengte 3. e. Construeer 13. Zelfde constructie als 1a, maar dan met een lijnstuk van lengte 2 en van lengte 3. Gebruikmakend van Pythagoras en de kennis die je bij opgave a t/m e hebt opgedaan is het ook mogelijk om misschien niet zo voor de hand liggende wortels te construeren. f. Construeer 3. Zelfde constructie als 1a, maar dan met een lijnstuk van lengte 1 en van lengte 2. g&h. Voor het construeren van 7zijn er twee mogelijkheden. Geef naast je antwoord op opdracht g nog een tweede mogelijke constructie. 27

28 Gebruik een lijnstuk van lengte 1 en 5 om 6 te construeren. Daarna kan met een lijnstuk van lengte 1 en 6, 7 geconstrueerd worden. Allebei de constructies gaan op dezelfde manier als in 1a. Zelfde constructie als 1a, maar dan met een lijnstuk van lengte 2 en van lengte 3. In de laatste drie opgaven heb je een indirecte manier gebruikt om n te construeren. i. Zoek uit wat het minimale aantal constructiestappen is om 43 te construeren. De minste aantal stappen is 2. Eerst de constructie uit 1a met lengte 5 en 3, wat Daarna nogmaals met 34 en 3, wat 43 oplevert. 34 oplevert. 2. De directe constructie van n a. De constructie is gebaseerd op de stelling van Thales. Geef de stelling van Thales. Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek. Oftewel de omtrekshoek op de middellijn van een cirkel is een rechte hoek. Voor ΔABC geldt dat C = 90. Op het werkblad is zijde AB en het voetpunt D van de hoogtelijn uit C gegeven. Construeer ΔABC. Construeer de loodlijn door D op AB (C ligt op deze lijn). Construeer het midden van AB. Teken de cirkel met middelpunt het midden van AB en straal ½ AB (C ligt op deze cirkel). Noem één van de twee snijpunten tussen de loodlijn en de cirkel C. b. Neem AD = p, BD = q en CD = h. Toon aan dat geldt h 2 = pq. Stap 1: Toon aan ΔADC gelijkvormig is met ΔCDB. ADC = BDC = 90 DAC + DBC = 90 (hoekensom driehoek), DCB + DBC = 90 (hoekensom driehoek), dus DAC = DCB Stap 2: Gebruik de verhoudingen die uit de gelijkvormigheid volgen. Gelijkvormigheid geeft p = h dus h 2 = pq. h q c. Licht toe dat met deze constructie van elk getal de wortel te construeren is. Neem p of q van lengte 1. De ander de lengte n waarvan je de wortel wil construeren. Voer de constructie van 2b uit. Dan krijg je h 2 =1 n = n. Dus h = n. 28

29 3. Afsluitende opdrachten a. Construeer een gelijkzijdige driehoek met zijde kan op verschillende manieren geconstrueerd worden. Neem bijvoorbeeld de directe constructie met p = 6 en q = 4 of p = 12 en q = 2. Of neem de indirecte constructie uit 1a met 4 en 2 en daarna nogmaals met 2. Doe daarna de constructie van de gelijkzijdige driehoek met het geconstrueerde lijnstuk van lengte 24 (module 1, opgave 1c). b. Construeer ΔABC waarvan gegeven is dat AB = 20 en BC = 15 en waarvan de straal van de omgeschreven cirkel 8 is. Construeer 8 (opgave 1c). Teken een cirkel met straal 8. Construeer 20 met twee lijnstukken van lengte 4 en 2. Noem een punt op de cirkel A. Neem met je passer lengte 20 op. Zet je passerpunt op A en teken een cirkelboog door de cirkel, noem het snijpunt B. Construeer 15 met de directe constructie met 3 en 5. Neem met je passer lengte 15 op. Zet je passerpunt op B en teken een cirkelboog door de cirkel, noem het snijpunt C Verbindt A en B, B en C en A en C Let op dat er twee mogelijkheden zijn voor ΔABC: C 1 en C 2. Laat de leerling beide driehoeken tekenen. 29

30 Module 5: Regelmatige veelhoeken construeren 1. Regelmatige vierhoek c. Construeer in cirkel c op het werkblad een regelmatige vierhoek ABCD met de hoekpunten gelegen op de cirkel. Construeer het midden van de cirkel (module 2, opgave 7). Teken een middellijn. Construeer een tweede middellijn loodrecht op de eerste. De vier eindes van de twee middellijnen zijn de hoekpunten van het vierkant (de middellijnen zijn de diagonalen). 2. Regelmatige driehoek a. Zie figuur 5.1. Toon aan dat voor een gelijkzijdige driehoek met zijden 3de afstand van elk hoekpunt tot het hoogtepunt van de driehoek gelijk is aan 1. Vanwege symmetrie geldt voor een gelijkzijdige driehoek dat de hoogtelijnen, bissectrices en zwaartelijnen samenvallen. Pythagoras toepassen in ΔADC geeft CD = 1,5. Zwaartelijnen delen elkaar in de verhouding 2 : 1. CS : DS = 2 : 1, dus CS = 1 b. Op het werkblad is cirkel d gegeven. Construeer een regelmatige driehoek DEF waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. Construeer het middelpunt van de cirkel. Teken een middellijn van de cirkel. Neem de helft van de middellijn als lengteeenheid en construeer hiermee 3. Kies een willekeurig punt A op de cirkel en teken een cirkelboog met straal 3, zo dat deze op twee plaatsen de cirkel snijdt. Dit zijn de punten B en C. 3. Regelmatige zeshoek a. Leg uit waarom deze constructie een regelmatige zeshoek oplevert. Elke paar naast elkaar gelegen snijpunten vormen samen met het middelpunt een gelijkzijdige driehoek omdat de zijden gelijk zijn aan de straal. Een gelijkzijdige driehoek heeft hoeken van 60. Een patroon van zes gelijkzijdige driehoeken is sluitend omdat in het middelpunt de hoeken van de zes driehoeken samen precies 360 zijn. 30

31 b. Leg uit dat je deze constructie kunt gebruiken om een regelmatige driehoek in een cirkel te construeren. Drie hoekpunten van de zeshoek die niet naast elkaar liggen, vormen een gelijkzijdige driehoek. c. Construeer op je werkblad in cirkel e in een regelmatige driehoek KLM met deze nieuwe constructie. Doe dit in zo weinig mogelijk stappen. Construeer het middelpunt van de cirkel. Zet de passerpunt op een willekeurig punt de cirkel. Teken een cirkelboog door het middelpunt van de cirkel, zo dat de cirkel op twee punten wordt gesneden. Noem deze punten punt K en L. Zet de potloodpunt op K of op L en zet je passerpunt op de cirkel. Teken de cirkelboog zodat deze de cirkel nogmaals snijdt. Noem dit punt M. 4. Regelmatige vijfhoek x 1 a. Toon met gelijkvormigheid aan dat geldt =. 1 x 1 EC //AB, dus CES = ABS (Zhoeken) ESC = ASB (overstaande hoeken) Hieruit volgt dat ΔABS en ΔECS gelijkvormig zijn. Verder geldt op gelijksoortige manier dat ES//CD en DE//CS. Omdat CD = DE = 1 geldt dat DESC is een ruit en dus is CS = ES = 1. Uit de gelijkvormigheid volgt dat EC : AB = SC : AS. AS = x 1, SC = 1, EC = x, AB = 1 x 1 Dus =. 1 x 1 b. Toon aan dat hieruit volgt dat 1+ 5 x =. 2 De vergelijking uit 4a kruiselings vermenigvuldigen en uitwerken geeft x 2 x 1 = 0. Hieruit volgt met de abcformule of kwadraatafsplitsen dat 1+ 5 x =. 2 c. Construeer met behulp van de lengteeenheid op het werkblad een vijfhoek PQRST met zijden 1. Construeer EC van lengte 1+ 5 x =. 2 Construeer de gelijkbenige driehoek EDC met vaste passermaat 1. Construeer ΔEAC. Construeer ΔEBC. Verbindt de hoekpunten. 31

32 5. Regelmatige twaalfhoek a. Leg met behulp van de figuur uit dat een regelmatige twaalfhoek kan worden geconstrueerd door regelmatige driehoeken en vierhoeken te combineren. Kleinste draaihoek van een twaalfhoek is 360 : 12 = 30. Noem M het middelpunt van de cirkel dan geldt dat CMF = FMD CMD = = 30. Lijnstuk CF is een zijde van de twaalfhoek omdat er precies 12 aaneengesloten koorden met deze lengte op de cirkel te tekenen zijn. b. Construeer een twaalfhoek. Kies zelf een combinatie van regelmatige veelhoeken en een handige grootte. A Construeer een gelijkzijdige driehoek in een willekeurige cirkel Construeer een vierkant waarvan een hoekpunt samenvalt met een hoekpunt van de driehoek Doe dit nog twee maal bij de andere twee hoekpunten van de driehoek De twaalf hoekpunten op de cirkel zijn de hoekpunten van de twaalfhoek 6. Afsluitende opdracht: regelmatige vijftienhoek a. Construeer een vijftienhoek. Gebruik de constructie uit opgave 5, met een gelijkzijdige driehoek en regelmatige vijfhoek. b. Leg uit waarom de verkregen vijftienhoek regelmatig is. Kleinste draaihoek van een vijftienhoek is 360 : 15 = 24. Noem M het middelpunt van de cirkel dan geldt dat CMG = EMC EMG = = 24. Lijnstuk CG is een zijde van de regelmatige vijftienhoek omdat er precies 15 aaneengesloten koorden met deze lengte op de cirkel te tekenen zijn. 32