Oefeningen Reeks : 1.2 :

Transcriptie

1 125 Oefeningen Reeks : Veel diersoorten worden bedreigd, zo ook de walvis. Regelmatig worden er uitermate moeilijke en daarom ook niet geheel betrouwbare tellingen uitgevoerd. Dit leverde de volgende tabel op voor 7 soorten walvissen, gemeten in Daarnaast zijn er ruwe schattingen over de oorspronkelijke aantallen walvissen: soort walvis gemid. lengte freq. in 1980 oorspr. freq. volw. walvis (geschat) gewone vinvis noordse vinvis blauwe vinvis dwergwalvis bultrug grijze walvis dwergvinvis a) Bepaal aan de hand van de kolom gemiddelde lengte van volwassen walvissen het gemiddelde, de modus, de mediaan, de variantie en de standaardafwijking van de gemiddelde lengte van 7 volwassen walvissen, van ieder soort één. b) Bepaal, rekening houdend met het aantal volwassen walvissen per soort het gewogen gemiddelde van de gemiddelde lengte van een volwassen walvis in 1980, als we er van uitgaan dat voor alle soorten gold dat er 60% volwassen dieren en 40% nog niet volgroeide dieren waren. c) Sorteer de gegevens in oplopende oorspronkelijke frequentie. Maak kolomdiagrammen van de oorspronkelijke frequentie en van de frequentie in 1980 en vergelijk deze met elkaar. Welke walvissoort is het sterkst in aantal verminderd? Vergelijk daarna de kolom diagrammen van de relatieve frequenties, oorspronkelijk en in 1980, met elkaar. Welke conclusies trek je hieruit? d) Maak een nieuwe kolom met de verschilfrequentie: (oorspronkelijke frequentie - frequentie 1980). Bepaal van deze verschil frequentie het gemiddelde en de variantie. Wat is het verband tussen het gemiddelde van de verschilfrequentie en de gemiddelden van de oorspronkelijke frequentie en de frequentie in 1980? Wat is het verband tussen de variantie van de verschilfrequentie en de varianties van de oorspronkelijke frequentie en de frequentie in 1980? 1.2 : Men heeft een steekproef van 53 metingen van het stikstofgehalte van een bepaalde soort kunstmest. Het stikstofgehalte is uitgedrukt in gewichtsprocenten; de gegevens zijn afgerond op tienden van gewichtsprocenten: a) Bepaal aan de hand van deze steekproef het gemiddelde stikstofgehalte van de kunstmest, de modus, de mediaan en de standaardafwijking. b) Selecteer de waarnemingen met een stikstofgehalte van 18 gewichts% en hoger en bepaal hiervan gemiddelde en standaardafwijking. c) Maak van de 53 waarnemingen een frequentietabel met 13 klassen, maak een bijbehorend histogram en een bijbehorende cumulatieve verdelingsfunktie. Bekijk hoe de keuze van het

2 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks aantal klassen, de klassebreedte en de begin- en eindwaarden van de klassen van invloed zijn op het histogram. d) Maak een empirische verdelingsfunktie van deze 53 metingen. e) Ga er nu vanuit dat deze metingen gedaan zijn aan twee weinig van elkaar verschillende typen kunstmest, type A en type B. De even metingen (meting 2, 4, 6,...) behoren bij type A, de oneven metingen (meting 1, 3, 5,...) horen bij type B. Bepaal het gemiddelde stikstofgehalte en de variantie van kunstmest A, evenzo van kunstmest B. Teken ook een box-plot voor beide groepen. 1.3 : Van 200 monsters van een meststof is het stikstofgehalte gemeten, de resultaten zijn opgenomen in onderstaande frequentietabel. Bereken hieruit het gemiddelde, de modus, de mediaan en de standaardafwijking van het stikstofgehalte. Maak een histogram van deze gegevens. N-gehalte in % aantal monsters ] ] 6 ] ] 16 ] ] 22 ] ] 38 ] ] 44 ] ] 30 ] ] 18 ] ] 12 ] ] 8 ] ] : De voorlopige eindcijfers voor statistiek in juni 1996 waren de volgende: a) Bepaal gemiddelde, mediaan en modus. b) Bepaal spreiding, interkwartiel en MAD. c) Bepaal de 10%- en 90%-percentielen. d) Teken een histogram met klassemiddens 1.5, 3.5, 5.5, etc. en klassebreedte 2. e) Teken een box-plot voor deze data. 1.5 : Een bekende historische dataset uit de biologie is de verzameling metingen van Bumpus van lichaamskarakteristieken van een aantal dood gevonden en levend gevangen (volwassen) mussen uit Neem deze data over in een Statview-, SPSS- of Excelfile. a. Bepaal het steekproefgemiddelde en de spreiding (standaarddeviatie) in de vijf gemeten grootheden. b. Bepaal de modus, de mediaan en het interkwartiel van de kolommen totale lengte en spanwijdte en maak boxplots van beide datasets. Geef nauwkeurig de afmetingen van de verschillende elementen van deze boxplots aan. c. Maak histogrammen van de vijf grootheden; gebruik 9 deelintervallen.

3 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks nummer tot.lengte spanwijdte kop+bek humerus sternum toestand dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood dood levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend levend d. Uit het histogram van de sternumlengten zien we dat er een sterk afwijkende meting is. Het lijkt waarschijnlijk dat dit een meet- of typefout is. Verwijder deze meting en bepaal opnieuw het gemiddelde, de mediaan, de spreiding en het interkwartiel. Welke van deze grootheden zijn veel en welke nauwelijks veranderd? e. Maak een gewogen gemiddelde van de vijf kolommen, waarbij iedere kolom wordt gewogen met het inverse van zijn gemiddelde, en bepaal opnieuw het gemiddelde, de mediaan, de spreiding en het interkwartiel. f. Maak de covariantie- en de correlatiematrix van deze dataset. 1.6 : Bij het bekende experiment van Rutherford en Geiger betreffende radioactief verval uit de begindagen van de studie van radioactiviteit werd gedurende 2608 tijdsintervallen van 8 minuten

4 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks het aantal desintegraties geteld in een stukje radioactief polonium (zie syllabus, hoofdstuk 13). De gegevens zijn hieronder overgenomen. aantal α-deeltjes waargenomen per tijdsinterval aantal van 8 min tijdsintervallen Bepaal het gemiddelde aantal desintegraties per tijdsinterval van 8 minuten en bepaal de spreiding ervan. 1.7 : Gegeven zijn de vijf metingen {1, 2, 3, 4, 5} van de grootheid X; dus x k = k (k =1 5). a. Bepaal het gemiddelde x en de empirische variantie s x, de mediaan m x en het interkwartiel I x. b. We transformeren deze data met de functie f(x) :=x 2, zodat y k = k 2 (k =1 5). Bepaal het gemiddelde y en de empirische variantie s y en vergelijk deze met f(x) ens x f (x), en vergelijk dit met de formules ( ) in de syllabus. c. doe hetzelfde met de mediaan m y en het interkwartiel I y. Herhaal deze berekeningen met de data {2.8, 2.9, 3.0, 3.1, 3.2}. Wat is het verschil met de vorige dataset? 1.8 : In een steekproef van 20 onafhankelijke waarnemingen van X vinden we de volgende waarden: {4, 5, 8, 0, 1, 5, 7, 0, 4, 1, 4, 7, 6, 9, 8, 5, 1, 7, 4, 3}. Bepaal de modus en de mediaan en teken een Boxplot van deze data. Geef nauwkeurig de afmetingen van de verschillende elementen van deze boxplot aan. 1.9 : Gegeven zijn n metingen {x 1,,x n }en y i := f(x i ) (i =1 n) voor een gegeven gladde functie f. Bewijs dat de mediaan med x de functie g n i=1 x i g minimaliseert. Bepaal vervolgens (zie syllabus formule 1.18) voorwaarden waaronder geldt f(med x )=med y en 1 n n i=1 y i f(med x ) f (med x ) n n x i med x i=1

5 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : Voor de gebeurtenissen A en B is gegeven P (A) = 3 4 en P (B) = 4 5. Bepaal, indien mogelijk, P (A B) als verder gegeven is: a. A en B zijn onafhankelijk, b. P (A B) = 3 5, c. P (A B) = 1, 2 d. P (B A) = : In doos een zitten negen witte knikkers en een rode en in doos twee zitten vijf rode en twee witte. Als je willekeurig een doos neemt en hieruit ongezien een knikker pakt, a. wat is dan de kans op een witte knikker? b. wat is de kans dat deze witte knikker uit doos een kwam? 2.3 : Bij het klaverjassen wordt met 4 spelers gespeeld. Je hebt een vaste maat, die tegenover je zit. Alleen de kaarten 78910BVHAworden in het spel gebruikt. De overige worden geschud en op een apart stapeltje gelegd. Bij ieder nieuw spel wordt de bovenste kaart van dit stapeltje genomen (zonder teruglegging) en bepaalt deze de troefkleur. a. Wat is dan de kans dat een speler hartenboer en hartenaas krijgt? b. Wat is de kans dat harten troef is in het derde spel, als dit ook in de eerste twee spelen het geval was? c. Wat is de kans dat mijn maat geen troef heeft als ik er zelf vier heb? 2.4 : Ik heb twee stukken van 20F op zak en gooi met een ervan. Deze laat de muntzijde zien. Een grapjas heeft echter (zonder dat ik dat gezien heb) op een van de munten de afbeelding van Albert vervangen door de 20F afbeelding. a. Bepaal de kans dat de onderzijde van deze munt de beeldenaar van Albert laat zien. b. Ik gooi een tweede maal met dezelfde munt en zie opnieuw de muntzijde. Wat is nu de kans dat met de betreffende munt niet geknoeid is 2.5 : We gooien met een rode en een groene dobbelsteen (tegelijk) en we definiëren de gebeurtenissen A, B, encdoor: A : De rode steen is oneven, B : De groene steen is oneven, C : De som van de rode en groene steen is oneven. Laat zien dat deze drie gebeurtenissen twee aan twee onafhankelijk zijn, maar dat A, B en C niet gedrieën onafhankelijk zijn (dat de derde afhankelijk is van de andere twee) 2.6 : Een televisiepresentatrice doet tijdens een show een spel. Zij werpt tweemaal met een eerlijke munt, maar houdt het resultaat verborgen. Zij vertelt slechts, dat de uitslag minstens eenmaal kop was en laat iemand uit het publiek (zeg Louis) raden wat de uitslag van de andere munt was. a. Wat kan Louis het beste antwoorden en waarom? (d.w.z. bereken de kans, dat het antwoord kop resp. munt juist is) b. Wat is de kans op een goed antwoord, als zij bovendien vertelt dat het resultaat kop in de tweede beurt werd gegooid? 2.7 : Een massieve kubus, gemaakt van een wit materiaal, wordt aan de buitenkant volledig zwart geschilderd en daarna in kubusjes van gelijke grootte gesneden. Deze 64 kubusjes worden grondig gemengd. Bereken de kans dat een lukraak gekozen kubusje juist 2 zwarte vlakjes heeft. 2.8 : Men heeft 2 dobbelstenen, een rode en een blauwe. Bereken als men éénmaal gooit met deze twee dobbelstenen de volgende kansen:

6 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks a) P (2 énen) b) P (minstens 1 één) c) P (rode steen een 1 of blauwe steen een 6) d) P (rode steen een 1 of som van de ogen van beide stenen is 5) e) P (rode steen een 1 som van de ogen van beide stenen is 6) f) P(rode steen een 1 en som van de ogen is 5) 2.9 : We bekijken het volgende electrische schema: b1 M a b2 N b3 A is de gebeurtenis dat het element a geen stroom doorlaat. B i is de gebeurtenis dat het element b i geen stroom doorlaat, (i = 1, 2 of 3). De kans op gebeurtenis A is P (A) =0.2endekans op gebeurtenis B i is P (B i )=i/4 (i= 1, 2 of 3); de gebeurtenissen A en B i zijn stochastisch onafhankelijk. a) Bereken de kans dat er geen stroom loopt tussen M en N. b) Bereken de kans dat er minstens langs één weg stroom loopt van M naar N : Gegeven zijn 3 gebeurtenissen A, B en C. Vindt uitdrukkingen in termen van de verzamelingen (gebeurtenissen) A, B en C en de operatoren, en complement voor het geval dat: a) alleen A optreedt b) A en B, maar niet C optreden c) A, B en C optreden d) tenminste één van de drie optreedt e) tenminste twee van de drie optreden f) geen enkele van de drie optreedt g) precies één van de drie optreedt h) niet meer dan twee optreden : Laat Ω de uitkomstenruimte zijn van een experiment en laten A en B Ω twee gebeurtenissen zijn. a) Wanneer zijn A en B onafhankelijk? b) Bewijs dat onafhankelijkheid van A en B eveneens onafhankelijkheid van A c en B c impliceert : Een onderzoeker test mensen op kleurenblindheid door ze een aantal kaartjes, alle verschillend van kleur, in even zoveel doosjes te laten stoppen. Bij elk kaartje hoort precies één doosje van dezelfde kleur. De onderzoeker verklaart iemand kleurenblind als hij niet ieder kaartje in het bijbehorende doosje gestopt heeft. De veronderstelling van de onderzoeker hierbij is dat iemand die kleurenblind is elk kaartje aselect in één van de nog lege doosjes zal stoppen. a) Het experiment wordt met drie doosjes uitgevoerd. Hoe groot is de kans dat, onder de veronderstelling van de onderzoeker, een kleurenblinde elk kaartje in het juiste doosje zal doen en dus niet als kleurenblinde herkend zal worden. b) Hoe groot moet het aantal doosjes minstens zijn om de kans dat een kleurenblinde niet als zodanig herkend wordt, kleiner dan 1% te laten zijn? c) Als we er van uitgaan dat 1% van de mensen kleurenblind is, hoe groot moet de kleinst mogelijke steekproef dan zijn, opdat de kans dat deze minstens één kleurenblinde bevat groter of gelijk is aan 0.95?

7 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks : Iedere boerenzwaluw komt gewoonlijk naar dezelfde plaats terug en gebruikt vaak het nest van het vorig jaar. De kans dat beide ouders echter zowel de najaars- als de voorjaarstrek overleven is slechts één op vijf. Als we aannemen dat de voorjaarstrek en de najaarstrek verhoudingsgewijs evenveel slachtoffers kosten, en dat het overleven van de voorjaarstrek en het overleven van de najaarstrek onafhankelijke gebeurtenissen zijn, hoe groot is dan het percentage boerenzwaluwen dat één trek overleeft? 2.14 : Is de kans om met één dobbelsteen in 6 worpen precies één zes te gooien even groot als de kans om in 12 worpen precies twee zessen te gooien? 2.15 : In de veronderstelling dat er evenveel meisjes als jongens geboren worden, bereken de kans dat in een gezin van 5 kinderen a) alle kinderen van hetzelfde geslacht zijn, b) de 3 oudsten jongens en de 2 jongsten meisjes zijn, c) er 3 jongens en 2 meisjes zijn : In het stroomgebied van een rivier bevinden zich twee potpolders R 1 en R 2, die bij een hoge waterstand onder water kunnen komen te staan. Laat A de gebeurtenis zijn dat R 1 onder water komt te staan en laat B de gebeurtenis zijn dat R 2 onder water komt te staan in een bepaald jaar. Gegeven zijn de volgende kansen: P (A) =0.20 en P (B) =0.15; de kans dat R 1 en R 2 beide overstromen in eenzelfde jaar is Er wordt verondersteld dat overstromingen in opeenvolgende jaren onafhankelijke gebeurtenissen zijn. a) Bereken de kans dat er in een bepaald jaar slechts één potpolder onder water komt te staan. b) Bereken de kans op een jaar zonder overstromingen c) Bereken de kans dat wanneer er een overstroming optreedt in R 2 er eveneens in datzelfde jaar een overstroming in R 1 op zal treden. Wat kan er gezegd worden over de afhankelijkheid van de twee gebeurtenissen A en B? d) Bereken de kans op 3 overstromingsjaren van potpolder R 1 in de komende 10 jaar : Drie personen hebben een bepaalde ziekte opgelopen. Waarnemingen hebben uitgewezen dat 10% van diegenenen die deze ziekte oplopen er niet van genezen. Wat is dan de kans dat ze alle drie genezen? Wat is de kans dat geen enkel van de drie geneest? 2.18 : Men werpt een teerling 6 maal. Vergelijk de kans dat men tweemaal twee, tweemaal vier en tweemaal zes werpt met de kans dat men driemaal twee en driemaal vier werpt : Men zet volgens toeval acht witte torens op de velden van een schaakbord. Hoe groot is de kans dat geen enkele toren door één van de andere torens gedekt staat? 2.20 : Fons en Tuur spelen het volgende spel: Twee teerlingen worden geworpen. Fons wint als de som van de ogen groter is dan 7 en verliest als de som kleiner is dan 7. Bij een som van 7: gelijk spel. Is dit een eerlijk spel (m.a.w. hebben beide gelijke kansen om te winnen)? 2.21 : Klaas en Joris spelen het volgende spel: drie teerlingen worden geworpen. Klaas wint als de som van de ogen groter is dan 10 en verliest als de som kleiner is dan 10. Bij een som van 10: gelijk spel. Is dit een eerlijk spel (m.a.w. hebben beide gelijke kansen om te winnen)?

8 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : In een vaas zitten 7 briefjes, op ieder briefje staat één letter van het woord energie. Iemand trekt aselect 3 briefjes uit deze vaas. Bereken de kans om met de 3 getrokken letters de woorden erg en een te kunnen vormen als er a) getrokken wordt met teruglegging b) getrokken wordt zonder teruglegging. 3.2 : Vijf tweede-kandidatuurstudenten zitten samen aan tafel in het restaurant. a) Bepaal de kans dat er minstens twee van deze vijf studenten op een maandag geboren zijn. b) Bepaal de kans dat ze alle 5 op een verschillende dag van de week geboren zijn. c) uit hoeveel studenten moet een groep minstens bestaan opdat er met minstens 95% zekerheid geldt dat minstens één student op een maandag geboren is? 3.3 : Men heeft een partij van 100 stuks. In deze partij zitten 5 defecte produkten. Er wordt een steekproef genomen van 20 stuks; als in deze steekproef meer dan 2 defecte produkten voorkomen wordt de hele partij afgekeurd. Bereken de kans dat de partij zal worden afgekeurd als a) de steekproef genomen wordt met teruglegging, b) de steekproef genomen wordt zonder teruglegging. 3.4 : Men verdeelt 52 kaarten willekeurig onder 4 personen, zodat iedere speler juist 13 kaarten krijgt. Wat is de kans dat iedere speler precies één koning heeft? 3.5 : Men verdeelt 52 kaarten willekeurig onder 4 personen, zodat elke persoon juist 13 kaarten heeft. Wat is dan de kans dat speler A 13 kaarten van dezelfde kleur heeft? Wat is de kans dat hij juist 12 kaarten van dezelfde kleur heeft? 3.6 : Men verdeelt 52 kaarten willekeurig onder 4 personen, zodat elke persoon juist 13 kaarten heeft. A (Noord) heeft juist 5 harten. Wat is de kans dat zijn medespeler C (Zuid) juist 3 harten heeft? Wat is de kans dat C geen enkele harten heeft? 3.7 : Men gooit twee dobbelstenen. Bereken de kans dat ze allebei een vier tonen als gegeven is dat de som van het aantal ogen zeven of acht is? 3.8 : Een grondstof, gebruikt in de produktie van een scheikundig produkt kan van zes verschillende plaatsen afkomstig zijn met kansen: De kans dat het gemaakte produkt voldoet aan een aantal kwaliteitseisen als de grondstof van de respectievelijke plaatsen komt is: Wat is het percentage produkten, dat voldoet aan de kwaliteitseisen? 3.9 : Iemand heeft altijd twee doosjes lucifers op zak. Als hij een lucifer nodig heeft neemt hij volgens toeval één van beide doosjes en neemt er een lucifer uit. Hij begint met twee doosjes met elk n lucifers. Hoe groot is de kans dat op het moment waarop hij het ene doosje leeg maakt het andere nog k lucifers bevat? 3.10 : Karel en Lodewijk schieten elk tweemaal naar een doel. Bij elk schot hebben ze ieder een kans p om raak te schieten. Indien men weet dat er op 4 schoten twee raak zijn, bereken dan a) de kans dat beide treffers van Karel komen b) de kans dat één treffer van Karel komt en de andere van Lodewijk.

9 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks : Vaas A bevat twee rode en twee witte knikkers en vaas B bevat vier witte knikkers. Men trekt een knikker uit één der vazen en deze is wit. Wat is de kans dat deze knikker uit vaas B kwam? 3.12 : De kans dat je slaagt voor het examen statistiek is 100% als je de stof (en vooral de oefeningen) goed genoeg bestudeerd hebt. Bekend is echter dat 50% van de studenten zich niet goed genoeg voorbereid en voor hen is de slagingskans slechts 40%. Bepaal de kans dat een geslaagde student zich onvoldoende had voorbereid : Van een test op een bepaald soort kanker zijn de volgende statistische gegevens bekend: De kans op het optreden van deze ziekte is Indien iemand deze ziekte heeft zal in 90% van de gevallen de test dat juist aangeven. De kans dat de test een foutieve diagnose geeft, dwz. suggereert dat iemand kanker heeft, terwijl dat in werkelijkheid niet waar is, is Bereken de kans dat, als de test wijst op kanker, de persoon ook werkelijk deze ziekte heeft : Machine A produceert van een bepaald product tweemaal zoveel als machine B. Machine A levert 5% defecte produkten, machine B 7%. Een klant krijgt een defect produkt. Hoe groot is de kans dat dit produkt afkomstig is van machine A? 3.15 : Een binair telecommunicatiesysteem zendt de signalen 0 en 1 door. Door mogelijke storingen tijdens de teletransmissie worden er gemiddeld 2 op de 5 nullen en 1 op de 3 énen onjuist ontvangen. Veronderstel dat de verhouding tussen de doorgezonden nullen en énen 5 op 3 is. Wat is dan de kans dat een ontvangen signaal hetzelfde is als het doorgezonden signaal als: a) het ontvangen signaal een 0 is? b) het ontvangen signaal een 1 is? 3.16 : R t is de gebeurtenis dat het op dag t droog is; het complement R t is de gebeurtenis dat er op dag t neerslag valt. Voor een bepaalde streek zijn de volgende kansen gegeven: p := P (R t+1 R t )=0.88 en q := P (R t+1 R t )=0.70 We nemen aan, dat het weer van dag t onafhankelijk is van het weer van meer dan één dag ervoor. a) Bewijs dat P (A B C) =P(A B C) P(B C). b) Bereken de kans dat het in elk van de drie komende dagen droog zal blijft, als het vandaag regent. c) Bereken de kans dat het overmorgen droog zal zijn als het vandaag droog is : Je vriendin heeft je verjaardagscadeau in een van haar drie bureauladen gestopt. Je gaat het cadeau alleen krijgen als je de lade met het cadeau weet aan te wijzen. Ze vraagt je om een lade te kiezen. Je wijst dus een van de drie laden, zeg lade X, aan. Alvorens deze lade te openen zegt je vriendin dat het misschien wel een goede keuze is maar misschien ook niet en ze trekt een tweede lade, zeg lade Y, open en laat zien dat het cadeau daar in ieder geval niet in zit. Ze vraagt dan of je bij je keuze X blijft of dat je liever de derde lade, zeg lade Z, verkiest te openen. Wat is de beste keuze, X of Z, en wat is de kans dat je dan je cadeau ook werkelijk krijgt. Motiveer je antwoord! 3.18 : Een persoon zit in een labyrinth en heeft de keuze uit drie deuren. Deur 1 leidt naar de uitgang in 1 stap, deur 2 leidt terug in 2 stappen en deur 3 in 3 stappen. De persoon kiest een willekeurige deur. Als hij teruggeleid wordt, kiest hij weer een willekeurige deur (hij heeft geen geheugen). Dit gaat zo door tot hij buiten is. Bepaal het gemiddeld aantal stappen dat hij zet om buiten te geraken.

10 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : Vroeger werd in ons land door loting bepaald wie zijn militaire dienstplicht moest vervullen en wie daarvan werd vrijgesteld. Stel dat drie jonge mannen na elkaar een nummer trekken, zonder teruglegging, uit een verzameling van 4 goede en 4 slechte nummers. Welke van deze drie mannen heeft de grootste kans om als soldaat aangewezen te worden? Bereken deze kansen. 4.2 : Tien helikopters worden belast met het zoeken naar een vermist vliegtuig. Elk van deze tien toestellen kan gebruikt worden om één van de twee gebieden, waar het vliegtuig zich kan bevinden met respectievelijke kansen 0.8 en 0.2, af te zoeken. Indien een helikopter in het gebied gaat zoeken waar het vliegtuig zich effectief bevindt, heeft hij een kans van 0.2 om het vliegtuig te detecteren. Hoe moet men de tien helikopters verdelen over de twee gebieden om de kans om het vliegtuig terug te vinden maximaal te maken? Bepaal deze kans. (Strategie: Veronderstel dat m helikopters gebied 1 afzoeken, en 10 m gebied 2. Bereken de kans, als funktie van m, dat men het vliegtuig terug vindt. Maximaliseer deze kans.) 4.3 : In de lift van een gebouw met 10 verdiepingen stappen 4 personen in op verdieping 0. Neem 1 aan, dat de kans dat een persoon op een gegeven hogere verdieping uitstapt, 10 is. Bereken de kans dat de 4 personen alsvolgt uitstappen: a) allen op dezelfde verdieping, b) drie op eenzelfde verdieping en de vierde op een andere, c) twee op eenzelfde verdieping en de andere twee samen op een andere verdieping, d) twee op eenzelfde verdieping en de andere twee op twee andere verdiepingen, e) ieder op een verschillende verdieping. Ga na dat de som van de kansen 1 is. 4.4 : In n cellen worden r ballen willekeurig opgeborgen, zodat de i-de cel r i ballen bevat, met r 1 + +r n =r. Veronderstel r>n. A i is de gebeurtenis waarbij de i-de cel leeg blijft. Bereken: a) de kans dat voor elke i er r i ballen in cel i zitten, b) P (A i )enp(a i A j ), 4.5 : Twee urnen A en B bevatten elk een witte en een zwarte bol. Men neemt een willekeurige bol uit elke urn en plaatst deze in de andere urn. Deze procedure wordt n keer herhaald. Noteer met p n de kans dat A twee witte bollen bevat na deze n verwisselingen, met q n de kans dat A één witte en één zwarte bol bevat en met r n de kans dat A twee zwarte bollen bevat. Wat is de limietwaarde voor n voor p n, q n en r n? (Bepaal hiertoe p n+1, q n+1 en r n+1 als funktie van p n, q n en r n en laat n dan naar oneindig gaan.) 4.6 : Een dobbelspel kent de volgende regels: De speler bepaalt de inzet en kiest één van de getallen 1 t/m 6, hij werpt 3 dobbelstenen, als zijn gekozen getal op alle 3 de dobbelstenen bovenkomt wordt hem 4 maal zijn inzet uitbetaald, als zijn getal op 2 dobbelstenen bovenkomt wordt hem 3 maal zijn inzet uitbetaald, als zijn getal op één dobbelsteen bovenkomt wordt hem 2 maal zijn inzet uitbetaald, als zijn getal op geen enkele dobbelsteen bovenkomt krijgt hij niets uitbetaald. Wat is de te verwachte winst of verlies voor deze speler als hij 100 BF inzet? 4.7 : De hoeveelheid van een grondstof (uitgedrukt in tonnen), nodig gedurende een maand in een fabriek is een discrete stochastische variabele X. Uit ervaring, wat betreft de vraag naar het met deze grondstof vervaardigde produkt, heeft men P (X <8)=0 P(X=8)= 2 25 P (X =9)= 6 25 P (X = 10) =? P (X >12)=0 P(X= 12) = 2 25 P (X = 11) = 6 25

11 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks a) Bereken P (X = 10), b) Maak een staafdiagram, van de kansfunktie P (X = x), c) Bepaal de cumulatieve distributiefunktie F X (x) en teken deze, d) Bereken P (9.25 X 11.25), e) Bereken E[X] envar[x] f) Indien men met een zekerheid van minstens 90 % wenst te voldoen aan de vraag naar het vervaardigde produkt, wat is dan de minimale bestelhoeveelheid van de grondstof per maand? g) Bereken de scheefheidscoëfficiëntendecoëfficiënt van kurtosis van deze verdeling. 4.8 : Een andere werknemer in deze fabriek stelt een ander kansmodel voor, waarbij men uitgaat van een continue kansvariabele X met de volgende dichtheidsfunktie: 0 voor x 7.5, f X (x) = x 7.5 c voor 7.5 <x 10, 12.5 x c voor 10 <x 12.5, 0 voor x>12.5. a) Bepaal c, b) Maak een grafiek van f X (x), c) d) e) en f) als voor oefening 4.7, g) Bereken de modus, mediaan, interkwartiel, MAD en de variatiecoëfficiënt van X. 4.9 : Een onderdeel van de militaire keuring in de V.S. bestond uit een bloedonderzoek naar de geslachtsziekte syfilis. Bij het laboratoriumonderzoek kan een belangrijke besparing plaatsvinden door de bloedmonsters van een aantal mannen te vermengen en dit totale bloedmengsel te onderzoeken. Als de reactie van dit totaal negatief is, is geen van de personen die een bijdrage geleverd heeft aan dit mengsel besmet. Is de reactie positief, dan zal een bloedmonster van elke persoon, die bijgedragen heeft tot dit mengsel, afzonderlijk worden onderzocht om na te gaan wie besmet is (zijn). Volgens de Amerikaanse keuringsadministratie bedroeg het percentage lijders aan syfilis in de jaren 1940/1941 ongeveer 5%. Stel dat er mannen gekeurd moesten worden. Het probleem waarvoor de keuringsdienst zich in 1940 gesteld zag was: hoeveel bloedmonsters moeten er steeds vermengd worden om zo weinig mogelijk tests te hoeven uitvoeren. a) Bereken de te verwachte aantal uit te voeren tests als er in groepen van 10 personen getest wordt. b) Wat is de optimale testgroepgrootte? 4.10 : Een punt P wordt willekeurig gekozen op de omtrek van een cirkel met straal r. Bepaal de gemiddelde afstand tussen een vast punt A op de omtrek en P : O, P en Q worden willekeurig gekozen op de omtrek van een cirkel met straal r. Bepaal de kans dat een van de hoeken van de driehoek OPQ stomp is (groter is dan 1 2 π) : De levensduur X van een gloeilamp is een stochastische variabele, die beschreven kan worden m.b.v. de volgende dichtheidsfunktie: f X (x) := { λexp( λx) voor x 0, 0 voor x<0, met λ := uur 1. a) Bepaal F X (x) en maak een grafiek van f X (x) enf X (x) b) Hoe groot is de kans dat een gloeilamp langer dan 1000 uur brandt?

12 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks c) Bereken de te verwachte levensduur van een gloeilamp: E[X] d) Bereken de mediaan van X e) Hoe groot is de kans dat een lamp, die al 200 uur goed brandt, nog minstens 1000 uur langer zal branden? 4.13 : X en Y zijn twee onafhankelijke exponentieel verdeelde stochastische variabelen met dezelfde parameter λ, d.w.z. { λexp( λx) voor x 0, f X (x) =f Y (y)= 0 voor x<0. Bepaal de dichtheid van Z = X + Y, de verwachtingswaarde en de variantie van Z : Veronderstel dat het aantal km dat men kan rijden met een radiaalband normaal verdeeld is met gemiddelde km en standaard afwijking km. Is de producent juist indien hij beweert dat minstens 90 % van de bestuurders langer dan km rijden met dit type banden, leg uit.

13 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : X is een stochastische variabele met verdelingsfunktie F X (x). We voeren een lineaire transformatie uit op X: Y = ax + b met a>0. a) Bepaal F Y (y) enf Y (y). { λexp ( λx) als x 0, b) Als Y =2X+1enf X (x)= bepaal dan f Y (y). 0 als x<0, 5.2 : Vanuit het punt met coördinaten (0, b)inhetxy-vlak wordt een deeltje uitgezonden langs een rechte lijn, die een willekeurige hoek maakt met de x-as, in de richting van de x-as. De stochastische variabele X is de abscis op de x-as waar het deeltje terecht komt. Toon aan dat de dichtheidsfunktie van X de volgende is: b f X (x) = π(b 2 +x 2 ) Aanwijzing: bekijk eerst de verdeling van ϕ, de hoek waaronder het deeltje uitgezonden wordt. 5.3 : X is uniform verdeeld over het interval [0,1]. Bepaal de dichtheidsfunktie van Y = 2 ln(x). 5.4 : Uit grote partijen artikelen neemt men steekproeven van 20 stuks. Een partij wordt afgekeurd als in zo n steekproef 3 of meer foutieve exemplaren worden aangetroffen. a) Wat is de kans dat een partij met 25% fouten wordt afgekeurd? b) Wat is de kans dat van 10 partijen met elk 10% fouten er 8 of meer goedgekeurd worden? 5.5 : Gebruik de tabel van de cumulatieve binomaalverdeling. a) Bereken de volgende kansen: a. P (X 3) als X B(7, 0.45), b. P (X <10) als X B(15, 0.1). c. P (X <10) als X B(15, 0.9). b) Bereken voor welke waarden van x geldt: a. P (X x) 0.1 als X B(20, 0.25), b. P (X x) 0.1 als X B(20, 0.75). 5.6 : Een partij goederen is zo groot dat men ze als oneindig groot mag beschouwen. Men voert een kwaliteitstest uit door willekeurig stukken uit de partij te nemen tot men een defekt stuk gevonden heeft. Als 20 % van de partij bestaat uit defekte stukken, bepaal dan de verdelingsfunktie en de verwachtingswaarde van het aantal geteste stukken X. 5.7 : Het optreden van een sterke pollutiegolf in het Albertkanaal vormt een Poisson incidentenstroom met een parameter waarde λ van 1 incident per 6 maanden. a) Bereken de kans dat er gedurende één jaar 1 sterke pollutiegolf is. b) Bereken de kans dat er in elk van de volgende jaren :1995, 1998, 1999, 2002, 2004 minder dan 3 sterke pollutiegolven optreden. 5.8 : Op een kantoor komen gemiddeld 3 telefoongesprekken per uur binnen. De telefonist is gedurende 10 minuten afwezig. Hoe groot is de kans dat er in die tijd minstens één persoon geen gehoor heeft gekregen? 5.9 : Bij de produktie van pantynylons is de kans dat een geproduceerde panty geen ladders vertoont 90 %. Neem aan dat het optreden van ladders in opeenvolgend geproduceerde panties stochastisch onafhankelijke gebeurtenissen zijn. Bereken a) Het gemiddeld aantal panties zonder ladder in een partij van 10 stuks b) De kans op meer dan 7 goede panties in deze partij.

14 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Als het voorkomen van ladders te wijten is aan defecten in het produktieproces of aan de grondstoffen waaruit de panties geproduceerd worden, dan geldt de hierboven genoemde stochastische onafhankelijkheid niet. Veronderstel dat het aantal incidenten per 8 uur, dat slechte panties produceert, een Poisson-verdeelde stochastische variabele is X P (λ). Bij elk incident worden er 50 panties geproduceerd met ladders, voordat men in staat is het produktieproces bij te regelen. c) Wat moet de waarde van λ zijn, opdat gemiddeld genomen 90 % van de panties geen ladders vertoont, indien de tijd nodig om één panty te produceren 1 minuut is. d) Bereken met deze waarde van λ de kans dat er op een werkdag van 8 uur meer dan 2 incidenten optreden, waardoor het produktieproces ontregeld wordt : Veronderstel dat X een stochastische variabele is met een discrete verdeling en dat de momenten E[X] ene[ X E[X] r ] bestaan voor een zekere r>0. Bewijs dan voor iedere ɛ>0 de ongelijkheid (cf. de ongelijkheid van Chebyshev): P ( X E[X] ɛ) E[ X E[X] r ] ɛ r : Laat X en Y twee onafhankelijke continue stochastische variabelen zijn en neem M := Max(X, Y ). Bepaal de dichtheidsfunktie f M van M : X is de levensduur in uren van een bepaald type radiobuis. De dichtheidsfunktie van X wordt gegeven door: { 0 als x<100, f X (x) = ax 2 als x 100. Een antieke radio bevat drie van dergelijke buizen, met van elkaar onafhankelijke levensduur. a) Bepaal de waarde van a. b) Bereken de kans dat men in een dergelijke radio geen buizen moet vervangen, voordat er 150 uur verlopen zijn. c) Bereken de kans dat men geen buizen zal moeten vervangen in de radio, voordat er 150 uur verlopen zijn, als de radio al 120 uur heeft kunnen spelen zonder dat er buizen vervangen moesten worden : Een autoverhuurder bezit twee wagens, die per dag worden verhuurd. Het aantal aanvragen voor een dag vertoont een Poissonverdeling met λ = 1.5. a) Welk percentage van de dagen zijn beide wagens thuis? b) Welk percentage van de dagen zijn beide wagens uit? c) Indien beide wagens even vaak worden gebruikt, welk percentage van de dagen is één bepaalde wagen dan thuis?

15 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : Men weet uit ervaring dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in een gebied een normaal verdeelde kansveranderlijke is met een gemiddelde µ = 125cm en een standaardafwijking σ = 20cm. Wanneer er meer dan 160 cm neerslag valt in een jaar leidt dit tot overstromingen. Bepaal de kans dat er zich gedurende een aselect gekozen jaar minstens één overstroming voordoet. 6.2 : X is en normaalverdeelde stochastische variabele met een gemiddelde µ = 10 en een standaardafwijking σ = 4, dus X N(10, 4). Bereken: a) P (X 14), b) P (12 X 18), c) P (X <7), d) de 90%, 50% en 20% percentielen van X. 6.3 : Twee merken elektronenbuizen hebben levensduren die normaal verdeeld zijn. Merk A: N(27;5) en merk B: N(30;2). a) Welk merk moet men kiezen om de grootste kans te hebben dat de buis langer dan 30 uur meegaat? b) Welk merk moet men kiezen om de grootste kans te hebben dat de buis langer dan 34 uur meegaat? 6.4 : Een hoogtemeter geeft een systematische fout van 10 meter en een toevallige fout, die normaal verdeeld is met een gemiddelde van 0 meter en een standaardafwijking van 2 meter. Wat is de kans dat men bij een hoogtemeting een fout heeft kleiner dan 7 meter? 6.5 : Er wordt een aselecte steekproef van omvang n genomen uit een populatie, die een bepaalde theoretische kansverdeling bezit met verwachtingswaarde µ en variantie σ 2. Men krijgt zo dus n realisaties van n onafhankelijke stochastische variabelen X 1,X 2,..., X n, die alle dezelfde kansverdeling bezitten. Het rekenkundig gemiddelde van deze n stochastieken is X n := 1 ni=1 n X i. a) Bepaal E[X n ]envar[x n ] als funktie van n. b) Als X i N(µ, σ) (i=1,..., n), wat is dan de kansverdeling van X n? 6.6 : De gewichtsinhoud van een pakje boter is normaal verdeeld met een standaarddeviatie σ van 3 gram. Een regeringsinstantie neemt ter controle af en toe een steekproef van 25 pakjes. De fabrikant krijgt een boete als de gemiddelde gewichtsinhoud van deze steekproef minder is dan 250 gram. Op welk gemiddelde moet de verpakkingsmachine ingesteld worden om het risico van een boetetot5%tereduceren? 6.7 : Men wil een afstand van 100 meter afzetten door 100 maal achtereen een afstand van 1 meter af te passen. De fout die daarbij elke keer gemaakt wordt is een stochastische variabele X, die normaal verdeeld is met µ = 0 meter en σ = 5 cm. a) Bereken de kans dat de afgezette afstand meer dan een halve meter van de gewenste 100 meter afwijkt. b) Tot hoever zou men de standaardafijking van de fout moeten reduceren, opdat de kans onder a) gevonden ten hoogste 0.1 is? 6.8 : De stochastische variabele X is de jaarlijkse piekwaarde van het debiet in een rivier. X is lognormaal verdeeld met ln X N(4.4, 0.63); X wordt uitgedrukt in m 3 /s. a) Bepaal de dichtheidsfunktie van X. b) Bereken de mediaan van X, d.w.z. het hoogste jaarlijke debiet, dat in niet meer dan 50 % van de jaren overschreden wordt.

16 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks c) In geval van een zeer hoog debiet zal de rivier buiten zijn oevers treden. Men kan het omliggende gebied daartegen beschermen door de dijken te verhogen. Bereken de jaarlijkse piekwaarden van het debiet, waartegen het gebied beschermd moet worden, opdat er gemiddeld niet meer dan 1 maal in de 50 jaar een overstroming op zal treden. 6.9 : Laten X 1 en X 2 twee standaard-normaalverdeelde stochastieken zijn. Definieer een nieuwe stochastieken Y i voor i =1,2: 1 als X i < 1, Y i = 0 als 1 X i < 1, 1 als X i 1. a) Schets de verdeling van Z = Y 1 + Y 2 b) Als P (X i < 1)=0.1587, bereken dan de verwachtingswaarde en de variantie van Z : De kansvector Z := (X, Y ) heeft de dichtheidsfunktie: f Z (x, y) := { xexp( 1 2 x2 ) exp( y) voor 0 <x<, 0<y< ; 0 elders. a) Bepaal de verdelingsfunktie F Z (x, y), b) Bepaal de marginale verdelingsfukties c) Bepaal P (X >2enY 1) en P (X 2 + Y 2 2) : Veronderstel dat Z := (X, Y ) uniform verdeeld is over de driehoek met hoekpunten (0, 0), (0, 1) en (1, 1). Bereken f Z, f X, f Y en de correlatiecoefficiënt tussen X en Y : Een experiment kan de drie uitkomsten u 1, u 2 en u 3 hebben met kansen p 1, p 2 respectievelijk p 3. Men voert dit experiment n maal uit; X i is het aantal keer dat u i zich voordoet (i=1, 2, 3). Bepaal de verdeling van de kansvector (X 1,X 2,X 3 ). Bepaal ook de covariantie Cov(X 1,X 2 )ende correlatiecoeëfficiënt ρ. Wat gebeurt er als p 3 =0? 6.13 : Men kiest een willekeurig getal x [0, 1] en daarna een willekeurig getal y [x, 1]. (X, Y ) is de stochastische variabele die de uitslag afbeeldt op (x, y). Bepaal f X, f (X,Y ) en f Y : Veronderstel dat (X, Y ) een continu verdeelde kansvector is. We definiëren een nieuwe kansvector (R, Θ) door: X = R cos Θ, Y = Rsin Θ met 0 Θ < 2π en 0 R<+. Bepaal de dichtheidsfunktie van (R, Θ). Veronderstel nu dat (X, Y ) uniform verdeeld is over de eenheidscirkel. Bepaal de dichtheidsfunktie f (R,Θ) en laat zien dat R en Θ onafhankelijk zijn.

17 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : Veronderstel dat een bepaalde gebeurtenis zich voordoet volgens een Poisson-proces en dat er gemiddeld λ gebeurtenissen per tijdseenheid optreden. Toon dan aan dat de tijd Y, tussen twee opeenvolgende gebeurtenissen, exponentieel verdeeld is. 7.2 : Gemiddeld gebeurt er op een bepaalde weg elke 100 dagen een ongeluk. Het aantal ongelukken per maand (30 dagen) volgt een Poisson-verdeling. a) Wat is de kans op meer dan één ongeluk in een maand? b) Wat is de kans dat tussen twee opeenvolgende ongelukken niet meer dan 3 dagen liggen? 7.3 : In het stroomgebied van een rivier liggen twee potpolders A en B, die bij hoge waterstanden onder water komen te staan. De kans dat beide polders in eenzelfde jaar overstromen is Bereken de kans dat in de volgende 100 jaar er minstens 10 jaren zullen zijn waarin zowel polder A als polder B onder water komt te staan. 7.4 : Men vindt dat de lengte van telefoongesprekken een exponentiële verdeling volgt, met een gemiddelde van 3 minuten. Hoe groot is de kans dat een gesprek langer dan drie minuten duurt? Hoe groot de kans dat het langer dan 10 minuten duurt? 7.5 : Een auto valt nogal eens in panne en het aantal defekten is Poisson-verdeeld. Indien men gemiddeld twee pannes per maand heeft, wat is dan de kans dat men op een jaar meer dan 25 pannes heeft? 7.6 : Bij de verkiezingen haalt een politieke partij 30% van de stemmen. Men verricht achteraf een steekproef onder 3000 mensen die gestemd hebben en vraagt hen of ze daadwerkelijk voor die partij gestemd hebben. Wat is de kans dat tussen de 850 en 950 ondervraagden hierop bevestigend antwoorden? Opmerking: in de praktijk treedt er altijd een overwinnaarseffekt op bij ondervragingen omtrent kiesgedrag na het bekendmaken van de uitslag; meer kiezers geven achteraf op, dat ze op de winnende partij gestemd hebben, dan er in feite gedaan hebben. 7.7 : Op een landelijke weg komen gemiddeld 3 auto s per uur voorbij. Stel X het aantal wagens dat gedurende een tijdsinterval van 20 minuten voorbij komt. Bepaal P (X = 0) enp(x 2). 7.8 : Een krantenjongen in Chicago verkoopt per uur gemiddeld 50 kranten. Als we nu een krant van hem kopen, wat is dan de kans dat het minstens 2 minuten zal duren alvorens hij de volgende krant verkoopt? Als het nu al 5 minuten geleden is dat hij een krant verkocht heeft, wat is dan de kans dat hij nog 2 minuten zal moeten wachten om er nog één te verkopen? 7.9 : Een eerlijk muntstuk wordt geworpen, totdat er voor de eerste maal kop boven komt. Wat is de kans dat het aantal worpen oneven is? 7.10 : We beschouwen een rij onafhankelijke stochastische variabelen X 0, X 1, X 2,..., die alle B(1, p) verdeeld zijn. De X i kunnen twee waarden aannemen, zeg a en b met P (a) = p en P (b) = q = 1 p. Laat de stochastische variabele N het aantal experimenten zijn, dat nodig is om r maal de uitslag a te bekomen. Bepaal de verdelingsfunktie van N. Men zegt dat N negatief-binomiaal verdeeld is met parameters r en p : Veronderstel dat een stochastische variabele X N(µ, σ) normaal verdeeld is. We zeggen dan dat Y := e X lognormaal verdeeld is met parameters µ en σ. a) Bepaal de verdelingsfunktie van Y uit de verdelingsfunktie van de standaardnormale verdeling. b) Bepaal de dichtheidsfunktie van Y. c) Bepaal gemiddelde en standaardafwijking van Y : Van de schoenen die in een fabriek geproduceerd worden is 4% defekt. Bepaal op 3 manieren de kans dat in een doos met 100 willekeurig gekozen paren schoenen er ten hoogste twee defekt zijn:

18 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks a) exact, b) met een benadering door een Poisson-verdeling, c) met een benadering door een normale verdeling : Een boek bevat gedrukte bladzijden met (gemiddeld) 40 regels van 75 lettertekens per bladzijde. (beschouw een spatie ook als een letterteken). De zetter maakt gemiddeld één fout per 6000 letters. a) Wat is de verdelingsfunktie van X, het aantal fouten per bladzijde? b) Bereken de kans dat een bladzijde geen enkele fout bevat. c) Wat is de kans dat een hoofdstuk van 16 bladzijden geen enkele fout bevat? 7.14 : Van een bepaald soort zaden is bekend dat de kans op ontkiemen gelijk is aan 0.8. a) Hoe groot is de kans dat minstens 75% van de zaden ontkiemen in een verpakking van 100 zaden? b) Hoe groot is de kans dat minstens 75% van de zaden ontkiemen in een verpakking van 1000 zaden? 7.15 : Een Geigerteller geeft voor een bepaald radio-actief preparaat gemiddeld 90 aanslagen per minuut. Hoe groot is de kans dat er in een bepaalde minuut minder dan 85 aanslagen geregistreerd worden? 7.16 : Het gewicht G van mannelijke studenten is normaal verdeeld met µ =75kgenσ= 10 kg. a) Bepaal de kans dat een willekeurige student een gewicht heeft tussen de 60 en 65 kg. b) Gegeven is een groep van 2000 mannelijke studenten. Hoe groot is het verwachte aantal studenten in deze groep met een gewicht tussen de 60 en 65 kg? c) Zij X het aantal studenten in deze groep van 2000 met een gewicht tussen de 60 en 65 kg. Bepaal de kans P (X 142). N.B. In de praktijk blijkt de lengte wel (in goede benadering) normaal verdeeld te zijn maar het gewicht niet : Een gasmolecuul heeft een snelheid v met componenten v x, v y en v z. Neem aan dat v x, v y en v z onafhankelijk en normaal N(0,σ) verdeeld zijn. Bepaal de dichtheidsfunktie van de snelheidsverdeling van v = v = vx 2 + vy 2 + vz 2 en bepaal de verwachtingswaarde E[v].

19 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks Reeks : Een chemicus voert 12 maal een gewichtsbepaling uit, waarvan mag worden aangenomen dat de uitkomsten normaal verdeeld zijn met een standaardafijking σ van 2 gram. De chemicus vindt als gemiddelde van zijn 12 experimenten een waarde van 9 gram. Stel een 95%-betrouwbaarheidsinterval op voor de werkelijke waarde van de gemeten grootheid. 8.2 : De uitkomst X van een experiment is normaal verdeeld, X N(µ, 2). Laat S5 2 de schatter voor de variantie zijn berekend aan de hand van 5 onafhankelijke experimenten, bepaal dan P (S5 2 < 3). 8.3 : Een stochastische variabele X is normaal verdeeld. Een steekproef levert de vijf volgende waarden op: Stel een 90%-betrouwbaarheidsinterval op voor het gemiddelde µ a) in het geval dat σ = 2 bekend is, b) in het geval dat σ niet bekend is. 8.4 : De jaarlijkse hoeveelheid sneeuw waargenomen door het Koninklijk Meteorologisch Instituut te Ukkel is normaal N(µ, σ) verdeeld. Gedurende de laatste 20 jaren zijn er de sneeuwhoeveelheden x i,voori=1,..., 20 waargenomen met 20 i=1 x i = 200 mm en 20 i=1 (x i x 20 ) 2 =76mm 2. a) Bepaal een 95%-BI voor de gemiddelde hoeveelheid sneeuw in een jaar, veronderstellend dat de waargenomen sneeuwhoeveelheden in opeenvolgende jaren onafhankelijk zijn van elkaar. b) Bepaal het minimum aantal jaargegevens waarover men zou moeten kunnen beschikken om een 95%-BI te bekomen met lengte gelijk aan 1 mm. Veronderstel hierbij, dat s (de wortel van de steekproefvariantie) 2mm blijft in grotere steekproeven. 8.5 : De topsnelheid van een bepaald merk sport wagen is normaal verdeeld met gemiddelde µ en standaardafwijking σ. Men kiest willekeurig 10 wagens uit, meet de maximum snelheid v i en vindt: 10 i=1 v i = 2243 km/u en 10 i=1 (v i v 10 ) 2 = 290 (km/u) 2. Bepaal 90%-BI s voor µ en σ. 8.6 : Om de nauwkeurigheid van een balans te bepalen meet men 25 maal een bekend gewicht van (precies) 4 kg. met als resultaat: 25 i=1 x i = kg en 25 i=1 (x i x 25 ) 2 = kg 2. Geef een 95%-BI voor de onbekende onnauwkeurigheid (standaarddeviatie) van de balans. Men veronderstelt dat de meetuitslagen onafhankelijke normaal verdeelde stochastische variabelen zijn. De onnauwkeurigheid is dan een maat voor σ. 8.7 : Beschouw n 1 + n 2 stochastische variabelen: X 1,X 2,..., X n1 N(µ 1,σ) en Y 1,Y 2,..., Y n2 N(µ 2,σ) waarbij µ 1, µ 2 en σ onbekend zijn. Construeer een (1 α)-bi voor het verschil µ 1 µ : Een stochastische variabele X is uniform verdeeld over [0,b], met b een onbekende parameter. Men verricht een steekproef X 1,..., X n en beschouwt de statistiek M := max(x 1,..., X n ). a) Gebruik M om een zuivere schatter voor b te vinden

20 Oefeningen Kansrekening en Statistiek, Reeks b) Construeer een (1 α)-bi voor de parameter b. 8.9 : Van een bepaalde grondstof wenst men het gehalte van een actief bestanddeel te schatten door een aantal monsters te nemen en te analyseren. Uit ervaring is bekend dat de analyseresultaten normaal verdeeld zijn met een standaardafwijking van 0.6 gram. Men wenst met een betrouwbaarheid van 99% de werkelijke hoeveelheid van het bestanddeel te schatten tot op 0.5 gram nauwkeurig. Hoeveel monsters moet men analyseren om aan deze nauwkeurigheid te voldoen? 8.10 : Het aantal binnenvallende deeltjes in een Geigerteller kan opgevat worden als een Poissonverdeelde kansvariabele met parameter λ, het gemiddeld aantal binnenvallende deeltjes per minuut. Een meting van een staal met een Geigerteller heeft 80 aanslagen in een minuut opgeleverd. Gebruik de normale benadering van de Poisson verdeling om een 95%-betrouwbaarheids interval voor λ te vinden : Men zegt dat zaad een goede kiemkracht bezit als er minstens 75% van de zaden ontkiemt. Bij een test op peterseliezaden vond men, dat er van de 5000 geteste zaden 3600 ontkiemden. Stel een 95%-BI op voor het percentage peterseliezaden, dat ontkiemt. Mag men zeggen dat dit zaad een goede kiemkracht bezit? 8.12 : De levensduur van een gloeilamp is exponentieel verdeeld met onbekende parameter λ. Men test 15 gloeilampen en vindt 130 uur als gemiddelde levensduur. Construeer een 90%-BI voor λ en voor de gemiddelde levensduur : Een marketingbureau doet een onderzoek naar het gebruik van een bepaald wasmiddel. Van 300 aselect gekozen huismannen en huisvrouwen gebruikten 40 personen dit wasmiddel. Geef een 90%-BI voor het percentage gebruikers van dit wasmiddel.