INTEGRAAL SNEAK PREVIEW DEEL 2 HOOFDSTUK 1 INTEGRAA. Wat vindt u van deze preview? Laat het ons weten op

Transcriptie

1 INTEGRAAL INTEGRAAL SNEAK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK G E TA L L E N L E E R LEERWERKBOEK INTEGRAA L InteGraa l Wat vindt u van deze preview? G e ta l l e n G e ta l l e n leer leerwerk boek leer Laat het ons weten op Sneak pr eview hoofdstu k ISBN wiskunde Voor Go! ISBN WISKUNDE VOOR GO! Integraal cover marketing.indd 7// :7

2

3 INTEGRAAL ISBN ISBN ISBN I n t e G r I a n a t l e G r a a l G e ta l l G e e n ta l e l e l r e n l e e r InteG raal Getallenleer Integraal, wiskunde voor het GO! Integraal, wiskunde voor het GO! Nu ook beschikbaar als leerwerkboek Nu ook beschikbaar als leerwerkboek Hedendaagse vormgeving Hedendaagse vormgeving Duidelijke, overzichtelijke structuur Duidelijke, overzichtelijke structuur Logische opbouw van de oefeningen Logische opbouw van de oefeningen Bewezen didactiek Bewezen didactiek Nu met uitgebreide ondersteuning Nu met uitgebreide ondersteuning via een LerarenKit via een LerarenKit Bordboek Bordboek Oplossingen Oplossingen Jaarplan Jaarplan Modeltoetsen Modeltoetsen Extra oefeningen Extra oefeningen Rekentrainer Rekentrainer INTEGRAAL INTEGRAAL INTEGRAAL S n e a k p r e V I e w h o f D S t U k Sneak preview hoofdst U k S n e a k p r e V I e w h o f D S t U k G e t a l l e n l e e r l e e r w e r k b o e k Getallenleer l eerwerkboek G e t a l l e n l e e r l e e r w e r k b o e k w I S k U n D e V o o r G o! w ISk U n D e V oor G o! w I S k U n D e V o o r G o! ISBN Deel I Getallenverzamelingen en coördinaten Deel I Getallenverzamelingen en coördinaten Hoofdstuk. Getallenverzamelingen N en Z Hoofdstuk. Getallenverzamelingen N en Z Hoofdstuk. Coördinaten Hoofdstuk. Coördinaten Deel II Natuurlijke en gehele getallen Deel II Natuurlijke en gehele getallen Hoofdstuk. Optellen en aftrekken in Z Hoofdstuk. Optellen en aftrekken in Z Hoofdstuk. Vermenigvuldigen en delen in Z Hoofdstuk. Vermenigvuldigen en delen in Z Hoofdstuk. De vier hoofdbewerkingen in Z Hoofdstuk. De vier hoofdbewerkingen in Z Hoofdstuk. Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z Hoofdstuk. Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z Hoofdstuk 5. Herhalingsoefeningen Hoofdstuk 5. Herhalingsoefeningen Deel III Rationale getallen Deel III Rationale getallen Hoofdstuk. Rationale getallen Hoofdstuk. Rationale getallen Hoofdstuk. Bewerkingen met rationale getallen Hoofdstuk. Bewerkingen met rationale getallen Hoofdstuk. Gemengde opgaven Hoofdstuk. Gemengde opgaven Deel IV Vergelijkingen en vraagstukken Deel IV Vergelijkingen en vraagstukken Hoofdstuk. Vergelijkingen Hoofdstuk. Vergelijkingen Hoofdstuk. Vraagstukken Hoofdstuk. Vraagstukken Vraag Vraag uw uw gratis gratis exemplaar exemplaar aan! aan! I n t e G r a a l G e ta l l e n l e e r Maak gratis kennis met het Maak gratis kennis met het Integraal Integraal Getallenleer Getallenleer leerwerkboek! leerwerkboek!. Surf naar Surf naar Vraag uw persoonlijk exemplaar van het leerwerkboek aan.. Vraag uw persoonlijk exemplaar van het leerwerkboek aan.. U ontvangt uw persoonlijk exemplaar in februari 0.. ontvangt uw persoonlijk exemplaar in februari 0.. U krijgt ook het eerste katern van Integraal Meetkunde in sneak preview.. U krijgt ook het eerste katern van Integraal Meetkunde in sneak preview. IN

4 Plantyn ontwikkelt en verspreidt leermiddelen voor het basisonderwijs, het secundair onderwijs, het hoger en het wetenschappelijk onderwijs en het volwassenenonderwijs. Daarnaast geeft Plantyn ook publicaties uit over schoolmanagement, leerlingenbegeleiding, personeelsbeleid voor het onderwijs en didactische ondersteuning van leerkrachten en educatief materiaal voor de thuismarkt. De uitgeverij is zowel in het Nederlandstalige als in het Franstalige landsgedeelte actief. Doorheen al onze activiteiten streven we ernaar om maximale kansen te bieden aan alle lerenden, rekening houdend met de individuele situatie en interesses, en willen we ertoe bijdragen dat leerkrachten in optimale omstandigheden kunnen werken. Het is immers onze overtuiging dat leren op een eigentijdse en aangename manier kan, wat tot uiting komt in onze slogan t leren is mooi. Plantyn maakt deel uit van de educatieve uitgeefgroep Infinitas learning. Het leerwerkboek Integraal Getallenleer Leerwerkboek (incl. online ICT) is bestemd voor de leerlingen van het eerste leerjaar A van de eerste graad van het Gemeenschapsonderwijs. Ontwerp en opmaak cover: The Line Ontwerp en opmaak binnenwerk: Crius Group Tekenwerk: Stefaan Provijn Technisch tekenwerk: Crius Group Illustratieverantwoording: Imageglobe.be, istockphoto, Wikipedia/Albrecht Dürer, Wikipe- Dürer, Wikipedia/Vascer, Fotolia.com/ Fotolia.com/ patrick patrick Plantyn Motstraat, 800 Mechelen T F klantendienst@plantyn.com Dit boek werd gedrukt op papier van verantwoorde herkomst. Plantyn nv, Mechelen, België Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze dan ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij Plantyn heeft alle redelijke inspanningen geleverd om de houders van intellectuele rechten op het materiaal dat in dit leermiddel wordt gebruikt, te identificeren, te contacteren en te honoreren. Mocht u ondanks de zorg die daaraan is besteed, van oordeel zijn toch rechten op dit materiaal te kunnen laten gelden, dan kunt u contact opnemen met uitgeverij Plantyn. Zij zal uw legitieme aanspraken honoreren tegen de gangbare markttarieven.

5 DEEL II Natuurlijke en gehele getallen Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Integraal_Deel_H.indd Optellen en aftrekken in Z Vermenigvuldigen en delen in Z De vier hoofdbewerkingen in Z Machtsverheffingen en vierkantswortels in Z Herhalingsoefeningen // 6:9

6 Optellen en aftrekken in Z OP VERKENNING! Hiernaast zie je een magisch vierkant. Het komt voor op een gravure van de Duitse schilder Albrecht Dürer (7-58). In het midden onderaan zie je 5, het jaar waarin Dürer deze gravure maakte. Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant waarin getallen zijn ingevuld en dat op zo n manier dat de kolommen, rijen en de beide diagonalen allemaal dezelfde som opleveren. Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd. Wat is de som van de getallen van een rij? Wat is de som van de getallen van een kolom? Wat is de som van de getallen van een diagonaal? Maak de volgende vierkanten magisch Optellen en aftrekken in Z

7 . Toestandstekens Een tegoed van 500 kun je noteren als Een tekort van 50 kun je noteren als 50. De tekens + en duiden een toestand aan. Je noemt ze toestandstekens. Ze geven aan of het geheel getal positief of negatief is. Het toestandsteken + mag weggelaten worden. + = Algemeen +a = a. Absolute waarde van een geheel getal 7 is de absolute waarde van +7 en van 7. Notatie +7 = 7 Je leest De absolute waarde van +7 is gelijk aan 7. En ook 7 = 7 Je leest De absolute waarde van 7 is gelijk aan 7. Begrip Als je het toestandsteken van een geheel getal weglaat, verkrijg je de absolute waarde. De absolute waarde van a noteer je als a.. toestandstekens 9

8 . Tegengestelde van een geheel getal en + en zijn tegengestelde getallen. 7 en +7 zijn tegengestelde getallen. Begrip Twee getallen met eenzelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken, noem je tegengestelde getallen. +a en a zijn tegengestelde getallen. Oefeningen Werk uit. = +6 = 7 = + = = 0 = 0 = 5 = Vul in. Het tegengestelde getal van 5 is + is +b is is 7 0 is c is is is Duid het tegengestelde getal van x en y aan op de getallenas. y 0 x Z Stelt a altijd een negatief getal voor? Geef een voorbeeld. a = dus a = 0 Optellen en aftrekken in Z

9 5 Vul de tabel aan. a +7 0 a +a 9 a 6 Op een winterdag is het verschil tussen de hoogste en de laagste temperatuur C. De hoogste en de laagste temperatuur van die dag zijn precies elkaars tegengestelde. Wat zijn die temperaturen? Een grafiek tekenen Om een grafiek te tekenen moet je eerst koppels getallen (coördinaten) zoeken. Een praktische schikking hiervoor is een visgraatdiagram. Het verband Het getal y is het tegengestelde van het getal x. Wiskundige schrijfwijze y = x Als je x = kiest, dan is y = Je schrijft dit als een koppel (x, y) Voor dit voorbeeld (, ) Noteer zelf nog enkele koppels. (, ); ( 5, ); (7, ) Oefening 7 We noteren een aantal koppels van y = x in een visgraatdiagram. Vul het diagram verder aan en plaats de beeldpunten die bij de koppels horen in het geijkte vlak. x 0 y. Tegengestelde van een geheel getal

10 y x 5 6. Tekenregel voor twee opeenvolgende tekens Het tegengestelde getal verkrijg je door een minteken voor dit getal te plaatsen. Het tegengestelde van +7 is +7 Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haakjes. Dus (+7) AFSPRAAK Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haakjes. Optellen en aftrekken in Z

11 Deze vormen moet je proberen eenvoudiger te schrijven. en + (+7) = +7 = 7 + ( ) = (+) = ( 5) = +5 = 5 + voor een haakje mag weggelaten worden + voor een haakje mag weggelaten worden het tegengestelde van + is het tegengestelde van 5 is +5 Je kunt dit kort samenvatten in volgende tekenregel. TeKeNregeL Als twee tekens achter elkaar staan,. mag je de haken weglaten;. dan is + (+a) = +a + ( a) = a (+a) = a ( a) = +a.5 Het optellen van getallen Kies twee getallen a en b. a + b is de som van a en b. a en b zijn de termen. Het optellen is de bewerking. + is het plusteken..5 Het optellen van getallen Integraal_Deel_H.indd 7// 6:0

12 Oefeningen 8 Maak eerst een schatting en controleer daarna met je zakrekenmachine. eerst schatten eerst schatten 9 Vul het ontbrekende cijfer in Schrijf eenvoudiger. + (+) = ( 9) = + ( 6) = + ( 7) = (+) = (+8) = ( ) = + (+9) =.6 Het optellen van gehele getallen Aïsha, Mathieu, June en Lukas hebben twee kaartspelletjes gespeeld. Het aantal gewonnen punten kun je voorstellen door een positief getal. Het aantal verloren punten kun je voorstellen door een negatief getal. Dus (+) + (+) = +5 ( ) + ( ) = ( ) + (+5) = + (+5) + ( ) = + + is het bewerkingsteken. + en zijn toestandstekens. Optellen en aftrekken in Z

13 REKENREGEL Als je gehele getallen moet optellen, reken je als volgt.. De gehele getallen hebben hetzelfde toestandsteken. Behoud dit teken. Tel de absolute waarden op.. De gehele getallen hebben een verschillend toestandsteken. Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde. Trek de absolute waarden af (grootste min kleinste). Oefeningen Bereken. (+) + (+) = (+5) + ( ) = ( 7) + (+) = (+5) + (+) = ( 0) + (+6) = (+0) + (+) = ( ) + ( ) = (+5) + ( 0) = ( ) + ( 5) = (+8) + ( ) = ( 6) + ( ) = (+6) + ( ) = De slag bij Marathon In 90 v.c. vond de beroemde slag bij Marathon plaats. De Atheners versloegen toen te Perzen. De renbode die het goede nieuws naar Athene moest overbrengen, viel bij zijn aankomst dood neer. Hij had toen km en 95 m gelopen. Het begrip marathon vindt hier zijn oorsprong. Hoeveel jaar geleden vond deze slag plaats? (Let op! Het jaar 0 bestaat niet.) Bereken. (+) + ( 5) = ( 6) + (+) = ( ) + (+7) = ( ) + (+5) = (+9) + ( 7) = (+) + ( ) = ( ) + ( 0) = ( ) + (+) = ( ) + ( 6) = (+6) + ( 0) = (+75) + (+5) = ( 00) + (+9) =.6 Het optellen van gehele getallen 5

14 Eline is twee jaar jonger dan Karim. Als Karim jaar is, dan is Eline Als Karim x jaar is, dan is Eline Als Eline jaar is, dan is Karim Als Eline y jaar is, dan is Karim jaar. jaar. jaar. jaar. 5 6 Vul in. x x + x x + ( ) Bereken en vul in met <, > of =. ( ) + ( ) ( ) + (+7) ( 5) + (+6) ( ) + (+) ( 0) + (+5) (+) + ( 0) ( ) + ( 5) (+) + ( ) (+0) + (+) (+5) + ( 9) ( ) + ( 7) (+9) + ( 9) 7 Los het vraagstuk op. Een touw is 6 m lang. Je snijdt het touw in stukken die allemaal m lang moeten zijn. Hoe dikwijls moet je het touw doorsnijden? 8 Bereken. Aan de voet van een boom ligt een slak. s Nachts kruipt ze m omhoog; overdag kruipt ze m naar beneden. Na 0 nachten is ze aan de top van de boom. Hoe hoog is de boom? 6 Optellen en aftrekken in Z

15 .7 Het aftrekken van getallen Kies twee getallen a en b. a b is het verschil van a en b. a en b zijn de termen. a is het aftrektal en b is de aftrekker. Het aftrekken is de bewerking. is het minteken..8 Het aftrekken van natuurlijke getallen Hoe bereken je 8? Je moet een getal zoeken dat, opgeteld bij 8, weer geeft. Dat getal is 5. 8 = 5 Û = Hoe bereken je a b? Je moet een getal zoeken dat, opgeteld bij b, weer a geeft. Dat getal is c. a b c +b MET SYMBOLEN a b = c Û c + b = a met a, b, c Î N Je zegt Het aftrekken is de inverse bewerking van het optellen. Het optellen is de inverse bewerking van het aftrekken. Het symbool Û lees je als is gelijkwaardig met of als als en slechts als. Je kunt dit symbool het best vergelijken met het verkeersbord. Rechts of links verder rijden is toegelaten. Û Je mag de tekst van rechts naar links lezen, en ook van links naar rechts..7 Het aftrekken van getallen 7

16 a b = c Û c + b = a Je leest als a b = c dan is c + b = a en als c + b = a dan is a b = c Samengevat a b = c is gelijkwaardig met c + b = a Oefeningen 9 Vul in. Hoe noem je in 5 8 = 7 het getal 5? het getal 8? het getal 7? 0 Vul de ontbrekende cijfers in Het verschil van twee getallen is 60. Het grootste getal is 8 7. Wat is het kleinste getal? Het verschil van twee getallen is 678. De aftrekker is 567. Wat is het aftrektal? Geef het verschil van het kleinste natuurlijke getal met 7 cijfers en het grootste natuurlijke getal met 5 cijfers. 8 Optellen en aftrekken in Z

17 .9 Het aftrekken van gehele getallen Het aftrekken is de omgekeerde bewerking van het optellen. (+) + + (+) (+ ) = + Û (+) + (+) = + +(+) Algemeen b a c a b = c Û c + b = a +b MET SYMBOLEN a b = c Û c + b = a met a, b, c Î Z en (+) (+) = + Û (+) + (+) = + ( ) (+5) = 8 Û ( 8) + (+5) = (+5) ( ) = +7 Û (+7) + ( ) = +5 ( ) ( ) = + Û (+) + ( ) = + en zijn de bewerkingstekens. + en zijn de toestandstekens..9 Het aftrekken van gehele getallen 9

18 .0 Korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken We proberen het optellen en aftrekken van gehele getallen korter te schrijven. REKENREGEL Optellen of aftrekken van gehele getallen ) Het toestandsteken + wordt weggelaten als het bij de eerste term staat. ) Pas de tekenregel voor twee opeenvolgende tekens toe. We werken de haken weg met de tekenregel. en (+) + (+) = + = 7 ( ) + ( 5) = 5 = 8 (+5) ( ) = 5 + = 7 ( ) (+5) = 5 = 8 Merk op 5 betekent eigenlijk ( ) + ( 5) en hierop kunnen we de rekenregel van het optellen en het aftrekken van gehele getallen toepassen. Dus 5 = ( ) + ( 5) = 8 Oefeningen Maak eerst een schatting en controleer daarna met je zakrekenmachine. eerst schatten eerst schatten Bereken. 9 7 = 0 = 70 + = = +5 + = + 7 = = = + = +8 + = = = + 7 = + = 0 + = 0 00 = = 7 = +8 0 = = 0 Optellen en aftrekken in Z

19 6 De temperatuur van een buisje kwik is C. Kwik bevriest bij 9 C. Hoeveel graden moet het buisje afkoelen opdat het kwik bevriest? 7 Werk eerst de haakjes weg en werk dan uit. (+6) (+9) = (+) ( 8) = (+6) ( 9) = (+9) + ( ) = ( 6) ( 9) = (+75) + ( ) = ( 6) (+9) = (+70) 0 = 0 (+) = ( 6) + (+0) = (+0) (+0) = ( 7) (+7) = 8 Gegeven: een natuurlijk getal p. Noteer: a het volgende natuurlijk getal. b het vorige natuurlijk getal. c drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het grootste is. d drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het kleinste is. e drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarvan het gegeven getal het middelste is. 9 f het getal dat 5 meer is dan het gegeven getal. g het getal dat 8 minder is dan het gegeven getal. Het water van de Dender stond op een bepaald ogenblik 67 cm boven het normale waterpeil. In de loop van de volgende maand zakte het water 90 cm. Hoe was dan de waterstand van de rivier t.o.v. het normale waterpeil?.0 korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken

20 0 Los op. Joke heeft een leuk boek gekregen voor haar verjaardag. Vandaag las zij van bladzijde 00 tot en met. Hoeveel bladzijden heeft zij gelezen? Gegeven: het geheel getal x. Hoe noteer je a het tegengestelde van dit getal? b de absolute waarde van dit getal? c dit getal vermeerderd met? d dit getal verminderd met 7? e het voorgaande geheel getal? f dit getal vermeerderd met? g 5 verminderd met dit getal? h 5 van dit getal aftrekken? i dit getal vermeerderd met de helft van 9? j bij dit getal opgeteld? Wat verkrijg je indien je a 6 vermeerdert met 9? vermindert met? vermeerdert met 0? vermindert met a? In het gekleurde vakje in de tabel staat het verschil van en 5. ( ) ( 5) = + 5 = + Vul de tabel verder in Optellen en aftrekken in Z

21 Bereken het verschil tussen het kookpunt en het smeltpunt (vriespunt). kookpunt smeltpunt verschil goud 500 C 06 C chloor C 0 C kwik 58 C 9 C zuurstof 8 C 5 C 5 Vul in. Ballonvaarders merken bij het opstijgen dat het kouder wordt. Bij een stijging van km daalt de temperatuur met 6 C. Aan de grond bedraagt de temperatuur 9 C. a Wat is de temperatuur als de ballon 000 m hoog is? b Op welke hoogte zweeft de ballon als de temperatuur 0 C bedraagt? c Hoeveel meter is de ballon gestegen als de temperatuur 9 C bedraagt? d Een dag later stijgt de ballon weer op. Op een hoogte van 500 m is het aan boord 5 C. Hoe warm is het aan de grond?.0 Korte schrijfwijze bij het optellen en het aftrekken

22 6 Vul het ontbrekende getal in. (+) + = +9 (+8) = + ( 6) + = = = 0 ( 6) + = ( 0) = +6 ( 5) = = = = + = 9 7 Zoek koppels coördinaten (x, y) Î Z Z zodat y = x +. Teken deze koppels in het geijkte vlak. Gebruik het visgraatdiagram. x 0 y y 0 x 8 Zoek koppels coördinaten (x, y) Î Z Z zodat y = x. IJk het vlak zoals in oefening 7, en teken de koppels dan in het assenstelsel. Gebruik het visgraatdiagram. x 0 y Optellen en aftrekken in Z

23 . Eigenschappen van het optellen in Z Overal gedefinieerd EIGENSCHAP Het optellen in Z is overal gedefinieerd. Als je twee gehele getallen optelt, dan verkijg je opnieuw een geheel getal. (+6) + ( ) = + = MET SYMBOLEN a, b Î Z : a + b Î Z Het symbool betekent voor alle. De dubbele punt lees je als geldt. Je leest Voor alle gehele getallen a en b geldt dat a + b een geheel getal is.. Eigenschappen van het optellen in Z 5

24 Commutativiteit EIGENSCHAP Het optellen in Z is commutatief. Als je twee gehele getallen optelt, mag je de termen van plaats verwisselen. (+) + ( 9) = en ook ( 9) + (+) = MET SYMBOLEN a, b Î Z : a + b = b + a Voor elke waarde die je voor a en b invult, hebben a + b en b + a dezelfde uitkomst. Deze eigenschap heet de commutativiteit van het optellen van gehele getallen. Associativiteit EIGENSCHAP Het optellen in Z is associatief. Bij een som mag je de plaats van de haken wijzigen of de haken zelfs weglaten. Je kunt + ( ) + 6 op verschillende manieren berekenen. Wat je eerst berekent, kun je aanduiden door haakjes te gebruiken. Staan er al kleine haakjes ( ), dan gebruik je vierkante haakjes [ ]. Je berekent [ + ( ) ] + 6 en + [ ( ) + 6 ] [ + ( ) ] + 6 = = + [ ( ) + 6 ] = + = Je merkt dat + ( ) + 6 = [ + ( ) ] + 6 = + [ ( ) + 6 ] Doe je hetzelfde met drie andere gehele getallen, dan stel je opnieuw vast dat je de plaats van de haken mag wijzigen of dat je ze kunt weglaten. 6 Optellen en aftrekken in Z

25 MeT SYMBOLeN a, b, c Î Z : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Deze eigenschap heet de associativiteit van het optellen van gehele getallen. Neutraal element eigenschap 0 is het neutraal element voor het optellen in Z. Als je 0 en een geheel getal optelt, in gelijk welke volgorde, dan verkrijg je opnieuw hetzelfde gehele getal = 5 en 0 + ( 5) = 5 MeT SYMBOLeN a Î Z : a + 0 = 0 + a = a. eigenschappen van het optellen in Z 7

26 Tegengesteld getal EIGENSCHAP In Z heeft elk getal een tegengesteld getal. De som van beide getallen is gelijk aan het neutraal element nul. +7 heeft als tegengesteld getal 7. (+7) + ( 7) = 0 en ook ( 7) + (+7) = 0 MET SYMBOLEN a Î Z, $ a Î Z : a + ( a) = 0 = ( a) + a Het symbool $ lees je als er bestaat. Oefeningen 9 Gelden de eigenschappen van het optellen in Z ook in N? Zo ja, noteer dan de eigenschap met symbolen. Zo nee, verklaar dan waarom (geef een voorbeeld). a Is het optellen in N overal gedefinieerd? Als je twee natuurlijke getallen optelt, verkrijg je dan opnieuw een natuurlijk getal? ja / nee b Is er een neutraal element voor het optellen in N? Als je 0 en een natuurlijk getal optelt, in gelijk welke volgorde, verkrijg je dan opnieuw hetzelfde natuurlijk getal? ja / nee c Is optellen in N commutatief? Als je twee natuurlijke getallen optelt, mag je dan de termen van plaats verwisselen? ja / nee 8 Optellen en aftrekken in Z

27 d Is optellen in N associatief? Mag je bij een som de plaats van de haakjes wijzigen of zelfs weglaten? ja / nee e Heeft elk getal in N een tegengesteld getal? Is de som van beide getallen nul? ja / nee Een gedurige som is een som met meer dan twee termen. Soms kun je een gedurige som op een handige manier berekenen = = (55 + 5) + = 00 + = comm. eig. assoc. eig. Je doet het dus zo: = 00 + = 0 Bereken op de handigste manier = = = = =. Eigenschappen van het aftrekken in Z EIGENSCHAP Het aftrekken in Z is overal gedefinieerd. Als je twee gehele getallen aftrekt, dan krijg je opnieuw een geheel getal. (+6) (+) = + = MET SYMBOLEN a, b Î Z : a b Î Z. Eigenschappen van het aftrekken in Z 9

28 Oefeningen De volgende eigenschappen gelden niet voor het aftrekken in Z. Toon dit aan met een voorbeeld. a Waarom heeft het aftrekken in Z geen neutraal element? b Waarom is het aftrekken in Z niet commutatief? c Waarom is het aftrekken in Z niet associatief? Onderzoek ook de volgende eigenschappen van het aftrekken in N. Geef telkens een voorbeeld. a Is het aftrekken in N overal gedefinieerd? ja / nee b Waarom heeft het aftrekken in N geen neutraal element? c Waarom is het aftrekken in N niet commutatief? d Waarom is het aftrekken in N niet associatief? Reken uit van links naar rechts. en = 9 + = 5 = 6 = Staan er haken in de opgave, dan moet je eerst de bewerkingen die tussen de haken staan berekenen! (5 ) = = 8 Denk eraan dat het aftrekken niet commutatief is: Optellen en aftrekken in Z

29 Bereken. 8 5 = 6 (7 + ) = = 69 8 = 6 (6 6) = = = = = = 08 + (7 + 0) = + (7 5) + = (0 + 6) + (9 ) = + 7 (5 + ) = Gegeven: a = 5, b = 5 en c = 5. Bereken door substitutie (d.w.z. vervang a, b en c door de opgegeven waarden). a + b + c = a b + c = a (b c) = a + (b c) = a (b + c) = a b c = b c + a = c + a b = b c = a 7 c = Meerdere termen optellen en aftrekken ( ) + (+7) + (+9) + ( 6) Je kunt dit ook eenvoudiger schrijven als Je kunt nu op twee verschillende manieren uitrekenen = Reken uit van links naar rechts. = + 6 = = = = 6 Tel eerst de positieve en de negatieve termen afzonderlijk op.. Eigenschappen van het aftrekken in Z 5

30 5 Bereken door de positieve en de negatieve termen afzonderlijk op te tellen. a = b = c = d = e = f = 6 Schrijf eerst eenvoudiger en reken dan uit. a ( ) + (+8) (+9) + ( ) = b (+8) (+0) ( 6) + ( 5) = c ( ) (+) ( ) + ( ) + (+) = d ( ) + ( 9) (+0) ( 0) + ( 7) = e (+0) ( 00) + ( 0) (+60) + (+0) = f (+5) ( 7) (+9) + ( ) + (+9) = g (+5) + (+7) ( 7) + (+8) (+8) =. Regel der haken bij het optellen en het aftrekken Haken voorafgegaan door een plusteken 7 + ( ) kun je op twee manieren uitwerken. a) Door eerst de bewerkingen uit te voeren die tussen de haken staan. 7 + ( ) = 7 + ( ) = 7 + (+ 6) = 7 + ( ) = b) Door de volgende regel toe te passen. REKENREGEL Haken voorafgegaan door een plusteken mogen weggelaten worden. Je moet dan het plusteken voor de haken weglaten; elk getal binnen de haken hetzelfde teken laten behouden. 7 + ( ) = = = 9 6 = 5 Optellen en aftrekken in Z

31 Haken voorafgegaan door een minteken 7 ( ) kun je op twee manieren uitwerken. a) Door eerst de bewerkingen uit te voeren die tussen de haken staan. 7 ( ) = 7 ( ) = 7 (+6 5) = 7 (+) = 6 b) Door de volgende regel toe te passen: REKENREGEL Haken voorafgegaan door een minteken mogen weggelaten worden. Je moet dan het minteken voor de haken weglaten; elk getal binnen de haken van teken veranderen. 7 ( ) = = = 6 = 6 Haken invoeren Je kunt ook haakjes invoeren. Daarvoor gelden dezelfde regels. REKENREGEL Voer je haken in na een plusteken, behoud dan alle tekens van de getallen die binnen de haken komen. Voer je haken in na een minteken, verander dan alle tekens van de getallen die binnen de haken komen. + 7 = + ( + 7) + 7 = ( 7). Regel der haken bij het optellen en het aftrekken 5

32 Oefeningen 7 Bereken. a 9 ( ) = b ( 0 + 7) ( 8 ) = c ( ) + (9 8) (+5 ) = d 5 + [ (7 6 + )] + = e [0 + ( 5)] 7 + ( + 6) = f 7 [(8 0) ( 6 + )] = g ( 8) [5 (0 + ) ] = h [00 ( )] [(0 5) 5] = 8 Gegeven: a = 9, b = 5, c = Bepaal door substitutie. Bereken a b c a b c = 9 ( 5 ) ( ) Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haakjes! = = 7 a a + b c = b a + b c = c a b + c = d a (b + c) = e (a b) + c = f 0 c a = g 0 (c a) = 5 Optellen en aftrekken in Z

33 9 50 Bereken op de twee manieren. Eerst de bewerkingen die tussen haken staan uitrekenen. Eerst de haken wegwerken (met de regel der haken). a 5 + (7 ) = 5 + (7 ) = b ( ) = ( ) = c (8 + 6) + ( + 7) = (8 + 6) + ( + 7) = d ( 5) ( 8 + ) = ( 5) ( 8 + ) = Werk de haken weg en schrijf zo eenvoudig mogelijk. a a + (b a) = b (c + d) (c b) = c x ( + x z) = d (r + 5) + (r + 8) = e (k p) ( m + + k p) = 5 Gegeven: x =, y = 5, z = Werk de haken weg en bereken daarna door substitutie. a x (y + z) = b y + ( z x) = c z ( y + x) = d x (y 6) = e 5 + ( 6 + x) = f (x y) + ( z + 8) =. Regel der haken bij het optellen en het aftrekken 55

34 SAMENVATTING Begrip Als je het toestandsteken van een geheel getal weglaat, krijg je de absolute waarde. De absolute waarde van a noteer je als a. Twee getallen met eenzelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken, noem je tegengestelde getallen. +a en a zijn tegengestelde getallen. Als er twee tekens achter elkaar komen, moeten ze gescheiden worden door haken. = 5 en 5 zijn tegengestelde getallen ( 8) REKENREGEL Optellen van twee gehele getallen De gehele getallen hebben hetzelfde toestandsteken. Behoud dit teken. Tel de absolute waarden op. De gehele getallen hebben een verschillend toestandsteken. Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde. Trek de absolute waarden af (grootste min kleinste). Als je haken weglaat, dan is + (+a) = + a + ( a) = a (+ a) = a ( a) = + a 7 + ( 5 + ) = = 5 = 6 7 ( 5 + ) = = = 56 Optellen en aftrekken in Z

35

36 INTEGRAAL INTEGRAAL SNEAK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK G E TA L L E N L E E R LEERWERKBOEK INTEGRAA L InteGraa l Wat vindt u van deze preview? G e ta l l e n G e ta l l e n leer leerwerk boek leer Laat het ons weten op Sneak pr eview hoofdstu k ISBN wiskunde Voor Go! ISBN WISKUNDE VOOR GO! Integraal cover marketing.indd 7// :7