a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

Transcriptie

1 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met de optie maimum vinden we het maimum bij = p,67. De waarde van het maimum is dan :,5.. Gegeven de functie : f() = a. OP = p en OQ = f(p) = p A = Opp. (OPQ) = 0,5. OQ. OP = 0,5. p. p c. p 4 p p A'( p) = 0,5. p + 0,5 p..( ) = 0,5. p = 0,5. p p 4 p 4 p 4 p = ( p ) p 6 p = 4 p 4 p Voor het maimum geldt : A'( p) = 0 6 p = 0 p = Uit de schets blijkt dat we te maken hebben met een maimum. De maimale waarde van A is bij p = en het maimum zelf is A() = A 0 p = + = + = + OP OQ QP p p p p d. Pas Pyth. toe in OQP ( ) e. L OP p p = = + p L'( p) = ( p ) = L'( p) = 0 p = p = p p+ p p+

2 Nu een schets van de grafiek van L. We zien dan dat er inderdaad sprake is van een minimum. Het minimum van L= OP = 0,5 0,5 + = = 4. Gegeven : f ( ) = 8 a. OS = 4 en Stel de -coördinaat van P is p. Dan is de hoogte naar P gelijk aan f(p) O( OSP) = 0,5 4 p 8 p = p 8 p do = 8 p + p ( ) = dp 8 p 8 p p = 0 8 p 8 p = p 8 p= p p= 8 p= 8 p Uit de schets van de grafiek van de oppervlakte zien we dat er inderdaad een maimum is. maimale oppervlakte is O = 8 = = = = 4 = QP = f ( p) = p 8 p en QS = 4 p Opp. van QSP = A = QS QP = (4 p) p 8 p = ( p p ) 8 p c. da = ( p) 8 p + p p ( ) = dp 8 p 8 p p p + p p = 8 p 8 p ( ) 8 ( ) (4 p)(8 p) 4p+ p 4p+ 4p 4p+ p + = = 8 p 8 p 8 p 5 8 p p+ 8 p

3 d. da = 0 5 p 8 p+ = 0 Maimale oppervlakte dp D = ( 8) 4 5 = p = = 4 p = =,6 0 0 Ui de schets zien we inderdaad dat het maimum is bij p =,6 De maimale oppervlakte is dus : A(,6) 4, 4 Gegeven y = 0,5 a. p = p A = Opp.( OPQ) = 0,5. QP. f(p) = ( ) 0,5. p. f( p) = p. 0,5 p = p 0,5 p A p p p p p want p > 0. Uit de schets van de functie van A zien we dat er een maimum is. De waarde van het maimum is : f( ) =. -0,5.( ) = 0,5.. = '( ) =, 5 = 0, 5 = = = A ^0.5 p c. Lijnstuk OP berekenen met Pyth. 4 4 P P OP = + y = p + p = p + 9 p + p = p p OP = p p Nu gaan we QP differentiëren p 4p QP ' = ( p 4p) = = p p + 9 p p p p p p p p p 4 = 0 ( 4) = 0 = 0 = = Uit de schets zien we dat er een minimum is bij p = De minimale lengte is dus QP() = =

4 4 5. Gegeven f ( ) = a. p = p en A = (4, 0) y p = p p P = + = (4 ) + ( ) AP AQ PQ AP p p p AP p 8p 6 p = + + = AP p p p Het dichtst bij A We moeten het minimum van AP hebben. Noem AP = L O p Q A p + p 8 L'( p) =.( p + p 8) = p + p 8p+ 6 p + p 8p+ 6 p + p 8= 0 D = 4 4..(-8)= p= = p= = 6 6 We kijken weer naar een schets van de functie L. We zien dus dat er inderdaad een minimum bij p = 4/ Het punt dat het dichtst bij punt A is is nu :, =, 9 L = 0 O 4/ p 6. Gegeven de functie f ( ) =. 8 met D f = [0, 8] a. De snijpunten van f met de -as zijn = 0 en = 8. Stel P = p Dan geldt: f(p) = p. 8 p en dat is dan ook de hoogte. De oppervlakte wordt dan : A = 0,5. 8. p. 8 p = 4 p. 8 p y P f 0 S 4

5 5 A'( p) = 4. (8 p) + 4 p..(8 p).( ) = 4 p. (8 p) 4. (8 p) A (p) = 0 4 p 4. (8 p) =.(8 p) = 4 p 96 p = 4p 6p = 96 p = 6. (8 p) Verder zien we in de tekening dat de oppervlakte eerst toeneemt en vervolgens weer afneemt. We hebben inderdaad te maken met een maimum. De oppervlakte is maimaal bij p = 6 met een maimale waarde van : 4. Nu OPQ. A = opp( OPQ) = p f p = p p p = p p 0,5.. ( ) 0, ,5. 8 c. We berekenen A (p) en controleren dan of A (7) gelijk is aan 0. p A'( p) = p. 8 p + 0,5 p. (8 p).( ) = p. 8 p 6. (8 p) 7 49 '(7) A = 6. (8 7) = 6 = 6 A is niet maimaal voor p = Gegeven f() = en punt A(0, 6). Stel B = p B (p, p ). Zie de figuur. Volgens Pyth. geldt nu: OB = p + ( p ) = p 4 4p + 4+ p = en 4 4 p p + 4 OB = p p + 4 ( ) ( ) AB = ( p 0) + ( p ) 6 = p + p 8 = 4 p 5p AB = p 5p L= OB+ AB= p p p 5p + 64 y f B 4 O 4 5 L We gaan nu het minimum van L berekenen met de GR. 4 4 Voer in : y = Met de optie minimum vinden we dat er bij,85 in combinatie met de schets, een minimum is. O,85 p 5

6 6 De waarde is ongeveer 7,7. De minimale waarde van L is dus ongeveer 7,7. 8 Gegeven : f ( ) = + 5 en g( ) = 0,5 a. f en g snijden met de lijn = - A(-, ) en B(- ;-4,5) Lengte van AB = L = (-,5) = 4,5 Nu f en g snijden met de lijn = p. A(p, p + 5 ) en B(p; 0,5p) L = AB = p + 5-0,5p c. L'( p) =. 0,5 = 0 = p+ 5 p+ 5 p+ 5 = p+ 5= 4 p = - p = -5,5. Nu nog de schets van de grafiek van L. We zien dus dat er inderdaad een maimale lengte is bij p = -5,5. Natuurlijk kunnen we dit ook berekenen m.v. de GR. -5,5 O p 9. Gegeven f( ) = 6+ en g( ) = + Snijpunt van de lijn = p met f is A en met g is het snijpunt B. a. Punt A(p,f(p)) = (p, (6p + )) en punt B (p, p + ). Tussen - en 4 ligt de grafiek van f boven de grafiek van g. L = 6p+ ( p+ ) = 6p p L L'( p) =.6 = 0 = 6p+ 6p+ 6p+ = 6p+ = 9 6p = - p = -0,5 Uit de schets zien we dat er inderdaad een maimum is bij p = -0,5. De maimale waarde - -0,5 O p 6

7 7 wordt dan : L( 0,5) = 6.( 0,5) + ( 0,5) =,5 0. Gegeven de functies f ( ) = + 4 en g( ) = 0,5+ 5. De lijn = p snijdt f en g tussen de punten A en B. We zien ook in de figuur dat punt C onder punt D ligt. L C(( p, p + 4) en D(p ; 0,5p+5) Nu geldt L= yd yc = 0,5 p+ 5 p + 4 Nu het maimum van CD berekenen. L'( p) = 0,5. p= 0. p + 4 p = p + 4 = p p + 4 p + 4= 4p p = p = p= p= O (4/)^0,5 Deze laatste oplossing voldoet niet, want anders klopt de vergelijking niet. We zien nu inderdaad aan de figuur dat er een maimum is. De maimale lengte van het 4 lijnstuk CD is nu : L, 7 p. Gegeven de functies : f( ) = 0,5sin( ) en g( ) = cos( ),5 met op [0, π]. a. Duidelijk te zien in de gegeven figuur dat de grafiek van f boven die van g ligt. Nu lijn = p snijden met f en g Ap ( ;0,5sin( p )) en B( p;cos( p),5) L= AB= 0,5sin( p) cos( p) +,5 Nu het maimum berekenen. L'( p) = 0,5.cos( p). ( sin( p)) = cos( p) + sin( p) = 0 L cos( p) = sin( p) sin(0,5π p) = sin( p+ π) 0,5π p= p+ π + k. π 0,5π p = π ( p+ π) + kπ p= 0,5π + kπ p= 0,5π + kπ p = π + kπ p= 0,5π + kπ 6 We krijgen in totaal de oplossingen : 5 p= π p= π p= π 6 6 O 7pi/6 p p 7

8 8 Uit de schets van de grafiek van L zien we dat bij p = De lengte van AB is dus maimaal bij p = 6 π. 6 π er een maimum is. De maimale lengte is : + 4 L π = sin π cos π + = + + = 6 6. a. 4 f ( ) = 5 en g ( ) = + 0 Eerst even de situatie bekijken in de figuur. 4 L AB g( p) f( p) = = = p+ 0 5 p Nu moeten we de functie L gaan differentiëren. 4 L'( p) = ( p) = 5 p p 5 p 4 Voor het minimum geldt : L (p) = 0 p 4 p 4 = 0 = p = 4 5 p 9p = 6(5 p ) 5 p 5 p 9 p = p 5p = 400 p = 6 p = 4 p = 4 In de figuur zien we duidelijk dat we p = 4 moeten hebben De minimale lengte van AB is : = = = 4 Nu moet gelden : p + p > Eerst de vergelijking oplossen. 4 4 p+ 0 5 p = 0 p = 5 p 6 5 p = 5 p p = 5 p = p = 9 p= p= We zien bij controle dat p = - voldoet en p = vervalt. In de figuur zien we duidelijk dat als je vanaf p = - naar links gaat dat dan de lengte van AB groter wordt. Dit kan t/m p = -5. Conclusie : -5 p - f y O p A B 8

9 9. Gegeven de functies f ( ) = ln(+ 5) en g( ) = 0,5. Aangezien de grafieken niet getekend zijn, gaan we zelf eerst de grafieken tekenen. Verder is gegeven dat p tussen de twee snijpunten van f en g ligt. y f Neem punt A voor het snijpunt met f en B voor het snijpunt met g. g A(p, ln(p + 5)) en B(p; 0,5p) L= AB= ln( p+ 5) 0,5 p L'( p) =. = 0 p + 5 = p + 5= 4 p + 5 p = - p = -0,5 Als we naar de grafiek kijken vanaf het snijpunt dan zien we dat de lengte van het -,5 O verticale lijnstuk eerst steeds toeneemt en vervolgens weer afneemt. We hebben dus te maken met een maimum. Dat maimum is dus bij p = -0,5. De maimale lengte wordt dan : L( 0,5) = ln(.( 0,5) + 5) 0,5.( 0,5) = ln 4 + 0,5 p 4. Gegeven : f ( ) = 5e en g ( ) = 5e a. Voor het bereik hebben we de etreme waarde(n) nodig. Differentiëren. f '( ) = 5 e + 5 e = 5 e ( + ) f '( ) = 0 5 = en f( ) = 5e = e Nu een schets. We zien dat bij = - een minimum is. Aflezen uit de schets geeft : 5 Het bereik van f is :, > e Nu g'( ) = 0 e + 5 e = 5 e ( + ) Voor de etreme waarden geldt : g'( ) = 0 = 0 = Nu weer een schets. We zien dan dat er een minimum is bij = 0 en een maimum bij = -. 0 ma f( ) = 5 4 e = en min f (0) = 0. e 9

10 0 c. Nu beide grafieken en de verticale lijn = p met p < 0. Voor de lengte L van het lijnstuk AB geldt : L= g( p) f( p) Nu de maimale lengte. p p p p L'( ) = 0 pe + 5p e 5e 5pe = ( ) p p p p 5pe + 5pe 5e = 5e p + p Voor het maimum geldt L (p) = D = + 4= 5 p = p = Deze laatste oplossing vervalt want p < 0. 5 Maimum voor p = y g B p O f A q d. Nu = q snijden met f en g. We zien nu : CD = f(q) g(q) = 5qe 5q e Voer in : y = 5e 5 e Met de optie maimum vinden we bij = q = 0,68 een maimum dat gelijk is aan :,90. q 5. Gegeven f( ) = en sin( ) a. Zie de figuur. f ligt boven g. AB = 4cos ( q) + sin( q) Stel AB = h(q) y =q 0 cos( q) h'( q) = 8cos( q) ( sin q) (sin( q)) h'( q) = 0 8cos( q)sin( q) = cos( q) ( q ) cos( q) = 0 sin( ) = 8 ( sin( q) ) ( sin( q) ) cos( q) = 0 8sin( q) = f g A O B 0

11 cos( q) = 0 sin( q) = q= q= 6 q= 6 Nu de schets van de functie h. We zien dus dat er alleen een minimum is bij = q = 6 π = q = 5 6 π π π π 5 De grafieken raken elkaar als geldt : f( ) = gp( ) en f '( ) = gp'( ) cos( ) = pcos ( ) = pcos( ) sin( ) sin( ) (sin( )) pcos ( )sin( ) sin( ) = cos( ) = pcos( )sin ( ) ( ) p = = = p cos ( )sin( ) sin( ) cos( ) 0 sin ( ) ) = π geeft verder geen oplossing want 0 - is niet gelijk aan. ) psin ( ) = p sin( ) = Dit nu invullen in de eerste vergelijking. sin ( ) cos ( ) cos ( ) sin( ) sin( ) 0 sin ( ) = sin ( ) = cos ( ) Voer in : y = sin( ) De optie zero geeft 0,47,669 sin ( ) We gaan dit nu invullen in de vergelijking psin ( ) = p= sin() ) 0,47 geeft p 5,9 ),669 geeft p 5,0 De grafieken raken elkaar voor p 5,9 of p 5, = = = = = I.. h 40 h 40 h h Voor de oppervlakte geldt: A=. h. +. h. +. = 6h+ Voor de kosten geldt dan : 6 4, K = 6 h.0,0 +.0,40 =,.. + 0,8 = + 0,8 a. I =.. h= 7 h= =

12 4, 0,8 4,. 0,8 '( ) 4,,6 0 K = + = + K = + = 4, =,6,6 4, 7 = = = Uit de schets blijkt duidelijk dat er een K minimum is. De totale kosten zijn minimaal bij = Bij = is de hoogte : 6/9 = 4 Minimale kosten bij de afmetingen : ; 6 en 4 dm. O 8. a. Stel de hoogte van de doos is h. Uit het gegeven dat de inhoud 6 dm is volgt : 6 h = 6 h= De totale oppervlakte van de doos is : opp(bodem) + 4.opp(zijstukken) A= + 4 h A = + 4 = + h = Van de functie A moeten we het minimum berekenen A () berekenen. 64 A= + 64 A' = 64 = 0 = = =,7 Nu de schets van de functie A We zien dan duidelijk dat er inderdaad een minimum is. De hoogte is dan : h = 6,59 ( ) De afmetingen zijn dan : lengte en breedte van het grondoppervlak is 7 mm en de hoogte is 59 mm. 9. a. Opp. =.opp.(onderkant) + opp.(zijkant) =.π.r + πr.h

13 De inhoud is liter = 000 cm π.r 000.h = 000 h = π r Opp. = πr. h + πr h 000 = π r O = opp. = π r. πr πr + = + π r r 000 O= πr + = πr r O'( r) = 4πr 000 r = 0 r π 500 r π π Uit de schets zien we dat we inderdaad te maken hebben met een minimum. Conclusie : Er is een minimum bij r 5,4 cm = 54 mm r = πr = r = r = 5,4 000 en de hoogte is dan h = 0,8 cm = 08 mm. π r 00 K 0. Oppervlakte is 00.y = 00 y = a. Lengte afrastering is : y w + w + y bos K = = K = + = K'( ) = = 0 = 5 O 77,46 = 6000 = ,46 00 y = 5,49 Uit de schets zien we dat we te 77,46 maken hebben met een minimum. De kosten zijn minimaal bij 77,46 en dus bij y = 00/77,46 5,49 Minimale kosten bij een breedte van : 5,49 meter en een lengte van 77,46 meter. De minimale kosten zijn dan : K(77,46),79 euro c. Nu moet gelden : K = 500 Voer in : y = 5+ en y = 500 Met de optie intersect vinden we 5,60 of 4, Er moet ook gelden.y = 00 Bij = 5,60 komt nu y,8

14 4 Verder komt bij 4, een waarde van y 0,5. Verder moet het niet te smal en te lang zijn De nieuwe afmetingen worden nu: 5,6 bij,8 meter.. a. 500 Ipotje = π r. h= 500 h= π r Opp.( deksel) = opp.( bovenkant) + opp.( rand) = π r + π r. 500 Opp.( potje) = Opp.( onderkant) + opp.( zijkant) = πr + πr. h = πr + πr. π r 000 Opp.( potje) = π r + De materiaalkosten van het glas zijn a euro per cm. Dan zijn r de materiaalkosten van de deksel a euro per cm a 000a K = ( πr + πr. ). a + πr +. a = πar + 4πar + πar + = πar + 4πar + r r r 000 K'( r) = 6πar+ 4πa 000 ar. = 0 6πr+ 4π = 0 Dit gaan we oplossen met GR. r 000 Voer in : y = 6π+ 4π Met de optie zero vinden we,548 Nu nog de controle dat we inderdaad met een minimum te maken hebben. De functie K is een functie van r, daarin zit nog de factor a. We bekijken daarom de functie K/a. Die functie geeft natuurlijk bij dezelfde waarde van r het minimum aan, omdat alles door de factor a gedeeld is. 000 Voer in : y = π + 4π+ We zien dan dat er bij,548 inderdaad een minimum is. De totale kosten zijn minimaal bij een straal van 5 mm en een hoogte van : 500 h =,6 dus bij een hoogte van 6 mm. π.,548. a. De boot gaat tegen de stroomrichting in. De snelheid van de boot is : v De snelheid van de boot is gelijk aan de afgelegde weg / tijd = 5/t 5 5 v = t t = v Voor de brandstofkosten per uur geldt : Ku = c v De totale brandstofkosten zijn de kosten per uur maal het aantal uur. 4

15 5 c. 5 5cv K = Ku t = c v = v v Minimum We gaan differentiëren. 0 cv( v ) 5cv 0cv 0cv 5cv 5cv 0cv K'( v) = = = ( v ) ( v ) ( v ) De afgeleide moet 0 zijn 5cv 0cv = 0 5 cv( v 6) = 0 c = 0 (kan niet) v = 0 (kan ook niet) v = 6 Nog even de schets. (Neem v. c = ) We zien inderdaad bij = v = 6 dat er een minimum is. De totale brandstofkosten zijn minimaal bij een snelheid van 6 km/uur.. Gelijkbenige driehoek met omtrek. a. Stel AB = en de opstaande gelijke zijden y + y = y = 6 0,5. Zie figuur: h = AC AD h = y (0,5) h = (6-0,5) 0,5 h = 6 6 h = CD = 6 6 c. De oppervlakte van ABC is : O = 0,5. AB. CD O = 0, d. e. O= 0, O'( ) = 0, ,5 ( 6) = 6 6 0,5 6 6 = ,5 6 6 = =

16 6 Maimum O () = 0 0,5 6 6 = 0 0,5 6 6 = = 9= 6 = 4 We zien aan de schets dat er inderdaad een maimale waarde is bij 4. Als = 4 dan hebben AC en BC de waarden : 6 0,5. 4 = 4 De maimale oppervlakte van ABC is dus : Opp.= 0,5. 4. = 4 4. a. Uit het voorbeeld weten we : L= AP+ * PC = Voor de kostenfunctie K geldt : K = AP + CP K = + + K = Minimum K () = = 0 + = 0 = ( ) = + = + = = + = = = Nu weer een schets van K We zien duidelijk dat er een minimum is bij = 45. Het minimum is dan K(45) = 60 De minimale kosten zijn 60 euro a. ' AB = = AB' = BB ' = 00 De kosten op het traject AB B zijn dan : euro Voor de lengte AB geldt: AB = = AB = BC 00 Zie nu de figuur BC AB en AC AB = De totale kosten zijn dan : K = euro c. Nu geldt : AP = + 00 AP = en BP BP = (500 ) + 00 = =

17 7 Voor de totale kosten geldt nu : K = AP + BP = Voer in y = en neem v. het window [0, 500] X [0, 00000] Met de optie minimum vonden we het minimum van 657 bij is ongeveer 44. De minimale kosten zijn dan 657 euro. 6a. 00 meter = 0, km AP = + 0, AP = + 0,0 en 00 meter = 0, km en 400 meter = 0,4 km BP = (0, 4 ) + 0, = 0,6 0, ,04 BP = 0,8 + 0, 0 afgelegde weg Er geldt : afgelegde weg = snelheid * tijd tijd = snelheid AP BP + 0,0 0,8 + 0, t = + = + = + 0,0 + 0,8+ 0, Nu de minimale tijd berekenen met de GR. Voer in : y = + 0,0 + 0,8+ 0, 8 Met de optie minimum vinden we het minimum van y = t = 0,058 bij = 0,4. De minimale tijd is dus 0,058 uur. Dat is dus 0,058 * 600 = 9 seconden. 7a. Voor het te lopen traject geldt : d = afgelegde weg Er geldt weer: afgelegde weg = snelheid * tijd tijd = snelheid t = + = Nu algebraïsch berekenen. dt = = d dt Nu moet gelden : = 0 = = = + 4 d Kwadrateren geeft : 9 = = 4 = 0,5 = 0,5 = Nu de schets. We zien daaruit dat er inderdaad een minimum bij = 8a. Zie goed de figuur uit het boek. Als gevolg van het omvouwen geldt : PD = 0 AD kunnen we berekenen met Pyth. 7

18 8 PD = AP + AD AD = (0 ) = AD = Voor de oppervlakte van ADP geldt : O( ADP) = 0,5. AD. AP = 0, Nu weer gaan differentiëren O( ADP) = 0,5. AD. AP = 0, do = 0, ,5 ( 40) d = 0, do 0 = 0 0, = d ,5( ) = = 0 0 = 00 = 0 Uit de schets blijkt duidelijk dat we te maken hebben met een maimum. O is maimaal voor = 0. Het maimum is dan 0 O 8,49 cm 9a. De omlooptijd is 5, dus de periode is 5. De straal is. p = r cos( ct) Algemeen gelden de formules: y p = r sin( ct) π π Uit het gegeven volgt c = c = en r = periode 5 π p = cos t 5 π y p = sin t 5 Er geldt natuurlijk : y P = y P yp ' π = sin t 5 0. u = 5sin(40 πt) en u = 5sin(40π t 0,6 π ) P Q 8

19 9 a. c 40 Voor de frequentie geldt : f π f 0 π π Het faseverschil is : 0,6 π 0, π c. uq = 5sin(40π t 0,6 π) = 5sin 40 π( t 0,05) T (0,05;0) u = 5sin(40 πt) u = 5sin(40 π( t 0,05)) P Q d. De trillingstijd is 0,05 sec. Daarin wordt 4.5 = 0 cm afgelegd. Per seconde wordt dus 0. 0 = 400 cm afgelegd. In een kwartier wordt dan dus = cm afgelegd. Er wordt dus,6 km afgelegd.. a. Amplitude is 0 en f = Hz T = / Er geldt : π π = T = c=.π = 6π. c c Het beginpunt is sijgend y = 0sin(6 πt) P Q heeft een faseachterstand van 0, 0,.periode = 0 yq = 0sin 6 π ( t ) 0 met y Q in cm en t in seconden. P en Q hebben een even grote afwijking y P = y Q 0sin(6 π t) = 0sin 6 π ( t ) 0 sin(6 πt) = sin(6 π( t ) 6πt = 6 π( t ) + k.π 6πt = π 6 π( t ) + k.π π 6π 6π t = 6 πt + k.π 6 πt = π (6 πt ) + k.π 0 0 geen oplossing of πt =,π + k.π t = 0, + k. met t tussen 0 en. 6 t = 0 t = 4 5 t = 0 t = 5 t = 0 t = 4 5. c. Voer de beide functies in en plot ze allebei. Bekijk dy op deze tijdstippen en kijk wanneer de dt ene dy positief is en de andere dy negatief is. Dit is het geval bij : dt dt 4 t = 5 t = 5 t = () t = cos( ct) y() t = sin( ct) 9

20 0 a. Aangezien er geldt dat P = P = cos( ct) = sin(0,5 π ct) = sin( ct 0,5 π ) en dit is de gedaante van een harmonische trilling. Zie de figuur. Het assenstelsel kunnen we aanpassen door het te draaien om een hoek van 45º of ook wel 0,5.π. Vervolgens hebben we dezelfde situatie als bij opgave a en dus een harmonische trilling. Punt P gaat op en neer tussen de punten A en B terwijl punt P zich over de cirkel verplaatst.. Cirkel met m.p. P en straal PA = l. l =,00 m. en BPC = 0 º a. De totale omtrek van de cirkel met straal,00 m is :.π. = π m. De lengte van de boog is het zoveelste deel van de totale omtrek 0 De gevraagde booglengte is: boog BC =. π 0,745 m 60 ' Zie driehoek BA P sin(5 ) BA o = AB ' =.sin(5 o ) = sin(5 o ) l BC =.sin(5 º ) 0,74 m. c. u = sin( ct) b = A B = sin(5º) 0,09 en π π = c, c, T,0 T l, 00 = π. = π.,0 sec. en g 9,8 d. De trillingstijd T is,0. Gedurende een periode hebben we te maken met twee tikken. per seconde hebben we bij benadering tik. 4. u sin( t) en u 4sin = = t π 6 u u u sin( t) 4sin = + = + t π 6 Voer in y = sin( ) 4sin + π 6 Met de optie zero vinden we het eerste snijpunt met de -as bij 0,5 d = 0,5, want er is dus sprake van een translatie 0,5 naar rechts. 0

21 De optie maimum geeft een maimum van 6,77. De amplitude is 6,77. b = 6,77 u = 6,77sin(( t 0,5)) sin( t+ u) = sin( t).cos( u) + cos( t).sin( u) 5. We gaan uit van : sin( t u) = sin( t).cos( u) cos( t).sin( u) t+ u = a We stellen het volgende : t u = b a. Als we dit gaan optellen dan krijgen we : t = a+ b t = 0,5( a+ b) Als we dit gaan aftrekken dan krijgen we : u = a b u = 0,5( a b) We gaan nu deze betrekkingen invullen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin( a) = sin 0,5( a+ b).cos 0,5( a b) + cos 0,5( a+ b).sin 0,5( a b) sin( b) = sin 0,5( a+ b).cos 0,5( a b) cos 0,5( a+ b).sin 0,5( a b) Nu gaan we de linkerkanten optellen en ook de rechterkanten optellen. sin( a) + sin( b) =.sin 0,5( a+ b).cos 0,5( a b) ( ) ( ) 6. We gaan dezelfde substituties gebruiken als bij opgave 5. Nu gaan we de linkerkanten en de rechterkanten aftrekken. sin( a) sin( b) =.cos 0,5( a+ b).sin 0,5( a b) ( ) ( ) We gaan voor de cosinus uit van de formules : cos( t+ u) = cos( t).cos( u) sin( t).sin( u) We vullen weer de substituties van opgave 5 in. cos( t u) = cos( t).cos( u) + sin( t).sin( u) Eerst tellen we de linkerkanten en de rechterkanten op ( ) ( ) cos( a) + cos( b) =.cos 0,5( a+ b).cos 0,5( a b) Nu gaan we de linkerkanten aftrekken en de rechterkanten aftrekken. ( ) ( ) cos( a) cos( b) =.sin 0,5( a+ b).sin 0,5( a b) 7. u = sin(500 πt) + 4sin(500πt 0, 4 π) met u in mm en t in seconden. a. Voer in: y = sin(500 π ) + 4sin(500π 0,4 π) De periode is in de buurt van : π = = 0,004 neem als window : [0 ; 0,005] X [-7, 7] 500π 50 Met de optie zero vinden we het eerste snijpunt met de hor. as bij = t 0,000466, waarbij de grafiek stijgt.

22 Met de optie maimum vinden we een maimum van y 5,69 u = 5,69.sin 500 π( t 0,000466) 5,69.sin(500πt 0,7) met u in mm en t in seconden. ( ) De frequentie is : 500 π = 50 Het punt legt in seconde af : π ,69 = 5690 mm = 5,69 m c. u'( t) =.cos(500 πt).500π + 4cos(500πt 0,4).500π = 500 π.cos(500 πt) π.cos(500πt 0, 4 π) u '(0) = 500π cos(0) + 000π cos( 0, 4 π) 6654 De snelheid op t = 0 is dus ongeveer 6654 mm/s 4 km/uur. 8. u = sin(500 πt) en u = sin(500π t 0,5 π ) Met u = u + u a. u sin(500 πt) sin(500πt 0,5 π). ( sin(500 πt) sin(500πt 0,5 π) ).. ( sin(0,5(500πt+ 500πt 0,5 π)).cos(0,5(500πt 500πt 0,5 π)) ) = = + = + = 6.sin(500πt 0, 5 π).cos(0, 5 π) = 6.sin(500πt 0, 5 π). =.sin(500π t 0, 5 π ) u = sin(500πt 0, 5 π) du = cos(500π t 0, 5 π) 500π = 500π cos(500πt 0, 5 π) dt Maimale snelheid krijgen we als de cosinus is 600 vma = 500π mm / s 6664, 4 km / uur u p sin( ct) p sin( ct d) p.sin ( 0,5( ct ct d) ).cos( 0,5( ct ct d) ) = + = + + = psin( ct 0,5 d).cos(0,5 d) = p.cos(0,5 d).sin( ct 0,5 d) met b = p cos(0,5 d) 40. u = sin( t) + cos( t) en u = sin( t) + cos( t) a. u = sin( t) + cos( t) = sin( t) + sin( t+ 0,5 π ) = sin(0,5( t+ 0,5 π + t)) cos(0,5( t 0,5 t t)) = sin( t+ 0,5 π) cos( 0,5 π) = sin( t + 0,5 π ) Voer in : y = sin( ) + cos( ) Met de optie zero vinden we =,0. Met de optie maimum vinden we het maimum van,4. De gevraagde functie is nu : u =,4sin( t,0)

23 4. u = sin( t) +sin( t) u = sin( t) + sin(4 t) a. De periode van y =sin() is : π = π ; De periode van y=sin() is : π = π In de periode π past de periode π keer en past de periode van π/ keer. π is de kleinste periode waarin de periodes een geheel aantal keren passen. De periode van y = sin(t) is : π π = π ; De periode van y=sin(4) = = π 4 In de periode π past de periode van 0,5π twee keer. Dat is dus de kleinste waarde waarin een geheel aantal keren de periode van sin() en van sin(4) past. De periode van u is dus π. Zie ook de grafiek die getekend is op het interval [0, π ] 4.. a. u = sin(00 πt) + sin(0 πt) π De periode van u = 00π = 50 ; De periode van u π = 0π = 0 In de periode [0, π] passen 00.π periodes van u en passen 0.π periodes van u. In de periode [0, ] passen 00 periodes van u en passen 0 periodes van u. De periode van u is dus [0, ] de trillingstijd is dus seconden. u = sin(00 t) + sin(0 t) De periode van u = π π = ; De periode van u = π In de periode [0, π] passen 00 periodes van u en passen 0 periodes van u. De periode van u is dus [0, π] de trillingstijd is dus π seconden. c. u = 5sin(00 πt) + sin(05 πt) π De periode van u = 00π = 50 ; De periode van u π = 05π = 05 In de periode [0, π] passen 00.π periodes van u en passen 05.π periodes van u.

24 4 In de periode [0, ] passen 00 periodes van u en passen 05 periodes van u. In de periode [0, 5 ] passen 0 periodes van u en periodes van u. De periode van u is dus [0, 5 ] de trillingstijd is dus 5 seconde. d. u = sin πt + sin πt 4 5 π De periode van u = 8 0, 5π = ; De periode van u π = 0 0, π = In de periode [0, π] passen 0,5.π periodes van u en passen0,.π periodes van u. In de periode [0, ] passen 0,5 periodes van u en passen 0, periodes van u. In de periode [0, 40] passen 5 periodes van u en passen 4 periodes van u. De periode van u is dus [0, 40] de trillingstijd is dus 40 seconden. 4. u = sin(660 πt) en u = sin(66 πt) met t in seconden. In de periode [0, π] passen 660.π periodes van u en passen 66.π periodes van u. In de periode [0, ] passen 660 periodes van u en passen 66 periodes van u. De periode van u is dus [0, ] de trillingstijd van de zweving is dus seconden. 44. u =,5sin(700 πt) + 0,sin(400 πt) + 0,sin(00 πt) + 0,sin(800 πt) met t in seconden. a. De grondtoon is : u =,5sin(700 πt) De frequenties van de drie boventonen zijn : 700 Hz ; 050 Hz en 400 Hz. In de periode [0, π] passen 700 π periodes van u en passen 400.π periodes van u en passen 00.π periodes van u en passen 800.π periodes van u 4 In de periode [0, ] passen 700 periodes van u en passen 400 periodes van u en passen 00 periodes van u en passen 800 periodes van u 4. In de periode [0, 700 ] passen periode van u en passen periodes van u en passen periodes van u en passen 4 periodes van u 4 De periode van u is dus [0, 50 ] de trillingstijd is dus 50 seconde. 45. u = 0, 6sin(500 πt) ; u = 0,6sin(550 πt) en u = 0,6sin(500π t 0,5 π ) a. 4 u u u = + In de periode [0, π] passen 500π periodes van u en passen 550π periodes van u. In de periode [0, ] passen 500 periodes van u en passen 550 periodes van u. 4

25 5 In de periode [0, 50 ] passen 0 periodes van u en passen periodes van u. De periode van u 4 is dus [0, 5 ] De trillingstijd is dus 5 seconde. In de figuur zien we anderhalve periode. X ma is dus,5. 5 = 0,06 c. u5 = u+ u = 0,6sin(500 πt) + 0,6(sin(500πt 0,5 π) = ( volgens Mollweide ) = 0,6..sin ( 0,5(500πt 500πt 0,5 π) ).cos( 0,5(500πt 500πt 0,5 π) ) + + =,.sin ( 500πt 0, 5 π).cos( + 0, 5π) =,..sin(500πt 0, 5 π) = 0, 6.sin(500πt 0, 5 π) 46. = sin( t) K : y = sin( t ) met t op [0, π] a. We zien in de figuur dat we moeten zijn bij het tijdstip t = π 4 Als we deze waarde gaan invullen dan krijgen we : = sin π = 4 Het punt, ligt op de kromme K. y = sin π = (0,0) ligt op de kromme K omdat we bij t = 0 het punt (0,0) inderdaad krijgen. c. Bij het punt (,0) hoort de waarde t = π. We kan het zo controleren. t 0 0,5π 0,5π 0,75π π,5π,5π,75π π 0 0,7 0,7 0-0,7 - -0,7 0 y y d. O 5

26 6 47. a. = sin( at) K : y = sin( bt ) met t op het interval [0, ] π In de -richting is er sprake van maimum en minimum. periode. In de y-richting hebben we 4 maima en 4 minima. 4 perioden. De kromme wordt twee keer doorlopen. Totaal hebben we het interval [0, π] Bij omtrek hebben we dus nodig het interval [0, π]. Zie de figuur in het boek. In de -richting hebben we maimum en minimum. D.w.z. het doorlopen van π π sinuskromme. a = = = periode π In de y-richting hebben we 4 maima en 4 minima. We hebben dus 4 sinuskrommen binnen de periode [0, π ]. Er geldt dus dat de periode in de y-richting gelijk is aan 4 π. π π b = = = 8 periode π 4 De p.v. van de kromme wordt nu : = sin( t) K : y = sin(8 t) c. Als de kromme keer wordt door lopen dan hebben we voor omwenteling het interval van [0, π ]. π π In de - richting geldt dan dus : a = = = periode π π π In de y-richting geldt : b = = = periode π = sin( ct) K : y = sin( t ) met t op het interval [0, π] Zie de figuur in het boek. In de -richting hebben we maima en minima. We krijgen dus keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de -richting is dus de periode [0, π] π π c = = = periode π 6

27 7 In de y-richting hebben we maimum en minimum. We krijgen dus keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de y-richting is dus de periode [0, π] c =. Dat klopt dus met de gegeven kromme De p.v. van de kromme wordt nu : = sin( t) K : y = sin( t ) 49. = sin( at) K : y = sin( bt ) met t op het interval [0, π] De kromme wordt keer doorlopen. In de -richting hebben we maima en minima. We krijgen dus keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de -richting is dus de periode [0, π] π π a = = = periode π In de y-richting hebben we 5 maima en 5 minima. We krijgen dus 5 keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de y-richting is dus de periode [0, 5 π] π π b = = = 5 periode π 5 De p.v. van de kromme wordt: = sin( t) K : y = sin(5 t ) 50. = sin( at) K : y = sin( bt ) met t op het interval [0, π] De figuur wordt keer doorlopen. Zie de figuur in het boek. a. In de -richting hebben we maima en minima. We krijgen dus keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de -richting is dus de periode [0, π] π π a = = = periode π In de y-richting hebben we maima en minima. We krijgen dus keer een sinuskromme binnen [0, π]. In de y-richting is dus de periode [0, π] π π b = = = periode π = sin( t) De kromme K wordt nu : K : met t op [0, π] y = sin( t ) 7

28 8 maimum in de -richting sin( t) = t = π + k. π t = π + k. π t = π t = π Dit geeft de punten (, minimum in de -richting ) en (, - sin( t) = t = π + k. π t = π + k. π t = π t = π We krijgen de punten (-, ) en (-, - ) De waarde = 0 krijgen we als geldt : sin( t) = 0 t = 0 + k. π t = 0 + k. π t = 0 t = π t = π t = π t = π Dit geeft de punten (0, 0) ; (0, -) ; (0, ) en weer (0,0) Maimum in de y-richting 5 sin( t) = t = π + k. π t = π + k. π t = π t = π t = π Dit geeft de punten: (,) ; (-, ) en (0, ) Minimum in de y-richting 5 sin( t) = t = π + k. π t = π + k. π t = π t = π t = π 6 6 Dit geeft de punten : (0, -) ; ( ; -) en (-, -) De waarde y = 0 krijgen we als geldt : sin( t) = 0 t = 0 + k. π t = 0 + k. π t = 0 t = π t = π t = π t = π t = π t = π We krijgen dan de punten: (0, 0) ; (, 0) ; (-, 0) ; weer (0,0) ; weer ( ), 0) en weer (-,0) y 5. = sin( t) K : y = sin( t ) a. t op [ 0; 0,5π] t 0 6 π 4 π π π 0 0,5 0 - y 0 0,5 0,5 0,5 O 8

29 9 t 0 6 π 4 π π π π 4 π π 0 0, ,5 0 y 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0 We krijgen dezelfde figuur. In de tabel kan je nagaan dat bij het doorlopen van de figuur eerst begonnen wordt in (0,0) dan naar (-,0). Vervolgens weer terug naar (0,0) y O c. t 0 4 π π π π 4 π π 0 0, ,5 0 y 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0 t π 6 π 4 π π π π 4 π π , ,5 0 y 0-0,5-0,5-0,5 - -0,5-0,5 0 d. De figuur wordt keer doorlopen bij het interval [0,5π,,5π]. y O 9

30 0 5. Gegeven de p.v. = sin( t) y = sin( ct) met t op het interval [-0,5π ; 0,5π]. a. Zie de figuur in het boek. In de -richting hebben we een halve periode waarin nog net het minimum en het maimum worden meegenomen. In de y-richting hebben we maima en minima. De grenzen zijn zelf maimaal en minimaal. We krijgen dan ook geen perioden,maar,5 perioden. De periode in de y- richting is dus het,5 deel van π en dat is 5 π c = π = 5 π 5 Bij het interval [-0,5π ; 0,5π] wordt de kromme in omgekeerde volgorde doorlopen. 5. Gegeven de p.v. = sin( t π ) 6 y = sin( t) met t op het interval [0, π]. a. De punten I, A, G en D. De snijpunten met de as. y = 0 sin( t) = 0 t = 0 + k. π t = 0 + k.0,5π t = 0 t = 0,5π t = π t =,5π t = π de punten : (-0,5 ; 0) ; (0,5 ; 0) ; (0,5 ; 0) ; (-0,5 ; 0) en weer (-0,5 ; 0) A(-0,5, 0) ; I(-0,5 ; 0) ; G(0,5 ; 0) en D(0,5 ; 0) Het punt B = 0 sin( t π ) = 0 t π = 0 + k. π t = π t = π punten (0 ; 0,5 ) en weer (0 ; 0,5 ) B(0 ; 0,5 ) De punten C en H. y is dan maimaal. sin( t) = t = 0,5 π + k.π t = 0,5 π + k. π t = 0,5π t =,5π de punten (sin,) π en (sin π,) Dat geeft : Punt H (sin,) π en punt C (sin,) π De punten K en F. y is minimaal y = - sin( t) = t =,5 π + k.π t = 0, 75 π + k. π t = 0, 75π t =, 75π 7 de punten (sin, ) π en 7 (sin π, ) Dan krijgen we : 7 K (sin, ) π en F 7 (sin, ) π 0

31 Punt E. Dan = sin t π = t π = π + k. π t = π + k.π 6 6 E krijgen we t = π E, voor punt Verder het punt J dan is minimaal = - 4 sin( t π ) = t π = π + k.π t = π = π punt J(-, -0,5 ) Nu lijn = 0,5 snijden met de kromme K. sin( π ) = sin( π) = sin π t π = π + k. π t π = π π + k.π met t in [0, π] t = π t = π Dit geeft de punten, en,0 de gevraagde lengte van het snijlijnstuk is dus : = 6 c. Nu de kromme K snijden met de lijn y =. sin( t π ) sin ( t) t π = t+ k.π t π = π t+ k.π 6 6 t = π + k.π t = π + k.π t = π + k. π t = π + k. π met t in [0, π] t = π t = π t = π t = π We hoeven de punten hier zelf niet te geven!!! 54. Gegeven de kromme: = sin( at) y = sin( t + b) met t op [0, π] In de -richting hebben we periodes de periode van de is dus π π c= a = = π y = 0 krijgen we bij t = 4 π en bij t = 4 π

32 sin π + b = 0 en sin π + b = 0 π + b= 0 + k. π en π + b= 0 + k. π b= π + k. π en b= π + k. π b= π + k. π De punten P zijn gegeven door: = sin( t) y = sin( t + t) We nemen t in [0, π] a. De snijpunten met de y-as = 0 sin(t) = 0 t = 0 + k.π t = k.0,5π t = 0 punt (0, sin π ) en dus het punt ( 0 ; 0,5 ) t = 0,5π punt (0, sin 5 π) en dus het punt (0 ; 0,5) 6 t = π punt (0, sin π) en dus het punt (0 ; -0,5 ) t =,5π punt (0, sin 5 6 ) en dus het punt (0 ; -0,5) We krijgen dan de punten : A(0 ; 0,5 ) ; B(0 ; 0,5) ; C(0 ; -0,5) en D(0 ; -0,5 ) Nu de lijn = -0,5 snijden met de kromme sin( t) 0,5 sin( t) sin = = π 6 t = π + k.π t = π π + k.π t = π + k. π t = π + k. π t = π punt ( 0,5;sin 5 ) ( 0,5; 0,5 ) π = t = 7 π het punt (-0,5 ; sin π ) = ( 0,5;0,5 ) t = 7 π het punt (-0,5 ; sin π ) t = 7 π het punt (-0,5 ; sin π) Punt E(-0,5 ; 0,5 ) en punt H(-0,5 ; -0,5 ) De lengte van het lijnstuk EH is dus. c. Op t = a T sin( a),sin( a+ π ) en op t = π + a U sin(a+ π ),sin( a+ π ) U sin( a),sin( a+ π ) We zien dus dat de -coördinaat hetzelfde is de lengte van TU is dus : sin( a+ π ) sin( a+ π) = sin( a+ π) + sin( a+ π) =.sin( a+ π)

33 56. a. Een cirkel kun je beschouwen als een p.v. met twee harmonische trillingen nml. zowel in de -richting als in de y-richting. Een cirkel met m.p. (a,b) en straal r krijg je door de vergelijkingen: = a+ r.cos( t) y = b + r.sin( t) met t in [0, π] = cos( t) De eenheidscirkel heeft de straal en middelpunt (0, 0) y = sin( t) Als we ook de -coördinaat als een sinus willen schrijven dan krijgen we : = sin( π t) y = sin( t) 57. Gegeven de kromme K: y = p + q = sin( t + π ) 4 y = sin( t) Gegeven is dat K ook geschreven kan worden als : We gaan twee mooie punten uit de eerste kromme pakken en vullen die in de tweede vergelijking in. Aldus kunnen we de waarden van p en van q berekenen. Neem v. t = - π punt (sin(0) ; sin(-0,5π) dus het punt (0, -) Dit punt invullen in de 4 e vergelijking - = 0 + q q = - Neem t = π punt (sin(0,5π) ; sin(0,5π)) dus het punt (, ) Nu dit punt weer invullen in 4 de tweede vergelijking = p. - p = De formule wordt nu : y = = sin( t 0,5 π ) 58. Gegeven K: en de vergelijking : y = - + met - y = sin( t) We gaan de kromme K invullen in de gegeven vergelijking. ( ) sin( t) =. sin( t 0,5 π ) + Apart: ( ) ( ) cos( t) = sin t sin( t) = cos( t) sin( t) = cos( t) Nu i.p.v. t de waarde t 0,5π invullen ( ) ( ). sin( t 0, 5 π ) = cos ( t 0, 5 π) = cos(t 0,5 π) - Nu weer terug naar de vergelijking sin( t) = cos(t 0,5 π ) sin( t) = cos(0,5π t) sin( t) = sin( t) Dit laatste klopt voor elke t. Aangezien een sinus functie is, geldt dus dat tussen - en moet liggen. K is te schrijven als y = - + met -.

34 4 59. Gegeven de kromme K : = sin( t) y = sin(t 0,5 π ) Neem t op het interval [0, π] a. t 0 0,5π 0,5π 0,75π π,5π,5π,75π π 0,4,4 0 -,4 - -,4 0 y De keerpunten zijn hier (, ) en (-, ). Het lijkt op een parabool. De top is (0,-) en de parabool gaat door (,). Stel de vergelijking is : y = a. - door (, ) = a. 4-4a = a = 0,5 De vergelijking wordt dan : y 0 y = 0,5. We moeten nu gaan aantonen dat dit vermoeden correct is: We gaan de en de y van de parameterkromme invullen in deze vergelijking. sin(t 0,5 π ) = 0,5.(.sin( t)) Apart: sin(t 0,5 π ) = sin(0,5π t) = cos( t) Apart: ( ) 0,5.(.sin( t)) = 0,5.4 sin( t) = sin ( t) = cos( t) Uit deze twee berekeningen zien we dat het inderdaad klopt voor elke t. Er geldt echter ook dat -.sin(t) Bij K hoort de formule : y = 0,5. - met Gegeven de lijn l : y = + 0,5 en de kromme K door: = sin( t) y = sin( t) Neem t op [0, π] 4

35 5 a. Lijn l gaat door de punten (0 ; 0,5) en door ( ;,5) t 0 0,5π 0,5π 0,75π π,5π,5π,75π π 0 0,7 0,7 0-0,7 - -0,7 0 Y y l 0 Snijpunten: We gaan de en de y van K invullen in de vergelijking van de lijn l. sin( t) = sin( t) + 0,5 We doen dit met de optie intersect. Voer in : y = sin( ) en y = sin( t) + 0,5 Neem het window [0,π] X [-, ] We vinden, 4,96 t, t 4,96 Bij deze waarden van t krijgen we de snijpunten : ( -0,7 ; 0,) en (-0,97 ; -0,47) c. We gaan weer de en de y van K invullen in de vergelijking 4 y = 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 sin( t) = 4. sin( t) 4. sin( t).sin( t).cos( t) = 4.sin ( t).( sin ( t)) 4.sin ( t).cos ( t) = 4.sin ( t).cos ( t) Dit klopt voor elke t.. Aangezien sin(t) tussen - en ligt geldt dus verder : -. 4 Totaal geldt dus : y = 4 4 met -. 5

36 6 6. Gegeven de kromme K door : = sin( t) y = sin( t) a. Als domein nemen we waarden van t waarbij = - We beginnen bij t = -0,5π. De periode van de is π en de periode van y is π We gaan de tabel nemen voor t tussen -0,5π en t =,5π. t -0,5π - π 6 π 0 6 π π 0,5π π 5 6 π π 7 6 π 4 π,5π - -0,9-0,5 0 0,5 0,9 0,9 0,5 0-0,5-0,9 - y y O De keerpunten zijn: (-, ) en (, -) 6

37 7 We gaan deze p.v. invullen is de vergelijking : y = 4 sin( t) sin( t) 4sin ( t) sin( t t) sin( t) 4sin ( t) = + = sin( t).cos( t) cos( t).sin( t) sin( t) 4sin ( t) + = sin( t).(.sin ( t)) cos( t).sin( t).cos( t) sin( t) 4sin ( t) + = sin( t) sin ( t) + sin( t).cos ( t) = sin( t) 4sin ( t) sin( t) sin ( t) sin( t).( sin ( t)) sin( t) 4sin ( t) + = sin( t) sin ( t) sin( t) sin ( t) sin( t) 4sin ( t) sin( t) 4sin ( t) = sin( t) 4sin ( t) + = Dit klopt dus voor alle t. Alle punten van K voldoen ook aan de vergelijking y = Gegeven de kromme: = cos( t) y = cos( t) a. De periode van cos(t) is π en de periode van cos(t) is π. We nemen nu het interval van 0 tot π, dan gaat de van naar - en vervolgens weer naar. De tabel geeft: t 0 6 π π π 4 6 π 5 6 π π 7 6 π 8 6 π, 5 π 0 6 π 6 π π, ,7 - -,7-0,7 y y O 7

38 8 De formule : y = a + b met tussen c en d. De formule gaat zo te zien door (,) = 8a + b Verder gaat de formule ook door het punt (, -) a + b = -. We moeten even dit stelsel oplossen 8a+ b= 8a+.( a ) = 8a a = 6a= a= 0,5 a+ b= b= a b= a b= a b=,5 We krijgen dan de kromme : y = 0,5,5 We moeten nu nagaan of de gegeven kromme aan deze vergelijking voldoet. We gaan nu de en de y van de kromme invullen. cos( t) = 0,5.( cos( t)),5. cos( t) cos( t+ t) = 0,5.8cos ( t) cos( t) cos( t).cos( t) sin( t).sin( t) = 4.cos ( t) cos( t) ( ) cos ( t).cos( t) sin( t).cos( t).sin( t) = 4.cos ( t) cos( t) t t t () t = 4.cos() t cos() t cos ( t) cos( t) ( cos ( t)).cos( t) = 4.cos ( t) cos( t) cos ( t) cos( t) cos( t) + cos ( t) = 4.cos ( t) cos( t) 4.cos ( t) cos( t) = 4.cos ( t) cos( t) cos ( ) cos( ) sin ( ).cos Dit klopt voor alle t. Verder geldt dat.cos(t) tussen - en ligt - c = - en d =. In totaal hoort de kromme bij de vergelijking : y = 0,5,5 met - 6. a. Teken lijnstuk EA en noem het snijpunt van EA en FC o EP o dus P. Dan geldt : sin(5 ) = EP = EF.sin(5 ) EF o FP o en cos(5 ) = FP = FE cos(5 ) FE O(ABCDEF)= 4.O( FPE)+O(ABDE) = 4.0,5.EP.FP + AE. AE = 4.0,5.EF.sin(5 ). FE.cos(5 ) +.EF.sin(5 ).AB =. 4.sin(5 ). 4.cos(5 ) +.4.sin(5 ).6 = sin(5 ).cos(5 ) + 48.sin(5 ) O(ABCDEF),54 c. O(ABCDEF) = sin(40 ).cos(40 ) + 48.sin(40 ) 46,6 64. a. O = 6sin( α) + 48sin( α) Voer in y = 6sin( ) + 48sin( ) en het gegeven window. 8

39 9 Voer ook in y = 50 en neem het window [0, 80] X [ 0, 70] Met de optie intersect vinden we : 45 of 86. Voor α = 45º of α = 86º is de oppervlakte gelijk aan 50. c. Met de optie maimum uit het calcmenu vinden we een maimale waarde van ongeveer 55,76 bij α 65º. De schets geeft aan dat er dan inderdaad een maimum is. Conclusie : O is maimaal bij een hoek van 65º. Het maimum is dan ongeveer: 55, o a. BC = AB.sin(90 α) = AB.cos( α) en h = BC + CD h = cos( α) h = cos(α) = 5 8.cos(α) = 5 cos(α) = 5 8 α 5º 66.a. Opp. = Opp.( Δ AED) + opp.( EBCD) = = 0,5 AE ED + ED CD AE Apart: cos( α) = AE = 5 cos( α) AD ED sin( α) = ED = 5 sin( α) AD Dan volgt dus verder: EB = 0 5 cos( α) Dit nu invullen O = 0,5.5cos( α) 5sin( α) + (0 5cos( α)) 5sin( α) =,5cos( α) sin( α) + 50sin( α) 5cos( α) sin( α) = 50sin( α),5sin( α) cos( α) 9

40 40 Nu nemen we α stomp. Zie tekening. Verleng BA en teken vervolgens de loodlijn vanuit D op de lijn EA. A = α en dus geldt A = 80 - α. Uit de tekening lezen we verder af. Opp.(ABCD) = Opp.(EBCD) Opp.(EAD) = EB. ED 0,5. EA. ED apart: sin(80 ) ED o o α = ED = 5 sin(80 α) = 5sin( α) AD EA o Ook geldt : cos(80 - α) = EA = 5 cos(80 α) = 5 cos( α) AD Nu alles gaan invullen O = (EA+0).ED 0,5.EA.ED = (-5.cos(α) + 0 ). 5sin(α) 0,5. (-5).cos(α). 5sin(α) = -5cos(α).sin(α) + 50.sin(α) +,5.cos(α).sin(α) = 50sin(α),5.sin(α).cos(α) c. Als α = 90 dan gaat het trapezium over in een rechthoek. Nu de 90 invullen in de formule. O = 50.sin(90 ),5.sin(90 ).cos(90 ) = 50.,5.. 0 = 50 en dat klopt want 5. 0 = 50 is de oppervlakte. d. Er moet nu gelden : 50sin(α),5.sin(α).cos(α) > 40. Voer in : y = 50sin(X),5.sin(X).cos(X) en y = 40 De optie intersect geeft X 64 en X 8. Nu de schets. Aflezen uit de figuur geeft: 64 < α < 8 e. y gebruiken. De optie maimum geeft een maimum van 5,5 bij α Opmerking: In de figuur moet het lijnstuk PQ gelijk zijn aan 0 en niet 0!!!! 40

41 4 a. A = O( UTP) + O(PQST) + O( QSR) =.0,5.UT. PT + PQ.PT PT UT sin( ) = PT = 0.sin( ) en cos( ) = UT = 0.cos( ) UP UP A =.0,5.0.cos( ).0.sin( ) sin( ) = 00.cos( ).sin( ) + 00.sin( ) = 00.sin( ) + 50.sin( ) Voer in y = 00sin( ) + 50sin( ) De optie maimum geeft een maimum van 0 bij = 69. Het maimum is 0 cm bij een hoek van ongeveer De ribben zijn in de tekening in decimeters. V = V V = bak weggestr. water a. AB. BC. BF 0,5. UE. EF. FG = = ,5. UE.0.0 UE Apart: tanα = UE = 0.tanα EF V = tanα De formule is gebaseerd op het feit dat het weggestroomde water als inhoud de opp. van een driehoek is maal de breedte FG. ( een driezijdig prisma). De situatie is nu anders. Nu is het volume van het aanwezige water beter rechtstreeks te berekenen. Vergelijk ook met de bovenste tekening: UFE = BUF =α BF 0 tanα = UB = UB tanα 0 V = 0,5. UBBF.. BC = 0, tanα 000 = tanα c. We hebben dan de situatie dat diagonaal AF horizontaal komt te liggen. 0 Dan geldt : tanα = = α 6,4º 0 d. 00 liter is minder dan de helft, dus we gebruiken nu de formule van onderdeel Voer in : y = 000 tanα en voer in y = 00. Met intersect vinden we 68,. 4

42 4 69. a. sin( ) = BC BC = 60 sin( ) BM cos( ) = CM CM = 60 cos( ) BM Verder geldt : ( ) AB = AC + CM AC = AB CM = sin( ) = sin ( ) Samenvattend krijgen we : AM = AC + CM = sin ( ) + 60.cos() sin ( ) + 60.cos() > 00 Voer in : y = sin ( ) + 60.cos() en y = 00 De optie intersect geeft het snijpunt bij = α 8,46. Nu de schets. Aflezen uit de schets geeft : L > 00 voor 0 α 8 70a. Opp.(ABCDEF) = 4.Opp( EFP) +.Opp(PQDE) Opp.( FPE) =0,5. FP. PE cos( ) = PF PF = 4cos( ) FE sin( ) = PE PE = 4 sin( ) FE Nu alles invullen Opp.( FPE) = 0,5.4.cos().4sin() = 8sin().cos() Opp.(PQDE) = 5. 4sin() = 0.sin() De totale oppervlakte wordt dus : O = sin()cos() + 40.sin() We moeten gaan differentieren. Eerst O vereenvoudigen. do O = 6.sin() + 40.sin() 6.cos( ). 40cos( ) 0 cos( ) 40cos( ) 0 d = + = + = Nu de formule cos( ) = cos ( ) 4

43 4 ( ) cos ( ) 40cos( ) 0 64cos ( ) 40cos( ) 0 + = + = 8cos ( ) + 5cos( ) 4 = 0 Stel cos() = p 8p + 5p 4= 0 D = (-4) = p = cos( ) = p = cos( ) = De eerste oplossing kan niet. De tweede oplossing geeft,09 (ligt tussen 0 en 0.5π. Uit de schets blijkt dat we bij =,09 inderdaad een maimum hebben. De oppervlakte is dus maimaal bij,09 rad en dat is ongeveer Opp. (ABCD) = Opp.( AED) + Opp.(ABFE) + Opp.( BFC) =. 0,5. DE. AE + AB. AE DE Apart: cos( ) = DE = 0 cos( ) en sin( ) = AE AE = 0 sin( ) AD AD Invullen geeft : Opp.(ABCD) =. 0,5.0.cos(). 0.sin() sin() = 400. sin().cos() sin() = 00.sin() sin() Algebraïsche berekening differentiëren. O () = 00. cos() cos() O () = 0 geeft : cos() + cos() = 0 Er geldt : cos() = cos () (cos () ) + cos() = 0 4cos () + cos() = 0 D = (-) = cos( ) = < (kan niet) cos( ) = 8 8, rad 65 Uit de schets volgt inderdaad dat er bij, rad een maimum is. Conclusie. Er is een maimum bij een hoek van 65. 4

44 44 7. a. Zie de figuur. Teken de twee hulplijnen EC en FC loodrecht op de overstaande zijden. O=.0,5. EC. DE+ EC. FC sin() = EC/ = EC cos() = DE/ = DE en EC = CF O = sin().cos() + sin () O () = sin( ).cos( ) + cos( ).cos( ) + sin( ).( sin( )) = sin( ) + cos( ) = 0 sin( ) = cos( ) sin( ) = sin(0,5π ) sin( ) = sin( 0,5 π ) = 0,5π +. kπ = π ( 0,5 π) + kπ geen oplossing of 4=,5π + kπ = π + k. π 8 In de schets zien we dat er inderdaad een maimum is. De oppervlakte wordt maimaal bij = 8 π. 7. a. Kijk naar ABP. We gaan eerst lijnstuk MP berekenen en dan AP. Evenzo gaan we eerst lijnstuk PN berekenen en dan BP. Tenslotte Pyth. in ABP. MP MP PN PN cos( ) = = MP =.cos( ) en sin( ) = = PN =.sin MN MN AP = AM + MP = 7 +.cos(). Zo is ook PB = PN + BN = 5 +.sin() AB = AP + BP = 7+ cos( ) + 5+ sin( ) = ( ) ( ) 49 68cos( ) 44 cos ( ) 5 0sin( ) 44sin ( ) 74 68cos( ) 44(cos ( ) sin ( )) 0sin( ) = = 68cos( ) + 0sin( ) + 8 L= 0sin( ) + 68cos( )

45 45 π 5 5 = 5 = rad = PMN in radialen. Dit nu invullen in de formule L = 0sin π + 68cos π + 8 0,5 dm 6 6 c. Voer in : y = 0sin( ) + 68cos( ) + 8 en y = 0 Neem het window [0, π] X [5, 5]. Met de optie intersect vinden we 0,9,. In de formule hebben we hier te maken met radialen. o o De gevraagde hoek PMN 0,9. 7º of PMN,. 64º π π d. Maimum L differentiëren. dl 60cos( ) 84sin( ) = ( 0cos( ) 68sin( ) ) = d 0sin( ) + 68cos( ) + 8 0sin( ) + 68cos( ) + 8 dl = 0 geeft : 60cos() = 84sin() d Voer in : y = 60cos() en y = 84sin() De optie intersect geeft bij de scherpe hoek de waarde 0,60 rad. of te wel 6. Nu nog de schets van L. We zien dat we inderdaad een maimum hebben bij = 0,6 rad of te wel 6. Het maimum is dan : 06 cm. 74. a. v gemiddeld = v(0) + v(6) = = 5 m/ s We weten dat de afstand s een primitieve is van de snelheid v. De oppervlakte van de driehoek berekenen we eveneens met primitiveren. 6 O( Δ OAB) = v( t) dt = s(6) s(0) is de afgelegde afstand gedurende de eerste 6 seconden. 0 c. Nu moeten we de oppervlakte van de gehele driehoek berekenen. s(5) s(0) = O(gehele driehoek) = 0, = 75 meter

46 ( + + ) = = N(0) s 4s 6 ds N(6) 7 N(6) + ( s 40s 0 ) ds N(7) + = 6 ( ) ( ) N(7) N(0) s 4s 6 ds s 40s 0 ds a. t ( ) (6) ( 40 0) 85 [ 0 0 ] Nt = N + s + s ds= + s + s s = t + 0t 0t = t + 0t 0t+ t 6 De groeisnelheid op t = is : N () = = 7 N'( t) = 7 t + 40t 0 = 7 t + 40t 9 = 0 Nu moet dus gelden : D= ( ).( 9) = 568 t = t = 4 4 t 4,04 ( kan niet, want t tussen 6 en 7) of t 5,96 Na 5 dagen en 0,96.4 uur dus na 5 dagen en uur is de groeisnelheid even groot als de groeisnelheid op t =. 77. a. 0,t I'( t) = 0 0 e voor 0 t<5 fase,5 I'( t) = 0 0 e voor 5 t<0 fase 0,t 5,5 I'( t) = 0 0 e voor 0 t 55 fase t t 0,t 0,s t ( ) (0) '( ) 0 0. [0 00 ] ,t 0,t It = I + I sds= + e dt= + s+ e = + 0t+ 00. e 00 = 0t+ 00. e 99 Er geldt: I (0) = 0 0.e - Er moet nu dus gelden : 0, 5,5 0, 5, t t e = 0 0e e = e 0,t 5,5 = 0,t = 4,5 t = 45 Deze waarde van t ligt inderdaad in fase. c. Niet correct. Het betekent alleen dat de snelheid van de groei constant is. 46

47 47 d. Er geldt : 0 55,5 0,s 5,5 I(55) = I(5) + (0 0. e ) ds+ (0 0 e ) ds = ,.5,5 0 0,s 5,5 ( e 99) + 0s 0. e s 0s 00. e + 5 = 0,5,5,5 0, e + ( e ) ( e ) + ( e ) ( e ),5 = e 6 Op het tijdstip 55 zijn er dus ongeveer 600 insecten. e. Aangezien de insecten in 00-tallen gegeven zijn, moet dus gelden: I(t) = 00 We moeten eerst bekijken in welke fase we zitten. 0,.5 I(5) = e maimaal 5900 in fase ,5, I(0) = I(5) + (0 0. e ) dt = t 0. e. t = ,9 05 maimaal 0500 insecten. We moeten dus in de e fase zitten. We krijgen dus : (5) t,5,5 t (0 0. ) I + e ds= + s e s =,5,5,5 70, 48 ( 0t 0. e. t) ( e = 4 ( e ) t 70, 48 t 0 0. e Bij t 9,4 zijn er 0000 insecten. vt () 0,t 4t = + voor 0 t < 0 vt ( ) = 0,8t 4t+ 80 voor 0 t 5. a. (5) = (0) + ( 0, ) 5 s s t t dt (0) ( ) 0, 4 = = + = + = = s v t dt ( t t) dt t t m (5) (0) 0, (0) 80 ( ) s = s + t t+ dt = s + t t + t = = = 66 m 0 5 0,5 9,4 66 s(5) vgemiddin (. 5sec.) = = = m/ s We gaan nu beide mogelijkheden bekijken 0, t + 4t = 0, t 4t+ = 0,8t 6t+ 00 = Voer in : y =, met window [0, 0] X [-0, 0]. Met de optie zero uit het 47

48 48 calcmenu vinden we,. De tweede mogelijkheid is : 0,8t 4t+ 80 = 7, t 6t+ 50 = 0 9 Voer in : y = 7,t 6t+ 50 met window [0, 5] X [-0, 0] Weer met de optie zero uit het calc-menu vinden we tussen = 0 en = 5 de waarde,7. Conclusie: op de tijdstippen t, en t,7 is de snelheid gelijk aan de gemiddelde snelheid. c. Er geldt s(0) =, meter. Dat is minder dan 00 meter. We moeten dus oplossen : p p p v( t) dt = ( 0, t + 4t) dt = t + t. p p = + = Voer in : y = 5 + en y = 00. Met de optie intersect krijgen we = p 8,. Na ongeveer 8, sec heeft de auto 00 meter afgelegd. 79. Ft ( ) = t + 54t 80t+ 00 voor 0 t < Ft ( ) =, 68t + 88t 50t+ 908 voor t 4 a. In de vroege ochtend t < F'( t) = 0 9t + 08t 80 = 0 t t+ 0 = 0 ( t 0)( t ) = 0 t = 0 t = We zien aan de hand van de schets dat er bij t = een minimum is en bij t = 0 er sprake is van een maimum. F(0) = 900 en F() = De minimale hoeveelheid water per uur is m en de maimale hoeveelheid water per uur is 900 m. Aangezien bovenstaande functie de hoeveelheid geleverde m water per uur voorstelt, hebben we dus te maken met een snelheidsfunctie. De totale hoeveelheid geleverde water per dag wordt dan : 4 ( t + 54t 80t+ 00) dt+ (,68t + 88t 50t+ 908) dt 0 Voer in : y = en y =, Met de optie integraal uit het calc-menu vinden we de totale hoeveelheid water per dag van : , 00 m. 48