WISKUNDE B HAVO BOEK I

Transcriptie

1 WISKUNDE B HAVO BOEK I

2 1 1 HAVO WISKUNDE B BOEK I MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. In het colofon staan de namen van de betrokken auteurs. Eerste druk MALMBERG s-hertogenbosch 1 1

3 2 2 2 Voorwoord MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. Dit boek is afgeleid van de digitale methode. Niet alle onderdelen van de methode zijn in het boek overgenomen. Digitaal zijn er namelijk meer mogelijkheden dan op papier. Zo biedt de digitale methode leerroutes op basis van jouw individuele resultaten. Als onderdelen uitsluitend digitaal zijn aangeboden, kun je dat zien aan het icoontje: Elk hoofdstuk is als volgt opgebouwd: Instaptoets De Instaptoets kun je uitsluitend digitaal maken. In de instaptoets komt vereiste voorkennis aan bod, die in voorgaande hoofdstukken of leerjaren is behandeld. De Instaptoets bestaat uit gesloten vragen. Nadat je de toets hebt afgerond, geeft het systeem aan wat je al weet en waar je nog eens aandacht aan kunt besteden. Vervolgens kun je Uitleg of Voorbeeldopgaven raadplegen waarin die stof nog eens wordt herhaald. Context In het boek zijn altijd twee contexten opgenomen. Dit zijn voorbeelden uit de praktijk waarbij wiskunde een belangrijke rol speelt. Als je de stof van een hoofdstuk goed beheerst, zou je de opgave bij de contexten moeten kunnen maken. Paragraaf Iedere paragraaf begint met leerdoelen waarin is aangegeven wat je gaat doen. Na de leerdoelen volgen UITLEG waarin de stof wordt uitgelegd en VOORBEELDEN waarin voorbeeldopgaven zijn uitgewerkt. De opgaven die bij uitleg en voorbeeld horen, herken je aan het blauwe balkje. OPGAVE 0.12 In THEORIE wordt de stof nog eens samengevat. Het is een veralgemenisering van de informatie bij uitleg. Je kunt tonen dat je de stof beheerst via de opgaven bij VERWERKEN. Die opgaven hebben een niveauaanduiding: is makkelijk, is het niveau wat je moet behalen en is een moeilijke opgave. OPGAVE 0.11 Als je de opgaven digitaal maakt, houdt de methode jouw scores bij. Zo zie je precies wat je allemaal goed en fout hebt gedaan. Soms moet je zelf aangeven of je een opgave goed had of niet. De vragen met een sterretje ( ) en die met twee sterren ( ) hebben bovendien een herkansingsopgave: een soortgelijke opgave om het nog eens te proberen als je de eerste opgave fout maakte. 2 2

4 3 3 3 Bij sommige opgaven kun je gebruikmaken van werkbladen. Dat staat in de tekst zo vermeld: WERK- BLAD. Je krijgt die werkbladen van je docent of print ze zelf (thuis). Ook heb je bij bepaalde hoofdstukken externe bestanden nodig. Dat zie je aan BESTAND. In de digitale methode kun je direct doorklikken naar zo n bestand. Werk je met het boek, dan ontvang je die bestanden van je docent. Bij sommige opgaven zie je dit symbool: zijn meestal moeilijke opgaven.. Dat zijn opgaven ontleend aan de wiskundeolympiade. Dit Testen Ieder hoofdstuk wordt afgesloten met toetsopgaven in de Voorbeeld eindtoets. Via een aantal opgaven kun je nagaan of je de stof van het hoofdstuk voldoende beheerst. Ook hier gaat MathPlus digitaal net een stapje verder: op basis van jouw resultaten in verwerken krijg je een set toetsopgaven die voor jou persoonlijk is samengesteld. Automatisch nakijken met AlgebraKIT In het digitale product kijkt de computer jouw uitwerkingen automatisch na. Je kunt hints opvragen en per tussenstap geeft het systeem aan of je het goed of fout hebt gedaan. Veel succes met MathPlus! De auteurs 3 3

5 4 4 4 Inhoud 1 Functies en grafieken Werken met formules 1 Formules gebruiken Formules herschrijven Formules en de grafische rekenmachine 23 4 Vergelijkingen Voorbeeld eindtoets Functies en grafieken Lineaire verbanden 1 Lineaire functies Lineaire verbanden Stelsels vergelijkingen Lineaire modellen Voorbeeld eindtoets Functies en grafieken Functies en grafieken 1 Het begrip functie Domein en bereik Karakteristieken Samengestelde functies Transformaties Voorbeeld eindtoets Differentiaalrekening 4 Veranderingen 1 Veranderingen in grafieken Veranderingen per stap Differentiequotiënt Differentiaalquotiënt Hellingsgrafiek Voorbeeld eindtoets Register

6 5 5 Functies en grafieken Werken met formules Instaptoets Formules en+ de+ grafische rekenmachine Formules gebruiken Vergelijkingen Formules herschrijven Voorbeeld eindtoets

7 6 6 6 DOMEIN Functies en grafieken Windmolens CONTEXT 1 Formules worden in tal van vakken veelvuldig gebruikt om problemen op te lossen. Als je bijvoorbeeld een bepaalde afstand binnen een bepaalde tijd af wilt leggen, zou je door een aantal snelheden te proberen een schatting kunnen maken van hoe hard je werkelijk zou moeten gaan. Dit is echter nogal omslachtig en kost veel tijd. Door het gebruik van formules kun je een uitdrukking bedenken waarin de tijd, afstand en snelheid als variabelen zijn weergegeven. Zo n formule is dan bijvoorbeeld s = v t, waar s de afstand is, t de tijd en v de snelheid. Door twee van de drie variabelen in te vullen kun je dan de onbekende berekenen. OPGAVE Voor een zekere windmolen wordt het vermogen dat hij levert gegeven door de formule: P = 0, 008 v 3 D 2. Hier is P het gemiddelde vermogen in kilowatt, v de gemiddelde windsnelheid in m/s en D de rotordiameter in meter. In een bepaald gebied ligt de windsnelheid tussen de 7, 2 en de 28, 8 km/h. a Bereken de minimale en de maximale rotordiameter als je een gemiddeld vermogen van 40 kw (kilowatt) wilt opwekken. b Als het twee keer zo hard gaat waaien, wordt het vermogen dan ook twee keer zo groot? Windmolens kunnen elektriciteit opwekken. Ook daarbij zijn formules handig. Zo bestaat er een formule om het (gemiddelde) vermogen P in kw (kilowatt) te berekenen dat een windmolen levert afhankelijk van de windsnelheid v in m/s en de diameter D in meter van de cirkel die de tip van een wiek beschrijft tijdens het ronddraaien (dat wordt wel de rotordiameter genoemd). Deze formule heeft de vorm P = c v 3 D 2 waarin c een constante is die afhangt van het type windmolen. 6 6

8 7 7 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 7 CONTEXT 2 Elektrische weerstand In huis gebruik je elektrische apparaten. Ondanks het feit dat ieder huis maar een enkele aansluiting heeft op het stroomnet kun je veel verschillende apparaten tegelijk aansluiten. Dit is mogelijk omdat deze apparaten parallel zijn geschakeld. Bij een parallelschakeling lopen er vanuit de stroombron aftakkingen naar alle losse apparaten en weer terug. OPGAVE Manon moet de weerstand van R 1 bepalen. Ze weet de weerstand R tot van de gehele schakeling en die van R 2. Herleid de formule zodat er één breuk overblijft die de weerstand van R 1 geeft afhankelijk van R tot en R 2. Het stroomnet voelt een bepaalde weerstand van alle apparaten samen. Deze is afhankelijk van de weerstanden van de losse apparaten en wordt aangeduid met de totale weerstand (R tot ). Bij twee weerstanden (R 1 en R 2 ) wordt deze bepaald door de formule 1 u tot = 1 u u

9 8 8 8 DOMEIN Functies en grafieken 1.1 Formules gebruiken In deze paragraaf leer je: verschillende soorten formules herkennen: formules die een verband weergeven tussen variabelen, formules in de vorm van een vergelijking die je kunt oplossen en formules als rekenregel; bij een formule die het verband tussen twee variabelen beschrijft een grafiek tekenen; onderscheid maken tussen grootheden en eenheden. UITLEG De oppervlakte van een rechthoek kun je uitrekenen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen. Dat is een zin die je kunt inkorten tot A = l b als je de oppervlakte van de rechthoek voorstelt door de letter A, de lengte door de letter l en de breedte door de letter b. Zo n ingekorte zin heet een formule. Formules zijn overzichtelijker dan lange zinnen, maar je moet wel goed onthouden (of opschrijven) wat al die letters voorstellen. Bij toepassingen moet je ook aan de eenheden denken: als lengte en breedte in meter zijn uitgedrukt, dan moet oppervlakte in vierkante meter worden uitgedrukt. Lengte en breedte zijn grootheden, net zoals bijvoorbeeld tijd, oppervlakte en kapitaal. Een grootheid die variabel is, bestaat uit een variabele en een bijpassende eenheid. In formules schrijf je alleen die variabelen, geen eenheden. Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een isgelijkteken. In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. De formule A = z 2 is een vergelijking die een verband tussen de variabelen A en z vastlegt. Je kunt er een tabel bij maken en een grafiek bij tekenen. z A Als z de lengte van een vierkant is in centimeter en A de oppervlakte in cm 2, dan zijn lengte en oppervlakte de grootheden van de formule en cm en cm 2 de eenheden. De vergelijking 2t + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende t. Deze vergelijking heeft als oplossing t = 130, want = 300. De formule 2(x + 3) = 2x + 6 is een rekenregel en geldt voor elke waarde van x. 8 8

10 9 9 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 9 OPGAVE 1.1 Bekijk de uitleg en beantwoord de vragen. a Noem drie verschillende eenheden bij de grootheid tijd. b Noem een mogelijke grootheid bij de eenheid cm 3. c Leg uit wanneer je bij een formule een grafiek kunt maken. d Leg uit wat het verschil is tussen de formules 2(x + 3) = 2x + 6 en 2(x + 3) = 4. OPGAVE 1.2 Geef van de formules aan of het een verband tussen variabelen is of niet. a A = 50 g 2 A verband B geen verband b y + 20 = 60 A verband B geen verband c 6 u = 5 A verband B geen verband d h = 3(t 5) A verband B geen verband THEORIE Een formule is een zin waarin variabelen voorkomen. Vaak beschrijven formules een verband tussen die variabelen, maar niet altijd. Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een isgelijkteken. Als een formule een verband beschrijft tussen twee variabelen, kun je er een grafiek bij tekenen. Je maakt dan eerst een tabel. Vervolgens zet je de gevonden punten in een assenstelsel. In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. Die grootheden worden voorgesteld door een variabele waarin de letter past bij de gebruikte grootheid. Bij zo n grootheid hoort weer een afgesproken eenheid waarin hij kan worden gemeten. De formule A = z 2 is een vergelijking die een verband tussen de variabelen A en z vastlegt. Je kunt er een tabel bij maken en een grafiek bij tekenen. De formule 2t + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende t. Deze vergelijking heeft als oplossing t = 130, want = 300. De formule (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9 is een rekenregel en geldt dus voor elke waarde van x. 9 9

11 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 1 Een tuinman heeft voor 30 m 2 graszoden gekocht. Daarmee kan hij verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen de lengte en breedte (in meter) van deze veldjes bestaat dan het verband: lengte breedte = 30 Bij deze formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. Je begint met een tabel en een leeg assenstelsel. Het kan verstandig zijn om eerst de tabel helemaal in te vullen en daarna pas het assenstelsel te tekenen, omdat je dan een geschikte stapgrootte kunt bepalen voor de assen. Als lengte = 1, dan is 1 breedte = 30. Dan geldt: breedte = 30 1 = 30. Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (1, 30). Als lengte = 2, dan is 2 breedte = 30. Dan geldt: breedte = 30 2 = 15. Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (2, 15). Zo vul je de tabel verder in. De bijbehorende punten komen in het assenstelsel. Ten slotte teken je een (kromme) lijn door de getekende punten. lengte breedte , OPGAVE 1.3 Stel dat de tuinman uit het voorbeeld 50 m 2 graszoden gekocht zou hebben. a Welke formule zou dan gelden tussen het verband van de lengte en breedte (in meter) van de rechthoekige veldjes? b Teken de grafiek bij de formule. OPGAVE 1.4 Gebruik de formule: oppervlakte (rechthoek)= lengte breedte. grafiek I grafiek II grafiek III a Gegeven is dat lengte = 6 m. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat

12 11 11 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 11 b c Nu is gegeven dat oppervlakte = 12 m 2. Schrijf op wat de formule dan wordt. Van een rechthoek is bekend dat deze een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft. De grafieken horen bij de formules uit a, b en c. d Neem de grafieken over. Schrijf bij elke grafiek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij. OPGAVE 1.5 Voor een abonnement voor mobiele telefonie betaal je 24,00 per maand en nog eens 0,08 per belminuut. De totale kosten per maand hangen dus af van het aantal belminuten per maand. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per belminuut. a Leg uit dat er voor de kosten K per belminuut geldt: K = 0, u waarin a het aantal belminuten in een maand voorstelt. b Teken een grafiek bij deze formule. Neem aan dat 0 < a 240. c Bij hoeveel belminuten betaal je 0,12 per minuut? Voorbeeld 2 Gooi je een steen recht omhoog met een beginsnelheid van 24, 1 meter per seconde, dan wordt de snelheid van de steen (zolang hij niet op de grond is gekomen) weergegeven door: v = 24, 1 9, 8t t stelt de tijd in seconden voor en v de snelheid in meter per seconde. Bekijk de bijbehorende grafiek. Je wilt weten op welk tijdstip de steen op zijn hoogste punt is. Hoe lees je dat uit deze grafiek af? Antwoord Zolang de steen omhoog gaat, is v positief; zodra de steen daalt, is v negatief. Je kunt uit de grafiek aflezen op welk tijdstip de snelheid van de steen 0 is. Op dat moment is de steen op zijn hoogste punt. Dat is ongeveer na 2, 5 seconden. OPGAVE 1.6 Bereken op welk tijdstip de steen uit het voorbeeld op zijn hoogste punt is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig

13 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 1.7 Sophie staat op haar balkon, steekt haar arm uit over het hek en gooit een tennisbal recht omhoog met een beginsnelheid van 5 m/s. In het voorbeeld staat beschreven hoe bij een omhoog geworpen steen de snelheid van de tijd afhangt. De bal komt na 2 seconden op de begane grond. a Pas de formule voor de snelheid van de steen v = 24, 1 9, 8t aan voor de gegevens van de tennisbal. Welke formule krijg je nu? b Teken de grafiek bij deze formule. c In de grafiek is de snelheid soms positief, soms negatief. Hoe komt dat? d Na hoeveel seconden is de bal op zijn hoogste punt? Geef je antwoord in duizendsten van een seconde nauwkeurig. e Met welke snelheid komt de bal op de grond? Geef je antwoord in kilometer per uur. Voorbeeld 3 Wat is het verschil tussen de volgende formules? K = 2a 3b 2x + 3 = - 4x + 5 (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 Antwoord K = 2a 3b is een verband tussen drie variabelen. 2x + 3 = - 4x + 5 is een vergelijking die je kunt oplossen. De oplossing is: x = 1 3. (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 is een rekenregel. Dit wordt duidelijk als je de haakjes wegwerkt: (x + 1) 2 = (x + 1)(x + 1) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1. OPGAVE 1.8 In het voorbeeld zie je de formule K = 2a 3b. a Neem a = 4 en teken een grafiek bij de formule. b Neem b = - 1 en teken een grafiek bij de formule. OPGAVE 1.9 Welke van de formules stelt een verband tussen twee variabelen voor? Teken bij deze formules een grafiek. a inhoud = 3r 2 b inhoud = l b h c 4(a b) = 4a 4b d lengte = 200 lengte e 2p + 25 = 14 0, 5p f x y =

14 13 13 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 13 OPGAVE 1.10 VERWERKEN Een ton is helemaal gevuld met water. Met een kraantje wordt de ton geleegd. Het verband tussen de hoogte h van het water in centimeter en de tijd t in minuten dat de kraan openstaat, wordt weergegeven door de formule: h = 82 5t. a Om welke grootheden en eenheden gaat het hier? b Met welke variabelen heb je hier te maken? c Hoe hoog stond het water in de ton voordat de kraan openging? d Hoe hoog staat het water als de kraan vier minuten open heeft gestaan? e Teken de grafiek bij de formule. f Na hoeveel minuten is de ton leeg? OPGAVE 1.11 Welke van de formules beschrijft een verband tussen twee variabelen? Teken bij deze formules een grafiek. a (2 + x) y = 2y + xy b inhoud (kubus) = r 3 c S = 400 5t 2 d a 2 + b 2 = c 2 OPGAVE 1.12 Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: V = π r 2 h. Hierin is V de inhoud (het volume), r de straal in centimeter en h de hoogte in centimeter. a In welke eenheid moet V worden uitgedrukt? b Hoeveel bedraagt de inhoud van een blikje met een diameter van 80 mm en een hoogte van 16 cm? Rond af op twee decimalen. c Welke formule geeft het verband tussen V en r voor blikjes met een hoogte van 16 cm? d Teken de grafiek bij de formule die je in c hebt gevonden. e Van andere blikjes is de inhoud 1 liter. Welk verband is er nu tussen r en h? Schrijf het in de vorm h =... OPGAVE 1.13 Voor het gebruik van elektriciteit betaal je een vast bedrag per jaar en een bedrag per kwh (kilowattuur) verbruik. De totale jaarlijkse kosten hangen daarom af van het aantal kwh dat er wordt verbruikt. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per kwh. Er geldt de formule: K = 0, u. Hierin is a het aantal verbruikte kwh en K de kosten per kwh (in euro). a Hoeveel bedraagt het vaste bedrag per jaar? b Teken de grafiek van K afhankelijk van a. c Voor welke waarde van a bedragen de kosten per kwh 16 eurocent? 13 13

15 DOMEIN Functies en grafieken 200 V OPGAVE 1.14 I = 10 A Een elektrische weerstand wordt aangesloten op een spanning van 200 volt. Met behulp van een ampèremeter kun je de stroomsterkte meten. Voor deze situatie geldt de wet van Ohm: U = I R waarin U de spanning in V (volt) is, I de stroomsterkte in A (ampère) en R de weerstand in Ω (ohm). a Bij een spanning van 200 volt beschrijft de wet van Ohm het verband tussen I en R. Welke formule hoort daar bij en welke eenheden horen bij deze formule? b Teken de grafiek bij deze formule. Zet R op de horizontale as. c Welke stroomsterkte wordt er gemeten als R = 15? 20Ω OPGAVE 1.15 Een bal wordt recht omhoog geschoten en is na 2, 7 seconde op het hoogste punt. De snelheid neemt per seconde met 9, 8 meter af. a Wat is de beginsnelheid in meter per seconde van de bal? b Stel een formule op voor de snelheid van de bal. c Wat is de snelheid in kilometer per uur van de bal na 1, 5 seconde? OPGAVE 1.16 Van een balk is de breedte 3 cm korter dan de lengte. De hoogte is 5 cm. Wat is de lengte van de balk als de inhoud 140 cm 3 is? OPGAVE 1.17 De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor F van belang. Er geldt: F = u u, waarbij A de totale oppervlakte van de verpakking is in cm 2 en V het volume in cm 3. Bekijk de balkvormige en de cilindervormige frisdrankverpakking. In deze afbeeldingen zijn ook de afmetingen in cm aangegeven. Voor de oppervlakte A van de cilinder geldt A = 2πr 2 + 2πrh, waarbij h de hoogte is en r de straal van het grondvlak

16 15 15 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 15 In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor F is verschillend. a Onderzoek welke verpakking de kleinste F-waarde heeft. Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van 8 liter (1 liter = 1000 cm 3 ). Noem de straal van het grondvlak van deze tank r en de hoogte van deze tank h (r en h in cm). De hoogte h van de tank kun je uitdrukken in de straal r. Er geldt h = 8000 u u 2. Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte h tussen 20 cm en 40 cm ligt. b Teken de grafiek bij de formule en bepaal welke waarden er zijn toegestaan voor de straal r. naar: examen II 15 15

17 DOMEIN Functies en grafieken 1.2 Formules herschrijven In deze paragraaf leer je: formules herleiden; haakjes wegwerken; ontbinden in factoren; werken met breuken. UITLEG Als een rechthoek met lengte l en breedte b een omtrek heeft van 12, dan geldt de formule 2 l+2 b = 12. Die formule kun je schrijven als 2l+2b = 12 en dus als l + b = 6. De formule wordt er overzichtelijker van. Je kunt op deze manier vaak formules vereenvoudigen. l + b = 6 kun je ook schrijven als l = 6 b. Nu heb je l uitgedrukt in b. Als je b wilt uitdrukken in l, krijg je b = 6 l. Stel, je wilt de formule 4y 2 2x = 0 herleiden zo, dat y is uitgedrukt in x. Dit gaat zo: 4y 2 2x = 0 4y 2 = 2x beide zijden +2x beide zijden /4 y 2 = 1 2 x beide zijden worteltrekken y = 1 2 x y = x Je vindt dus y = 1 2 x y = x. Je hebt nu de variabele y uitgedrukt in x. Je ziet dat er twee mogelijkheden zijn: het teken tussen beide mogelijke formules betekent en/of. Het gaat om een verband tussen x en y waarbij de éne formule en/of de andere formule hoort. Als je de formule 4y 3 2x = 0 wilt herleiden zo, dat y is uitgedrukt in x, dan krijg je maar één mogelijkheid, namelijk y = x

18 17 17 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 17 OPGAVE 2.1 Herleid de formules zodat y is uitgedrukt in x. a 2x 4y = 10 b x (y + 2) = 6 c x = 4y 2 d x 2 + y 2 = 25 OPGAVE 2.2 In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. In formulevorm: a 2 + b 2 = c 2. a Geef twee gelijkwaardige formules. b Neem a = 3x en b = 4x en druk c uit in x. THEORIE Formules zoals 2l + 2b = 60 en b = 30 l beschrijven hetzelfde verband. Ze zijn gelijkwaardig. Je kunt de formule 2l + 2b = 60 herleiden (of herschrijven): 2l + 2b = 60 l + b = 30 b = 30 l beide zijden /2 beide zijden l Nu is b uitgedrukt in l. De nieuwe formule bevat minder tekens en is overzichtelijker. Bij het herleiden van formules maak je gebruik van: aan beide zijden van een isgelijkteken mag je hetzelfde optellen of aftrekken; aan beide zijden van een isgelijkteken mag je met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0); haakjes wegwerken (ook wel haakjes uitwerken ): a (x + y) = a x + a y (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d ontbinden in factoren: a x + a y = a (x + y) x 2 + p x + q = (x + a) (x + b) met a + b = p en a b = q (de productsommethode) 17 17

19 DOMEIN Functies en grafieken breuken optellen/aftrekken en breuken vermenigvuldigen/delen: u u + u u = u u u u + u u u u = u u +u u u u u u u u = u u u u u u / u u = u u u u / u u u u = u u u u of u u u u = u u u u u u u u = u u u u = u u u u Bij de bewerkingen hierboven mogen de noemers nooit 0 zijn. Voorbeeld 1 Voorbeelden van haakjes wegwerken zijn: - 2 (x y) = - 2 x - 2 y = - 2x + 2y x (3 x) = x 3 x x = 3x x 2 2 (x 5) = 2 x - 5 = 2 x + 5 = 7 x (x + 3)(x 5) = (x + 3)(x + - 5) = x x+x x+3-5 = x 2 2x 15 (p 5) 2 = (p 5)(p 5) = p 2 5p 5p + 25 = p 2 10p + 25 Let er wel op dat het wegwerken van haakjes geen automatisme wordt. Soms kun je met een formule juist veel eenvoudiger werken als je de haakjes gewoon laat staan. Als je bijvoorbeeld wilt weten voor welke p de uitdrukking (p 5) 2 gelijk is aan 0, dan zie je nu meteen dat dat geldt voor p = 5. Bij de uitdrukking p 2 10p + 25 zie je dat een stuk minder snel. Denk ook steeds na of het uitwerken wel is toegestaan. Goed: u +6 2 = u = 1 2 x + 3 Fout: 6 u +2 = 6 u = 6 u + 3 Bij de eerste breuk moet je zowel x als 6 door 2 delen. Met een getalvoorbeeld kun je zien dat de tweede breuk niet goed is uitgewerkt. Kies je bijvoorbeeld x = 1, dan zou de uitkomst en niet = = 2 moeten zijn OPGAVE 2.3 Werk in de uitdrukkingen de haakjes weg. a (x + 2) (x + 4) b 2(b + 4)(b 2) c (l + 3)( 1 u + 6) d (5c 4) 2 OPGAVE 2.4 a b c Herleid de formule 2(y + 3) + x = 4 tot y is uitgedrukt in x. Herleid de formule 2y 3(2x 5) = 11 tot x is uitgedrukt in y. Herleid de formule (x 3) 2 + 4y + 2x 2 = x + y + 10 tot y is uitgedrukt in x

20 19 19 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 19 Voorbeeld 2 Voorbeelden van ontbinden in factoren zijn: 2x 2 + 6xy = 2x x + 2x 3y = 2x(x + 3y) - x 2 + 4x = - x x - x 4 = - x(x 4) x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x = (x + 2)(x + 3) x 2 4x 12 = (x + 2)(x 6) x 3 4x = x(x 2 4) = x(x 2)(x + 2) OPGAVE 2.5 Ontbind in factoren. a 2x x b 3x 2 9x c x 2 + 5x + 4 d b 2 9b + 8 e k 2 17k + 16 OPGAVE 2.6 Ontbind in factoren. a c 3 + 2c 2 + c c 2x 4 + 8x 10 b p 3 p 5 d 3y 4 6y 5 Voorbeeld 3 Als breuken gelijknamig zijn, mag je ze bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken = u 2 u = 3 u Als je breuken met verschillende noemers wilt optellen of aftrekken, moet je ze eerst gelijknamig maken = = = u + 3 u = 4u u u + 3u u u = 3u +4u u u Breuken vereenvoudig je door teller en noemer door hetzelfde te delen. Hier zie je nog een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt): 2 u + 5 u = 7 u 2 u 5 u = - 3 u 2 u 5 u = 2u u u 5u u u = 2u 5u u u 2 3u + 5 u 2 = 2u 3u u 2 = 2u +15 3u 2 2 u 1 u +3 = 2(u +3) u (u +3) u u (u +3) = u +6 u (u +3) 19 19

21 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.7 Schrijf als één breuk. a 2 u + 5 u b - 3 u 8 u 2 c 1 u + 1 u +1 d 2 u 3 2u +1 Voorbeeld 4 Bij breuken vermenigvuldigen en delen geldt een aantal regels. u u u u = u u u u u u / u u = u u u u / u u u u = u u u u of u u u u = u u u u u u u u = u u u u = u u u u Bij delen door een breuk kun je de tussenstappen overslaan. Je mag dus in één keer zeggen: u u / u u = u u u u. Hier zie je een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt): 2 u 5 u = 10 u 2 2 u / 5 u = u / 5 u = 2u u u / 5u u u = 2u 5u of 2 u / 5 u = 2 u u 5 = 2u 5u 2u 3 5 u 2 = 10u 3u 2 = 10 3u 2u 3 / 5 u 2 = 2u 3 3u 2 / 15 3u 2 = 2u 3 15 = 2 15 a3 of 2u 3 / 5 u 2 = 2u 3 u 2 5 = 2u 3 15 = 2 15 a3 OPGAVE 2.8 Schrijf als één breuk. a b 2 7 / 1 3 c d 2 u 6 u 2 u / 3 u OPGAVE 2.9 Schrijf als één breuk. a 1 u + 2 u b 2 u 1 2u c 3 5u / 2u 5 d 2 u 8 u

22 21 21 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 21 OPGAVE 2.10 Schrijf als één breuk. a 1 u u b 2 u 1 u 2 +u c 5 u 4 u + 3 u OPGAVE 2.11 VERWERKEN Herleid. a 4 x + 10 = 3 x 2 y b 2 y + 2 x x + 4 x = 6 x 2 c 4 x h + 2 x 2 = 100 d W = p (650 2 p) 20 (650 2 p) OPGAVE 2.12 Schrijf als één breuk. a 3 u + 5 u b c 3 u 2 2 u 2 u / 3 u d 2x 1 2u e 2 u 3 u + 5 u OPGAVE 2.13 Druk in de formules y uit in x. Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a x 2y = 10 b (x + 2) y = 6 c x = 4 y 2 d x y 2 = 4 OPGAVE 2.14 Druk in de formules y uit in x. Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a 0, 5x + 1, 5y = 12 b (x + y) 3 = 8 c x 2 y 2 = 25 d 2x 2 + 4xy = 100 OPGAVE 2.15 Werk de haakjes weg en herleid. a (a 3)(a + 3) b (6x 3) 2 c (a 1 u )2 d (x 2)

23 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.16 Ontbind in factoren. a 4k 2 16 b 2p 3 2p 2 24p c 16 p 2 d x 2 10x + 9 OPGAVE 2.17 Een boer heeft een rechthoekig stuk land dat twee keer zo lang is als breed. Uit het oogpunt van landschapsbeheer haalt hij er aan beide lange zijden een strook van 3 meter breed af. Daar maakt hij een smalle boswal van. Verder maakt hij aan een van de korte zijden een bredere boswal van 10 meter. Zijn land wordt daarmee in totaal 2690 m 2 kleiner. a Maak eerst een tekening van de situatie. Noem de oorspronkelijke breedte van het land x (in meter). Hoe groot is de oppervlakte A (in m 2 ) voor de aanleg van de boswal, uitgedrukt in x? b Hoe groot is de oppervlakte van het land na de aanleg van de boswal? Geef deze oppervlakte als formule met haakjes. c Bereken door wegwerken van de haakjes hoe groot de breedte van het rechthoekige stuk land is. OPGAVE 2.18 Bepaal alle oplossingen (x, y) van de vergelijking xy = 11x + 4y + 97 waarbij x en y positieve gehele getallen zijn

24 23 23 HOOFDSTUK 1 Werken met formules Formules en de grafische rekenmachine In deze paragraaf leer je: formules herleiden tot ze de juiste vorm hebben voor de grafische rekenmachine; grafieken maken met de grafische rekenmachine; het begrip functie; formules combineren. UITLEG De formule x + 2y = 12 beschrijft een verband tussen x en y. Je wilt bij deze formule met de grafische rekenmachine de bijpassende grafiek tekenen. Dan moet y worden uitgedrukt in x. x + 2y = 12 2y = 12 x y = 6 0, 5x beide zijden x beide zijden /2 Je hebt de variabele y geschreven als functie van x. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren. In het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR leer je de eerste beginselen van het werken met de grafische rekenmachine. OPGAVE 3.1 Gegeven is de formule 4x + 2y = 10. a Herleid de formule tot y een functie is van x. b Teken de grafiek bij de formule met de grafische rekenmachine

25 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.2 Druk in de formules y uit in x. a x y = 12 b 2x + 5y = 4 c 2(x + y) = 6 d 32x = 2y 2 THEORIE Bij een formule die het verband tussen de variabelen x en y beschrijft, noem je y een functie van x, wanneer deze formule de vorm y =... heeft. In de bijbehorende grafiek komt y dan altijd op de verticale as. In de formule y = x is y een functie van x. In de formule P = 0, 052v 3 is P een functie van v. De formule a + 2b = 6 kun je op twee manieren schrijven: a = 6 2b, met a als functie van b; b = 3 0, 5a, met b als functie van a. Formules met twee variabelen van de vorm y =... kun je in de grafische rekenmachine invoeren. Hoe je dat doet, vind je in het PRACTICUM: BASISTECH- NIEKEN GR. Hier zie je bijvoorbeeld de grafiek van de functie y = 0, 052x 3. Het maken van de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine wordt plotten genoemd. Voorbeeld 1 Een kogel wordt omhoog geschoten. Voor de hoogte h in meter na t in seconden geldt de formule h = - 6t t + 0, 5. Plot de grafiek van h en bepaal hoe hoog de kogel maximaal komt. Antwoord Je voert in de grafische rekenmachine de formule in als Y1=-6X^2+48X+0.5. Welke vensterinstellingen zijn nu geschikt? Uit de gegevens volgt dat t begint bij t = 0, dus x is minimaal 0. Verder weet je dat h 0, dus y is ook minimaal

26 25 25 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 25 Vervolgens kijk je naar de tabel die de grafische rekenmachine van deze functie heeft gemaakt. Je bekijkt hoe lang de waarden van y positief zijn. Dan zie je dat je voor x maximaal 9 moet kiezen. De grootste waarde voor y die je tegenkomt, ligt nog onder de 100, dus dat kies je als maximale waarde voor y. In de tabel zie je dat er bij t = 4 een maximum is van h = 96, 5. Dus de maximale hoogte van de kogel is 96, 5 m. OPGAVE 3.3 Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur 250,00, waarbij nog een bedrag van 0,06 per kopie komt. Op school staat zo n apparaat speciaal voor gebruik door leerlingen. Zij betalen 0,10 per kopie. a Geef een formule voor de prijs per kopie (P) als functie van het aantal kopieën (a). b Maak de grafiek van P op de grafische rekenmachine. Welke vensterinstellingen zijn geschikt? c Bij welke waarde van a maakt de school winst? Voorbeeld 2 Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0, 5 ha, dan geldt: l b = 5000 en 2l + 2b = 360 Hierin is l de lengte in meter en b de breedte in meter van de rechthoek. Zoek nu waarden voor l en b die aan beide formules voldoen. Antwoord Schrijf de formules als: l = 5000 u en l = 180 b. Voer ze in de grafische rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X. Om een goede grafiek te krijgen, kies je verstandige grenzen van de waarden van x (de breedte) en y (de lengte). Je ziet dat de grafieken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je kunt ze bepalen door een tabel te maken met de grafische rekenmachine

27 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.4 Bekijk het voorbeeld. Bepaal met de grafische rekenmachine de twee snijpunten uit het voorbeeld op gehele getallen nauwkeurig. Welke waarden voor l en b voldoen aan beide formules? OPGAVE 3.5 Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de grafieken x +y = 9 en y = x 3 op één decimaal nauwkeurig. Voorbeeld 3 Gegeven is de formule K = 4a +8b 12 en de formule b = 2a 3. Combineer de twee formules en druk K uit in a. Plot daarna de grafiek bij de formule. Antwoord Als je de tweede formule in de eerste formule voegt, dan krijg je K = 4a + 8(2a 3) 12 = 4a + 16a = 20a 36. Nu heb je K uitgedrukt in a en bij deze formule kun je een grafiek tekenen. OPGAVE 3.6 a b c d Gegeven zijn de formules R = 2p + 3q + 20 en q = 2p 3. Druk R uit in p. Gegeven zijn de formules K = - 2t 5v + 22 en t = - v 3. Druk K uit in v. Gegeven zijn de formules 2z = 3x 4y en z = 2x + 1. Deze twee formules kun je combineren tot de vorm y = ax + b. Welke getallen zijn a en b? Gegeven is de formule Z = 12u +18 3u. Neem Z = 2 en druk y uit in x. Voorbeeld 4 Een boer wil een rechthoekig stuk land van 200 m 2 omheinen. De kosten voor de omheining moeten zo laag mogelijk worden. Hij moet de lengte en de breedte dus zo kiezen dat de omtrek zo klein mogelijk wordt. Hoeveel meter omheining is in dit geval nodig? Antwoord Er gelden voor zo n rechthoek twee formules: A = l b en P = 2l + 2b als l de lengte (in meter), b de breedte (in meter), A de oppervlakte en P de omtrek is. Omdat A = 200, geldt: l b = 200 en dus l = 200 u. Die uitdrukking kun je invullen in de formule voor de omtrek: P = 400 u + 2b. Deze formule geeft een verband tussen P en b waarmee je een grafiek kunt maken. Je voert dan de formule in de grafische rekenmachine in en je kiest verstandige waarden voor de instelling van het grafiekenvenster. Aan de grafiek kun je zien dat er een waarde van l is, waarbij de omtrek zo klein mogelijk 26 26

28 27 27 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 27 is. Die waarde is ongeveer 14, 1 meter en de bijbehorende breedte is hetzelfde. Kennelijk is een vierkant landje het gunstigst. OPGAVE 3.7 Bekijk het voorbeeld. Boer Voortman zet voor zijn paard een weilandje af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Het weiland wordt zuiver rechthoekig. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen, hoeft hij alleen bij de twee breedtes en de lengte een hek te plaatsen. a Druk de lengte l van het weiland uit in de breedte b. b Druk de oppervlakte A van het weiland uit in b. c Breng met de grafische rekenmachine de grafiek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld. Bedenk van tevoren de beste vensterinstellingen. d Voor welke waarden van b is de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk? OPGAVE 3.8 Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: V = π r 2 h. Hierin is V de inhoud (het volume) in cm 3, r de straal in centimeters en h de hoogte in centimeters. a Neem een blikje waarvoor h = 10 cm. Nu is V een functie van r. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat je bij V = 1000 nog kunt aflezen hoe groot r is. Bepaal de waarde van r op twee decimalen nauwkeurig. b Voor een blikje waarvan de diameter en de hoogte gelijk zijn, geldt: h = 2r. Schrijf een formule op voor V als functie van r. Bepaal nu de waarde van r van zo n blikje als de inhoud 0, 5 liter is. c Voor een blikje waarvan de inhoud 1 liter is, kun je een formule opstellen voor h afhankelijk van r. Breng de bijbehorende grafiek in beeld en bepaal de waarde van h waarvoor r = 5. OPGAVE 3.9 VERWERKEN Breng van de formules de grafieken in beeld op de grafische rekenmachine. Denk om het gebruik van haakjes en de instellingen van het venster. a s = 250t 4, 9t 2 b k = 0, u, met a > 0 c y = 3 + x 2 d N = ,5u

29 cm 10 cm 28 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.10 Gegeven zijn de formules r = s 3 en t = - s 2 + 3r. a Druk t uit in s. b Bepaal met behulp van de grafische rekenmachine voor welke waarde van s, t zo groot mogelijk is. OPGAVE 3.11 Gegeven is de formule 4xy + 2x 2 = 100. Herleid de formule eerst naar de vorm y =... en plot daarna de grafiek. OPGAVE 3.12 Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur 200,00 waarbij nog een bedrag van 4 eurocent per kopie komt. K stelt de totale kosten voor en a is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt. a Schrijf de formule op voor K als functie van a. b Iemand die een kopie maakt, betaalt 10 eurocent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten I als functie van a. c Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 eurocent per kopie kostendekkend is? OPGAVE 3.13 Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: V = 1 3Gh, waarin G de oppervlakte van het grondvlak en h de hoogte is. Dit grondvlak is een cirkel met straal r. a Welke formule beschrijft het verband tussen V, r en h? Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een verband afleiden tussen r en h. b Geef dat verband in een formule weer zo, dat r een functie is van h en dat r en h in cm zijn. c Bepaal nu de waarde van h waarvoor geldt: r = 10 cm. Benader het antwoord op twee decimalen nauwkeurig. d Bepaal de waarde van r waarvoor geldt: h = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. OPGAVE 3.14 totale oppervlakte 1 vierkante meter 10 cm Stel je voor dat een bedrijf affiches wil maken. Om op te vallen moet de oppervlakte van zo n affiche 1 m 2 worden. Het affiche wordt zo bedrukt, dat er aan de beide zijkanten en de bovenkant een witte strook van 10 cm overblijft. Aan de onderkant is die strook 15 cm. De bedrijfsleiding vraagt zich af welke afmetingen het affiche nu nog kan hebben. Men komt daarbij op de formule: (l + 25)(b + 20) = a Laat zien hoe men aan deze formule komt en wat l en b betekenen. b Breng de grafiek bij deze formule in beeld. c Bij nader inzien wil de bedrijfsleiding dat het bedrukte deel een vierkant wordt. Welke maat voor de affiches adviseer je nu? 15 cm 28 28

30 29 29 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 29 OPGAVE 3.15 In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier ingepakt. De hoogte van de doos is h, de breedte b en de lengte l. Alle maten zijn in centimeters. Er geldt h b l. Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen. Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan komen aan de bovenkant van de doos. De lengte van het papier in centimeters is dus 2l + 2h. Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier precies tegen elkaar aan komen. De breedte van het papier in centimeters is dus b + h. De oppervlakte van het papier in cm 2 is O. a Maak een schets van de strook papier met de vouwlijnen. Arceer het grondvlak en noteer de maten b, l en h in de tekening. b Druk O uit in b, l en h. Werk de haakjes weg. Iemand vraagt zich af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige doos is als je deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier van 120 cm bij 50 cm zou verpakken. Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt: 2l + 2h = 120 en b + h = 50. Met behulp van de gegevens is de inhoud I in cm 3 uit te drukken in de breedte b. Er geldt: I = b(b + 10)(50 b). c Toon dit aan. Er is een waarde van b waarvoor I maximaal is. d Bepaal de maximale inhoud van een balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je antwoord in cm 3 nauwkeurig. naar: examen II 29 29

31 x = - 11 beide zijden DOMEIN Functies en grafieken 1.4 Vergelijkingen In deze paragraaf leer je: systematisch vergelijkingen met één variabele oplossen met al bekende oplossingsmethoden; vergelijkingen oplossen met behulp van de grafische rekenmachine. UITLEG De formule 1 (x 2 + 8) = - 7+x is een voorbeeld van een vergelijking. Bij deze vergelijking kun je een getal voor x zoeken dat de vergelijking waar maakt: aan beide zijden van het isgelijkteken komt er hetzelfde uit. Dat kun je doen met de balansmethode. Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan: 1 2 (x + 8) = x haakjes wegwerken 1 2 x + 4 = x beide zijden x = x beide zijden x x = 22 Je kunt dit antwoord nog controleren door aan beide zijden van de gegeven vergelijking voor x het getal 22 in te vullen. OPGAVE 4.1 In de uitleg worden eerst de haakjes weggewerkt. Je kunt ook eerst links en rechts met 2 vermenigvuldigen. Los de vergelijking op deze manier op en controleer of je hetzelfde antwoord krijgt. OPGAVE 4.2 Los de vergelijkingen op met de balansmethode. Rond indien nodig af op twee decimalen. a 3t 400 = 700 b 3t 400 = 700 2t c , 15 p = , 42 p d u 3 4 = 1 (10 5 2x) 30 30

32 31 31 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 31 THEORIE Formules zoals y = 2x + 3 en a + 4b c = 15 en 6x + 10 = 2x 8 noem je vergelijkingen. Je kunt dan waarden (of combinaties van waarden) zoeken die de vergelijking kloppend maken. Dat heet het oplossen van een vergelijking. Vergelijkingen kun je systematisch oplossen door herschrijven. Vooral bij vergelijkingen met één variabele doe je dat vaak. Je gebruikt dan algebraïsche methoden, zoals: de balansmethode, waarbij je aan beide zijden van het isgelijkteken : hetzelfde optelt of aftrekt; met hetzelfde vermenigvuldigt of door hetzelfde deelt (maar niet 0). de terugrekenmethode, waarbij je bewerkingen ongedaan maakt door het tegenovergestelde te doen: optellen maak je ongedaan door aftrekken (en omgekeerd); vermenigvuldigen maak je ongedaan door delen (en omgekeerd); machten maak je ongedaan door worteltrekken (en omgekeerd). ontbinden in factoren, waarbij je gebruikmaakt van het feit dat een vergelijking van de vorm a b = 0 gelijkwaardig is met a = 0 b = 0. Je kunt niet altijd een vergelijking via algebraïsche methoden oplossen. Dan kun je nog denken aan inklemmen: je zoekt de oplossing door verschillende waarden te proberen op een steeds kleiner zoekgebied. De grafische rekenmachine heeft daar diverse routines voor ingebouwd, zie het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Als er staat: bereken algebraïsch of los algebraïsch op, dan moet je de opdracht stap voor stap met behulp van algebra oplossen. Inklemmen is dan bijvoorbeeld niet toegestaan. Als er staat: bereken exact of los exact op, dan moet je de opdracht ook stap voor stap oplossen en mag je niet afronden. Voorbeeld 1 In de vergelijking 2(x 4) 2 = 32 komt de onbekende x maar op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen. Antwoord Je zoekt eerst uit hoe je heen rekent vanuit x: 31 31

33 DOMEIN Functies en grafieken Vervolgens ga je terugrekenen: Je vindt: x = ± en dus x = 0 x = 8. Controleer door in te vullen. OPGAVE 4.3 a b c Los de vergelijking 2 x + 3 = 4 op door terugrekenen. Probeer de vergelijking 3 x = 2 op te lossen met terugrekenen. Waarom is het bij wortelvergelijkingen extra belangrijk om je antwoord te controleren? OPGAVE 4.4 Los de vergelijkingen op door terugrekenen. a 5t 20 = 100 b (3 t 20) 2 = 1600 c 3 p 3 = 81 d 3 2x 4 = 9 e x 8 2 = - 3 Voorbeeld 2 Los de vergelijkingen algebraïsch op: x 2 5x + 6 = 0 x 3 = 4x Antwoord De eerste vergelijking kun je met de productsommethode oplossen. Je zoekt twee getallen waarvan het product +6 is en de som - 5. In de tabel zie je dat de getallen - 2 en - 3 voldoen. De eerste vergelijking gaat zo: x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0 x 3 x = 2 x =

34 33 33 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 33 De tweede vergelijking gaat zo: x 3 = 4x x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0 x 2 4 = 0 x = 0 x 2 = 4 x = 0 x = - 2 x = 2 OPGAVE 4.5 Los de vergelijkingen op door te ontbinden in factoren. a 0, 5x 2 = 4x b k 2 + 5k 6 = 0 c 8p p 2 = 0 d x(x 2) = 3x 6 e x 2 = x + 12 f x 3 = 9x Voorbeeld 3 Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren systematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen altijd wel. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het gebied waarin de oplossing is te vinden. De vergelijking x + x 2 = 10 kun je bijvoorbeeld oplossen met inklemmen. Antwoord Eerst maak je de grafieken van Y1=X+X^2 en Y2=10 op de grafische rekenmachine. Breng ze zo in beeld dat alle snijpunten zichtbaar zijn. De grafieken snijden elkaar tweemaal. De vergelijking heeft twee oplossingen. Voor de positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel de tabel in op stappen (voor x) van 0, 1. Je ziet dat je verder moet zoeken tussen 2, 7 en 2, 8. Het zoekgebied wordt kleiner, je klemt de oplossing in. Stel een stapgrootte van 0, 01 in en zoek tussen 2, 70 en 2, 80. Nu zie je dat de oplossing tussen 2, 70 en 2, 71 ligt, het dichtst bij 2, 70. Zo vind je op twee 33 33

35 DOMEIN Functies en grafieken decimalen nauwkeurig: x 2, 70. Als een nauwkeuriger oplossing wordt verlangd, moet je nog doorzoeken tussen 2, 700 en 2, 710. Op dezelfde manier bepaal je de andere oplossing. Op twee decimalen nauwkeurig is de volledige oplossing: x 2, 70 x - 3, 70. OPGAVE 4.6 Los de vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauwkeurig. a x 3 = 4 x b 600 u = , 04a OPGAVE 4.7 Los de vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen op twee decimalen nauwkeurig. a x 3 + 2x = 16 b x + x = 10 c l + 10 u = 10 d 300 u +4 = 20 Voorbeeld 4 Los de vergelijking 1 u + 2 u +3 = 1 zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op. Antwoord De oplossing met de grafische rekenmachine is betrekkelijk eenvoudig: Voer in: Y1=1/X+2/(X+3) en Y2=1. Bekijk de grafieken. Je kunt de twee x-waarden waar Y1 en Y2 gelijk zijn met de grafische rekenmachine vinden, maar exacte waarden krijg je niet. Voor een algebraïsche oplossing tel je bijvoorbeeld eerst de breuken bij elkaar op: 1 u + 2 u +3 = u +3 u (u +3) + 2u u (u +3) = 3u +3 u (u +3) Let op dat zowel x 0 als x moet zijn omdat je niet door 0 mag delen! De vergelijking wordt 3u +3 u (u +3) = 1. Maak de noemers gelijknamig: 3u +3 u (u +3) = 1 3u +3 u (u +3) = u (u +3) u (u +3) Je krijgt dan 3x + 3 = x(x + 3)

36 35 35 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 35 Haakjes wegwerken en herleiden geeft x 2 = 3 en dus x = 3 x = - 3. Je ziet hoe nuttig algebraïsche methoden zijn: je vindt meteen de exacte oplossingen, terwijl je je anders moet behelpen met benaderingen, die niet altijd makkelijk te vinden zijn. OPGAVE 4.8 Los de vergelijkingen zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op. a b c 1 u u = u 2 +5 = 2 10 u + 1 = 5 u OPGAVE 4.9 VERWERKEN Los de vergelijkingen algebraïsch op. Rond waar nodig af op twee decimalen. a 2x 3(x + 4) = 5x 18 b x + 4 = 20 c (2x 5) 3 = 125 d a = 0 e 2x 2 2 = 12x + 30 f (1 2x)(x + 3) = (4x + 13)(x + 3) OPGAVE 4.10 Los de vergelijkingen algebraïsch op. a b c 12 u = u +1 3 u = u 9 u 3 +2u +1 = 0 OPGAVE 4.11 Los de vergelijkingen op door inklemmen met behulp van de grafische rekenmachine. Zoek alle oplossingen. a x = 6 x b x 4 = 2 + x OPGAVE 4.12 Stel je voor dat iemand van een hoog gebouw een steentje laat vallen. Hij staat 381 m boven de grond. Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daarvoor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg s (in meter) en de snelheid v (in meter per seconde) af van de tijd t (in seconden) volgens de formules s = 4, 9t 2 en v = 9, 8t. a Geef een formule voor de hoogte h van het steentje boven de grond als functie van t. b Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt op één decimaal nauwkeurig. c Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je antwoord in km/h

37 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.13 Bereken bij de formules de waarde van de ene variabele als de andere 0 is. a 2p 3q = 650 b W = - 0, 25q(0, 5q 100) c k 2 + (l + 2) 2 = 100 d a = ,2u 2 1 e (x 2 4)(y 2 9) = - 36 f y = 4 1+u 2 OPGAVE 4.14 Los de vergelijking algebraïsch op: 2 u u = 0. OPGAVE 4.15 Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 meter breed. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan drie kanten een strook af hoeft voor de boswal. Ik houd zo maar de helft van mijn land over, verzucht de boer. Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land dat de boer overhoudt? Los dit probleem op met behulp van een vergelijking. OPGAVE 4.16 Sommige kaarsen zijn bijna zuiver cilindervormig. Stel je voor dat je zo n kaars wilt maken met een lengte van 20 cm. Je neemt een lont met een diameter van 3 mm en dompelt die een aantal keer in een bad met vloeibaar kaarsvet. Bij elke onderdompeling wordt de diameter van de kaars 1 mm groter. De hoeveelheid kaarsvet V (in mm 3 ) in de kaars hangt af van het aantal onderdompelingen a. a Geef een formule voor V als functie van a. b Breng de grafiek van deze functie met de grafische rekenmachine in beeld. c Na hoeveel onderdompelingen is de hoeveelheid kaarsvet in de kaars ongeveer 106 cm 3? Lees je antwoord eerst uit de grafiek af en bereken het daarna door de bijbehorende vergelijking algebraïsch op te lossen. OPGAVE 4.17 Bepaal alle paren van positieve gehele getallen x en y die een oplossing zijn van de vergelijking: 2 u + 3 u =

38 37 37 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 37 Voorbeeld eindtoets OPGAVE V1 OPGAVE V2 OPGAVE V3 OPGAVE V4 OPGAVE V5 Los de vergelijking x 2 + 2x = 20 op met behulp van de grafische rekenmachine. Rond af op drie decimalen nauwkeurig. Los de vergelijkingen algebraïsch op. Rond indien nodig af op twee decimalen nauwkeurig. a , 2q = 55 0, 3q b 2 8(x 2) = 4 + 3(4 x) c 4 t 3 = 16 d - 0, 15 (x + 25) = 0 Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte h van de vuurpijl hangt af van de tijd t dat deze onderweg is. Er geldt: h = t 5t 2. Hierin is h in meter en t in seconden gemeten. a Breng de grafiek van h in beeld op de grafische rekenmachine. b Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten? c Na hoeveel seconden was de vuurpijl weer op diezelfde hoogte? d Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment? e Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht? f Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Licht je antwoord toe. Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje gebruikt hij 800 cm 2 karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft. a De hoogte van zo n doosje wordt aangegeven met h en de zijde van het grondvlak met x, beide in cm. Laat zien dat het verband tussen h en x beschreven wordt door de formule: 4xh + 2x 2 = 800. b De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 cm toe. Bepaal de waarde van x bij h = 12. Geef de benadering in mm nauwkeurig. c Herleid de formule 4xh + 2x 2 = 800 tot h een functie is van x en bereken welke h bij x = 8 hoort. Men gaat er vaak vanuit dat de geluidssnelheid in lucht 340 meter per seconde is. Dat is niet helemaal waar. In werkelijkheid hangt de snelheid van het geluid af van de temperatuur. Bij windstil weer wordt het verband bij benadering weergegeven door de volgende formule: V = u 273 Hierbij is V de snelheid van het geluid in meter per seconde bij een temperatuur van T graden Celsius