Document: rekenen in de vaklessen

Transcriptie

1 Document: rekenen in de vaklessen Rekenen in de vaklessen Pagina 1

2 Voorwoord Voor u ligt het basisdocument dat gaat over het rekenen in de vak lessen. Nog te vaak worden verschillende domeinen binnen het gebied van rekenen op verschillende manieren aangeboden. Met dit document gaan we de verwarring bij leerlingen wegnemen door allemaal op dezelfde manier te werk te gaan. Inhoudsopgave Voorwoord... 2 Inhoudsopgave... 2 Referentieniveaus rekenen... 3 Domeinen... 3 Rekentoets... 4 Afspraken bijeenkomst juli Rekenproblemen... 5 Afronden... 6 Breuken... 7 Evenwijdig of parallel... 8 Kleiner dan; Groter dan?... 9 Lineair verband Loodrecht Metriek stelsel Oppervlakte en omtrek berekeningen van eenvoudige meetkundige vormen Procenten Rekenregels Verhoudingstabel Vermenigvuldigen en tafels Wetenschappelijke notatie Bronnen Rekenen in de vaklessen Pagina 2

3 Referentieniveaus rekenen Op 1 augustus 2010 trad de wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in werking. Het belangrijkste doel van de wet is om het niveau van taal en rekenen te verhogen. De referentieniveaus beschrijven wat de leerlingen aan het einde van een schooltype moeten kennen en kunnen op het gebied van rekenen en taal. Hierdoor wordt ook de aansluiting tussen de verschillende sectoren bevorderd. Met het formuleren van de referentieniveaus voor het domein rekenen is helder in kaart gebracht wat leerlingen in het po, vo en mbo moeten kennen en kunnen op het gebied van rekenen. Er zijn van elkaar te onderscheiden kwaliteiten beschreven. De fundamentele kwaliteiten richten zich op basale kennis en inzichten en zijn gericht op een meer toepassingsgerichte benadering van rekenen. De streefkwaliteiten bereiden al voor op de meer abstracte wiskunde. Er zijn voor rekenen voor zowel de fundamentele als streefkwaliteit drie niveaus beschreven (1F t/m 3F en 1S t/m 3S). Bij rekenen is er, in tegenstelling tot taal, geen invulling gegeven aan het vierde niveau omdat het dan om wiskunde gaat. Toewijzing van de referentieniveaus rekenen aan de onderwijssectoren: 1F en 1S: primair en speciaal onderwijs 2F: mbo 1, 2, 3 en alle leerwegen van het vmbo 3F: mbo 4, havo, vwo Niveau 2F beschouwen we als het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren. Domeinen Binnen het gebied van rekenen zijn er vier domeinen, die samen de relevante inhouden dekken: 1. Getallen 2. Verhoudingen 3. Meten en Meetkunde 4. Verbanden Elk domein is bij rekenen opgebouwd uit de onderdelen: notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; gebruiken, waarbij het gaat om rekenvaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen. Rekenen in de vaklessen Pagina 3

4 Elk van deze onderdelen is opgebouwd uit drie typen kennis en vaardigheden. Die zijn als volgt te karakteriseren: paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines, technieken; functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak; weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. Rekentoets Voor alle leerlingen in het voortgezet onderwijs komt er vanaf schooljaar een rekentoets als onderdeel van het eindexamen. De rekentoets geldt voor alle leerlingen ongeacht het feit of ze wiskunde in hun pakket hebben of niet. Daarmee bestaat het eindexamen vanaf schooljaar uit een centraal examen en/of schoolexamen per vak en een rekentoets. De bedoeling van deze rekentoets is: Het borgen van een basisniveau rekenvaardigheden voor alle leerlingen. Het informeren van vervolgopleidingen over de mate waarin een leerling de rekendoelen uit het referentiekader beheerst. Het bieden van een uniform instrument voor meting van beheersing van rekenvaardigheden, zodat onder meer verhoging van het algemene rekenniveau over de jaren gemonitord kan worden. Voor het vmbo is referentieniveau 2F het uitgangspunt voor de rekentoets, voor havo/vwo is dat 3F. Hoe de rekentoets er uit gaat zien, is nu nog niet bekend. Zo moet nog een beslissing worden genomen over het gebruik van de rekenmachine en over de verhouding tussen opgaven die met en die zonder rekenmachine gemaakt mogen worden. Definitieve beslissingen over de examinering van rekenen worden pas genomen op het moment dat dit op een verantwoorde manier kan. Zo is bijvoorbeeld nog niet besloten hoe de rekentoets mee gaat tellen in de uitslagregeling. Op basis van onderzoeken en proeftoetsen wordt in de loop van schooljaar bepaald welke regels gaan gelden voor afname, herkansingen en uitslagregeling. Afspraken bijeenkomst juli 2011 Onderzoek toont aan dat VMBO leerlingen gebaat zijn bij een eenduidige terminologie waar het de uitleg van basisvaardigheden taal en rekenen betreft. Ook zijn zij, vooral waar het rekenen betreft, gebaat bij een eenduidige, schoolbreed gedragen aanpak van rekenproblemen. Rekenproblemen komen voor bij een tal van vakken, waaronder wiskunde, mens & maatschappij, biologie, mens & natuur (NASK in de bovenbouw), groene economie en bij alle praktijkvakken als groene techniek, voeding & gezondheid, groen & recreatie, etc. De eerste stap om tot eenduidigheid te komen is het opstellen van een gezamenlijk document, waarmee de docenten van de verschillende vakken afspreken welke oplossingstactiek men in eerste instantie in de klas hanteert. Wanneer een leerling die zwak Rekenen in de vaklessen Pagina 4

5 is in rekenen er met deze tactiek niet uitkomt, kan worden ingezoomd op een strategie die beter past bij deze individuele leerling. In dit hoofdstuk treft u de door de voortrekkers basisvaardigheden taal en rekenen en de zorg coördinator/onderbouw coördinator van AOC Friesland VMBO Groen Leeuwarden en de projectleider taal en rekenen van AOC Friesland gemaakte afspraken aan die betrekking hebben tot dit document. Daarbij aanwezig waren Michiel Veenstra, Peter Wijnja, Anja Biemans en Heleentje Swart. Gemaakte afspraken voor dit document: Peter maakt voor oktober 2011 een basisdocument om op eenduidige manier tot aanbod van procenten, metrieke stelsel, inhoudsmaten, breuken, etc. te komen op de locatie. Tot de kerst wordt dit document gebruikt door de wiskundedocenten, de economiedocent en een docent bio of NASK OB en een docent bio of NASK BB Voor de kerstvakantie wordt dit document geëvalueerd en eventueel bijgesteld. Na de kerst werken alle economie, NASK, M&M, biologie en wiskundedocenten met dit document Half april komt er een 2 e evaluatie en wordt het document eventueel verder verfijnd. Voorwaarde voor het slagen van onze ambitie om rekenproblemen eenduidig en schoolbreed op te pakken is dat alle betrokken docenten zich committeren aan dit document. Ook docenten die in de stamgroep werken moeten op zijn minst op de hoogte zijn van dit document. Leerlingen moeten gaan herkennen dat docenten rekenproblemen eenduidig uitleggen en schoolbreed dezelfde woorden gebruiken voor hetzelfde probleem. Rekenproblemen Omdat er binnen de domeinen (Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde en Verbanden) sprake is van overlapping worden de domeinen niet apart belicht, de komende paragrafen kunnen op elk domein van toepassing zijn. De paragrafen worden in alfabetische volgorde aangeboden zodat deze eenvoudig op te halen zijn. Elke paragraaf is dusdanig opgezet en aangeboden vanuit de gedachte van de voortrekker. Rekenen in de vaklessen Pagina 5

6 Afronden Betekenis: het afronden van een getal is het verminderen van het aantal significante cijfers. Afronden wordt meestal direct na de breuken en kommagetallen besproken. Van de leerlingen wordt verwacht dat zij moeten: - Kunnen afronden op een heel getal; - Kunnen afronden op één of meer cijfers achter de komma. Er zijn verschillende vormen van afronden afhankelijk van de situatie: Afronden naar het gevraagde aantal decimalen of cijfers achter de komma (veel gebruikt bij opgaven in het boek en in toetsen) Afronden in logische situaties Afronden naar het gevraagde aantal decimalen. In dit geval moet de leerling weten: aantal decimalen = aantal cijfers achter de komma. Als voorbeeld gebruik ik het getal π (soms geschreven als pi). Het getal π is niet te schrijven als breuk van twee hele getallen en heeft een oneindig aantal cijfers achter de komma. π = 3, Wanneer een leerling moet afronden op x decimalen, moet de leerling kijken naar decimaal x+1. Er zijn twee mogelijkheden: Het cijfer x wordt één groter: Is dit cijfer x+1 5 (5, 6, 7, 8, 9), dan wordt het cijfer x 1 groter; Het cijfer x blijft gelijk: is het cijfer x+1 < 5 (0, 1, 2, 3, 4), het cijfer blijft gelijk. Toepassen π (3, ) afronden op: - 2 cijfers achter de komma: 3,14 (want op de 4 volgt een 1, 1<5 dus 4 blijft gelijk) - 3 cijfers achter de komma: 3,142 (want op de 1 volgt een 5, 5 5 dus de 1 verhogen tot 2) - 4 cijfers achter de komma: 3,1416 (want op de 5 volgt een 9, 9 5 dus de 5 verhogen tot 6) - 5 cijfers achter de komma:3,14159 (want op de 9 volgt een 2, 2<5 dus 2 blijft gelijk) Afronden in logische situaties Afhankelijk van de situatie kan ook worden afgerond. Wanneer 170 personen vervoerd moeten worden met bussen van 50 personen en de vraag is: hoeveel bussen moeten worden besteld? Antwoord: bussen. 3,4 bussen kun je niet bestellen, afronden naar boven is hier gewenst. Bij het bepalen van de maximale dosis geneesmiddel is afronden naar onder gewenst. Rekenen in de vaklessen Pagina 6

7 Breuken Een breuk is een getal dat kleiner is dan 1. Een breuk bestaat uit twee getallen met een breukstreep ertussen, zoals 4 1. Het getal boven de breukstreep heet teller en het getal onder de breukstreep heet noemer. De teller (1) geeft aan hoeveel delen er zijn. De noemer (4) is de naam van de breuk. De noemer vertelt je in hoeveel delen je het geheel kunt verdelen. Hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk. Hoe kleiner de noemer, hoe groter de breuk. 1 1 is kleiner dan 12 4 Gelijkwaardige breuken Al deze breuken zijn eigenlijk even groot. Je kunt hier het zelfde doen als in een verhoudingstabel: Als je de onderkant 2 x zo groot maakt, moet je dat ook met de bovenkant doen. Of als je de bovenkant 3 x zo groot maakt, moet je dat ook met de onderkant doen. Een breuk vereenvoudigen Soms kun je een grote breuk verkleinen, met een kleinere noemer schrijven. 4 2 deel kun je vereenvoudigen tot deel Vereenvoudigen wil zeggen: de teller en de noemer door hetzelfde getal delen. Ook hier kun je hetzelfde doen als in de verhoudingstabel: als je de bovenkant 2x zo klein maakt, moet je dat ook met de onderkant doen, alleen wanneer je hele getallen als uitkomst krijgt! Gemengde breuken Ook kun je een combinatie tegenkomen van een geheel getal en een breuk. 4 9 Bijvoorbeeld: 3 of 2. Dit noemen we gemengde breuken Van een gemengde breuk kun je een hele breuk maken. Breuken gelijknamig maken Bij optellen en aftrekken van breuken moeten de noemers (onderste getallen) gelijk zijn. Dit noemen we gelijknamig. Je telt op (of trekt af) alleen de tellers, de noemers niet!!!!!!!!!!! Als noemers niet gelijknamig zijn, geef je ze eerst een zelfde naam. Je maakt ze gelijknamig. Dat doe je door de teller en noemer van de eerste breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de tweede breuk. De teller en de noemer van de tweede breuk moet je dan vermenigvuldigen met de noemer van de eerste breuk. De waarden veranderen niet (gelijkwaardige breuk), maar wel worden de noemers gelijknamig, zodat je kunt optellen en aftrekken. Rekenen in de vaklessen Pagina 7

8 Evenwijdig of parallel Evenwijdig of parallel is een begrip uit de meetkunde waarmee wordt aangegeven dat twee of meer lijnen overal dezelfde afstand tot elkaar hebben. Zo zijn bijvoorbeeld de zijden van een vierkant, rechthoek en parallellogram twee aan twee evenwijdig. De volgende twee lijnen zijn ook aan elkaar evenwijdig: Evenwijdig en parallel wordt ook veel gebruikt bij lineaire verbanden. Wanneer een formule is gegeven en daarbij een grafiek wordt gemaakt, eventueel met tussenkomst van een tabel, verschijnt een rechte lijn. Wanneer alleen de startwaarde wordt verandert, zal er een evenwijdige lijn onstaan. Rekenen in de vaklessen Pagina 8

9 Kleiner dan; Groter dan? Net als +, -, x en : is ook < en > een wiskundig teken. De tekens < en > worden gebruikt om getallen, als breuken en getallen in de wetenschappelijke notatie, met elkaar te vergelijken. Voorbeeld, vul in < of >: Het teken < staat voor: kleiner dan en het teken > staat voor: groter dan. Het nummer één veelgebruikt ezelsbruggetje hierbij is: < = K van Kleiner dan. > is dus groter dan. Ook wel wordt het volgende, minder bekende, ezelsbruggetje gebruikt: Het antwoord bij het voorbeeld is: (deze zou je kunnen uitschrijven) Rekenen in de vaklessen Pagina 9

10 Verticaal Lineair verband Een lineair verband bestaat uit punten en daar doorheen een rechte lijn. Een formule bij een lineair verband kun je halen uit een tabel en uit een grafiek. Wat heb je nodig bij een grafiek: 1) Woord verticaal = 2) Startwaarde +/- 3) Een hellingsgetal 4) Maal het woord horizontaal Gegeven de volgende grafiek, maak de formule: Horizontal Mijn formule gaat er als volgt uit zien: Woord verticaal = startwaarde +/- hellingsgetal x woord horizontaal De woorden verticaal en horizontaal zijn altijd gegeven, soms zijn het letters! Startwaarde is niet zo moeilijk: waar begint de grafiek. Moeilijker is het hellingsgetal:.om het eenvoudiger te maken heb ik rode cirkels om twee goed af te lezen punten geplaatst, de coördinaten (0,4) en (6,6). Nu ga ik het hellingsgetal bepalen: Invullen geeft de formule: verticaal = 3 + 0,5 x horizontaal De volgende stap is: vervang verticaal door uitkomst en horizontaal door getal. Na geoefend te hebben met woorden ga je over op letters, vervang verticaal door y en horizontaal door x. Rekenen in de vaklessen Pagina 10

11 Wat heb je nodig bij een tabel: 1) Woord onderin de tabel = 2) Startwaarde 3) Een hellingsgetal 4) Maal het woord bovenin de tabel In feite verandert er niet heel veel. We hebben de volgende tabel: Horizontaal Verticaal Mijn formule gaat er als volgt uit zien: Woord onderin = startwaarde +/- hellingsgetal x woord bovenin De woorden onderin en bovenin zijn altijd gegeven, soms zijn het letters! Startwaarde is niet zo moeilijk: waar begint de grafiek, bij de tabel is dat niet anders. Moeilijker is het hellingsgetal: Nu ga ik het hg bepalen: Invullen geeft de formule: verticaal = x hozrizontaal Vooral onthouden voor de leerling: Loodrecht Twee lijnen staan loodrecht op elkaar wanneer ze elkaar snijden onder een hoek van Met loodrecht werd oorspronkelijk de richting van het schietlood aangeduid, nog steeds is dit een goede manier om het begrip loodrecht uit te leggen. In een later stadium moet wel worden uitgelegd dat het alleen gaat om de hoek van 90 0, het meest rechter plaatje maakt dat goed duidelijk. Rekenen in de vaklessen Pagina 11

12 Metriek stelsel Het metrieke stelsel of metrische systeem gebruikt de meter als rekeneenheid voor: a) lengte, b) oppervlakte en c) inhoud. De ervaring is dat de leerlingen in het vmbo dit onderdeel als lastig beschouwen terwijl dit onderwerp voor de (meeste) leerlingen al op de basisschool aan bod is geweest. In het vo is het belangrijk dat de leerlingen de stappen weten van groot naar klein en dat ze weten wat de maten inhouden: km hm dam m dm cm mm Van groot naar klein: Wat houdt het in: een cm is dat stukje van 0-1 op je geodriehoek 10 mm is dat stukje van 0-1 op je geodriehoek, dus een mm is 1/10 van een cm Een dm is dat stuk op je geodriehoek van 7-3 of op je liniaal van 0-10, dus een cm is 1/10 van een dm Een m is ongeveer de lengte van je tafel, dus.. Een dam is dan 10 tafels naast elkaar Een hm is het paaltje langs de weg om de 100 m, een voetbalveld is 100 m lang Een km is 1000 m Nu we weten dat 1 cm gelijk is aan 10 mm, zie voorbeeld geodriehoek, kunnen we de eenheden van stapjes voorzien, immers als 1 cm = 10 mm dan kunnen we een stapje van x 10 maken, dan krijg je: km hm dam m dm cm mm Maar omdat elk stapje gelijk is, kunnen we overal deze stapje plaatsen: km hm dam m dm cm mm Omdat 1 mm gelijk is aan 1/10 van een cm, kunnen we aan de onderkant ook stapjes maken: km hm dam m dm cm mm Rekenen in de vaklessen Pagina 12

13 Maar omdat elk stapje gelijk is, kunnen we ook deze stapjes overal toepassen: km hm dam m dm cm mm Nu is het schema compleet, wat betreft de eenheden! Volgend probleem is het vermenigvuldigen en het delen door 10. Wanneer een heel getal met 10 moet worden vermenigvuldigd weten de leerlingen dat een 0 achter komt, zo is 4 x 10 = 40. Wanneer een kommagetal vermenigvuldigd moet worden met 10 zijn leerlingen geneigd om hier ook een 0 achter te plaatsen, wat er gebeurt is dat de komma een plaats opschuift. Delen door is overigens niet anders! Een handig hulpmiddel hierbij is het volgende: x 10 is een nul erbij of de komma een plaats naar rechts : 10 is een nul eraf of de komma een plaats naar links Einde lengtematen. Wanneer de leerlingen bekend zijn met de eenheden is de brug naar oppervlaktematen minder moeilijk gemaakt. Ook nu gebruik je de stappen van groot naar klein, maar omdat het een oppervlaktemaat betreft zijn de stappen niet x10 en :10 maar x100 en :100. En wat de leerlingen moeten onthouden is het volgende: 1 hm 2 is een ander woord voor hectare, afgekort: ha 1 dam 2 is een ander woord voor centiare, afgekort: ca Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 En wat de leerlingen moeten onthouden is het volgende: 1 hm 2 is een ander woord voor hectare, afgekort: ha 1 dam 2 is een ander woord voor centiare, afgekort: ca Het handige hulpmiddel kan worden aangepast: x 100 is een nul erbij of de komma twee plaatsen naar rechts : 100 is een nul eraf of de komma twee plaatsen naar links Einde oppervlaktematen. Wanneer de leerlingen bekend zijn met de eenheden en de oppervlaktematen is de brug naar inhouden minder moeilijk gemaakt. Ook nu gebruik je de stappen van groot naar klein, nu zijn de stappen x1000 en :1000. Rekenen in de vaklessen Pagina 13

14 Km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 En wat de leerlingen moeten onthouden is het volgende: 1 liter is een ander woord voor 1 dm 3. Site om mee te oefenen: Oppervlakte en omtrek berekeningen van eenvoudige meetkundige vormen Van de leerlingen wordt verwacht dat ze de oppervlakten kunnen berekenen van de volgende eenvoudige meetkundige vormen: - Vierkant - Rechthoek - Parallellogram - Driehoek - Trapezium - Ruit - Vlieger - Cirkel De omtrek wordt wel telkens genoemd. Vaak wordt het poppetje er bij gehaald die ergens om loopt. Om van omtrek. Een leuke illustratie: De diagonalen zijn buiten beschouwing gelaten. Vierkant Wat is een vierkant? Een vierkant is een figuur met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken. Oppervlakte vierkant = zijde x zijde = 3 x 3 = 9 cm 2 3 cm Omtrek vierkant = 4 x zijde = 4 x 3 = 12 cm 3 cm Extra: Een vierkant is een bijzondere rechthoek: het is een rechthoek waarbij alle zijden even lang zijn. Een vierkant is ook een bijzondere ruit: het is een ruit waarbij alle hoeken gelijk zijn. Rekenen in de vaklessen Pagina 14

15 Een vierkant is tevens een bijzonder parallellogram: het is een parallellogram waarbij de zijden loodrecht op elkaar staan en van gelijke lengte zijn. Rechthoek Wat is een rechthoek? Een rechthoek is een figuur met vier zijden en rechte hoeken tussen elk van de zijden. Twee overliggende zijden zijn altijd even lang. Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte = 3 x 4 = 12 cm 2 Of: Oppervlakte rechthoek = basis x hoogte = = 3 x 4 = 12 cm 2 3 cm Omtrek rechthoek = 2 x lengte + 2 x breedte = 2 x x 3 = 14 cm Of korter: Omtrek rechthoek = 2 x (lengte + breedte) = 2 x (4 + 3) = 14 cm 4 cm Extra: Een vierkant is een speciale vorm van een rechthoek waarbij alle zijden even lang zijn. Parallellogram Wat is een parallellogram? Een parallellogram is een vierhoek met twee paren van evenwijdige zijden en twee paren gelijk overstaande hoeken. 3 cm Oppervlakte parallellogram = basis x hoogte = 4 x 3 = 12 cm 2 4 cm De oppervlakte van een rechthoek is op dezelfde manier uit te rekenen en geniet de voorkeur. Dat de oppervlakte op de zelfde manier uit is te rekenen is niet zo vreemd, zie het als een stapel boeken die je boven iets verschuift, de oppervlakte verandert niet! Omtrek parallellogram = 2 x basis + 2 x schuine zijde = 2 x x 3,2 = 14,4 cm Of korter: Omtrek parallellogram = 2 x (basis + schuine zijde) = 2 x (4 + 3,2) = 14,4 cm Extra: Een rechthoek is een parallellogram met rechte hoeken. Een vierkant is een parallellogram met rechte hoeken en alle vier zijden van dezelfde lengte. Een ruit is een parallellogram met alle vier zijden van dezelfde lengte. Rekenen in de vaklessen Pagina 15

16 Driehoek Wat is een driehoek? Een driehoek is een figuur die ontstaat door 3 punten, die niet op een rechte lijn liggen, met elkaar te verbinden. Er zijn verschillende soorten driehoeken: Indeling op basis van hoeken: Stompe rechthoek: alle hoeken zijn kleiner dan 90 0 Rechthoekige driehoek: één van de hoeken is 90 0 Stompe rechthoek: één van de hoeken is groter dan 90 0 Indeling op basis van zijden: Gelijkzijdige driehoek: alle zijden zijn even lang en elke hoek is 60 0 Gelijkbenige driehoek: twee gelijke zijden en twee gelijke hoeken Ongelijkzijdige driehoek: geen gelijke zijden en gelijke hoeken Oppervlakte driehoek een driehoek is net zo groot als een halve rechthoek 3 cm 4 cm Oppervlakte driehoek = basis x hoogte : 2 = 4 x 3 : 2 = 6 cm 2 (denk erom dat de hoogte loodrecht op de basis staat om fouten te voorkomen) Omtrek driehoek = tel de 3 zijden bij elkaar op Rekenen in de vaklessen Pagina 16

17 Trapezium Wat is een trapezium? Een trapezium is een vierhoek waarbij precies één paar overliggende zijden parallel loopt. Voorbeelden van trapezia: 3 cm 3 cm 4 cm 6 cm 5 cm De kortste evenwijdige zijde noemen we kleine basis (a), de langste evenwijdige basis noemen we grote basis (b) en de hoogte (h) is de afstand tussen de kleine en de grote basis. Omtrek trapezium = tel de vier zijden bij elkaar op. Rekenen in de vaklessen Pagina 17

18 Ruit Wat is een ruit? Een ruit is een vierhoek waarvan de vier zijden gelijk zijn, de tegenoverliggende hoeken zijn ook gelijk. Bij een gewone ruit zijn twee overstaande hoeken scherp, de andere twee zijn stomp. 3 cm 7 cm Vlieger Wat is een vlieger? Een vlieger is een vierhoek waarbij de aanliggende zijden twee aan twee gelijk zijn en waarbij precies twee overstaande hoeken gelijk zijn. 7 cm 4,5 cm Rekenen in de vaklessen Pagina 18

19 Cirkel Wat is een cirkel? Een cirkel is een figuur die wordt gevormd door alle punten die dezelfde afstand tot het middelpunt (m) hebben. Voor het uitrekenen van de oppervlakte en omtrek van een cirkel krijg je te maken met de volgende termen: Diameter van een cirkel (d) Straal van een cirkel (r) En het getal π Oppervlakte cirkel = π x straal 2 Omtrek cirkel = π x diameter Op het examen krijgen de leerlingen de formules op het formuleblad, belangrijk is dus dat de leerlingen oefenen en dus leren omgaan met de formules. Een leuke site over vierhoeken: Procenten Het onderwerp Procenten wordt veelal direct na het onderwerp Breuken besproken. Een procent is eigenlijk een speciale breuk. Het komt uit het Latijn. Pro cent betekent letterlijk: van de 100 (één honderdste) Het teken voor procent is % 1 procent betekent dus: 1 van de 100 = 1%, wiskundig: 2 procent betekent dus: 2 van de 100 = 2%, wiskundig: 10 procent betekent dus: 10 van de 100 = 10%, wiskundig: 100 procent betekent dus: 100 van de 100 = 100%, wiskundig: (alles) 50 procent betekent dus: 50 van de 100 = 50% wiskundig: (de helft) 25 procent betekent dus: 25 van de 100 = 25% wiskundig: (een kwart) Rekenen in de vaklessen Pagina 19

20 Wanneer de procenten als hierboven worden aangeboden kunnen ze eenvoudig worden toegepast bij geld en aantallen. Ook kan de leerling zo een breuk omzetten in een percentage en omgekeerd. Vraag: Wat is 1% van 2500? 1% betekent:, dus Vraag: Je koopt een broek van 140,- en bij de kassa staat een bordje met: 25% korting op het hele assortiment! Hoeveel korting (in geld) krijg je? 25% betekent:, dus je korting is: Wanneer de vraag is: wat moet je dan betalen? Haal de korting (in geld) van de oorspronkelijke prijs af (beginner). Bereken hoeveel procent je moet betalen, 75% dus (gevorderde). Een andere context Wanneer de vraag is: je koopt een trui van 80, - en bij de kassa betaal je 70,-, hoeveel procent moet je betalen? Ook dan kun je de regels als hierboven toepassen: Je betaalt: 70 van de 80, wiskundig:, dus Wanneer de vraag is: hoeveel procent korting heb je gekregen? 80,- is het hele bedrag dus 100%, 70,- is 87,5%. Dan is de korting: 100%-87,5% = 12,5% (beginner) 10,- is de korting, dus (gevorderd) Vraag: Het ledenaantal van een vereniging stijgt van 80 naar 116. Met hoeveel procent stijgt het ledenaantal? Het ledenaantal stijgt met = van de 80, wiskundig: Applet procentenstrook: Rekenen in de vaklessen Pagina 20

21 Procenten terugrekenen De meeste leerlingen, vooral in de bovenbouw, begrijpen tot nu toe het toepassen van de regels. Het wordt moeilijk wanneer bijvoorbeeld een prijs of aantal inclusief een percentage wordt gegeven en dit percentage er af wordt gehaald. Ik licht dit toe met een paar voorbeelden. Vb1: een mobiel kost incl. 19% BTW 145,- Vraag: wat kost het mobieltje zonder 19% BTW? Vb2: personenauto`s hebben in 2011 gem. 15,5 duizend km afgelegd. Dat is 2,8% meer dan in Vraag: hoeveel km werd er in 2010 afgelegd? In deze gevallen geniet, wanneer het percentage is meegenomen, de verhoudingstabel de voorkeur omdat je dmv een verhaal de gegevens in de tabel kunt zetten. Vb1: de mobiel kost 145,-, dit is 119%; wat is dan 100%? in de verhoudingstabel: Prijs mobiel 145 1,22 121,85 percentage Vb2: dus tov 2010 is er 2,8% meer gereden, dus in 2011 is er 102,8% gereden. In de verhoudingstabel: afstand percentage 102, Rekenen in de vaklessen Pagina 21

22 Rekenregels Er zijn vier belangrijke rekenregels: 1. Haakjes 2. Kwadrateren en Worteltrekken 3. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen en Aftrekken Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig. Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd. Een veelgebruikt ezelsbruggetje hierbij is: Hoe Komen Wij Van De Onvoldoendes Af? Wanneer de leerlingen iets verder zijn kan Komen vervangen worden door Moeten want de officiële versie is: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen?, voor de onderbouw kan dit te moeilijk zijn omdat zij nog niet in aanraking zijn geweest met machtsverheffen in het algemeen. De rekenregels zijn dan: 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken 3. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen en Aftrekken Een applet waarmee kan worden geoefend: enregels-1.nl Verhoudingstabel De verhoudingstabel is een hulpmiddel bij het rekenen met verhoudingen. De verhoudingstabel helpt bij het denken in verhoudingen en bij het structureren van een probleem. De verhoudingstabel geeft ook steun en overzicht bij de berekeningen. Leerlingen hebben in de basisschool al met verhoudingstabellen gewerkt. In de brugklas wordt het werken met deze tabellen herhaald. Doelen De leerlingen moeten berekeningen kunnen maken met een verhoudingstabel waarbij ze de volgende bewerkingen toepassen: van boven naar beneden met een vast getal vermenigvuldigen; kolommen met eenzelfde getal vermenigvuldigen; kolommen door eenzelfde getal delen; terug rekenen naar 1. Rekenen in de vaklessen Pagina 22

23 De leerlingen moeten verhoudingstabellen kunnen toepassen in contexten. Hierbij zijn twee soorten opgaven te onderscheiden: Opgaven van het type a : b = c :? of a :? = c : d. Bijvoorbeeld: 5 repen kosten 2,00. Wat kosten 2 repen? Opgaven van het type a : b? c : d. Bijvoorbeeld: Van merk A kosten 5 repen 3,00. Van merk B kosten 6 repen 3,50. Welk merk is voordeliger? De leerlingen moeten verhoudingstabellen kunnen gebruiken bij andere onderwerpen: bij het werken met schaaltekeningen; bij berekeningen met procenten (niet in de reguliere brugklas-stof). Beginsituatie Voordat we starten met de verhoudingstabel is het handig om de leerlingen problemen voor te schotelen die zonder de verhoudingstabel opgelost kan worden: a) Omrekenen van een recept naar een recept voor meer personen. b) Schatten van een bedrag voor een aantal gegeven boodschappen. Er zitten boodschappen bij waarvan de prijs per kilo bekend is maar waarvan een ander gewicht is gekocht. (Bijvoorbeeld 1,5 kilo kaas van 7,50 per kilo). c) Laat berekenen wat een zakje drop kost. 1 kilo drop kost... Je schept zelf een zakje vol. In het zakje kan... gram. Hoeveel moet je betalen? Vervolg Als de leerling eenmaal in de gaten heeft dat we te maken hebben met een verhouding van getallen kan de verhoudingstabel worden geïntroduceerd. De voorkeur van gebruik gaat eerst uit naar recepten omdat dit zeer concreet is voor de leerling. Recept Aantal personen Macaroni (gr) 500 Tomatenpuree (ml) 60 Kruiden (gr) 7 Wanneer je weet hoeveel van de ingrediënten je nodig voor één persoon is het niet moeilijk te berekenen wat je nodig hebt voor bijvoorbeeld 7 personen. Rekenen in de vaklessen Pagina 23

24 Vervolgens kan de stap worden gemaakt naar andere contexten, belangrijk is wel dat de leerling eerst alle gegevens verwerkt in de tabel, dus beginsituatie kolom overslaan eindsituatie, als volgt geïllustreerd: Voor het reinigen van een terras gebruik je 40ml algendoder voor 15m 2. Hoeveel ml algendoder heb je nodig voor 22,5m 2? Verwerken van de gegevens: Algendoder (ml) 40 Terras (m 2 ) 15 22,5 Nu zijn alle gegevens in de tekst verwerkt, duidelijk is nu in te zien dat de leerling eerst het terras moet terugbrengen naar 1m 2 en dan naar 22,5m 2, want als je weet hoeveel algendoder je nodig hebt voor 1m 2, dan kun je eenvoudig berekenen hoeveel algendoder nodig hebt voor alle m 2`s. Algendoder (ml) 40 Terras (m 2 ) ,5 :15 x 22,5 Leerlingenfouten Het is de leerling niet duidelijk welke bewerkingen in een verhoudingstabel zijn toegestaan. Oplossingen: o Benadruk de context. Let erop dat deze ook steeds bij de tabel vermeld staat. Dus 'Als ik twee keer zoveel kaas koop, moet ik ook twee keer zoveel betalen' is beter dan 'Je moet boven én onder met 2 vermenigvuldigen'. o Overdrijf: 'Als 1 cd 20,- kost, dan kosten 2 cd's niet 21,-'. o Geef voorbeelden en laat de leerling ook zelf voorbeelden geven van tabellen die wel/niet een verhoudingstabel zijn. De leerling kan niet overweg met breuken of kommagetallen. Oplossingen: o Besteed apart aandacht aan deze onderwerpen. o Laat de leerling voorlopig eerst werken met verhoudingstabellen met gehele getallen. Applet met de verhoudingstabel: Rekenen in de vaklessen Pagina 24

25 Vermenigvuldigen en tafels Voor het gebruik van de tafels kunnen we kort zijn: deze moeten zijn geautomatiseerd tijdens de basisschool. Zeer belangrijk is dat een leerling weet dat 5 x 3 inhoudt: Maar ook: 12 x 5 = 10 x x 5 Tijdens de begeleidingsuren en gedurende de schooltijd op het AOC worden er door diverse leraren gebruik gemaakt van rekenbingo. Dit is een tool om op een leuke en uitdagende manier de tafels te oefenen. Het gaat als volgt: 1. Je laat de leerlingen een paar tafels opschrijven, bijvoorbeeld de tafel van 5, 7, 9 en 11 (dan ben je al snel 20 min verder). 2. Je laat ze 25 hokjes maken, 5 x 5 dus, gebruik wiskundepapier, 3. Vervolgens laat je ze uit de uitkomsten van de tafels, 25 getallen halen die ze in de 25 hokjes zetten, willekeurig en niet dubbele getallen, 4. En dan start je met een tafelvraag, bijv. 7x7, vervolgens 8x11 etc. De leerlingen kruisen dan een hokje aan. Bingo is wanneer ze een rijtje horizontaal, verticaal of diagonaal hebben of wanneer de kaart vol is. Hebben ze onterecht bingo kun je ze een liedje laten zingen. Uiteraard is deze spelvorm ook anders te gebruiken door er rekenbingo van te maken, je laat de leerlingen bijvoorbeeld in een 5x5 veld getallen opschrijven tussen de 50 en 100. Getallen boven de 100. Met de tafels tot en met 10 zijn we getallen tegengekomen tot en met 100. Boven de 100 worden de getallen langer, het rekenen wordt niet heel veel moeilijker wanneer je de tafels goed beheerst. Zoals we de getallen 1-99 zijn tegengekomen, zo zijn er ook getallen van Na 199 komt 200, het getal 200 maakt duidelijk dat het gaat om tweemaal honderd (2 x 100). Wanneer je gaat vermenigvuldigen met grotere getallen (boven de 10) dan is het belangrijk dat de leerlingen ook goed kunnen optellen. Meestal zijn er verschillende manieren om een goede optelling te maken: = = = 110. Dus eerst de eenheden optellen, dan de tientallen. Je kunt ook zeggen: 98 is bijna 100, namelijk 2 minder; = 110. Wil je 9 vermenigvuldigen met 12, dan maak je twee vermenigvuldigingen, namelijk: 9 x 10 en 9 x 2. Bij zulke kleine vermenigvuldigingen kun je nog wel zien hoe zo`n vermenigvuldiging in elkaar zit. Denk wel om de optelling! Gaan de leerlingen vermenigvuldigen met grotere getallen dan is het verstandig om de getallen onder elkaar te zetten, natuurlijk de kleinste onder! Rekenen in de vaklessen Pagina 25

26 Wetenschappelijke notatie De wetenschappelijke notatie is een manier om zeer grote of zeer kleine getallen weer te geven als een aantal malen een gehele macht van 10. De wetenschappelijke notatie heeft diverse voordelen boven de "gewone" notatie: zeer grote of zeer kleine getallen kunnen (bij benadering) worden weergegeven met gebruikmaking van veel minder cijfers zeer grote of zeer kleine getallen zijn als gevolg daarvan veel makkelijker vergelijkbaar, door simpelweg naar de grootte van de exponent te kijken bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn in het geval van zeer grote of zeer kleine getallen veel gemakkelijker uit het hoofd uit te voeren (waarbij de uitkomst dan meestal "ongeveer" wordt uitgerekend) als deze getallen in de wetenschappelijke notatie staan. Door bovenstaande voordelen op te noemen begrijpt de leerling enigszins de zin van het gebruik. Hieruit bestaat de wetenschappelijke notatie: t Een getal x 10 (tussen 1-10) (tot de macht.) Uit 3 delen dus. Getallen >1 300 kun je schrijven als: 3 x kun je schrijven als: 2 x kun je schrijven als: 3,2 x 10 7 (elke keer: (getal tussen 1-10) - (x 10) (tot de macht.)) Getallen <1 0,002 kun je schrijven als: 2 x , kun je schrijven als: 7,5 x 10-9 Een mooi trucje is het tellen van de komma`s. Op de rekenmachine: Toets in: 0, =ENG Rekenen in de vaklessen Pagina 26

27 Bronnen Doorlopende leerlijnen taal en rekenen, URL bezocht op Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht (fi.uu), URL bezocht op Kennisbank wiskunde, URL bezocht op Beek, Carina ter, (2006) rekenen wiskunde. Harcourt (ISBN ) Craats, J van der & Bosch, R (2007) basisboek rekenen. Pearson (ISBN ) Rekenen in de vaklessen Pagina 27