Evenredigheden en gelijkvormige figuren

Transcriptie

1 3 Evenreigheen en gelijkvormige figuren Dit kun je al 1 een reuk herkennen als verhouing 2 rekenen met (gelijke) reuken 3 vraagstukken oplossen met ehulp van een vergelijking 4 een grafiek aflezen 5 rekenen met procenten 6 een mielpuntshoek herkennen Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoor. Controleer je antwoor in e correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenoek of naar je vaemecum. 1 Er zit 0,5 gram vet in 10 gram Engelse rop. Welke reuk hoort ij eze verhouing? A B C Verer oefenen? a 2 Welke reuk is gelijk aan 4 5? a 3 Mijn zus is zes jaar jonger an het uele van mijn leeftij. Samen zijn we 33 jaar. Zoek een vergelijking om mijn leeftij te epalen. 4 Naschoolse opvang wort aangereken per halfuur. Vanaf e eerste minuut etaal je het aangevangen halfuur. Welke grafiek hoort ij eze situatie? x + 2x 6 = 33 x = 33 2x 6 = 33 oef. 139 a 5 Een jeans van 80 euro wort tijens e koopjes verkocht met een korting van 30 %. Hoeveel kost e roek an? 6 Welke hoek in eze figuur is een mielpuntshoek? A 24 euro 50 euro 56 euro a A B C C a B Dit he je noig leerwerkoek p oefenoek nr passer georiehoek rekenmachine Inhou G10 Begrip evenreighei p. 42 G11 Hoofeigenschap van evenreigheen p. 44 G12 Bewijs: e hoofeigenschap van evenreigheen p. 46 G13 Recht en omgekeer evenreige grootheen p. 50 G14 Vraagstukken met recht en omgekeer evenreige grootheen p. 54 G15 Strook- en schijfiagrammen p. 56 G16 Gelijkvormige figuren p. 62 G17 Gelijkvormige figuren, lengte, omtrek en oppervlakte p

2 G10 Begrip evenreighei Op verkenning Lies mengt zelf e ranstof voor haar scooter. De tweetaktmix maakt ze oor tweetaktolie toe te voegen aan loovrije enzine. In een jerrycan zit 10 l enzine. Lies voegt hier 2 l olie aan toe. 2 Noteer e verhouing volume olie / volume enzine.... Deze week koopt ze 5 l enzine. Hoeveel olie moet ze nu ijvoegen?... 1 Noteer opnieuw e verhouing volume olie / volume enzine Vergelijk e verhouingen. Wat stel je vast?... Een gelijkhei van verhouingen noem je een evenreighei. Vul aan tot je opnieuw een evenreighei ekomt. 2 3 = a Algemeen noteer je een evenreighei als... (vervang e getallen oor letters). = c l Welke soort getallen mag je geruiken om een evenreighei op te stellen?... Mag je e teller vervangen oor om het even welk rationaal getal? Ja... Mag je e noemer vervangen oor om het even welk rationaal getal? = 1 50 De verhouingen zijn gelijk. Rationale getallen Neen, niet oor 0. DEFINITIE Wiskunetaal egrippen Een evenreighei is een gelijkhei van verhouingen. a en c zijn rationale getallen, en zijn rationale getallen verschillen van 0. a = c is een evenreighei. Je leest: a staat tot zoals c staat tot a is e eerste term is e tweee term c is e ere term is e viere term 3 5 = 9 is een evenreighei. 15 Je leest: 3 staat tot 5 zoals 9 staat tot 15 3 is e eerste term 5 is e tweee term 9 e ere term 15 e viere term a en noem je e uiterste termen en c noem je e mielste termen a = c mielste termen uiterste termen 3 en 15 noem je e uiterste termen 5 en 9 noem je e mielste termen 3 5 = mielste termen uiterste termen CONTROLE 7 Vul e verhouingstael aan. volume olie (in l) volume enzine (in l) 100 Geef rie evenreigheen uit e tael. Noteer e uiterste termen in het lauw, e mielste termen in het groen = = = evenreigheen en gelijkvormige figuren

3 Oefeningen 1 Vul volgene evenreigheen aan a c = = = = Zoek rie evenreigheen met e gegeven reuken Noteer e evenreigheen. Er zijn meerere mogelijkheen. a De mielste termen zijn 3 en 4, e uiterste termen zijn 6 en 2. De eerste term is 5, e tweee term is 12, e viere term is = = = = = Vorm met e volgene vier getallen een evenreighei. Er zijn meerere mogelijkheen. Vergelijk jouw evenreighei met ie van je klasgenoten. 202 a = = Hoeveel verschillene resultaten kun je telkens vinen? Noteer het vraagstuk telkens als een evenreighei. Noem e onekene x. Reken uit a De afmetingen van een televisiescherm verhouen zich als 16 tot 9. Hoe hoog is het scherm van een reeeeltelevisie waarvan e reete 80 cm is? Noteer e maten ij het televisietoestel. x is e hoogte van het scherm = 80 x 5 x = 45 De hoogte is 45 cm Een kaart is geteken op schaal 1 : Frits en Jesse gaan kamperen en plannen een verkennene fietstocht in e uurt. Op e kaart is e afstan tussen twee kerktorens 6 cm. Wat is (in km) e werkelijke afstan tussen e torens? x is e werkelijke afstan tussen e torens = 6 x 6 x = De werkelijke afstan is cm of 12 km Wat moet je kunnen? e egrippen eerste, tweee, ere, viere term herkennen en toepassen e egrippen uiterste en mielste termen herkennen en toepassen een vraagstuk oplossen m..v. evenreigheen het egrip evenreighei efiniëren 43

4 G11 Hoofeigenschap van evenreigheen Op verkenning a Van evenreigheen naar gelijke proucten Om een groot roo te maken he je 800 gram eeg noig. Het eeg maak je met water en meel. De verhouing massa water massa meel is 3 5. Vervolleig e verhouingstael ie e verhouing weergeeft tussen e noige massa's water en meel. massa water (in gram) massa meel (in gram) Je akt vier roen. Hoeveel gram water he je noig?... Hoeveel gram meel he je noig?... Noteer e verhouing massa water massa meel 2000 Noteer e evenreighei ie het veran geeft tussen 1200 eze verhouing en e verhouing uit e inleiing.... Vermenigvulig in eze evenreighei e volgene termen met elkaar. e eerste en tweee term e tweee en viere term = 4 6 e ere en viere term... e eerste en ere term = e uiterste termen... e mielste termen... Welke proucten zijn gelijk?... Is it ook zo ij e volgene evenreigheen? Controleer. 2 6 = = gram 2000 gram 2000 = Het prouct van e uiterste termen is gelijk aan het prouct van e mielste termen = = = = = 6... Kun je een vooreel vinen van een evenreighei waarin het prouct van e uiterste termen niet gelijk is aan het prouct van e mielste termen?... Neen Als je een evenreighei het, an is het prouct van e uiterste termen gelijk aan het prouct van e mielste termen (1). a Noteer een evenreighei met letters.... Noteer e gelijke proucten met letters.... Noteer eigenschap (1) met letters en noteer tot welke verzameling ie letters mogen ehoren.... a en c zijn rationale getallen, en (1) Van gelijke proucten naar evenreigheen = c a = c zijn rationale getallen verschillen van 0. Bouw telkens een evenreighei op met e factoren van e gelijke proucten = = = 21 of = of 7 4 = of 7 21 = 4 3 = 10 6 of 5 10 = 3 6 of = 10 5 of 6 10 = 3 5 Zijn er meerere mogelijkheen? Verklaar. Je kunt e mielste termen of e uiterste termen wisselen evenreigheen en gelijkvormige figuren

5 Als het prouct van e uiterste termen gelijk is aan het prouct van e mielste termen an kun je een evenreighei opouwen (2). Noteer eigenschap (2) met letters en noteer tot welke verzameling ie letters mogen ehoren.... (2) (1) en (2) samen: a = c a = c Eigenschap hoofeigenschap van evenreigheen Je ekomt een evenreighei als en slechts als het prouct van e uiterste termen gelijk is aan het prouct van e mielste termen. (De kruisproucten zijn gelijk) Dit noem je e hoofeigenschap van evenreigheen. CONTROLE a,, c en zijn rationale getallen verschillen van 0. a = c a = c 9 12 Oefeningen a,, c en zijn rationale getallen, verschillen van 0 a = c a = c 3 4 = = 4 6 Zijn volgene uitrukkingen evenreigheen? Geruik e hoofeigenschap om it te controleren. Neen 6 12 = = Neen = = Vervang in e tael e letters oor rationale getallen zoat evenreigheen ontstaan. Geruik hiervoor e hoofeigenschap van evenreigheen. Los e vergelijking op Los e vraagstukken op met ehulp van e hoofeigenschap van evenreigheen. Noem e onekene x. Stel e evenreighei op. Los aarna e ekomen vergelijking op. a Jo gaat met e klas op weeken. Ze raapleegt e ooschappenlijst van vorig jaar om een iee te heen van hoeveelheen. Voor 30 personen kocht ze toen 25 l melk. Hoeveel liter melk koopt ze it jaar voor 36 personen? Op autovakantie in Italië geruiken Stef en Jan een kaart met schaal 1 : Ze stippelen en een en ronrit uit en ze schatten at e afstan op e kaart ongeveer 30 cm is. Hoeveel km leggen ze in werkelijkhei el kh ei af? Wat moet je kunnen? p s t r = p = 3 t 63 = 10 3 r 63 = s = 63 p... 3 t = r = = 63 s 3 p = 63 : 63 t = 21 : 3 r = 630 : 3 s = 27 : p = 1... t = 7... r = 210 p = 3 7 x is e hoeveelhei melk ie Jo moet kopen = x 36 30x = x = 900 : 30 x = 30 Jo koopt it jaar 30 liter melk. x is e afstan ie ze afleggen = 30 x 1 x = x = Ze leggen cm of 60 km af. e hoofeigenschap van evenreigheen verwooren e hoofeigenschap van evenreigheen toepassen e hoofeigenschap van evenreigheen in symolen noteren MEER? MEER?

6 G12 Bewijs: e hoofeigenschap van evenreigheen Op verkenning Eigenschappen kun je volleig in wiskunige symolen noteren. Symolen evatten heel wat informatie. Vul e tael in. Hoofeigenschap van evenreigheen vraag antwoor Symolen Noteer e hoofeigenschap van evenreigheen in wooren. Noteer eze eigenschap met letters. Voor welke soort getallen gelt eze eigenschap? Gelt e eigenschap voor alle getallen uit ie verzameling? Eigenschap hoofeigenschap van evenreigheen Je ekomt een evenreighei als en slechts als het prouct van e uiterste termen gelijk is aan het prouct van e mielste termen. De kruisproucten zijn gelijk. Je ekomt een evenreighei als en slechts als het prouct van e uiterste termen gelijk is aan het prouct van e mielste termen. a = c a = c Voor rationale getallen Voor alle rationale getallen uitgezoner 0 a,, c, q 0 : a = c a = c Weetje a,, c, q a,, c, q 0 q is e verzameling van e rationale getallen. Omat e getallen van e hoofeigenschap verschillen van 0 zijn, komen ze uit e verzameling q zoner 0. Dit noteer je als q 0. a STAP 1 DEEL 1 Een eigenschap is een uitspraak over gekene egrippen ie altij waar is. Als je één tegenvooreel kunt vinen, he je geen eigenschap. Omat je onmogelijk alle vooreelen kunt controleren, moet je e eigenschap ewijzen. Bewijzen is e waarhei aantonen van e eigenschap. Hoe ga je hierij te werk? Bewijzen geeurt oor te verkennen, te analyseren en het ewijs te geven. Verkennen Bekijk e eigenschap aanachtig. Je ziet een uele pijl. Dit wil zeggen at e eigenschap estaat uit twee elen. a = c en a = c it lees je als: Als a = c een evenreighei is, an is het prouct van e uiterste termen gelijk aan het prouct van e mielste termen. DEEL 2 a = c a = c Je ewijst eerst eel 1 en an eel 2. it lees je als: Als twee proucten gelijk zijn, an kun je hier altij een evenreighei mee ouwen (waarij a en uiterste termen zijn en en c mielste termen). 46 evenreigheen Evenreigheen en gelijkvormige figuren

7 Wat na als staat, noem je het gegeven. Van het gegeven veronerstel je altij at het waar is. a Noteer voor eel 1 het gegeven.... = c Wat na an staat, noem je het te ewijzen. Van het te ewijzen moet je e waarhei aantonen. Noteer voor eel 1 het te ewijzen.... a = c STAP 2 DEEL 1 Analyseren: vooruitenken terugenken een plan maken a = c a = c vraag antwoor verklaring Wat is gegeven? Waar vertrek je van? Noteer it in symolen. Wat wil je ewijzen? Waar wil je naartoe? Noteer it in symolen. a = c a = c Wat moet je oen om van het gegeven tot het te ewijzen te komen? Hoe kun je it oen? Welke eigenschap geruik je? Vereenvouig e reuken. Is it wat je moet ewijzen? noemers wegwerken a = c Beie leen met eenzelfe getal vermenigvuligen. a = c a = c Beie leen vermenigvuligen met het kgv van e noemers. Eig. van gelijkheen Het vermenigvuligen is commutatief in q STAP 3 c Bewijs van eel 1 Het is asoluut noig at je een verklaring geeft voor elke stap ie je zet. Bewijs hoofeigenschap van evenreigheen (eel 1: ) a,, c, q 0 : a = c a = c gegeven: te ewijzen: a = c a = c a,, c,, q 0 ewijs: a = c a = Eig. van een gelijkhei: eie leen vermenigvuligen met. c De reuken vereenvouigen. a = c Eig.: het vermenigvuligen is commutatief in q. a = c 47

8 G12 Bewijs: e hoofeigenschap van evenreigheen (vervolg) STAP 2 DEEL 2 Analyseren: vooruitenken - terugenken - een plan maken a = c a = c vraag antwoor verklaring Wat is gegeven? Waar vertrek je van? Noteer it in symolen. a = c Wat moet je ewijzen? Waar wil je naartoe? Noteer it in symolen. Wat moet je oen om van het gegeven tot het ewijzen te komen? Hoe oe je it? Welke eigenschap geruik je? a = c een evenreighei vormen a = c Beie leen oor eenzelfe getal ( 0) elen. Beie leen elen oor. Eig. van gelijkheen STAP 3 Is it wat je moet ewijzen? e Bewijs van eel 2 a = c ja Bewijs hoofeigenschap van evenreigheen (eel 2: ) a,, c, q 0 : a = c a = c gegeven: a = c a,, c, q 0 te ewijzen: ewijs: a = c a = c Eig. van een gelijkhei: eie leen elen oor ( 0). a = c a = c De reuken vereenvouigen. Oefeningen Bewijs volgene eigenschap: Je mag e mielste termen verwisselen als en slechts als je een evenreighei het. a,, c, q 0 : a = c a c = STAP 1 Verkennen Bekijk e eigenschap aanachtig. Hier he je een uele pijl. Soms moet je niet eerst eel 1 en aarna eel 2 ewijzen. Als je efinities en eigenschappen kunt geruiken, ie in eie richtingen waar zijn kun je eie richtingen in één keer aantonen. 48 evenreigheen en gelijkvormige figuren

9 STAP 2 STAP 1 Analyseren Het analyseren geeurt in rie stappen: vooruitenken, terugenken en een plan maken. DEEL 1 DEEL 2 Gegeven:... a,, c, q 0, Gegeven:... = c a,, c, q 0, a c = a Te ewijzen:... a Te ewijzen:... c = Volg e pijlen naar eneen en kijk of je ie kunt verantwooren. Bewijs: 9 Bewijs: a,, c, q 0 : a = c a+ = c+ Verkennen Bekijk e oefening aanachtig. a Volg e pijlen naar oven en kijk of je ie kunt verantwooren. a = c... Hoofeigenschap van evenreigheen. a = c... a = c... Hoofeigenschap evenreigheen. a c = = c Het vermenigvuligen is commutatief in q STAP 2 Analyseren Het analyseren geeurt in rie stappen: vooruitenken, terugenken en een plan maken. 1 Vooruitenken Gegeven: a,, c, q 0 DEEL 1... DEEL 2... a = c 1 Terugenken Te ewijzen: a + = c DEEL 1... DEEL Plan maken Vermits je een uele pijl het, moet je eze eigenschap in twee richtingen ewijzen. Bewijs eerst eel 2 Daarna kun je nagaan of je elke pijl in e omgekeere richting ook kunt verantwooren. a + = c +... Hoofeigenschap evenreigheen. (a + ) = (c + )... a + = c +... a = c... a = c a,, c, q 0 a+ = c + a = c Het vermenigvuligen is istriutief t.o.v. het optellen in q. Eigenschap van een gelijkhei: eie leen vermineren met. Hoofeigenschap van evenreigheen. Wat moet je kunnen? e hoofeigenschap van evenreigheen ewijzen 49

10 G13 Recht en omgekeer evenreige grootheen Op verkenning Maaike gaat aysitten. Ze vraagt 4 euro per uur. a Recht evenreige grootheen Hoeveel verient ze als ze op e kineren van e uren past van 9 tot 17 uur? euro Vul e tael aan. tij (in uren) erag (in euro) Wat geeurt er met het erag als e tij veruelt?... En als e tij verviervouigt?... 2 Noteer vier verhouingen uit e tael. Wat merk je op?... erag (in euro) y x tij (in uren) Welke figuur ekom je als je e punten verint?... Je ekomt... De getallen 10 en 40 staan oner elkaar in e tael. Deze maatgetallen noem je aarom overeenkomstige maatgetallen. Noem nog twee paar overeenkomstige maatgetallen en 8 8 en 32 1 en 4 Noteer vier verhouingen (tij/erag) van een aantal 1 4 = 0,25 overeenkomstige maatgetallen uit e tael als een ecimaal 2... getal. Wat merk je op? 8 = 0, = 0, = 0, = 0,25 De... quotiënten zijn gelijk. 4 Noteer e omgekeere verhouingen (erag/tij) van... 1 = = = = 4 een aantal overeenkomstige maatgetallen uit e tael... als een ecimaal getal. Wat merk je op? De quotiënten zijn gelijk. Teken e grafiek met e gegevens uit e tael. Een rechte oor e oorsprong Het erag veruelt ook. Het erag verviervouigt ook. 8 = 6 24 = 8 32 = De verhouingen zijn gelijk. evenreigheen evenreigheen en gelijkvormige figuren

11 Wiskunetaal recht evenreige grootheen Twee grootheen zijn recht evenreig als er ij een toename van e ene groothei een gelijkmatige toename is ij e anere groothei. Bij recht evenreige grootheen is het quotiënt van e overeenkomstige maatgetallen ( 0) gelijk (constant). Deze constante noem je e evenreigheisfactor f. Voor elke recht evenreige verhouing kun je twee evenreigheisfactoren erekenen. Bij recht evenreige grootheen is e grafiek een rechte oor e oorsprong. Bij Stan koop je zelfgemaakte limonae aan 0,5 euro per liter. Verhouingstael: hoeveelhei (in liter) erag (in euro) 0 0,5 1 1,5 2 Hoe meer limonae je koopt, hoe meer je moet etalen. De evenreigheisfactoren zijn: hoeveelhei = 2 erag 1 = 4 2 = 2 = f 1 en erag hoeveelhei = 1 2 = 2 4 = 0,5 = f 2 erag (in euro) 4 y x hoeveelhei (in liter) CONTROLE 9 De omtrek van een gelijkzijige riehoek en e lengte van e zije zijn recht evenreige grootheen. Vul e tael aan. Bepaal e evenreigheisfactoren. lengte zije (in cm) omtrek gelijkzijige riehoek (in cm) 24 8 f 1 = 1 3 en f = Omgekeer evenreige grootheen Fee gaat eze zomer op vakantie naar Venetië. De afstan Brussel-Venetië is 1200 km. De tael geeft e reistij aan in functie van e gemiele snelhei. Vul e tael aan. gemiele snelhei (in km/u) reistij (in uur) Hoe ereken je telkens e reistij? Door te elen oor e gemiele snelhei. Wat geeurt er met e reistij als e gemiele snelhei veruelt? De... reistij halveert. Wat geeurt er met e reistij als e gemiele snelhei verrievouigt? De... reistij wort rie keer kleiner. 51

12 G13 Recht en omgekeer evenreige grootheen (vervolg) Noteer vier verhouingen (gemiele snelhei/reistij) uit e tael. Zijn e verhouingen gelijk? Bereken e proucten van e overeenkomstige maatgetallen uit e tael. Wat stel je vast? Verklaar. Breng e gegevens uit e tael over in het assenstelsel en teken e grafiek met een vloeiene lijn. Bereken e reistij ij een gemiele snelhei van 30 km/u. reistij (in uur) y... Zet it punt op je grafiek. Is je grafiek een rechte?... Verin e punten met een vloeiene lijn. Wiskunetaal omgekeer evenreige grootheen Twee grootheen zijn omgekeer evenreig als er ij een toename van e ene groothei een gelijkmatige afname is van e anere groothei. De verhouingen zijn niet gelijk. Het prouct van e overeenkomstige maatgetallen is stees gelijk aan De afstan tussen Brussel en Venetië lijft onveraner, namelijk 1200 km km : 30 km/uur = 40 uur Neen gemiele snelhei (in km/u) Het aantal ientieke tegels at je noig het om e vloer van een loft van 100 m 2 te etegelen is omgekeer evenreig met e oppervlakte van ie tegels. x oppervlakte tegel (in m 2 ) 0,25 0,5 1 aantal tegels Hoe kleiner e tegel, hoe meer tegels je noig het. Bij omgekeer evenreige grootheen is het prouct van e overeenkomstige maatgetallen stees gelijk (constant). Bij omgekeer evenreige grootheen is e grafiek een eel van een hyperool. Het prouct van e overeenkomstige maatgetallen is telkens 100. grootte tegel. aantal = 100 0,25 m = 0.5 m = 1 m = 100 m 2 aantal tegels 500 y x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 oppervlakte tegel (in m 2 ) CONTROLE 10 Verhouen e volgene grootheen zich recht of omgekeer evenreig? Schrap wat niet past. Verklaar recht / omgekeer evenreig De quotiënten van e overeenkomstige maatgetallen zijn gelijk recht / omgekeer evenreig De proucten van e overeenkomstige maatgetallen zijn gelijk evenreigheen en gelijkvormige figuren

13 c Niet evenreige grootheen De leerlingen van het zese jaar reizen per us naar Italië. Vul e tael aan. aantal leerlingen reistij (in uur) Neen Neen Zijn eze grootheen recht evenreig?... Zijn eze grootheen omgekeer evenreig?... Niet alle grootheen zijn recht of omgekeer evenreig. We spreken an van niet evenreige grootheen. Oefeningen 10 Schrap in uitspraak a en tussen e haakjes wat niet past. Dui voor alle uitspraken aan of e grootheen recht, omgekeer of niet evenreig zijn. a c e Hoe groter e afstan tot een persoon hoe (groter, kleiner) men ie persoon waarneemt. Hoe meer ik train voor voetal hoe (meer, miner) oelpunten ik kan scoren. De hoeveelhei voeer noig om kippen te voeren en het aantal kippen. Het gewicht van een persoon en e lengte van eze persoon. De tij noig om e speelplaats op te ruimen en het aantal leerlingen at helpt, gestel at ieereen even har werkt. recht omgekeer niet X X X X X Zijn e grootheen in onerstaane taellen recht, omgekeer of niet evenreig? Noteer e evenreigheisfactoren voor e recht evenreige grootheen. Vul e tael verer aan. zije regelmatige vijfhoek (in cm) 7,2 9,4 12,6 3 omtrek regelmatige vijfhoek (in cm) ,5 aantal kineren in auto tij noig om naar school te rijen (in min.) aantal jostuenten tij noig om e klus te klaren (in u) Noteer naast e grafieken of e voorgestele grootheen recht, omgekeer of niet evenreig zijn a c recht evenreig 15 2, recht evenreig f 1 = 0,2 en f 2 = 5 niet evenreig omgekeer evenreig a... niet evenreig omgekeer evenreig niet evenreig... c MEER? Wat moet je kunnen? recht / omgekeer evenreige grootheen herkennen in situaties en in een tael recht evenreige grootheen noteren als een quotiënt het veran tussen recht / omgekeer evenreige grootheen in een grafiek voorstellen omgekeer evenreige grootheen noteren als een prouct 53

14 G14 Vraagstukken met recht en omgekeer evenreige grootheen Op verkenning Op e eerste schoolag krijgen alle leerlingen een gezon sapje. Ananassap en sinaasappelsap woren gemeng in e verhouing 2. Er wort 102 liter sinaasappelsap estel. Hoeveel ananassap is er noig? 9 Lees aanachtig het vraagstuk. Onerstreep e ekene gegevens eenmaal en het gevraage tweemaal. Stel het gevraage voor oor x. Plaats e cijfergegevens in een tael. volume ananassap x:... Zijn e grootheen recht, omgekeer of niet evenreig? recht evenreig... volume ananassap (in liter) volume sinaasappelsap (in liter) Wat weet je over e overeenkomstige maatgetallen uit e tael?... 2 Noteer it.... Los e ekomen vergelijking op.... Welke eigenschap van evenreigheen kun je hier toepassen?... 2 Controleer = 22, = 9 22, = Ron je resultaat verantwoor af. Hou rekening met e situatie Er... moet 23 liter ananassap in het vraagstuk. Noteer it resultaat in een antwoorzin. 2 9 De quotiënten zijn gelijk. 9 = x 102 x = 9x = 9x x... = 204 : 9 x... = 22, De hoofeigenschap van evenreigheen. woren estel.... Stappenplan vraagstukken met recht of omgekeer evenreige grootheen oplossen Lees aanachtig het vraagstuk en onerstreep e ekene gegevens eenmaal. Wat gevraag wort, onerstreep je tweemaal. Tijens e onthaalagen woren e tweeejaars geropt. Ze krijgen een stafkaart met schaal 1 : Na wat puzzelwerk vinen ze at er op e kaart 32,7 cm is tussen het vertrek- en einpunt. Hoe groot is e werkelijke afstan? Je organiseert een tuinfeest. Er is voloene fruitsap om 800 ekertjes van 20 cl te vullen. De werelwinkel levert echter ekertjes van 15 cl. Hoeveel rankjes kunnen er an woren geserveer? Wat zijn e grootheen? Noteer ze in een tael. Stel het gevraage voor oor x. Plaats e cijfergegevens in e tael. Zijn e grootheen recht of omgekeer evenreig? ij recht evenreige grootheen zijn e quotiënten gelijk ij omgekeer evenreige grootheen zijn e proucten gelijk. Los e ekomen vergelijking op. afstan op e kaart (in cm) 1 32,7 werkelijke afstan (in cm) x RECHT evenreige grootheen = 32,7 x = 32,7 x 1 x = ,7 x = inhou ekertje (in cl) aantal rankjes 800 x OMGEKEERD evenreige grootheen = 15 x = 15 x = 15 x x = x = 1066, evenreigheen en gelijkvormige figuren

15 Controleer je antwoor. Ron verantwoor af en formuleer je antwoor in een antwoorzin = 32, = De werkelijke afstan is cm ofwel 8,175 km = , = Er kunnen 1066 rankjes geserveer woren. Oefeningen 13 a Een vrachtwagen van een transporterijf vervoert 150 m³ zan in twaalf ritten. Hoeveel ritten zijn er noig om 108 m³ zan te vervoeren? x: aantal ritten om 108 m 3 zan te vervoeren. hoeveelhei zan in m 3 aantal ritten recht evenreig = 108 x 150x = x = 1296 x = 1296 : 150 x = 8, x Er zijn 9 ritten noig om 108 m 3 zan te vervoeren MEER? De leerlingen van e klas 2 MD plannen een agje in e Arennen op een survivalparcours. De usreis is erg uur en e 24 leerlingen moeten elk 11,50 euro etalen. Ze overwegen om e 21 leerlingen van 2 ME mee te vragen. Hoeveel etaalt ieere leerling als e twee klassen samen op e us stappen? x: prijs per leerling voor e usreis aantal passagiers prijs per persoon (in euro) omgekeer evenreig 45 x = 24 11,50 45x = 276 x = 276 : 45 x = 6, Elke leerling etaalt 6,14 euro ,50 45 x Wat moet je kunnen? prolemen oplossen met ehulp van recht evenreige grootheen prolemen oplossen met ehulp van omgekeer evenreige grootheen 55

16 G15 Strook- en schijfiagrammen Op verkenning Tim krijgt elke maan zakgel. Hij wil at gel eter eheren en hij maakt onerstaan schema. a Strookiagram muziek 40 % kleing 15 % strips 5% uitgaan 30 % sparen 10% Waaraan wil Tim het minste zakgel speneren?... Moet je om it antwoor te vinen eerst het percentage erekenen? Verklaar Vul aan: hoe groter het eel van e strook, hoe... Teken met ezelfe percentages een strookiagram van 10 cm. aan strips Neen, hoe smaller het eel, hoe miner spaargel hij eraan wil speneren. De reete van een eel is recht evenreig met het percentage. meer gel hij uitgeeft. muziek 40% kleing 15 % strips 5 % uitgaan 30% sparen 10% Wiskunetaal strookiagram In een strookiagram stelt één volleige strook 100 % voor. Deze strook wort vereel in elen. De lengte van elk eel is recht evenreig met het percentage van het gegeven. 70 % water 30 % lan Stappenplan een strookiagram tekenen Aan 110 leerlingen van het tweee jaar wort gevraag welk merk gsm ze heen. Breng e gegevens ie je wilt voorstellen samen in een tael en laat e eerste kolom vrij. Plaats het totaal van alle gegevens in e eerste kolom. Dit totaal stemt overeen met het totaal aantal cm van je strookiagram. Reken e verschillene aantallen om naar het juiste aantal cm. Steun op e recht evenreighei. Nokia Motorola Sony LG anere totaal Nokia Motorola Sony LG anere cm Nokia: = 30 x 110 x = x = 300 x = 300 : 110 x = 2,72727 us 2,7 cm totaal Nokia Motorola Sony LG anere cm 2,7 cm 1 cm 2 cm 1,4 cm 2,9 cm 56 evenreigheen en gelijkvormige figuren

17 Teken het strookiagram. Motorola Nokia Sony LG anere Reken uit hoeveel procent elk aaneel is. Steun op e recht evenreighei. totaal Nokia Motorola Sony LG anere % 27 % 10 % 20 % 14 % 29 % Noteer e procenten op je strookiagram. Nokia 27 % Motorola 10 % Sony 20 % LG 14 % anere 29 % Schijfiagram Tim kan ook een aner schema tekenen om zijn geleheer voor te stellen. muziek 40 % sparen 10 % Waaraan wil Tim het grootste erag speneren? Verklaar.... Vul aan: hoe groter e mielpuntshoek van het cirkelsegment, hoe Als je weet at Tim 20 euro uitgeeft aan muziek, = 15 x of = x 15 ereken an hoeveel hij esteet aan kleing. kleing 15 % Aan muziek, want it is het grootste eel van e schijf. meer gel hij uitgeeft. strips 5 % uitgaan 30 % Antwoor: Vul e tael aan. 40 x = x = 300 x = 300 : 40 x = 7,5 Tim esteet slechts 7,50 euro aan kleing. uitgaven (in procent) uitgaven (in euro) 20 7, ,5 Wiskunetaal schijfiagram In een schijfiagram wort een cirkel vereel in sectoren. De grootte van e mielpuntshoek van elke sector is recht evenreig met het percentage van elk eel. water 70 % lan 30% 30 % 57

18 G15 Strook- en schijfiagrammen (vervolg) Stappenplan een schijfiagram tekenen Breng e gegevens ie je wilt voorstellen in een tael en laat e eerste kolom vrij. Plaats het totaal van alle gegevens in e eerste kolom. Dit totaal stemt overeen met e totale hoek (360). Aan 110 leerlingen van het tweee jaar wort gevraag welk merk gsm ze heen. Nokia Motorola Sony LG anere totaal Nokia Motorola Sony LG anere Zet e verschillene aantallen om naar het juiste aantal graen. Steun op e recht evenreighei. Ron zinvol af. Nokia: = 30 x 110 x = x = x = : 110 x = 98,1818 us 98 totaal Nokia Motorola Sony LG anere Teken het schijfiagram. Teken een cirkel. Teken een mielpuntshoek ie overeenstemt met het aantal graen. (Hier 98 ) Teken (aansluiten) e volgene overeenstemmene mielpuntshoek. Herhaal eze werkwijze. Nokia 98 Nokia Nokia anere 36 Motorola Sony LG Zet e verschillene aantallen om in procenten. totaal Nokia Motorola Sony LG anere % 27 % 10 % 20 % 14 % 29 % Noteer e procenten op je schijfiagram. Nokia 27 % anere 29 % Motorola 10 % Sony 20 % LG 14 % 58 evenreigheen en gelijkvormige figuren

19 Oefeningen 14 Dit strookiagram toont e procentuele vereling van e omzet per soort oek in Vlaaneren. 263 algemene uitgaven 14 % kineroeken 12 % strips 16 % eucatieve uitgaven 21 % wetenschappelijke en informatieve uitgaven 37 % Bron: Algemene Directie Statistiek en Economische Informatie België a Welk soort oeken zorgt voor e grootste omzet?... Welk soort oeken heeft e kleinste omzet?... c Als je weet at e totale omzet 314,2 miljoen euro is, hoeveel is an e omzet van e algemene uitgaven? Noteer e twee grootheen in e tael en stel e onekene voor oor x. Bereken. Welke eigenschap van evenreigheen geruik je? omzet (in procent) omzet (in miljoen euro) ,2 14 x Wetenschappelijke en informatieve uitgaven Kineroeken Recht evenreig ,2 = 14 x 100 x = 314,2 14 x = 4398,8 : 100 x = 43,988 De omzet van e algemene uitgaven eraagt 43,988 miljoen euro. 15 Elk van eze schijfiagrammen en strookiagrammen stelt ezelfe procentuele vereling voor van het leenaantal van e verschillene Vlaamse jeugewegingen. 41 % 31 % 14 % 11 % 3 % MEER? % 31 % 14 % 11 % 3 % 41 % chirojeug 3 % 11 % 31 % VVKSM 14 % 41 % chirojeug 3 % 11 % 31 % VVKSM 14 % Legene Chirojeug VVKSM KSJ-KSA-VKSJ KLJ Fos Bron: Algemene Directie Statistiek en Economische Informatie België 59

20 G15 Strook- en schijfiagrammen (vervolg) a c e Maak e iagrammen volleig oor e correcte procenten in e lege vakken te plaatsen. Heeft e straal van een schijfiagram invloe op e procentuele vereling? Verklaar. Neen, alleen e hoekgrootte van e mielpuntshoek epaalt e procentuele verelingen. Uit welk strookiagram kun je e procentuele vereling het snelste aflezen? Verklaar. Bij e strook van 10 cm komt elke mm overeen met 1 %. Welke jeugeweging heeft het hoogste leenaantal? Chirojeug Vlaaneren Als je weet at er KLJ-leen zijn, hoeveel leen tellen an e KSJ, KSA en VKSJ samen? Noteer e twee grootheen in een tael en stel e onekene voor oor x. Bereken en ron zinvol af. x: aantal leen van KSJ-KSA-VKSJ aaneel jeugeweging (in %) aantal leen jeugeweging x = 14 x 11 x = x = x = : 11 x = ,55... De KSJ-KSA-VKSJ telt leen. 16 In 2009 woonen er ongeveer zes miljar mensen op e werel. werelelen Totaal Europa Afrika Azië Noor- Amerika Zui-Amerika Oceanië Aantallen 6 miljar 700 miljoen 700 miljoen 3600 miljoen 300 miljoen 500 miljoen 200 miljoen hoekgrootte % a Vul e tael aan en teken een schijfiagram at eze vereling weergeeft. Z-Amerika Oceanië 3 % 8 % N-Amerika 5 % Afrika 12 % Europa 12 % Azië 60 % 60 evenreigheen en gelijkvormige figuren

21 In een spel van e werelwinkel stellen 60 nic-nackoekjes e rijkom van e werel voor. Vereel op een rechtvaarige manier eze 60 koekjes over e verschillene werelelen = x x = x = = 7 werelelen Totaal Europa Afrika Azië Noor- Amerika Zui-Amerika Oceanië Aantallen 6 miljar 700 miljoen 700 miljoen 3600 miljoen 300 miljoen 500 miljoen 200 miljoen hoekgrootte Aantal koekjes c Vraag aan je leraar hoe het voesel op e werel echt vereel is. Het aantal moet hier verwaarloos woren Wat oen e leerlingen van 2c in hun vrije tij? TV kijken 90 % sporten 60 % jeugeweging 45 % lezen 22 % chatten 80 % computerspelletjes 62 % anere 18 % Waarom kun je op asis van eze gegevens geen schijfiagram maken? Het totaal is geen 100%. Een leerling kan én in e jeugeweging zijn én sporten én chatten én Wat moet je kunnen? strook- en schijfiagrammen aflezen strook- en schijfiagrammen tekenen 61

22 G16 Gelijkvormige figuren Op verkenning a Schaal en gelijkvormighei Een schaalmoel is een uplicaat van een voorwerp of lanschap in verkleine of vergrote vorm. Figuur f is een schaalmoel van e SN Brussels Airlines Airus A Dit moel wer op schaal 1 : 500 gemaakt. Vul volgene tael aan. lengte 12,732 spanwijte afmetingen schaalmoel (in cm) 1 12,06 afmetingen Airus A (in cm) Zijn eze grootheen recht of omgekeer evenreig? Verklaar je antwoor. De schaal was in it geval 1 : 500. Wat etekent het getal De spanwijte is e afstan tussen e twee vleugeltips.... Ze zijn recht evenreig, want e quotiënten van e overeenkomstige maatgetallen in e tael zijn gelijk nog? is een... evenreigheisfactor 500 neen Heeft het schaalmoel een anere vorm an het origineel?... Weetje Wiskunetaal schaal en gelijkvormige figuren De schaal is e verhouing tussen e afmetingen van het moel en e afmetingen van het oject. Figuren ie op schaal geteken zijn (vergroot of verklein) zijn gelijkvormige figuren. figuur f ~ figuur g lees je als: figuur f is gelijkvormig met figuur g figuur f ~ figuur g fig. f fig. g Gelijkvormige veelhoeken H E 37 D 3 cm ,5 cm F 26 2 cm 10 cm 7 cm 26 B 6 cm 4 cm G 44 6 cm 99 I A 36 3 cm 118 C 62 evenreigheen en gelijkvormige figuren

23 Welke riehoek is een schaalmoel van riehoek ABC?... Welke riehoek is gelijkvormig met riehoek ABC?... In e riehoeken kregen e overeenkomstige zijen ezelfe kleur. Noteer voor ΔABC en ΔDEF e rie verhouingen van e maatgetallen van e overeenkomstige zijen. Wat stel je vast? 3 1,5 = 4 2 = 6 3 = 2 De verhouingen zijn gelijk Wat kun je esluiten over e overeenkomstige zijen in eze twee gelijkvormige riehoeken? De zijen zijn evenreig.... Noteer e rie verhouingen van e maatgetallen van e zijen van ΔDEF en ΔGHI. Wat stel je vast? 1, De verhouingen zijn niet gelijk. riehoek DEF ΔABC ~ ΔDEF In e riehoeken ABC en DEF noem je en overeenkomstige hoeken. Dui in e gelijkvormige riehoeken e overeenkomstige hoeken aan met gelijke merktekens. Vergelijk e overeenkomstige hoeken in e riehoeken. Wat stel je vast? In e gelijkvormige riehoeken zijn e overeenkomstige hoeken even groot.... Definitie gelijkvormige veelhoeken Twee veelhoeken zijn gelijkvormig als en slechts als e overeenkomstige hoeken even groot zijn en e lengte van e overeenkomstige zijen evenreig. De constante f is een gelijkvormigheisfactor (vergrotings-verkleiningsfactor). vierhoek ABCD ~ vierhoek KLMN =, =, =, = AB KL = BC LM = CD MN = DA NK = f A 2,7 cm 45 ΔABC ~ ΔDEF = = 45 = = 108 = = 27 6 cm 0,9 cm 4,5 cm 1,5 cm D 2 cm F verkleining B f = 1/3 vergroting 108 f = 3 E 27 C De overeenkomstige hoeken zijn en, en, en, en. De overeenkomstige zijen zijn [AB] en [KL], [BC] en [LM], [CD] en [MN], [DA] en [NK]. vergroting: 6 2 = 2,7 0,9 = 4,5 1,5 = f = 3 1 verkleining: 2 6 = 0,9 2,7 = 1,5 4,5 = f =

24 G16 Gelijkvormige figuren (vervolg) Oefeningen Kleur e gelijkvormige riehoeken in ezelfe kleur Juist of fout? Verklaar. a Figuur 1 en figuur 2 zijn gelijkvormig, want e overeenkomstige hoeken zijn even groot. figuur 1 figuur 2 Fout, e lengten van e overeenkomstige zijen zijn niet evenreig. Vierhoek ABCD is gelijkvormig met vierhoek KLMN want e overeenkomstige zijen zijn evenreig. A 2 cm B 2 cm 2,5 cm K C 3,5 cm D 1 cm N 1 cm L 1,25 cm 1,75 cm M Fout, e overeenkomstige hoeken zijn niet even groot. 64 evenreigheen en gelijkvormige figuren

25 20 ΔXYZ ~ ΔX Y Z a Bereken e gevraage lengte. Kleur eerst e overeenkomstige zijen in ezelfe kleur. 2 Y 3 2 Y X Z 5? 5 = 3 x 2 x = 5 3 2x = 15 x = 15 : 2 x = 7, MEER? X Z ΔCDE ~ ΔCAB c Bereken e gevraage grootte van e hoek. Kleur eerst e overeenkomstige hoeken in ezelfe kleur. A? D? E 1 = = 70 (E en E 1 : nevenhoeken)... B = E 1 = 70 (overeenkomstige hoeken)... D = = 60 (Eig.: som van e hoeken in... een riehoek)... A = D = 60 (overeenkomstige hoeken)... C E B 21 In Brussel vin je Mini-Europa, één van e mooiste miniatuur parken van Europa. Alle monumenten weren tot in etail nageouw op schaal 1/25. De miniaturen zijn perfect gelijkvormig aan e originele monumenten De Eiffeltoren in Parijs is (zoner e tv-antenne) 300 meter hoog. Hoe hoog is e miniatuurversie in Mini-Europa? Geef e erekening en het resultaat = x x = x = 300 x = 300 : 25 x = 12 In Mini-Europa is e replica 12 m hoog Wat moet je kunnen? gelijkvormige figuren herkennen het veran leggen tussen gelijkvormighei en schaal 65

26 G17 Gelijkvormige figuren, lengte, omtrek en oppervlakte Op verkenning In een klaslokaal liggen twee soorten vierkanten tegels: lauwe en grijze. Zijn eze twee soorten tegels gelijkvormig? Vul aan: grijze tegel... ~ lauwe tegel Wat kun je zeggen over e lengte van e zije van een grijze tegel ten opzichte van e lengte van e zije van een lauwe tegel? De lengte is 3 keer groter De vergrotingsfactor is... Wat kun je zeggen over e omtrek van een grijze tegel ten opzichte van e omtrek van een lauwe tegel? De omtrek van een grijze tegel is het rievou van e omtrek van een lauwe tegel. 3 3 De vergrotingsfactor is..., e omtrek vergroot met factor... Wat kun je zeggen over e oppervlakte van een grijze tegel ten opzichte van e oppervlakte van een lauwe tegel? De oppervlakte van een grijze tegel is negen keer zo groot, als een lauwe tegel. 3 9 (= 3 2 ) De vergrotingsfactor is..., maar e oppervlakte vergroot met factor... In e figuur stelt elk ruitje een vierkant voor met zije 1 cm. Bereken: e omtrek van e veelhoek:... e omtrek van e cirkel: cm 7 cm 2 2 cm cm 2 e oppervlakte van e veelhoek:... e oppervlakte van e cirkel:... 1 e oppervlakte van e riehoek:... 2 cm2 Teken een gelijkvormige figuur. Neem als vergrotingsfactor 2. Bereken in e oor jou getekene figuur: e omtrek van e veelhoek:... e omtrek van e cirkel:... Met welke factor is: 28 cm 28 cm 2 4 cm 4 cm 2 e oppervlakte van e veelhoek:... e oppervlakte van e cirkel:... e oppervlakte van e riehoek:... met factor 2 met factor 4 e omtrek telkens vergroot (hoe verhouen zich e omtrekken)?... e oppervlakte telkens vergroot (hoe verhouen zich e oppervlakten)?... Vul aan. Als in gelijkvormige figuren een lengte wort vermenigvulig met een factor f an wort e omtrek f f 2 vermenigvulig met een factor... en e oppervlakte vermenigvulig met een factor... 2 cm 2 66 evenreigheen en gelijkvormige figuren

27 Eigenschappen - Eigenschappen van gelijkvormige figuren In gelijkvormige figuren verhouen e lengten zich als e gelijkvormigheisfactor f; figuur 2 ~ figuur 1 EF AB = f EF = f AB figuur 2 ~ figuur 1: EF AB = 3 EF = 3 AB verhouen e omtrekken zich als e gelijkvormigheisfactor f; figuur 2 ~ figuur 1 omtrek fig2 omtrek fig1 = f omtrek fig2 = f omtrek fig1 omtrek fig2 = 3 of omtrek fig2 = 3 omtrek fig1 omtrek fig1 verhouen e oppervlakten zich als het kwaraat van e gelijkvormigheisfactor: f². figuur 2 ~ figuur 1 opp fig2 opp fig1 = f 2 oppervlakte figuur 2 = 2 f oppervlakte figuur 1 opp fig2 opp fig1 = 3 2 = 9 opp. fig2 = 9 opp. fig1 A D f=3 B fig 1 C E H F fig 2 G Oefeningen 22 Vul e tael in. 285 lengte zije vierkant (in cm) MEER? omtrek vierkant (in cm) a c oppervlakte vierkant (in cm²) Wat geeurt er met e omtrek van een vierkant als e lengte van een zije veruelt? De omtrek wort 2 keer groter Wat geeurt er met e oppervlakte van een vierkant als e lengte van een zije veruelt? De oppervlakte wort vier keer groter. Wat geeurt er met e oppervlakte van een vierkant als e lengte van een zije 100 ( 10 2 ) keer groter wort? De oppervlakte wort (10 2 ) 2 = 10 4 = keer groter. Wat moet je kunnen? het veran leggen tussen gelijkvormige figuren en het egrip schaal verwooren wanneer figuren gelijkvormig zijn in symolen noteren wanneer figuren gelijkvormig zijn verwooren wat er geeurt met e lengte, e omtrek en e oppervlakte van gelijkvormige figuren 67

28 Prolemsolving 23 Michel krijgt wiskuneoefeningen als huistaak. Hij heeft e helft van e oefeningen gemaakt tijens e les en nog rie tijens e avonstuie. Thuisgekomen heeft hij nog een ere van e overgeleven oefeningen gemaakt. Vier oefeningen zijn niet afgewerkt. Hoeveel oefeningen n heeft hij in het totaal als huistaak gekregen? x is het aantal oefeningen als huistaak. 1 2 x ( x ) + 4 = x ( 1 2 x x 1 6 x ) = 6x... Hij kreeg 18 oefeningen als huistaak.... 3x x x = 6x 24 De klas van Thijs maakt een schooluitstap. Als elke leerling 24 euro etaalt, an is er een tekort van 18 euro. Als elke leerling 26 euro etaalt, an is er 12 euro over. Hoeveel euro moet elke leerling etalen om precies uit te komen? x: aantal leerlingen 24x + 18 = 26x 12 2x = = 30 x = 30 : ( 2) x = 15 3x + 2x x 6x = x = 36 x = 36 2 = = = : 15 = 25,2 Elke leerling moet 25,2 euro etalen. 25 In e tael is e eerste rij egonnen met e getallen 10 en 4. In elke volgene rij staat links e som van e twee getallen eroven en rechts staat het verschil van e twee getallen eroven. Op e viere rij staan 28 en 12. Wat is het grootste van e twee getallen op e eerste rij van e tael van Kara als je weet at op haar viere rij e getallen 96 en 64 staan? In e tweee rij zijn e getallen telkens e helft van e getallen in e... viere rij. Kijk goe naar e tael. In e ere rij is het linkergetal e... helft van e som in e viere rij en het rechtergetal e helft van het... verschil in e viere rij. In e eerste rij zijn e getallen telkens e helft... van e getallen in e ere rij. Zo krijg je volgene tael.... : : 2 : : 2 26 Er staan enkele paaltjes achter in e tuin. Daarop zitten koolmeesjes, één per paaltje, maar voor één koolmeesje is er helaas geen paaltje. Een tijje later zitten ezelfe koolmeesjes in tweetallen op e paaltjes. Nu is er één paaltje vrij. Hoeveel paaltjes staan achter in e tuin? x + 1 = 2(x 1) x + 1 = 2x 2 x 2x = 2 1 x = 3 x is het aantal paaltjes. x = 3 Er staan 3 paaltjes in e tuin. 68 prolemsolving