Toegepast Rekenen Theorie:

Transcriptie

1 Toegepast Rekenen Theorie: Hfst 1: Rekenen De volgorde van de basisbewerkingen is: Eerst tussen haakjes Daarna de volgorde volgens het ezelsbruggetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord - Machtsverheffen - Vermenigvuldigen - Delen - Worteltrekken - Optellen - Aftrekken Wanneer je een negatief getal van een getal moet aftrekken, kun je de 2 mintekens vervangen door 1 plusteken: = = 10 Ook wanneer je 2 negatieve getallen met elkaar moet vermenigvuldigen, mag je de 2 mintekens wegstrepen: -2 x -6 = 2 x 6 = & 1.4: Breuken: Een breuk bestaat uit 2 delen, boven de breukstreep: teller. onder de breukstreep: noemer Gelijknamige breuken zijn breuken die dezelfde noemer hebben. Wanneer breuken dezelfde noemer hebben, kun je bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken. Bij optellen en aftrekken tel je alleen de tellers bij elkaar om en af, de noemer blijft hetzelfde. Wanneer de breuken niet gelijknamig zijn, kun je dit doen door de teller en noemer van 1 breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. Breuken moet je altijd zo veel mogelijk vereenvoudigen = 10 = = = 9 : 2 x 3 Bij vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de tellers met elkaar en vermenigvuldig je de noemers met elkaar. Bij delen, draai je 1 van de breuken om, en vermenigvuldig je de breuken met elkaar x 3 = 15 5 : 3 = 5 x 2 = 10 = 5 1.5: Afronden Afronden doe je altijd op het dichtstbijzijnde getal, als het getal in het midden ligt rond je af naar boven 3,210 = 3 3,5 = 4 3,468 = 3

2 Hfst 2: Algebra 2.1: Haakjes wegwerken: Bij algebra ga je rekenen met letters. Één van de dingen die je moet kunnen is haakjes wegwerken. Alle termen die binnen de haakjes staan, moet je vermenigvuldigen met de term voor de haakjes. Wanneer er alleen een minteken staat, betekent dat -1. Het kan zijn dat er voor de haakjes een andere som tussen haakjes staat, dan moet je alle termen met elkaar apart vermenigvuldigen. 5 (a + 3) = 5 x a + 5 x 3 = 5a + 15 (2 + a)(3 + b) = 2x3 + 2xb + ax3 + axb = 6 + 2b + 3a + ab Met opmaak: Centreren 2.2: Ontbinden in factoren Bij ontbinden in factoren ga je het tegenovergestelde doen van haakjes wegwerken. Het gaat er om dat je gaat rekenen met zo klein mogelijke getallen. Dit kun je doen door 2 factoren van een som te delen door hetzelfde getal, dat plaats je tussen haakjes met daarvoor het getal waardoor je het hebt gedeelt -3a + 12b = -3(a - 4b) 2p 2 + 6p = 2p(p + 3) 2.3, 2.4 & 2.5: Vergelijkingen: Er zijn problemen die op te lossen zijn door een vergelijking op te stellen met de gegevens van het probleem. De vergelijkingen los je op door aan beide kanten van de = hetzelfde op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen of te delen. Uiteindelijk moet je aan 1 kant van de formule 1 x overhouden en aan de andere zijde alleen een getal. Een speciale vergelijking is die voor de break-even. Bij break-even zijn de opbrengsten precies gelijk aan de kosten van een bedrijf. Er wordt zo geen winst en geen verlies gemaakt. De uitkomst van de vergelijking geeft aan hoeveel producten er verkocht moeten worden, of hoeveel euro de omzet moet bedragen om break-even te behalen. 2x 12 = -2x (x + 2) = 2x x + 2x Haakjes wegwerken 4x 12 = 28 3x + 6 = 2x x -2x 4x = 40 x + 6 = - 12 :4 : x = 10 x = : Ongelijkheden Ongelijkheden zijn ongeveer hetzelfde als vergelijkheden, alleen is er in plaats van een =, een groter dan of kleiner dan teken staat. Let er wel op dat wanneer je door een negatief getal deelt of vermenigvuldigd, dat het teken dan omdraait. -2x > 5 : -2 : -2 x < 2,5

3 2.7: Tweedegraads vergelijkingen: Wanneer er in een vergelijking ook met machten wordt gewerkt, spreek je van tweedegraads vergelijkingen. Er zijn 3 manieren waarop je deze kunt oplossen: 1) Je gaat te werk zoals bij een eerstegraads vergelijking: x = x 2 + x - x 2 = - x 2 4 = x 2) Je vereenvoudigd de opdracht tot een som tussen haakjes. Dat doe je zo: a. Je vereenvoudigt de som naar de standaardformule: ax 2 + bx + c = 0. De rode letters moeten worden vervangen door cijfers. b. De som tussen haken wordt: (x + y)(x + z) = 0. Hierbij geldt dat: y + z = b en y x z = c c. Tenminste 1 van de twee delen tussen haakjes, moet gelijk zijn aan 0. De waarde van x bereken je door de haakjes weg te werken d. Vervolgens controleer je de uitkomsten door ze in te vullen in de formule Voorbeeld x 2 + 4x = 5 x 2 + 4x -5 = 0 (x + 5)(x - 1) = 0 (want = 4 en 5 x -1 = -5) (x + 5) = 0 of (x - 1) = 0 x = -5 of x = 1 Controle: (-5) 2 + 4x-5 = = 5, dus klopt x1 = = 5, dus klopt 3) Je gebruikt de abc-formule: a. Je gaat weer uit van de standaardformule: ax 2 + bx + c = 0. Je gaat de discriminant D berekenen, met de volgende formule: D = b 2 4ac Wanneer D negatief is, zijn er geen oplossingen. Bij D = 0 is er 1 oplossing, als D positief is, zijn er twee oplossingen. b. Vervolgens bereken je x met de formules: x = -b + D x = -b - D 2 a of 2 a c. Ten slotte voer je de controle uit door x in te vullen. 4x x = -9 4x x + 9 = 0 D = x 4 x 9 = = 0 D = 0, dus maar 1 oplossing, dus hoef je maar 1 van de formules in te vullen: x = x 4 = 8 = - 1,5 Controle: 4 x (-1,5) x -1,5 = -9 4 x 2,25 18 = = -9, dus klopt

4 Hfst 3: Lijnen 3.1 & 3.2: Vergelijking & Richtingscoëfficiënt Van een eerstegraads vergelijking kun je een lineaire grafiek maken, een rechte lijn. De formule van de grafiek is altijd: y = ax + b Het punt waar de grafiek de verticale as snijdt is bij de coördinaten (0, b) De richtingscoëfficiënt geeft aan hoe stijl de lijn loopt, die is gelijk aan a. Je kunt de richtingscoëfficiënt zelf berekenen met de formule: verandering verticaal. verandering horizontaal 3.3: Twee vergelijkingen met twee onbekenden Van 2 lineaire functies kun je het snijpunt bepalen. Dat kan op 2 manieren: Eliminatiemethode: a) Je zet de twee formules onder elkaar b) Je vermenigvuldigt één of allebei de formules met een getal, zodat het getal voor x of y bij de 2 formules gelijk is. c) Vervolgens ga je de twee formules van elkaar aftrekken. d) Nu je x of y hebt, kun je die waarde in één van de formules invullen om de andere waarde te berekenen. e) De x en y die je hebt gevonden zijn de coördinaten van het kruispunt. 2x + 3y = 12 x3 6x + 9y = 36 3x 2y = 5 x2 6x 4y = 10 13y = 26 dus y = 2 2x + 3 x 2 = 12 2x + 6 = 12 2x = 6 x = 3, dus de coördinaten zijn (3, 2) Substitutiemethode: a) Je maakt in één van de formules de x vrij. b) In de andere formule vervang je de x door de uitkomst van a. c) Je kunt de formule vervolgens uitwerken om y te vinden. d) Door y in te vullen, kun je vervolgens x vinden. De formules zijn: 2x + 3y = 12 en 3x 2y = 5 x vrijmaken: 2x = 12 3y x = 6 1,5y x invullen: 3x 2y = 5 3(6-1,5y) 2y = 5 Uitwerken: 18 4,5y 2y = ,5y = 5-6,5 y = -13 y = 2 y invullen: 2x + 3 x 2 = 12 2x + 6 = 12 2x = 6 x = 3 Coördinaten van het snijpunt zijn dus (3, 2)

5 Hfst 4: Functies 4.3: Tweedegraads functies Tweedegraads functies hebben een minimum of maximum, een punt waar de grafiek niet boven of onder komt. Deze kun je op 2 manieren vinden: a) Afgeleide: Het getal dat voor de letter x staat vermenigvuldig je met de macht die x heeft. Wanneer er geen x achter het getal staat valt deze weg. Wanneer x geen macht heeft, vermenigvuldig je met 1. Vervolgens haal je 1 van de waarde van de macht af. Als je wilt weten of de grafiek een minimum of maximum heeft, kun je de grafiek voor een deel tekenen. Je kunt het ook zien aan het getal dat voor de x 2 staat: wanneer deze negatief is, heb je met een maximum te maken. Wanneer deze positief is heb je met een minimum te maken. ` Vervolgens stel je de formule gelijk aan 0 en los je deze op totdat je weet wat x is. Deze kun je invullen om de coördinaten te vinden. Y = 0,5X 2 3X + 7 afgeleide = y = (0,5 x 2)X (-3 x 1) y = 2X -3 = 0 2x = 3 x = 1,5 invullen: y = 0,5 (1,5) 2 3 x 1,5 + 7 y = 0,5 x 2,25 4,5 + 7 y = 1, ,5 y = 3,625 coördinaten: (1,5 ; 3,625) b) Symmetrieas: Als je bij y 0 invult, kom je te weten bij welke x-waarden de lijn de x-as snijdt. Het gemiddelde van die 2 waarden is de symmetrie as, op die as ligt ook de top. Door die x-waarde in de formule weer in te vullen, weet je de y- waarde van de top. Y = -0,5X 2 - X = -0,5X 2 - X = X 2 + 2X 24 0 = (x 4)(x + 6) (x 4) = 0 of (x + 6) = 0 x = 4 of x = -6 Symmetrieas: x = (4 6) : 2 = -1 Y = -0,5 (-1) 2 (-1) + 12 Y = -0,5 x Y = -0, Y = 12,5 Coordinaten: (-1 ; 12,5)

6 Hfst 6: Procenten 6.1 & 6.2: Procenten Getallen kun je op verschillende manieren worden weergegeven: absoluut: in aantallen relatief: in verhoudingen, voorbeelden zijn: o procenten: 1% is het 100 ste deel van een geheel. o promille: 1 is het 1000 ste deel van het geheel. cumulatief: je telt de hoeveelheid op bij alle voorgaande hoeveelheden. Van 250 mensen zijn de inkomens met elkaar vergeleken en vervolgens verdeelt over 3 groepen. Daar kun je vervolgens van berekenen welk percentage een laag, gemiddeld of hoog inkomen heeft: inkomen aantal mensen cumulatief percentage cumulatief tot , / 250 * 100% = 48% 48% , , = / 250 * 100% = 32% 48% + 32% = 80% meer dan , = / 250 * 100% = 20% 80% + 20% = 100% 6.3 & 6.4: BTW & Marges Wanneer je met BTW gaat rekenen, moet je altijd er van uitgaan dat de prijs zonder BTW 100% is. Van producten kun je ook de marge berekenen, dat is het verschil tussen inkoopprijs excl. btw en de verkoopprijs excl. btw. Vaak druk je de marge uit in een percentage van de inkoopprijs excl. btw. Inkoopprijs excl. btw 80,- Verkoopprijs incl. btw = 238,- Winstmarge = 25% Verkoopprijs excl. btw = 238,- / 1,19 = 200,- Verkoopprijs excl. btw = 80 x 1,25 = 100,- winstmarge = 25% Verkoopprijs incl. btw = 100 x 1,19 = 119,- inkoopprijs excl. btw = 200,- / 1,25 = 160,- 6.5: Procentuele verandering Wanneer je een absolute prijsverandering moet geven, doe je dat in euro s. Dit verschil bereken je door de som: nieuwe prijs - oude prijs = absolute prijsverandering Wanneer je relatieve prijsverandering moet geven, is dat in procenten. Dit verschil bereken je door de som: nieuwe prijs oude prijs oude prijs x 100 % = relatieve prijsverandering Een product is van 80,- naar 65,- afgeprijsd. De absolute prijsverandering is dan: 65,- - 80,- = - 15, goedkoper geworden De relatieve prijsverandering is dan: 65,- - 80,- 80,- x 100% = 18,75% in prijs verlaagd

7 6.6: Prijselasticiteit De elasticiteit van een product geeft aan hoeveel de afzet verandert naar aanleiding van een prijsverandering. De formule om deze te bereken is: nieuwe vraag oude vraag % verandering van de vraag. oude vraag x 100 % Elasticiteit = % verandering van de prijs = nieuwe prijs oude prijs oude prijs x 100 % Aan de hand van de uitkomst kun je zeggen: o Tussen -1 en 1: inelastisch: de oorzaak is groter dan het gevolg, dus de afzet verandering is groter dan de prijsverandering. De omzet zal dan stijgen door een prijsverandering. o Kleiner dan -1 / groter dan 1: elastisch: het gevolg is dan groter dan de oorzaak, dus de afzet verandering is kleiner dan de prijsverandering. De omzet zal dan stijgen door een prijsverandering. Wanneer een fabrikant zijn prijzen met 10% verlaagt, zal de afzet met 12% stijgen. Elasticiteit = 12% / -10% = -1,2, dat is kleiner dan -1, dus het product is elastisch. Dat betekent dat deze prijs verlaging zal zorgen voor een omzet stijging. Als de prijzen van 10 naar 12 euro stijgen, daalt de afzet van 500 producten naar 400: [( )/500x100%] / [(14-10)/10*100%] = -20 / 40 = -0,5, dus is het inelastisch. 6.7: Kruislingse Prijselasticiteit Je kunt dezelfde berekeningen ook doen door te kijken wat er met de afzet gebeurt als een ander product zijn prijzen verhoogt of verlaagt. Dit cijfer heet het kruislingse prijselasticiteitscijfer. Dit cijfer geeft aan: positief cijfer: substitutiegoed: voor de consument zijn de producten inwisselbaar. Als bijvoorbeeld Pepsi-cola zijn prijzen verlaagd, zal de omzet van coca-cola dalen. negatief cijfer: complementair goed: voor de consumenten zijn de producten aanvullend. Als bijvoorbeeld de prijs van sigaretten vloeitjes erg omlaag gaat, zal de afzet van de shag toenemen. cijfer = 0: neutraal goed: andere producten hebben dan geen invloed op de afzet. 6.8: Inkomenselasticiteit Als je in plaats van een prijsverandering, een inkomensverandering neemt, kun je de inkomenselasticiteit berekenen. Het cijfer kan zijn: negatief: inferieur goed: een prijsverandering heeft geen invloed. Dit is bijvoorbeeld bij brood, dat wordt ongeacht de prijs toch gekocht. tussen 0 en 1: noodzakelijk product : producten waarvan de afzet net zo sterk varieert als de inkomensverandering. groter dan 1: luxe goederen: deze producten zijn sterk afhankelijk van een inkomensverandering. Plasma tv s bijvoorbeeld worden in tijden van crisis veel minder verkocht.

8 7.1: Kengetallen Hfst 7: Kengetallen Omloopsnelheid: hoe vaak een product in een periode gebruikt wordt. Dit bereken je door de jaaromzet te delen door de gemiddelde voorraadwaarde. Op beginvoorraad is 4.000,-, de eindvoorraad is 6.000,-. De omzet = ,- gemiddelde voorraad = ( 4.000, ,-) / 2 = 5.000,- omloopsnelheid = ,- / 5.000,- = 6,5 Staatsschuldquote: de verhouding tussen de staatsschuld en het Bruto Buitenlands Product. De formule hiervoor is: staatsschuld / BBP Staatsschuld = 280 miljard, BBP = 400 miljard, staatsschuldquote = 280 / 400 = 0,7 I/a-ratio: de verhouding tussen het aantal inactieven en actieven mensen. Dit cijfer heeft te maken met de werkeloosheid in een land. inactieven = 2 miljoen, actieven = 5 miljoen, i/a-ratio = 2 / 5 = 0,4 7.2: Activiteitskengetallen Het Dupont schema is een schema waarin is weergegeven hoe bepaalde financiële gegevens kunnen worden berekend met behulp van andere cijfers. Belangrijke formules zijn: Totaal vermogen = vlottende activa + vaste activa Omloopsnelheid Totaal Vermogen = omzet / totaal vermogen Bedrijfsresultaat = omzet kosten Bruto winstmarge = bedrijfsresultaat : omzet Rentabiliteit Totaal Vermogen = Omloopsnelheid Totaal Vermogen / Bruto winstmarge Gegevens: Vlottende Activa = ,- Vaste Activa = ,- Omzet = ,- Bedrijfsresultaat = ,- Totaal vermogen = vlottende activa + vaste activa = , ,- = ,- Omloopsnelheid Totaal Vermogen = ,- / ,- = 0,44 Bruto winstmarge = ,- / ,- = 0,25 Rentabiliteit Totaal Vermogen = 0,44 x 0,25 = 0,11

9 7.3: Distributie kengetallen Belangrijke formules over distributie zijn: Numerieke distributie = verhouding winkels dat jouw merk verkoopt = alle vestigingen / vestigingen met jou merk Gewogen distributie = verhouding distributie winkels met jouw merk = totale omzet / omzet winkels met jouw merk (en evt. andere merken) Selectie indicator = gewogen distributie / numerieke distributie Marktaandeel = omzet jouw merk / Totale omzet (ook winkels die jouw merk niet verkopen)x100% Omzetaandeel = omzet jouw merk / Totale omzet winkels met jouw merk x100% Voordeel: In Nederland zijn er 8000 televisie verkopende winkels, die samen en omzet hebben van 750 miljoen. Van deze winkels verkopen er 2000 winkels het merk X. Deze winkels maken 150 miljoen, waarvan 100 miljoen door merk X en 50 miljoen door andere merken. Bereken de numerieke distributie, gewogen distributie, selectie indicator, marktaandeel en het omzetaandeel. Numerieke distributie = 2000 / 8000 = 0,25 Gewogen distributie = 150 / 750 = 0,20 Selectie indicator = 0,20 / 0,25 = 0,8 Marktaandeel = 100 / 750 x 100% = 13,3% Omzetaandeel = 100 / 150 X 100% = 66,7% 7.4 & 7.5: Prijsindexcijfers Indexcijfers geven overzichtelijk weer hoe bepaalde gegevens zich hebben veranderd. De verandering worden altijd bekeken in verhouding tot het basisjaar: in dit jaar wordt is het indexcijfer altijd 100. Een indexcijfer bereken je door: nieuwe waarde / oude waarde x 100. basisjaar = 2002 jaar aantal werklozen indexcijfer 4500 / 5000 x 100 = / 5000 x 100 = /5000x100=102 Een meervoudig indexcijfer ontstaat wanneer je twee indexcijfers op elkaar deelt. Dit doe je bijvoorbeeld bij het berekenen van het indexcijfer reëel inkomen: indexcijfer nominaal inkomen / prijsindexcijfer x 100 het nominaal inkomen is gestegen van 108 miljard, naar 112 miljard. Het prijsindexcijfer van datzelfde jaar is 103. Het indexcijfer reëel inkomen is: indexcijfer nominaal inkomen = 114 / 108 x 100 = 105,6 indexcijfer reëel inkomen = 105,6 / 103 x 100 = 102,5 Bij een gewogen samengesteld indexcijfer is er een totaal waarbij verschillende indexcijfer een verschillende weging hebben in dat totaal. Prijsindexcijfer voeding = 120, bedraagt 50% van alle uitgaven Prijsindexcijfer kleding = 105, bedraagt 30% van alle uitgaven Prijsindexcijfer overig = 95, bedraagt 20% van alle uitgaven Samengesteld indexcijfer = (120 x x x 20) / 100 = 110,5

10 Hfst 8: Interestberekening 8.1: Rekenkundige Reeksen Een rekenkundige reeks is een serie getallen waarvan elk getal gelijk is aan het vorige getal, plus een constant verschil, zoals de reeks: 3, 6, 9, 12, 15, 18, etc. Dat vaste verschil drukken we uit in v. De waarde van een getal in de serie bereken je door de formule: getal n = eerste getal + (n 1) x v De som van alle getallen in een reeks bereken je met de formule: som = ½ x aantal x (eerste getal + laatste getal) Bereken het 12 de getal in de serie 5,7,9,11, etc. g 12 = 5 + (12 1) x 2 = x 2 = = 27 Bereken de som van de reeks: 6,11,16,21,26,31,36,41,46,51,56,61. som = ½ x 12 x (6 + 61) = 6 x 67 = : Meetkundige Reeksen Bij een meetkundige reeks is een getal gelijk aan het vorige getal, vermenigvuldigd met een constant getal, uitgedrukt in r. De waarde van een getal bereken je met de formule: getal n = eerste getal x r n-1 Als je aan moet tonen of de groeifactor constant is, moet je een aantal getallen delen door het voorgaande getal. Wanneer de uitkomst telkens ongeveer gelijk is, is de groeifactor constant. De som van een meetkundige reeks bereken je met de formule: som = eerste getal x (1 r n ) / (1 r) Bereken het 7 de getal in een serie die begint met 3 met r = 3 g 7 = 3 x = 3 x 3 6 = 3 x 729 = Bereken de som van de serie: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 som = 2 x (1 2 7 ) / (1 2) = 2 x (1-128) / (-1) = -2 x (-127) = 254 Is in de volgende reeks sprake van een constante groeifactor?: 122, 263, 480, : 122 = 2, : 263 = 1, : 480 = 2,11 De groeifactor is dus niet constant. 8.3: Enkelvoudige Interest Enkelvoudige interest is interest die je ontvangt over het beginbedrag: Interest = beginkapitaal x rentepercentage / 100 x tijd Over een bedrag van 2500,- ontvang je gedurende 5 jaar 2% enkelvoudige interest, dat is: 2500,- x 2 / 100 x 5 = 350,- in totaal

11 8.4, 8.5 & 8.6: Samengestelde Interest Wanneer je ook interest ontvangt over de eerder ontvangen interest, spreekje van samengestelde interest. De eindwaarde van een bedrag bereken je met de formule: aantal jaren Eindwaarde = beginkapitaal x groeifactor Groeifactor = rentepercentage / % rente groeifactor = 1,05 Wanneer je ieder jaar een vast bedrag stort, gebruik je de volgende formule: Eindwaarde = 1 groeifactor perioden jaarlijks bedrag x groeifactor x 1 - groeifactor Andersom kan ook: als je de eindwaarde weet van een eenmalige storting, kun je ook de contante waarde (beginwaarde) berekenen: aantal jaren Contante waarde = Eindbedrag / (groeifactor) Ook de contante waarde van meerdere stortingen kan worden berekend: 1 groeifactor - perioden Contante waarde = jaarlijks bedrag x groeifactor - 1 Een bedrag dat nu 520,- waard is, is 3 jaar geleden tegen 2% interest op een rekening gezet contante waarde = 520,- / 1,02 3 = 489,64 Als je jaarlijks 200,- stort, gedurende 5 jaar, met een rentepercentage van 3%: eindwaarde = 1 1, ,- x 1,03 x 1 1,03 = 1093,68 8.7: Annuïteit Leningen kunnen ook worden afgelost door annuïteiten: een bedrag dat iedere maand of jaar gelijk is. Dit bedrag bestaat uit de aflossing en de interest. Om het maandelijks bedrag te berekenen gebruik je de formule van de contante waarde met meerdere stortingen. Je leent ,- (=contante waarde) voor 20 jaar. De interest bedraagt 4%. 1 1, ,- = jaarlijks bedrag x 1 1, ,- = jaarlijks bedrag x 13, ,- / 13,590 = jaarlijks bedrag ,35 = jaarlijks bedrag = annuïteit Dit bedrag kun je nog opsplitsen in rente en aflossing, deze verhouding is wel ieder jaar anders en zul je dus ieder jaar apart moeten berekenen: In het eerste jaar: Nog af te lossen = ,- interest = ,- * 0,04 = 8.000,- aflossing = , ,- = 6.716,35 In het tweede jaar: Nog af te lossen = , ,35 = ,65 interest = ,65 * 0,04 = 7.731,35 aflossing = , ,35 = 6.985,- In het derde jaar: Nog af te lossen = , ,- = ,65 interest = ,65 * 0,04 = 7.451,95 aflossing = , ,95 = 7.264,40 etc