In onderling verband en in samenhang bezien

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "In onderling verband en in samenhang bezien"

Transcriptie

1 Frans Alkemade en Harry Stikkelbroeck Dr. F. Alkemade werkt als cursusdocent voor de SSR en treedt af en toe op als Bayesiaans deskundige in strafzaken. Ook is hij fysicus en als atmosfeeronderzoeker verbonden geweest aan onder andere RIVM, KNMI, Universiteit Utrecht en SRON. Mr. H.G.W. Stikkelbroeck werkt als senior raadsheer bij het hof Arnhem-Leeuwarden. 285 Een praktische uitleg van een Bayesiaanse aanpak in het strafrecht In onderling verband en in samenhang bezien Deel 1: Het vaststellen van de bewijskracht van bevindingen en de regel van Bayes Al geruime tijd wordt geschreven over de toepasbaarheid van het Bayesiaans denken in het strafrecht. Desondanks wordt de methodiek van Bayes in de Nederlandse rechtspraak slechts zelden gebruikt. Het systematisch berekenen of inschatten en vervolgens correct combineren van de afzonderlijke bewijskrachten van verschillende bewijsmiddelen is niet iets waar onze magistraten warm voor lopen. Met mogelijk gerechtelijke dwalingen tot gevolg. Dit tweeluik is vooral een pleidooi voor meer educatie op het gebied van de Bayesiaanse methodiek en voor toepassing daarvan in het strafrecht. In dit eerste deel wordt de essentie van de methodiek uitgelegd. Het tweede deel, dat zal verschijnen in Trema 2015, nr. 10, gaat over de praktische toepasbaarheid en hoe met de methode kan worden gekomen tot een zo goed mogelijke strafrechtelijke waarheidsvinding. November 2015

2 286 Wie de gerechtelijke dwalingen van de laatste decennia analyseert (en daarmee bedoelen we zowel het veroordelen van onschuldigen als het onterecht vrijspreken van daders), kan volgens ons vaak twee soorten oorzaken zien waarom het mis ging. Er waren vaak cognitieve instincten die het denken belemmerden, maar minstens zo belangrijk was dat aanklagers en rechters niet altijd goed in staat bleken om de diverse bevindingen in een strafzaak op hun juiste (bewijs)waarde te schatten. Sterke aanwijzingen werden als zwak gezien en vice versa. Het combineren van meerdere zwakke en/of tegenstrijdige aanwijzingen ging soms fout. Vaak werden veelzeggende coïncidenties in de feiten en omstandigheden niet als zodanig herkend of werd er omgekeerd ten onrechte gedacht: Dat kan geen toeval zijn! Dat het inschatten en combineren van bewijskrachten zo moeilijk kan zijn, heeft onder andere te maken met het feit dat er moet worden teruggeredeneerd van gevolg (bijvoorbeeld de aangetroffen plaats delict en/of andere bevindingen) naar de mogelijke oorzaak (een hypothese over de ware toedracht ). Dit terugredeneren is notoir lastig en zit vol met logische valkuilen. 1 Erger nog: de correcte uitkomst blijkt soms bijzonder contra-intuïtief. Het komt voor veel juristen als een verrassing dat een eeuwenoud logisch-wiskundig inzicht een zeer toepasselijk redeneerkader biedt voor de waarheidsvinding in het strafrecht. Deze aanpak, de Bayesiaanse methodiek, is volgens ons niet alleen het ideale mentale gereedschap voor bewijswaardering en criminologisch denken, maar blijkt ook een prima medicijn tegen verkeerde cognitieve instincten. Toch worden de Bayesiaanse principes, die volgens ons op zich goed te begrijpen en algemeen bruikbaar zijn, in de rechtspraak (nog) nauwelijks onderwezen of toegepast. Wij willen in dit tweeluik betogen dat dat onterecht is. We vragen de lezer wel in gedachten te houden dat de beperkte ruimte ons niet toestaat om een complete vergelijkende studie te maken tussen diverse methodieken voor bewijswaardering, noch om al te gedetailleerd in te gaan op de twijfels die sommige andere auteurs hebben over de toepasbaarheid van Bayes. We zullen daar kort naar verwijzen, maar we willen vooral laten zien wat Bayes inhoudt en hoe dit in de praktijk zou kunnen werken. Het komt voor veel juristen als een verrassing dat een eeuwenoud logisch-wiskundig inzicht een zeer toepasselijk redeneerkader biedt voor de waarheidsvinding in het strafrecht. verwarring over de zogenoemde prior probability, 2 en demonstreren dat de Bayesiaanse aanpak niet alleen theoretisch van belang is, maar vaak ook praktisch goed toepasbaar en soms zelfs onmisbaar om tot een goede uitspraak te komen. We zullen complete, zij het schetsmatige en versimpelde, Bayesiaanse analyses geven van twee bekende straf zaken en betogen dat het daarbij zinnig kan zijn om met getalsmatige kansinschattingen te werken, óók als daar grote onzekerheden en subjectieve elementen aan vast zitten. 1. Het Bayesiaans denken Thomas Bayes stierf in In de eeuwen daarna is over de toepassing van de Bayesiaanse methodiek op het strafrecht al veel geschreven. Ook in Nederland doen een aantal wetenschappers en auteurs al jarenlang veel moeite om de rechtspraak te doordringen van het belang van deze manier van denken. 3 Toch is een Bayesiaanse aanpak in de rechtszaal nog erg zeldzaam. Een van de oorzaken daarvan zou kunnen zijn dat de doorsnee Nederlandse strafrechter, voor zover wij dat kunnen zien, nog vooral een confirmerende aanpak hanteert. Bij een veroordeling is het cumuleren van bewijsmiddelen tot boven het wettelijk minimumbewijs immers vereist om juridisch tot een bewezenverklaring te kunnen komen. Daarmee is natuurlijk niet gezegd dat de gemiddelde rechter meent dat dit ook de ideale manier is om de bewezenverklaring te bereiken, maar een feit blijft dat het wel de meest voorkomende vorm van bewijsvoering is. Het Bayesiaans denken werkt wezenlijk anders. Het legt een intrinsieke symmetrie op tussen dader- en onschuldhypothese 4 en vergt een statistische blik op de werkelijkheid. 5 Dat is voor veel juristen onwennig. Toch zijn er bruikbare aanknopingspunten: menige bewijsoverweging bevat wel enige intuïtieve statistiek, van het kaliber dat kan geen toeval zijn of dat acht de rechtbank onaannemelijk. Daaruit zou het inzicht kunnen groeien dat veel bewijsconstructies eigenlijk statistische overwegingen impliceren. In onze ervaring 6 hebben magistraten echter maar zelden de neiging om ten behoeve van de waarheidsvinding de waarschijnlijkheid van de verschillende bewijsmiddelen ook daadwerkelijk te berekenen of numeriek in te schatten. Eerder lijken zij daarvan een afkeer te hebben. In dit eerste deel willen we de essentie van de methodiek uitleggen op een manier die voor juristen ook zonder voorafgaande kennis goed te begrijpen is. In het tweede deel, dat in het volgende nummer van Trema zal verschijnen, willen we allereerst een einde maken aan de inmiddels wijdverbreide 1 Ch. Berger, Criminalistiek is terugredeneren, NJB 2010, p Zie bijv. J. de Groot, Bayes een brug te ver?, NJB 2015, p We noemen slechts Marjan Sjerps, Richard Gill, Charles Berger, Ronald Meester, Barbara van den Berg, Ton Derksen en Aart de Vos. Ook Diederik Aben, advocaatgeneraal bij de Hoge Raad, maakt zich regelmatig sterk voor de Bayesiaanse zaak. 4 Het kan natuurlijk ook andere soorten hypotheses over de toedracht betreffen dan alleen dader- of onschuldhypotheses. 5 Met een statistische blik bedoelen we niet slechts gebaseerd op statistieken, maar meer algemeen het denken in waarschijnlijkheden. 6 Beide auteurs hebben ruime ervaring als cursusdocent bij de SSR en behandelen daarbij ook de Bayesiaanse methodiek. November 2015

3 287 In het zogenoemde Bayesiaanse ketenmodel zoals wij dat zullen presenteren, worden die impliciete waarschijnlijkheidsoverwegingen juist wél zo veel mogelijk expliciet gemaakt. Dat werkt, heel in het kort, als volgt: van elke relevante bevinding moeten Thomas Bayes. Bron: Wikipedia op grond van twee nauwkeurig gedefinieerde vragen twee kans inschattingen worden bepaald (steeds uitgaande van respectievelijk de dader- en de onschuldhypothese), de zogenoemde likelihood ratio (of LR, ook wel diagnostische waarde genoemd). De likelihood ratio is een getal. Het is de numerieke uitdrukking van de bewijskracht van de betreffende bevinding als bewijsmiddel. Dat de bewijskracht een zogenoemde dimensieloze grootheid is (er is geen eenheid aan verbonden) komt omdat de waarde van de likelihood ratio in feite uitdrukt dat de betreffende bevinding zoveel keer beter bij het ene scenario past dan bij het andere. De getalsmatige aanpak biedt in onze optiek grote voordelen. In de traditionele, cumulerende oordeelsvorming is het erg moeilijk om intuïtief aan te voelen wat de gecombineerde kracht is van een verzameling sterke en zwakke en wellicht deels tegenstrijdige bevindingen. Nog moeilijker is het de eigen (professionele) intuïtie vervolgens te expliciteren in een gezamenlijke, consensuele oordeelsvorming. In de Bayesiaanse methodiek leert de wiskunde ons wat de gecombineerde bewijskracht van de verzamelde bewijsmiddelen is: deze is (onder bepaalde voorwaarden die later nog ter sprake komen) gelijk aan het product (de vermenigvuldiging) van de afzonderlijke likelihood ratio s. Samen met de zogenoemde prior het conceptuele startpunt voor de analyse vormt dit een rationele en volgens ons optimale basis voor de waarheidsvinding. Een dergelijke aanpak komt niet alleen de transparantie van de bewijsmotivering ten goede, maar kan ook gerechtelijke dwalingen voorkomen. Een expliciete statistische evaluatie van bewijsmiddelen leidt namelijk soms tot een verrassend andere conclusie dan de gebruikelijke meer intuïtieve aanpak. Deze kan weliswaar als gezond verstand aanvoelen, maar loopt fout zodra de waarheid zelf contra-intuïtief is. Hoewel veel mensen en instituten (met name het NFI) hun best doen om praktische en begrijpelijke introducties in de Bayesiaanse methodiek te geven, 7 dreigt er toch onder de beoefenaren van de rechtspraktijk soms het idee te ontstaan dat Bayes eigenlijk te moeilijk is om in de praktijk te kunnen toepassen. 8 Wij hopen het tegendeel te bewijzen. In dit eerste deel van ons tweeluik zullen we de likelihood ratio (LR) en de rekenregel van Bayes introduceren. Ook zullen we 7 Een erg goede introductie is bijv. vervat in de inaugurele rede die Marjan Sjerps in 2011 hield, Bewijskracht 10: volle vaart recht vooruit. Deze rede is op internet makkelijk te vinden en in pdf-vorm beschikbaar. 8 Zie bijv. B. Robertson & G.A. Vignaux, Don t teach statistics to lawyers! (sic), International Conference On Teaching Statistics 1998, p of zeer recent De Groot a.w., p uitleggen waarom deze concepten volgens ons een centrale rol moeten spelen in de strafrechtelijke waarheidsvinding en waarom zonder kennis van deze rekenregel het groeiende aantal deskundigenrapporten waarin een likelihood ratio wordt gerapporteerd (dit betreft onder andere veel NFIrapporten) erg moeilijk kan worden geïnterpreteerd. 9 In een Bayesiaanse en getalsmatige aanpak is de likelihood ratio daarentegen juist een direct bruikbare bouwsteen in de bewijsvoering. In het tweede deel willen we toewerken naar complete Bayesiaanse analyses zoals die volgens ons in de praktijk van het strafrecht een rol zouden kunnen gaan spelen. Allereerst moeten we daartoe enkele misverstanden over de zogenoemde prior ophelderen en daartegenover een bruikbaar recept stellen om deze te bepalen. We zullen dit recept vervolgens toepassen op echte strafzaken en laten zien dat de Bayesiaanse aanpak in principe praktisch uitvoerbaar kan zijn en gerechtelijke dwalingen kan voorkomen. We willen daarmee op geen enkele manier suggereren dat een rechtszaak gereduceerd kan worden tot een rekensommetje of dat het analyseren van een ingewikkelde rechtszaak iets simpels zou zijn. Het binnen het ketenmodel vermenigvuldigen van likelihood ratio s die per bewijsmiddel worden bepaald mag alleen onder de voorwaarden dat alle likelihood ratio s dezelfde hypothesen beschouwen en dat ze, gegeven elk van de hypothesen, onafhankelijk van elkaar zijn (daarover later meer). Die eisen zijn niet triviaal. Over onafhankelijkheid van bevindingen moet goed en inhoudelijk worden nagedacht. Evenzo moet goed in de gaten worden gehouden wat precies de vragen zijn die we met een bepaald bewijsmiddel wel of niet kunnen beantwoorden. Er is voor forensisch bewijs een zekere hiërarchie van hypothesen bedacht, die bijvoorbeeld ook door het NFI strikt wordt gehanteerd: 1. (sub)bronniveau: hypothesen gaan over de bron van het spoor (monster); 2. activiteitniveau: hypothesen gaan over de activiteit al dan niet leidend tot sporen; 3. misdrijfniveau: hypothesen gaan over of de verdachte al dan niet de dader is. Heel veel forensisch bewijs beschouwt hypothesen op bronniveau, de stap naar activiteit- en misdrijfniveau kan daarbij soms heel groot zijn. In onze voorbeelden zullen we hieraan voorbijgaan door bijvoorbeeld simpelweg te stellen dat een bepaald spoor een daderspoor is. De voorbeeld analyses zijn schematisch en slechts bedoeld ter illustratie van de Bayesiaanse methode. Als zodanig vormen ze natuurlijk een simplificatie van de complexiteit van rechtszaken. Toch zijn ze niet betekenisloos: als logische fouten worden vermeden, kan ook een simpele analyse soms een veelzeggende onder- of bovengrens opleveren. 9 Dit is een wezenlijk probleem. Zie bijv. J.W. de Keijser et al., Bijkans begrepen? Feitelijk en vermeend begrip van forensische deskundigen rapportages onder rechters, advocaten en deskundigen, Den Haag: Boom Juridische uitgevers November 2015

4 288 Als we de hiervoor genoemde beperkingen van het Bayesiaanse ketenmodel willen opheffen, zullen we met een zogenoemd Bayesiaans netwerk moeten gaan werken. Er zijn op dit moment in Nederland veel groepen die zich met forensische statistiek en Bayesiaanse netwerken bezighouden (onder andere NFI met Marjan Sjerps en Charles Berger, de Groningse groep van Bart Verheij, de Leidse groep van Richard Gill enzovoort). Een Bayesiaans netwerk is in zekere zin de gouden standaard van de forensische bewijswaardering. Afhankelijkheden kunnen bijvoorbeeld correct in rekening worden gebracht. Maar het is wel een veel complexere techniek dan het ketenmodel en dat heeft nadelen. Vanuit de rechtspraak zal het moeilijk zijn om te begrijpen wat het netwerk precies behelst en waarom de uitkomst overtuigend zou zijn. Maar ook vanuit de wetenschap is het naar onze mening tot nu toe niet echt gelukt om complexe strafzaken bevredigend te modelleren in een Bayesiaans netwerk. Hoe het ook zij, we moeten constateren dat er in de praktijk van het strafrecht nog zeer weinig met Bayesiaanse principes wordt gewerkt. Dit vinden wij jammer, omdat er in de dagelijkse rechtspraktijk naar onze mening wel degelijk veel winst te halen is door een beter begrip van de Bayesiaanse concepten en manier van denken. In die zin zijn wij dus optimistisch over Bayes. Het moge de lezers van Trema duidelijk zijn dat anderen minder optimistisch zijn. Zie bijvoorbeeld auteurs als Henry Prakken, Jaap de Groot enzovoort. Zij zien meer heil in verhalen en/of argumentatie. Wij delen die mening niet, maar daar gaan onze artikelen nu niet over. Wij hebben twee artikelen willen schrijven die aan de lezers van Trema niet alleen een begrijpelijke kennismaking met het Bayesiaanse denken bieden, maar ook een illustratie van hoe die Bayesiaanse inzichten in echte strafzaken een rol zouden kunnen spelen. Dat en niets anders is het doel van deze stukken. We willen deze inleiding afsluiten met drie waarschuwingen. 1. De methode is wetenschappelijk, het inschatten van de getallen is dat vaak niet. Heuristiek en intuïtie zullen hier een rol moeten blijven spelen. Het Bayesiaans werken kan dan ook nooit de volledige oplossing zijn voor het moeilijke vraagstuk van de strafrechtelijke waarheidsvinding. Het is echter volgens ons wel een belangrijk hulpmiddel. 2. Niet alleen zal het, zoals gezegd, voor veel lezers erg onwennig en ongemakkelijk overkomen dat we in deze aanpak zo veel mogelijk getalsmatig gaan werken, er schuilt ook een gevaar in. Een getal kan namelijk een onterechte illusie van exactheid oproepen. De voordelen van het getalsmatig werken wegen daar volgens ons echter tegen op: door expliciet na te denken over wat je eigenlijk bedoelt als je denkt in termen als soms, zo goed als uitgesloten, veel waarschijnlijker enzovoort, ondervraag je als Hoe minder toevalligheid er nodig is om vanuit een bepaalde hypothese de waargenomen feiten te kunnen verklaren, hoe meer steun die feiten aan die hypothese bieden. het ware je eigen intuïtie en breng je expliciet in kaart wat je wel en niet weet of denkt te weten. Het getalsmatig werken moet dus niet worden gezien als een poging om valse zekerheid te creëren, maar juist als een voorzet tot gericht nadenken en (innerlijke dan wel externe) discussie: ben ik het met dit getal eens? Waarom? Waarom niet? En als het op geen enkele zinnige manier lukt om een getal (of een getalsmatige marge van onzekerheid) toe te kennen aan een bewijskracht, wees dan gewaarschuwd: waarom lukt dat niet? Als we niets kwantitatiefs over deze bevinding kunnen zeggen, mogen we hem dan wel betrekken in ons oordeel? Bedenk ook meer in het algemeen dat zonder een getal het voor twee mensen erg moeilijk wordt om te weten of ze het al dan niet met elkaar eens zijn: de een kan bijvoorbeeld met het woordje soms echt een totaal andere orde van grootte bedoelen dan de ander. 3. Dit is geen cursus. Niemand mag verwachten de Bayesiaanse methodiek al geheel zelfstandig en volledig te kunnen toepassen na het lezen van twee artikelen. Wat we hopen te bereiken is dat de lezer de principes van deze manier van waarheidsvinding gaat begrijpen en daarmee ook de noodzaak en de beloftes van een Bayesiaanse aanpak zal inzien. Ook kan men alvast wat symmetrischer naar bewijs gaan kijken, de juiste vragen gaan stellen en leren herkennen in welke zaken een expliciet Bayesiaanse analyse nuttig zou kunnen zijn. Als een externe deskundige dan een dergelijke analyse maakt, zal de lezer deze in principe kunnen begrijpen. 2. Het wezen van het Bayesiaanse denken Het achterliggende principe van de Bayesiaanse methodiek kan intuïtief het best worden begrepen door het volgende inzicht: hoe minder toevalligheid er nodig is om vanuit een bepaalde hypothese de waargenomen feiten te kunnen verklaren, hoe meer steun die feiten aan die hypothese bieden. We zullen twee voorbeelden geven. Voorbeeld 1 Wie op vakantie in Catalonië iemand ziet die op zijn buurman lijkt, zal niet direct zeker zijn. De hoeveelheid toeval 10 die nodig is om daadwerkelijk zijn buurman in Catalonië tegen te komen wordt intuïtief groter ingeschat dan de hoeveelheid toeval die nodig is om iemand aan te treffen die slechts op hem lijkt. Als echter naast de op de buurman gelijkende man opeens ook een op de buurvrouw lijkende vrouw opduikt, kan 10 Met het ietwat losse begrip hoeveelheid toeval bedoelen we hier en in het vervolg simpelweg 1 gedeeld door de kans dat iets zou optreden. Hoe kleiner die kans, hoe groter dus de hoeveelheid toeval. (Voor de liefhebbers: dit is verwant aan het fysische begrip entropie, maar dan zonder logaritme.) November 2015

5 289 de zaak weer kantelen: ze zijn het echt! De hoeveelheid toeval die nodig is om naast elkaar twee onbekenden aan te treffen die tegelijk op buurman en buurvrouw lijken wordt intuïtief weer veel groter ingeschat dan de hoeveelheid toeval die nodig is om je buren daadwerkelijk in Catalonië tegen te komen. Voorbeeld 2 Stel je bent ergens in de Brabantse grensstreek verdwaald en fietst op een stille landweg. De afgelopen vijf minuten heb je slechts een handvol auto s gezien, allemaal met een Belgisch nummerbord. Vanuit de hypothese dat je nog in Nederland bent vergt deze bevinding meer toeval dan vanuit de hypothese dat je per ongeluk in België beland bent. (Met meer toeval bedoelen we dat in Nederland de kans op het tegenkomen van een Belgisch nummerbord kleiner is dan in België.) Daarom biedt het waarnemen van Belgische nummerborden dus steun aan de laatste hypothese. Let wel: steun bieden betekent slechts dat door de betreffende waarneming de hypothese waarschijnlijker is geworden dan hij vóór de waarneming was. Het zegt nog niet hoe waarschijnlijk hij nu is. Als je bijvoorbeeld vóór het waarnemen van de kentekens, dus a priori, vrijwel zeker meende dat je nog in Nederland was, dan zijn vijf Belgische kentekens wellicht niet voldoende om al tot een andere conclusie te komen. We zien in deze voorbeelden duidelijk de essentiële elementen van het Bayesiaans denken: er zijn meerdere hypotheses, die op enig moment een zekere a priori waarschijnlijkheid hebben, en er zijn bevindingen die het nodig maken om die waarschijnlijkheid bij te stellen. We zeggen dan dat de buurvrouwgelijkenis bewijskracht richting de buurmanhypothese heeft, waarmee we bedoelen dat de waarschijnlijkheid van de buurmanhypothese wordt vergroot. Zo heeft ieder Belgisch kenteken een bewijskracht richting de België-hypothese, terwijl ieder Nederlands kenteken de Holland-hypothese versterkt. Door Thomas Bayes zijn dit soort noties wiskundig geanalyseerd en in een aantal rekenregels uitgewerkt. Het gaat dus niet zomaar om een vuistregeltje of een ervaringsfeit. Zoals de schuine zijde van een rechthoekige driehoek geen andere waarde kan hebben dan wat Pythagoras aangeeft, zo kan de numerieke waarde van een bewijskracht alleen worden gebaseerd op de door Bayes voorgeschreven kansinschattingen. 11 Het unieke van een likelihood ratio is dus dat het een kwantitatieve maat voor de bewijskracht is. We zijn ons niet bewust van andere bruikbare methodes om de bewijskracht van een bevinding in een getal uit te drukken. Hoewel de Bayesiaanse denkwijze universeel toepasbaar is, zal de hier gegeven uitleg uitgaan van de situatie in het strafrecht. Ons doel is om relatief eenvoudig en grotendeels in woorden de essentie duidelijk te maken, niet om alle wiskunde gedetail- 11 Wiskundig wil hier niet zeggen dat de uitkomst exact is, alleen dat de redenering klopt. Analogie: ook als de zijden van een rechthoek niet precies bekend zijn, blijft de oppervlakte gelijk aan het product, niet de som van lengte en breedte. Afbeelding: Shutterstock leerd weer te geven. Voor een eveneens op het strafrecht toegesneden, maar wat formelere uitleg verwijzen we naar een serie van drie artikelen van C. Berger en D. Aben 12 onder de gezamenlijke titel Bewijs en overtuiging en naar de recente NJB-publicatie Een overbrugbare kloof van Barbara van den Berg 13 en de referenties daarin. Ook in Het onzekere bewijs onder redactie van M.J. Sjerps en J.A. Coster van Voorhout 14 wordt in hoofdstuk 1 ( De diagnostische waarde van bewijsmiddelen, door W.A. Wagenaar) een prima introductie gegeven. Voor de complete wiskundige achtergrond verwijzen we naar bijvoorbeeld Wikipedia en de daar gegeven referenties. 15 Deze pagina biedt een uitstekend startpunt voor wie snel de formules wil bekijken en bevat tevens verwijzingen naar zowel de meer diepgravende handboeken als naar een meer intuïtieve uitleg. Verder zijn er nog veel buitenlandse auteurs die de toepassing van de Bayesiaanse methodiek in het strafrecht uitleggen en verdedigen. We noemen slechts mensen als Fenton, O Neill, Gigerenzer, Evett en Aitken. 3. Begripsbepalingen: bevinding, bewijs, conditional, kans, odds, scenario Voordat we de rekenregel introduceren zijn eerst een paar begripsbepalingen nodig. Scenario Met scenario wordt bedoeld een hypothese over de toedracht. 16 Wij zullen scenario en hypothese door elkaar gebruiken, als waren het synoniemen. Anderen zien wel een betekenisverschil: een scenario is dan echt een gedetailleerd ingevuld verhaal, een hypothese alleen maar een korte stelling. 12 C. Berger & D. Aben, Bewijs en overtuiging, Expertise en Recht 2010, afl. 2, 3 en 5/6. 13 B. van den Berg, Een overbrugbare kloof. Een vergelijking van de strafrechtelijke en de forensische zienswijze bij de waardering van feiten, NJB 2014, p M.J. Sjerps & J.A. Coster van Voorhout (red.), Het onzekere bewijs, Deventer: Kluwer _theorem. 16 Hoewel de Bayesiaanse methode kan omgaan met een willekeurig aantal hypotheses, beschouwen we hier uitsluitend situaties met slechts twee hypotheses: daderschap versus onschuld. November 2015

6 290 We zullen in deze artikelen vaak simpelweg over dader- versus onschuldscenario spreken. In de praktijk is het vaak zinnig om de hypotheses nader te detailleren en te begrenzen. Dat kan alleen op inhoudelijke, zaakspecifieke gronden. We zullen zien dat bewijs alleen kan worden gewogen ten opzichte van goed gedefinieerde scenario s. Het opstellen daarvan is dus onderdeel van de analyse en gaat daar niet aan vooraf. Bevinding Met bevinding bedoelen we hier elk mogelijke vorm van bewijs: het kan een herkenning zijn, een bekentenis, een match van een vingerafdruk, een coïncidentie tussen twee feiten of bijvoorbeeld het aantreffen van cocaïne in een koffer. Het kan dus zowel gaan om feiten verkregen door onderzoek, als om feiten en omstandigheden in algemenere zin. Bewijs Met bewijs bedoelen we, ietwat losjes geformuleerd, eerder het Engelse begrip evidence dan het Engelse proof. We hebben het dus over aanwijzingen in het algemeen, niet over de doorslaggevende bewijzen of over een onweerlegbare conclusie zoals een wiskundig bewijs. Evenmin is het beperkt tot technisch bewijs. Kans Het woord kans dekt twee verwante maar verschillende begrippen. In de eerste plaats kan het de frequentie aanduiden van uitkomsten van in principe herhaalbare toevalsprocessen, bijvoorbeeld de kans om driemaal zes te gooien of om een hartentien te trekken. Of ook bijvoorbeeld de kans dat de volgende auto die (in een bepaald jaar en in een bepaalde plaats) de hoek om komt geel is. Maar hetzelfde woord kans wordt ook vaak gebruikt om een zogenoemde graad van geloof uit te drukken (ook wel epistemische kans genoemd). Dit betreft dan een kans in de zin van de kans dat Oranje wereldkampioen wordt, de kans dat er leven is op Mars of de kans dat deze verdachte de dader is. We drukken daarmee onze overtuiging uit over wat er gaat gebeuren of is gebeurd. Als er nieuwe feiten bekend worden (bijvoorbeeld een getuige heeft de verdachte herkend), dan moeten we onze overtuiging bijstellen. We drukken deze verandering in onze overtuiging uit door te stellen dat de betreffende (epistemische) kans is toe- of afgenomen. Bayes heeft ons de rekenregels gegeven waarmee we niet alleen frequentistische kansen maar ook graden van geloof en dus onze overtuiging, logisch en wiskundig correct kunnen updaten zodra er nieuwe relevante feiten bekend worden (Bayesian epistomology) Er wordt in de literatuur nog wel gediscussieerd over de vraag of graden van geloof inderdaad aan exact dezelfde zgn. kansaxioma s voldoen als frequentistische kansen. Deze discussie valt buiten het kader van dit artikel, maar wordt bijv. uitgebreid Het is belangrijk om te beseffen dat het enkele feit dat een bepaalde bevinding onder het daderscenario zeer te verwachten was, niet automatisch steun biedt aan dat scenario. Odds Kansen kunnen op allerlei manieren worden aangegeven, bijvoorbeeld als een getal (vaak P genoemd, naar probability) dat onder alle omstandigheden tussen de 0 en de 1 (of 0 procent en 100 procent) moet liggen. Daarnaast kennen we nog uitdrukkingen als 10 tegen 1 dat het morgen regent of 2 tegen 3 dat hij gaat winnen of hooguit 1 tegen 100 dat ze dat niet wist. Met deze manier van uitdrukken geven we niet de kans zélf weer, maar de verhouding tussen de kans dat iets wel zo is en de kans dat iets niet zo is. Dit quotiënt noemen we de odds. In de Angelsaksische wereld is dit een gebruikelijke manier om kansen uit te drukken. In tegenstelling tot een kans P is de numerieke waarde van odds niet aan een maximum gebonden (miljoen tegen één = vrijwel 100 procent). Maar hoewel de numerieke waarde dus verschilt, zijn kansen en odds conceptueel hetzelfde. Grote kans betekent ook grote odds en vice versa. Als odds = 1 (dus als beide kansen even groot zijn; de breuk is immers 1), dan drukt dat fiftyfifty uit, oftewel een kans van 50 procent voor beide scenario s. 18 Transposed conditional en prosecutor s fallacy Een conditional is een als -stelling. Hiermee kan bijvoorbeeld een zogenoemde voorwaardelijke kans worden omschreven: Als een dier een koe is, dan is de kans dat het vier poten heeft erg groot. In een transposed conditional zijn als en dan (c.q. het ná deze woordjes geponeerde) ten onrechte verwisseld: Als een dier vier poten heeft, dan is de kans dat het een koe is erg groot. Het blijkt in de praktijk dat transposed conditionals vaak moeilijk te herkennen zijn, wat tot logische valkuilen en zelfs tot gerechtelijke dwalingen kan leiden. Het is daarom goed om een aantal voorbeelden van deze fout voor ogen te houden. Het zinnetje Als iemand géén fraudeur is, dan is de kans dat hij de loterij wint erg klein mag niet worden omgedraaid tot: Als iemand de loterij wint, dan is de kans dat hij géén fraudeur is erg klein. Ook dit voorbeeld is nog wel aan te voelen. Maar als er nu eens een akelige loterij zou worden gehouden welke verpleegster het komende jaar de meeste sterfgevallen mee gaat maken? In dat geval zo is helaas gebleken is het voor veel mensen niet direct duidelijk dat het zinnetje Als een verpleegster geen seriemoordenares is, dan is de kans dat ze een zo uitzonderlijk groot aantal sterfgevallen weergegeven in W. Talbott, Bayesian epistemology, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford (CA): Stanford University Hierin wordt ook uitgelegd dat de zgn. Dutch Book-argumenten een solide basis kunnen vormen op grond waarvan graden van geloof inderdaad Bayesiaans mogen worden bijgesteld. De grondslagen van de toepassing van de Bayesiaanse methodiek in het strafrecht worden bijv. verdedigd in S. Brewer (ed.), The philosophy of legal reasoning. Logic, probability, and presumptions in legal reasoning, New York: Routledge Als men een kans P wil omrekenen naar odds, dan geldt: odds = P / (1 P), als men omgekeerd odds wil omrekenen naar P, dan geldt: P = odds / (1 + odds). November 2015

7 291 meemaakt erg klein niet mag worden omgedraaid tot: Als een verpleegster een zo uitzonderlijk groot aantal sterfgevallen meemaakt, dan is de kans dat ze onschuldig is erg klein. Toch is de logische structuur van deze omdraaiing exact gelijk aan die in de het voorbeeld van de loterij. Het gaat natuurlijk om Lucia de Berk: zij had die akelige loterij gewonnen. 19 Vaak wordt bij een transposed conditional conceptueel vooruit geredeneerd (dat wil zeggen van oorzaak naar gevolg) waar had moeten worden teruggeredeneerd (dat wil zeggen van gevolg naar oorzaak). Een terugwaartse vraag zou bijvoorbeeld kunnen zijn: Gegeven een dood iemand, hoe is hij dan gestorven?, oftewel: Deze ogenschijnlijk gezonde dertiger is onverwacht dood aangetroffen, wat is de kans dat hij niet werd vermoord? (= vraag 1). Het antwoord op deze vraag mag nooit worden gelijkgesteld aan het antwoord op de voorwaartse vraag, waarbij niet wordt uitgegaan van een aangetroffen lijk, maar juist wordt gevraagd wat de kans is dat iemand als lijk zal worden aangetroffen: Als een levende, ogenschijnlijk gezonde dertiger niet wordt vermoord, wat is dan de kans dat hij onverwacht dood zal worden aangetroffen? (= vraag 2). Een plausibel antwoord op vraag 1 zou bijvoorbeeld kunnen zijn: minstens 97 procent, het antwoord op de vraag 2: hooguit 0,3 procent 20 Door dat laatste getal te zien als antwoord op de eerste vraag zit men er dus een zeer grote factor naast. In dit soort gedaantes wordt de transposed conditional ook wel de prosecutor s fallacy genoemd. 21 Omdat dit nooit zomaar een benaderingsfout betreft, maar een fundamentele denkfout die de intuïtieve kansinschatting makkelijk een astronomische factor de verkeerde kant kan opsturen, is deze fallacy een gevaarlijke logische valkuil in het strafrecht. 22 Het blijkt dat lang niet altijd wordt ingezien hoe veelzeggend juist de combinatie van (zwakke) bewijsmiddelen kan zijn. 1. de kans dat deze bevinding zou zijn opgetreden als we uitgaan van het eerste scenario (in ons geval het daderscenario); 2. de kans dat deze bevinding zou zijn opgetreden als we uitgaan van het tweede scenario (in ons geval het onschuldscenario). De verhouding van deze twee kansen (dat wil zeggen de eerste kans gedeeld door de tweede) definieert de likelihood ratio en drukt de bewijskracht uit. Deze definitie van likelihood ratio houdt direct verband met het achterliggende principe van de Bayesiaanse methodiek: het scenario dat het minste toeval nodig heeft om de waargenomen feiten te kunnen verklaren, wordt door het daadwerkelijk opgetreden zijn van die feiten gesteund. Als de kans op het optreden van een bepaalde bevinding onder het eerste scenario groter is dan onder het tweede scenario, dan biedt die bevinding dus steun aan het eerste scenario: de waarschijnlijkheid van het eerste scenario neemt toe. We zeggen dan dat de bevinding een bewijskracht richting het eerste scenario heeft. De numerieke waarde van die bewijskracht is precies het genoemde quotiënt. (We willen overigens benadrukken dat het LR-begrip zich moeiteloos laat veralgemeniseren voor meer dan twee in competitie zijnde hypotheses. Dit valt echter buiten het kader van dit artikel.) Voorbeeld 1 Stel er zijn twee scenario s, te weten dat de verdachte gisteren op straat gevochten heeft óf dat hij niet gevochten heeft. De bewijskracht van de bevinding dat de verdachte een vers blauw oog heeft ( vers wil zeggen: één dag oud) richting het eerste scenario is dan gelijk aan deze likelihood ratio: 4. De likelihood ratio De likelihood ratio van een bevinding is hét kernbegrip van het Bayesiaanse denken. De likelihood ratio, die ook wel bewijskracht of diagnostische waarde wordt genoemd, drukt de verhouding van twee likelihoods (waarschijnlijkheden) uit, uitgaande van twee elkaar uitsluitende scenario s: 19 In wiskundige notatie wordt het denken als altijd veel makkelijker. Met de P (van probability) duiden we een kans aan en met het verticale streepje geven we een conditie aan. Het streepje mag worden uitgesproken als als of uitgaande van of gegeven dat of op voorwaarde dat. De kans dat een onschuldige verpleegster x-sterf gevallen meemaakt is dus P (x-sterfgevallen onschuld), oftewel in woorden: de kans op x-sterfgevallen, uitgaande van onschuld. Deze kans is erg klein. Toch hoeven we alleen maar te onthouden dat P (A B) niet gelijk is aan P (B A) denk aan de koe met de vier poten om in te zien dat Lucia de Berk desondanks heel goed onschuldig kan zijn. 20 Dit is een illustratie van de orde van grootte op basis van enkele redelijke statistische aannames. 21 Soms wordt ook de hieraan verwante fout van het negeren van de zgn. base rate een prosecutor s fallacy genoemd. 22 I.W. Evett, Avoiding the transposed conditional, Science and Justice 1995, nr. 3, p de kans dat de verdachte een blauw oog zou hebben opgelopen als hij gisteren had gevochten de kans dat hij de afgelopen dag een blauw oog zou hebben opgelopen zonder te vechten Let wel: de voor deze likelihood ratio te beantwoorden vraag is dus niet wat de kans is dat de verdachte gisteren gevochten heeft. We hoeven alleen maar te weten wat de kans op een blauw oog zou zijn als deze verdachte al dan niet vecht. Uit medische statistieken valt wel iets te achterhalen over de kansen per dag om een blauw oog op te lopen zonder te vechten (vallen, ergens tegenop lopen enzovoort) en ook wel iets over de kans op een blauw oog als men wel vecht. Uit deze algemene (dat wil zeggen niet-zaakspecifieke) gegevens valt dus op een weliswaar benaderende maar wel objectieve manier de bewijskracht van dit blauwe oog af te schatten. November 2015

8 292 Voorbeeld 2 Omdat de likelihood ratio gedefinieerd is als een verhouding van twee grootheden, kunnen we soms een likelihood ratio ook al tot op zekere hoogte schatten zonder de beide kansen expliciet te kennen. We hoeven bijvoorbeeld niet per se te weten wat de kans is dat iemand normaal gesproken van een keukentrapje zal vallen om te kunnen inschatten dat die kans flink groter zal zijn als hij veel gedronken heeft. De likelihood ratio van het van de trap vallen voor de hypotheses van al dan niet dronken zouden we dan bijvoorbeeld in eerste benadering kunnen baseren op de statistieken die voor dronkenschap en verkeersongelukken gelden. Let wel: denk goed na over wat precies de bevinding is waaraan je een likelihood ratio wilt toekennen. Als je in een procesverbaal leest dat getuige A verdachte B heeft gezien, is de bevinding niet verdachte B was daar ter plekke, maar slechts in het proces-verbaal staat dat getuige A verdachte B heeft gezien. Bij het inschatten van de likelihood ratio moet dan bijvoorbeeld nog worden verdisconteerd dat getuige B zich kon vergissen, dat getuige B misschien heeft gelogen en dat de verbalisant zaken misschien onjuist heeft weergegeven. In deel twee zullen we nog veel voorbeelden van likelihood ratio s tegenkomen bij het behandelen van concrete strafzaken. 5. De rekenregel van Bayes Volgens de rekenregel van Bayes is de likelihood ratio van een bevinding de updatefactor waarmee we de waarschijnlijkheidsverhouding tussen het daderscenario en het onschuldscenario (dus de odds op daderschap) mogen vermenigvuldigen: nieuwe odds = oude odds likelihood ratio Dus als je je overtuiging over het daderschap van de verdachte (uitgedrukt in de odds op daderschap) wilt bijstellen naar aanleiding van een bepaalde bevinding, moet je de overtuiging die je had vóórdat je die bevinding in beschouwing had genomen vermenigvuldigen met de likelihood ratio van die bevinding. Het product geeft je de wiskundig correcte nieuwe overtuiging over het daderschap van de verdachte die je op grond van de feiten mag (eigenlijk moet) hebben. Vandaar bewijskracht als synoniem voor likelihood ratio. We passen dit toe op ons eerdere vecht -voorbeeld. Als we, vóórdat we wisten dat de verdachte een vers blauw oog had, al op andere gronden een overtuiging van zeg vijftien tegen één hadden dat de verdachte gisteren op straat gevochten Advocaten proberen vaak de bewijsmiddelen één voor één af te schieten, in de hoop en verwachting dat de rechter niet al te Bayesiaans zal redeneren. had, 23 en we bijvoorbeeld uit medische statistieken hadden geleerd dat de kans dat men een blauw oog oploopt bij een straatgevecht ongeveer vijfhonderd keer groter is dan de kans per dag dat men zonder straatgevecht een blauw oog oploopt, dan kunnen we nu onze aanvankelijke overtuiging van 15 tegen 1 updaten met een factor 500. We mogen concluderen dat scenario 1 nu = 7500 keer waarschijnlijker is dan scenario 2. Een likelihood ratio met een getalswaarde groter dan 1 biedt dus steun aan het eerste scenario (lees: daderscenario), terwijl een getalswaarde kleiner dan 1 wijst in de richting van het tweede scenario (onschuld). Een LR met de waarde 1 is neutraal: de betreffende bevinding was onder beide scenario s even waarschijnlijk (of even onwaarschijnlijk) en kan ons niets nieuws leren. Het is belangrijk om te beseffen dat het enkele feit dat een bepaalde bevinding onder het daderscenario zeer te verwachten was, dus niet automatisch steun biedt aan dat scenario. Alleen wanneer die bevinding onder het onschuld minder te verwachten was, is er een bewijskracht. Hetzelfde geldt voor bevindingen die onder een bepaald scenario zeer onwaarschijnlijk waren. In de praktijk kan het best voorkomen dat een bepaalde bevinding onder beide scenario s zeer onwaarschijnlijk was. En dan gaat het erom: wat bedoelen we met zeer onwaarschijnlijk? Het kan zinnig zijn om middels een vergelijking van de numerieke waarde van beide onwaarschijnlijkheden te proberen uitsluitsel te geven over het al dan niet neutraal zijn van de likelihood ratio. De verhouding tussen twee kleine kansen kan namelijk nog steeds een groot getal zijn. 24 De rekenregel van Bayes kan voor iedere nieuwe bevinding weer opnieuw worden toegepast, mits deze bevindingen onafhankelijk van elkaar zijn (zie daarover paragraaf 7) en steeds onder dezelfde hypotheses worden beschouwd. De nieuwe odds die men via de eerste bevinding uit de oude odds verkreeg, dienen in een volgende stap juist als de oude odds voor de tweede bevinding. Men krijgt dan als het ware een keten van bevindingen, elk met zijn eigen updatefactor. Dus drie bevindingen met likelihood ratio s (LR1, LR2 en LR3) leveren samen via het herhaald toepassen van de rekenregel een gecombineerde updatefactor op van LR1 LR2 LR3. Let wel: in tegenstelling tot het traditionele weegschaal - beeld van de rechtspraak, is de gezamenlijke bewijskracht dus niet de (optel)som, maar het (vermenigvuldigings)product van hun afzonderlijke bewijskrachten. 23 We kiezen dit getal hier willekeurig ten dienste van het rekenvoorbeeld, maar het zou bijv. kunnen samenhangen met we noemen maar iets onze inschatting van de betrouwbaarheid van een aangifte. 24 De LR zou dan bijv. de verhouding kunnen zijn tussen twee kansen van 1/1000 en 1/ Beide kunnen worden omschreven met zeer onwaarschijnlijk, maar de LR heeft dan wel een waarde van 100. November 2015

9 293 Zo kunnen onafhankelijke bewijsmiddelen in een strafzaak dus op een correcte manier worden gecombineerd. Aan elke bevinding wordt een likelihood ratio toegekend, een getal dat de bewijskracht uitdrukt. Door die getallen met elkaar te vermenigvuldigen verkrijg je de gecombineerde bewijskracht. 6. De rekenregel van Bayes werkt anders dan onze intuïtie Het feit dat vermenigvuldigen zoveel sneller tot zeer grote of zeer kleine getallen kan leiden dan optellen of aftrekken, is een van de redenen dat de uitkomst soms contra-intuïtief kan overkomen. Een bevinding met een LR van 5 is in zekere zin een zwakke aanwijzing. Onder de aanname van daderschap was deze bevinding slechts vijf keer waarschijnlijker dan onder aanname van onschuld. Op zichzelf natuurlijk niet doorslaggevend. Maar stel nu eens dat de aanklager vijf zwakke (maar wel onafhankelijke!) aanwijzingen aandraagt, met likelihood ratio s van bijvoorbeeld 10, 2, 5, 4 en 15. Dan zou je geneigd kunnen zijn om deze bewijskrachten slechts op te tellen en tot ongeveer 30 à 40 te komen; nog steeds niet heel overtuigend. Maar correct gecombineerd leveren die vijf bevindingen een bewijskracht op van = 6000, een meer dan honderd keer sterkere aanwijzing richting daderschap dan de sommatie oplevert. Als de odds op daderschap eerst 10 tegen 1 waren, worden ze nu tegen 1. Het blijkt dat lang niet altijd wordt ingezien hoe veelzeggend juist de combinatie van (zwakke) bewijsmiddelen kan zijn. Dat komt doordat de bewijsmiddelen nog te makkelijk intuïtief en vanuit gezond verstand optellend worden gewogen, in plaats van dat expliciet zowel de aparte likelihood ratio s alsook de gecombineerde (= vermenigvuldigde) bewijskracht aan bod komen. Dit leidt er soms toe dat, ondanks de veelgebruikte formulering... in onderling verband en samenhang gezien..., de bewijsmiddelen juist niet worden gekwantificeerd en in samenhang gewogen, maar dat van elk bewijsmiddel slechts in een soort alles of niets -benadering wordt bekeken of het op zich doorslaggevend is. Advocaten proberen daarom vaak de bewijsmiddelen één voor één af te schieten, in de hoop en verwachting dat de rechter niet al te Bayesiaans zal redeneren. Ook het omgekeerde komt natuurlijk voor. Een zaak begint met een op zich goed gefundeerde verdenking, zonder dat later wordt ingezien dat de combinatie van een aantal zwakke aanwijzingen richting onschuld veel sterker is dan de oorspronkelijke reden voor verdenking. Dit is het verhaal achter veel gerechtelijke dwalingen en daarmee een krachtig argument voor een Bayesiaanse aanpak. 7. In deze vorm is de rekenregel bedoeld voor onafhankelijke bevindingen Het is al eerder benadrukt: bij het op deze manier combineren van de bewijskrachten van afzonderlijke bevindingen moeten Hoe groot de onzekerheid in de kansinschatting ook is, door een likelihood ratio te bepalen hebben we in elk geval de juiste vraag gesteld. we er wel op letten dat de bevindingen onafhankelijk zijn. Een voorbeeld: stel dat bekend is dat de dader van een misdrijf een opvallend grote en forse man was. Dan heeft de bevinding dat de verdachte schoenmaat 54 heeft een LR groter dan 1, dus wijzend in de richting van daderschap. Immers: uitgaande van daderschap is de kans op schoenmaat 54 groter dan wanneer de verdachte een willekeurige onschuldige burger is. Datzelfde geldt ook voor de bevinding dat de verdachte een lengte heeft van 1,98 en voor de bevinding dat hij 140 kilo weegt. Het is echter onjuist om alle drie deze bevindingen afzonderlijk te gebruiken, aangezien het duidelijk is dat schoenmaat, lengte en gewicht met elkaar samenhangen: het bij een onschuldige optreden van de ene bevinding, vergroot de kans op het optreden van de andere bevindingen. Deze drie bevindingen zijn niet onafhankelijk. Ze moeten daarom enigszins benaderend samen worden gezien als één bevinding, anders bestaat het gevaar van dubbeltelling. 25 In de praktijk zal soms de neiging voorkomen om bevindingen die slechts heel licht gecorreleerd zijn toch van een aparte likelihood ratio te voorzien. Men maakt dan een benaderingsfout. Hoewel die fout normaal gesproken kleiner is dan de benaderingsfouten die sowieso samenhangen met de noodzakelijke kansinschattingen, moet men hier voorzichtig mee zijn. Men kan, uitgaande van de belangrijkste onafhankelijke bevindingen, van de resterende bevindingen bekijken met welke bevindingen ze welke afhankelijkheid vertonen. Bepaalde sets van afhankelijke bevindingen kunnen dan vaak worden geclusterd en samen van één samenvattende LR worden voorzien. Er bestaan wiskundige uitdrukkingen voor de gecombineerde LR van twee of meer afhankelijke bevindingen. Dat valt buiten het kader van dit artikel. Een andere strategie zou kunnen zijn om bevindingen waarvan de onafhankelijkheid ter discussie staat geheel uit de analyse weg te laten. Soms kan dan nog steeds een veelzeggende boven- of ondergrens voor de onderlinge waarschijnlijkheid van de hypotheses worden bepaald. Het is echter ook denkbaar dat men in sommige zaken het ketenmodel zal moeten verlaten omdat een zinnige analyse alleen middels een Bayesiaans netwerk mogelijk is. 8. Waarom een (sporen)deskundige alleen een likelihood ratio zal kunnen rapporteren Er is behalve het hiervoor genoemde nog een belangrijke reden om in likelihood ratio s te leren denken. In een deskundigenrapport zal de conclusie vaak geen andere vorm kunnen of mogen hebben dan die van een likelihood ratio. Alleen binnen het Bayesiaanse denken is zo n gerapporteerde LR dan op een 25 Zoals gezegd: de Bayesiaanse methodiek kan wiskundig prima met afhankelijke bevindingen omgaan, alleen krijgt men dan niet een keten van likelihood ratio s, maar een zgn. Bayesiaans netwerk. Dit valt buiten het bestek van dit artikel. November 2015

10 294 bruikbare manier te interpreteren, namelijk als een updatefactor voor de (in odds uitgedrukte) overtuiging omtrent de waarschijnlijkheidsverhouding tussen twee elkaar uitsluitende hypotheses. Voorbeeld Volgens het OM is een dadergerelateerde vingerafdruk op de plaats delict afkomstig van de verdachte. Volgens de verdediging is de match puur toeval. De vraag die de rechter uiteindelijk moet beantwoorden (en die dus misschien ook wel in deze vorm aan de deskundige werd gesteld) luidt: Is deze vingerafdruk van de verdachte? Stel nu dat de deskundige iets rapporteert in de trant van: Deze afdruk is waarschijnlijk afkomstig van de verdachte. Het OM en de rechtbank zullen meestal tevreden zijn met dit antwoord. Dat zou echter onterecht zijn. Een deskundige mag op grond van enkel de match nooit een waarschijnlijkheid rapporteren over de herkomst van de afdruk. Dit verbod komt op veel mensen bijzonder contra-intuïtief over. Maar bedenk dat er nog andere bevindingen een rol kunnen spelen. Stel bijvoorbeeld dat deze verdachte met een waterdicht alibi komt. Dan is hij dus tijdens het misdrijf niet op de plaats delict geweest en is de dadergerelateerde afdruk, ook als de match vrijwel perfect zou zijn, hoogstwaarschijnlijk niet van hem. Een deskundige die heeft gerapporteerd dat het waarschijnlijk wel zo is, heeft onzin uitgekraamd. Of stel omgekeerd dat getuigen duidelijk hadden gezien hoe de verdachte op de plaats delict het misdrijf pleegde. Dan was de afdruk hoogstwaarschijnlijk wel van hem afkomstig en zou een deskundige die daarover nog een te ruime mate van twijfel liet bestaan verkeerd rapporteren. Aangezien we van een sporendeskundige ook niet kunnen vragen om de volledige context van de zaak mee te nemen in zijn rapportage, moeten we concluderen dat de aan hem te stellen vraag niet mag zijn: Wat is de kans dat deze afdruk van deze verdachte afkomstig is, gegeven hun match?, maar: Wat is de LR van deze match? Het gaat dan in wezen om de kans dat een willekeurig iemand even goed zou matchen met de vingerafdruk van de dader als de verdachte. Het antwoord op die zeldzaamheidsvraag is geheel onafhankelijk van de overige bevindingen (alibi, herkenning enzovoort). De betreffende LR weerspiegelt dus een zuivere, contextvrije bewijskracht en vormt een kant-en-klare schakel in de Bayesiaanse bewijsketen. Ook het NFI zal daarom in principe altijd een LR rapporteren. 26 De hiervoor besproken fout is in wezen een transposed conditional-fout. Het zinnetje Als deze verdachte de bron is, dan is deze match waarschijnlijk wordt ten onrechte omge- 26 Die likelihood ratio wordt door het NFI soms nog gerapporteerd in de vorm van woorden als iets waarschijnlijker of zeer veel waarschijnlijker. Er is dan een door het NFI bijgeleverd tabelletje nodig om deze omschrijvingen weer terug te vertalen naar (een range van) getallen, die typisch een onzekerheid van een factor 10 bevatten. Het zou volgens ons aan te bevelen zijn om likelihood ratio s altijd te rapporteren in de vorm van een getal met een bijbehorende onzekerheidsmarge. Ook de recherche zou Bayesiaans moeten gaan werken. draaid tot: Als deze match optreedt, dan is de verdachte waarschijnlijk de bron. Voor veel mensen lijkt dit wellicht een louter theoretisch onderscheid zonder enige praktische waarde. Maar zoals we in deel 2 zullen zien bij de analyse van de zogenoemde Carnavalsmoord, was het misschien wel precies een soortgelijke foutieve formulering die in die zaak tot een verkeerde beoordeling van de ware toedracht heeft geleid Enkele overwegingen over het maken van grove schattingen Men kan de likelihood ratio s niet altijd bepalen zonder soms grove schattingen te maken. Een LR kan daardoor in de praktijk best een onzekerheid van, zeg, een factor 10 of meer bevatten. Stel bijvoorbeeld dat het voor het onschuldscenario in een smokkelzaak van belang is hoe vaak passagiers per abuis de verkeerde koffer van de bagageband pakken. Daar valt, met wat onderzoek, wel degelijk iets over te zeggen, maar natuurlijk niet heel exact. Een factor twee of drie onzekerheid lijkt het hoogst haalbare. Men zou dan, ten onrechte, kunnen denken dat de betreffende onnauwkeurigheden te groot zijn om een Bayesiaanse berekening enige zin te laten hebben. Soms zelfs zal het maken van een schatting alleen subjectief mogelijk zijn en daardoor geheel onverdedigbaar lijken. Wij willen daar de volgende argumenten tegenover stellen. De schattingen zijn hoe dan ook onvermijdelijk. Iedereen die bepaalde bevindingen in haar oordeel betrekt maakt daarmee per definitie een kansinschatting. Dan kan beter expliciet gebeuren dan (óók voor jezelf) onzichtbaar en oncontroleerbaar, op het gevoel, in een verborgen hoekje van de geest. 28 Als we een getal niet zeker weten, hebben we de neiging om uit te wijken naar formuleringen als hoogst onaannemelijk of zeker niet uit te sluiten. Maar deze woorden bevatten natuurlijk net zo goed subjectieve elementen en enorme onzekerheden. Heeft iemand met hoogst onaannemelijk een kans van 5 procent bedoeld? Of 0,1 procent? Of 0,005 procent? Als de lezer deze vraag niet kan beantwoorden, moeten we ons realiseren dat er dus misschien wel een factor 1000 onzekerheid in dat zinnetje verstopt zat (dat wil zeggen het verschil tussen 5 procent en 0,005 procent). Opnieuw is het essentiële punt: als we een bepaalde bevinding willen laten meewegen bij ons oordeel en ons oordeel dus mede gebaseerd zal zijn op hoe we de bijbehorende (on)waarschijnlijkheden inschatten, dan is het belangrijk 27 Het betrof een niet helemaal volmaakte kogelmatch. In plaats van de desbetreffende LR te rapporteren, vertelde een deskundige dat slechts kon worden gezegd dat de kogel waarschijnlijk (maar niet zeer waarschijnlijk ) uit een bepaald wapen afkomstig was. Uit de overige bevindingen bleek echter dat die kans groter dan 99,999 procent was. Ook bij een slechte match (= kleine LR) kan wel degelijk een hoge kans horen en vice versa. Daarom moet altijd een LR worden gerapporteerd. 28 Let wel: men mag nooit de inschatting van de LR laten afhangen van de inschatting dat de verdachte al dan niet onschuldig is. Dat zou neerkomen op een cirkelredenering, aangezien de kans op onschuld mede wordt bepaald door die LR. November 2015

Forensische Statistiek

Forensische Statistiek Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Wiskunde D-dag 1 juni 2011 Outline Misdrijf 1 Misdrijf 2 3 4 Outline Misdrijf 1 Misdrijf 2 3 4 Forum Romanum Forensisch Forum = markt

Nadere informatie

Harry Stikkelbroeck senior raadsheer gerechtshof Arnhem Leeuwarden lid Adviescollege Verloftoetsing TBS

Harry Stikkelbroeck senior raadsheer gerechtshof Arnhem Leeuwarden lid Adviescollege Verloftoetsing TBS Harry Stikkelbroeck senior raadsheer gerechtshof Arnhem Leeuwarden lid Adviescollege Verloftoetsing TBS art. 51 l, lid 1 Sv: De deskundige brengt aan zijn opdrachtgever een met redenen omkleed verslag

Nadere informatie

Vakbijlage - De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs

Vakbijlage - De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs Vakbijlage De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs Inhoudsopgave 1. De vakbijlage algemeen 1.! 2.! 3.! 4.! 5.! 6.! 7.! Het Nederlands Forensisch

Nadere informatie

De rekenende rechter

De rekenende rechter Schoordijk Instituut Onderzoekschool voor Wetgevingsvraagstukken De rekenende rechter Van 'Iudex Non Calculat' naar actieve cijferaar? Redactie W.H. van Boom M.J. Borgers Boom Juridische uitgevers Den

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Criminalistiek is terugredeneren

Criminalistiek is terugredeneren Criminalistiek is terugredeneren Logisch correct redeneren in forensische rapportages......en in de rechtszaal Charles Berger 1 De wetenschap speelt een toenemende rol in het strafrecht, en terecht worden

Nadere informatie

Meer weten, minder kansen

Meer weten, minder kansen Meer weten, minder kansen Jean Paul Van Bendegem Aanleiding In dit kort stukje wil ik een probleem aankaarten in verband met waarschijnlijkheden en kansen. We weten allemaal, dankzij de ondertussen ontelbare

Nadere informatie

Vakbijlage De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs

Vakbijlage De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs Vakbijlage De reeks waarschijnlijkheidstermen van het NFI en het Bayesiaanse model voor interpretatie van bewijs Inhoudsopgave 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Wat is een vakbijlage? Inleiding

Nadere informatie

Bayes Factor voor samengestelde hypothesen

Bayes Factor voor samengestelde hypothesen Bayes Factor voor samengestelde hypothesen Rob Steur 20 juli 2012 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. Marjan Sjerps Tweedebeoordelaar: dr. A.J. (Bert) van Es Thomas Bayes (1702-1761) KdV Instituut

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Statistische paradoxen in de rechtszaal - theorie, voorbeelden en antwoorden

Statistische paradoxen in de rechtszaal - theorie, voorbeelden en antwoorden Statistische paradoxen in de rechtszaal - theorie, voorbeelden en antwoorden Charlotte Vlek www.charlottevlek.nl c.s.vlek@rug.nl 1 februari, 2014 1 Theorie 1.1 Bayesiaanse statistiek Met Bayesiaanse statistiek

Nadere informatie

Over Het Bedrijven van Statistiek in Kansloze Situaties

Over Het Bedrijven van Statistiek in Kansloze Situaties Over Het Bedrijven van Statistiek in Kansloze Situaties Arrest in Hoger Beroep Lucia de B. Gerechtshof s Gravenhage, 2004 Op pagina 1 (!) lezen wij: toevalsberekeningen gebruikt.... Peter Grünwald CWI

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

DNA Profile. DNA profielen. DNA profielen. DNA profielen. DNA profielen

DNA Profile. DNA profielen. DNA profielen. DNA profielen. DNA profielen Succesvol Onderscheidend vermogen Wetenschappelijke grondslag Precieze statistische informatie (Random Match Probability) www.ai.rug.nl/forensicscience/ DNA Profile Locus Alleles times allele observed

Nadere informatie

Statistiek in de rechtszaal Het proces van Lucia de B

Statistiek in de rechtszaal Het proces van Lucia de B Statistiek in de rechtszaal Het proces van Lucia de B Willem R. van Zwet HOVO Leiden, november 2011 1 V=27 verplegenden D=1029 diensten van 8 uur (d.w.z. 343 dagen) D L =142 diensten van Lucia I=8 incidenten

Nadere informatie

Reactie op Alkemades weerwoord

Reactie op Alkemades weerwoord Reactie op Alkemades weerwoord Ronald Meester Afdeling Wiskunde Vrije Universiteit Amsterdam Henry Prakken Faculteit der Rechtsgeleerdheid, Rijksuniversiteit Groningen & Faculteit Bètawetenschappen, Departement

Nadere informatie

Criminalistiek is terugredeneren

Criminalistiek is terugredeneren 646 Praktijk Criminalistiek is terugredeneren Logisch correct redeneren in forensische rapportages... en in de rechtszaal Charles Berger 1 DE WETENSCHAP SPEELT EEN TOENEMENDE ROL IN HET STRAFRECHT, EN

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Workshop voorbereiden Authentieke instructiemodel

Workshop voorbereiden Authentieke instructiemodel Workshop voorbereiden Authentieke instructiemodel Workshop voorbereiden Uitleg Start De workshop start met een echte, herkenbare en uitdagende situatie. (v.b. het is een probleem, een prestatie, het heeft

Nadere informatie

Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig? 1

Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig? 1 Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig? 1 Henry Prakken Faculteit der Rechtsgeleerdheid, Rijksuniversiteit Groningen & Faculteit Bètawetenschappen,

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

Statistische paradoxen in de rechtszaal - opdrachten

Statistische paradoxen in de rechtszaal - opdrachten Statistische paradoxen in de rechtszaal - opdrachten Charlotte Vlek www.charlottevlek.nl c.s.vlek@rug.nl 1 februari, 2014 Opdracht 1: de regel van Bayes De regel van Bayes is P (H E) = P (E H)P (H) P (E)

Nadere informatie

Voorwoord 7. 1 De vaardigheden van de jurist Ongeveer zoals een kip een ei legt Instrumenten voor het oplossen van casusposities 10

Voorwoord 7. 1 De vaardigheden van de jurist Ongeveer zoals een kip een ei legt Instrumenten voor het oplossen van casusposities 10 Inhoudsopgave Voorwoord 7 1 De vaardigheden van de jurist 9 1.1 Ongeveer zoals een kip een ei legt 9 1.2 Instrumenten voor het oplossen van casusposities 10 2 Het vinden van rechtsregels in de wet 13 2.1

Nadere informatie

De beste prijs-kwaliteit verhouding?

De beste prijs-kwaliteit verhouding? De beste prijs-kwaliteit verhouding? Prof. dr. Jan Telgen, Universiteit Twente Inkopers hebben nogal eens de neiging zich een Calimero rol aan te meten: zij zijn groot en ik ben klein. Dat gebeurt dan

Nadere informatie

Eindexamen vwo filosofie II

Eindexamen vwo filosofie II Opgave 2 Leven vanuit vrije wil 7 maximumscore 3 een weergave van een overeenkomst tussen de Avatar-training en Sartre wat betreft de opvatting over vrijheid als zelfverwerkelijking: beiden lijken uit

Nadere informatie

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen

Nadere informatie

filosofie vwo 2016-I Opgave 1 Twijfel in de rechtbank

filosofie vwo 2016-I Opgave 1 Twijfel in de rechtbank Opgave 1 Twijfel in de rechtbank tekst 1 De film 12 Angry Men uit 1957 wordt beschouwd als een ode aan het Amerikaanse rechtssysteem. Centraal staat een rechtszaak tegen een jongen van 18 jaar die met

Nadere informatie

Vragen stellen in de reken-wiskundeles

Vragen stellen in de reken-wiskundeles Vragen stellen in de reken-wiskundeles Marc van Zanten, nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling SLO & Universiteit Utrecht: Panama, O&T, Faculteit Sociale Wetenschappen Inleiding Dit hoofdstuk

Nadere informatie

Inhoud. Introductie tot de cursus

Inhoud. Introductie tot de cursus Inhoud Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Voorkennis 7 3 Het cursusmateriaal 7 4 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 5 De cursus bestuderen 9 6 Studiebegeleiding 10 7 Huiswerkopgaven 10 8 Het tentamen

Nadere informatie

VOORBEELD / CASUS. Een socratisch gesprek volledig uitgeschreven. Moet je je aan een afspraak houden?

VOORBEELD / CASUS. Een socratisch gesprek volledig uitgeschreven. Moet je je aan een afspraak houden? VOORBEELD / CASUS Een socratisch gesprek volledig uitgeschreven Moet je je aan een afspraak houden? Hieronder treft u een beschrijving van een socratisch gesprek dat ik onlangs begeleidde. Voor de volledigheid

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

Instructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE

Instructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.

Nadere informatie

Ideeën presenteren aan sceptische mensen. Inleiding. Enkele begrippen vooraf

Ideeën presenteren aan sceptische mensen. Inleiding. Enkele begrippen vooraf Ideeën presenteren aan sceptische mensen Inleiding Iedereen heeft wel eens meegemaakt dat het moeilijk kan zijn om gehoor te vinden voor informatie of een voorstel. Sommige mensen lijken er uisluitend

Nadere informatie

Je doel behalen met NLP.

Je doel behalen met NLP. Je doel behalen met NLP. NLP werkt het beste als al je neurologische niveaus congruent zijn. Met andere woorden: congruent zijn betekent wanneer je acties en woorden op 1 lijn zijn met je doelen, overtuigingen,

Nadere informatie

De theorie voor leesvaardigheid in de vorm van een stappenplan

De theorie voor leesvaardigheid in de vorm van een stappenplan De theorie voor leesvaardigheid in de vorm van een stappenplan 1. Globaal lezen a. Lees eerst altijd een tekst globaal. Dus: titel, inleiding, tussenkopjes, slot en bron. b. Denk na over het onderwerp,

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Doel van Bijbelstudie

Doel van Bijbelstudie Bijbelstudie Hebreeën 4:12 Want het woord Gods is levend en krachtig en scherper dan enig tweesnijdend zwaard en het dringt door, zó diep, dat het vaneen scheidt ziel en geest, gewrichten en merg, en het

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

HET BELANGRIJKSTE OM TE WETEN OM MEER ZELFVERTROUWEN TE KRIJGEN

HET BELANGRIJKSTE OM TE WETEN OM MEER ZELFVERTROUWEN TE KRIJGEN HET BELANGRIJKSTE OM TE WETEN OM MEER ZELFVERTROUWEN TE KRIJGEN Gratis PDF Beschikbaar gesteld door vlewa.nl Geschreven door Bram van Leeuwen Versie 1.0 INTRODUCTIE Welkom bij deze gratis PDF! In dit PDF

Nadere informatie

Rekenen met verhoudingen

Rekenen met verhoudingen Rekenen met verhoudingen Groep 6, 7 Achtergrond Leerlingen moeten niet alleen met de verhoudingstabel kunnen werken wanneer die al klaar staat in het rekenboek, ze moeten ook zelf een verhoudingstabel

Nadere informatie

VIII NIEUW FORENSISCH-TECHNISCH FEIT: DE PIEKENPROFIELEN EN IMPACT OP BEWIJSCONSTRUCTIE HOF

VIII NIEUW FORENSISCH-TECHNISCH FEIT: DE PIEKENPROFIELEN EN IMPACT OP BEWIJSCONSTRUCTIE HOF VIII NIEUW FORENSISCH-TECHNISCH FEIT: DE PIEKENPROFIELEN EN IMPACT OP BEWIJSCONSTRUCTIE HOF 1. Een vijfde novum in forensisch-technische zin wordt gevormd door het volgende feit. Zoals hiervoor aangetoond

Nadere informatie

Het juiste gewicht in de schaal

Het juiste gewicht in de schaal Het juiste gewicht in de schaal Charles Berger * Meten is weten, luidt de gevleugelde kreet, en meten kan inderdaad belangrijke informatie opleveren. Alleen zal voor het trekken van conclusies uit meetresultaten

Nadere informatie

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo Deel (benaderbaar object) Om de hoogte van een bepaald object te berekenen hebben we geleerd dat je dat kunt doen als je in staat bent om een rechthoekige driehoek te bedenken waarvan je één zijde kunt

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

De Essenties van forensisch DNA-onderzoek. Samenvatting interpretatie DNA-bewijs

De Essenties van forensisch DNA-onderzoek. Samenvatting interpretatie DNA-bewijs EDERLA DSFORE SISCHIN TITUUT De Essenties van forensisch DNA-onderzoek Samenvatting interpretatie DNA-bewijs 2007 Nederlands Forensisch Instituut Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Statistische aspecten van de vaststelling van fraude na opsporing via datamining. Marjan Sjerps - KdVI (Uva) - NFI

Statistische aspecten van de vaststelling van fraude na opsporing via datamining. Marjan Sjerps - KdVI (Uva) - NFI Statistische aspecten van de vaststelling van fraude na opsporing via datamining Marjan Sjerps - KdVI (Uva) - NFI - Statistiek team - Principal scientist team - Stochastiek cluster Inhoud De LR methode

Nadere informatie

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke Om goed te kunnen pokeren, is psychologisch inzicht natuurlijk belangrijk. Een speler moet inschatten of zijn tegenstander bluft en zijn eigen strategie zo goed mogelijk verbergen. Je zou zeggen dat geluk

Nadere informatie

De Taxonomie van Bloom Toelichting

De Taxonomie van Bloom Toelichting De Taxonomie van Bloom Toelichting Een van de meest gebruikte manier om verschillende kennisniveaus in te delen, is op basis van de taxonomie van Bloom. Deze is tussen 1948 en 1956 ontwikkeld door de onderwijspsycholoog

Nadere informatie

Wetenschappelijk onderzoek NLP Test. 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij

Wetenschappelijk onderzoek NLP Test. 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij Wetenschappelijk onderzoek NLP Test 2012 Stichting NLP Kring Joost van der Leij Inleiding NLP is geen wetenschap, maar we kunnen er wel een van maken. Om hiermee te beginnen dienen we eerst de volgende

Nadere informatie

1. Degodsdienstoorlog der statistici.

1. Degodsdienstoorlog der statistici. 1. Degodsdienstoorlog der statistici. Statistiek is een rare wetenschap. Zij houdt zich bezig met de kunst precies geformuleerde conclusies te trekken uit onvoldoende gegevens. Dat is een hachelijke onderneming,maaromdathetovergrotedeelvan"wetenschap"hieropneerkomt

Nadere informatie

Dossieropdracht 3. Analyse 1 - Didactiek

Dossieropdracht 3. Analyse 1 - Didactiek Dossieropdracht 3 Analyse 1 - Didactiek Naam: Thomas Sluyter Nummer: 1018808 Jaar / Klas: 1e jaar Docent Wiskunde, deeltijd Datum: 22 november, 2007 Samenvatting Het realistische wiskundeonderwijs heeft

Nadere informatie

Evalueren van projecten met externen Kennisdocument Onderzoek & Statistiek

Evalueren van projecten met externen Kennisdocument Onderzoek & Statistiek Evalueren van projecten met externen Kennisdocument Onderzoek & Statistiek Zwaantina van der Veen / Dymphna Meijneken / Marieke Boekenoogen Stad met een hart Inhoud Hoofdstuk 1 Inleiding 3 Hoofdstuk 2

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Wiskunde: vakspecifieke toelichting en tips

Wiskunde: vakspecifieke toelichting en tips Wiskunde: vakspecifieke toelichting en tips Met deze voorbeelden van taken voor de wiskundelessen willen wij verschillende ideeën illustreren. Ten eerste geven zij een idee wat bedoeld wordt met hele-taakeerst

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

VIER EENVOUDIGE TAKTIEKEN OM LASTIGE COLLEGA S VOOR JE TE WINNEN

VIER EENVOUDIGE TAKTIEKEN OM LASTIGE COLLEGA S VOOR JE TE WINNEN E-BLOG VIER EENVOUDIGE TAKTIEKEN OM LASTIGE COLLEGA S VOOR JE TE WINNEN in samenwerken Je komt in je werk lastige mensen tegen in alle soorten en maten. Met deze vier verbluffend eenvoudige tactieken vallen

Nadere informatie

Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico

Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico Wynand van de Ven en Erik Schut Wederreactie op Douven en Mannaerts In ons artikel in TPEdigitaal (Van de Ven en Schut 2010) hebben wij uiteengezet

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Opgave 2 Spiritueel scepticisme 6 maximumscore 4 een uitleg dat McKenna in tekst 6 vanuit epistemologisch perspectief over solipsisme spreekt: hij stelt dat de kennisclaim over het bestaan van andere mensen

Nadere informatie

GODS GEZIN. Studielessen voor 4-7 jarigen

GODS GEZIN. Studielessen voor 4-7 jarigen GODS GEZIN Studielessen voor 4-7 jarigen 2003 Geschreven door Beryl Voorhoeve en Judith Maarsen Oorspronkelijk bedoeld voor studie in kleine groepen in de Levend Evangelie Gemeente Gebruikte Bijbelvertaling

Nadere informatie

Samenvatting strafzaken die in 2008 zijn aangemeld bij/afgedaan door de Toegangscommissie

Samenvatting strafzaken die in 2008 zijn aangemeld bij/afgedaan door de Toegangscommissie Samenvatting strafzaken die in 2008 zijn aangemeld bij/afgedaan door de Toegangscommissie Van onderstaande zaken zijn nummer 0038 t/m 0052 in 2008 onder de aandacht gebracht. Zaak 0031 is zowel in 2006,

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Formulier voor het beoordelen van de kwaliteit van een systematische review. Behorend bij: Evidence-based logopedie, hoofdstuk 2

Formulier voor het beoordelen van de kwaliteit van een systematische review. Behorend bij: Evidence-based logopedie, hoofdstuk 2 Formulier voor het beoordelen van de kwaliteit van een systematische review Behorend bij: Evidence-based logopedie, hoofdstuk 2 Toelichting bij de criteria voor het beoordelen van de kwaliteit van een

Nadere informatie

Samenvatting Impliciet leren van kunstmatige grammatica s: Effecten van de complexiteit en het nut van de structuur

Samenvatting Impliciet leren van kunstmatige grammatica s: Effecten van de complexiteit en het nut van de structuur Samenvatting Impliciet leren van kunstmatige grammatica s: Effecten van de complexiteit en het nut van de structuur Hoewel kinderen die leren praten geen moeite lijken te doen om de regels van hun moedertaal

Nadere informatie

Docentenblad Tricky Tracks

Docentenblad Tricky Tracks De activiteit is op twee manieren mogelijk: door leerlingen zelfstandig in groepjes (a) of klassikaal (b). a Zelfstandig in groepjes Leerlingen volgen het bijgevoegde leerlingblad. Zij hebben ook per groepje

Nadere informatie

Stel jezelf niet onder de Wet!

Stel jezelf niet onder de Wet! Dit document is een script van onderwijs dat is bedoeld om via video te worden getoond. In de video worden relevante tekst, dia s, media en afbeeldingen getoond om de presentatie te vereenvoudigen. Daarom

Nadere informatie

Taxanomie van Bloom en de kunst van het vragen stellen. Anouk Mulder verschil in talent

Taxanomie van Bloom en de kunst van het vragen stellen. Anouk Mulder verschil in talent Onthouden Kunnen ophalen van specifieke informatie, variërend van feiten tot complete theorieën Opslaan en ophalen van informatie (herkennen) Kennis van data, gebeurtenissen, plaatsen Kennis van belangrijkste

Nadere informatie

Amsterdam lapt regels preventief fouilleren aan haar laars. 26 maart 2013, Peter van de Wijngaart

Amsterdam lapt regels preventief fouilleren aan haar laars. 26 maart 2013, Peter van de Wijngaart Amsterdam lapt regels preventief fouilleren aan haar laars 26 maart 2013, Peter van de Wijngaart Voorwoord In december 2012 constateerde ik in het besluit van de burgemeester over preventief fouilleren

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Sjoerd van Egmond LIACS, Leiden University, The Netherlands svegmond@liacs.nl 2 juni 2010 Samenvatting Deze notitie beschrijft een nederlandse

Nadere informatie

Wat is verantwoordelijkheid en waarom is het belangrijk?

Wat is verantwoordelijkheid en waarom is het belangrijk? Wat is verantwoordelijkheid en waarom is het belangrijk? Verantwoordelijkheid. Ja, ook heel belangrijk voor school!!! Het lijkt veel op zelfstandigheid, maar toch is het net iets anders. Verantwoordelijkheid

Nadere informatie

Schattend rekenen Maatkennis over gewichten Gebruik van referentiematen. Per tweetal: kopieerblad Lift een groot vel papier

Schattend rekenen Maatkennis over gewichten Gebruik van referentiematen. Per tweetal: kopieerblad Lift een groot vel papier Lift Kopieerblad Lift Titel De lift waarin dit bordje hangt kan 1000 kilo vervoeren of dertien personen. In deze activiteit gaan de kinderen na of dertien personen 1000 kilo zouden kunnen wegen. Om dit

Nadere informatie

De niet gevonden vlekken

De niet gevonden vlekken De niet gevonden vlekken De DNA-bevindingen Op 9 februari 2004 wordt Ernest Louwes tijdens het herzieningsproces in Den Bosch wederom tot 12 jaar veroordeeld. De cruciale rol bij deze veroordeling spelen

Nadere informatie

Reflectieverslag mondeling presenteren

Reflectieverslag mondeling presenteren Reflectieverslag mondeling presenteren Naam: Registratienummer: 900723514080 Opleiding: BBN Groepsdocente: Marjan Wink Periode: 2 Jaar: 2008 Inleiding In dit reflectieverslag zal ik evalueren wat ik tijdens

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Laag Vaardigheden Leerdoelen Formulering van vragen /opdrachten

Laag Vaardigheden Leerdoelen Formulering van vragen /opdrachten Blooms taxonomie Laag Vaardigheden Leerdoelen Formulering van vragen /opdrachten Evalueren Evalueren = de vaardigheid om de waarde van iets (literatuur, onderzoeksrapport, presentatie etc) te kunnen beoordelen

Nadere informatie

onthouden. Schrijfdoelen Schrijfdoel Inhoud schrijfdoel Voorbeeld vermaakt door een leuk, spannen, aangrijpend of interessante tekst.

onthouden. Schrijfdoelen Schrijfdoel Inhoud schrijfdoel Voorbeeld vermaakt door een leuk, spannen, aangrijpend of interessante tekst. Nederlands Leesvaardigheid Leesstrategieën Oriënterend lezen Globaal lezen Intensief lezen Zoekend lezen Kritisch lezen Studerend lezen Om het onderwerp vast te stellen en te bepalen of de tekst bruikbaar

Nadere informatie

Rekenen met de procentenstrook

Rekenen met de procentenstrook Rekenen met de procentenstrook Volgens Bartjens Frans van Galen en Dolly van Eerde Kinderen weten aan het eind van de basisschool heus wel wat procenten zijn: een percentage geeft aan om hoeveel honderdsten

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Deel 1, Hoofdstuk 1 - Dat er iets buiten ons bestaat. Rikus Koops 8 juni 2012 Versie 1.1 In de inleidende toelichting nummer 0 heb ik gesproken

Nadere informatie

ecourse Moeiteloos leren leidinggeven

ecourse Moeiteloos leren leidinggeven ecourse Moeiteloos leren leidinggeven Leer hoe je met minder moeite en tijd uitmuntende prestaties met je team bereikt 2012 Marjan Haselhoff Ik zou het waarderen als je niets van de inhoud overneemt zonder

Nadere informatie

Folkert Buiter 2 oktober 2015

Folkert Buiter 2 oktober 2015 1 Nuchter kijken naar feiten en trends van aardbevingen in Groningen. Een versneld stijgende lijn van het aantal en de kracht van aardbevingen in Groningen. Hoe je ook naar de feitelijke metingen van de

Nadere informatie

Tekst lezen en verbanden leggen

Tekst lezen en verbanden leggen Tekst lezen en verbanden leggen 1. Bekijk vóór je de tekst gaat lezen de buitenkant van de tekst (titels, illustratie, vetgedrukte zinnen). a) Voorspel kort wat het onderwerp van de tekst is en wat de

Nadere informatie

Kritisch Denken met Rationale

Kritisch Denken met Rationale Docentendag Maatschappijleer 2018 Kritisch Denken met Rationale Timo ter Berg & Daan van Riet Kritisch Denken Inhoud 1. Introductie 2. Belang Kritisch Denken (= KD) 3. Wat is KD? 4. Hoe ontwikkel je KD-vaardigheden?

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17 1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17 De Kolmogorov

Nadere informatie

O&O cyclus. Onderzoeken en ontwerpen

O&O cyclus. Onderzoeken en ontwerpen O&O cyclus Onderzoeken en ontwerpen O&O cyclus Waslijn O&O Deze platen kun je aan de muur hangen bij een onderzoeksopdracht of ontwerpopdracht. Tijdens het onderzoeken of ontwerpen staat het leerproces

Nadere informatie

Verslag van een ervaringsdeskundige. Nu GAP-deskundige.

Verslag van een ervaringsdeskundige. Nu GAP-deskundige. Burn out Verslag van een ervaringsdeskundige. Nu GAP-deskundige. Ik was al een tijd druk met mijn werk en mijn gezin. Het viel mij zwaar, maar ik moest dit van mezelf doen om aan de omgeving te laten zien

Nadere informatie

Naar slimmere MM-maatregelen met het 9-stappenplan

Naar slimmere MM-maatregelen met het 9-stappenplan Naar slimmere MM-maatregelen met het 9-stappenplan Uitgangspunt en doel van het stappenplan Uitgangspunt van ons stappenplan is niet de plannen zijn niet goed, maar wel vanuit gedragsperspectief kan het

Nadere informatie

Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst.

Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst. Hallo, Wij zijn Kai & Charis van de Super Student en wij geven studenten zin in de toekomst. Dat is namelijk helemaal niet zo makkelijk. Veel studenten weten nog niet precies wat ze willen en hoe ze dat

Nadere informatie

Uitleg van de Hough transformatie

Uitleg van de Hough transformatie Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een

Nadere informatie

Nederlands (nieuwe stijl) en Nederlands, leesvaardigheid (oude stijl)

Nederlands (nieuwe stijl) en Nederlands, leesvaardigheid (oude stijl) Nederlands (nieuwe stijl) en Nederlands, leesvaardigheid (oude stijl) Examen VWO Vragenboekje Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 19 mei 9.00 12.00 uur 20 03 Voor dit examen zijn

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie