ONDER DE LOEP. Wiskunde en breien

Transcriptie

1 ONDER DE LOEP Wiskunde en breien Inhoud 1. Inleiding 2. De basis a. Proeflapje en stekenverhouding b. Meerderen en minderen 3. Mouwen: aanbreien of kop 4. Wildbreien 1. Inleiding Breien en wiskunde wordt soms geassocieerd met het verkeerdelijk bewerkingen achter elkaar plaatsen zoals bijvoorbeeld: = 10 : 2 = 5. Het woord breien wordt gebruikt als vakterm voor het verkeerd gebruik van het gelijkheidsteken. Maar daarover gaat deze loep niet! Handwerken, zowel breien als haken, is weer helemaal in! Allerlei initiatieven schieten als paddenstoelen uit de grond: breicafés, wildbreiacties, tentoonstellingen Ook Uitwiskeling wil hier op inspelen, want iedereen die al eens iets gebreid heeft, weet dat er bij elk project heel wat denk- en telwerk aan te pas komt. Je kan uiteraard gaan voor de trial and error-methode. Je hebt dan meer plezier van je (dikwijls dure) wol, maar dat willen we met deze loep uiteraard niet aanbevelen! 12

2 onder de loep Deze loep zal bij sommigen onmiddellijk aversie oproepen. De verplichte handwerklessen uit een vorig tijdperk hebben mogelijk een levenslange haat tegen al wat met breien of haken te maken heeft als gevolg. Ook op onze redactie was het niet anders. De helft was mee, de andere helft haakte in eerste instantie af. Toch willen we uitdrukkelijk vermelden dat deze loep ook voor niet-actieve breiers of hakers veel te bieden heeft. We hopen de interesse en nieuwsgierigheid van de lezer op te wekken. Het denken, het tellen, het ontwerpen kan je zelf doen, het uitvoeren kan je aan anderen overlaten. Er zijn de dag van vandaag echt nog veel mensen die graag breien: vrouwen en mannen, jong en oud! We vroegen ons af welke wiskunde echte professionele modeontwerpers gebruiken voor ze aan hun creaties beginnen. We gingen kijken naar de tentoonstelling Ontrafel in het modemuseum in Antwerpen en brachten een bezoek aan Hilde Frunt, een modeontwerpster van onder andere breigoed. We leerden daar dat het er bijna altijd op neer komt dat je alles moet omrekenen naar een aantal steken en een aantal rijen. Voor de ingewikkelde vormen vertrekt men ofwel van een patroon (in papier) of van een bestaand stuk, een oude trui bijvoorbeeld. Je kunt alle afmetingen van de trui gewoon opmeten en die omzetten in steken en rijen. Voor asymmetrische vormen of rondingen wordt het allemaal nog wat ingewikkelder. Bruikbaarheid van deze loep We zijn uiteraard op zoek gegaan naar projectjes waar wiskunde bij te pas komt. Bij elk brei- of haakwerk komt er naast het telwerk ook ruimtelijk inzicht en evenredigheden ter sprake. Wij kwamen ook exponentiële functies, meetkundige rijen, de euclidische deling en zelfs enkele minder gekende wiskundeonderwerpen als de naar-boven-afrond-functie ceil(x) en diophantische vergelijkingen tegen. Om breipatronen te kunnen lezen, heb je aardig wat wiskundige geletterdheid nodig. Deze loep bevat niet echt een uitwerking van een of ander stukje van het leerplan, maar er wordt zeker in gemathematiseerd en gemodelleerd. De werkteksten kunnen zoals steeds nog aangepast worden aan de verschillende richtingen met meer of minder uren wiskunde. We zien de werkteksten zeker ook gebruikt worden in het kader van een projectdag, de dikke-truiendag, ter voorbereiding van een open deur of misschien ter gelegenheid van een 24-uren-lesmarathon. Wat in deze loep? In paragraaf 2 beginnen we met de absolute basis van elk breiwerk: we leggen uit hoe je met een proeflapje de stekenverhouding kan bepalen en vervolgens elk patroon kan omzetten in een aantal steken en een aantal rijen of naalden. Het leren breien of haken komt hier niet echt ter sprake. Dat kun je best van iemand anders leren! Vervolgens werken we twee toepassingen uit waarbij het aantal steken met een vast patroon verandert. We maken twee soorten hyperbolische oppervlakken: gebreide en gehaakte. De gehaakte exemplaren laten je aan den lijve ondervinden dat een kleine verandering in de groeifactor totaal andere resultaten geeft. We benaderen het aantal steken met exponentiële functies. Je kunt de haakwerkjes als illustratie gebruiken bij je lessen of om kledingstukken, tassen op te leuken! Vervolgens leggen we uit hoe je een hyperbolisch oppervlak kan breien. Hiermee kan je heel verrassend ook een (baby)broek maken. De wiskundige berekeningen die hierbij te pas komen, vragen al heel wat doorzettingsvermogen! In paragraaf 3 bespreken we twee toepassingen met mouwen. In de eerste zoeken we een manier om een mouw aan een trui vast te breien. Dit probleem geeft aanleiding tot een stelsel van diophantische vergelijkingen. Vervolgens bekijken we de vorm van de meest voorkomende mouw in breipatronen. Die blijkt vrij sinusoïdaal te zijn! 13

3 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) In de laatste paragraaf hebben we het over wildbreien. Allerlei ruimtelijke figuren kunnen ingepakt worden met breiwerk. Enig ruimtelijk inzicht komt hier te pas. Het is de bedoeling telkens een werkbeschrijving te maken. De uitvoering kun je zelf doen of uitbesteden! We laten de moeilijkheidsgraad oplopen van zeer eenvoudig (een rechte paal) tot zeer moeilijk (een torus)! 2. De basis a. Proeflapje en stekenverhouding Als je een beschrijving van een trui gevonden hebt in een boek of een tijdschrift, dan begint die bijna zeker met maak een proeflapje van 10 cm bij 10 cm. Veel brei(st)ers slaan deze raadgeving in de wind en beginnen onmiddellijk met het werk zelf. Een proeflapje breien, spreekt inderdaad niet erg tot de verbeelding. Het kost tijd en je moet het achteraf toch weer gewoon uittrekken. Nochtans heeft het grote voordelen om het wel te maken, tenminste als je weet hoe je de resultaten van het proeflapje moet gebruiken. Omdat niet iedereen even vast of los breit, kun je uit het proeflapje informatie over jouw stekenverhouding halen. Op basis hiervan kun je de dikte van je naalden aanpassen zodanig dat je trui inderdaad de maat krijgt die je op het oog had. Daarenboven kun je dikkere of dunnere wol gebruiken dan die in de oorspronkelijke beschrijving en het model beter aanpassen aan jouw maten. Hoe maak je een proeflapje? Een proeflapje bestaat uit een aantal steken en naalden die gebreid moeten worden om een vierkant van 10 cm bij 10 cm te krijgen. Naalden worden ook wel rijen of toeren genoemd. Stel dat op de wikkel rond de bol wol staat dat je naalden nr. 4 moet gebruiken en dat een proeflapje van 10 cm op 10 cm in tricotsteek (dat wil zeggen afwisselend een naald rechts en een naald averechts) uit 20 steken en 26 naalden bestaat. Als je nu 20 steken opzet en 26 naalden breit, dan zullen de afmetingen bij het nameten meestal wel kloppen. Je probeert immers het lapje zo goed mogelijk plat te drukken en door er wat aan te rekken, lukt het meestal wel om aan die 10 cm te geraken! Het is echter niet de bedoeling dat je de natuurlijke vorm van het proeflapje geweld aan doet. Een betere manier is dubbel zoveel steken op te zetten en ruim 10 cm hoog te breien. Gebruik dan een meetlat en tel het aantal steken voor 10 cm in de breedte en het aantal naalden voor 10 cm in de hoogte. Doe dat enkele centimeters van de kanten verwijderd. De steken op de rand kunnen immers vervormd zijn. Als het verschil met het opgegeven aantal steken en naalden niet te groot is, volstaat het doorgaans om naalden te nemen die een half maatje dikker of dunner zijn. Een steek wordt immers gevormd door de draad die om de naald geslagen wordt (zie figuren hieronder). De dikte van de naald bepaalt de grootte van de steken. insteken omhalen doorhalen aflaten 14

4 onder de loep Iemand die los breit, zal op zijn proeflapje minder steken en naalden tellen dan aangegeven in het breiboek. Om vastere steken te krijgen moet hij een kleinere lus maken. Dat kan door een dunnere naald te nemen. Omgekeerd moet iemand die te strak breit, grotere lussen maken en dus dikkere naalden nemen. Grotere verschillen moet je op een andere manier opvangen. Daarvoor moet je het aantal steken en het aantal naalden aanpassen. Dit probleem werken we hieronder uit. Aantal steken en naalden herrekenen Als het aantal steken en naalden te sterk afwijkt van die van het opgegeven proeflapje, zul je het patroon moeten herrekenen. Dit moet je ook doen als je een andere soort wol wilt gebruiken. Breien met andere wol Joni wil een trui breien voor haar neefje. In het breiboek staat het volgende patroon (uit [4]): TRUI Maat jaar [ ] Proeflapje Een vierkant van 10 cm in r. tricotst. = 13 st. en 18 nld. Uitvoering RUGPAND: st. met breinld. nr. 6 opzetten, 2 cm (4 nld.) gerstekorrel br. en dan verder br. in r. tricotst. met breinld. nr. 7. Armsgaten: Op cm ( nld.) tot. hoogte aan weersz; 1 maal 2 st. afz. Er zijn st. over. Schouders en hals: Op cm armsgathoogte ( nld. tot hoogte) aan weersz. elke 2e nld. afz. Maat 6 jaar: 2 maal 5 st. en 1 maal 6 st. Maat 8 jaar: 1 maal 5 st. en 2 maal 6 st. Maat 10 jaar: 3 maal 6 st. Maat 12 jaar: 2 maal 6 st. en 1 maal 7 st. Maat 14 jaar: 3 maal 7 st. Tegelijk de middelste st. laten wachten, dan aan weersz. elke 2e nld. 1 maal 2 st. afz. VOORPAND: Als het rugpand. [ ] Het 10 cm bij 10 cm proeflapje uit de beschrijving bevat 13 steken en 18 naalden. Joni heeft echter dikkere wol gekocht en breit daarmee een proeflapje. Ze krijgt 9 steken en 15 naalden per 10 cm. 15

5 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) Joni wil deze trui breien in maat 12 jaar (hiervoor kijk je naar de voorlaatste getallen in de reeksen). Ze begint met het rugpand. Volgens de beschrijving moet die 47 cm breed zijn. 1. Hoeveel steken moet je opzetten met de wol uit de beschrijving voor een breedte van 47 cm? ( 47 1,3 61,1. Dit zijn afgerond 61 steken.) De twee extra steken die we volgens de beschrijving moeten opzetten, zijn nodig om de trui aan de zijkanten dicht te naaien. 2. Vertrek van het proeflapje van Joni en bereken hoeveel steken zij moet opzetten voor een breedte van 47 cm. Hoeveel steken worden dat dan in het totaal, rekening houdend met de extra steken voor de naad? (Voor een breedte van 47 cm moet zij 47 0,9 42,3 steken opzetten. Afgerond zijn dit er 42. Met de extra steken voor de naad erbij worden dit 44 op te zetten steken.) 3. Op 32 cm totale hoogte moet Joni aan de armsgaten beginnen. Hoeveel naalden heeft ze dan al gebreid? ( 321,5 48. Ze moet dus 48 naalden (of rijen) breien.) Voor de armsgaten geeft het patroon aan 2 steken af te zetten aan elke kant. Hoe je moet afzetten zie je op de figuren hieronder. Joni zet ook aan elke kant 2 steken af. Ze houdt dan nog 40 steken over. Na 20 cm armsgathoogte moet ze aan de halsuitsnijding en het afzetten voor de schouders beginnen. Het patroon zegt dat ze de 17 middelste steken moet laten rusten. (Dit betekent dat ze deze steken op een hulpnaald moet schuiven en die voorlopig niet meer mee moet breien. Later worden deze steken dan terug opgenomen om de kraag te breien.) 4. Hoeveel steken moet Joni laten rusten in het midden? 9 (De verhouding van haar aantal steken tot die uit de beschrijving in het boek is 13. Zij 9 moet dus steken laten rusten. Het komt goed uit dat dit een even aantal is. Zo 13 kan ze symmetrisch werken.) Om ronding te geven aan de halsuitsnijding moet ze aan weerszijden ook nog 2 steken afzetten volgens het patroon. Omdat 2 steken een beetje veel lijken, beslist ze slechts 1 steek aan elke kant af te zetten. Nu moeten alle andere steken afgezet worden voor de schouders. De rugzijde is immers klaar. De beschrijving geeft aan: 2 maal 6 steken en 1 maal 7 steken aan weerszijden elke tweede naald. 5. Herreken deze aantallen. Klopt dit met het totaal aantal steken dat ze nog heeft staan? ( 69 /13 4 steken en 79 /13 5 steken. Zo zou ze aan elke kant steken afkanten. Dat is echter één steek te weinig. Ze kan dus beter één maal 4 steken en twee maal 5 steken afkanten.) 16

6 onder de loep Hopelijk heeft Joni bij het breien van het rugpand alle aanpassingen netjes genoteerd, want ze heeft die terug nodig bij het voorpand. Het patroon is anders aan de hals. We hebben dit stuk niet meer opgenomen in de beschrijving hierboven. b. Meerderen en minderen Minderen en meerderen kun je zowel bij breien als bij haken toepassen. Technisch gezien is het gemakkelijker te meerderen bij het haken en te minderen bij het breien. In de volgende twee werkteksten maken we twee projecten. We maken telkens een hyperbolische oppervlak. Voor meer uitleg over hyperbolische oppervlakken verwijzen we naar het kader verderop. Om zulk hyperbolisch oppervlak te krijgen laten we het aantal steken toenemen of afnemen volgens een vast patroon en zodanig dat het aantal steken dat erbij komt of verdwijnt, afhangt van het aantal steken in de voorgaande rij. Wiskundig heeft dit veel weg van een exponentiële functie. Maar omdat dit niet altijd mooi uitkomt en het aantal steken en rijen altijd natuurlijke getallen moeten zijn, kunnen we het aantal steken per rij niet exact uitrekenen met een exponentiële functie. Meerderen bij het haken Hieronder vind je de instructies om zelf een hyperbolisch oppervlak te maken. Meerderen bij het haken, de praktijk Om een hyperbolisch vlak te haken, moet je twee basis haaktechnieken onder de knie hebben. Je moet een ketting van lossen (ook kettingsteken genoemd) kunnen maken en vasten kunnen haken (zie de figuren hieronder). (a) losse steken of kettingsteken (b) vaste steken Elke draadsoort zal een beetje rekken, maar het is nodig dat de vorm behouden blijft. Gebruik daarom best wol of katoen die niet te veel rekt en haak nogal vast. We krijgen een hyperbolisch oppervlak als je op elke rij na een bepaald aantal (N) steken een steek bijmaakt door twee vasten in dezelfde lus te haken. We leggen het hieronder in detail uit voor N = 2. Dit betekent dat je van elke twee steken in de vorige rij, er in de volgende rij drie maakt en dit zolang er steken voorhanden zijn op de vorige rij. Het komt niet altijd uit. 1. Haak een beginketting met 21 lossen (zie figuur (a)). 2. Haak nu de eerste vaste steek als volgt: steek je haaknaald in de tweede losse, neem draad en trek hem door de ketting zodat je twee lussen op je haaknaald houdt. Neem vervolgens 17

7 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) nog eens draad en trek deze door de twee lussen. De eerste vaste steek van de eerste rij is nu voltooid (zie figuur (b))! 3. Voor de tweede vaste steek doe je hetzelfde als voor de eerste, behalve dat je nu geen losse overslaat. 4. Voor de derde vaste steek doe je precies hetzelfde als in stap 3 maar steek nu je haaknaald gewoon in dezelfde kettingsteek als voor de tweede steek. 5. Herhaal stap 3 en 4 tot het einde van de rij. 6. Op het einde van de rij, voor je naar de volgende rij gaat, haak je een extra losse steek om naar de volgende rij te kunnen gaan. 7. Als je haakwerk de gewenste omvang heeft, kan je stoppen door de draad door de laatste lus te trekken. Op deze manier kun je je eigen hyperbolisch oppervlak haken. Je moet, zoals hierboven beschreven staat, het aantal steken per rij vermeerderen in een vaste verhouding, van N tot N + 1. Je kunt experimenteren met verschillende N-waarden, maar niet in het hetzelfde model. Je krijgt alleen een hyperbolisch oppervlak als je N op elke rij constant houdt tijdens heel je werkje. Het haken zal wel enige tijd in beslag nemen, maar je resultaat is blijvend. Je moet je geen zorgen maken over scheuren of kreuken. In de volgende werktekst gaan we in op de wiskundige kant van het gehaakte object. Meerderen bij het haken, de berekeningen Je begint met 20+1 lossen te haken. Neem N = 3. Dat wil zeggen dat je van drie steken er vier maakt. Symbolisch zouden we dit patroon als volgt kunnen voorstellen: waarbij een gewone vaste steek voorstelt en twee vasten in eenzelfde losse. 1. Hoeveel steken heb je na de eerste rij? (De eerste losse moet je niet meetellen, die dient om te keren.) (Schematisch, en dus 26 steken.) Noteer het aantal steken na de i-de rij met f(i). Je berekende dus net f(1). 2. Hoeveel steken heb je na de tweede rij? Dit is dus f(2). (f(2) = = 34) 3. Hoeveel steken heb je na de derde rij? (f(3) = = 45) 4. Kun je een formule geven om het aantal steken te berekenen uit het aantal steken van de vorige rij? f( i1) ( f ( i) f ( i 1) INT waarbij INT(x) het gehele deel van x is.) 3 5. Het aantal steken meerdert elke rij met een bepaalde factor. Is deze factor constant? Waarom (niet)? (Deze factor is niet helemaal constant omdat het aantal steken dat overblijft, varieert.) 18

8 onder de loep x 6. Bij een exponentiële functie g( x) b a neemt de waarde toe met een constante groeifactor. Benader het aantal steken f(i) met een exponentiële functie van het rijnummer. Wat neem je als beginwaarde? Welke groeifactor is de meest logische? 7. Vergelijk je exponentieel model met het berekende aantal steken. 8. Beantwoord nu dezelfde vragen voor N = 1, N = 4, N = 10. Experimenteren is hier heel leuk omdat je telkens oppervlakken met een andere kromming krijgt. Je voelt aan den lijve het verschil tussen verschillende groeifactoren. 9. Op de foto zie je één exemplaar met N = 3 en een ander met N = 4. Voor welk exemplaar geldt N = 3? (Het rechtse want dat golft harder dan het linkse.) Je kunt dezelfde techniek ook toepassen vertrekkend van een ringetje met kettingsteken. 19

9 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) Hyperbolisch oppervlak Euclides bouwde de vlakke meetkunde op aan de hand van een vijftal postulaten. Hierop steunend bewijst Euclides de stellingen uit de meetkunde. De postulaten zelf worden aangenomen zonder bewijs. Eén van die postulaten kan herschreven worden als door een punt buiten een gegeven rechte is er precies één rechte die evenwijdig is met die gegeven rechte. (Euclides zelf gebruikte niet deze formulering, maar één die equivalent is hiermee.) Een hyperbolisch oppervlak is een vlak waarbij het parallellenpostulaat vervangen is door een ander postulaat, namelijk: door elk punt niet op een gegeven rechte, gaan er minstens twee rechten die evenwijdig zijn aan die gegeven rechte. Door deze wijziging krijg je een heel ander soort meetkunde. Om deze nieuwe meetkunde te visualiseren gaan wiskundigen op zoek naar modellen. Een voorbeeld van zo n model is de Poincaré-schijf. Die bestaat uit een cirkelschijf waarbij de rechten cirkelbogen zijn in deze schijf en loodrecht op de rand van de schijf. In de bovenste figuur hiernaast is een rechte AB getekend in een Poincaréschijf. Twee dergelijke rechten noemen we evenwijdig indien ze geen gemeenschappelijke punten hebben in de schijf. In de tweede figuur hebben we een punt P genomen buiten de rechte AB. Door dat punt P zijn twee verschillende rechten getekend die allebei evenwijdig zijn met de rechte AB. Behalve het model van Poincaré zijn er nog andere voor diezelfde hyperbolische meetkunde. Het gehaakte object is daar een voorbeeld van indien er op een goede manier rechten op gedefinieerd worden. In de derde figuur hiernaast zie je op een gehaakt hyperbolisch oppervlak twee rechten door eenzelfde punt en beide evenwijdig met een andere gegeven rechte. Het golvend karakter van het gehaakte model zorgt ervoor dat de rechten van elkaar wegkrommen. Dat is nodig om door een punt meer dan één evenwijdige aan een gegeven rechte te kunnen construeren. Wiskundigen zeggen dat de kromming van zo een oppervlak negatief is. Minderen bij het breien Een mindering bij breien is een manier om van een aantal steken op een naald af te komen zonder die steken echt te laten vallen! Er bestaan meerdere technieken om te minderen. Wij beperken ons hier tot het samenbreien van twee steken om er één van over te houden. We gebruiken verderop de afkorting 2 r. samenbr. voor 2 steken recht samen breien, 2 av. samenbr. voor 2 steken averecht samenbreien. 20

10 onder de loep Om een hyperbolisch oppervlak te breien ga je op dezelfde manier te werk als bij het haken, maar in plaats van te meerderen, beginnen we met een groot aantal steken en verminderen elke volgende rij het aantal steken. Elke rij worden er na hetzelfde aantal steken, twee steken samen gebreid. De stekenaantallen zullen dus volgens eenzelfde patroon dalen. Als dit patroon heel de lap door hetzelfde is, krijg je weer een hyperbolisch oppervlak! Een klein hyperbolisch oppervlak breien Om het concept goed te begrijpen, kan je deze methode best eerst eens uitproberen voor een relatief klein aantal steken. Je krijgt een mini-exemplaar dat vlug klaar is! Zet 63 steken op één breinaald. rij1: *3 av, 2 av. samenbr.* Herhaal van * tot * tot alle steken op zijn. rij2: *3 r, 2 r samen*. Herhaal van * tot * tot alle steken op zijn. Herhaal deze twee rijen nog 5 keer. rij 13: zet de overblijvende steken af. 1. Hoeveel steken heb je nog na de eerste naald? 2. Hoeveel steken heb je nog na de tweede naald? 3. Maak een tabel met het aantal steken dat je na elke toer overhebt. (Zie tabel hieronder.) x y Maak een grafiek van dit aantal steken f(i) in functie van het rijnummer i. 21

11 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) 5. Probeer een model van een exponentiële functie g(i) te maken die dit benadert. Wat is de beginwaarde? Met welke factor mindert het aantal steken? ( gi ( ) 63 0,8 i. De beginwaarde is 63, het aantal steken wordt telkens van 5 naar 4 gebracht, dus is de groeifactor 4 0,8 5.) 6. Klopt deze benadering helemaal met je tabel? Waarom (niet)? (Niet helemaal, je houdt op het einde van de rij soms nog steken over. Het aantal steken is niet altijd een veelvoud van vijf.) Een babybroek breien Voor een volgend project passen we ditzelfde principe toe om met een hyperbolisch oppervlak een babybroek te maken. Bekijk aandachtig volgende figuur: als je de vlakke achthoek (linkse figuur) in twee plooit met taille op taille en zijnaad op zijnaad en dan ook nog de laatste twee randen aan elkaar vastkleeft links en rechts, krijg je een soort luier met drie gaten: één om er in te kruipen en twee voor de benen. Het geheel is nogal plat en zal niet zo comfortabel zitten. Als je hetzelfde doet met een hyperbolisch oppervlak zoals in de rechtse figuur, krijg je een broek met bovenaan de taille, twee zijnaden en de pijpomtrekken (die open blijven). 22

12 onder de loep Bij baby s en peuters is de afstand van taille tot taille gemeten tussen de benen inclusief luier, gelijk aan de zijnaad van de broek. Bij de meeste volwassenen is dit niet het geval. Meet dit maar eens na voor enkele baby s en volwassenen! We willen een broek breien voor een pasgeboren baby. Ons proeflapje van 10 cm bij 10 cm heeft 20 steken en 28 rijen. Zet 206 steken op. Plaats een draadje op de opzetdraad tussen de 35 ste en 36 ste steek, tussen de 85 ste en 86 ste, tussen de 122 ste en 123 ste steek en tussen de 171 ste en 172 ste steek. Dit zal handig zijn om de broek in vorm te brengen. Deze plaatsen komen overeen met de bolletjes op de tekening. rij 1: * 30 av, 2 av. samenbr.*, herhaal van * tot * tot alle steken op zijn rij 2 : *30 r, 2r. samenbr.*, herhaal van * tot * tot alle steken op zijn rij 3: 25 av, *2 av. samenbr, 30 av*, herhaal van * tot * tot alle steken op zijn rij 4: 25 r, *2 r. samenbr, 30 r*, herhaal van * tot * tot alle steken op zijn. Herhaal deze 4 rijen tot er nog 36 steken overblijven. Kant de steken af. In feite zou je de beschrijving nog eenvoudiger kunnen maken: 2 st samenbr., 30 st br. Door het patroon van de vier naalden te gebruiken, vallen niet alle minderingen boven elkaar en verkrijg je dat de kromming overal nogal gelijk is. Van deze hyperbolische lap kun je nu een broek maken door de taille op de taille te vouwen en de zijnaad aan de zijnaad te naaien 23

13 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) Ontwerp nu zelf een broek Op deze manier kun je nu zelf een babybroek ontwerpen. Je moet vertrekkend van de maten van de baby berekenen hoeveel steken je moet opzetten, op welke manier je moet minderen en hoeveel steken je moet afzetten. De hyperbolische lap is volledig bepaald als je de tailleomtrek, de zijnaad, de pijpomtrek en de afstand van taille tot taille kent. Uiteraard moet je weer eerst een proeflapje maken om de stekenverhouding te bepalen. We hebben de afmeting van taille naar taille nodig, omgerekend naar stekenaantal en aantal rijen, de pijpomtrek omgerekend naar steken en de tailleomtrek omgerekend naar steken om de rest te bepalen. Stel dat w de tailleomtrek in steken is, c de pijpomtrek in steken, r de afstand van taille tot taille in toeren en s de afstand van taille tot taille in steken. w 1. De hyperbolische lap moet bij de opzet 2s2csteken tellen. Verklaar Het breiwerk moet bij het afzetten 2 w steken tellen. Waarom? 3. Het aantal toeren is r. Waarom? Met deze gegevens kun je het patroon om te minderen, bepalen. Bij de opzet heb je w w 2s 2c steken en bij de afzet heb je er. 2 2 Deze getallen zullen de stekenverhouding bepalen. We zullen een minderingspatroon moeten opstellen van de vorm: *(n 2) r., 2 r. samenbr.*. Het komt er dus op aan n 2 te bepalen. Dit is het aantal steken tussen twee minderingen. w n1 4. Verklaar dat het aantal steken in de tweede naald gelijk is aan 2s 2c 2 n. De speciale haakjes zijn notatie voor de ceilingfunctie. Deze functie rondt een reëel getal altijd af naar boven. 5. Hoeveel steken heb je nog in de derde naald? 1 1 ( w 2s 2c n n 2 n n ) We kunnen stellen dat het aantal steken bij benadering exponentieel daalt. 6. Wat neem je als groeifactor a? 24

14 onder de loep n 1 ( a n ) 7. Door welke exponentiële groeifunctie kun je het aantal steken f(i) dan benaderen? w n1 ( f ( i) ( 2s 2 c) 2 n ) i w Merk op dat deze functie door de opzetrij moet gaan (rij 0 met 2s 2c steken) en de 2 laatste rij (rij r 1 met 2 w steken). 8. Toon aan dat de stekenverhouding a bij benadering gegeven wordt door de formule w n 1 a 2 n w 2s2c 2 1 r1 w w n 1 ( f ( r 1) 2s 2c 2 2 n. r1. Hieruit kun je n 1 a berekenen.) n We maken het concreet. Stel dat je een baby ter beschikking hebt met een tailleomtrek van 48 cm en een afstand van taille tot taille van 33 cm. Voor de pijpomtrek rekenen we 20 cm rond. Het proeflapje van 15 steken en 21 toeren meet 10 cm op 10 cm. 9. Bereken w, c, r en s. (w = 48 cm 1,5 = 72 st; r = 33 cm 2,1 = 69 toeren (afgerond); s = 33 cm 1,5 = 50 st (afgerond) en c = 20 cm 1,5 = 30 st) 10. Bepaal de waarde van w a 2 w 2s2c 2 n ( a 0, n 196 ) 1 1 r1 11. Gebruik je rekenmachine om voor n de beste waarde te kiezen. (n = 41. We moeten dus telkens 39 steken breien en dan twee steken samenbreien.) 12. Geef een hele korte breibeschrijving van deze babybroek. (Zet 196 steken op. Brei elke rij volgens het patroon *39 st., 2 st. samenbr.* Kant de laatste 36 steken af.). 25

15 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) 3. Mouwen a. Mouwen aanbreien Een van de vervelende werkjes bij het breien, is het dichtnaaien van alle naden (naast het instoppen van alle eindjes). Dit kunnen we echter minimaliseren door de lappen rechtsreeks aan te breien. Nadat het voor- en achterpand afgewerkt zijn en de schoudernaden tegen elkaar gezet zijn, kunnen de mouwen onmiddellijk aan deze twee panden aangebreid worden. Het patroon van de trui ziet er dan zo uit: RUGPAND MOUW MOUW De pijlen duiden de breirichting aan. VOORPAND Het enige wat je dan nog moet dichtnaaien zijn de zijnaden en de lengtenaad van de mouwen. De breirichting van het voor- en achterpand staat hier loodrecht op de breirichting van de mouwen. In de afgewerkte trui zijn de mouwen van boven op de schouders naar beneden (naar de pols) gebreid. De figuur hieronder laat zien hoe je aan de zijkant van je breiwerk steken kunt oprapen om daarna in de richting loodrecht op het eerste deel verder te werken. Doorgaans heb je voor een bepaalde lengte meer rijen (naalden) nodig dan steken. We konden dit al merken bij de verschillende proeflapjes. Als je dan voor elke naald aan de zijkant van het werk een steek opraapt, leidt dit tot te veel steken. Je moet dus nu en dan een naald overslaan en bij voorkeur gelijkmatig verspreid. In deze paragraaf gaan we na hoe we deze spreiding kunnen berekenen. Het interessante is dat we vertrekken vanuit enkele algemene principes die we onszelf opleggen en dat we hieruit vergelijkingen kunnen halen die de wiskundige vertaling zijn van het probleem. 26

16 onder de loep Een reeks opeenvolgende naalden waarbij we bij elke naald een steek oprapen, noemen we in het vervolg een run. Voor en na een run komt een naald waarbij we geen steek oprapen. Het aantal opgeraapte steken in die run is de lengte van de run. In deze paragraaf berekenen we hoe lang de verschillende soorten runs moeten zijn en hoeveel we er van elke soort moeten nemen om een goede spreiding te krijgen. Berekening van de runs op te rapen steken We werken meteen in het algemeen. Stel dat we s steken moeten oprapen gelijkmatig verspreid over n naalden. We weten dat s n. We zullen dan in n s naalden geen steek mogen oprapen. Het komt er dus op aan om deze n s naalden goed te verdelen over de n naalden. We spreken de volgende (aanvaardbare) principes af. Uit de berekeningen zal blijken dat deze eisen niet onredelijk zijn en dat er steeds een oplossing te vinden is. De eerste en de laatste naald mag niet overgeslagen worden. We slaan nooit twee opeenvolgende naalden over. We beperken het verschil in lengte van de verschillende runs tot 1. Indien er keuze is, verkiezen we zo lang mogelijke runs. Uit de derde voorwaarde hierboven weten we dat we alleen runs hebben van lengte l en van lengte l + 1. Noteer met a het aantal runs van lengte l en met b het aantal van lengte l + 1. We drukken uit dat het totaal aantal opgeraapte steken gelijk moet zijn aan s. In deze uitdrukking is s bekend en zijn a, b en l onbekenden. al b( l 1) s (1) Een volgende vergelijking drukt uit dat het totaal aantal naalden, zowel die waar een steek wordt opgeraapt (in totaal s) als die waar geen steek wordt opgeraapt (in totaal ab 1), gelijk is aan n. s ( a b 1) n. (2) Merk op dat zowel de coëfficiënten als de onbekenden in deze vergelijkingen natuurlijke getallen voorstellen. Een vergelijking met gehele coëfficiënten en gehele oplossingen, noemt men een diophantische vergelijking. Wiskundig gezien moeten we dus een stelsel van (niet lineaire) diophantische vergelijkingen in de onbekenden a, b en l oplossen: a l b ( l 1) s. s ( a b 1) n Als we de termen in de tweede vergelijking herschikken, krijgen we a b ( n s) 1. (3) Het totaal aantal runs is dus één meer dan het verschil tussen het aantal naalden en het aantal op te rapen steken. Vergelijking (1) kunnen we herschrijven als s l ( a b) b. Door in deze uitdrukking vergelijking (3) in te vullen krijgen we 27

17 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) s l ( n s 1) b. (4) In uitdrukking (4) zijn s en ns 1 gekende waarden. Beide getallen zijn van nul verschillende natuurlijke getallen. De structuur van de vergelijking geeft ons een onverwachte methode om een oplossing te vinden voor l en b, namelijk door de euclidische deling uit te voeren. Deel het getal s door ns 1 en het quotiënt is een mogelijke waarde voor l en de rest is een waarde voor b. Het is mogelijk dat dit niet de enige oplossing is, maar op deze manier kunnen we al zeker een oplossing vinden voor l en b uit vergelijking (4). Zodra l en b gekend zijn, kunnen we a berekenen, gebruik makend van (3). We passen dit nu toe op een voorbeeld. Neem voor het aantal op te rapen steken s = 82 en voor het aantal naalden n = 96. Dat betekent dat we 14 naalden moeten overslaan bij het oprapen van de steken. Om l en b uit vergelijking (4) te vinden, moeten we s (= 82) delen door ns 1 (= 15). Dit geeft quotiënt 5 en rest 7. Bijgevolg hebben we l 5 en b 7. Voor a vinden we door middel van vergelijking (3) a ( n s) 1b We moeten dus 8 runs van 5 steken en 7 runs van 6 steken maken. Uniciteit van de oplossing Stel nu dat we in het voorbeeld een andere keuze gemaakt hadden voor l en b, bijvoorbeeld l 4 en b 22. Deze twee getallen voldoen ook aan vergelijking (4). Er duikt echter een (onverwacht) probleem op bij de berekening van a. Dit geeft immers a ( n s) 1b Aangezien a een aantal runs is, is een negatieve waarde voor a onmogelijk. Het volstaat dus niet om getallen l en b te nemen die vergelijking (4) doen kloppen. We moeten ze zo kiezen dat de waarde voor a die we uit vergelijking (3) halen, positief is. Omdat a het aantal kleinste runs is, kunnen we zelfs zeggen dat a strikt positief moet zijn. Dit betekent dat we moeten eisen dat a ( n s) 1b 0. Dit geeft een voorwaarde voor b, namelijk b n s 1. Anderzijds moet ook b positief zijn (eventueel 0, indien alle runs dezelfde lengte hebben). Met andere woorden hebben we gevonden dat de rest b voldoet aan de tweede voorwaarde uit de stelling van de euclidische deling (namelijk: de rest is positief en kleiner dan de deler): 0 b n s 1. De stelling van de euclidische deling garandeert ons dan niet alleen dat er een oplossing is, maar dat die ook nog eens uniek is! De laatste voorwaarde hebben we dus niet nodig. Er is immers geen keuze tussen verschillende oplossingen. De verdeling van de berekende runs Eens we het aantal en de lengte van de runs berekend hebben, moeten we nog een manier vinden om deze runs onderling te schikken. Voor dit probleem is het minder duidelijk welke principes we moeten 28

18 onder de loep hanteren. De enige regel die voor de hand ligt, is streven naar symmetrie. Voor het voorbeeld hierboven zou je het als volgt kunnen aanpakken: alterneer de 5-runs met 6-runs waarbij je begint (en bijgevolg ook eindigt) met een 5-run. Een echt algemene methode is er niet en in sommige gevallen is het zelfs onmogelijk om symmetrisch werken. Dit is bijvoorbeeld het geval met 1 run van 6 steken en 5 runs van 7 steken. b. De kop van een mouw De kop van een ingezette mouw heeft een typische vorm zoals in de eerste figuur uit de werktekst hieronder. We gaan in deze paragraaf op zoek naar een verklaring voor deze vorm. Meer gestileerd kunnen we een mouw bekijken als een cilinder die schuin door een vlak wordt afgesneden. Dit zal de start zijn van ons onderzoek. De kop van de mouw Mouwen zijn er in allerlei vormen en modellen. De meest frequente vorm vind je in de figuur hiernaast. Het is een conische mouw die toeloopt naar de manchet toe. Als we de zaak wat vereenvoudigen, dan kunnen we een mouw bekijken als een schuin afgesneden cilinder. Hoe de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder er uitziet, kun je experimenteel nagaan door rond een cilindervormige kaars een blad papier te wikkelen en vervolgens de kaars schuin door te snijden. Als je het blad daarna ontrolt, krijg je een sinusachtige kromme. De kop van een mouw komt overeen met één periode van deze golf. Een andere prettige manier om deze ontwikkeling te zien, krijg je als je een (propere) verfrol voorzichtig schuin in de verf stopt en vervolgens uitrolt op de muur. Ook hier krijg je een sinusachtige tekening. We pakken het nu wat wiskundiger aan. Wanneer een cilinder gesneden wordt door een vlak, dan is de doorsnede een ellips. Het is echter niet deze ellips die we willen beschrijven, wel de vlakke ontwikkeling ervan. Als referentiehoogte nemen we het horizontale vlak door het middelpunt van de ellips. De straal van de cilinder is r en de hoek die het snijvlak maakt met 29

19 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) het horizontale vlak noemen we. In de ontwikkeling moeten we dan de hoogte berekenen die hoort bij een lengte x gemeten langs de cirkelboog in het horizontale vlak. Dit is dus de lengte van de boog AB in de figuur (a) hieronder. De hoogte is in de figuur aangegeven met de letter T. In figuur (b) is de ontwikkeling van de cilinder met daarop de bovenste helft van de ellips getekend. h O 1. Leg uit waarom in figuur (b) x tussen 0 en r moet liggen. (In de figuur is alleen gekeken naar het stuk van de ellips dat boven het horizontale vlak ligt. Bijgevolg is x maximaal een halve omtrek van de cirkel in het horizontale vlak en dit is r.) 2. Stel AOB. Geef het verband tussen x en. (x is de booglengte van de boog AB op de middelpuntshoek in een cirkel met straal r. Bijgevolg is xr. Hierbij is de hoek uitgedrukt in radialen.) 3. Zoek een uitdrukking voor T in functie van. (We voeren nog enkele benamingen toe aan de figuur hierboven. De rechthoekige driehoeken BCD en QPO zijn gelijkvormig (omwille van evenwijdigheid van de zijden). T T De hoeken in O en D zijn bijgevolg gelijk. Dan vinden we tan. DB r sin P h C O D Q h Bijgevolg is T rsin tan. Verder is tan. We vinden dus dat T hsin.) r 4. Combineer nu je antwoorden op de vragen 2 en 3 om een formule te vinden voor T in functie van x. Dit is het voorschrift van de grafiek in de figuur (b) hierboven. (Uit xr en T hsin vinden we T hsin x r.) 30

20 onder de loep 5. Hoe zit het met het stuk onder het horizontale vlak? (We moeten de hoogte T dan negatief rekenen. Ook x is dan negatief. De hoek is negatief zodat we opnieuw de formule T hsin x vinden. Deze formule geldt dus voor r x r, r.) De bovenrand van de ontwikkeling van de schuinafgesneden cilinder is dus inderdaad een sinusfunctie. Hiernaast vind je de beschrijving uit het patroon voor de bovenkant van de mouw uit de figuur uit de werktekst (hier voor de kleinste maat). Het geeft (uiteraard) geen perfecte sinus, maar je merkt wel dat er eerst sterk afgekant wordt, daarna veel minder en tot slot terug veel sterker. De mouw wordt bovenaan iets meer afgeplat dan de Op 44 cm tot. hoogte aan weersz. elke twee nld. afk.: 1 maal 3 st., 2 maal 2 st., 10 maal 1 st., 2 maal 2 st. en 1 maal 3 st. De overige 13 st. in één keer afk. sinusfunctie. Waarschijnlijk heeft de jarenlange ervaring van generaties breisters geleerd dat dit tot een mooier resultaat leidt. 4. Wildbreien maar met een plan Wildbreien is een nieuwe rage maar eigenlijk bestaat het fenomeen al heel lang. Wie kent niet de gehaakte hoedjes die je kan gebruiken om de reserverol wc-papier op een esthetische manier weg te bergen? Het wildbreien is een rage overgewaaid uit Amerika en het verspreidt zich als een lopend vuurtje over de wereld. Breiwerkjes zijn een volwaardig onderdeel geworden van de straatkunst, het vrouwelijk antwoord op graffiti, weerbarstig, niet agressief. Als je de termen knit graffiti of yarn bombing googelt, krijg je kleurrijke voorbeelden te zien van overal in de wereld. Hieronder zie je enkele foto s van het Mechelseplein in Antwerpen op het einde van de voorbije zomer. Waarom wildbreien? Om een glimlach op te wekken bij de voorbijgangers, je doet iets wat geen ander doel dient dan mensen blij te maken. Knit graffiti tegenkomen op straat is een verrassing. 31

21 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) Gegarandeerd dat diegene die het opmerkt even stilstaat, op zijn hoofd krabt en denkt: Wat is dat nu?, met een glimlach verder loopt. En dat is juist de bedoeling. Sommigen vinden wildbreien pure verspilling van wol of vinden het vandalisme. Maar je beschadigt er niets mee en het is makkelijk weg te halen. Het fijne aan handwerken is ook dat het een brug slaat tussen generaties: het is hip bij jonge mensen, maar ook oudere vrouwen doen graag mee. Het is voor meisjes en voor jongens en ook leuk om met een hele klas of school te doen. De oudere generaties hebben nog allemaal leren breien en haken op school, bij de jeugd is dat veel minder het geval. Het is een ideale manier om samen met je oma iets te doen. Maar ook op het internet vind je tegenwoordig heel goede filmpjes die stap voor stap de technische uitleg geven en tonen over alle steken, technieken en patronen De essentie van wildbreien is dat je iets inpakt. Je bepaalt zelf wat. Je kunt heel eenvoudig beginnen. Je kunt breien met alle (restjes) wol die voorhanden is. Je kunt zelfs oude truien recycleren door ze uit te trekken. Als je niet veel geduld hebt, kun je dikke wol en dikke naalden gebruiken. Dan gaat het lekker snel! Je kunt zomaar wat breien en nadien zien waar het past maar dat willen we hier uiteraard niet promoten! Loop door je huis, klas, straat, school en laat je inspireren door wat je ziet. Neem de maat (makkelijkst met een lintmeter) en schrijf ze op. De werkwijze is eigenlijk steeds dezelfde: brei een proeflapje van een aantal steken en een aantal toeren, bepaal de stekenverhouding en zet de afmetingen van je ontwerp om naar een aantal steken en aantal toeren of rijen. We starten met eenvoudige projectjes en de moeilijkheidsgraad neemt dan toe. We beginnen met een rechte paal om te eindigen met een bol en zelfs een torus. De werkteksten kunnen gebruikt worden om de berekeningen te doen. Het uitvoeren kan uitbesteed worden. Het is echt niet moeilijk om mensen iets voor je te laten breien of haken, als je hen de werkbeschrijving en de wol bezorgt. In sommige steden worden de bewoners van rusthuizen ingeschakeld om wildbreiprojecten te realiseren. We kijken uit naar foto s van jullie verwezenlijkingen! a. Paal of boom We beginnen met een eenvoudig project: een paal of een boom. 32

22 onder de loep Pak eens een boom in Als je de stam van een boom wil inpakken, kun je niet om de boom heen breien, de kruin zit in de weg! 1. Welke afmetingen heb je nodig om een stuk van de stam van een boom of een paal in te pakken? (De omtrek en de hoogte) Stel dat de stam van een boom een omtrek van 57 cm heeft. Je wil hem een jasje geven van 40 cm hoog. 2. Welke vorm moet je lap hebben? Maak een schets en zet de afmetingen erbij. (Een rechthoek.) 40 cm 57 cm Deze afmetingen moeten we omzetten in een aantal steken en rijen. Op het etiket van de wol staat dat 18 steken en 24 rijen gebreid met naalden 5, een vierkant van 10 cm op 10 cm oplevert. 3. Hoeveel steken moet je opzetten? ( 57 1,8 102,6. We ronden naar boven af, beter iets te groot dan iets te klein.) 4. Hoeveel rijen moet je breien? (96 rijen.) Bedenk eventueel een origineel streepjes- of stekenpatroon in verschillende kleuren. 5. Maak hiervoor een breibeschrijving. (Bijvoorbeeld: zet 103 steken op met naalden nummer 5, brei afwisselend 8 naalden in het rood en het blauw. Na dit zes keer in beide kleuren gedaan te hebben, kant je af.) b. Een tv inpakken Je begint uiteraard met een proeflapje om de stekenverhouding te bepalen. Dikke wol gaat snel vooruit. Als je geen dikke wol vindt, dan gebruik je gewoon drie of vier bollen tegelijkertijd, dat gaat ook. Breien met dikke, zware naalden is ook weer eens iets helemaal anders! Om de tv in te pakken kun je best eerst een soort kartonnen behuizing maken waarvan het achterdeel kan open klappen. Deze doos wordt dan met breiwerk bekleed. Mocht je alleen een breiwerk maken, dan zakt dit vormeloos in elkaar! 33

23 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) Een jasje voor de tv Om deze tv (nog geen flatscreen) een beetje hipper te maken, willen we hem voorzien van een jasje. Dit moet onderaan open zijn en de achterkant moet kunnen openklappen zoals je op de foto kan zien. De afmetingen zijn als volgt: de tv is 38 cm breed, 34 cm hoog en 37 cm diep. Het scherm is 28 cm breed en 22 cm hoog. Het is de bedoeling dat je een breibeschrijving maakt die je dan ofwel zelf kan uitvoeren ofwel kan laten uitvoeren. 1. Teken een lap die je moet breien zodat er zo weinig mogelijk aan elkaar moet genaaid of gehaakt worden achteraf. (Er zijn meerdere ontwikkelingen mogelijk maar bij het rechtse model moet je iets langere zijden aan elkaar naaien. De schetsen respecteren niet de juiste afmetingen.) 2. Zet alle afmetingen (in cm) op de schets. We breien dit jasje in hele dikke wol: als we breien met naalden nr.12 geven 8 steken en 12 rijen een vierkant proeflapje van 10 cm op 10 cm. 3. Zet alle afmetingen om in steken en rijen. 4. Stel een breibeschrijving op voor dit project. 34

24 onder de loep c. Kegel Om een kegel in te pakken kan je best in het rond breien met 4 naalden of een rondbreinaald. Het mooiste resultaat krijg je als je van onder naar boven werkt omdat je dan steken moet minderen. De minderingen moeten gelijkmatig verdeeld worden over een aantal rijen. Je kunt dit doen met runs zoals in paragraaf 3a of op een meer intuïtieve manier. Wij kiezen hier voor de tweede manier. Als je in het rond breien niet ziet zitten kan je ook een vlakke lap breien om de kegel in te pakken Nadien moet je hem dan met een naad dichtnaaien. Pak een (afgeknotte) kegel in Een verkeerskegel is (zonder de onderste rand) 50 cm hoog. Onderaan is de omtrek 61 cm, bovenaan is de buitendiameter 5cm. Het proeflapje van 10 cm bij 10 cm heb je verkregen met 10 steken en 14 rijen als je met naalden nr. 8 gebreid hebt. 1. Bereken de omtrek bovenaan. (15,7 cm) 2. Hoeveel steken moet je onderaan opzetten? (61) 35

25 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) 3. Hoeveel steken moet je bovenaan overhouden? (16, we ronden af naar boven.) 4. Hoeveel steken moet je minderen? (45) 5. Hoeveel rijen moet je maken? (Bereken eerst de lengte van het apothema. Die is 50,5 cm of 71 rijen.) 6. De minderingen moeten zo goed mogelijk verdeeld worden over de rijen. Hoe kun je dit doen? (Elke toer een mindering maken is te veel, elke twee toeren is te weinig. Als je in elke even rij een mindering doet, heb je er al 35. De overige 10 minderingen moet je nog verdelen over 36 oneven rijen. Dit kan best gebeuren om de acht (!) rijen, te beginnen bij de 3 de rij, daarna nog in rij 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67. Vermits je dan nog één mindering te weinig hebt, doe je nog een mindering in de 69 ste rij bijvoorbeeld.) 7. Maak een breibeschrijving. d. Theepot Om een theepot in te pakken moet je de omtrek meten op verschillende plaatsen. Afhankelijk van de vorm van je theepot zal hij niet overal gelijkmatig afnemen of toenemen in omtrek. Maak een schets van de lap die je moet breien. Zet de afmetingen weer om in steken en in toeren. Zorg voor een gat voor het oor en de tuit. Probeer de meerderingen en de minderingen zo goed mogelijk te verdelen over de toeren. e. Een bol inpakken Bijna al onze grootmoeders en overgrootmoeders breiden mutsen. Ze deden dit op goed geluk. Het kwam er niet op aan indien een muts iets te puntig was of indien ze hier en daar een uitstulping had. Als ze maar warm genoeg was om de barre winters van de vorige eeuw te kunnen trotseren. Tegenwoordig breien jonge moeders tweepuntige kabouter Plop-mutsen voor hun modebewuste kleuters. Ook hier wordt enige afwijking in vorm getolereerd. Als ze maar voorzien zijn van rinkelende belletjes aan de uiteinden. Wat beslist moeilijker is dan het breien van deze modellen, is het ontwerpen van muts in de vorm van een perfecte halfbol. Met twee van deze halfbollen (of hemisferen) kun je een bol inpakken. De bolvormige mutsen moet je zo onzichtbaar mogelijk aan elkaar naaien op de evenaar. Of je een bol ook kunt inpakken met een breiwerk uit één stuk? Jazeker, maar daar is meer vakmanschap voor nodig. In het atelier van professioneel breiwerkontwerpster Hilde Frunt zagen we een gebreide overtrek voor bolvormige tuinlampen. Het geheel was zo ontworpen dat de glazen bollen konden bevrijd worden door een rekbare opening aan de onderkant van de bol. De hoezen waren gemaakt van rekbare steken: het aantal steken blijft constant over heel de bol maar de fantasiesteken varieerden in breedte en rekbaarheid. Hilde Frunt had meer dan een jaar nagedacht over de manier waarop ze zulk een afneembare en reinigbare hoes kon breien. Wij doen het hieronder op een makkelijkere manier. 36

26 onder de loep Wildbreien rond een bol In deze werktekst zullen we een bol inpakken in een breiwerk. Het gaat hier over een willekeurige bol: een petanquebal, een bolvormige lamp, een wereldbol, een marmeren tuinbol, een perfect bolvormige watermeloen Je moet het ontwerp enkel uitdenken. De uitvoering mag je eventueel overlaten aan je ((over-)groot-)moeder. Bedenk dat grote ontwerpers ook geschikt personeel in dienst hebben om hun grilletjes in realiteit te laten omzetten. In elk geval is het niet slecht je ideeën aan de realiteit te toetsen. Als je een strandbal zou willen inpakken, kun je een volledig bolvormige hoes maken waarin je een klein gaatje vrij laat. Door dit gaatje prop je de lege strandbal. Daarna blaas je hem weer op. Bij massieve ballen lukt het niet op deze manier. De handigste manier van werken is dan het maken van twee mutsen die elk een halve bol kunnen overdekken. Je stopt de bol tussen de twee mutsen en naait beide helften zo onzichtbaar mogelijk aan elkaar met de ronde randen. Je kunt ze ook aan elkaar haken maar dan zie je een verdikking op de evenaar. Nu de opgave. Stel dat je een vierkant proeflapje hebt gebreid met wol of katoen met een bepaalde naalddikte: 10 cm komt overeen met a steken, 10 cm komt ook overeen met b rijen. Je wilt een bolle muts maken met een straal van 20 cm. De muts mag geen naad hebben. Dit wil zeggen dat je in het rond moet breien. Je ((over-)groot-)moeder weet wel hoe ze dit moet doen. Een klassieke methode werkt met vier naalden: verdeel de steken in het begin over drie naalden in een driehoekige opstelling en begin te breien met een vierde naald. De vraag is nu: hoeveel rijen moeten er gebreid worden en hoeveel steken staan er op elke rij? Hieronder zie je een samenvatting van alle gegevens. De vragen van de werktekst zullen je stapsgewijs tot bij de oplossing leiden. 1. Bereken een kwart van de cirkelomtrek. (10 cm) 2. Hoeveel rijen heb je nodig om deze afstand te overbruggen. Let wel, indien je geen geheel getal uitkomt, moet je naar boven afronden. Het is beter dat de hoes iets te groot is dan iets te klein. Noem dit afgeronde getal n. ( n b ) 3. We nummeren de gebreide rijen (of liever cirkels) van 0 tot en met 1 n. Welke middelpuntshoek α i (zie tekening) heb je nodig om de onderkant van de i-de rij aan te wijzen? 37

27 Uitwiskeling 28/1 (winter 2012) i ( i ) b 2 4. Bereken uit de hoek α i en de straal van de bol de straal r i van de onderkant van de i-de rij. i ( ri 20cos cm) b 2 5. Hoe groot is de omtrek p i van de i-de rij? i ( pi 40 cos cm) b 2 6. Hoeveel steken f() i heb je nodig voor de i-de rij? Ook hier wordt er gevraagd naar een geheel getal. Een steekje teveel is minder erg dan een steekje tekort. i ( f ( i) 4a cos ) b 2 7. We passen deze formule toe voor een proeflapje met a 22 en b 25. Hoe ziet de formule uit de vorige vraag er dan uit? i ( f( i) 88 cos ) Maak gebruik van ICT om het aantal steken van alle rijen uit te rekenen. Maak ook een grafiek met het rijnummer op de horizontale as en het aantal steken op de verticale. (Eerst moet je berekenen hoeveel rijen er nodig zijn. Bij de bovenste rij verwachten we 0 steken. De muts moet immers sluiten bovenaan. Uit f( i) 0 volgt in enkele stappen dat i 25. Dit betekent dat het aantal rijen n gelijk is aan 79. We nummeren deze rijen bijgevolg van 0 tot 78. Je kunt gebruik maken van een waaier wiskundesoftware om het aantal steken per rij uit te zetten in een tabel of in een grafiek. 38

28 onder de loep 9. Welke instructies geef je je personeel om de steken esthetisch te minderen? (Binnen elke cirkel gelijkmatig minderen, bijvoorbeeld voor de 70 ste rij moet je 5 steken minderen d.w.z in elk blokje van 11 steken twee steken samennemen. Zorg er ook voor dat de samengenomen steken zo min mogelijk boven de samengenomen steken van de vorige cirkel liggen.) 10. Wat doe je met de laatste 6 steken? (Samentrekken met een stropje.) f. Een torus inpakken De opdracht die hier uitgewerkt wordt, is heel gelijklopend aan de voorgaande. Het inpakken van een torus (een zwemband of een donut) vraagt iets meer ruimtelijke verbeeldingskracht maar is ook iets spectaculairder. In deze toepassing proberen we wat dieper door te gaan in het rekenen met parameters. In de vorige werktekst maakten we gebruik van de twee parameters van het proeflapje, a en b. Bij het probleem van de torus duiken vier parameters op: het aantal rijen en steken van een proeflapje van 10 cm op 10 cm, de straal van de grote cirkels van de torus en de straal van de kleine cirkels van de torus. Na een vrij lange afleiding voor de formule van het aantal steken op de i-de rij, waarbij er totaal geen tussentijdse controle is op de juistheid van de tussenformules, krijgen de leerlingen pas feedback 39