Gelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09)

Transcriptie

1 Gelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09) LCGJM Habets Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Abstract In de syllabus bij het college Matrixtheorie 1, die in het academisch jaar gebruikt wordt bij het college Lineaire Algebra C (2WF09), wordt in Hoofdstuk 7 de Jordan normaalvorm ingevoerd Tijdens het college is echter gekozen voor een aanpak die enigszins afwijkt van datgene wat in de syllabus staat In deze aanvulling op het dictaat wordt deze alternatieve aanpak nader uitgewerkt 77 Diagonaliseerbaarheid In Hoofdstuk 7 van de syllabus bij het college Matrixtheorie 1 wordt gelijkvormigheid van matrices behandeld Hiertoe worden verschillende begrippen ingevoerd, zoals eigenwaarde, eigenruimte, geometrische multipliciteit, karakteristiek polynoom, minimaalpolynoom etc In deze aanvulling worden de definities van deze begrippen daarom niet gegeven; men dient hiervoor de syllabus te raadplegen De eerste vraag die bij het bestuderen van gelijkvormigheid opduikt, is de vraag of een gegeven matrix diagonaliseerbaar is, dwz of de matrix gelijkvormig is met een diagonaalmatrix In dat geval zullen de eigenwaarden van de matrix als diagonaalelementen optreden Voor diagonaliseerbaarheid van matrices zijn in Sectie 73 van de syllabus enkele equivalente condities gegeven Stelling 71 Zij A M n (F), met spectrum σ(a) = {λ 1,, λ p } F, en veronderstel dat voor i = 1,, p, de geometrische multipliciteit van eigenwaarde λ i gelijk is aan m i = dim(n (A λ i I)) Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) A is diagonaliseerbaar, (ii) A heeft een basis van eigenvectoren, (iii) m i = n In de volgende stelling is het de bedoeling om diagonaliseerbaarheid in verband te brengen met eigenschappen van het minimaalpolynoom Stelling 72 Zij A M n (F), en zij λ 1,, λ p F onderling verschillend volgende beweringen equivalent: Dan zijn de (i) A is diagonaliseerbaar en σ(a) = {λ 1,, λ p }, 1

2 (ii) Het minimaalpolynoom van A is ϕ 0 (z) = (z λ i ) (iii) σ(a) = {λ 1,, λ p } en dim(n (A λ j I)) = n Bewijs: (i) = (ii): Zij A M n (F) diagonaliseerbaar Dan is er een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix Λ, zó dat A = P ΛP 1 Als Λ = diag(λ 1 I 1, λ 2 I 2,, λ p I p ), dan Λ k = diag(λ k 1 I 1, λ k 2 I 2,, λ k p I p), en voor ieder polynoom ϕ F[s] geldt ϕ(λ) = diag(ϕ(λ 1 )I 1,, ϕ(λ p )I p ) Daaruit volgt dat ϕ(a) = P diag(ϕ(λ 1 )I 1,, ϕ(λ p )I p )P 1 Er geldt dus dat ϕ een annihilerend polynoom voor A is, dan en slechts dan als λ 1,, λ p nulpunten zijn van ϕ Het polynoom van de kleinst mogelijke graad dat aan deze eis voldoet is ϕ 0 (z) = (z λ i ) Derhalve is dit het minimaalpolynoom van A (iii) = (i): Uit (iii) volgt dat A een basis heeft van eigenvectoren Volgens Stelling 71 betekent dit dat A diagonaliseerbaar is (ii) = (iii): Dit is de moeilijke stap Hieronder geven we een bewijs met behulp van Lagrange interpolatie polynomen Zij ϕ 0 (z) = p (z λ i) het minimaalpolynoom van A We definiëren de Lagrangeinterpolatiepolynomen L j, (j = 1,, p) als volgt: L j (z) :=,i j z λ i λ j λ i (1) Dan volgt dat L j (λ i ) = δ ij, met δ ij de Kronecker delta Er geldt nu dat L i (z) = 1, λ i L i (z) = z Meer algemeen kan men zelfs bewijzen dat voor ieder polynoom ψ met een strikt kleinere graad dan ϕ 0 geldt dat ψ(z) = ψ(λ i )L i (z) Immers, als f(z) = ψ(z) p ψ(λ i)l i (z), dan f(λ j ) = 0 voor alle j = 1,, p Dan is f een polynoom van graad p 1, met tenminste p verschillende nulpunten Alleen het nulpolynoom heeft deze eigenschap 2 (2) (3)

3 Vervolgens definiëren we voor j = 1,, p: Dan geldt E j := L j (A) (a) E j 0, want de graad van L j is p 1, en dat is strikt kleiner dan de graad van het minimaalpolynoom van A (b) E i E j = 0 voor i j, want dan geldt ϕ 0 L i L j, en omdat ϕ 0 (A) = 0 volgt dan E i E j = L i (A)L j (A) = 0 (c) (d) E i = L i (A) = I λ i E i = λ i L i (A) = A (e) Voor alle j = 1,, p is E j een projectie, omdat E j = E j I = E j E i = E j E i = Ej 2 We laten nu zien dat voor alle j = 1,, p geldt dat N (A λ j I) = R(E j ) (5) Zij x R(E j ) Dan geldt x = E j x, want E j is een projectie Er volgt nu (A λ j I)x = ( λ i E i λ j E i )x = = (λ i λ j )E i E j x = (λ j λ j )Ej 2 x = 0 Zij x N (A λ j I) Dan geldt (A λ j I)x = (λ i λ j )E i x = 0,i j Dus volgt voor alle k j: 0 = E k 0 = (λ i λ j )E k E i x = (λ k λ j )Ek 2 x = (λ k λ j )E k x,i j Daar λ k λ j, concluderen we dat E k x = 0 voor alle k j Dit impliceert dat x = p E ix = E j x, en derhalve x R(E j ) Tot slot bewijzen we (iii) Omdat p E i = I en E i E j = 0 voor i j, geldt V = R(E 1 ) R(E 2 ) R(E p ) = N (A λ 1 I) N (A λ 2 I) N (A λ p I) Hieruit volgt dim(n (A λ i I)) = dim(v ) = n Het feit dat σ(a) = {λ 1,, λ p } is duidelijk, omdat dit precies alle nulpunten van het minimaalpolynoom zijn 3 (4)

4 78 Reductie van een algemene matrix Niet iedere matrix is diagonaliseerbaar Dit volgt uit de noodzakelijk en voldoende voorwaarden in Stelling 72, waar niet altijd aan voldaan is Het eenvoudigste voorbeeld vormt de matrix ( ) 0 1 A = 0 0 Het polynoom ϕ 0 (z) = z 2 is het minimaalpolynoom van A, maar dit polynoom heeft een tweevoudig nulpunt in 0, en derhalve kan A niet diagonaliseerbaar zijn Toch willen we ook van alle niet-diagonaliseerbare matrices de gelijkvormigheidseigenschappen onderzoeken, en iedere equivalentieklasse met een zo eenvoudig mogelijke representant karakteriseren Het probleem bij niet-diagonaliseerbare matrices is dat er voor deze matrices geen basis van eigenvectoren bestaat Daarom gaan we eerst het begrip eigenruimte bij een eigenwaarde wat verder uitbreiden Stelling 73 Zij A M n (F), en λ σ(a) Voor alle j N definiëren we N j := N ((A λi) j ) en µ j := dim(n j ) Dan is er een getal h N, 1 h n, zodanig dat (i) {0} = N 0 N 1 N h, (ii) N j = N h voor alle j > h In het bijzonder geldt 0 = µ 0 < µ 1 < < µ h, en µ j = µ h voor j > h (6) Definitie 74 In de situatie zoals beschreven in Stelling 73 gebruiken we voor de daar ingevoerde notaties de volgende terminologie: h heet de index van eigenwaarde λ, Σ(λ) = (µ 1,, µ h ) heet de multipliciteitenrij van λ, µ 1 heet de geometrische multipliciteit van λ, µ h heet de algebraïsche multipliciteit van λ Bewijs van Stelling 73: Eerst laten we zien dat N j N j+1 Zij x N j Dan (A λi) j x = 0, en dus zeker (A λi) j+1 x = (A λi)(a λi) j x = 0 Stel nu dat N j 1 = N j We laten zien dat dan N j = N j+1 Duidelijk is dat N j N j+1 Stel nu x N j+1 Dan (A λi) j (A λi)x = 0, en dus (A λi)x N j = N j 1 Derhalve (A λi) j x = (A λi) j 1 (A λi)x = 0, en x N j We concluderen nu dat de rij µ 0, µ 1, strikt stijgend is, totdat de rij constant wordt Bovendien geldt µ j n voor alle j N Er is dus een getal h N, 1 h n, zó dat aan het gestelde in (6) voldaan is Uit de definitie van index en multipliciteitenrij volgt dat, evenals het spectrum, deze eigenschappen van een matrix invariant zijn onder gelijkvormigheidstransformaties Lemma 75 De index en multipliciteitenrij van een eigenwaarde van een matrix A M n (F) veranderen niet onder gelijkvormigheidstransformaties 4

5 Bewijs: Voor ieder getal λ F en inverteerbare matrix P M n (F) geldt dim(n ((P 1 AP λi) j )) = dim(n (P 1 (A λi) j P )) = dim(n ((A λi) j )) Het volgende lemma laat zien dat de index van een eigenwaarde λ van een matrix A gerelateerd kan worden aan de multipliciteit van λ als nulpunt van het minimaalpolynoom van A Lemma 76 Zij A M n (F) en veronderstel dat het minimaalpolynoom ϕ 0 van A geschreven kan worden als ϕ 0 (z) = (z λ) k ψ(z), (7) met k > 0 en ψ(λ) 0 Dan is λ een eigenwaarde van A met index k Bewijs: Het is duidelijk dat λ σ(a), en daarom volstaat het om te bewijzen dat µ k 1 < µ k = µ k+1 Daar ϕ 0 het minimaalpolynoom is van A, volgt uit (7) dat (A λi) k ψ(a) = 0 en (A λi) k 1 ψ(a) 0 Dus im(ψ(a)) is bevat in N ((A λi) k ), maar niet in N ((A λi) k 1 ) Dus N ((A λi) k 1 ) N ((A λi) k ), en derhalve µ k 1 < µ k Vervolgens bepalen we, door middel van deling met rest een polynoom α zodanig dat Dan geldt: ψ(z) = ψ(λ) + (z λ)α(z) 0 = ψ(a)(a λi) k = (ψ(λ)i + α(a)(a λi))(a λi) k = ψ(λ)(a λi) k + α(a)(a λi) k+1 Zij nu x N ((A λi) k+1 ) Dan geldt ook dat ψ(λ)(a λi) k x = 0 Omdat ψ(λ) 0, volgt dat x N ((A λi) k ) We concluderen dat N ((A λi) k ) = N ((A λi) k+1 ), en dus dat µ k = µ k+1 Stelling 77 Voor een matrix A M n (F), en een getal λ F zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) λ is een eigenwaarde van A met index h, (ii) λ is een h-voudig nulpunt van het minimaalpolynoom ϕ 0 van A Bewijs: (i) = (ii): Zij λ een eigenwaarde van A met index h Dan is λ een nulpunt van het minimaalpolynoom ϕ 0, en dus is er een k N zo dat ϕ 0 (z) = (z λ) k ψ(z) met ψ(λ) 0 Uit Lemma 76 volgt dat µ k 1 < µ k = µ k+1, en dus dat k = h Derhalve is λ een h-voudig nulpunt van ϕ 0 (ii) = (i): Als ϕ 0 (z) = (z λ) h ψ(z), met h 1 en ψ(λ) 0, dan volgt uit Lemma 76 dat µ h 1 < µ h = µ h+1 Dus λ σ(a), en de index van λ is h 5

6 781 Nilpotente matrices Als volgende stap bestuderen we een bepaalde klasse van matrices, met de eigenschap dat de gegeneraliseerde eigenruimte bij een eigenwaarde de hele ruimte is Definitie 78 Een matrix A M n (F) heet nilpotent als er een k N bestaat, zó dat A k = 0 Als A h = 0 en A h 1 0, dan heet h de index van nilpotentie De rij getallen Σ = (µ 1,, µ h ) met µ j = dim(n (A j )) heet de multipliciteitenrij Stelling 79 Voor een matrix A M n (F) zijn de volgende beweringen equivalent: (i) A = λi + H met H een nilpotente matrix met index h, (ii) σ(a) = {λ}, en eigenwaarde λ heeft index h en algebraïsche multipliciteit n, (iii) Het minimaalpolynoom van A is ϕ 0 (z) = (z λ) h Bewijs: (i) = (ii): Veronderstel dat A λi nilpotent is met index h Dan (A λi) h = 0 en (A λi) h 1 0 Kies x V zodanig dat y = (A λi) h 1 x 0 Dan (A λi)y = (A λi) h x = 0, en daarmee is y een eigenvector van A bij eigenwaarde λ, en {λ} σ(a) Zij nu γ σ(a), met eigenvector v Dan (A λi) k v = (γ λ) k v = 0 Daar v 0 volgt dat (γ λ) k = 0, en dus γ = λ We concluderen dat σ(a) = {λ} Omdat (A λi) h = 0 en (A λi) h 1 0 volgt µ h 1 < µ h = n = µ h+1 Dus de index van eigenwaarde λ is h, en de algebraïsche multipliciteit is n (ii) = (i): Als σ(a) = {λ} en eigenwaarde λ heeft index h en algebraïsche multipliciteit n, dan (A λi) h = 0, en (A λi) h 1 0 Definieer H = A λi Dan A = λi + H, en H is een nilpotente matrix met index h (i) = (iii): (A λi) h = 0 en dus is (z λ) h een annihilerend polynoom Minimaalpolynoom ϕ 0 is hiervan een deler Maar (A λi) h 1 0, en dus is ϕ 0 (z) geen deler van (z λ) h 1 Derhalve volgt ϕ 0 (z) = (z λ) h (iii) = (i): Als het minimaalpolynoom van A gegeven wordt door ϕ 0 (z) = (z λ) h, dan (A λi) h = 0 en (A λi) h 1 0 Dus A = λi + H, met H = A λi een nilpotente matrix met index h 782 Grofreductie Voordat we een matrix kunnen transformeren naar een blokdiagonaalmatrix met bijzondere diagonaalblokken (grofreductie), worden eerst twee voorbereidende resultaten afgeleid Eigenschap 710 Zij A = diag(a 1,, A p ), met vierkante diagonaalblokken A 1,, A p, en ϕ 1,, ϕ p de minimaalpolynomen van A 1,, A p Dan is ϕ 0 := kgv(ϕ 1,, ϕ p ) het minimaalpolynoom van A Bewijs: Als A = diag(a 1,, A p ), en ϕ R[s], dan geldt ϕ(a) = diag(ϕ(a 1 ),, ϕ(a p )) Zij ϕ i het minimaalpolynoom van A i, (i = 1,, p), en ϕ 0 (z) het minimaalpolynoom van A Dan geldt in het bijzonder dat ϕ 0 (A i ) = 0 voor alle i = 1,, p, en dus is ϕ 0 een annihilerend polynoom voor alle A i, (i = 1,, p) Er volgt dat voor alle i = 1,, p, het polynoom ϕ i een deler is van ϕ 0 Dit betekent dat ook kgv(ϕ 1,, ϕ p ) een deler is van ϕ 0 Anderzijds is kgv(ϕ 1,, ϕ p ) een annihilerend polynoom van A en dus is ϕ 0 ook een deler van kgv(ϕ 1,, ϕ p ) Er volgt dat ϕ 0 = kgv(ϕ 1,, ϕ p ) 6

7 Lemma 711 Zij p, q R[s], en veronderstel dat p en q in C geen enkel gemeenschappelijk nulpunt hebben Dan zijn er polynomen r, t R[s] zó dat r p + t q = 1 Bewijs: R[s] is een hoofdideaalring Beschouw het ideaal I := p, q, voortgebracht door p en q Dit ideaal heeft een voortbrenger ϕ, en als ϕ nulpunten heeft, dan zijn dit gemeenschappelijke nulpunten van p en q Dus heeft ϕ geen enkel nulpunt in C, en dus is dit polynoom een constant polynoom Derhalve bestaan er polynomen r, t R[s], zo dat rp + tq = 1 Stelling 712 (Grofreductie) Zij A M n (F) met minimaalpolynoom ϕ 0, spectrum σ(a) = {λ 1,, λ p }, indices h 1,, h p en algebraïsche multipliciteiten m 1,, m p Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: (i) Er is een inverteerbare matrix P zó dat P 1 AP = diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p ), met H 1,, H p nilpotent, H j heeft afmetingen m j m j en index h j, (j = 1,, p) (ii) Het minimaalpolynoom van A wordt gegeven door ϕ 0 (z) = (z λ j ) h j (iii) N ((A λ 1 I) h 1 ) N ((A λ 2 I) h 2 ) N ((A λ p I) hp ) = V = F n (iv) m j = n Bewijs: (i) = (ii): Veronderstel dat P 1 AP = diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p ) Zij ϕ j het minimaalpolynoom van λ j I j + H j, (j = 1,, p) Dan geldt volgens Stelling 79 dat ϕ j (z) = (z λ j ) h j Tevens geeft Eigenschap 710 dat ϕ 0 = kgv(ϕ 1,, ϕ p ) Dus volgt ϕ 0 (z) = (z λ j ) h j (ii) = (iii): Veronderstel dat het minimaalpolynoom van A gegeven wordt door ϕ 0 (z) = p (z λ j) h j Zij p(z) = (z λ 1 ) h 1 en q(z) = p j=2 (z λ j) h j Dan p(z)q(z) = ϕ 0 (z), en omdat p en q geen gemeenschappelijke nulpunten hebben, bestaan er volgens Lemma 711 polynomen r, t R[z] zó dat r(z)p(z) + t(z)q(z) = 1 We laten zien dat N (p(a)) N (q(a)) = V Zij x V zó dat p(a)x = 0 en q(a)x = 0 Dan x = r(a)p(a)x + t(a)q(a)x = r(a)0 + t(a)0 = 0, en N (p(a)) N (q(a)) = {0} Evenzo geldt voor iedere x V dat x = p(a)r(a)x + q(a)t(a)x 7

8 Omdat p(a)q(a) = 0 volgt dat p(a)r(a)x N (q(a)) en q(a)t(a)x N (p(a)) Derhalve x N (p(a)) + N (q(a)), en we hebben laten zien dat N ((A λ 1 I) h 1 ) N ( (A λ j I) h j ) = V j=2 Door nu stapsgewijs dit proces voort te zetten, waarbij iedere keer een factor (z λ j ) h j het minimaalpolynoom wordt geïsoleerd, verkrijgen we (iii): uit p N ((A λ ji) h j ) = V (iii) = (iv): Als (iii) geldt, dan volgt onmiddellijk n = dim(v ) = dim( p N ((A λ ji) h j ) = dim(n ((A λ j I) h j )) = m j (iv) = (iii): Omdat de polynomen p j (z) = (z λ j ) h j, (j = 1,, p), geen gemeenschappelijke nulpunten hebben, volgt onmiddellijk dat er in de som N ((A λ 1 I) h 1 ) + N ((A λ 2 I) h 2 ) + + N ((A λ p I) hp ) sprake is van een directe som van deelruimten, allen bevat in V: p N ((A λ ji) h j ) V Bovendien zijn in deze inclusie de ruimtes links en rechts van het -teken wat dimensie betreft aan elkaar gelijk Dit impliceert dat p N ((A λ ji) h j ) = V (iii) = (i): Zij M j = N ((A λ j I) h j ) en veronderstel dat p M j = V Dan zijn alle deelruimten M j, (j = 1,, p), ook A-invariant Immers, als x M j, dwz (A λ j I) h j x = 0, dan ook (A λ j I) h j Ax = A(A λ j I) h j x = 0 We concluderen dat (M 1,, M p ) een p-tupel van reducerende deelruimten is Kies nu een basis voor iedere deelruimte M j, en verenig deze bases tot een basis voor V Ten opzichte van deze basis heeft de matrix van A de vorm P 1 AP = diag(a 1,, A p ), waarbij A j de matrix is van de afbeelding A Mj ten opzichte van de gekozen basis in M j Het minimaalpolynoom van A Mj wordt gegeven door ϕ j (z) = (z λ j ) h j Immers, voor alle x M j geldt (A λ j I) h j x = 0, maar er zijn x M j waarvoor (A λ j I) hj 1 x 0; anders was h j niet de index van eigenwaarde λ j Uit Stelling 79 volgt nu dat de matrix van A Mj gegeven wordt door λ j I j + H j, met H j een m j m j nilpotente matrix met index h j, en dus P 1 AP = diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p ), Men dient zich goed te realiseren dat Stelling 712 slechts vier equivalente uitspraken bevat Als aan één van de voorwaarden (i) tot en met (iv) is voldaan, gelden ook de drie andere eigenschappen Het is dus ook mogelijk dat geen enkele van de vier uitspraken geldig is In dat geval is slechts gedeeltelijke reductie mogelijk, zoals weergegeven in Gevolg 713 Het bewijs ervan berust op dezelfde argumenten als het bewijs van Stelling 712 8

9 Gevolg 713 Zij A M n (F), met minimaalpolynoom ϕ 0, spectrum {λ 1,, λ p }, indices h 1,, h p, en algebraïsche multipliciteiten m 1,, m p, en veronderstel dat de uitspraken uit Stelling 712 niet gelden Dan is er een inverteerbare matrix P zó dat P 1 AP = diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p, B p+1 ), met voor alle j = 1,, p: H j nilpotent, index h j, en afmetingen m j m j, en B p+1 een matrix zonder eigenwaarden in F Het minimaalpolynoom van A is nu ϕ 0 (z) = (z λ j ) h j ψ(z), met ψ(z) het minimaalpolynoom van B p+1, dat in F geen nulpunten heeft Vervolgens richten we onze aandacht op een speciaal, maar zeer belangrijk en veel voorkomend geval: vierkante matrices over de complexe getallen Omdat ieder polynoom met complexe coëfficiënten volledig factoriseerbaar is, is voor deze matrices altijd aan conditie (ii) van Stelling 712 voldaan, en grofreductie dus altijd mogelijk: Stelling 714 Zij A M n (C) met minimaalpolynoom ϕ 0, spectrum {λ 1,, λ p }, indices h 1,, h p en algebraïsche multipliciteiten m 1,, m p Dan is er een inverteerbare matrix P zó dat P 1 AP = diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p ), waarbij I j, H j matrices zijn met afmetingen m j m j, en H j nilpotent is met index h j, (j = 1,, p) Bovendien geldt ϕ 0 (z) = (z λ j ) h j Voor reële matrices is Stelling 714 ook geldig, mits men ze beschouwt als matrices over de complexe getallen Dit betekent dat men expliciet complexe eigenwaarden toestaat en ook de transformatiematrix P complexe elementen kan bevatten Als voorbeeld beschouwen we de matrix ( ) 0 1 A =, 1 0 met minimaalpolynoom ϕ 0 (z) = z Deze matrix heeft geen reële eigenwaarden; de enige nulpunten van het karakteristiek polynoom zijn i en i Als complexe matrix is A zelfs diagonaliseerbaar: ( ) ( ) 1 i voor P = geldt P 1 i 0 AP = i 1 0 i Als men echter slechts reële eigenwaarden, en reële transformatiematrices P toestaat, is de oorspronkelijke matrix A niet te reduceren tot (blok)diagonaalvorm Over het lichaam R voldoet de matrix A dus niet aan de uitspraken in Stelling 712 9

10 783 Karakteristiek polynoom en minimaalpolynoom Voor matrices over de complexe getallen kan men eenvoudig een verband afleiden tussen het minimaalpolynoom en het karakteristiek polynoom, waarbij de index en algebraïsche multipliciteit van de (complexe) eigenwaarden een belangrijke rol spelen Lemma 715 Zij A M n (C), met spectrum σ(a) = {λ 1,, λ p }, en veronderstel dat m i de algebraïsche multipliciteit is van eigenwaarde λ i Dan voldoet het karakteristieke polynoom χ A van A aan χ A (z) = det(zi A) = (z λ j ) m j (8) Bewijs: Gevolg 713 geeft aan dat A gelijkvormig is met de matrix diag(λ 1 I 1 + H 1,, λ p I p + H p ), met I j de m j m j eenheidsmatrix en H j een nilpotente m j m j matrix (j = 1,, p) Daaruit volgt dat χ A (z) = det((z λ j )I j + H j ) Een nilpotente matrix heeft als spectrum {0} (vergelijk Stelling 79) Daarnaast is het karakteristieke polynoom van een complexe m m matrix B een monisch polynoom van graad m, met de eigenwaarden van B als nulpunten Een nilpotente m m matrix H heeft dus χ H (z) = z m als karakteristiek polynoom Er volgt dat det((z λ j )I j + H j ) = (z λ j ) m j, en dus wordt het karakteristieke polynoom van A gegeven door (8) Het resultaat in Lemma 715 verklaart tevens de terminologie algebraïsche multipliciteit Immers, de algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde λ blijkt gelijk te zijn aan het aantal factoren (z λ) in het karakteristieke polynoom van de matrix Merk op dat de algebraïsche multipliciteit oorspronkelijk op een geheel andere wijze is gedefinieerd, namelijk als de dimensie van N ((A λi) h ), waarbij h de index bij eigenwaarde λ is Blijkbaar is de algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde met behulp van het karakteristiek polynoom eenvoudig te bepalen Voor iedere eigenwaarde λ van een matrix A is de bijbehorende index h altijd kleiner of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit µ h van de eigenwaarde Er geldt immers dat de multipliciteitenrij Σ(λ) = (µ 1,, µ h ) een eindig, strikt stijgend rijtje van positieve gehele getallen is, en dus µ h h Voor een complexe matrix A M n (C) met eigenwaarden {λ 1,, λ p }, met bijbehorende indices h 1,, h p en algebraïsche multipliciteiten m 1,, m p is nu het minimaalpolynoom gegeven door ϕ 0 (z) = (z λ j ) h j, (zie Gevolg 713) en het karakteristiek polynoom door χ A (z) = (z λ j ) m j, 10

11 (zie Lemma 715) Daar voor alle j = 1,, p geldt dat h j m j volgt dat het minimaalpolynoom ϕ 0 een deler is van het karakteristiek polynoom χ A In het bijzonder is χ A dus een annihilerend polynoom van A, en is de graad van ϕ 0 kleiner of gelijk aan n Daarnaast kan men deze delingseigenschap gebruiken om met behulp van het karakteristiek polynoom het minimaalpolynoom te bepalen De eigenschap dat het karakteristiek polynoom van een matrix annihilerend is, staat in de literatuur bekend als de Stelling van Cayley-Hamilton: Gevolg 716 (Stelling van Cayley-Hamilton) Voor matrices A M n (C) geldt χ A (A) = 0 Uiteraard is de Stelling van Cayley-Hamilton ook geldig voor reële matrices; door deze als matrices over de complexe getallen te beschouwen, kan men direct Gevolg 716 toepassen Voor matrices in M n (R) zijn echter zowel de coëfficiënten van het karakteristieke polynoom, als de elementen van de matrix reëel, zodat in de Stelling van Cayley-Hamilton alleen reële getallen voorkomen Alleen ons bewijs maakt gebruik van de uitbreiding naar C Het is mogelijk om voor reële matrices de Stelling van Cayley-Hamilton te bewijzen zonder dit uitstapje naar de complexe getallen Daarvoor kan men bijvoorbeeld gebruik maken van determinantentheorie en operatorsubstitutie Daarmee kan men tevens aantonen dat de Stelling van Cayley-Hamilton geldig is voor matrices over willekeurige lichamen F 784 Fijnreductie Indien grofreductie van een matrix A M n (F) mogelijk is, volgt uit Stelling 712 dat er bij iedere eigenwaarde λ j, (j = 1,, p) van A met index h j en algebraïsche multipliciteit m j, een gegeneraliseerde eigenruimte M j = N ((A λ j I) h j ) bestaat, en dat deze ruimtes (M 1,, M p ) een reducerend tupel voor A vormen Door voor iedere ruimte M j, (j = 1,, p) een basis te kiezen, en deze bases samen te voegen tot een basis van V = F n, ziet men onmiddellijk dat A gelijkvormig is met een blokdiagonaalmatrix: P 1 AP = diag(a 1, A 2,, A p ) Hierin is A j, (j = 1,, p), de m j m j matrix van de afbeelding A Mj ten opzichte van de in de ruimte M j gekozen basis Bovendien weten we dat A j = λ j I j + H j, met I j de m j m j eenheidsmatrix, en H j een nilpotente m j m j matrix met index h j In deze paragraaf richten we onze aandacht op één van de diagonaalblokken A j Omdat de basiskeuze in de ruimte M j nog niet is vastgelegd, is het de bedoeling deze zo te kiezen dat de matrix A j van A Mj een zo eenvoudig mogelijke vorm heeft Daar A j = λ j I j + H j, en de matrix van λ j I j ten opzichte van iedere basis van M j hetzelfde is, kunnen we ons hierbij volledig richten op vereenvoudiging van de nilpotente matrix H j Zij H M m (F), nilpotent met index h en definieer voor j = 1,, h, N j := N (H j ) en µ j := dim(n j ) Dan geldt {0} = N 0 N 1 N 2 N h = F m, met strikte inclusies, en heet (µ 1,, µ h ) de multipliciteitenrij van H Lemma 717 Zij H een nilpotente matrix met index h Dan geldt voor alle 0 i j h: H i (N j ) N j i 11

12 Bewijs: Zij y H i (N j ) Dan is er een x N j zó dat y = H i x Omdat x N j geldt tevens H j x = 0 Daaruit volgt dat H j i y = H j i H i x = H j x = 0, en dus y N j i Volgens Lemma 717 wordt de ruimte N j door toepassing van de afbeelding H afgebeeld in N j 1, terwijl N j 1 een deelruimte is van N j van strikt kleinere dimensie Het is duidelijk dat de vectoren in N j 1 na toepassing van H in N j 1 blijven, en daarom zijn we geïnteresseerd in de vectoren uit N j, die een basis van N j 1 aanvullen tot een basis van N j Uit dimensieoverwegingen bevat een dergelijke basisuitbreiding µ j µ j 1 elementen We definiëren nu ν j := µ j µ j 1, (1 j h), en gaan op zoek naar een ν j -dimensionale deelruimte V j, met de eigenschap dat zowel N j 1 V j = N j als dim(h(v j )) = dim(v j ) = ν j Stelling 718 Zij H M m (F) een nilpotente matrix met index h en multipliciteitenrij (µ 1,, µ h ) Dan zijn er niet-triviale deelruimten V 1, V 2,, V h van F m zó dat (i) N j = V 1 V 2 V j voor alle 1 j h, (ii) H(V 1 ) = {0} en H(V j ) V j 1, 2 j h, (iii) H i (V j ) V j i en dim(h i (V j )) = ν j voor 0 i < j h Bewijs: We construeren de ruimtes V j recursief, in de volgorde V h, V h 1,, V 1 (I) Daar N h 1 N h is er een ruimte V h {0} zó dat N h 1 V h = N h (II) (inductiestap) Zij 1 j < h, en veronderstel dat er een ruimte V j+1 bestaat zo dat N j V j+1 = N j+1 We construeren nu een ruimte V j zó dat N j 1 V j = N j Het is duidelijk dat H(V j+1 ) H(N j+1 ) N j Tevens geldt dat H(V j+1 ) N j 1 = {0} Zij immers y H(V j+1 ) N j 1, dan H j 1 y = 0 en er bestaat een x V j+1 zó dat y = Hx Dan H j x = H j 1 Hx = H j 1 y = 0, en dus x N j Omdat N j V j+1 = {0}, volgt dat x = 0, en daarmee y = Hx = 0 We concluderen nu dat H(V j+1 ) en N j 1 disjuncte deelruimten zijn van N j : N j 1 H(V j+1 ) N j Er is dus een deelruimte V j N j (mogelijk van dimensie 0) zo dat (N j 1 H(V j+1 )) V j = N j Dan geldt zeker H(V j+1 ) V j = {0}, waardoor V j := H(V j+1 ) V j heeft de eigenschap dat N j 1 V j = N j, bestaat Deze ruimte waarmee onze constructie van V j is voltooid Resteert om aan te tonen dat deze ruimtes V 1,, V h de eigenschappen (i), (ii) en (iii) bezitten (i) Duidelijk is dat N 1 = V 1 Zij nu 1 j < h, en veronderstel dat N j = j V i Dan geldt ( ) N j+1 = N j V j+1 = j V i V j+1 = j+1 V i 12

13 (ii) Daar V 1 = N 1 is duidelijk dat H(V 1 ) = {0} Verder is V j 1 geconstrueerd als V j 1 = H(V j ) V j 1, waaruit onmiddellijk volgt dat H(V j) V j 1 (iii) Zij 0 i < j h Dan volgt uit (ii) dat H(V j ) V j 1 Veronderstel nu dat H i (V j ) V j i Dan H i+1 (V j ) = H(H i (V j )) H(V j i ) V j i 1 = V j (i+1), en met volledige inductie volgt de eerste uitspraak van (iii) Omdat N j = V j N j 1, geldt vervolgens ook dim(v j ) = dim(n j ) dim(n j 1 ) = µ j µ j 1 = ν j Zij nu 0 i < j We passen nu de dimensiestelling toe op H i Vj Er geldt dan dim(h i (V j )) + dim(v j N (H i )) = dim(v j ) Omdat N (H i ) = N i, en per constructie V j N i = {0} (want i < j), mogen we concluderen dat dim(h i (V j )) = dim(v j ) dim(v j N i ) = ν j 0 = ν j Door Stelling 718 (iii) toe te passen met i = 1 voor zowel j als j + 1, vinden we dat ν j+1 = dim(h(v j+1 )) dim(v j ) = ν j (9) De rij (ν 1,, ν h ) is dus een niet-stijgende rij In het bijzonder betekent dit dat µ j+1 µ j µ j µ j 1, zodat de toename in dimensie van N j bij stijgende waarde van j steeds kleiner wordt Schematisch kan men de samenhang tussen de deelruimtes V 1,, V h en de deelruimtes N 1,, N h voor V = F m als volgt weergeven: en dimensie: ν 1 + ν ν h = m ruimte: V 1 V 2 V h = V V }{{} 1 V 2 V h N } 1 {{} N 2 } {{ } N h = V Met behulp van de in Stelling 718 geconstrueerde deelruimten V 1, V 2,, V h kiezen we nu een basis van de m-dimensionale ruimte V, met enkele speciale eigenschappen Hierbij behandelen we de deelruimten V 1,, V h opnieuw in omgekeerde volgorde Eerst kiezen we een basis x h,1,, x h,νh van V h Daar dim(v h ) = ν h, bestaat deze basis inderdaad uit ν h lineair onafhankelijke vectoren Omdat H(V h ) V h 1 en dim(h(v h )) = dim(v h ) = ν h zijn de vectoren x h 1,l := Hx h,l, (l = 1,, ν h ) onafhankelijke vectoren in V h 1 Als ν h = ν h 1, dan is x h 1,1,, x h 1,νh een basis van V h 1 In het andere geval, als ν h < ν h 1, (volgens (9) geldt immers ν h ν h 1 ), zijn er vectoren x h 1,νh +1,, x h 1,νh 1 V h 1 zó dat de vectoren x h 1,1,, x h 1,νh 1 een basis vormen van V h 1 13

14 Dezelfde procedure zetten we recursief voort: nadat een basis {x j+1,1,, x j+1,νj+1 } voor de ruimte V j+1, 1 j < h is bepaald, definiëren we x j,l := Hx j+1,l, (l = 1,, ν j+1 ) Omdat H(V j+1 ) V j en dim(h(v j+1 )) = dim(v j+1 ) = ν j+1, zijn dit ν j+1 lineair onafhankelijke vectoren in V j Als ν j+1 = ν j, dan vormen deze vectoren samen een basis van V j Als echter ν j+1 < ν j, dan kan men de vectoren x j,l, (l = 1,, ν j+1 ), met vectoren x j,νj+1 +1,, x j,νj aanvullen tot een basis van V j Uiteindelijk worden op deze wijze alle ruimten V h, V h 1, V h 2,, V 2, V 1 van een basis voorzien Schematisch gezien heeft deze basiskeuze de volgende structuur: V 1 : x 1,1,, x 1,νh, x 1,νh +1,, x 1,νh 1,, x 1,ν2+1,, x 1,ν1 }{{}}{{}}{{} H h 1 (V h ) H h 2 (V h 1 ) V 1 V h 1 : V h : x h 1,1,, x h 1,νh, }{{} x h 1,νh +1,, x h 1,νh 1 }{{} H(V h ) V h 1 x h,1,, x h,νh }{{} V h Meer specifiek merken we op dat als x j,1,, x j,νj een basis vormen van V j, dan zijn voor alle 0 i < j, de vectoren x j i,l = H i x j,l, (l = 1,, ν j ) lineair onafhankelijk in V j i, en maken onderdeel uit van de basis van V j i Het bovenstaande schema hebben we in eerste instantie regel na regel van onder naar boven opgebouwd We hernummeren nu de basisvectoren in dit schema, waarbij we nu als het ware kolomsgewijs, dwz verticaal van boven naar onder te werk gaan Dus voor de vectoren in de eerste kolom definiëren we y 1 = x 1,1 y 2 = x 2,1 y h = x h,1 dan geldt Hy 1 = 0 Hy 2 = y 1 Hy h = y h 1 Hieruit volgt onmiddellijk dat Y 1 := y 1,, y h een invariante ruimte is onder de nilpotente afbeelding H De matrix van H Y1 ten opzichte van deze nieuwe basis is de h h matrix J h gegeven door J h = De h h matrix J h wordt een Jordan-kastje ter grootte h genoemd Dezelfde procedure kan men uitvoeren met alle kolommen in het schema Iedere kolom ter lengte k correspondeert dan met een Jordan-kastje ter grootte k Nadat op deze wijze 14

15 alle basisvectoren zijn hernummerd tot de vectoren y 1,, y m, wordt de matrix van H ten opzichte van deze basis {y 1,, y m } gegeven door: P 1 HP = diag(j h,, J }{{ h, J } h 1,, J h 1,, J }{{} 1,, J 1 ) (10) }{{} ν h ν h 1 ν h ν 1 ν 2 Dit is een vierkante matrix ter grootte hν h + (h 1)(ν h 1 ν h ) + (h 2)(ν h 2 ν h 1 ) + + 1(ν 1 ν 2 ) = ν h + ν h 1 + ν h ν 1 = µ h = m, wat overeenstemt met de dimensie van de ruimte V = F m Merk op dat het in (10) niet noodzakelijk is dat er Jordan-kastjes van iedere grootte h tot en met 1 optreden Indien ν l ν l+1 = 0, dan komen er geen Jordan-kastjes J l ter grootte l voor Het totale aantal Jordan-kastjes in (10) bedraagt ν h + (ν h 1 ν h ) + (ν h 2 ν h 1 ) + + (ν 1 ν 2 ) = ν 1 Dit aantal is dus gelijk aan de geometrische multipliciteit van de bijbehorende eigenwaarde (in dit geval de eigenwaarde 0) 785 Jordan normaalvorm Zij A M n (C), met spectrum σ(a) = {λ 1,, λ p } Volgens Stelling 714 kan men op deze matrix grofreductie toepassen: er bestaat een inverteerbare matrix P zó dat P 1 AP een blokdiagonaalmatrix is, waarbij het j-de diagonaalblok van de vorm λ j I j + H j is, met H j een nilpotente matrix De afmeting van I j en H j wordt daarbij vastgelegd door de algebraïsche multipliciteit van eigenwaarde λ j Op ieder van deze p diagonaalblokken kan men vervolgens fijnreductie toepassen Daarmee worden de nilpotente matrices H 1,, H p omgezet in matrices J λ1,, J λp, die allemaal uit Jordan-kastjes van de vorm (10) bestaan De aldus verkregen matrix (11) wordt de Jordan normaalvorm van de matrix A genoemd: Stelling 719 (Jordan normaalvorm) Zij A M n (C) met spectrum σ(a) = {λ 1,, λ p }, en laat h i de index van eigenwaarde λ i en Σ i de bijbehorende multipliciteitenrij (i = 1,, p) zijn Zij m i de algebraïsche multipliciteit van eigenwaarde λ i Er is een inverteerbare matrix S M n (C) zó dat S 1 AS = diag(λ 1 I 1 + J λ1,, λ p I p + J λp ), (11) waarbij voor k = 1,, p, I k de m k m k eenheidsmatrix is, en J λk de bij de multipliciteitenrij Σ k horende m k m k blokdiagonaalmatrix van Jordan-kastjes De Jordan normaalvorm is gelijkvormig met de oorspronkelijke matrix A, en wordt uniek vastgelegd door het spectrum van A, en de bij iedere eigenwaarde λ horende index h λ en multipliciteitenrij Σ(λ) Immers, als alle multipliciteiten µ 1,, µ h behorende bij een eigenwaarde bekend zijn, liggen ook de getallen ν 1,, ν h vast met de formule ν j = µ j µ j 1 Daarmee is volgens (10) ook het aantal Jordan-kastjes van iedere mogelijke grootte uniek bepaald, en ligt de Jordan normaalvorm dus vast 15

16 Voorbeeld 720 Zij A M 9 (C) met spectrum σ(a) = { 2, 3} Veronderstel dat de index van eigenwaarde λ 1 = 3 gelijk is aan h λ1 = 3, en dat de multipliciteitenrij wordt gegeven door Σ(λ 1 ) = (µ λ1,1, µ λ1,2, µ λ1,3) = (2, 4, 5) De index van eigenwaarde λ 2 = 2 veronderstellen we gelijk aan h λ2 = 2, met bijbehorende multipliciteitenrij Σ(λ 2 ) = (µ λ2,1, µ λ2,2) = (3, 4) Met deze gegevens bepalen we nu de Jordan normaalvorm van A Voor eigenwaarde λ 1 = 3 geldt dat ν λ1,1 = µ λ1,1 = 2, en ν λ1,2 = µ λ1,2 µ λ1,1 = 2, alsmede ν λ1,3 = µ λ1,3 µ λ1,2 = 1 Er is bij deze eigenwaarde dus 1 Jordan-kastje ter grootte h λ1 = 3, en ν λ1,2 ν λ1,3 = 2 1 = 1 Jordan-kastje ter grootte 2 Omdat ν λ1,1 ν λ1,2 = 0, zijn er geen Jordan-kastjes ter grootte 1 Voor eigenwaarde λ 2 = 2 geldt ν λ2,1 = µ λ2,1 = 3, en ν λ2,2 = µ λ2,2 µ λ2,1 = 1 Bij deze eigenwaarde is er dus 1 Jordan-kastje ter grootte h λ2 = 2, en ν λ2,1 ν λ2,2 = 3 1 = 2 Jordan-kastjes ter grootte 1 We concluderen nu dat de Jordan normaalvorm van A gegeven wordt door Opmerking 721 In aanvulling op de terminologie gebruikt in Paragraaf 784 wordt in de literatuur de k k matrix λ λ 1 J λ,k = 0 = λi k + J k λ een Jordan-kastje bij eigenwaarde λ ter grootte k genoemd Tenslotte is het duidelijk dat twee matrices A, B M n (C) gelijkvormig zijn dan en slechts dan als ze dezelfde Jordan normaalvorm hebben We eindigen derhalve met een samenvatting van dit resultaat over gelijkvormigheid: Gevolg 722 De matrices A, B M n (C) zijn gelijkvormig dan en slechts dan als er aan de volgende drie voorwaarden is voldaan: (i) σ(a) = σ(b), (A en B hebben hetzelfde spectrum) (ii) Voor alle λ σ(a): h λ (A) = h λ (B), (iedere eigenwaarde heeft met betrekking tot A dezelfde index als met betrekking tot B) (iii) Voor alle λ σ(a) : Σ λ (A) = Σ λ (B) (de multipliciteitenrijen van eigenwaarde λ met betrekking tot de matrices A en B zijn aan elkaar gelijk) 16