Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008"

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 (versie 27 juni 2008) Inleiding In deze module zullen we het gebruik van het sommatieteken en de faculteitsoperatie herhalen en bespreken adhv voorbeeldoefeningen en enkele toepassingen Het sommatieteken wordt veel gebruikt in de context van rijen en reeksen Ook in de statistiek, de kansrekening en de discrete wiskunde is het sommatieteken niet weg te denken In deze takken van de wiskunde wordt veel gewerkt met lange sommen van termen die op een gelijkaardige manier zijn opgebouwd 1 en is er behoefte aan een elegante schrijfwijze voor deze sommen en een manier om er gemakkelijk mee te kunnen rekenen Beschouw bijvoorbeeld 100 reële getallen die we aanduiden met a 1,a 2,,a 100 en stel dat we de som van deze getallen nodig hebben Deze som kunnen we aanduiden met a 1 + a 2 + a a 99 + a 100, maar als we deze som vaak nodig hebben en ermee willen rekenen, is dit geen handige notatie Het sommatieteken biedt een uitweg, met behulp van dit sommatieteken wordt bovenstaande som verkort geschreven als notatie a 1 + a 2 + a a 99 + a a k We lezen dit als de som van de termen a k waarbij (de index) k loopt van 1 tot 100 Dit is een korte en duidelijke (zonder de vage ) schrijfwijze die alle noodzakelijke informatie bevat Bovendien laat deze schrijfwijze toe gemakkelijk met de sommen te rekenen Hiervoor bestaan de nodige rekenregels (zie Sectie 14) Een som schrijven 1 Dit wordt verder uitgelegd

2 2 mbv het sommatieteken werkt wel enkel als de verschillende termen een gemeenschappelijke vorm hebben (in het voorbeeld hierboven zijn alle termen van de vorm a k ) Deze gemeenschappelijke vorm kan van velerlei aard zijn, zoals zal blijken in de voorbeelden en oefeningen De som /3 + π/ kunnen we bijvoorbeeld niet korter opschrijven, tenzij natuurlijk dat we de termen een naam geven: a 1 5, a 2 283, a 3 7/3, De faculteitsoperatie is een operatie op natuurlijke getallen die vaak opduikt in telproblemen, kansberekeningen en statistiek, maar ook in de analyse (taylorreeksen, differentiaal- en integraalrekening) Als inleidend voorbeeld bekijken we volgend telprobleem Stel er wordt een renwedstrijd gehouden met twaalf paarden Bij de tiercé kunnen gokkers dan voorspellen in welke volgorde de paarden over de eindstreep komen Hoeveel mogelijke voorspellingen zijn er? Voor het winnende paard zijn er precies 12 mogelijkheden Eens het winnende paard vastligt, blijven er nog 11 paarden over die als tweede kunnen eindigen, er zijn dus nog 11 mogelijkheden om het tweede paard te kiezen Voor het paard dat als derde over de eindmeet zal komen, blijven er dan nog 10 mogelijkheden over enzovoort Het aantal mogelijke pronostieken voor de tiercé is bijgevolg gelijk aan Veralgemenen we dit concept tot een paardenwedstrijd met n paarden (n N 0 ), bekomen we als aantal mogelijke pronostieken n(n 1)(n 2)(n 3) (1) Een uitdrukking van de vorm (1) komt heel vaak voor in de wiskunde en ihb in de hogergenoemde disciplines Een verkorte schrijfwijze is dus aangewezen: het product (1) noteren we met n! (lees: n-faculteit) In de toepassingen bij dit pakket behandelen we nog de driehoek van Pascal en het binomium van Newton 1 Het sommatieteken 11 Eenvoudige voorbeelden Het sommatieteken is, zoals in de inleiding reeds gezegd, een verkorte notatie voor een (lange) som van termen die een gemeenschappelijke vorm hebben In deze sectie bekijken we enkele eenvoudige voorbeelden Voorbeeld 11 Beschouw de som x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 Dit is de som van de termen x k, waarbij k loopt van 0 tot en met 6 en kan dus verkort genoteerd worden met 6 x k x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 k0

3 1 Het sommatieteken 3 Voorbeeld 12 Beschouw de som Dit is de som van de termen k, waarbij k loopt van 2 tot en met 8 en kan dus verkort genoteerd worden met k k2 Deze schrijfwijze is natuurlijk niet uniek, men kan dezelfde som ook noteren met bijvoorbeeld 7 (k + 1) of met 9 (k 1) k3 Voorbeeld 13 Beschouw de som Wat is de gemeenschappelijke vorm van deze termen? Het zijn allemaal kwadraten We kunnen elke term dus schrijven als k 2, waarbij k de waarden 3 tem 9 aanneemt De som wordt bijgevolg genoteerd met 9 k k3 12 Algemene definitie Notatie 14 (sommatieteken) Zij m,n N met m n en (a k ) n een eindige rij reële getallen: a m,a m+1,a m+2,,a k 1,a k,a k+1,,a n 1,a n met a k R voor alle k {m,m + 1,m + 2,,n 1,n} N We voeren volgende notatie in: a k a m + a m+1 + a m a n 1 + a n (2) Lees: de som van a k voor k gaande van m tem n Men noemt a k de algemene term, k de index, m de ondergrens en n de bovengrens van de sommatie Merk op dat a k onafhankelijk is van de sommatie-index k De veranderlijke k mag dan ook vervangen worden door eender welke andere veranderlijke zonder dat de betekenis van (2) wijzigt

4 4 13 Nog meer voorbeelden We starten met drie voorbeelden waarin het de bedoeling is een som, geschreven met een sommatieteken, uit te schrijven en indien mogelijk te berekenen Voorbeeld 15 ( ) 2 i i0 Voorbeeld 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ju 2 2j 2 6u u u u u u u u 2 18 j6 Voorbeeld 17 ( 2 ) 2 k0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! ( 1) 0 x ( )! + ( 1)1 x ( )! + ( 1)2 x x 1 6 x x5 ( )! In de volgende voorbeelden trachten we een gegeven som te schrijven met behulp van het sommatieteken Hiervoor moeten we in de eerste plaats op zoek gaan naar de gemeenschappelijke vorm van de termen, dit resulteert in het formuleren van een algemene term, zeg a k Deze algemene term mag afhangen van een zelfgekozen 3 veranderlijke, zeg k, die als sommatie-index zal dienen en dit zó dat wanneer k opeenvolgende natuurlijke getallen doorloopt, de algemene term a k opeenvolgende termen van de som doorloopt Vervolgens zoek je onder- en bovengrens, dit zijn respectievelijk de eerste en de laatste waarde die k moet aannemen opdat a k precies alle termen van de som doorloopt Voorbeeld 18 Beschouw de som sin x + cos 2x + sin 3x + cos 4x + sin 5x + cos 6x + sin 7x + cos 8x + sin 9x + cos 10x 2 Over de faculteitsoperatie! verder meer 3 Je moet er wel voor zorgen dat de veranderlijke die je kiest op die plaats nog geen andere betekenis heeft Bijvoorbeeld, k + k 2 + k 3 + k 4 4 k k , wel k + k 2 + k 3 + k 4 4 k i i1

5 1 Het sommatieteken 5 De algemene term is hier a k sin(2k 1)x + cos 2kx De ondergrens is in dit geval 1 en de bovengrens 5 Bovenstaande som kunnen we dus korter opschrijven als Voorbeeld 19 Beschouw de som 5 (sin(2k 1)x + cos 2kx) 1 2 x+ 2 2 x x3 +x 4 + De algemene term is hier a k x x7 + 2x x9 + 2 x x11 + 3x 12 2 x6 + k 2 xk De ondergrens is in dat geval 1 en de bovengrens 12 Bovenstaande som kunnen we dus korter opschrijven als 12 k 2 xk Voorbeeld 110 Beschouw de som u 0 2u 1 + 3u 2 4u 3 + 5u 4 6u 5 + 7u 6 8u u u 129 De algemene term is hier a k ( 1) k (k + 1)u k De ondergrens is in dit geval 0 en de bovengrens 129 Bovenstaande som kunnen we dus korter opschrijven als 129 k0 ( 1) k (k + 1)u k 14 Rekenregels In deze paragraaf behandelen we enkele rekenregels in verband met het sommatieteken We beginnen echter met een opmerking over het bereik van een sommatieteken Opmerking 111 (bereik van een sommatieteken) Een sommatieteken bindt zoals een product Hiermee bedoelen we dat ( ) a k b k (a k b k ) en dat a k + b k a k + b k a i + b k Maw in het laatste voorbeeld valt b k buiten het bereik van het sommatieteken, deze term wordt dus niet gesommeerd en de k in b k heeft niets te maken met de sommatieindex k Bedoelen we toch n (a k + b k ), dan mogen de haakjes niet worden weggelaten im

6 6 Rekenregel 112 (afzonderen van de eerste of de laatste term) a k n 1 a m + a k + a n +1 Rekenregel 113 (lineariteit van het sommatieteken) Zij α,β R, dan hebben we Bewijs (αa k + βb k ) α a k a k + β b k (αa k + βb k ) (αa m + βb m ) + (αa m+1 + βb m+1 ) + + (αa n + βb n ) (αa m + αa m αa n ) + (βb m + βb m βb n ) α (a m + a m a n ) + β (b m + b m b n ) α a k + β b k Rekenregel 114 (sommatie van een constante) Zij α,β R, dan hebben we Zo ook α α } + α + {{ + α } (n m + 1)α, ihb n m+1 keer (αa k + β) α a k + (n m + 1)β α α } + α + {{ + α } nα n keer Rekenregel 115 (verandering (substitutie) van indexveranderlijke 4 ) We kunnen in een som steeds overgaan op een nieuwe indexveranderlijke Zij r Z met r m, dan hebben we ) n+r n+r a j r ( a k r a k j def k+r jm+r +r 4 Men kan deze rekenregel goed vergelijken met de substitutieregel in de integraalrekening Als men in een bepaalde integraal een substitutie van de integratieveranderlijke doorvoert, dient men namelijk ook de integratiegrenzen van de integraal consequent aan te passen

7 1 Het sommatieteken 7 Bewijs n+r jm+r a j r a (m+r) r + a (m+r+1) r + a (m+r+2) r + + a (n+r 1) r + a (n+r) r a m + a m+1 + a m a n 1 + a n a k 15 Voorbeeldoefeningen In deze paragraaf worden enkele voorbeeldoefeningen uitgewerkt om te illustreren hoe bovenstaande definitie en rekenregels worden toegepast Voorbeeldoefening 116 Reken onderstaande sommen uit (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 5 k k (2i + 1) i l3 4 m2 20 m k 2 k + 2 k + 2 k + 2 k + 2 k + 2 k 6 2 k j k 1 + k ( ) + k 1 + k k 1 + k 25 + k 1 + k

8 8 Voorbeeldoefening 117 Beschouw de som 2 k (3) Zonderen we hierin de eerste term af, dan bekomen we de laatste term afzonderen geeft 2 k k, k2 2 k 2 2 k + 8 Stel p k +6 Hoe schrijven we (3) als een som over de index p ipv over de index k? 2 k Als p k + 6, dan is k p 6 Als k 1, is p en als k 3, is p 9 Zo bekomen we 9 2 k 2 p p7 Wanneer de sommatie over k-waarden van 1 tem 3 vervangen wordt door een sommatie met ondergrens 0 en bovengrens 2, wordt hetzelfde resultaat bekomen, mits de juiste aanpassing in de algemene term: p 2 2 k l def k l+1 l0 2 2 k k0 Voorbeeldoefening 118 Reken onderstaande sommen uit als je weet dat x m 10, m4 y m 15 en x 3 2 m4 (a) (b) (y m + 3) y m + 3 y m m4 m4 m4 m4 (8x m + 2) 8 x m m4 m4

9 1 Het sommatieteken 9 (c) (d) m3 6 x m 4 x x k+2 m def k+2 m4 x m x m x 3 + m3 m4 x m x k m4 Voorbeeldoefening 119 Vul aan (a) 4 3i 2 i1 j5 Werkwijze Als i 1 moet j 5 Stel daarom j i + 4 Als dan i 4, is j 8 Omdat verder i j 4, bekomen we 4 3i 2 i1 3(j 4) 2 j5 (b) 5 ( 2i ) i3 4 ( 2i ) + i3 Werkwijze Hier moet de laatste term (i 5) worden afgezonderd Deze term is gelijk aan , dus volgt 5 ( 2i ) i3 4 ( 2i ) + 53 i3 (c) n+1 (k + 1) 2 (k + 1) 2 + Werkwijze Ook hier moet de laatste term worden afgezonderd n+1 (k + 1) 2 (k + 1) 2 + ((n + 1) + 1) 2 (k + 1) 2 + (n + 2) 2 Probeer nu zelf op analoge wijze de Oefeningen 1 en 2 van Sectie 3 op te lossen

10 10 16 Toepassing: Gemiddelde en standaardafwijking in de statistiek Laat x 1,x 2,x 3,,x n de gemeten waarden zijn voor een onbekende grootheid X Een eerste voorbeeld hiervan is de meting van geboortegewichten van alle pasgeboren baby s in een bepaald regionaal ziekenhuis gedurende één week Een tweede voorbeeld is een experiment uit de fysica waarin de periode van een slinger herhaaldelijk wordt gemeten met behulp van een chronometer Door het vroeg- of laattijdig afdrukken van de chronometer zal telkens een andere periode gemeten worden In dit geval zal de reële waarde van de te meten periode het best benaderd worden door het gemiddelde te nemen van de verschillende meetresultaten Daarbij zal het gemiddelde van 10 metingen betrouwbaarder zijn dan het gemiddelde van 3 metingen Het rekenkundig gemiddelde van al de geboortegewichten of van alle gemeten periodes is gedefinieerd als de som van alle metingen gedeeld door het aantal meetresultaten In de statistiek wordt dit rekenkundig gemiddelde genoteerd met x def 1 n x i Een maat voor de spreiding van de metingen (voor hoe ver de verschillende meetresultaten uit elkaar liggen) is bijvoorbeeld het rekenkundig gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van de metingen tot hun gemiddelde Deze spreidingsmaat noemt men de (steekproef)variantie en wordt genoteerd met s 2 def 1 n i1 (x i x) 2 i1 Een andere veel gebruikte spreidingsmaat is de standaarddeviatie, hetgeen eenvoudigweg de vierkantswortel is uit de variantie: s def s 2 1 n (x i x) 2 i1 2 n-faculteit 21 Definitie In de inleiding, toen we het hadden over paardenrennen, hebben we reeds een definitie gegeven van de faculteitsoperatie!, dit ging als volgt:

11 2 n-faculteit 11 Definitie 21 (faculteitsoperatie 1 e versie) Zij n N 0 We definiëren het natuurlijk getal n! (lees: n-faculteit) als n! def n(n 1)(n 2)(n 3) Dit getal, n!, kwam overeen met het aantal mogelijke uitslagen van een renwedstrijd met n paarden of in het algemeen het aantal mogelijke manieren om n verschillende objecten te rangschikken (op een rij te zetten) Bijvoorbeeld, op hoeveel manieren kan je 22 leerlingen van een klas achter elkaar in een rij zetten? Antwoord: op 22! manieren Ook het getal 0! is gedefinieerd: 0! def 1 Deze definitie van 0-faculteit is in overeenstemming met de eerder gegeven interpretatie van de faculteit als het aantal mogelijke manieren om verschillende objecten te rangschikken: op hoeveel manieren kan men 0 objecten rangschikken? Antwoord: er valt niets te rangschikken, dit kan op juist 1 manier Meestal echter wordt de faculteitsoperatie niet gedefinieerd zoals wij hier net gedaan hebben, maar wel op een zogenaamde recursieve 5 manier Dit gaat als volgt: Definitie 22 (faculteitsoperatie 2 e versie) De faculteitsfunctie! : N N : n n! is de unieke functie van N naar N die voldoet aan volgende twee voorwaarden: (i) 0! 1 en (ii) n! n (n 1)! voor elke n N 0 Uit deze definitie halen we dat (0) 0! 1 uit (i) (1) 1! 1 (1 1)! 1 0! uit (ii) en (0) (2) 2! 2 (2 1)! 2 1! uit (ii) en (1) (3) 3! 3 (3 1)! 3 2! uit (ii) en (2) (4) 4! 4 (4 1)! 4 3! uit (ii) en (3) 5 Een definitie heet recursief wanneer men in de definitie datgene wat men definieert, reeds gebruikt Dit moet natuurlijk met de nodige omzichtigheid gebeuren, de hier gegeven definitie van de faculteitsoperatie is een goed voorbeeld

12 12 In deze definitie staat meteen ook de belangrijkste rekenregel voor de faculteitsoperatie: Rekenregel 23 n! n(n 1)! voor alle n N 0 of nog (n + 1)! (n + 1)n! voor alle n N 22 Voorbeeldoefeningen Voorbeeldoefening 24 Vul aan (k,l N, l 3) (a) (k + 1)! + k! ()k! Oplossing (k + 1)! + k! (k + 1)k! + k! ((k + 1) + 1)k! (k + 2)k! (b) 3(l 2)! + 2(l 3)! ()(l 3)! Oplossing 3(l 2)! + 2(l 3)! 3(l 2)(l 3)! + 2(l 3)! (3(l 2) + 2) (l 3)! (3l 4)(l 3)! Voorbeeldoefening 25 Vereenvoudig (k,n N, k + n 2) (a) (b) (c) (k + 1)! k! (k + 3)! k! (k + n)! k + n 1 (k + 1)k! k! k + 1 (k + 3)(k + 2)(k + 1)k! k! (k + n)(k + n 1)(k + n 2)! k + n 1 (k + 3)(k + 2)(k + 1) (k + n)(k + n 2)! Probeer nu zelf op analoge wijze Oefening 3 van Sectie 3 op te lossen

13 2 n-faculteit Toepassingen 231 Telproblemen: variaties We hernemen het voorbeeld van de paardenrennen uit de inleiding We houden een wedstrijd met 12 paarden Opnieuw moeten gokkers de uitslag van de wedstrijd voorspellen, maar deze keer niet de volledige uitslag Ze moeten enkel een pronostiek maken van welke drie paarden eerst zullen eindigen en in welke volgorde Op hoeveel manieren is dit mogelijk? Als we dezelfde redenering volgen als in de inleiding, vinden we dat er verschillende pronostieken mogelijk zijn Wiskundig kan men zo n pronostiek zien als een geordend drietal van elementen afkomstig uit een verzameling van 12 elementen Men spreekt in deze context van een variatie van 3 elementen uit 12 elementen Het aantal mogelijke variaties kan men berekenen mbv de faculteitsoperatie Zij namelijk p,n N met p n, dan is het aantal variaties van p elementen uit n elementen gegeven door V p n notatie n(n 1)(n 2) (n p + 1) } {{ } p factoren n(n 1)(n 2) (n p + 1)(n p)(n p 1)(n p 2) (n p)(n p 1)(n p 2) n! (n p)! 232 Combinaties, de driehoek van Pascal, het binomium van Newton We hernemen nogmaals het voorbeeld van de paardenrennen uit vorige paragraaf (231) Ditmaal moeten de gokkers voorspellen welke drie paarden op de eerste drie plaatsen zullen eindigen, de volgorde heeft geen enkel belang Wiskundig vertaalt zich een dergelijke pronostiek in een deelverzameling van 3 elementen afkomstig uit een verzameling van 12 elementen (er nemen 12 paarden deel aan de wedstrijd) Als p,n N en p n, noemen we een deelverzameling van p elementen uit een verzameling van n elementen een combinatie van p elementen uit n elementen Hoeveel mogelijke pronostieken bestaan er onder deze nieuwe voorwaarden, maw hoeveel combinaties zijn er van 3 uit 12? Omdat de volgorde nu geen rol meer speelt, bestaan er in elk geval minder combinaties dan variaties Daar je een verzameling van 3 elementen op precies 3! 6 manieren kan ordenen, bestaan er voor elke combinatie {a,b,c} van 3 elementen precies 6 verschillende variaties (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b) en (c,b,a), opgebouwd uit diezelfde 3 elementen a, b en c Maw er bestaan precies zes keer meer variaties van 3 uit 12 dan er combinaties bestaan van 3 uit 12 Algemeen hebben we dan dat voor p,n N met p n er p! keer meer variaties zijn van p elementen uit n elementen dan er combinaties zijn van p uit n, zodat het totaal aantal combinaties van p elementen uit n elementen gegeven is door onderstaande

14 14 n ( ( n n ( n ( n ( n ( n ( n ) 0) 1) 2) 3) 4) 5) of Figuur 1: De driehoek van Pascal formule: Voorbeelden ( ) 26 5 (a) C5 3 3 ( ) 2 (b) C2 2 2 ( ) 4 (c) C4 0 0 ( ) 4 (d) C4 1 1 C p n notatie ( ) n notatie p V n p p! n! p!(n p)! 5! 3!(5 3)! 5! 3!2! (3 2 1)(2 1) 10 2! 2!0! 2 1 (2 1) 1 1 4! 0!4! ( ) 1 4! 1!3! (3 2 1) 4 Natuurlijke getallen van de vorm ( n p) met p,n N en p n, worden ook wel binomiaalgetallen genoemd De herkomst van deze naam wordt verder duidelijk De binomiaalgetallen ( n p) worden vaak voorgesteld in een driehoekig schema, de zgn driehoek van Pascal 6 (zie Figuur 1) Over de driehoek van Pascal valt heel veel te vertellen We zullen hier enkele eigenschappen en toepassingen vermelden zonder ze echt te verklaren of te bewijzen Dit zou ons nu te ver leiden en vrijwel zeker kom je al deze dingen nog wel tegen in een of andere cursus gedurende je opleiding Vooreerst is de driehoek van Pascal een driehoek, omdat voor een zekere n N het binomiaalgetal ( n p) enkel gedefinieerd is voor p N met p n Ten tweede is de 6 De Fransman Blaise Pascal was filosoof, theoloog, wis- en natuurkundige Hij werd geboren in 1623 in Clermont Ferrand en stierf in Parijs in 1662 Zijn belangrijkste prestaties situeren zich in het gebied van de waarschijnlijkheidsrekening, de combinatieleer, de projectieve meetkunde, de hydrostatica (de wet van Pascal voor de druk in een vloeistof) en de hydrodynamica

15 2 n-faculteit 15 driehoek symmetrisch, dwz ( ) ( ) n n p n p voor alle n,p N met p n Bovendien begint en eindigt elke rij met een 1, terwijl het tweede en het voorlaatste getal van de n-de rij steeds n is, in symbolen: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1 voor alle n N en n voor alle n N 0 0 n 1 n 1 Een andere opmerkelijke eigenschap is de volgende Bekijk de rechtse driehoek in bovenstaande figuur, kies een rij en tel twee naburige binomiaalgetallen op, je bekomt het binomiaalgetal in het midden onder deze twee getallen of nog ( ) n p 1 + ( ) n p ( ) n + 1 p voor alle n,p N 0 met p n De laatste erg belangrijke eigenschap van de driehoek van Pascal die we hier zullen vermelden, staat bekend onder het binomium van Newton en is meteen ook de verklaring voor de herkomst van de naam binomiaalgetallen Bekijk aandachtig onderstaande lijst uitwerkingen van machten van de tweeterm of binoom (a + b) (a + b) 0 1 (a + b) 1 1a + 1b (a + b) 2 1a 2 + 2ab + 1b 2 (a + b) 3 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3 (a + b) 4 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 1b 4 (a + b) 5 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + 1b 5 (a + b) 6 1a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + 1b 6 Figuur 2: Het binomium van Newton Wanneer we de uitwerkingen van de machten (a + b) n verticaal rangschikken volgens stijgende n en horizontaal rangschikken volgens dalende machten van a (en stijgende machten van b), vormen de coëfficiënten (vet gedrukt) precies de driehoek van Pascal Dit resultaat kunnen we als volgt formuleren:

16 16 Resultaat 27 (binomium van Newton 7 ) Zij a,b R en n N, dan geldt (a + b) n p0 ( ) n a n p b p p p0 ( ) n a p b n p p 3 Oefeningen 1 Bereken volgende sommen: (a) (b) 4 k2 2 k 3 (d) (e) 4 (5l 1) l1 k 2 (g) (h) 6 i1 k0 60 i ( sin 2 k π ) 2 (j) (k) p p ( 5 ) n n2 (c) 5 (2a + 1) a0 (f) m+5 im k (m N, k R) (i) 5 (n k) 7 (n R) (l) 3 k + j j0 (j,k R) 2 Vul aan (a) k 2 2 k 2 + (b) (c) 5 4m + m2 k 2 5 4m m3 (d) k3 5 2 m m2 p5 2 7 Sir Isaac Newton was een Brits natuurkundige, filosoof, wiskundige en alchemist Hij werd geboren in 1642 in Lincolnshire in Engeland en stierf in 1727 in Londen Newton was de leidende figuur in de wetenschappelijke revolutie van de 17 e eeuw en wordt dan ook algemeen erkend als één der zeer groten in de wetenschap

17 3 Oefeningen 17 3 Bereken of vul aan (m,n N met m 0 en n < m) (a) 8! (b) 6 5! 7 (Bereken) (Schrijf korter en bereken vervolgens) (c) 10! 7! (Bereken zo kort mogelijk) (m + 4)! (d) m! (Schrijf zonder faculteiten) m! (e) (m 1)! (Vereenvoudig) (f) (m n)! (m n 1)(m n) (Vereenvoudig) (g) (m + 2)! + (m + 3)! (m + 2)!() 4 Vul aan (m N) (Vul aan) (a) (b) 4 (m + 1)! 1 m! (m + 1)! 14 k5 k 2 10 l1 5 Juist of fout? Verklaar! (a) (b) k! (k + 2)!(k l 1)! k!(k l) voor alle k,l N met k > ljuist/fout (k + 2)!(k l)! (2 + k) 2n + k voor alle n N 0 juist/fout ( ) ( ) 5 5 (c) 1 4 ( ) ( ) 2 2 (d) 0 2 juist/fout juist/fout (e) (p + 4)!(p + 3) (p + 3)! voor alle p N juist/fout ( ) ( ) k k (f) voor alle k,l N met k l juist/fout l k l ( (g) ak 2 + b ) a k 2 + b voor alle a,b R en alle n N 0 juist/fout (h) n+1 (l + 1) 2 l1 (l + 1) 2 + (n + 1) 2 voor alle n N 0 juist/fout l1

18 18 (i) ( ) 2 a 2 k a k voor alle n N 0 en alle a 1,,a n R juist/fout