Statistiek in de Praktijk - samenvatting

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Statistiek in de Praktijk - samenvatting"

Transcriptie

1 Statistiek in de Praktijk - samenvatting Wim Muskee 11 maart 2005 Vrij naar het boek van Moore & McCabe

2 Inhoudsopgave 1 kijken naar gegevens - verdelingen weergeven van verdelingen met grafieken verdeling kwalitatief: verdeling kwantitatief: verdelingen beschrijven normale verdelingen dichtheidskrommen normale verdelingen kijken naar gegevens - relaties spreidingsdiagrammen correlatie kleinste-kwadraten methode gebruik en beperkingen van regressie en correlatie relaties tussen kwalitatieve variabelen oorzaak en gevolg vergaren van gegevens 14 4 kansrekening - de studie van het toeval toeval kansmodellen stochastische variabelen verwachting en variantie van stochastische variabelen de wetten van de kansrekening van kans naar inferentie - aantallen en fracties aantallen en fracties steekproefgemiddelden inleiding tot inferentie schatten met betrouwbaarheid significatietoetsen gebruik en misbruik van toetsen inferentie voor verdelingen inferentie voor de verwachting van een populatie inferentie voor twee verwachtingen inferentie voor populatiespreiding inferentie voor telgegevens inferentie voor een enkele fractie vergelijken van twee fracties inferentie voor kruistabellen kruistabellen formules en modellen inferentie voor regressie enkelvoudige lineaire regressie details één-factor variantie-analyse ANOVA procedure voorbeeld

3 12 sheets div.doc 40 3

4 1 kijken naar gegevens - verdelingen inleiding Individuen zijn objecten die beschreven worden door een gegevensverzameling. Een variabele is een eigenschap van een individu. Een variabele kan verschillende gegevens uitdrukken voor verschillende individuen. Een kwalitatieve variabele plaatst het individu in een of meer categoriën. Een kwantitatieve variabele geeft een bepaalde hoeveelheid aan over een individu. Dit is een numerieke waarde. De verdeling van een variabele geeft aan welke waarde aangenomen wordt en hoe vaak deze waarden aangenomen worden. Een database met studentengegevens. De individuen zijn de studenten. De variabelen zijn bijvoorbeeld geslacht, geboortedatum en woonplaats. Geslacht en woonplaats zijn kwalitatieve variabelen en geboortedatum een kwantitatieve. In een database zijn rijen simpelgezegd de individuen en de kolommen zijn de variabelen. Bij een statistisch onderzoek zijn de volgende belangrijk om te stellen: 1. Waarom? Welk doel dienen de gegevens? Kunnen we de juiste conclusies trekken uit de gegevens die we hebben? 2. Wie? Welke individuen worden door de gegevens beschreven? 3. Wat? Hoeveel variabelen bevatten de gegevens? Wat is de definitie van die variabelen? 1.1 weergeven van verdelingen met grafieken Verkenning van gegevens (de belangrijkste kenmerken vinden) wordt exploratieve data-analyse genoemd. Er zijn twee basisstrategieën: Eerst elke variabele apart, vervolgens de verbanden tussen de variabelen. Eerst diagrammen, vervolgens numerieke aspecten verdeling kwalitatief: De verdeling van een kwalitatieve variabele kan goed met staaf- of taartdiagrammen. Taartdiagrammen laten de relatie tot het geheel goed zien verdeling kwantitatief: Kennis van het meetinstrument is belangrijk om erachter te komen wat de definitie van de gemeten variabele is. Vertellen de gemeten variabelen wat je wil weten? Soms is een relatief aantal gebeurtenissen, in relatie met de context, betekenisvoller dan een optelsom van het aantal gebeurtenissen. Het variatiepatroon van een variabele wordt zijn verdeling genoemd. De verdeling van een kwantitatieve variabele legt de numerieke waarden van de variabelen vast en het aantal keren dat de waarde voorkomt. Verdelingen kunnen naast numeriek ook op een aantal grafische manieren weergegeven worden: 4

5 stamdiagram: Het maken van een stamdiagram is geen doel op zich. Het moet helpen de gegevens beter te begrijpen en het hoeft niet wiskundig correct te zijn. Het moet de vorm van de verdeling weergeven. De stam is het voorste getal en de bladeren het tweede getal in het cijfer. Aan één stam kunnen meerdere bladeren zitten. Ook kunnen stammen verdeeld worden om de bladeren beter te spreiden. Door een rug-aan-rug stamdiagram te maken, kun je twee verdelingen vergelijken. Verdelingsonderzoek gaat als volgt: Kijk in het diagram naar het globale patroon en naar opvallende afwijkingen in het patroon. Je kunt de globale vorm van een verdeling beschrijven door zijn vorm, centrum en spreiding. Een belangrijk type afwijking is een uitschieter, een individuele waarde die buiten het patroon valt. Mediaan is de (centrum)waarde waarbij de helft van de andere waarden hoger is en de andere helft lager. De spreiding is het bereik tussen de hoogste en de laagste waarden. Een verdeling met één top wordt unimodaal genoemd. De vorm kan symmetrisch zijn of symmetrisch scheef. Scheef, als er meer waarden aan één kant van het centrum liggen. histogram: Vele aspecten van een stamdiagram gelden ook voor het histogram. Het verschil is dat waar het stamdiagram bij de indeling afhankelijk is van het getalsysteem, je dit bij een histogram zelf kunt bepalen. Vanwege het feit dat de vorm altijd afhankelijk is van de indeling hoeft deze niet exact symmetrisch te zijn. De indeling moet zo gekozen worden dat de vorm duidelijk wordt. Door relatieve frequenties te nemen in plaats van de frequenties ontstaat dezelfde vorm, echter wel vergelijkbaar met andere gelijksoortige tellingen. Histogrammen worden gebruikt waar er meer gegevens zijn in de verdeling. tijdreeksgrafieken: Deze grafieken laten de metingen zien in relatie tot de tijd. Dit kan de de meetvolgorde zijn of in relatie tot de absolute tijd. Strict genomen zijn tijdreeksen metingen van een variabele in regelmatig, opeenvolgende tijdvakken. Een patroon in een tijdreeks dat zich steeds herhaalt op bekende regelmatige tijdsintervallen wordt een seizoensvariatie genoemd. Hoeft niet over seizoenen te gaan, kan ook dagelijks of maandelijks zijn. Een trend in een tijdreeks is een aanhoudende lange termijn stijging of daling. Een indexcijfer stelt de gemiddelde waarde van een bepaalde periode op 100 procent. De rest van de metingen wordt weergegeven in relatie tot dat cijfer. Een seizoenscorrectie is een bijstelling van de gemeten waarden in relatie tot de seizoensvariatie. 1.2 verdelingen beschrijven Een korte beschrijving van een verdeling moet bestaan uit zijn vorm en cijfers die zijn centrum en spreiding beschrijven. Let wel, de cijfers die we vergaren uit de waarden zijn geen antwoord, louter hulpmiddelen om de situatie beter te beschrijven. 5

6 het gemiddelde: Is een maat voor het centrum. Om het gemiddelde van alle waarnemingen te vinden moeten alle waarnemingen bij elkaar op worden geteld en gedeeld door het aantal waarnemingen. x = x 1 + x x n n x = 1 n xi Aangezien het gemiddelde sterk gevoelig is voor uitschieters in de waarnemingen is het geen resistente maat van het centrum. de mediaan: De volgende formule geeft de positie van de mediaan (M p ) in een geordende lijst. Als het aantal waarnemingen oneven is, is de mediaan een waarneming, als het aantal even is, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee getallen direct naast de positie van de mediaan. M p = n meten van de verdeling: de kwartielen: De maat van het centrum geeft niet voldoende informatie over de verdeling, de maat van de spreiding is ook nodig. De eenvoudigste nuttige beschrijving van een verdeling bestaat zowel uit een centrummaat als een spreidingsmaat. De spreiding of variabiliteit van een verdeling kan worden aangeduid door verschillende percentielen te geven. Het p-de percentiel van een verdeling is de waarde, zodaning dat p procenten van de waarneming lager is of eraan gelijk is. De mediaan is de 50 ste percentiel. Gangbare percentielen zijn kwartielen (Q), de eerste als 25 ste percentiel en de derde als 75 ste. Wanneer M bepaald is, is Q 1 de mediaan van alle waarden links van M en Q 3 de mediaan er rechts van. Een eenvoudige maat voor de spreiding is de afstand tussen de kwartielen die het gebied aangeeft waarbinnen zich de helft van de data bevindt. Deze afstand wordt de interkwartielafstand (IKA) genoemd. IKA = Q 3 Q 1 Een waarneming is een verdachte uitschieter als deze tenminste 1.5 x IKA boven Q 3 of onder Q 1 ligt. de vijf-getallen-samenvatting en de boxplots: De vijf-getallen-samenvatting bestaat uit Q 1, Q 2, Q 3 en de grootste en kleinste individuele waarneming. Een boxplot is een grafiek van de vijf-getallen-samenvatting, waarbij verdachte uitschieters individueel worden weergegeven. Q 1 tot en met Q 3 worden weergegeven door een rechthoek, door de lijn van Q 2 gescheiden. Waarnemingen die meer dan 1.5 IKA buiten de centrale rechthoek vallen worden afzonderlijk afgebeeld. Twee buiten de rechthoek lopende lijnen strekken zich uit tot aan de kleinste en grootste waarneming die geen uitschieters zijn. Volgens de whiskers methode gaat dit van 5% tot 95% van alle waarnemingen. verdelingen vergelijken: Boxplots kunnen het beste worden gebruikt om verschillende verdelingen met elkaar te vergelijken terwijl stamdiagrammen en histogrammen beter iets kunnen vertellen over een enkele verdeling, zeker als bijbehorende numerieke gegevens worden verstrekt. 6

7 meten van de spreiding: de standaardafwijking: De standaardafwijking meet de spreiding door te kijken hoe ver de waarnemingen van hun gemiddelde zijn verwijderd. De variantie s 2 is het gemiddelde van het kwadraat van de afwijkingen van de waarnemingen van hun gemiddelde. De standaardafwijking is s. s 2 = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2 n 1 s 2 = 1 (xi x) 2 n 1 1 s = (xi x) n 1 2 Aangezien er altijd begonnen wordt met 1 waarneming van de n waarnemingen, kunnen de rest van de waarnemingen, n 1 vrij variëren ten opzichte van de eerste. Het getal n 1 noemt men het aantal vrijheidsgraden van de variantie of van de standaardafwijking. s meet de spreiding rondom het gemiddelde en dient alleen gebruikt te worden wanneer het gemiddelde als centrummaat is gekozen. Alleen als er geen spreiding is, is s = 0. Dit gebeurt als alle waarnemingen dezelfde waarde hebben. Anders is s > 0. Als de waarnemingen meer verspreid zijn rond hun gemiddelde wordt s groter. s is net als x, niet resistent. Enkele uitschieters kunnen s erg groot maken. het kiezen van centrum en spreidingsmaten: De vijf-getallen-samenvatting is over het algemeen geschikter dan het gemiddelde en de standaardafwijking voor het gebruik van een scheve verdeling of een verdeling met sterke uitschieters. Gebruik x en s alleen voor redelijk symmetrische verdelingen zonder uitschieters. Een grafiek is het beste middel om een algemeen beeld te krijgen van een verdeling. Numerieke centrum- en spreidingsmaten geven bepaalde kenmerken weer van een verdeling maar beschrijven niet de hele vorm. de meeteenheid veranderen: De verandering van een meeteenheid is een lineaire transformatie van de metingen. Elke lineaire transformatie verloopt volgens de volgende formule: x new = a + bx Lineaire transformaties hebben geen effect op de vorm van de verdeling. Door met b te vermeningvuldigen worden centrum- en spreidingsmaten met b vermenigvuldigd. Door optellen van a worden de centrummaten veranderd maar de spreidingsmaten niet. Het verschil bijvoorbeeld tussen Q 1 en Q 3 veranderd niet evenals de standaardafwijking. 1.3 normale verdelingen Om te beginnen de basisstappen voor het analyseren van een kwantitatieve variabele met daaraan toegevoegd een nieuwe vierde stap. De kromme is een wiskundig model, een geïdealiseerde beschrijving van de verdeling. 1. Maak een grafische voorstelling van de gegevens. 2. Kijk naar het patroon en naar afwijkingen. 3. Bereken een numerieke samenvatting door spreiding en centrum te berekenen. 4. Is het patroon regelmatig genoeg, dan is deze te beschrijven door een gladde kromme. 7

8 1.3.1 dichtheidskrommen Anders dan een grafische voorstelling van de daadwerkelijke waarnemingen, is een dichtheidskromme een model van de waarnemingen. Het globale patroon van de verdeling wordt beschreven, niet de uitschieters. De oppervlakte onder de kromme en onder een willekeurig interval is de relatieve frequentie van alle waarnemingen die binnen dat interval vallen. Een dichtheidskromme is een kromme... die zich altijd op of boven de horizontale as bevindt, en waarvan de oppervlakte eronder gelijk is aan 1. De mediaan van een dichtheidskromme is het punt dat de oppervlakte onder de kromme in twee gelijke stukken verdeeld. De verwachting van de dichtheidskromme is het gemiddelde normale verdelingen feitelijke waarneming dichtheidskromme x µ s σ Normale verdelingen zijn symmetrische, ééntoppige, klokvormige dichtheidskrommen. De exacte dichtheidskromme voor een specifiek normale verdeling wordt vastgelegd door zijn verwachting µ en zijn standaardafwijking σ. De punten waar de kromme van richting veranderd liggen op afstand σ aan weerszijden van µ. De normale dichtheidskrommen worden door een speciale formule gespecificeerd. 1 σ 1 2π e 2( x µ σ ) 2 Er zijn drie redenen voor het belang van normale verdelingen. 1. Het zijn goede modellen voor sommige verdelingen van werkelijke data, vooral in grote hoeveelheden. 2. Het zijn goede benaderingen van de uitkomsten van vele soorten toevallige uitkomsten. 3. Vele statische inferentie procedures, gebaseerd op normale verdelingen, werken goed voor ruwweg symmetrische verdelingen. De beslissing om een door een normaal model te beschrijven kan bepalend zijn voor de verdere stappen in de analyse van de data. Verschillende berekening berusten op de modelkeuze en zo n keuze moet zorgvuldig gemaakt worden. de regel: geldt dat ongeveer: In de normale verdeling met verwachting µ en standaardafwijking σ 68% van de waarnemingen binnen afstand σ van verwachting µ ligt. 95% van de waarnemingen binnen afstand 2σ van verwachting µ ligt. 99.7% van de waarnemingen binnen afstand 3σ van verwachting µ ligt. standaardisering: In feite zijn alle normale verdelingen identiek als de metingen worden vericht met σ als eenheid van grootte en µ als het centrum. Het omzetten naar deze eenheden wordt standaardisering genoemd en kan met de volgende formule. Als x een waarneming is uit de verdeling, dan zegt z hoeveel standaardafwijkingen x van µ verwijderd is en in welke richting. z = x µ σ Standaardisering is een lineaire transformatie die de gegevens in de standaard schaal van z-scores omzet. 8

9 standaard normale verdeling: Het standaardiseren van een variabele die een willekeurige normale verdeling heeft, geeft een nieuwe variabele die een standaardnormale verdeling heeft. De standaardnormale verdeling is de normale verdeling N(0,1) met verwachting 0 en standaardafwijking 1. Als een variabele X een normale verdeling N(µ,σ) heeft, dan heeft variabele Z de standaardnormale verdeling: Z = Z µ σ Uit een normale verdeling N(166.4, 6.4) voor lengtes van jonge vrouwen komt een vrouw met de lengte 176 cm voor. Haar gestandaardiseerde lengte is: = 1.5. Ze zit 1.5 standaardafwijkingen boven de verwachting. Wanneer we dit gegeven opzoeken in tabel A 1, vinden we Oftewel, ongeveer 93.3% van alle jonge vrouwen is kleiner dan of net zo groot als haar. We kunnen relatieve frequenties voor elke willekeurige normale verdeling bepalen, door standaardisatie toe te passen en tabel A te gebruiken. normaal-kwantiel-diagram: Als een stamdiagram of histogram ruwweg symmetrisch en unimodaal lijkt, passen we het normaal-kwantiel-diagram 2 toe. Hieronder het grondbeginsel van de opzet ervan. 1. Rangschik de waarnemingen van klein naar groot en zet achter elke waarneming de percentiel. 2. Bepaal de z-scores voor elke percentiel. Bijvoorbeeld voor de 5%. 3. Zet elke waarneming x uit tegen z. Als de gegevensverdeling dicht bij de standaardnormale ligt, zullen de getekende punten dicht bij de 45-gradenlijn van x = z liggen. Als de gegevensverdeling dicht bij een willekeurige normale verdeling ligt, zullen de getekende punten dicht bij een rechte lijn liggen. Uitschieters verschijnen als punten die ver verwijderd zijn van het globale patroon van de figuur. 2 normal possible plots op z n Engels 9

10 2 kijken naar gegevens - relaties inleiding samenhang: Twee variabelen gemeten bij dezelfde individuen hangen samen als sommige waarden van één variabele vaker voorkomen bij bepaalde waarden van de tweede variabele dan met andere waarden van de tweede variabele. Wanneer men de relatie tussen twee variabelen onderzoekt zijn de volgende vragen belangrijk: Welke individuen worden door de data beschreven? Welke variabelen zijn er en hoe zijn ze gemeten? Welke variabelen zijn kwantitatief en welke kwalitatief? Is het de bedoeling eenvoudig de aard van het verband te ontdekken of hoopt men te kunnen aantonen dat een van de variabelen de veranderingen in de ander kan verklaren? Een te verklaren variabele meet de uitkomst van een onderzoek. Een verklarende variabele poogt de waargenomen uitkomsten te verklaren. De te verklarende variabele wordt ook wel afhankelijke variabele genoemd omdat deze afhangt van de verklarende variabele. De verklarende wordt vervolgens de onafhankelijke variabele genoemd. De hoeveelheid alcohol heeft invloed op de lichaamstemperatuur. Bij een onderzoek hiernaar wordt de hoeveelheid alcohol verhoogd en de temperatuur gemeten. De temperatuur is de te verklaren variabele en de hoeveelheid alcohol de verklarende variabele. 2.1 spreidingsdiagrammen Een spreidingsdiagram toont het verband aan tussen twee kwantitatieve variabelen gemeten bij dezelfde individuen. De waarden van de ene variabele verschijnen op de horizontale as en de waarden van de andere variabele op de verticale as. Elk individu in de gegevens verschijnt als het punt in de diagram dat is bepaald door de waarden van beide variabelen voor dat individu. Teken de verklarende variabele op de x-as en de te verklarende variabele op de y-as. interpretatie: Kijk in elke grafische voorstelling naar het algemene patroon en naar de afwijkingen in dat patroon. Het globale patroon van een spreidingsdiagram kan beschreven worden door de vorm, richting en sterkte van de relatie. De sterkte van een relatie wordt bepaald door hoe dicht de punten in een spreidingsdiagram bij een simpele vorm als een stijgende of dalende lijn liggen. Een bepaald type vorm is een geclusterde vorm. Bepaalde groepen (clusters) met elk eigen richting en sterkte. Tussen twee variabelen bestaat positieve samenhang als de waarden boven het gemiddelde van de ene variabele de neiging vertonen samen te gaan met de waarden boven het gemiddelde van de andere variabele, terwijl de waarden onder het gemiddelde op soortgelijke wijze de neiging hebben om samen te gaan. In de diagram van is positief dus van linksonder naar rechtsboven. De vorm van de relatie kan lineair zijn. Wanneer er meerdere clusters zijn is het handig ze afzonderlijk te bekijken. Uitschieters zijn univariaat niet te vinden maar bivariaat wel. De uitschieters zijn alleen te vinden wanneer men de individuen voor twee variabelen meet. 10

11 kwalitatief verklarende variabelen: Deze kunnen evengoed in een diagram geplaatst worden voor vergelijking met een kwantitatieve te verklaren variabele. Voor de representatie kan gebruik gemaakt worden van boxplots. 2.2 correlatie De correlatie meet de richting en sterkte van de lineaire relatie tussen twee kwantitatieve variabelen. De twee kwantitatieve variabelen zijn x en y. Correlatie r is het gemiddelde van de gestandaardiseerde producten van de variabelen. r = 1 n 1 ( ) ( ) x x y y s x r = 1 Zx Z y n 1 Geen onderscheid tussen de te verklaren variabele en de verklarende variabele. Variabelen dienen kwantitatief te zijn. Correlatie r heeft geen meeteenheid, het komt voor uit gestandaardiseerde waarden zonder eenheid, wel grootheid. Een positieve r wijst op een positieve samenhang en een negatieve r op een negatieve samenhang. De correlatie ligt tussen -1 en 1. Naarmate r dichter bij -1 of 1 ligt, is de lineariteit van het verband sterker. Correlatie meet slechts de sterkte van een lineaire relatie tussen twee variabelen. Correlatie is niet resistent. Bovendien is het geven van alleen de correlatie niet afdoende voor een volledige beschrijving van de gegevens. 2.3 kleinste-kwadraten methode Net zoals we één variabele numeriek willen samenvatten met bijvoorbeeld een mediaan en een vijf-getal-samenvatting willen we ook een relatie tussen twee variabelen simpel numeriek kunnen samenvatten. Een rechte lijn die de afhankelijkheid van een variabele (y) van een andere (x) beschrijft wordt een regressielijn genoemd. Vaak gebruiken we een regressielijn om de waarde van y voor een waarde x te voorspellen. Regressie vereist, in tegenstelling tot correlatie, een verklarende en een te verklaren variabele. van data naar lijn: Van verschillende waarnemingen kan een grafische voorstelling gemaakt worden waardoor in sommige gevallen een rechte lijn is te trekken. Deze lijn is een model te beschrijven door de volgende formule waarbij x de verklarende variabele is en y de te verklaren variabele. b is de helling en a het startpunt voor x = 0. y = a + bx Er zijn voorspelling te doen op basis van de formule. Echter de waarde die we toekennen aan de voorspelling is afhankelijk van de spreiding van de gegevens ten op zichte van de regressielijn. Is de spreiding groot dan wordt de voorspelling minder betrouwbaar. Voorspellingen doen op basis van de regressielijn wordt extrapolatie genoemd. s y 11

12 de methode: Om de voorspellingen op basis van de regressielijn zo betrouwbaar mogelijk te maken, moet de regressielijn de punten zo dicht mogelijk benaderen. We zoeken de lijn die zo dicht mogelijk langs de punten in verticale richting loopt, immers de fouten die we maken drukken zich uit in y, de te verklaren variabele. Het doel is nu om de afstanden tussen de regressielijn en alle punten zo klein mogelijk te maken. Een methode hiervoor is de kleinste kwadraten methode. De kleinste regressielijn van y over x is de lijn waarvoor de som van de kwadraten van de verticale afstanden van de gegevenspunten tot de lijn, zo klein mogelijk is. Wanneer a + bx de voorspellende waarde voor y aangeeft dan zal die waarde afgetrokken moeten worden van de echt waargenomen y om de fout te vinden. Wanneer we die fouten kwadrateren en optellen vinden we de volgende formule. (yi a bx i ) 2 De volgende formules leiden tot de correcte waarden voor a en b voor de vergelijking van de kleinste kwadratenlijn. De vergelijking voor b zegt dat langs de regressielijn een verandering van één standaardafwijking in x overeenstemt met een verandering van r standaardafwijkingen in y. Denk eraan dat de standaardafwijking iets vertelt over de gemiddelde afwijking van de waarnemingen van het gemiddelde voor één variabele. De te verklaren variabele staat als teller in de breuk en r geeft de sterkte en de richting van de relatie aan. Voorts gaat de kleinste kwadraten regressielijn altijd door het punt (x, y). Als x en y gestandaardiseerde variabelen zijn, loopt de regressielijn door de oorsprong en is helling b gelijk aan r. b = r s y s x a = y bx Het kwadraat van correlatie, r 2, is die fractie van de variatie in de y-waarden die verklaard worden door de kleinste-kwadratenregressie van y op x. Bij een bepaalde x is er een bepaalde spreiding aan y-waarden en een voorspelde y. Over alle waarnemingen is een standaardafwijking berekend en aan de hand daarvan de correlatie r. Stel r = en dus r 2 = 0.849, dan betekent dat 85% van de variatie in de te verklaren variabele verklaard worden door de x- variabele. De voorspellingen die gedaan worden op basis van de regressielijn met een lage r 2 zullen onbetrouwbaarder zijn. r 2 is fractie verklaarde variatie. Een deel van de variatie in y wordt veroorzaakt door x. Twee bronnen van variatie: x en het residu. Spreiding van ŷ is kleiner dan y. r 2 schrijft een percentage van de variatie toe aan x met de formule variantieŷ variantiey. De rest van het percentage wordt verklaard door het residu en is dus het deel onverklaarde variantie. 2.4 gebruik en beperkingen van regressie en correlatie residuen: Nog even voor de duidelijkheid: Een regressielijn is een wiskundig model voor het algemene patroon van een lineaire relatie tussen een verklarende en een te verklaren variabele. De kleinste-kwadraten methode berekent de som van het kwadraat van de afstand tussen de waargenomen waarde en de voorspelde waarde van de te verklaren variabele. Het residu is de afstand voor een meting tussen de de waargenomen waarde en de voorspelde waarde van de te verklaren variabele. residu = y ŷ Voor elk datapunt kan het residu apart beschreven worden, naast de som van het kwadraat van alle residuen. Het gemiddelde van de residuen gebruikt in de kleinste-kwadraten methode is gelijk aan 0. De residuen kunnen vervolgens uitgezet worden in een residuendiagram. Hiermee kunnen we de aanpassingen van een regressielijn beter beoordelen. Als de regressielijn het algemene patroon van de gegevens weergeeft mag in het residudiagram geen patroon zichtbaar zijn. Is er wel een patroon te zien dan is regressielijn minder betrouwbaar om voorspellingen mee te doen. Een gebogen residupatroon duidt op een kromlijnig en niet 12

13 lineair verband, een waaiervormig patroon naar rechts duidt op een dalende betrouwbaarheid naarmate de waarde van de verklarende variabele stijgt. verborgen variabelen: Een verborgen variabele is een variabele die een belangrijke invloed heeft op de relaties tussen variabelen in een onderzoek, maar niet is opgenomen in de verzameling van de bestudeerde variabelen. Een nuttige methode om verborgen variabelen te ontdekken is om zowel de te verklaren variabele alsook de regressieresiduen uit te zetten tegen de tijdsvolgorde van de waarnemingen, als die volgorde beschikbaar is. uitschieters en invloedrijke waarnemingen: Een uitschieter in de context van regressie is een punt dat in vericale richting ver verwijderd ligt van de aangepaste lijn en daarom een groot residu oplevert. Toch heeft een uitschieter in horizontale richting ook veel invloed op de richting van de regressielijn vanwege de niet-resistentie. Zo n uitschieter heet een invloedrijke waarneming. De zekerste manier om te bepalen of een punt invloedrijk is, is om de regressielijn te tekenen met en zonder die waarneming. wees alert: correlatie meet alleen de mate van lineaire associatie. Als het globale patroon van de relatie niet lineair is, heeft het geen zin de relatie lineair te tekenen. extrapolatie kan onbetrouwbaar zijn. Correlaties en kleinste-kwadratenregressies zijn niet resistent. Verborgen variabelen kunnen gegevens van regressie of correlatie misleiden. Zet residuen altijd uit tegen de tijd en tegen andere vaiabelen die de relatie tussen x en y kunnen beïnvloeden. Een samenhang tussen verklarende variabele en een te verklaren variabele betekent nog geen oorzaak-gevolg relatie. Correlaties die gebaseerd zijn op gemiddelden zijn over het algemeen hoger dan correlaties tussen dezelfde variabelen gebaseerd op data van individuen. Voor succesvol voorspellen is een oorzakelijke relatie niet vereist. Als zowel x als y afgeleiden zijn van dezelfde onderliggende niet-gemeten variabelen, is het misschien mogelijk om y uit x te voorspellen, zelfs als x niet een directe invloed heeft op y. Wanneer de gegevens niet de maximale informatie bevattten spreken we van een beperkt bereik. Beperkt bereik zal alleen een probleem vormen wanneer de uitkomsten afwijkingen vertonen ten opzichte van gegevens met een minder beperkt bereik. 2.5 relaties tussen kwalitatieve variabelen Relaties tussen kwalitatieve variabelen worden beschreven door uit de gegeven aantallen de bijbehorende percentages te berekenen. Percentages zijn gemakkelijker te vergelijken dan aantallen. Twee kwalitatieve variabelen worden in een kruistabel genoteerd. Een variabele in de rijen en de andere in de kolommen geordend van laag naar hoog. De verdeling van een variabele alleen, dus niet in relatie tot de andere variabele, heet een marginale verdeling. De verdeling van een categorie van een variabele in relatie tot de andere variabele heet een voorwaardelijke verdeling. 13

14 opleiding leeftijd geen middelbare school middelbare school jr hbo of uni jr hbo of uni totaal In de percentagetabel wordt beschreven wat het opleidingsniveau is van elke leeftijdsgroep, niet hoe elke leeftijdsgroep binnen opleiding is verdeeld. Daarom is de horizontale optelling geen 100%. Om de gegevens te vergelijken voor elke rij, is een staafdiagram vaak afdoende. Voor de absolute waarden boeit het niet. Het verschil tussen horizontaal en verticaal of zelfs diagonaal (totaal). In de tabel hierboven is verticaal gepercenteerd. percenteren. paradox van simpson: De paradox van Simpson betreft de omkering van de richting van een samenhang wanneer data uit verscheidene groepen gecombineerd worden tot een enkele groep. De verborgen variabelen in de paradox van Simpson zijn kwalitatief, ze delen de individuen op in groepen. De paradox van Simpson is een extreme vorm van het feit dat de waargenomen samenhang misleidend kan zijn als er verborgen variabelen zijn. Drie kwalitatieve variabelen worden in een driedimensionale tabel met elkaar vergeleken. Dit is een kruistabel waarbinnen onderscheid wordt gemaakt in nog een variabele. In essentie één tweedimensionale kruistabel voor elke categorie van de derde variabele. 2.6 oorzaak en gevolg Het feit dat twee variabelen samenhangend zijn tot elkaar betekent nog niet automatisch dat de veranderingen bij de ene, veranderingen bij de ander teweegbrengen. Ik vermeld een aantal soorten samenhang: a: Een rechtstreekse oorzaak-gevolg samenhang tussen x en y. b: Er is een gemeenschappelijke afhankelijkheid van x en y door verborgen variabele z. c: Er is een verstrengeling als zowel de verklarende variabele x als de verborgen variabele z invloed hebben op de te verklaren variabele y, echter kunnen we de invloed van x niet onderscheiden van die van z. De beste methode om de exacte relatie tussen variabelen vast te stellen is door middel van een experiment waarin de effecten van alle variabelen gecontroleerd kunnen worden. 3 vergaren van gegevens Een belangrijke methode om informatie te vergaren is de Enkelvoudige Aselecte Steekproef (EAS). steekproef; greep uit een bepaalde populatie 14

15 aselect; elk element van de greep is willekeurig gekozen, het enige verschil mag worden veroorzaakt door toeval enkelvoudig; één tegelijk en geen tweetallen 15

16 4 kansrekening - de studie van het toeval 4.1 toeval Een toevalsverschijnsel is een verschijnsel waarbij individuele uitkomsten onzeker zijn, maar er niettemin bij een groot aantal herhaling een regelmatige verdeling van uitkomsten bestaat. De kans op een willekeurige uitkomst van een toevalsverschijnsel is de fractie keren dat de uitkomst voorkomt in een lange reeks herhalingen. Dat wil zeggen, de fractie is een relatieve frequentie op de lange termijn. 4.2 kansmodellen Kansmodellen worden gedefinieerd aan de hand van twee onderdelen: een lijst van mogelijke uitkomsten een kans voor elke uitkomst definities en regels: De uitkomstenruimte S van een toevalsverschijnsel is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten van een toevalsverschijnsel; ofwel een deelverzameling van een uitkomstenruimte. Een Venn-diagram is een figuur dat de uitkomstenruimte als een rechthoek weergeeft en de gebeurtenissen als oppervlaktes binnen dat diagram. De kans op een gebeurtenis A is: P (A) = aantal uitkomsten in A aantal uitkomsten in S Er zijn 5 regels over een kansberekeningsmodel. De gegevens komen voort uit de gedachte dat kans wordt omschreven als het aantal herhalingen waarbinnen een gebeurtenis plaatsvindt. 1. De kans P (A) op een gebeurtenis a voldoet aan 0 P (A) 1; Elke kans is een getal tussen 0 en Als S de uitkomstenruimte is in een kansmodel dan is P (S) = 1. Alle mogelijke uitkomsten moeten samen een kans van 1 hebben. 3. Als A een gebeurtenis is, dan heet de gebeurtenis dat A niet optreed het complement van A, genoteerd als A c. De complementregel stelt dat P (A c ) = 1 P (A). De kans dat een gebeurtenis niet plaatsvindt is 1 minus de kans dat de gebeurtenis wel voorkomt. 4. Twee gebeurtenissen A en B zijn disjunct als zij geen gezamelijke uitkomsten hebben en daardoor nooit tegelijk kunnen optreden. Wanneer dat zo is dan geldt de optelregel voor disjuncte gebeurtenissen: P (A of B) = P (A) + P (B). Wanneer twee gebeurtenissen geen gelijke uitkomsten hebben, dan is de kans dat het een of het ander voortkomt de som van hun individuele kansen. 5. De gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als de wetenschap dat A gebeurt niet de kans verandert dat B gebeurt. De productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen luidt: P (A en B) = P (A) P (B). 16

17 4.3 stochastische variabelen Een stochastische variabele is een variabele waarvan de waarde een numerieke uitkomst is van een toevalsverschijnsel. Een stochastische variabele heeft een verwachting en een variantie. In deze paragraaf leren we kansen toe te kennen aan gebeurtenissen aan de hand van een stochastische variabele. discrete stochastische variabele: Een discrete stochastische variabele X neemt een eindig aantal waarden aan, noem die x 1, x 2,, x k. Een kansmodel voor X wordt gegeven door aan deze uitkomsten kansen p i toe te kennen. P (X = x i ) = p i Hierbij moeten de kansen p i voldoen aan regels 1 en 2 van het kansberekeningsmodel. De kans P (X in A) op een willekeurige gebeurtenis wordt gevonden door sommatie van de kansen p i van de uitkomsten x i waaruit de gebeurtenis A is samengesteld. Van alle kansen kan een kanshistogram getekend worden. Alle gebeurtenissen komen op de x-as waarna op y-as de kansen uitgezet worden. Een kanshistogram is daarmee een histogram van relatieve frequenties bij een zeer groot aantal pogingen. continue stochastische variabelen: Bij een continue stochastische variabele kan X elke waarde in het interval aannemen en is deze niet beperkt tot een eindig aantal. We gebruiken nu een andere manier om kansen aan gebeurtenissen toe te kennen, niet door het aantal gebeurtenissen met het aantal mogelijke gebeurtenissen te vergelijken maar als oppervlaktes onder de kromme. De totale uitkomstenruimte heeft kans 1 en is de volledige oppervlakte onder de dichtheidskromme. Elke dichtheidskromme beschrijft de kansverdeling van de een of andere continue stochastische variabele. Omdat de oppervlakte boven elke individuele gebeurtenis 0 is, is de kans daarop bij continue kansverdeling ook 0. Normale verdelingen zijn kansverdelingen. Als X de N(µ, σ) verdeling heeft, dan heeft de gestandaardiseerde variabele de standaardnormale verdeling N(0, 1). Z = X µ σ 4.4 verwachting en variantie van stochastische variabelen De kansrekening is de wiskundige taal die het regelmatig gedrag op lange termijn van toevalsverschijnselen beschrijft. De kansverdeling van een stochastische variabele is een geïdealiseerde verdeling van relatieve frequenties. Als X een discrete stochastische variabele is, die de waarden x 1, x 2,, x k aanneemt met de kansen p 1, p 2,, p k dan wordt de verwachting van X gevonden door elke uitkomst te vermenigvuldigen met zijn kans en alle uitkomsten te sommeren: µ X = x 1 p 1 + x 2 p x k p k = x i p i Dit is een soort rekenkundig gemiddelde maar een gewogen gemiddelde van een stochastische variabele, vandaar de µ X. We gooien met de dobbelsteen en bij 6 ontvang je 12 euro en bij niet 6 geef je 3 euro weg. De verwachte winst op de lange termijn bereken je als volgt. uitkomst (x i ) 6 (12) niet 6 (-3) kans (p i ) = = 3 6 = 0, Op lange termijn is de verwachting voor elke worp dat je 0.50 ct verliest. Ga maar na dat je na 6 keer gooien 3 euro verliest. Dat is 0.50 ct per worp. 17

18 grote aantallen: Neem een willekeurig aantal onafhankelijke waarnemingen van een populatie met een eindige verwachting µ. Bepaal hoe nauwkeurig de schatting van µ moet worden. Naarmate het aantal getrokken waarnemingen toeneemt, zal het gemiddelde x van de waargenomen waarden uiteindelijk het gemiddelde µ van de populatie zo dicht naderen als men van tevoren heeft vastgelegd en zo dichtbij blijven. De voorspellingen die je kunt doen is afhankelijk van de variantie van de variabele. hoe meer je meet, des te meer naderen de meetwaarden de rekenkundige verwachting verwachtingsregels: Als X en Y stochastische variabelen zijn en a en b constanten dan geldt: µ a+bx = a + bµ X µ X+Y = µ X + µ Y De eerste regel geeft de mogelijkheid voor een lineaire transformatie voor de verwachting aan. De tweede regel zegt dat als we stochastische variabelen bij elkaar optellen, we dat met de verwachtingen ook mogen doen. Als het ware twee lootjes tegelijk kopen en dan de gezamelijke verwachting te lezen. variantie van een stochastische variabele: Als X een discrete stochastische variabele is, die de waarden x 1, x 2,, x k aanneemt met de kansen p 1, p 2,, p k dan wordt de variantie van X gegeven door: σx 2 = (x 1 µ X ) 2 p 1 + (x 2 µ X ) 2 p (x k µ X ) 2 p k = (x i µ X ) 2 p i De standaardafwijking σ X is vervolgens de wortel uit de variantie. Bij formule van variantie 1 vermenigvuldig je met p, de kans. Normaliter zou je met n 1 vermenigvuldigen maar dit is een gewogen gemiddelde, de kans. variantieregels: dan geldt: Als X en Y onafhankelijke stochastische variabelen zijn en a en b constanten σ 2 a+bx = b 2 σ 2 X σ 2 X+Y = σ 2 X + σ 2 Y σ 2 X Y = σ 2 X + σ 2 Y De eerste regel geeft het effect van de lineaire transformatie weer. Op de variantie heeft a geen invloed. De tweede regels zeggen dat de variantie altijd groter wordt, ook als je ze van elkaar af haalt. In feite is de variantie namelijk een onzekerheid, deze wordt niet kleiner als je twee onzekerheden van elkaar afhaalt. 18

19 Tom en Henk spelen golf. Beide spelers scoren gevarieerd. Tom speelt beter maar minder constant: Tom s score X: µ X = 110 σ X = 10 Henk s score Y : µ Y = 100 σ X = 8 Wanneer ze onafhankelijk van elkaar een ronde spelen kunnen we de regels van verwachtingen en varianties toepassen. Het verschil in scores na de eerste ronde heeft de verwachting: µ X Y = µ X µ Y = = 10 De variantie van het verschil in scores is: σ 2 X Y = σ 2 X + σ 2 Y = = 164 De standaardafwijking volgt uit de variantie: σ X Y = 164 = 12, 8 Dit houdt in dat ook al is de verwachting voor Henk 10 punten lager dan Tom, door de standaardafwijking van 12,8 heeft hij wel kans om te winnen. 4.5 de wetten van de kansrekening 1. 0 P (A) 1 2. P (S) = 1 3. P (A c ) = 1 P (A) 4. P (A of B) = P (A + B) 5. P (A en B) = P (A) P (B) De vereniging van een willekeurige verzameling gebeurtenissen is de gebeurtenis dat er tenminste één uit de verzameling optreed. De algemene optelregel voor een vereniging van twee gebeurtenissen A en B is: P (A of B) = P (A) + P (B) P (A en B) productregel: P (A en B) = P (A) P (B A) P (B A) = P (A en B) P (A) Als twee gebeurtenissen beiden plaatsvinden moet er eerst 1 gebeurtenis plaatsvinden, P (A), en vervolgens, gegeven dat de eerste plaats heeft gehad. de tweede moet plaatshebben, P (B A). 19

20 Karel de pokeraar speelt poker en ziet in een spel 11 kaarten, waaronder de kaarten in zijn hand. Van die 11 zijn er 4 ruiten. Aangezien er 13 ruiten in het spel zijn, zijn er nog 9 in het spel. Er zijn nog = 41 kaarten in het spel. Karel heeft 2 ruiten nodig. P (eerste kaart ruiten) = 9 41 De voorwaardelijke kans op nog een ruiten hangt af van de eerste kaart die getrokken wordt, voor de geldigheid moet die eerste kaart een ruiten zijn. Hieruit volgt: De productregel zegt nu: P (tweede kaart ruiten eerste kaart ruiten) = 8 40 P (beide kaarten ruiten) = = 0, De doorsnede van een willekeurige verzameling gebeurtenissen is de gebeurtenis dat alle gebeurtenissen optreden. boomdiagrammen: Boomdiagrammen zijn nuttig bij het weergeven van berekeningen die uit verscheidene stappen bestaan, de verschillende stappen na de eerste stap zijn dan voorwaardelijke kansen. regel van Bayes: Als A en B willekeurige gebeurtenissen zijn met een kans die noch gelijk is aan 1, noch aan 0 dan geldt: P (A B) = P (B A)P (A) P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) onafhankelijke gebeurtenissen: hebben, zijn onafhankelijk als: Twee gebeurtenissen A en B die beide een positieve kans P (B A) = P (B) 20

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren

mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren College 5: Regressie en correlatie (2) Rosner 11.5-11.8 Arnold Kester Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek Universiteit Maastricht Postbus 616, 6200 MD Maastricht

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel

Nadere informatie

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Kwantitatieve methoden. Samenvatting met verwijzing naar Excel functies

Kwantitatieve methoden. Samenvatting met verwijzing naar Excel functies Kwantitatieve methoden Samenvatting met verwijzing naar Excel functies I. Inleiding Statistiek is een gebied in de wiskunde dat zich bezighoudt met het samenvatten, beschrijven en analyseren van (grote

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Klantonderzoek: statistiek!

Klantonderzoek: statistiek! Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van

Nadere informatie

SPSS. Statistiek : SPSS

SPSS. Statistiek : SPSS SPSS - hoofdstuk 1 : 1.4. fase 4 : verrichten van metingen en / of verzamelen van gegevens Gegevens gevonden bij een onderzoek worden systematisch weergegeven in een datamatrix bij SPSS De datamatrix Gebruik

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

begin van document Eindtermen havo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen havo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen havo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE A A1: Informatievaardigheden X X Vaardigheden A2:

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 2 kruistabel a c b d, met phi = ad bc ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) als phi

Nadere informatie

In de praktijk gaat men eerder werken met numerieke codes. Aan de hand van een codeboek wordt per variabele een nummer aan een waarde toegekend.

In de praktijk gaat men eerder werken met numerieke codes. Aan de hand van een codeboek wordt per variabele een nummer aan een waarde toegekend. Basisconcepten De statistiek heeft de studie van gegevens, die kenmerken van een bevolking beschrijven, tot object. Als je zelf onderzoek wil verrichten of de resultaten van het werk van een ander wil

Nadere informatie

Economie en maatschappij(a/b)

Economie en maatschappij(a/b) Natuur en gezondheid(a/b) Economie en maatschappij(a/b) Cultuur en maatschappij(a/c) http://profielkeuze.qompas.nl/ Economische studies Talen Recht Gedrag en maatschappij http://www.connectcollege.nl/download/decanaat/vwo%20doorstroomeisen%20universiteit.pdf

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

Lesbrief de normale verdeling

Lesbrief de normale verdeling Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

Metingen bij mensen. 3.1 Wat is het doel van het onderzoek?

Metingen bij mensen. 3.1 Wat is het doel van het onderzoek? Metingen bij mensen 3 In hoofdstuk 2 zijn de belangrijkste aspecten van het tellen van mensen geïntroduceerd. Dit hoofdstuk is een inleiding van onderzoek waarbij metingen bij mensen (of objecten) worden

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.3 16.3 uur 2 4 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde A (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE mag in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden

Nadere informatie

HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA)

HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA) HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA) DATA STRUKTUUR Afhankelijke variabele: Eén kontinue variabele Onafhankelijke variabele(n): - één discrete variabele: één gecontroleerde factor - twee discrete variabelen:

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Vaardigheden IV Delphine De smet 3 theorielessen 2 practica in groepen per 40, oefenen in SPSS

Vaardigheden IV Delphine De smet 3 theorielessen 2 practica in groepen per 40, oefenen in SPSS Vaardigheden IV Delphine De smet 3 theorielessen 2 practica in groepen per 40, oefenen in SPSS Examen: week 20-24 april: schriftelijk examen met toepassing SPSS, geen open boek, wel sterk toepassingsgericht,

Nadere informatie

Beschrijvende statistiek

Beschrijvende statistiek Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je op welke manier centrum- en spreidingsmaten je helpen bij de interpretatie van statistische gegevens. Je leert ook dat grafische voorstellingen

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding 15. Deel I Beschrijvende statistiek 17

Inhoud. Inleiding 15. Deel I Beschrijvende statistiek 17 Inhoud Inleiding 15 Deel I Beschrijvende statistiek 17 1 Tabellen, grafieken en kengetallen 19 1.1 Case Game 16 20 1.2 Populatie en steekproef 22 1.3 Meetniveaus 23 1.4 De frequentieverdeling 25 1.5 Grafieken

Nadere informatie

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2002-II Speelgoedfabriek Een speelgoedfabrikant maakt houten poppenhuizen en houten treinen. Voor het vervaardigen van het speelgoed onderscheiden we drie soorten arbeid: zagen, timmeren en verven. Het aantal

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

datavisualisatie Stappen 14-12-12 verzamelen en opschonen analyseren van data interpeteren hoorcollege 4 visualisatie representeren

datavisualisatie Stappen 14-12-12 verzamelen en opschonen analyseren van data interpeteren hoorcollege 4 visualisatie representeren Stappen datavisualisatie hoorcollege 4 visualisatie HVA CMD V2 12 december 2012 verzamelen en opschonen analyseren van data interpeteren representeren in context plaatsen 1 "Ultimately, the key to a successful

Nadere informatie

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Business Administration / Bedrijfskunde Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Algemeen Vak : Statistische Methoden Groep : niet van toepassing en Technieken Vakcode : BKB009t Soort tentamen : gesloten boek

Nadere informatie

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A

Normale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A Domein Statistiek en kansrekening havo A 4 Normale verdeling Inhoud 4.0 Een bijzondere verdeling 4.1 Gemiddelde en standaardafwijking 4.2 Normale verdeling 4.3 Rekenen met normale verdelingen 4.4 Steekproef

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I Bevolkingsgroei Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren 1A, 1B,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur. Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een (eventueel

Nadere informatie

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke Niet de hoogte, wel de oppervlakte Prof. dr. Herman Callaert Aandachtspunten bij - statistische technieken voor een continue veranderlijke - de interpretatie van een histogram - de normale dichtheidsfunctie

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een statistische toets beslis je of een hypothese waar is.

Nadere informatie

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Dat economie in essentie geen experimentele wetenschap is maakt de econometrie tot een onmisbaar

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y 1 Regressie analyse Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y Regressie: wel een oorzakelijk verband verondersteld: X Y Voorbeeld

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Statistiek: Centrummaten 12/6/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Centrummaten 12/6/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Centrummaten 12/6/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie 1) Nominaal niveau: Gebruik de Modus, dit is de meest frequente waarneming 2) Ordinaal niveau:

Nadere informatie

HAAL MEER UIT JE HERSENEN 12 en 19 november 2015 Fetsje Bijma Vrije Universiteit Amsterdam f.bijma@vu.nl

HAAL MEER UIT JE HERSENEN 12 en 19 november 2015 Fetsje Bijma Vrije Universiteit Amsterdam f.bijma@vu.nl HAAL MEER UIT JE HERSENEN 12 en 19 november 2015 Fetsje Bijma Vrije Universiteit Amsterdam f.bijma@vu.nl I. Inleiding: het brein De menselijke hersenen bestaan uit ongeveer 10 13 zenuwcellen, de neuronen.

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 31 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 0 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue)

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue) identificatie opleiding Marketing modulenaam Statistiek code module A12 goedkeuring door aantal lestijden 80 studiepunten datum goedkeuring structuurschema / volgtijdelijkheid link: inhoud link leerplan:

Nadere informatie

Experimenteel en Correlationeel Onderzoek

Experimenteel en Correlationeel Onderzoek Experimenteel en Correlationeel Onderzoek In veel onderzoek is het doel: Het vaststellen van oorzaak-gevolg (causale) relaties Criteria voor causaliteit 1. Samenhang (correlatie, covariantie) 2. Opeenvolging

Nadere informatie

Examenprogramma wiskunde D havo

Examenprogramma wiskunde D havo Examenprogramma wiskunde D havo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek

Nadere informatie