Wiskundig broeden op een ei

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Wiskundig broeden op een ei"

Transcriptie

1 Algebr en meetkunde kunnen tot leven gebrcht worden met de nieuwste versie vn Cbri vi digitle foto s André Heck lt zien hoe wiskundig onderzoek n een ei er dn uit kn zien Met nme de vrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? stt centrl Wiskundig broeden op een ei Inleiding Cbri is een computerprogrmm dt met nme geschikt is ls onderzoek- en experimenteergereedschp in de vlkke meetkunde [1] In Euclides [] is l eens gewezen op de mogelijkheden vn de nieuwste versie, CbriPlus [3] genmd, bij onderwerpen uit de nlyse Wt in de toepssingen in beide domeinen wel opvlt is dt het ICTgebruik nog reltief dicht stt bij de problemen en figuren die je in wiskundeboeken tegenkomt De voornmste toevoeging is het dynmische krkter vn het progrmm Meestl gt deze consttering ook nog op in het gevl een relistische situtie mbv een dynmisch meetkundeprogrmm onderzocht wordt Een voorbeeld hiervn is het Duitse project Mthemtik rund ums Ei [4] uit 001, wrin leerlingen o de wiskundige vorm vn een ei onderzoeken en hiermee het volume en de oppervlkte schtten Cinderell, het zusje vn Cbri, wordt lleen gebruikt om eivormige krommen te construeren; een echt ei is snel uit beeld verdwenen Mr dit kn nders nno 004 met de Plus-versie vn Cbri Hierin kn een digitle foto ls chtergrond vn een meetkundige constructie dienen of zelfs dynmisch n meetkundige objecten in een constructie gekoppeld worden Dit biedt diverse mogelijkheden om een sterke bnd tussen wiskunde en werkelijkheid tot stnd te brengen, bijvoorbeeld in de vorm vn een prktische opdrcht In dit rtikel lten we zien hoe wiskundig onderzoek n een echt ei er uit kn zien, wrbij we voorl ingn op de onderzoeksvrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? Algebr en meetkunde gn hierin hnd in hnd Wij hopen en verwchten hiermee een inspirerend voorbeeld te geven vn functioneel ICT-gebruik in een prktische opdrcht wrin wiskunde direct gekoppeld wordt n echt experimenteren met een voorwerp uit het dgelijkse leven Meten is geen eitje We doen eerst mr eens enkele metingen n ons ei met stempeling -NL-4031 Het 1ste nummer duidt overigens op het houderijsysteem (=schrrelei) Dn volgt NL (Nederlnd) ls herkomstlnd en het registrtienummer vn de pluimveehouderij wr het ei vndn komt [5] De meetgegevens zullen we lter gebruiken om meetkundige modellen vn de eivorm op wrde te schtten Op een keukenweegschl wegen we het gewicht vn het ei: 74 grm betekent dt het ei tot de XL klsse behoort (XL = vnf 73 grm); er stt ook niet voor niets op de verpkking jumbo schrrelei Met een schuifmt is de lengte en breedte vn het ei nuwkeurig te meten: lengte = 6,1 cm en breedte = 4,6 cm Voor onze doeleinden volstt ook wel het gebruik vn een linil De omtrek op het breedste punt vn het ei hebben we bepld door op deze plek een grendrdje te spnnen en de lengte hiervn met een linil te meten: de omtrek is 14,7 cm, hetgeen overeenstemt met een cirkel met dimeter 4,68 cm Als we een grendrdje om het ei spnnen in de lengterichting dn blijkt dit een lengte vn 17,1 cm te hebben Het volume vn het ei is eenvoudig te beplen door wterverpltsing in een mtbeker met nuwkeurige flezing te meten Mocht je net ls wij geen mtcilinder hebben wrin het ei pst, dn kun je je behelpen met een nietgeijkt bekergls en een geijkte mtcilinder (zie figuur 1) fig 1 Bepling vn het volume vn het ei Wij hebben de volgende meetprocedure gevolgd: vul de mtbeker met wter tot een wterstnd vn 00 ml zodt het ei volledig is ondergedompeld Giet het wter vn het bekergls over in de geijkte mtcilinder en lees het volume f (134 ml) IJk het bekergls door het (zonder ei) met wter te vullen tot n het 00 ml-streepje, hiern de inhoud over te schenken in de mtcilinder en het volume (0 ml) f te lezen Het verschil geeft het volume vn het ei: 68 ml De experimentele bepling vn de oppervlkte vn het ei zonder het te breken is niet zo eenvoudig Je kunt denken n het bedekken vn het ei met stukjes luminiumfolie zodnig dt er zo min mogelijk rimpels ontstn en dn de oppervlkte vn de folie op te meten Een lterntief is om het ei te verven en dn zodnig uit te rollen op ppier dt de oppervlkte vn de verffdruk met de oppervlkte vn het ei correspondeert Mr het blijft lstig en dit is de kern vn ons verhl Experimentele bepling vn eigenschppen ls omtrek, volume en oppervlkte vn een ei is te doen, mr met nme de oppervlktebepling is lstig en vormt een echte uitdging Het bedenken en uitvoeren

2 vn meetmethoden is geen eitje Tussen twee hkjes, leerlingen kunnen zich bij eigen onderzoek ook buigen over de vrg of het zin heeft de metingen meerdere keren te herhlen en dn de gevonden uitkomsten te middelen Meer indirecte beplingen vn grootheden zijn ook toegestn: door een geschikte wiskundige beschrijving vn de vorm vn het ei kun je een goede schtting vn volume en oppervlkte vn een ei mken op bsis vn simpel te meten grootheden De bruikbrheid vn dergelijke wiskundige modellen is te toetsen n de hnd vn de eerder gevonden experimentele gegevens Het ei ls omwentelingslichm De onderzoeksvrg Wt is het volume en de oppervlkte vn een gegeven kippenei? kun je voor leerlingen misschien beter herformuleren in de volgende deelvrgen: 1 ontwikkel een experimentele methode om het volume en de oppervlkte vn een gegeven ei te beplen; ontwikkel een wiskundig model om het volume en de oppervlkte vn een gegeven ei uit te rekenen; 3 vergelijk de experimententel en wiskundige methoden met elkr Deze formulering doet geen fbreuk n het open krkter vn de opdrcht, mr dwingt wel minstens één wiskundige npk f en nodigt uit tot vergelijking vn diverse methoden Er vn uitgnd dt leerlingen(tems) inderdd verschillende methodes ontwikkelen is een evlutie en discussie hierover in de kls op zijn plts Figuur is een frgment vn een CbriPlus-tekenbld wrin op een chtergrondfoto vn een ei gelegen op ruitjesppier twee ellipsen getekend zijn die elk een deel vn de eirnd beschrijven en die netjes op elkr nsluiten in het breedste deel vn het ei De foto is met een webcm vn dichtbij gemkt Door tellen vn hokjes op het ruitjesppier kom je er snel chter dt er sprke is vn perspectivische vervorming (het ei lijkt wel 5,6 cm breed en 7,5 cm lng) en lensvervorming (het ruitjesppier is geen mooi rechthoekig rooster) Het beste is toch om de foto vn het ei met een digitle cmer te mken met goede inzoomfciliteiten en verwrloosbre lensvervorming Knip ook een gt in het ruitjesppier zodnig dt het ei hierin pst en het ppier op hlve hoogte vn het ei gepositioneerd kn worden (zols in figuur 3) Als lterntief voor de fotocmer kun je ook een scnner nemen Meetkundige npk fig Fouten door vervormingen Figuur 3 is een schermfdruk vn een CbriPus-werkbld met een beter geslgde bendering vn de eirnd met twee netjes nsluitende hlve ellipsen Wij presenteren in dit rtikel het volgende wiskundige model: het ei ls omwentelingslichm met de rotties in de lengterichting De wiskundige functie voor de rnd is nog vrij te kiezen, mr we hebben wel een voorkeur voor functies wrmee de berekeningen zo simpel mogelijk zijn Cirkels, ellipsen en prbolen zijn drom goede kndidten Voor het vinden vn een geschikte rndfunctie gebruiken we een foto vn het ei die we met een digitle cmer gemkt hebben In CbriPlus kun je deze foto ls chtergrond op het tekenbld pltsen (rechtsklik in het tekenbld op een lege plek en selecteer het menuitem fbeelding op chtergrond vi een bestnd) Hiern is een rndfunctie te beplen vi meetkundige constructies, met een lgebrïsche npk of vi regressie We bespreken deze methoden, mr niet voordt we nog gewezen hebben op een mogelijk foutieve strt fig 3 Meetkundige bendering vn de eirnd met ellipsen

3 Lten we nog stilstn bij de mnier wrop de ellipsen in figuren en 3 getekend zijn Op de eerste plts moet je weten dt in Cbri een kegelsnede geconstrueerd wordt door het gelijknmige item in de knoppenblk te selecteren en vervolgens vijf punten, wrvn er geen vier of meer op één lijn liggen, n te klikken Afhnkelijk vn de gekozen punten krijg je zo een hyperbool, ellips, prbool of een specil gevl zols een cirkel of een snijdend lijnenpr Als je de vijf punten op de eirnd kiest krijg je ls vnzelf een ellips Een goede bendering vn de eirnd met één ellips lukt niet, mr zols je ziet in de figuren en 3 wel met twee hlve ellipsen (not bene, in perspectief wijzigt de benderingswijze niet vn rd: dit gebeurt nog steeds met kegelsnedes) Twee punten zijn gemeenschppelijk gekozen voor de twee ellipsen, nmelijk dr wr de rnd vn het ei, met het blote oog gezien, het breedst is Het ssenstelsel kun je zodnig neerleggen dt deze twee specil gekozen punten op een s liggen en wel op het zicht even ver vn de oorsprong De eenheid op de x-s is overigens zodnig versleept dt deze smenvlt met hokjes op het ruitjesppier, dwz 1 cm voorstelt; de schl op de y-s wijzigt vnzelf mee In CbriPlus kn vn een geconstrueerde kegelsnede de bijpssende vergelijking gevonden worden vi de knop Vergelijking/Coördinten in de werkblk Je kunt nu net zolng schuiven met de rndpunten en het ssenstelsel totdt de vergelijkingen vn beide ellipsen cnoniek zijn In figuur 3 zijn we iets systemtischer te werk gegn: met een verborgen hulpconstructie vn een cirkel met middelpunt op de y-s hebben we eerst twee punten op de x-s geconstrueerd die per definitie even ver vn de oorsprong liggen Door de strl vn de hulpcirkel te vernderen of het middelpunt vn de cirkel te verschuiven over de y-s kun je de twee punten op de x-s dichter nr elkr toe of verder vn elkr fbrengen, terwijl de eigenschp dt ze gelijke fstnd tot de oorsprong hebben behouden blijft Dit zijn het soort hulpconstructies wrvn we hopen dt leerlingen deze ook (gn) toepssen bij hun onderzoek Tevens hebben we het ssenstelsel en het ei dusdnig neergelegd dt op het eerste gezicht de y-s de omwentelingss vn de eifiguur is en de x-s op het breedste deel vn het ei ligt, terwijl de eerder geconstrueerde punten op de x-s met gelijke fstnd tot de oorsprong op de eirnd liggen Hiern hebben we voor de twee ellipsen steeds drie extr punten op de eirnd gekozen, zodnig dt we zo simpel mogelijke vergelijkingen voor de ellipsen krijgen Het is en blijft spnnend priegelwerk, mr cnonieke vergelijkingen voor de ellipsen kunnen wel gereliseerd worden De in figuur 3 gevonden formules zijn voor de grote en kleine ellips respectievelijk x y x y + = 1 en + = 1, 9 3,37,9,7 Rekenen n ellipsen en een ei De voornmste reden dt we zo grg benderingen vn de eirnd willen hebben met hlve ellipsen en cnonieke bijpssende vergelijkingen is uiterrd dt we dn in de gevonden vergelijkingen eenvoudig de lengte en breedte vn de ellipsen kunnen flezen en dt we hiermee bekende formules voor inhoud en oppervlkte vn omwentelingslichmen vn ellipsen kunnen toepssen Voor een ellips met = lengte vn de grote s en b = lengte vn de kleine s gelden de volgende formules voor het volume en de oppervlkte vn het omwentelingslichm verkregen door rottie om de grote s: 4 Volume = π b 3 en rcsin e Oppervlkte = π b 1 + b e met excentriciteit e gegeven door ( b ) e = 1 De lnge omtrek vn een ellips is ook in een formule te vtten: Omtrek = 4 E( e), wrbij E de complete elliptische integrl vn de de soort is met modulus e Deze formules zijn op Internet [6] te vinden of kunnen uitgerekend worden vi integrlen: en π f ξ dξ Volume = ( ), π f ξ f ξ dξ Oppervlkte = ( ) 1 + '( ) f ξ dξ, Omtrek = 1 + '( ) wrbij b f ( ξ ) = ξ Op de volumeberekening n heb je misschien wel een computerlgebrsysteem nodig om de uitdrukkingen te vinden Voor de omtrek vn de ellips bestn overigens diverse benderingen [7] ; de volgende is fkomstig vn Rmnujn [8] : Omtrek π 3( + b) ( + 3b)( 3 + b ) Ook ntrekkelijk is de volgende combintie vn rekenkundig en meetkundig gemiddelde [9] : 3 Omtrek π ( + b) b Pssen we bovenstnde formules toe voor onze bendering vn de eirnd door twee hlve ellipsen met prmeters k =, 7 (kleine ellips), g = 3, 37 (grote ellips) en b =,9 (beide ellipsen), dn vinden we een volume vn 66,9 ml, een oppervlkte vn 80,8 cm, een korte omtrek vn 14,4 cm en een lnge omtrek vn 16,9 cm Berekend volume en omtrek stemmen goed overeen met de gemeten wrden De oppervlkte stemt goed overeen met de schtting vi het volgende mchtsverbnd tussen gewicht (in grm) en oppervlkte vn vogeleieren (in cm ) [10] :

4 oppervlkte 0,66 = 4,835 gewicht Met deze formule en het gemeten gewicht vn het ei zou de uitkomst voor de oppervlkte 83,5 cm zijn Hst te mooi om wr te zijn is het volgende verbnd voor kippeneieren [11] : 0,658 oppervlkte = 4,76 gewicht Dit levert precies onze wrde voor de oppervlkte op! Er bestn overigens ook experimentele verbnden tussen volume en oppervlkte vn een ei, bijvoorbeeld [1] : λ / 3 oppervlkte = 4, volume β Als je hierin het door ons gemeten volume invult dn krijg je ls schtting voor de oppervlkte 81,7 cm Smengevt, onze oppervlktebepling en llometrische relties uit de vklitertuur stemmen met elkr overeen De vergelijking voor het volume V vn het ei kn ook geschreven worden ls 1 V = π λ β, 6 wrbij λ = g + k en β = b de lengte en breedte vn het ei voorstellen Deze formule voor het volume kunnen we ook gebruiken om de gemiddelde dikteδ vn de eischl te schtten ls nulpunt vn een derdegrds veelterm We schetsen de methode [13] Het ei bestt voor ons uit twee componenten: de eischl en de inhoud vn het ei De mss m vn het ei is drom de som vn de mss vn de schl, m s en vn de mss vn de inhoud vn het ei, m i Lt V, V s en V i de volumes vn het totle ei, vn de schl lleen en vn de inhoud vn het ei zijn Lt ρ s en ρ i de dichtheden vn de schl en de inhoud vn het ei zijn Dn geldt: m = ρsvs + ρivi en V = Vi + Vs Herschrijven geeft de volgende uitdrukking voor het volume vn de inhoud vn de schl vn het ei: m ρiv Vs = ρs ρi We nemen n dt het totle ei te benderen is met twee hlve ellipsen met cnonieke prmeters k, g en b Dezelfde veronderstelling mken we voor de inhoud vn het ei, mr dn met cnonieke prmeters Ak = k δ, Ag = g δ en B = b δ We negeren dus het bestn vn een luchtkmer in het ei en de vritie in schldikte, die fhngt vn de plek op het ei De formule voor het volume vn de ei-inhoud is: Vi = π ( Ak + Ag ) B 3 Uitwerken geeft: 3 Vi = V π δ ( k + g + 4b) δ + b ( k + g + b) 3, oftewel, herschreven in lengte λ en breedte β vn het ei 1 Vs = π δ ( λ + β ) δ + β ( λ + β ) δ 3 3 Dus moet de schldikte δ voldoen n de volgende derdegrds veeltermvergelijking: 3 1 3( m ρiv ) δ ( λ + β ) δ + β ( λ + β ) δ = 0 π ρ ρ ( ) Uit de vklitertuur [14] hlen we de benodigde dichtheden voor schl en inhoud vn vogeleieren: ρ s =, 3 g/cm 3 en ρ i = 1, 037 g/cm 3 Andere gegevens voor ons ei zijn: m = 74 g, V = 68 cm 3, λ = 6,1 cm en β = 4,6 cm Voor ons ei moet de schldikte δ dn voldoen n: 3 δ 7, 75δ + 19, 681δ 0, 6585 = 0 De enige reële oplossing is δ = 0, 034 cm Dit is,5µm minder dn de dikte die met de volgende llometrische reltie [15] gevonden zou zijn: 3 0,456 δ = 5,16 10 gewicht Algebrïsche npk Tot nu toe hebben we de eirnd benderd vi meetkundige constructies op een chtergrondfoto en vervolgens de lgebrïsche voorstelling vn het meetkundig object gebruikt voor verdere berekeningen Je kunt ook de omgekeerde weg, vn lgebr nr meetkunde, bewndelen bij het wiskundig modelleren vn de eirnd Figuur 4 toont een schermfdruk vn een werkbld wrin drie schuifblken stn om de lengtes in te stellen vn de twee hlve ellipsen die de eirnd beschrijven [16] fig 4 Algebrïsche bendering vn de eirnd met ellipsen s i

5 De ellipsen worden stuksgewijs opgebouwd uit grfieken vn y ls functie vn x In CbriPlus teken je de grfiek vn een geprmetriseerde functie ls volgt: mk een expressie, bijvoorbeeld *sqrt(1-(x/b)^) Kies de knop Bereken Expressie in de werkblk en selecteer chtereenvolgens de expressie, de wrde voor en b, en de x-s Cbri rekent dn onmiddellijk de meetkundige plts vn punten (x,y) uit en tekent de grfiek Voordeel vn deze methode is dt de vergelijkingen vn de geconstrueerde ellipsen ltijd in cnonieke vorm zijn zodt het priegelwerk in de meetkundige npk om dit goed te krijgen niet meer nodig is Met de in de lgebrïsche npk gevonden prmeters k =, 7 (kleine ellips), = 3,4 (grote ellips) en b =, 3 (beide ellipsen) vinden g we een volume vn 67,6 ml, een oppervlkte vn 81,4 cm, een korte omtrek vn 14,5 cm, een lnge omtrek vn 16,9 cm en een schldikte vn 0,03 cm Dit stemt ook goed overeen met onze experimentele beplingen en met litertuurwrden De eirnd ls regressiekromme Regressie is een derde mnier om een geschikte kromme voor de eirnd te vinden Je kunt coördinten vn rndpunten ls volgt in CbriPlus verzmelen (zie figuur 5): Construeer een punt in het tekenbld en verplts het nr de rnd vn het ei Vind de coördinten vn dit punt vi de knop Vergelijking/Coördinten in de werkblk Zet de coördinten vn het rndpunt nu in een tbel door op de knop Tbel te drukken en drn op de coördinten vn het rndpunt te klikken Verzmel extr dt door steeds het punt te verpltsen nr een ndere positie op de rnd vn het ei en op de Tb-toets te drukken voor registrtie vn de gegevens Je kunt op deze mnier overigens elke numerieke wrde op het tekenvel in een tbel pltsen Om nette kopjes in de tbel te krijgen hebben we dit in figuur 5 gedn vi prte nduidingen voor x- en y- wrden vn het punt P Deze tbel kun je nu simpelweg kopiëren nr een computerprogrmm wrin je een regressiekromme bij de dtset kunt beplen, bijvoorbeeld nr Excel In figuur 6 stt een schermfdruk vn een Excel-rekenbld wrin de best bijpssende prbool vn de bovenste eihelft bepld is vi de menu-optie Grfiek/Trendlijn toevoegen, wrbij de keuze op een tweedegrds veelterm gevllen is Je ziet dt de prbool de bovenste helft vn de eirnd niet zo goed modelleert Met een kleiner deel vn de dtset, en dus met een kleiner stuk vn de eirnd, lukt dit wel fig 6 Prbool ls regressiekromme Overigens kun je het eiprofiel vn de mrmergrutto wel goed modelleren met een prbool en ellips (zie figuur 7) fig 7 Bendering vn een grutto-ei met prbool en ellips fig 5 Coördinten verzmelen vn punten op de eirnd Wie niet op eieren zit kn veel plezier beleven Eieren zijn er in llerlei soorten en mten: ze kunnen fkomstig zijn vn vogels of reptielen en ze kunnen rond zijn of conisch toelopende uiteinden hebben (figuur 8)

6 Ook n meetkundige constructies vn eivormen is geen gebrek In Pythgors [0,1] is bijvoorbeeld l eens een constructie vn de eirnd mbv vier cirkelbogen beschreven Een fri voorbeeld, dt ook nog goed werkt met ons eigen ei, is het Crtesisch ovl De kromme, bedcht door René Descrtes (in het ltijn: Rentus Crtesius) in 1637, is de meetkundige plts vn de punten wrvoor geldt dt een gewogen som vn de fstnden tot twee vste punten constnt is Deze kromme is in CbriPlus te construeren bovenop de chtergrondfoto vn het ei fig 8 Aller(l)ei vormen [17] Zowel met de lgebrïsche ls meetkundige npk zijn er dn ook tlloze vrinten voor eivormen bedcht [18] Er zijn veel keuzemogelijkheden: een stuksgewijsgedefinieerde rndfunctie kun je op diverse mnieren opbouwen uit een cirkelfunctie, wortelfunctie of welke functie dn ook die je goed vindt pssen bij een stukje vn de eirnd De vorm ziet er meestl wel uit ls een ei, mr bij toepssing op een concreet ei pkt de ene rndfunctie beter uit dn de nder De volgende rndfunctie komt uit een schoolboek en wel uit een opgve over het volume vn een omwentelingslichm [19] : f : x x + x + x + In figuur 9 stt de kromme met = 6,0 getekend fig 9 Minder goed pssende eirnd Minder mooi dn onze eigen benderingen vn de eirnd, mr de keuze vn deze functie in de opgve is wrschijnlijk meer gemotiveerd door de voorwrde dt de benodigde integrl met Mple goed uit te rekenen moet zijn Voor wie het ntwoord wil weten: het volume is ln ( 5 8) 0 1 ln ( 4) 96 π + +, hetgeen speciliseert tot 73,5 ml voor = 6,0 fig 10 Crtesisch ovl ls bendering vn de eirnd De tekening in figuur 10 is ls volgt gemkt: We construeren de meetkundige plts vn punten P wrvoor geldt dt m d( P, F1 ) + d( P, F ) = c, wrbij m en c constnten zijn, en wrbij d(p,f 1 ) en d(p,f ) de fstnden vn het punt P tot de vste punten F 1 en F voorstellen Als oorsprong vn het ssenstelsel hebben we F 1 gekozen Ondern zijn drie lijnstukken te zien De bovenste is een schuifblk wrmee we de prmeter m instellen Het middelste lijnstuk heeft twee doelen: de totle lengte beplt de constnte c en het is tevens een schuifblk Het lijnstuk links vn de schuif heeft een lengte die met de psserconstructie de cirkel met centrum F oplevert Het onderste lijnstuk in figuur 10 is (vi de knop Mt overbrengen in de werkblk) zó gemkt dt de lengte gelijk is een de lengte vn het lijnstuk rechts vn de schuif gedeeld door m De lengte vn het onderste lijnstuk levert met de psserconstructie de cirkel met centrum F 1 op Het snijpunt P vn de twee getekende cirkels heeft per constructie de eigenschp die het Crtesisch ovl krkteriseert Deze kromme wordt in twee gedeeltes getekend door de knop Meetkundige plts in de werkblk te kiezen en chtereenvolgens op één vn de twee snijpunten en op het punt dt de schuif in de onderste schuifblk voorstelt te klikken Hiern is het een kwestie vn geschikte punten F 1 en F vinden en pssende wrden voor de constnten c en m opsporen zodt de kromme netjes de eirnd volgt Al met l is de hele constructie best wel een tijdrovende bezigheid, mr het resultt vergoedt veel

7 Het ovl vn Cssini, dt gedefinieerd is ls de meetkundige plts vn de punten wrvoor geldt dt het product vn de fstnden tot twee vste punten constnt is, wordt ook vk gebruikt om eivormen te modelleren Mr deze kromme beschrijft het profiel vn ons kippenei toch niet zo goed Eiertjetik Een gebruik om met Psen op de pswei met eieren te spelen is goeddeels verdwenen in Nederlnd Een vn de onderdelen ws eiertikken: het ntikken vn eieren om te weten te komen wie het ei met de hrdste schl in zijn of hr bezit hd Deze mnier vn meten vn eischlsterkten kom je nog wel tegen in hedendgs oölogisch onderzoek (oölogie is de wetenschppelijke benming voor eierkunde) Onderstnde figuren komen uit recente wetenschppelijk rtikelen [,3] en illustreren de proefopstelling die gebruikt is om sterkte-eigenschppen vn de eischl te onderzoeken vi geluidsmetingen fig 11 Schemtische opstelling voor resonntieproef fig 1 Echte meeteenheid voor resonntieproef [1] electromgnetisch ngedreven hmertje, [] ei-roller en [3] microfoon Wnneer je nmelijk met een hmertje op het midden vn het ei tikt, gt het ei vibreren en met een microfoon kun je de koestische drukgolven die het vibrerende ei genereert opnemen Signlnlyse levert vervolgens de resonntiefrequenties op De lgste resonntiefrequentie f is een mt voor de dynmische stevigheid vn het ei, vstgelegd in een constnte k, vi de reltie π f = k, m wrbij m de mss vn het ei is Deze onderzoeksmethode kunnen leerlingen mbv Coch en een geluidsensor ook wel uitvoeren De universitire onderzoekers hebben deze techniek tevens gebruikt om de sterkte vn ppels en tomten te onderzoeken Leerlingen hoeven zich dus ook niet tot ei-onderzoek te beperken Het gt er hierbij niet om dt leerlingen onderzoek nbootsen, mr wel dt hun eigen onderzoek, of het nu wiskundig modelleren vn eikrommen of mechnisch ei-onderzoek betreft, dicht stt bij wt in echt wetenschppelijk onderzoek gebeurt Leerlingen gebruiken theorie, onderzoeksmethoden en instrumenten die sterk lijken op wt professionele onderzoekers hnteren en krijgen zo een meer relistisch beeld vn onderzoek doen De oppervlkte- en volumebepling en de eerder vermelde llometrische relties worden bijvoorbeeld gebruikt om het oorspronkelijke gewicht vn museumeieren te schtten Wie zijn of hr leerlingen ddwerkelijk wil lten kennismken met biologische beeldverwerking n de hnd vn MRI scns vn kippeneieren in verschillende broedstdi moet mr eens kijken op de website vn het Chickscope project [4] Dt zo n vkoverstijgend werkstuk geen utopie is moge blijken uit het onderzoek nr de stevigheid vn eierschlen door twee scholieren, Ndine Wennersbusch en Mrloes Kleijs, wrvn een smenvtting op de website vn het EXO steunpunt Nijmegen [5] te vinden is Zij hebben zelf een eierpletter geconstrueerd en gebouwd, wrmee de breuksterkte bepld kn worden Met ndere woorden, zij hebben de sttische breuksterkte onderzocht op een mnier die sterk lijkt op de stndrdprocedure in oölogischonderzoek Dynmisch gebruik vn foto s in CbriPlus Keren we nog even terug bij het wiskundig modelleren vn eieren ls omwentelingslichm n de hnd vn digitle foto s Een nog onbesproken, mr veelgebruikte mnier om een eiprofiel met wiskundige krommen te beschrijven is het npssen vn de cnonieke vergelijking vn een ellips x y + = 1 b met een functie f tot x y + f ( x) = 1, b zodnig dt de kromme meer eivormig wordt De functie 1+ cx f ( x) = 1 cx is een voorbeeld vn een functie die dit doet Mr hierbij veronderstellen we wel stiekem dt de lengterichting vn het ei smenvlt met de horizontle s Als je dus de modelkromme wilt vergelijken met het profiel vn een echt ei vi een digitle foto, dn moet dt ei op de foto ook horizontl liggen Mr bij foto s die je niet zelf mkt mr vn Internet plukt hoeft dit heleml niet het gevl te zijn en bovendien is het ei op de foto misschien wel erg klein Met softwre voor fotobewerking kun je de

8 grootte en oriënttie vn de foto wel npssen, mr het gebruik vn dit soort softwre is niet echt nodig: je kunt in CbriPlus ook een foto bewerken ls je deze mr niet ls chtergrond gebruikt, doch koppelt n een meetkundig object zols een punt, lijnstuk, of rechthoek Bij een driehoek wordt de foto zodnig vervormd dt het geen rechthoek meer is, mr een bij de gegeven driehoek pssende prllellogrm Bij een vierhoek wordt de foto dusdnig getrnsformeerd dt deze hierin pst Welke trnsformties op de foto dn nog mogelijk zijn hngt f vn de keuze vn het meetkundige object wrn de foto gekoppeld is De lijst vn mogelijkheden is ls volgt: Ook biedt het dynmisch gebruik vn foto s in CbriPlus de mogelijkheid om een trnsprnt GIF-pltje vi een gelijkvormigheidstrnsformtie over een tekening of foto heen leggen ter vergelijking Een voorbeeld hiervn stt in figuur 14, wrin een gezichtsmsker [6] dt de idele gezichtscontouren zou modelleren (op bsis vn gulden snede verhoudingen) ls trnsprnte figuur over een foto vn een studente is heen gelegd Meetkundig # Vrijheids- Trnsformtie object grden punt trnsltie segment, vector 4 gelijkvormigheidstrnsformtie driehoek 6 ffiene fbeelding vierhoek 8 projectieve fbeelding In de eerste twee gevllen kun je wel geen punt meer op het pltje pltsen: Cbri ssocieert het hele pltje met het gekozen punt of lijnstuk Bij gebruik vn een driehoek of vierhoek kun je nog wel punten binnen de foto mken Dit beplt ntuurlijk wel de speelmogelijkheden vn Cbri In ieder gevl is het voldoende om een foto vn een ei in gewenste grootte en oriënttie op een tekenvel te krijgen Dit is precies wt we in figuur 7 gedn hebben fig 13 Bendering vn een ptrijs-ei In figuur 13 hebben we een foto vn een prtrijs-ei zodnig vergroot dt het ei in werkelijkheid twee keer zo klein is (het echte ptrijsei heeft de fmeting 37 7mm) en de eirnd gemodelleerd met de formule x y 1+ 0, 061x + = 1 3,69,73 1 0, 061x Overigens werkt zo n model ook goed voor ons kippenei fig 14 Geltsonderzoek mbv fotos s in CbriPlus Een dergelijk geltsonderzoek is voor leerlingen veel interessnter, leuker en meer eigentijds (denk mr n de vele tv-progrmm s over plstische en cosmetische chirurgie die momenteel uitgezonden worden) dn lleen mr de eivormigheid vn een gezicht modelleren Het hele eieren eten Tot slot besteden we nog een pr woorden n het nut vn werken met digitle foto s in wiskundeonderwijs In het bijzonder stellen we ons de vrg welke voordelen het meten en mnipuleren vn foto s n leerlingen kn bieden bij het uitvoeren vn prktische opdrchten? En dn denken we niet lleen n oölogisch onderzoek, mr meer lgemeen n het wiskundig modelleren vn concrete objecten We noemen hier in willekeurige volgorde: o wiskunde en werkelijkheid zijn direct met elkr gekoppeld en dit vergroot niet lleen de ntrekkelijkheid vn het werk voor leerlingen, mr lt hen ook kennismken met toepssingen vn wiskunde op objecten uit het dgelijkse leven; o leerlingen ervren op speelse mnier dt meetkundige trnsformties niet lleen een hobby zijn vn wiskundigen, mr dt deze fbeeldingen ook echt gebruikt worden in lle softwre wrmee digitle beelden bewerkt worden Alweer een moderne toepssing vn wiskunde in het echte leven; o lgebr en meetkunde gn hnd in hnd bij wiskunde n foto s en leerlingen worden gemotiveerd, zo niet verleid tot het mken vn constructies die netjes nsluiten bij het gefotogrfeerde object of zo simpel mogelijke formules opleveren Het vinden vn for-

9 o o mules dient ook een concreet doel: het uitrekenen vn fgeleide grootheden, die niet zo gemkkelijk experimenteel te beplen zijn; echte metingen n een concrete object kunnen vergeleken worden met modeluitkomsten Dit drgt bij n het ndenken over kwliteit vn een wiskundig model ICT mkt het mogelijk dt leerlingen meerdere modellen opstellen en met elkr vergelijken; meten op foto s is een moderne onderzoekstechniek, die in prktijk veel gebruikt wordt en die leerlingen ook zelf in prktische opdrchten, exo s of profielwerkstuk kunnen inzetten Fotometing kn het leerlingenonderzoek op een hoger niveu brengen Het fciliteert ook onderzoek n objecten wrop nders moeilijk te meten vlt (denk zowel n grote objecten ls bruggen en gebouwen, ls n kleine objecten zols plntencellen, bcteriën, etc, en denk ook n foto s uit ruimtevrt, geneeskunde of geogrfie) De uteur wil de volgende personen dnken voor hun medewerking: colleg Leendert vn Gstel voor zijn hulp bij de metingen n het ei en de discussies over de gebruikte wiskundige methoden; studente Esther Domínguez Sol voor hr deelnme n het geltsonderzoek en Tous Spuijbroek voor zijn suggestie om een scnner te gebruiken ls lterntief voor een digitle fotocmer André Heck, AMSTEL Instituut, Universiteit vn Amsterdm, heck@scienceuvnl [1] Zie bijvoorbeeld: A Goddijn (001) Cbri geeft oude meetkunde tweede jeugd In J vn de Crts (red) Experimentele wiskunde CWI Vkntiecursus 001 CWI Syllbus 49 (pp 61-9) [] D Klingens (003) Integrlkrommen met CbriPlus Euclides, 79 () [3] De door ons gebruikte Plus-versie 15 vn Cbri uit 004 verschilt vn de Cbri-versie die bij Nederlndse wiskundemethodes wordt meegeleverd Het gebruik vn digitle foto s is in de oude versie niet mogelijk Voor meer informtie over CbriPlus verwijzen we nr de website vn producent Cbrilog (wwwcbrilogcom) en de Nederlndse distributeur wwweducdbvnl [4] Voor meer informtie verwijzen we nr de website wwwdidktikmthemtikuni-wuerzburgde/mthei/ [5] Kijk voor meer informtie op wwwei-infonl [6] Bijvoorbeeld op de website wwwwisfcnl [7] Zie Finl Answers vn GP Michon op webpgin wwwnumericncom/nswer/ellipsehtm [8] S Rmnujn ( ) Modulr Equtions nd Approximtions to π Qurt J Pure Appl Mth 45, [9] IN Bronshtein & KA Semendyyev (1985) Hndbook of Mthemtics 3rd English Edition, Vn Nostrnd Reinhold Co, New York [10] CV Pgnelli, A Olszowsk & A Ar (1974) The vin egg: surfce re, volume nd density The Condor 76 (3) [11] EL Besch, SL Sluk, & AH Smith (1968) Determintion of surfce re using profile recordings Poulty Science 47, [1] DF Hoyt (1976) The effect of shpe on the surfcevolume reltionships of birds eggs The Condor 78 (3) [13] Een npssing vn VG Nrushin Mthemticl Methods nd Theories in Agriculturl Reserch with Exmples Relted to Poultry Science Hoofdstuk 1: Mthemtics on Eggs X-PRESS, Zporozhye, Ukrine, [14] AL Romnoff & AJ Romnoff (1949) The Avin Egg Wiley & Sons, New York [15] A Ar, CV Pgnelli, RB Reeves, DG Greene & H Rhn (1974) The Condor 76 () [16] Voor het mken vn schuifblken in Cbri verwijzen we nr wwwpndddemonnl/vgv/fq39htm [17] De foto is overgenomen uit de virtuele eiertentoonstelling vn het Provincil Museum of Albert in Cnd, wwwpmedmontonbc/vexhibit/eggs/vexhome/egghomehtm Op deze website stn tlloze foto s vn vogeleieren [18] Zie onderstnde webpge en referenties hierin wwwmthemtische-bsteleiende/eggcurveshtm [19] H Stl, A Grunefeld & P vn de Snden (001) Toegepste Wisunde voor hoger onderwijs met behulp vn Mple een interctieve methode Acdemic Service, Schoonhove Opgve 563 [0] B Ernst (000) Een eitje, zo n eitje Pythgors 40 (1) [1] D Klingens (000) Het eirond en het lngrond Pythgors 40 () 4-5 Zie ook de webpgin wwwpndddemonnl/eipythhtm [] P Coucke, E Dewil, E Decuypere & J de Berdemeker (1999) Mesuring the mechnicl stiffness of n eggshell using resonnt frequency nlysis British Poultry Science 40 () 7-3 [3] B De Jetelere, P Couckew & J de Berdemeker (000) Eggshell crck detection bsed on coustic resonnce frequency nlysis Journl of Agriculturl Engineering 76 () [4] [5] wwwexoscikunnl [6] Het msker is ontwikkeld door de plstisch chirurg Dr SR Mrqurd, o voor plnning vn gezichtscorrecties Zie de website wwwbeutynlyscom

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 5 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIc Werkterrein Onderwijsproces -> onderwijsbegeleiding Activiteiten Bewerken

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Keuze van het lagertype

Keuze van het lagertype Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Inleiding Natuurwetenschappen

Inleiding Natuurwetenschappen Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

Wiskundig broeden op een ei

Wiskundig broeden op een ei Algebra en meetkunde kunnen tot leven worden gebracht met de nieuwste versie van Cabri via digitale foto s. André Heck laat zien hoe wiskundig onderzoek aan een ei er dan uit kan zien. Met name de vraag

Nadere informatie

Inproduct, projectie, terugblik

Inproduct, projectie, terugblik Met de vernieuwde wiskundecurricul vn HAVO en VWO verndert in 2015 ook het meetkundeprogrmm voor VWO-wiskunde B: nlytische meetkunde met coördinten krijgt een prominentere plts. Dit is nleiding om in de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B II

Eindexamen vwo wiskunde B II Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

2) Kegelsneden (in basisvorm)

2) Kegelsneden (in basisvorm) ) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 4 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIb Werkterrein Bedrijfsvoering - Mngementondersteuning Activiteiten Bewerken

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Zwaartepunt en traagheid

Zwaartepunt en traagheid Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Verlenen van hand- en spandiensten Beheren/beveiligen van goederen, gebouwen en personen

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel. Verlenen van hand- en spandiensten Beheren/beveiligen van goederen, gebouwen en personen Functiebeschrijving en -wrdering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Scholen Slrisschl 3 Indelingsniveu FUWASYS-dvies II Werkterrein Bedrijfsvoering

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Algemeen. Restweefsel voor medischwetenschappelijk onderzoek

Algemeen. Restweefsel voor medischwetenschappelijk onderzoek Algemeen Restweefsel voor medischwetenschppelijk onderzoek U bent in het Ersmus MC voor onderzoek en/of behndeling. Soms is het nodig bloed of lichmsweefsel/-vloeistof bij u f te nemen. N fronding vn dit

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Anti-Spyware Enterprise Module software

Anti-Spyware Enterprise Module software Anti-Spywre Enterprise Module softwre versie 8.0 Hndleiding Wt is de Anti-Spywre Enterprise Module? De McAfee Anti-Spywre Enterprise Module is een invoegtoepssing voor VirusScn Enterprise 8.0i, wrmee de

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl Hoe zichtbr ben jij mobiel? MOBIELpkket Oplossingen voor ondernemende kppers die kiezen 2012 www.wiewthr.nl Reviews? Voordelen 27% Nederlnders vindt reviewsites ls WieWtHr.nl erg nuttig* Wiewthr.nl is

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Werken aan resultaat, altijd en overal

Werken aan resultaat, altijd en overal nbroek choemn dviseurs Werken n resultt, ltijd en overl Nr een professionele implementtie vn Het Nieuwe Werken bij de Belstingdienst Michël Geerdink Onder het motto Werken n resultt, ltijd en overl is

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Ongelijkheden groep 2

Ongelijkheden groep 2 Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 18 jan 2006 ANTWOORDEN

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 18 jan 2006 ANTWOORDEN OPGVE NTWOOREN ) Gebruik de invrint I. G moet dn een rek ngeven vn b) e rekken zijn gegeven in twee verschillende ssenstelsels: 6,0 0 4. α e tensor componenten vn deze rekken zijn gegeven ls: 4 4 ε 6,0

Nadere informatie

GBK Leden profiel beheer

GBK Leden profiel beheer GBK Leden profiel eheer Op de nieuwe GBK site kn het eigen leden profiel ijgehouden worden. Op dit profiel kn iogrfische informtie worden ingevoerd, werk kn n een portfolio worden toegevoegd, er kunnen

Nadere informatie

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode

Exact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Methode symmetrische componenten, revisie 1

Methode symmetrische componenten, revisie 1 Methode symmetrische componenten, revisie 9-69 pmo mrt 9 Phse to Phse V trechtseweg 3 Postbus 68 rnhem T: 6 35 37 F: 6 35 379 www.phsetophse.nl 9-69 pmo Phse to Phse V, rnhem, Nederlnd. lle rechten voorbehouden.

Nadere informatie

14 Effectevaluatie van de Strafrechtelijke Opvang Verslaafden (SOV)

14 Effectevaluatie van de Strafrechtelijke Opvang Verslaafden (SOV) Smenvtting Op 1 pril 2001 trd de wet SOV in werking. Op grond vn deze wet kunnen justitibele verslfden die n een ntl in de wet genoemde voorwrden voldoen, in het kder vn een strfrechtelijke mtregel, voor

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011 ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje

Nadere informatie

Hoe plan je een grote taak?

Hoe plan je een grote taak? 3 PLANNEN Hoe pln je een grote tk? Wt heb je n deze les? In deze les leer je hoe je grote tken in stukken opdeelt en over meerdere dgen inplnt. Hndig ls je bijvoorbeeld voor een toets moet leren, wnt zo

Nadere informatie