Samenvatting (Summary in Dutch)

Transcriptie

1 Samenvatting (Summary in Dutch) Dit proefschrift is een verzameling van vijf essays over verschillende onderzoeksproblemen met betrekking tot discrete-keuzemodellen. De vijf essays worden behandeld in hoofdstukken 3 tot en met 7, terwijl hoofdstuk 2 ondersteunende informatie bevat over een aantal basisingrediënten. De problemen, los van het feit dat ze in aard van elkaar verschillen, komen ook voort uit verschillende subdisciplines in de economische wetenschappen. Ze hebben echter gemeen dat ze betrekking hebben op numerieke problemen die voortkomen uit het streven naar nauwkeurige schattingen in discrete-keuzemodellen. Zoals gezegd worden in hoofdstuk 2 enkele basisbegrippen besproken die de presentatie van de problemen kunnen vergemakkelijken. Het gaat hier om bekende multinomiale discrete-keuzemodellen: de standaard logit, de probit en de stochastische-coëf ciëntversie van de standaard logit, de gemengde logit. Met het oog op wat we in de daaropvolgende hoofdstukken nodig hebben, presenteren we voor de standaard en de gemengde logit de overeenkomstige log-aannemelijkheidsfunctie en de asymptotische informatiematrix, terwijl we voor de probit een methode geven om de keuzekansen te berekenen die in de literatuur bekend staat als de GHK-simulator. In hoofdstuk 3 bespreken we quasi-monte Carlo-methoden om multidimensionale integralen te kunnen schatten. We presenteren diverse steekproefmethoden die recentelijk in de statistische literatuur werden ontwikkeld. Intuïtief geven we middels een ANOVA-decompositie aan in welke omstandigheden ze goed presteren met betrekking tot het schatten van integralen. Daarna geven we aan hoe de steekproefmethoden in de praktijk werken voor multivariaat normale waarschijnlijkheden. Onze resultaten wijzen erop dat er een aanzienlijke verbetering wordt bereikt ten opzichte van Monte Carlo- en antithetische Monte Carlo-methoden. Zoals in hoofdstuk 3 is aangegeven, is de mate van verbetering van quasi-

2 Monte Carlo ten opzichte van Monte Carlo afhankelijk van de integrand. In de Monte Carlo-studie vanhoofdstuk5 zienwe een verbeteringdie veel groter is dan die uit hoofdstuk 3, hoewel in hoofdstuk 5 de dimensie van de integralen veel hoger is dan in hoofdstuk 3. Ook zien we groepering van de variabelen van deze integralen (of, gelijkwaardig daaraan, van de componenten van de steekproeven) tot een signi cante reductie van de gemiddelde variantie leidt. Al deze resultaten geven het potentieel aan van de quasi-monte Carlo-methoden, een potentieel dat nog bij lange na niet ten volle is benut in de econometrie en marketing. Monte Carlo-schatting van integralen wordt op vele problemen in de econometrie toegepast. Voor al dergelijke problemen kan Monte Carlo worden vervangen door quasi-monte Carlo-methoden, hetgeen leidt tot potentieel signi cante verbetering van de nauwkeurigheid. Hoewel we quasi-monte Carlo niet toepassen voor de schatting van D-fouten bij het opstellen van Bayesiaanse en gemengde-logitontwerpen, verwachten we dat dit de benodigde tijd voor het vinden van nauwkeurige ontwerpen aanzienlijk kan verminderen. Een interessante uitdaging voor toekomstig onderzoek is een analyse van de prestaties van quasi-monte Carlo voor steekproefproblemen die verschillen van Monte Carlo-schatting van integralen. Een zeer interessant voorbeeld van een dergelijk steekproefprobleem is Markov-keten Monte Carlo-steekproeftrekking. In hoofdstuk 4 presenteren we verschillende versies van een marktevenwichtsmodel dat middels econometrische technieken kan worden gebruikt voor het schatten van vraagparameters en het marktgedrag van deelnemende ondernemingen. De modellen zijn gebaseerd op het logit-model van de vraag we bespreken twee versies die op de standaard logit zijn gebaseerd en twee versies die op de gemengde logit zijn gebaseerd. De twee versies verschillen in beide gevallen in de manier waarop het inkomens-prijsverschil in de nutsfunctie wordt gespeci ceerd: logaritmisch of lineair. Het aantrekkelijke aan deze modellen is dat zij producten toestaan die zijn gedifferentieerd in meerdere dimensies en in productkenmerken die door de onderzoeker niet zijn waargenomen. Deze laatste eigenschap is mogelijk door aanname van prijsconcurrentie van de ondernemingen die aan de markt deelnemen, dat wil zeggen endogene prijzen. Met de gemengde-logitversies is het daarnaast mogelijk de consumentenheterogeniteit te modelleren door middel van stochastische coëf- ciënten. Empirisch gezien zijn deze laatste versies dan ook belangrijker, vanwege dit realistische kenmerk. Aangezien prijzen in het model endogeen worden bepaald, wordt de vraag naar het bestaan en de uniciteit van een prijsevenwicht belangrijk. Zoals we in hoofdstuk 4 laten zien, kan deze vraag bevestigend worden beantwoord in het geval van de standaard logit met lin-

3 eair inko-mens-prijsverschil. Op basis van enkele aannamen kunnen we het bestaan van het evenwicht aantonen in het geval van de standaard logit met logaritmisch inkomens-prijsverschil. Een belangrijke uitdaging voor toekomstig onderzoek is een studie naar het bestaan van prijsevenwicht en uniciteit in het geval van de gemengde logit. We denken dat de bewijsstrategie die voor de standaard logit werd toegepast, gecombineerd met meer geavanceerde wiskundige bewerkingen, meer licht op deze kwestie zal kunnen werpen. In hoofdstuk 5 bespreken we de schatting van prijsevenwichtmodellen die in het voorafgaande hoofdstuk werden gepresenteerd. Deze schatting maakt gebruik van GMM gebaseerd op de momenten van de niet-waargenomen kenmerken. Met betrekking tot de nauwkeurigheid van de GMM-schatter is de keuze van instrumenten die voor de schatting worden toegepast van belang. We bespreken de instrumenten die door Berry, Levinson en Pakes (1995) werden ontwikkeld met daarvan afgeleid de optimale instrumenten die nauwkeurige schattingen opleveren, waarbij we laten zien hoe deze kunnen worden geschat. Met een Monte Carlo-studie die is gebaseerd op een vereenvoudigde versie van het model laten we het belang zien van nauwkeurige schatting. Onze methode van nauwkeurige schatting werkt goed in het geval van de Monte Carlo-studie, maar in strikte zin is de met deze methode verkregen schatter niet nauwkeurig. Als gevolg daarvan zou het in toekomstig onderzoek interessant zijn de schatting van het model te bestuderen met methoden die op aannemelijkheid zijn gebaseerd, zoals de Bayesiaanse methode of empirische aannemelijkheid. Een probleem bij het schatten van optimale instrumenten is dat dit uniciteit van prijsevenwicht vereist. In hoofdstuk 4 stellen we deze eigenschap alleen vast voor het geval van de standaard logit-vraag met een lineair inkomensprijsverschil. Voor de schatting van optimale instrumenten in een praktisch gezien meer relevant geval, zoals de gemengde-logitvraag, kunnen we dan ook niet vertrouwen op theoretische resultaten van uniciteit van prijsevenwicht. Dit sluit echter de mogelijkheid niet uit dat ook in dit geval het prijsevenwicht uniek is. Een interessant onderwerp van toekomstige studie zou zijn een test te ontwikkelen waarbij de rekenkracht van moderne computers wordt ingezet met quasi-monte Carlo-methoden, waarbij rekenkundig de voorwaarden voor het bewijs van het stelling voor het geval van de standaard logit worden geveri eerd. Dit zou ook in het geval van de gemengde logit nauwkeurige schatting mogelijk kunnen maken. In hoofdstukken 6 en 7 bestuderen we het probleem van het opstellen van statistisch nauwkeurige experimentele keuze-ontwerpen. In hoofdstuk 6 behandelen we, door conjuncte experimenten op basis van subjectieve beliefs van managers te ontwerpen, het reeds lang bestaande circulaire probleem

4 dat, om een experiment op te stellen voor het inschatten van parameters voor keuzemodellen, deze parameters bekend moeten zijn. De Bayesiaanse theorie stelt ons in staat ontwerpen op te stellen met een grotere nauwkeurigheid bij parameterwaarden die door managers als aannemelijk worden beoordeeld. In onze empirische illustratie levert een Bayesiaanse ontwerpprocedure niet alleen keuze-ontwerpen die resulteren in een lagere geschatte standaardafwijking dan de tot nu toe voorgestelde procedures de procedure levert ook een hogere predictieve validiteit. De verhoogde nauwkeurigheid van het Bayesiaanse ontwerp kan worden herleid tot twee componenten. Ten eerste is er een toename in nauwkeurigheid door de beliefs van de managers over de keuzekansen van producten met bepaalde kenmerkniveaus op te nemen, en ten tweede de verbetering die wordt verkregen door rekening te houden met de onzekerheid van de managers over de waarden van deze kansen in de populatie. Onze studie in hoofdstuk 6 geeft aan dat een nauwkeurige elicitatie van de onzekerheid een belangrijke kwestie is, in het bijzonder met betrekking tot het overcon dence-effect. We passen diverse technieken toe die tot doel hebben overcon dence te verminderen door relatief brede plausibele intervallen voor de parameters te nemen. De procedures voor de elicitatie en combinatie van belief-intervallen van verschillende beoordelaars behoeven echter duidelijk nader onderzoek. Toekomstig onderzoek zou zich moeten richten op de ontwikkeling van elicitatieprocedures waarmee vergelijkbare contexten kunnen worden opgeroepen voor de managementbeoordelingen en consumentenkeuzes, ten behoeve van optimale overeenstemming tussen deze beide taken. Onze procedure om de prior-parameterverdeling te produceren aan de hand van subjectieve waarschijnlijkheidsbeoordelingen zou verder moeten worden verbeterd en de gevoeligheid ervan voor diverse aspecten, zoals de veronderstelde normale prior-verdeling van waarschijnlijkheden, zou nader moeten worden onderzocht. In hoofdstuk 7 bestuderen we het maken van ontwerpen voor het gemengdelogitmodel. Onze studie levert overtuigend bewijs dat dergelijke ontwerpen nauwkeuriger parameterschattingen leveren voor het gemengde-logitmodel dan de standaard-logitontwerpen, dat ze schattingen leveren die in de meeste gevallen dichter bij de werkelijkheid liggen en een hogere predictieve validiteit leveren. Ook bieden we een eerste poging tot verwerking van een basisalternatief in een conjuncte-keuze-ontwerp, zowel voor de standaard als de gemengde logit, en verder hebben we de relatieve prestaties van diverse ontwerpklassen beoordeeld. We zijn van mening dat ontwerpen die een basisalternatief omvatten robuuster zijn met betrekking tot afwijkingen van de parameterwaarden die bij de ontwerpen werden aangenomen, terwijl die robuustheid zelfs nog

5 groter is bij ontwerpen met drie alternatieven, zelfs als die een kleiner aantal keuzesets bevatten. In onze procedure voor de constructie van gemengdelogitontwerpen moeten we, naast bepaling vooraf van de waarden van de gemiddelde regressieparameters als bij een standaard-logitontwerp, ook waarden kiezen voor de varianties van de regressieparameters. Uit onze studie blijkt echter dat behalve als de werkelijke varianties zeer klein zijn, de nauwkeurigheid van het ontwerp nauwelijks wordt beïnvloed als de variantieparameter bij de constructie van het ontwerp onjuist wordt gespeci ceerd. De studies over de opbouw van conjuncte-keuze-ontwerpen uit hoofdstukken 6 en 7 kunnen in verschillende richtingen worden uitgebreid. Ten eerste, in navolging van andere procedures voor de ontwikkeling van ontwerpen die op dit moment in de literatuur worden beschreven, beschouwen we de omvang van de keuzeset als zijnde vastgesteld door de onderzoeker, voorafgaand aan het maken van het ontwerp. Het kan wenselijk zijn de omvang van de keuzeset op te nemen in de opbouw van het ontwerp. Op dit moment wordt dit echter bemoeilijkt door de combinatorische explosie van het aantal ontwerpen waarover moet worden gezocht het wachten is hierbij op de ontwikkeling van verbeterde optimaliseringsalgoritmen. Gezien de resultaten van ons onderzoek naar de relatieve prestaties van deze alternatieve ontwerpklassen uit hoofdstuk 7, lijkt ons dit een belangrijk onderwerp voor toekomstig onderzoek. Ten tweede vormen de algoritmen die in onze studies uit hoofdstukken 6 en 7 werden gebruikt onderwerp van toekomstig onderzoek. Dat komt omdat deze algoritmen heuristisch zijn, en hoewel een uitputtende zoekbewerking voor alle mogelijke ontwerpen in de meeste realistische gevallen niet praktisch haalbaar is, zou onderzoek moeten worden gedaan naar verbeterde zoekprocedures. De toepassing van een aantal recentelijk ontwikkelde algoritmen in de combinatorische optimalisering, zoals genetische of datacorrigerende algoritmen, zou hier interessant kunnen zijn. De mogelijkheid dergelijke procedures toe te passen op onze ontwerpen behoeft nadere studie. Ten slotte achten we het wenselijk de prestaties nader te onderzoeken van procedures die zijn gebaseerd op verschillende maatstaven van nauwkeurigheid die zijn afgeleid van de informatiematrix.