Een goeie titel. Promotor: Prof. dr. Bekaert Philippe Begeleider: Nulens Johan. Auteur: Czubin Mark
|
|
- Hidde Gijs Kok
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Een goeie titel Auteur: Czubin Mark Promotor: Prof. dr. Bekaert Philippe Begeleider: Nulens Johan 22 mei 2009 academiejaar: Universiteit Hasselt
2 Inhoudsopgave 1 Inleiding Achtergrond Toepassingen Hardware acceleratie Wiskundige notatie Modellerings metaforen Deformation constraints Handles selections Onderzocht mesh deformation algos Surface en space deformation Gradient domain mesh deformation Wat is het Analyse verschillende methoden Constraints Skeleton constraint Positionele constraint Laplaciaanse constraint Samenvoegen van de constraints Vector field shape deformation 10 6 Kleinste-kwadraten methode lineair, quasi-lineair, non-lineair Lineair kleinste-kwadraten methode Niet-lineaire kleinste-kwadraten methode Pseudo-inverse matrix misc subdivision Verdere optimalisaties I
3 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Achtergrond Wat is shape deformation. 1.2 Toepassingen Modellering Animatie Een voorbeeld beschreven voor animatie is Zhou et al. (2005). Hierbij wordt 2D animatie gedaan via deformation waardoor de animatie realistisch en sneller gedaan kan worden. 1.3 Hardware acceleratie We zijn geintresseerd in twee soorten voordelen van GPU. Sneller dan cpu voor data parallelle problemen En overzet van mesh naar gpu is goeikoper als reeds op gpu is. 1.4 Wiskundige notatie Er wordt in deze eindwerk een kennis van lineaire algebra aangenomen. volgende conventie wordt gebruikt tenzij anders vermeld: De Hoofdletters voor matrices, bijv. Λ, A. Kleine letters voor vectoren, matrix en vector elementen, bijv. λ, a ij. λ i. Dikke letters voor scalaire getallen, bijv. λ, a. Per default zal een vector een kolomvector zijn. Een rijvector zal dan gemarkeerd worden door T transpose symbool. Verder definiëren we een mesh M bestaande uit een tupel (K, V ). Hierbij stelt V = {v 1,..., v n } met v i R 3 de vertices voor en K de mesh connectiviteit. 1
4 Voor elke vertex v i definieren we ook de verzameling N i dat alle directe buren van v i bevat. 2
5 Hoofdstuk 2 Modellerings metaforen 2.1 Deformation constraints Bijvoorbeeld: energy constraints zijn veelal gebruikt. Voornaamste constraints: Er zijn ook constraints in de tijd bijvoorbeeld X zoals aangetoond in Adams et al. (2008)/ Positionele constrains ook wel bekend als Handle constraints Rigidity of stijfheid Behoud van volume. Geen zelfintersecties. Behoud van detail of van topologische continuïteit. bijv.: C 1 Een duidelijk voorbeeld hiervan is de laplaciaanse constraint Skeleton constraint Handles selections Points, curves etc curve is nadelig voor surface omdat curve moet geplaatst worden op de vertices van de mesh. 3 types: fixed, handle, control. zoals beschreven in Botsch and Kobbelt (2005) Fairness? zoals beschreven in Botsch and Kobbelt (2005) 3
6 Hoofdstuk 3 Onderzocht mesh deformation algos welken? waarom? wat is voordeel en nadeel van elkaar? Achtergrond van soorten algoritmen. squares shape functions, etc. Bijvoorbeeld points, moving least 3.1 Surface en space deformation Wat is het verschil tussen surface en space deformation. Enkele voordelen en nadelen van de twee types. bv: Voordeel van space is dat de mesh kwaliteit niet langer afhangt van de surface representatie. Nadeel is dat er geen detail preservation meer is. etc. space is goed voor non-uniform tesselated of kleine meshes anders is surface beter De meeste surface deformations lossen een sparse matrix lineaire systeem op. 4
7 Hoofdstuk 4 Gradient domain mesh deformation 4.1 Wat is het we kijken naar laplaciaan waarom gaat het: sparse matrix oplossen sectie voordelen en nadelen waarom? ideaal voor detail preservation het is een surface deformation 4.2 Analyse verschillende methoden Er werd in kleine vergelijking gedaan tussen (noem alle 3) De laatste is de meest interessante, vanwege performance oudste niet ideaal omdat het fout gaat bij large handles 4.3 Constraints Voor deze eindwerk zijn we geintresseerd in 3 constraints, namelijk de laplaciaanse constraint, positioneele constraint en skeleton constraint. De positioneele is lineair De andere quasi lineair Er is een expliciete reden dat er niet meer constraints gebruikt worden zoals volume constraint. Voor onze least squares solver gebruiken we non-lineaire constraints! Hierdoor moet er een iteratieve linear least squares solver gebruikt worden maar dit is meestal te zwaar om met een interactieve snelheid op te lossen. Ref naar twee papers. gebruiken ze inexact gauss-newton ref naar sectie. Hiervoor moeten de constraints quasi lineair zijn. Het is interessant om skeleton opnieuw in te voeren want is hoort minder erg te zijn dan laplacian Skeleton constraint Het moeilijke hiervan is hoe dit op de GPU te doen? ΓV = 0, ΘV = ρ, ρ ΘV ΘV = ΘV 5
8 Twee soorten van constraints. 1 koppel aan vertices bijvoorbeeld mocap animatie en kan opgelost worden met positionele constraints tweede is zoals uitgelegt in supsace, deze is krachtiger Positionele constraint De positionele constraint laat toe om enkele vertices van de mesh te fixeren op een bepaalde positie. In geval van fairness (zie 2.2) zal dit dus de fixed en control vertices zijn. Een mapping van vertex i naar i accent zal dus behouden moeten blijven. Nergens wordt er in de literatuur ecpliciet de positionele constraint formule opgegeven. Maar vertrekend vanuit Sorkine et al. (2004); Lipman et al. (2005); Huang et al. (2006); Zhou et al. (2007) kan er zelf een simpele constraint gedefinieerd worden. Hiervoor wordt er vertrokken vanuit de positionele constraint formule gegeven in Zhou et al. (2007). Hierbij is C de positionele constraint matrix en ˆV de target posities van de vertices zijn. Cx = ˆV (4.1) Voor C gebruik ik een eenheidsmatrix waardoor elke afbeelding van Cx elke vertex in x afbeeld wordt naar een rij in de matrix ˆV. Indien er gekozen wordt voor afbeelding V zal de constraint ervoor zorgen dat de matrix niet veranderd. Maar sinds we enkel een selectief aantal vertices willen constrainen kan er simpel gekozen worden om enkel de rijen van C en ˆV te kiezen met die vertices. Hiervoor moet er opgelet worden dat het systeem niet onderbepaald wordt. Het voordeel is dat de rekentijd korter wordt omdat de twee matrices kleiner zijn. Ook globale model, projectie, etc. operaties kunnen opgevangen worden door de operaties toe tepassen op x na de berekening van de constraint. Dit is handig indien de gebruiker de mesh van een andere opzicht wil bekijken zonder handmatig de matrices aan te passen. Het is verder makkelijk in te zien dat deze constraint lineair is en de positionele constraint matrix sparse is Laplaciaanse constraint De discrete Laplaciaan Bij de Laplaciaanse constraint is het doel om de detail van een mesh te behouden. Deze detail kan uit een mesh gefilterd worden door het gebruik van de Laplaciaan. De Laplaciaan geeft weer de dalingen en stijgingen in een signaal. Dit is net hetgeen dat behouden moet worden om details te beschrijven! Voor een mesh is de Laplaciaan als volgt gedefinieerd: L(v i ) def = 1 N i ω ij 0 L(v i ) = v i 1 N i ω ij (v j v i ) (4.2) j N i v j (4.3) j N i 6
9 (a) Origineel (b) Verscherpt (c) Laplaciaan zonder schalering (d) Laplaciaan Figuur 4.1: Illustratie van de discrete Laplaciaan op Lenna. Hierbij zijn ωij gewichten voor elke edge tussen twee vertices vi en vj. Dit kan zeer interessant zijn want hierdoor wordt er een onderscheid gemaakt tussen verschillende frequenties in de mesh Desbrun et al. (1999). Maar voor nu gebruiken we uniforme gewichten en daardoor versimpeld de formule 4.2 tot 4.3. Om deze operatie op een intuı tieve manier te illustreren wordt de Laplaciaan uitegevoerd op een beeld. Hiervoor gebruiken we de Laplaciaan als een convolutie bewerking, geven in 4.4, op het beeld. De resultaten zijn te zien in figuur 4.1. Hierbij is de verscherpte beeld gewoon de laplaciaan toegevoegd aan het beeld zodat de details versterkt worden! Verder bevat de Laplaciaan zowel positieve als negatieve waarden. De afbeelding links beneden toont alleen de positieve waarden terwijl bij de afbeelding rechts beneden de waarden gecentreerd zijn rond 0.5 met zwart en wit de negatieve respectievelijk de positieve waarden illustreren. 7
10 image h 3 3 def laplacian = image 1 8 Laplaciaanse coördinaten = image (4.4) We definiëren de Laplaciaanse coördinaat δ i als de Laplaciaan van vertex v i : def δ i = L(v i ) = v i 1 N i j N i v j (4.5) De mesh = {δ 0,..., δ n } wordt hier de differential mesh genoemd. De differential mesh kunnen we ook vormen via matrix operaties! Er bestaat namelijk een matrix L genaamd de Laplace-matrix dat indien vermenigvuldigd wordt met de vertices van mesh M de differential mesh oplevert. Indien de mesh connectiviteit niet veranderd is de matrix L constant en moet maar éénmaal berekend worden. = LV (4.6) L = I D 1 A (4.7) De Laplace-matrix kan berekend worden vanuit de adjaceny en degree matrix van mesh M. Dit is weergegeven in formule 4.7 waarbij A de adjaceny en D de degree matrix is. Een belangrijke eigenschap is dat de operatie LV lineair is en de laplaciaanse coördinaten translatie invariant. Het nadeel is wel niet rotatie invariant. Hierdoor locale rotaties kunnen niet negeert worden. Reconstructie Reconstructie van de mesh met de differential mesh kan gemakkelijk gedaan worden door een lineaire stelsel op te lossen met de kleinste-kwadraten methode. Zie sectie 6 voor uitleg over de kleinste-kwadraten methode. Om deze stelsel op te lossen moet er minstens één vertex bepaald worden want het stelsel is onderbepaald. Dit is logisch gezien laplaciaanse coördinaten translatie invariant zijn en dus oneindig veel afbeeldingen hebben in de globale coördinaten stelsel. Dus als we de positionele constraint toevoegen Cv = U waarbij C de vertices aanduid en U hun posities bepaald kunnen we het stelsel oplossen. Zie sectie voor meer uitleg over de positionele constraint. ( ) ( ) L V = C U } {{ } Ax = b Deze stelsel kan opgelost worden door de normaal vergelijkingen op te lossen van een lineaire kleinste-kwadraten methode: A T Ax = A T b. Om het simpel te houden kan er opgelost worden door A + b = x uit te rekenen. 8
11 Rotatie invariant laplaciaanse coördinaten Zoals eerder vermeld zijn de laplaciaanse coördinaten rotatie variant. Daarom werd er in Huang et al. (2006) rotatie en schaal invariant coördinaten geïntroduceerd. δ i = u ij ((v j 1 v i ) (v j v i )) = u ij N(v j ) (4.8) j N i j N i De u i kunnen gevonden worden door een lineaire stelsel op te lossen. Zelf gevonden: dit werkt niet voor een vertex dat op een border ligt. Dit kan ook voor gewoone border vertices (proof by example) Een vertex met valence 3 op een border dus 2 normals. Bv: vertex1 in werk.m Samenvoegen van de constraints L C Γ V = ˆV 0 Θ ρ ΘV ΘV } {{ } Ax = b(x) (4.9) Het grootte probleem is dat de laplacian constraint zwaarste en soms niet convergeert dus moet men technieken toepassen zoals in cite cite 9
12 Hoofdstuk 5 Vector field shape deformation 1. Vector Field Based Shape Deformations, 2. Explicit Control of Vector Field Based Shape Deformations (Zelfde auteurs) Het idee: Er wordt een continu vector veld opgebouwd met bepaalde eigenschappen(c1 smoothness etc). Aan deze vector veld wordt een transformatie door gevoerd zoals translatie en rotatie. Elke vertex in contact met de vector veld ondergaat een line-path integratie. ( Line_integral) Zo kan de nieuwe positie van de vertex berekent worden. Na alle nieuwe posities berekent te hebben wordt de vector veld opnieuw berekend voor de volgende operatie. 1ste paper: voordelen: no-self intersection en volume preservation nadelen: GPU implementatie is vrij zwak doordat er feedback terug naar de CPU geleverd moet worden. (maar 10x sneller) Er is ook geen expliciete controle over de deformation en dus zeer moeilijk om meshes te modellen. 2de paper: Er is nu expliciete controle over modeling door het opbouwen van een invloed veld S. Een curve kan de deformation translatie en rotatie bepalen. En belangrijkste is een volledige GPU algoritme met alle data structuren via textures. nadeel: Er is geen globale volume preservation meer en self intersectie mogelijk. 10
13 Hoofdstuk 6 Kleinste-kwadraten methode 6.1 lineair, quasi-lineair, non-lineair Jacobiaan is zeer klein B(x). 6.2 Lineair kleinste-kwadraten methode De probleem is het minimaliseren van de fout van Ax = b. Waarbij r = Ax b de residual error is. Hierbij min Ax b 2 min r 2, waarbij A een constante x x matrix is en b de bekenden. Als A lineair independent is dan A T A is inverteerbaar. Als Ax = b lineair is dan bestaat er een oplossing A T Ax = A T b voor de associated normal system. Hierdoor is ˆx = (A T A) 1 A T b de oplossing voor de least squares problem met de kleinste oplossing. De deformation problemen komen vaak voor als niet-lineaire problemen. Maar de niet-lineair solvers zijn enorm traag. Daarom worden bij alle papers dat realtime resultaten willen verkrijgen een manier gezocht om deze problemen zo veel mogelijk lineair te krijgen. Maar hierdoor kunnen artefacten ontstaan doordat bijvoorbeeld algoritmen niet convergeren of een foutief en onrealistisch resultaat produceren. 11
14 6.3 Niet-lineaire kleinste-kwadraten methode Voor het berekenen van de niet-lineaire kleinste-kwadraten methode wordt er gebruik gemaakt van de inexact Gauss-Newton iteratie. Deze staan beschreven in Huang et al. (2006); Zhou et al. (2007). Hierbij is het doel de residu fout te minimaliseren, namelijk min r(x) 2 waarbij de residu fout r(x) = Ax b(x) x voor de niet-lineaire constraint Ax = b(x) is. Gauss-Newton methode: x i+1 = x i + xi (J T r J r ) xi = J T r r(x i ) J r = A J b J b = J b (x) (6.1) Inexact Gauss-Newton methode: J b A J r A (A T A) xi = A T r(x i ) xi = (A T A) 1 A T r(x i ) xi = (A T A) 1 A T (Ax i b(x i )) xi = (A T A) 1 A T Ax i + (A T A) 1 A T b(x i ) xi = (A T A) 1 (A T A)x i + (A T A) 1 A T b(x i ) xi = Ix i + (A T A) 1 A T b(x i ) xi = x i + (A T A) 1 A T b(x i ) x i+1 = x i x i + (A T A) 1 A T b(x i ) 6.4 Pseudo-inverse matrix x i+1 = (A T A) 1 A T b(x i ) (6.2) In deze eindwerk wordt de pseudo inverse berekent via SVD. Dit kan gedaan worden op de volgende manier. De SVD van M is M = UΣV. Waarbij M de complex transpose matrix is en de pseudo inverse symbool M + is. Hierbij is de pseudo inverse M + = V Σ + U waarbij Σ + berekent kan worden als Σ met elke niet nul waarde gelijk te stellen aan de omgekeerde waarde. { Σ + = 0 for Σ ij = 0 1/Σ ij for Σ ij 0 Als er een inverse voor matrix M bestaat dan is M 1 = M +. Dit wordt momenteel berekent met de LAPACK software pakket. 12
15 Hoofdstuk 7 misc 7.1 subdivision Shiue et al. (2005) Huang et al. (2007) Waarom? veel details toevoegen, kan progressief zijn (lod), niet veel ruimte overhead, en ten slotte kan leuk zijn voor DX11 samen met tesselation en displacement Voor ons? modeling wil je C1 en C2 smoothness modelen, later kan er naar game exported Watis het? vertex displacement normaal berekenen? via basis functies en op de gpu drie papers : realtime en subdivision modeling en een andere met inexact calculated normals voordeel: je krijgt normalen, je moet niet approximaten. realtime versie misschien beste sinds normals simpeler berekent kunnen worden vanuit de texture en niet opnieuw met basis functies soorten? loop catmul-clark etc hoe wij? interessant voor matrix vorm voor laplacian subdisivion surf 7.2 Verdere optimalisaties Adaptive subdivision en adaptive tesselation gebruiken om de render tijd te verhogen en artefacten te vermijden. Desbrun et al. (1999) Dit kan toegepast worden op bijna alle algoritmen. 13
16 Bibliografie Adams, B., Ovsjanikov, M., Wand, M., Seidel, H.-P., and Guibas, L Meshless modeling of deformable shapes and their motion. In ACM SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation. ACM/Eurographics, Eurographics Association, Dublin, Ireland, Bolz, J., Farmer, I., Grinspun, E., and Schröder, P Sparse matrix solvers on the gpu: conjugate gradients and multigrid. In SIGGRAPH 05: ACM SIGGRAPH 2005 Courses. ACM, New York, NY, USA, 171. Botsch, M. and Kobbelt, L Real-time shape editing using radial basis functions. In Computer Graphics Forum Botsch, M. and Sorkine, O On linear variational surface deformation methods. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 14, 1, Boubekeur, T. and Schlick, C A flexible kernel for adaptive mesh refinement on gpu. Computer Graphics Forum 27, 1, doi: /j x. Desbrun, M., Meyer, M., Schröder, P., and Barr, A. H Implicit fairing of irregular meshes using diffusion and curvature flow. In SIGGRAPH 99: Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., New York, NY, USA, Funck, W. v., Theisel, H., and Seidel, H.-P Explicit control of vector field based shape deformations. In PG 07: Proceedings of the 15th Pacific Conference on Computer Graphics and Applications. IEEE Computer Society, Washington, DC, USA, Huang, J., Shi, X., Liu, X., Zhou, K., Wei, L.-Y., Teng, S.-H., Bao, H., Guo, B., and Shum, H.-Y Subspace gradient domain mesh deformation. In SIGGRAPH 06: ACM SIGGRAPH 2006 Papers. ACM, New York, NY, USA, Huang, X., Li, S., and Wang, G A gpu based interactive modeling approach to designing fine level features. In GI 07: Proceedings of Graphics Interface ACM, New York, NY, USA, Krüger, J. and Westermann, R Linear algebra operators for gpu implementation of numerical algorithms. In SIGGRAPH 05: ACM SIGGRAPH 2005 Courses. ACM, New York, NY, USA,
17 Lipman, Y., Kopf, J., Cohen-Or, D., and Levin, D Gpu-assisted positive mean value coordinates for mesh deformations. In SGP 07: Proceedings of the fifth Eurographics symposium on Geometry processing. Eurographics Association, Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland, Lipman, Y., Sorkine, O., Alexa, M., Cohen-Or, D., Levin, D., Rössl, C., and Seidel, H.-P Laplacian framework for interactive mesh editing. International Journal of Shape Modeling 11, 1, Marinov, M., Botsch, M., and Kobbelt, L Gpu-based multiresolution deformation using approximate normal field reconstruction. journal of graphics tools 12, 1, Paries, N., Degener, P., and Klein, R Simple and efficient mesh editing with consistent local frames. In PG 07: Proceedings of the 15th Pacific Conference on Computer Graphics and Applications. IEEE Computer Society, Washington, DC, USA, Ritschel, T., Botsch, M., and Müller, S Multiresolution gpu mesh painting. In Eurographics 2006 Short Papers Shiue, L.-J., Jones, I., and Peters, J A realtime gpu subdivision kernel. ACM Trans. Graph. 24, 3, Sorkine, O., Cohen-Or, D., Lipman, Y., Alexa, M., Rössl, C., and Seidel, H.-P Laplacian surface editing. In SGP 04: Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. ACM, New York, NY, USA, von Funck, W., Theisel, H., and Seidel, H.-P Vector field based shape deformations. In SIGGRAPH 06: ACM SIGGRAPH 2006 Papers. ACM, New York, NY, USA, Zhou, K., Huang, J., Snyder, J., Liu, X., Bao, H., Guo, B., and Shum, H.-Y Large mesh deformation using the volumetric graph laplacian. ACM Trans. Graph. 24, 3, Zhou, K., Huang, X., Xu, W., Guo, B., and Shum, H.-Y Direct manipulation of subdivision surfaces on gpus. In SIGGRAPH 07: ACM SIGGRAPH 2007 papers. ACM, New York, NY, USA,
Gradiënt domein mesh manipulatie.
Gradiënt domein mesh manipulatie. Auteur: Czubin Mark Promotor: Prof. dr. Bekaert Philippe Begeleider: Nulens Johan 2 augustus 2009 Universiteit Hasselt Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Introductie..............................
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieEen andere codering. Hannes Stoppel Max-Planck-Gymnasium, Gelsenkirchen Duitsland (Vertaling: L. Sialino)
Een andere codering Hannes Stoppel Max-Planck-Gymnasium, Gelsenkirchen Duitsland (Vertaling: L Sialino) Niveau VWO-scholieren die matrix berekeningen al kennen Het helpt als ze module berekeningen kennen
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieBlokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Nadere informatieBeknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows
- Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieQuantum-computing toegepast op het n-queens probleem
Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem Erik Jongsma 5 Seminar Computational Algorithms Leiden University september Introductie Abstract Quantum-computing is een onderwerp binnen de informatica
Nadere informatieWiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes
Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieCalculus, A Complete Course, Adams
Inhoud Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2012-2013, Semester 2 Avondonderwijs Versie 8 januari 2013 De stof voor dit vak is te vinden in Calculus, A Complete Course, Adams, Essex, 7th Edition, Pearson Bij bijna
Nadere informatieLinalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatien-queens minimale dominantie verzamelingen Chessboard Domination on Programmable Graphics Hardware door Nathan Cournik
n-queens minimale dominantie verzamelingen Chessboard Domination on Programmable Graphics Hardware door Nathan Cournik Rick van der Zwet 4 augustus 2010 Samenvatting Dit schrijven zal
Nadere informatieIntroductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps
Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieOverzicht. Lineaire vergelijkingen. Onderwerpen & Planning. Doel. VU Numeriek Programmeren 2.5
VU Numeriek Programmeren 25 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam Tinbergen Institute csbos@vunl, A40 Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk 2 april 202 /26 2/26 Onderwerpen
Nadere informatie5 Automatische partitionering van softwaresystemen
26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieElliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieHigh Performance Computing
High Performance Computing Kristian Rietveld (krietvel@liacs.nl, kamer 138) Groep Computer Systems High-Performance Computing Optimizing compilers (generieke codes, maar ook specifieke rekenkernels). Parallel
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieLineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieToepassingen op discrete dynamische systemen
Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatie2IV10 Instructie 3: Transformaties en viewing
2IV0 Instructie 3: Transformaties en viewing. Gegeven een vierkant met ribbe, waarvan de linkeronderhoek in de oorsprong ligt. α s O C B A a. Geef een transformatiematrix waarmee dit vierkant wordt getransformeerd
Nadere informatieDEC SDR DSP project 2017 (2)
DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieZW3D CAD/CAM. Andere producten van 4C. (klik voor meer informatie)
ZW3D CAD/CAM ZW3D is het vlaggenschip van ZWSoft als het gaat om het 3D modelleren en de volledige CAM integratie. ZW3D is gebaseerd op de hybride kernel, exclusief voor SAMSUNG ontwikkeld door VX Corp.
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieImproving parallelism for the. NEMO ocean model. Hind Shouli. NEMO ocean model
Improving parallelism for the Hind Shouli 1 Inhoud Inleiding Probleem Numerieke methoden Testresultaten Conclusie 2 Inleiding SARA (Amsterdam) biedt onderzoekers in Nederland ondersteuning bij onder andere
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieBeeldverwerking. Scientific Computing. sleij101/ Program. WISB356, Utrecht, najaar WISB356, Utrecht, najaar 2010
WISB36, Utrecht, najaar Scientific Computing WISB36, Utrecht, najaar Beeldverwerking Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics http://wwwstaffscienceuunl/
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieVoorbeeld theorie examen
Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht
Nadere informatieNumerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies
Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies Jan Brandts 1 Continue stuksgewijs lineaire functies en hun nodale basis Allereerst definiëren we wat we bedoelen
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieComputer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien?
Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien? Michael H.F. Wilkinson Instituut voot Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen 27 April 2006 Overzicht 1 of 19 Wat is Computer Vision? Wat zijn
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/39637 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Smit, Laurens Title: Steady-state analysis of large scale systems : the successive
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieDe dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieHet XOR-Netwerk heeft lokale Minima
Het 2-3- XOR-Netwerk heet lokale Minima Ida G. Sprinkhuizen-Kuyper Egbert J.W. Boers Vakgroep Inormatica RijksUniversiteit Leiden Postbus 952 2300 RA Leiden {kuyper,boers}@wi.leidenuniv.nl Samenvatting
Nadere informatieHet mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek
Het mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek 1 (Speciaal-) Orthogonale Matrix 1.1 Orthogonale Matrix Een orthogonale matrix A is een reële, vierkante matrix waarvoor geldt: A.A T = A T.A = I (met
Nadere informatieNeurale Netwerken en Deep Learning. Tijmen Blankevoort
Neurale Netwerken en Deep Learning Tijmen Blankevoort De toekomst - Internet of Things De toekomst - sluiertipje Je gezondheid wordt continue gemonitored Je dieet wordt voor je afgestemd -> Stroomversnelling
Nadere informatieMengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben
Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende
Nadere informatieLineaire vergelijkingen
1/24 VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 8 april 2013 2/24 Overzicht Overzicht Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatie11. Multipele Regressie en Correlatie
11. Multipele Regressie en Correlatie Meervoudig regressie model Nu gaan we kijken naar een relatie tussen een responsvariabele en meerdere verklarende variabelen. Een bivariate regressielijn ziet er in
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatie