VIA PUZZELS GOOGLE LEREN

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "VIA PUZZELS GOOGLE LEREN"

Transcriptie

1 GOOZZLES VIA PUZZELS GOOGLE LEREN

2 Goozzles: Puzzles teaching you Google este bezoeker van Lowlands, Welkom in de wiskundetent, en in het bijzonder bij de UvA-workshop over de PageRank van Google. Met behulp van dit boekje willen we je een wiskundig getinte uitleg geven over de werking van de zoekmachine Google. Google rangschikt zijn zoekresultaten aan de hand van het belang van deze bladzijde, genaamd de PageRank. Hoe deze PageRank in 989 door Larry Page en Sergey rin werd bepaald leggen we uit aan de hand van een paar Google-puzzles, Goozzles genaamd. Wiskundige voorkennis is niet vereist. Veel plezier! Jan randts Universiteit van Amsterdam brandts

3

4 Het woord Googol werd in 90 bedacht door de 9-jarige Milton Sirotta voor het getal 0 00, een één met honderd nullen.. De PageRank vergelijking van Google Een belangrijk onderdeel van Google is de PageRank vergelijking. Dit is de E = mc van het world wide web, en ziet er in wiskundige symbolen als volgt uit: π = π (αs + ( α)e) De uitkomst π van deze vergelijking is een rij van rapportcijfers voor alle acht miljard internet bladzijdes. Toepassing. Als je Google gebruikt om te zoeken naar een bepaalde term, worden deze rapportcijfers gebruikt om de resultaten in volgorde van belangrijkheid weer te geven. Het kost maar liefst drie dagen om deze acht miljard rapportcijfers uit te rekenen met behulp van grote hoeveelheden aan elkaar geschakelde supercomputers. Dat is erg duur, en dus doet Google dit maar één keer per maand. De oplossing π van de PageRank vergelijking stemt vaak verrassend goed overeen met wat mensen echt belangrijk vinden. In dit boekje proberen we daarom in lekentaal uit te leggen waarop deze vergelijking is gebaseerd.

5 Google wordt soms aangeklaagd door bedrijven die vinden dat hun PageRank te laag is. Ze verdedigen zich dan door te stellen dat de PageRank slechts hun mening voorstelt.. Een raadsel met kabouters en een goede fee Stel, er zijn vijf kabouters die we even,,, 4 en 5 noemen. Ieder van deze kabouters heeft vrienden voor wie hij alles over heeft. In onderstaand plaatje kan je zien wie een vriend van wie is: de pijl van naar betekent dat door als vriend wordt beschouwd. De kabouters wijzen dus in Figuur met pijlen hun vrienden aan. 5 4 Figuur. Niet-wederzijdse vriendschapsrelaties. 4

6 ehalve kabouters is er ook een goede fee, in het bezit van enorme hoeveelheden knikkers, die ze graag aan de kabouters wil uitdelen. Er is echter een probleem: zodra een kabouter knikkers krijgt, zal hij ze eerlijk verdelen over zijn vrienden. Zo zitten kabouters nu eenmaal in elkaar. Figuur. Typische Lowlands fee met knikkers. De fee besluit daarom elke kabouter een zodanig aantal knikkers te geven (minstens één), dat nadat iedere kabouter zijn knikkers heeft verdeeld over zijn vrienden, ze allemaal weer net zoveel knikkers hadden als ervóór. Maar hoe kan ze dit doen? Omdat dit niet gemakkelijk even snel uit te leggen is, komen we er later op terug. 5

7 PageRank wordt ook te koop aangeboden. edrijven zorgen dan tegen betaling voor links van hoog genoteerde pagina s naar de jouwe.. Verband tussen raadsel en PageRank Het world wide web kan net als het vrienden-netwerk van de kabouters gezien worden als items met pijlen ertussen. Een pijl van naar geeft dan aan dat bladzijde een hyperlink heeft waarmee je naar kunt surfen. Figuur. Een web-site met hyperlinks. De hoeveelheid knikkers waarmee het raadsel is opgelost, komt overeen met het belang van de web-bladzijde. In die situatie heeft een kabouter veel knikkers als: hij vrienden heeft met veel knikkers, die vrienden niet veel andere vrienden hebben. 6

8 Dit komt overeen met de heuristiek die Page en rin in hun PageRank model tot uitdrukking wilden laten komen, namelijk, een web-bladzijde is belangrijk als: er naar verwezen wordt door belangrijke bladzijdes, die bladzijdes niet naar veel andere bladzijdes verwijzen. Oftewel, je bent goed af als Koningin eatrix op haar webbladzijde naar de jouwe verwijst, maar al een stuk minder goed als ze naar al haar onderdanen blijkt te verwijzen! 4. Eenvoudigere versies van het raadsel Hieronder volgen drie gemakkelijkere opgaven dan die in Figuur om mee te oefenen. Opgave. epaal de zgn. evenwichts-verdeling die, na het verdelen van de knikkers volgens de pijlen, dezelfde knikker-verdeling oplevert. Figuur 4. Eenvoudigste versie van het raadsel. Controleer dat als je een oplossing hebt gevonden, dit niet de enige oplossing is: als je alle kabouters tweemaal zoveel knikkers had gegeven, had dit ook gewerkt. Sterker nog, ieder veelvoud van een oplossing is weer een oplossing! 7

9 Opgave. epaal de evenwichts-verdeling van elk van de volgende twee configuraties: Figuur 5. Eenvoudiger en wat moeilijker raadsel. Een alternatieve grafische voostelling van dezelfde twee raadsels als in Figuur 5 zie je rechts in Figuur 6. Hierbij is het idee als volgt. Plaats knikkers in bovenste drie vakjes, Verdeel ze eerlijk over de lege vakjes er verticaal onder, Verplaats ze horizontaal naar de rechter drie vakjes. Als de hoeveelheden knikkers in de rechtervakjes nu hetzelfde zijn als waarmee je bovenin begon, heb je de gevraagde evenwichts-verdelingen gevonden. 8

10 Opgave. Opgave als Goozzle (Google puzzle). Figuur 6. Figuur 5 in een ander jasje. 9

11 Opgave 4. Los de volgende Goozzle op. Om je op weg te helpen hebben we één van de drie gezochte getallen al ingevuld! 4 Figuur 7. Deels ingevulde Goozzle. Sommige mensen willen liever niet geholpen worden bij het puzzelen, en hadden de 4 in bovenstaande opgave liever niet kado gekregen. Toch is het niet echt een kado: we hadden immers al gezien dat veelvouden van een oplossing, ook weer oplossingen zijn. Er is dan ook een veelvoud dat inderdaad een 4 op die positie heeft. Mocht dit tijdens het oplossen ergens tot gebroken knikkers -breuken dusleiden, is dat niet erg: na afloop vermenigvuldigen we dan alles met een getal zodanig dat alle breuken verdwijnen. 0

12 Ongeveer vier vijfde van de documenten in het World Wide Web bevat geen hyperlinks. Denk hierbij aan jpg-, gif-, en pdf-bestanden. Dergelijke documenten heten dangling nodes. 5. Onvolkomenheden in het model De voorgaande Goozzles hebben allemaal een oplossing. Dit is echter niet altijd het geval, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld. Figuur 8. Onoplosbare Goozzle. In dit voorbeeld krijgt kabouter knikkers van en, maar geeft zelf niets weg. Hij zal dus altijd meer bezitten dan ervoor, tenzij en geen knikkers hadden. Maar,

13 de fee gaf iedere kabouter minstens één knikker! Er is dus geen oplossing van deze Goozzle. Page en rin argumenteren dat als een surfer in een dangling node aankomt, hij bij gebrek aan hyperlinks een willekeurig nieuw web-adres in de browserbalk zal intikken. In een plaatje komt dit erop neer dat je vanuit een dangling node pijlen trekt naar ieder van de ander bladzijden, inclusief de dangling node zelf, ondanks dat deze links dus eigenlijk geen van alle echt bestaan. Het reizen naar een andere webpagina zonder daarbij een hyperlink te volgen wordt teleportatie genoemd. Opgave 5. Los de volgende Goozzle op: Figuur 9. Goozzle uit Figuur 8 inclusief teleportatie.

14 Reden om ook een pijl te trekken naar de dangling node zelf, is dat ieder van de drie bladzijden,, evenveel profiteert van de PageRank die uiteindelijk krijgt. Geen van de bladzijden wordt dus bevoordeeld in deze behandeling van dangling nodes. Ondanks de heuristisch verantwoorde aanpak van dangling nodes zijn nog niet alle problemen de wereld uit. ijvoorbeeld, het world wide web zou kunnen bestaan uit meerdere groepen van bladzijdes die onderling geen links hebben. ladzijdes uit verschillende groepen kunnen dan niet eerlijk met elkaar worden vergeleken, omdat de hoeveelheid knikkers binnen iedere groep met een willekeurig getal vermenigvuldigd kan worden. 6. Uiteindelijke basismodel: meer teleportatie rin en Page merkten terecht op, dat niet alleen als een surfer in een dangling node aankomt, hij een nieuw webadres in de browserbalk kan intikken. Hij doet dit ook op andere momenten. Vraag is wanneer, en hoe vaak. De α-factor. Een surfer zal een deel α (met α een getal tussen de nul en één) van de tijd hyperlinks volgen, en een deel α een nieuw adres in de browserbalk intikken. Het uiteindelijke model bestaat uit een combinatie van het model dat we hadden na het repareren van de problemen

15 die door dangling nodes worden veroorzaakt, en het volledige teleportatie-model. Dit laatste model gaat er (onterecht) vanuit dat er van iedere bladzijde een link is naar iedere andere bladzijde, inclusief zichzelf. Hoe wordt deze combinatie in de praktijk gemaakt? Door te stellen dat een deel α van de knikkers via de pijlen moet lopen van het oorspronkelijke model, en het resterende deel volgens de pijlen van het volledige teleportatie model Figuur 0: Goozzle met teleportatie en α-factor. Middels wiskundig speurwerk valt te beredeneren dat Google in hun model de waarde α = 0.85 = 7 0 gebruikt. Het 4

16 linkerdeel van de Goozzle in Figuur 0 is het teleportatieblok; het /0-e deel van de knikers dat hierin belandt wordt gelijkelijk verdeeld over alle andere bladzijden. We zien dat het overeenkomstige kabouter-raadsel nu wel heel erg ingewikkeld kan worden. De vraag is nu dus hoe de fee de kabouters knikkers kan geven zodanig, dat als 85% van de knikkers via het rechterblok in Figuur 0 wordt verdeeld, en 5% van de knikkers volgens het linkerblok, de situatie weer is zoals tevoren. En voor het echte world wide web dan ook nog eens met zo n acht miljard kabouters in plaats van de drie die we hier bekijken. Dit verklaart waarom er grote aantallen aan elkaar gekoppelde supercomputers nodig zijn om de oplossing binnen een dag of drie te kunnen berekenen! Opmerking. Door een deel α van de knikkers volgens het teleportatie-model te laten rollen, hebben we het probleem van de groepen bladzijdes zonder onderlinge links opgelost. De toegevoegde teleportatie zorgt ervoor dat alle bladzijdes aan elkaar gerelateerd zijn. Natuurlijk is het tot zover beschreven model nog lang niet de hele waarheid. Google heeft ongetwijfeld nog heel veel kleinere en grotere slimmigheden om efficiënt om te gaan met zoek-opdrachten en pageranking. Deze zijn, begrijpelijkerwijs, voor het grootste deel geheim. 5

17 Universiteit van Amsterdam

π* = π*(αs + (1 α)e) Thema Discrete wiskunde aflevering 1

π* = π*(αs + (1 α)e) Thema Discrete wiskunde aflevering 1 Thema Discrete wiskunde aflevering 1 De Top-10.000.000. Het thema van deze nieuwe, 48ste jaargang is discrete wiskunde. Discreet betekent hier dat het over telbare aantallen objecten gaat. Combinatoriek

Nadere informatie

De UvA Webklas Wiskunde: Google s PageRank voor Dummies

De UvA Webklas Wiskunde: Google s PageRank voor Dummies De UvA Webklas Wiskunde: Google s PageRank voor Dummies Jan Brandts, Universiteit van Amsterdam 4 november 009 Samenvatting Het Google PageRank probleem houdt zich bezig met de vraag hoe Google de resultaten

Nadere informatie

8 De PageRank van Google: de grootste matrixberekening ooit

8 De PageRank van Google: de grootste matrixberekening ooit Googlen, googlede, gegoocheld? Vrijwel iedereen heeft wel eens met verbazing naar het scherm gestaard wanneer Google het voor elkaar kreeg om binnen een paar tellen het hele web te doorzoeken naar, bijvoorbeeld,

Nadere informatie

Over de wiskunde die Google groot maakte

Over de wiskunde die Google groot maakte Over de wiskunde die Google groot maakte Jan Brandts, Universiteit van Amsterdam januari 9 Samenvatting Google vindt in een oogwenk de meest relevante web-bladzijden over een bepaald onderwerp. Omdat het

Nadere informatie

Google met energie. Michiel Hochstenbach Universitair Docent Scientific Computing Group Wiskunde Faculteit Wiskunde en Informatica

Google met energie. Michiel Hochstenbach Universitair Docent Scientific Computing Group Wiskunde Faculteit Wiskunde en Informatica Google met energie Michiel Hochstenbach Universitair Docent Scientific Computing Group Wiskunde Faculteit Wiskunde en Informatica www.win.tue.nl/ hochsten TU/e publieksdag 5 oktober 8 Google: wist U dat-jes...

Nadere informatie

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0. REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door

Nadere informatie

Score. Zelfevaluatie. Beoordeling door de leerkracht. Datum: Klas: Nr: Naam:

Score. Zelfevaluatie. Beoordeling door de leerkracht. Datum: Klas: Nr: Naam: Datum: Klas: Nr: Naam: Score G1 /5 /5 Opgave 1 G2 / / Opgave 2 G3 /10 /10 Opgave 3 G4 /5 /5 Opgave 4 G5 /4 /4 Opgave 5 G6 /5 /5 G7 /5 /5 G8 /10 /10 G9 /10 /10 G10 /7 /7 G11 /10 /10 Totaal Zelfevaluatie

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Bij de volgende opgaven vragen we je een kleine opteltabel in te vullen. De eerste hebben we zelf ingevuld om je te laten zien hoe zoiets gaat. 1.

Bij de volgende opgaven vragen we je een kleine opteltabel in te vullen. De eerste hebben we zelf ingevuld om je te laten zien hoe zoiets gaat. 1. I Natuurlijke getallen Dit deel gaat over getallen waarmee je aantallen kunt weergeven: vijf vingers aan je hand, twaalf appels op een schaal, zestig minuten in een uur, zestien miljoen Nederlanders, nul

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

Het grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1

Het grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1 1. Inleiding In vorig hoofdstuk hebben we het gehad over invoerelementen, verwerking en uitvoerelementen. Je hebt geleerd dat al deze elementen maar 2 toestanden kennen en kunnen verwerken, namelijk de

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken

Deel A. Breuken vergelijken Deel A Breuken vergelijken - - 0 Breuken en brokken (). Kleur van elke figuur deel. Doe het zo nauwkeurig mogelijk.. Kleur van elke figuur deel. Doe het telkens anders.. Kleur steeds het deel dat is aangegeven.

Nadere informatie

Calcudoku. Vakantie Puzzelboek. door Patrick Min

Calcudoku. Vakantie Puzzelboek. door Patrick Min Calcudoku Vakantie Puzzelboek door Patrick Min Calcudoku, Vakantie Puzzelboek c 2016 Patrick Min. Alle rechten voorbehouden. ISBN 978-9-4021-4740-7 Inhoud 1 Inleiding 5 1.1 Regels........................................

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen

Nadere informatie

Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation of Google s PageRank)

Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation of Google s PageRank) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation

Nadere informatie

Vergelijkingen met wortelvormen

Vergelijkingen met wortelvormen Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen

Nadere informatie

De waarde van een plaats in een getal.

De waarde van een plaats in een getal. Komma getallen. Toen je net op school leerde rekenen, wist je niet beter dan dat getallen heel waren. Dus een taart was een taart, een appel een appel en een peer een peer. Langzaam maar zeker werd dit

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Gebruikershandleiding

Gebruikershandleiding Gebruikershandleiding Inleiding. Het bijhouden, wijzigen en aanpassen van de inhoud van de website met je standaard web browser. De website maakt gebruik van CMS (content managment system) Door in te loggen

Nadere informatie

55 SEO Tips Om Mee Te Scoren!

55 SEO Tips Om Mee Te Scoren! 55 SEO Tips Om Mee Te Scoren! Een goede tip is nooit weg, toch? Ik heb er 55 voor je op een rijtje gezet, waarmee je je website kunt optimaliseren, zodat je hoger scoort in Google, meer bezoekers naar

Nadere informatie

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder. Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters

Nadere informatie

Is eenvoudig in gebruik Geeft een hoge trefkans Is snel en nauwkeurig

Is eenvoudig in gebruik Geeft een hoge trefkans Is snel en nauwkeurig Zoeken en vinden met Een van de betere, zo niet de beste, zoekmachine van dit moment is Is eenvoudig in gebruik Geeft een hoge trefkans Is snel en nauwkeurig Start de internetbrowser: bijvoorbeeld Internet

Nadere informatie

4. Zoeken naar informatie

4. Zoeken naar informatie 99 4. Zoeken naar informatie Het World Wide Web wordt wel eens vergeleken met een grote bibliotheek vol met informatie over allerlei onderwerpen, maar zonder bibliothecaris in dienst. Alle boeken van deze

Nadere informatie

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda. Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Breukenpizza! 1. Knijpkaart 2. Decimalen 3. Domino 4.

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Internet Marketing Termen

Internet Marketing Termen Internet Marketing Termen Als beginnend Internet Marketeer ga je veel termen tegen komen, die je in verwarring zullen brengen. Hieronder heb ik een lijst met termen voor je samengesteld om jouw leven als

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

3 D E Z O E K M A C H I N E G O O G L E

3 D E Z O E K M A C H I N E G O O G L E 3 D E Z O E K M A C H I N E G O O G L E 3.1 Z O E K E N O P 1 E N K E L Z O E K W O O R D Typ in de adresbalk: www.google.be Er zijn verschillende doorzoekopties : Zoeken (op het Web) Afbeeldingen Maps

Nadere informatie

Wiskunde B-dag 2014. Lights Out. vrijdag 14 november, 9:00 16:00 uur. Wiskunde B-dag 2014. De wiskunde B-dag wordt gesponsord door

Wiskunde B-dag 2014. Lights Out. vrijdag 14 november, 9:00 16:00 uur. Wiskunde B-dag 2014. De wiskunde B-dag wordt gesponsord door Wiskunde B-dag 2014 vrijdag 14 november, 9:00 16:00 uur Lights Out De wiskunde B-dag wordt gesponsord door Wiskunde B-dag 2014 Wiskunde B-dag 2014 Warming up: speel het spel! De opdracht gaat over het

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

D-day Lights Out

D-day Lights Out D-day 2015 donderdag 19 februari, 12:30 16:30 uur Lights Out D-day 2015 Warming up: speel het spel! De opdracht gaat over het spelletje Lights Out' dat al sinds 1995 overal ter wereld wordt gespeeld. Het

Nadere informatie

Uitgeverij Schoolsupport

Uitgeverij Schoolsupport [49] Tellen, 2009, Niveau **, Getallen Hieronder zie je een volledig dominospel van 28 stenen. Hoeveel ogen (stippen) staan er in totaal op alle domino-stenen tezamen? TIP: Tel eerst eens hoevaak elk aantal

Nadere informatie

: een wiskundige uitdaging

: een wiskundige uitdaging Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012) 125 125 : een wiskundige uitdaging Cesar Demeester Ik ben leraar wiskunde in het 2de jaar van de 1ste graad aan het Koninklijk Atheneum Pitzemburg te Mechelen.

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

3. Zoeken naar informatie ... 4. Surfen op internet met de app Internet Explorer 99... 5. Werken met e-mail 109 ...

3. Zoeken naar informatie ... 4. Surfen op internet met de app Internet Explorer 99... 5. Werken met e-mail 109 ... Inhoudsopgave Voorwoord... 7 Nieuwsbrief... 7 Introductie Visual Steps... 8 Wat heeft u nodig?... 8 Uw voorkennis... 9 Hoe werkt u met dit boek?... 9 De website bij het boek... 10 Toets uw kennis... 10

Nadere informatie

wizkid 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 50 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizkid 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 50 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com www.smart.be Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

Breuken. Tel.: Website:

Breuken. Tel.: Website: Breuken Leer- en oefenboek Versie - april 08 Auteur en uitgever: Klaas van der Veen Tel.: 00-700 E-mail: info@ info@meesterklaas.nl Website: www. www.meesterklaas.nl Inhoud Wat is een breuk Wat is groter:

Nadere informatie

MEER PARKEREN VOOR MINDER. Voorronde opdracht van de 22 e Wiskunde A-lympiade

MEER PARKEREN VOOR MINDER. Voorronde opdracht van de 22 e Wiskunde A-lympiade MEER PARKEREN VOOR MINDER Voorronde opdracht van de 22 e Wiskunde A-lympiade 19 November 2010 1 Werkwijzer bij de voorronde opdracht van de Wiskunde A-lympiade 2010/2011 Deze Wiskunde A-lympiade opdracht

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2

Examen HAVO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 2 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

Uw website optimaliseren voor zoekmachines

Uw website optimaliseren voor zoekmachines Uw website optimaliseren voor zoekmachines Waarom zou je optimaliseren? Met een goede website of goed product ben je er nog niet. Wanneer je product of dienst namelijk niet bekend is bij de gebruiker,

Nadere informatie

2015 Voorronde Vragenbundel voor het 5 leerjaar

2015 Voorronde Vragenbundel voor het 5 leerjaar Wiskundequiz editie 8 2015 Voorronde Vragenbundel voor de het 5 leerjaar 01. Welke van de volgende rekensommen geeft de grootste uitkomst? (A) 2 x 0 x 1 x 4 (B) 2 + 0 + 1 + 4 (C) 20 x 1 x 4 (D) (2 + 0)

Nadere informatie

Iedereen online, van 9 tot 99 jaar. Les 3 ... Google: zoeken op het internet. Deze iconen tonen aan voor wie het document is

Iedereen online, van 9 tot 99 jaar. Les 3 ... Google: zoeken op het internet. Deze iconen tonen aan voor wie het document is Les 3... Google: zoeken op het internet. Deze iconen tonen aan voor wie het document is Leerkrachten WebExperts Senioren Leerlingen Achtergrondinformatie Achtergrondinformatie voor de leerkracht Waarom?

Nadere informatie

Deel B. Breuken. optellen en aftrekken

Deel B. Breuken. optellen en aftrekken Deel B Breuken optellen en aftrekken - 0 0 Parten optellen 0 tablet chocola klok. Vul in: tablet tablet... stukjes uur uur... minuten - tablet - uur Vul passende breuken in. Schrijf de breuken op zijn

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

3. Zoeken naar informatie

3. Zoeken naar informatie 69 3. Zoeken naar informatie Het World Wide Web wordt wel eens vergeleken met een grote bibliotheek vol met informatie over allerlei onderwerpen, maar zonder bibliothecaris in dienst. Alle boeken van deze

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen

DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen Wat voorafgaat aan het leren van de staartdeling: De kinderen moeten al vertrouwd zijn met de schrijfwijze van de delingen (hoofdrekenen)

Nadere informatie

Google s PageRank Algoritmes

Google s PageRank Algoritmes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Bachelor Eind Project BSc Verslag TECHNISCHE WISKUNDE Google s PageRank Algoritmes Auteur: Alice Gianolio Onder begeleiding

Nadere informatie

Zoekmachine Optimalisatie Quickscan Rapport www.zeeuwsreisje.nl

Zoekmachine Optimalisatie Quickscan Rapport www.zeeuwsreisje.nl Zoekmachine Optimalisatie Quickscan Rapport www.zeeuwsreisje.nl Keyword lijst Algemeen Alles in combinatie met zeeland Vakantie Bed and Breakfast / Bed en breakfast Hotel Campings / camping Vakantiehuis

Nadere informatie

Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen:

Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen: Getallen Bron: Examenbladmbo.nl, SYLLABUS REKENEN 2F en 3F vo en mbo, Versie mei 2015 Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen: http://nielspicard.nl/download/powerpoint-rekenen-domein-getallen/

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van

Nadere informatie

Tafels bloemlezing. Inhoud 1

Tafels bloemlezing.   Inhoud 1 Tafels bloemlezing Leer- en oefenboek 49 bladzijden. Hier zie je de hele pdf, waarin veel geschrapt is, maar waarin je een prima indruk krijgt hoe deze methode is opgebouwd. Dit is een methode die niet

Nadere informatie

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende

Nadere informatie

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1.

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1. Derde domein: gebroken getallen 1 Kennismaking met breuken 1.1 De breuk als deel van een geheel Opdracht 2 blaadje 1 blaadje 2 blaadje 3 blaadje 4 Een blaadje in twee delen vouwen geeft de helft van een

Nadere informatie

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1.

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1. Derde domein: gebroken getallen 1 Kennismaking met breuken 1.1 De breuk als deel van een geheel blaadje 1 blaadje 2 blaadje 3 blaadje 4 Een blaadje in twee delen vouwen geeft de helft van een heel blaadje.

Nadere informatie

Ruitjes vertellen de waarheid

Ruitjes vertellen de waarheid Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

SMART-finale Ronde 1: 5-keuzevragen (versie 1)

SMART-finale Ronde 1: 5-keuzevragen (versie 1) SMART-finale 2014 Ronde 1: 5-keuzevragen (versie 1) Ronde 1 bestaat uit 16 5-keuzevragen. Bij elke vraag is precies één van de vijf antwoorden juist. Geef op het antwoordformulier duidelijk jouw keuze

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 2.4.1 Basis Verhoudingen 1 13 cm : 390 km, dat is 13 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 13 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot 1 : 3.000.000. 2 De schaal

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

Een breuk is een getal dat kleiner is dan 1. Als je iets in tweeën, drieën, vieren enz. breekt, dan krijg je een breuk.

Een breuk is een getal dat kleiner is dan 1. Als je iets in tweeën, drieën, vieren enz. breekt, dan krijg je een breuk. Breuken Wat is een breuk Wat is een breuk? Een breuk is een getal dat kleiner is dan. Als je iets in tweeën, drieën, vieren enz. breekt, dan krijg je een breuk. Stel, je breekt één stukje krijt in tweeën,

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen 1 We proberen alle mogelijkheden van klein naar groot: p = 1 is uitgesloten: dan zou elke dag hetzelfde resultaat geven. p = 2 is uitgesloten: dan zouden dag 1 en

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 5. Technische problemen herkennen en oplossen 71 5.1 Heeft Google uw website gezien?... 72

Inhoudsopgave. 5. Technische problemen herkennen en oplossen 71 5.1 Heeft Google uw website gezien?... 72 Inhoudsopgave Voorwoord... 5 Introductie Visual Steps... 6 Nieuwsbrief... 6 Wat heeft u nodig?... 7 Hoe werkt u met dit boek?... 7 Uw voorkennis... 8 De website bij het boek... 8 Toets uw kennis... 8 Voor

Nadere informatie

Gemiddelde: Het gemiddelde van een rij getallen is de som van al die getallen gedeeld door het aantal getallen.

Gemiddelde: Het gemiddelde van een rij getallen is de som van al die getallen gedeeld door het aantal getallen. Statistiek Modus De waarneming die het meeste voorkomt. voorbeeld 1: De waarnemingen zijn 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7 en 8. De waarneming 5 komt het meeste (driemaal) voor, dus de modus is 5. (Kijk maar:

Nadere informatie

Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4

Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4 Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels 7 9 dit w = ( / 3 + / 4 )(Z + z), in regels 0 staat over de zwarte koeien dit z = ( / 4 + / 5 )(* + g), over de gevlekte

Nadere informatie