Mathematisch Compendium

Transcriptie

1 Mathematisch Compendium W.J. van der Star

2 Inhoudsopgave. Algebraïsche Vergelijkingen 2. Differentiaal- en Integraalrekening 6 3. Fourieranalyse 6 4. Complexe Functietheorie 7 5. Lineaire Algebra Differentiaalvergelijkingen Variatierekening 2 8. Goniometrie en Trigonometrie Vectoranalyse 29. Tensoranalyse 48. Planimetrie Stereometrie Boldriehoeksmeetkunde Analytische Meetkunde Differentiaal Meetkunde Statistiek en Waarschijnlijkheidsrekening 223

3 Algebraïsche Vergelijkingen De n-de graads vergelijking is van de vorm: P n (x) = c x n + c x n + + c n x + c n = c i, x C, n IN + Algemeen geldt dat P n (x) juist n nulpunten ofwel wortels heeft behorende tot C, inclusief eventueel samenvallende nulpunten. Tevens geldt dat als α = a + bi a, b IR een oplossing is van P n (x) =, dan is α = a bi een oplossing van P n(x) c xm + + c n = Als een n-de graads vergelijking met reële coëfficiënten een imaginaire oplossing heeft, dan is de complex geconjugeerde waarde ook een oplossing van de vergelijking. Elk polynoom P n (x) kan op unieke wijze ontbonden worden in een produkt van de vorm: P n (x) = c (x x )(x x 2 )... (x x n ) x C Hierin zijn x, x 2,..., x n de wortels van de corresponderende vergelijking P n (x) =. Als er meervoudige wortels zijn, dan geldt: P n (x) = c (x x ) m (x x 2 ) m 2... (x x l ) m l m + m m l = n Hierin is l het aantal nulpunten die onderling van elkaar verschillen. de vergelijking P n (x) = is te schrijven als: c (x x )(x x 2 )... (x x n ) = c [x n (x +x 2 + +x n )x n +(x x 2 +x x 3 + +x n x n )x n 2 +( ) n x x 2... x n ] = Vergelijking van de coëfficiënten met c o x n + c x n + + c n = geeft: c = c (x + x x n ) c 2 = c (x x 2 + x x x n x n )... c n = ( ) n c x x 2... x n x + x x n = c /c x x 2 + x x x n x n = c 2 /c... x x 2... x n = ( ) n c n /c De -ste graads - ofwel lineaire vergelijking is van de vorm: Voor de oplossing geldt: ax + b = a, b, x C x = b a De 2-de graads - ofwel kwadratische vergelijking is van de vorm: ax 2 + bx + c = a, b, c, x C

4 ( ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) [ ( = a x + b a 2a ( ) ( ax 2 + bx + c = a x + b b 2 4ac 2a ) 2 b2 4a 2 + c ] a ) x + b + b 2 4ac 2a = x = b b 2 4ac 2a x 2 = b + b 2 4ac 2a Voor a, b, c IR wordt de discriminant gedefinieerd als: = b 2 4ac > x, x 2 zijn reëel met x x 2 = x = x 2 en reëel < x, x 2 zijn complex resp. complex geconjugeerd. Voor de som en het produkt van x en x 2 geldt: x + x 2 = b a x x 2 = c a De 3-de graads - ofwel kubieke vergelijking is van de vorm: ax 3 + bx 2 + cx + d = a, b, c, d, x C Substitutie van ( x + b ) ( 3 c + 3a ( x + b ) 3 + 3a ( x + b 3a a b2 3a 2 ( c a b2 3a 2 ) 3 = x 3 + b a x2 + b2 3a 2 x + ) ( ) d x + a b3 27a 3 = ) ( x + b ) + 3a ( d a bc 3a 2 + 2b3 27a 3 b3 27a 3 in x3 + b a x2 + c a x + d a = geeft: Stel: z = x + b 3a p = c a q = d a bc 3a 2 + 2b3 27a 3 z3 + pz + q = p, q, z C ) = Substitutie van z = u + v geeft: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = Opdat u + v een wortel is van z 3 + pz + q = moet gelden: { u 3 + v 3 = q uv = 3 p { u 3 + v 3 + q = 3uv + p = Als u en v voldoen aan uv = 3 p, dan geldt: u3 v 3 = 27 p3 { u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = 27 p3 2

5 u 3 en v 3 zijn wortels van de vergelijking t 2 + qt 27 p3 =, met = q p3 u 3 = 2 ( q + ) v 3 = 2 ( q ) Stel: α en β is een willekeurige wortel van 2 ( q + ) resp. 2 ( q ) 2 ( + 3i)α en 2 ( 3i)α zijn de 2 andere wortels van 2 ( q + ) resp. 2 ( + 3i)β en 2 ( 3i)β zijn de 2 andere wortels van 2 ( q ), waarbij β die wortel is waarvoor geldt: αβ = 3 p z = α + β is een wortel van z 3 + pz + q =. 2 ( + 3i)α. 2 ( 3i)β = αβ z 2 = 2 ( + 3i)α + 2 ( 3i)β = 2 (α + β) + 2 3(α β)i 2 ( 3i)α. 2 ( + 3i)β = αβ z 3 = 2 ( 3i)α + 2 ( + 3i)β = 2 (α + β) 2 3(α β)i Uit x = z (b/3a) volgt dan: x = b + (α + β) 3a x 2 = b 3a 2 (α + β) + 2 3(α β)i x 3 = b 3a 2 (α + β) 2 3(α β)i De 3 wortels zijn te schrijven in de vorm van de Formule van Cardano: x,2,3 = 3 2 q + 4 q p q De discriminant volgt uit de vergelijking t 2 + qt 27 p3 = : ( d = q p3 = a bc ) 2 ( ) 3 3a 2 + 2b3 c 27a a b2 3a 2 4 q p3 = d2 a 2 2bcd 3a 2 + 4b3 d 27a 4 b2 c 2 27a 4 + 4c3 27a 3 > x reëel en x 2, x 3 complex geconjugeerd. = x reëel en x 2 = x 3 reëel. < x, x 2, x 3 verschillend en reëel. Voor de som en het produkt van x, x 2, x 3 geldt: x + x 2 + x 3 = b a x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 = c a x x 2 x 3 = d a De 4-de graads vergelijking is van de vorm: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = a, b, c, d, e, x C Als x 4 + (b/a)x 3 + (c/a)x 2 + (d/a)x + (e/a) een volkomen kwadraat zou zijn, dan zou ze te schrijven zijn als (x 2 + (b/2a)x + 2 λ)2 3

6 ( x 4 + b a x3 + c a x2 + d a x + e ) ( x 2 + b a ( ) ( c a b2 d 4a 2 λ x 2 + a b 2a ( ( x 2 + b 2a x + 2 λ ) 2 = ) 2 2a x + 2 λ = ) ( ) e x + a 4 λ2 λ + b2 4a 2 c a ) ( bλ x 2 + 2a d ) ( x + a 4 λ2 e ) a Het rechterlid is een volkomen kwadraat als geldt: ( bλ = 2a d ) 2 4 (λ + b2 a 4a 2 c ) ( a 4 λ2 e ) = a Resolvente van Ferrari: λ 3 c ( bd a λ2 + a 2 4e ) λ a { e(b 2 4ac) Stel: λ is een wortel van de Resolvente van Ferrari ( x 2 + b ) ( ) 2 ( 2a x + 2 λ = λ + b2 4ac 4a 2 x 2 bλ + 2a d ) ( x + a 4 λ2 e ) a λ + b2 4ac 4a 2 = bλ 2a d ( a = x 2 + b ) 2 2a x + 2 λ = 4 λ2 e a Stel: 4 λ2 (e/a) = ±ω λ + b2 4ac 4a 2 Stel: x 2 + b 2a x + 2 λ ± ω = a 3 } + d2 a 2 = ( x 2 + b ) ( ) 2 ( 2a x + 2 λ = λ + b2 4ac 4a 2 x + (bλ 2d)a 4a 2 λ + b 2 4ac λ + [(b 2 4ac)/4a 2 ] = ±χ x 2 + b 2a x + 2 λ = ±χ ( x + ( ) ( b x 2 + 2a χ x + 2 λ χ (bλ ) 2d)a 4a 2 λ + b 2 = 4ac (bλ 2d)a 4a 2 λ + b 2 4ac ) 2 ) Een wederkerige vergelijking van de n-de graad is een algebraïsche vergelijking waarvoor geldt: ( x n P = λp (x) x C\{}, λ = ± x) Als λ = resp. λ =, dan is de vergelijking van de -ste soort resp. van de 2-de soort. Elke wederkerige vergelijking is te herleiden tot het type van de -ste soort en van een even graad. Stel: c x 2p + c x 2p + + c p x p + + c x + c = p IN c x p + c x p + + c p + + c x p + c c ( x p + x p ) + c ( x p + x p x p = ) ( + + c p x + x 4 ) + c p =

7 Elke term van de vorm x k + (/x k ) is te schrijven als een veelterm van de k-de graad in x: x k + x k = xk kz k 2 + k(k 3) z k 4 2! k(k 4)(k 5) z k ! ( ) j k(k j )(k j 2) (k 2j + ) z k 2j + j! C z p + C z p + + C p z + C p = Bij elke wortel α van deze vergelijking horen 2 wortels van de gegeven wederkerige vergelijking die volgen uit x + (/x) = α, ofwel x 2 αx + = x,2 = 2 (α ± α 2 4) Een binomiaalvergelijking is van de vorm: ax p + bx q = a, b, x C, p IN +, q IN, p > q ( ax p + bx q = ax q x p q + b ) = x q = x p q + b a a = x = Stel: p q = n x n = b/a = ρ(cos Θ + i sin Θ) ( x k+ = n ρ cos Θ + 2kπ + i sin Θ + 2kπ ) k =,, 2,..., n n n Een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden is van de vorm: a x + a 2 x a n x n = b... a n x + a n2 x a nn x n = b n a a n Als de cofactordeterminant n =.., dan worden de oplossingen gegeven a n a nn door de Regel van Cramer: x j = n n Hierin volgt n uit n door de j-de kolom te vervangen door b,..., b n. 5

8 Differentiaal- en Integraalrekening De verz. van de natuurlijke getallen IN bestaat uit nul en de pos. gehele getallen: IN =,, 2,... De verz. van de gehele getallen ZZ bestaat uit nul en alle pos. - en neg. gehele getallen: ZZ =..., 2,,,, 2,... De verz. van de rationele getallen Q bestaat uit nul en alle pos. en neg. gehele - en gebroken getallen: Q = p/q p, q ZZ, q De verz. van de reële getallen IR bestaat alle getallen die Q vormen en de irrationale getallen, die bestaan uit de algebraïsche getallen, dit zijn de getallen die een wortel zijn van een algebraïsche vergelijking, en de trancendente getallen, dit zijn alle getallen die niet algebraïsch zijn. Er geldt dus: Voor de reële getallen geldt: De binomiaalcoëfficiënt IN ZZ Q IR a + b = b + a ab = ba a(bc) = (ab)c a(b + c) = ab + ac ( ) a wordt gedefinieerd als: b ( ) ( ) n n = = k n k n! k!(n k)! n, k IN, k n Voor de ontwikkeling van (a + b) n n IN + geldt het Binomium van Newton: (a + b) n = n k= ( ) n a n k b k n IN + k Een functie f(x) van een verz. V naar W is een voorschrift waarbij aan elk element van het domein V op eenduidige wijze element van het bereik van W wordt toegevoegd: f(x) : V W Een functie f(x) gedefinieerd in een gereduceerde omgeving van a heeft voor x a de limiet L, als er bij elke ε > een δ > bestaat zo, dat f(x) L < ε als < x a < δ. Insluitstelling: Als in een gereduceerde omgeving van a g(x) f(x) h(x) en lim g(x) = x a L en lim h(x) = L, dan geldt tevens dat lim f(x) = L. x a x a Een functie f(x) gedefinieerd in een omgeving van a is continu in x = a als geldt: f(x) = f(a) lim x a Stelling van Weierstrasz: Als een functie f(x) op [a, b] continu is met f(a) < en f(b) >, dan is er minstens punt c < a, b > zo, dat f(c) =. 6

9 Tussenwaardestelling: Als een functie f(x) op [a, b] continu is met f(a) = A, f(b) = B, dan is er minstens punt c < a, b > zo, dat f(c) = C. Het differentiaalquotiënt f (a) van een functie f(x) in x = a wordt gedefinieerd door: f (a) = Substitutie van a + x = x geeft: ( ) dy y = lim dx x=a x x = lim f(a + x) f(a) x x f f(x) f(a) (a) = lim x x a Als een functie f(x) differentieerbaar is in x = a, dan is deze continu in x = a. Een functie f(x) is alleen dan differentieerbaar in x = a als er in een omgeving van a een functie ϕ bestaat welke continu in a is zo, dat f(x) f(a) = (x a)φ(x). Als f(x) in elk punt differentieerbaar is, dan wordt de afgeleide functie f (x) gedefinieerd als: f (x) = D x f(x) = df dx = lim f(x + x) f(x) x x Als n IN +, dan geldt voor de n-de afgeleide functie: f (n) (x) = dn f dx n = lim f (n ) (x + x) f (n ) (x) x x Voor de afgeleide functie van de som, het verschil, produkt en quotiënt van u(x) en v(x) geldt: D x {u(x) ± v(x)} = D x u(x) ± D x v(x) D x {u(x)v(x)} = v(x)d x u(x) + u(x)d x v(x) { } u(x) D x = v(x)d xu(x) u(x)d x v(x) v(x) v 2 (x) D x {u (x)u 2 (x)... u n (s)} = {D x u (x)}u 2 (x)... u n (x)+u (x){d x U 2 (x)}u 3 (x)... u n (x) n D x k= u (x)... u n (x){d x u n (x)} u k (x) = n u k (x) k= n k= D x u k (x) u k (x) { u (x) = u 2 (x) =... = u n (x) = u(x) D x u n (x) = u n Dx u(x) (x) u(x) D x u n (x) = u n (x) nd xu(x) u(x) D x u n (x) = nu n (x)d x u(x) n IR + + D } xu(x) u(x) 7

10 Substitutie van u(x) = x geeft: D x x n = nx n n IR Voor de afgeleide functie van de samengestelde functie z = g(y) y = f(x) geldt de Kettingregel: dz dx = dg(y) df(x) dy dx f(x + h) f(x) lim = f f(x + h) f(x) (x) h h h f(x) = f(x + h) f(x) = hf (x) + εh f(x) = f (x) x + ε x De differentiaal df(x) van f(x) wordt gedefinieerd als: f(x) = x x = dx df(x) = f (x) x df(x) = f (x)dx = f (x) + ε h ε Als bij elk element van het bereik precies element van het domein hoort, dan is f inv (x) de inverse functie van f(x). Er geldt dan: f inv {f(x)} = x f{f inv (y)} = y Als f(x) continu is en monotoon stijgt resp. daalt, dan is f inv (x) ook continu en stijgt resp. daalt monotoon. Als f(x) differentieerbaar is in x = c en een inverse functie ϕ bezit met f (c), dan is ϕ differentieerbaar in y = f(c) = C. Er geldt dan: ( ) ( ) dϕ df = dx dy y=c dx x=c dy dy dx = Stel: y = sin x y sin(x + x) sin x = = 2 sin 2 x cos(x + 2 x) x x x y x = sin 2 x 2 x cos(x + y 2 x) lim x x = cos x; analoog voor D x cos x D x tan x volgt uit sin x cos x, D x cot x uit cos x sin x, D x sec x uit cos x en D x cosec x uit sin x : D x sin x = cos x D x cos x = sin x D x tan x = cos 2 x D x cot x = sin 2 x D x sec x = sin x cos 2 x D x cosec x = cos x sin 2 x 8

11 D x sin x = cos x = sin(x + 2 π) D2 x sin x = sin x = sin(x π) D 3 x sin x = cos x = sin(x π)...; analoog voor Dn x cos x D n x sin x = sin(x + 2 nπ) D n x cos x = cos(x + 2 nπ) D x e x sin x = e x (sin x + cos x) = 2e x sin(x + 4 π) Dx 2 sin x = 2e x {sin(x + 4 π) + cos(x + 4 π)} = ( 2) 2 e x cos x = ( 2) 2 e x sin(x π)...; analoog voor Dxe n x cos x D n xe x sin x = ( 2) n e x sin(x + 4 nπ) D n xe x cos x = ( 2) n e x cos(x + 4 nπ) Een functie heet f(x) stijgend in x als er een omgeving Ω van x bestaat zo, dat geldt: x > x f(x) > f(x ) x < x f(x) < f(x ) x Ω, ofwel: als f(x) f(x ) > x x Als f(x) monotoon stijgend en differentieerbaar is, dan is f (x). f(x) = sin x x [ 2 π, 2 π] f inv (x) = arcsin x x [, ] f(x) = cos x x [, π] f inv (x) = arccos x x [, ] f(x) = tan x x < 2 π, 2 π > f inv (x) = arctan x x IR f(x) = cot x x <, π > f inv (x) = arccot x x IR Enige cyclometrische betrekkingen zijn: arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = π arccos x arcsin x + arccos x = 2 π arctan( x) = arctan x arccot( x) = π arccot x arctan x + arccot x = 2 π 9

12 Stel: y = arcsin x y = dx/dy = cos y ; uit x = sin y volgt cos y = x 2 ; analoge afleidingen gelden voor de overige cyclometrische functies: D x arcsin x = x 2 D x arccos x = x 2 D x arctan x = + x 2 D x arccot x = + x 2 D x arcsec x = x x 2 D x arccosec x = x x 2 Een primitieve functie F (x) van een functie f(x) is een functie waarvoor geldt: F (x) = f(x) De onbepaalde integraal van f(x) naar x wordt nu gedefinieerd als: f(x)dx = F (x) + C F (x) = f(x) Uit de afgeleide van de elementaire functies volgt de onbepaalde integraal: x n dx = xn+ n + + C n IR\ sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C dx cos 2 x = tan x + C dx sin 2 x = cot x + C sin x cos 2 dx = sec x + C x cos x sin 2 dx = cosec x + C x dx = arcsin x + C = arccos x + C x 2 dx = arctan x + C = arccot x + C + x2 dx x = arcsec x + C = arccosec x + C x 2

13 Hoofdstelling van de integraalrekening: De afgeleide functie van een onbepaalde integraal met continue integrand naar de bovengrens is gelijk aan de integrand als functie van die bovengrens: I(x) = x a f(t)dt I (x) = f(x) Als F (x) een primitieve van f(x) is, dan geldt dus: I (x) = F (x) I(x) F (x) = C Stel: x = a I(a) F (a) = C C = F (a) Stel: x = b I(b) F (b) = F (a) = b a f(t)dt b a Eigenschappen van bepaalde integralen: f(t)dt = [F (t)] b a = F (b) F (a) b a b a c a b {λf(x) ± µg(x)}dx = λ a f(x)dx = f(x)dx = b b a f(x)dx f(x)dx + c b a b f(x)dx ± µ f(x)dx a g(x)dx λ, µ IR De functie de natuurlijke logaritme x ln x wordt gedefinieerd als: t dt t = ln x Eigenschappen van de logaritmische functie zijn: ln ab = ln a + ln b x > ln a b = ln a ln b ln a n = n ln a n IN x 2 > x > x 2 /x > ln(x 2 /x ) > ln x 2 ln x > De logaritmische functie is monotoon stijgend. Stel: 2 n x < 2 n+ n ln 2 ln x lim x ln x = Stel: x = t lim ln x = lim ln x t t = lim ln t = t

14 t > x t < < ln x x x dt t < = ln( x) 2 ( x) 2 = 2 ln x < 2 x x x dt = x ln x < x voor x >, ofwel: < ln x x < ln x lim x x = Stel: x = t lim x ln x = lim x t t ln t = lim ln t t t lim x ln x = x Stel: x = y /a a IR + lim x x a ln x = lim y y ln y /a = a lim x y ln y ln p x x a = ( ) ( ln x p p x a/p = a Stel: x a/p = y lim x x a/p lim x a ln x = a IR + x ) p ( ( ) ln xa/p p p ln x a/p p x a/p = a) x a/p p IR, a IR+ ( ) ln x a/p p ( ) ln y p ( = lim = lim y y y ln p x lim x x a = p IR, a IR+ ) ln y p = p = y y p Stel: ln x = y lim y e ay = ; substitutie van b = ea geeft (met a > b > ): y p lim y b y = lim x x x = lim x eln x/x = ex (ln lim x/x) = e x p lim x a x = p, a IR, a > lim x x x = Uit de definitie van de natuurlijke logaritme volgt voor de afgeleide: D x ln x = x D x ln x = x D 2 x ln x = x 2 D 3 x ln x = ( ) 2..2x 3... D n x ln x = ( )n (n )! x n 2

15 De machtsfunctie x x a wordt gedefinieerd als: Eigenschappen van de machtsfunctie zijn: x x a a = p/q, p, q ZZ, q x a x b = x a+b (x a ) b = x ab (xy) a = x a y a De exponentiële functie x e x is de inverse van de logaritmische functie: x e x x IR Stel: y = e x ln y = x y = dx/dy = y Hieruit volgt voor de onbepaalde integraal: D x e x = e x e x dx = e x + C D x e ax = ae ax D 2 xe ax = a 2 e ax... D n xe ax = a n e ax De algemene exponentiële functie x a x wordt gedefinieerd als: a x = e x ln a a >, a Stel: y = a x ln y = x ln a y dy dx = ln a y = y ln a Hieruit volgt voor de onbepaalde integraal: D x a x = a x ln a D x a kx = ka kx ln a D 2 xa kx = k 2 a kx ln 2 a... a x dx = ax ln a + C D n xa kx = k n a kx ln n a Stel: h(x) = f(x) g(x) ln h(x) = g(x) ln f(x) h (x) h(x) = g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) Logaritmische afgeleide: { D x f(x) g(x) = f(x) g(x) g (x) ln f(x) + g(x) f } (x) f(x) 3

16 De algemene logaritmische functie x a log x wordt gedefinieerd als de inverse functie van de machtsfunctie x x a a > : x a log x x >, a >, a Per definitie geldt: y = a x x = a log y y = e x ln a ln y = a ln a a log y = ln y ln a Stel: x = ϕ(t) f(x) = f{ϕ(t)} dx = ϕ (t)dt Substitutieregel: f(x)dx = f{ϕ(t)}ϕ (t)dt Substitutie van t = a + bx en dt = bdx in (a + bx) n dx resp. geeft: (a + bx) n dx = (a + bx)n+ b(n + ) dx ln(a + bx) = + C a + bx b + C dx a + bx resp. a + bxdx a 2(a + bx) a + bx + bxdx = + C 3b dx Substitutie van t = x/a en dt = dx/a in a 2 + x 2 resp. dx a 2 x resp. 2 geeft: dx a 2 + x 2 = a arctan x a + C dx a 2 x 2 = arcsin x a + C dx x x 2 a 2 dx x x 2 a 2 = a arcsec x a + C Substitutie van t = x 2 ± a 2 en dt = 2xdx resp. t = a 2 x 2 en dt = 2xdx in xdx resp. a 2 x 2 geeft: xdx x 2 ± a 2 = 2 ln(x2 ± a 2 ) + C xdx a 2 x 2 = 2 ln(a2 x 2 ) + C xdx x 2 ± a 2 4

17 Substitutie van t 2 = x 2 ± a 2 en tdt = xdx resp. t 2 = a 2 x 2 en tdt = xdx in xdx resp. a 2 x geeft: 2 xdx x 2 ± a 2 xdx x 2 ± a 2 = x 2 ± a 2 + C xdx a 2 x 2 = a 2 x 2 + C Substitutie van t x = x 2 ± a 2 x = t2 a 2 2t en t2 ± a 2 2t 2 dt = dx in dx x 2 ± a 2 = ln(x + x 2 ± a 2 ) + C dx x 2 ± a 2 geeft: Substitutie van t = a/x en dx = (a/t 2 )dt in dx x 2 a 2 x geeft: 2 dx x a 2 ± x 2 resp. ( ) dx a + a x a 2 ± x = 2 a ln 2 ± x 2 + C x dx x 2 x 2 ± a 2 resp. dx x x 2 x 2 ± a = 2 ± a 2 2 a 2 + C x dx a x 2 a 2 x = 2 x 2 2 a 2 + C x Stel: f(x) = t f (x)dx = dt f (x) dt f dx = f(x) t (x) dx = ln t + C f(x) f (x) dx = ln f(x) + C f(x) Substitutie van d cos x = sin xdx en d sin x = cos xdx in tan xdx resp. cot xdx geeft: tan xdx = ln cos x + C cot xdx = ln sin x + C dx dx/ cos 2 sin x cos x = x d tan x = tan x tan x dx = ln tan x + C sin x cos x 5

18 dx sin x = 2d 2 x 2 sin 2 x cos 2 x Substitutie van t 2 π = x en dt = dx in dx a sin x + b cos x = a, b IR, tan ϕ = b/a sin x = dx sin x = ln tan 2 x + C dx cos x geeft dx cos x = ln tan( 2 x + 4 π) + C dx a(sin x + tan ϕ cos x) = dt sin t = ln tan 2 t + C dx cos ϕd(x + ϕ) a sin(x + ϕ)/ cos ϕ = a sin(x + ϕ) dx a sin x + b cos x = cos ϕ ln tan a 2 (x + ϕ) + C a, b IR, tan ϕ = b/a 2 sin 2 x cos 2 x cos 2 2 x + sin2 2 x = 2 tan 2 x + tan 2 2 x en cos x = cos2 2 x sin2 2 x cos 2 2 x + sin2 2 x = tan2 2 x + tan 2 2 x Stel: tan 2 x = t sin x = 2t t2 2dt cos x = x = 2 arctan t dx = + t2 + t2 + t 2 Als R(sin x, cos x) een rationale functie is van sin x en cos x, dan geldt: R(sin x, cos x)dx = R ( 2t + t 2, ) t2 2dt + t 2 + t 2 {f(x)g(x)} = f (x)g(x) + f(x)g (x) f(x)g(x) = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx Partiële integratieregel: f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx In differentiaalvorm is dit te schrijven als: g(x)df(x) = f(x)g(x) f(x)dg(x) x m e x dx = x m de x = x m e x e x dx m m IN + x m e x dx = x m e x m x m e x dx m IN + x m e x dx = x m de x = x m e x + e x dx m m IN + x m e x dx = x m e x + m x m e x dx m IN + 6

19 xe mx dx = m x m ln xdx = xde mx = xemx m m xe mx dx = xemx m e mx dx m IR emx m 2 + C ln xd xm+ m + = xm+ m + ln x m + x m ln xdx = xm+ m + ln x m + x m+ dx x m IR x m+ d ln x m IR\ x m ln xdx = xm+ m + ln x xm+ (m + ) 2 + C m IR\ Voor m = geldt: x ln xdx = ln x dx x = ln xd ln x ln n xdx = x ln n x xd ln n x n IN + ln x x dx = 2 ln2 x + C ln n xdx = x ln n x n ln n xdx n IN + e ax sin bxdx = e ax d cos bx = b b eax cos bx + a e ax cos bxdx b Analoog: e ax cos bxdx = b eax sin bx a e ax sin bxdx b a 2 x 2 dx = e ax sin bxdx = aeax sin bx be ax cos bx a 2 + b 2 e ax cos bxdx = aeax cos bx + be ax sin bx a 2 + b 2 a 2 x 2 a 2 x dx = 2 a2 dx a 2 x 2 + C + C x 2 dx a 2 x = 2 a2 arcsin x a + xd a 2 x 2 a 2 x 2 dx = a 2 arcsin(x/a) + x a 2 x 2 a 2 x 2 dx Cirkelintegraal: Analoog voor a 2 + x 2 dx: a 2 x 2 dx = 2 x a 2 x a2 arcsin(x/a) + C a 2 + x 2 dx = 2 x a 2 + x a2 ln(x + a 2 + x 2 ) + C 7

20 sin n xdx = sin n xd cos x = cos x sin n x + cos xd sin n x sin n xdx = cos x sin n x + (n ) cos 2 x sin n 2 xdx n ZZ sin n xdx = cos x sin n x + (n ) sin n 2 xdx (n ) sin n xdx; analoog voor cos n xdx n ZZ sin n xdx = n cos x sinn x + n sin n 2 xdx n n ZZ cos n xdx = n sin x cosn x + n cos n 2 xdx n n ZZ tan n xdx = tan n 2 x(+tan 2 x)dx tan n 2 xdx = tan n 2 xd tan x tan n 2 xdx n ZZ; analoog voor cot x n 2 xdx n ZZ tan n xdx = n tann x cot n xdx = n cotn x dx + x 2 ( + x 2 ) n = x 2 ( + x 2 ) n dx = x 2 dx ( + x 2 ) n = 2 xd ( + x2 ) n+ n + x 2 dx ( + x 2 ) n = x (2n 2)(( + x 2 ) n + dx ( + x 2 ) n dx ( + x 2 ) n = x 2n 3 (2n 2)(( + x 2 + ) n 2n 2 dx ( + x 2 ) n = x = 2 x( + x2 ) n+ n + tan n 2 xdx n ZZ cot n 2 xdx n ZZ x 2 dx ( + x 2 ) n 2( n + ) dx ( + x 2 ) n 2n 2 dx ( + x 2 ) n 2n 5 dx (2n 4)(( + x 2 + ) n 2 2n 4 ( + x 2 ) n 2 ( + x 2 ) n+ dx dx ( + x 2 ) n = x (2n 2)( + x 2 ) n + 2n 3 (2n 2)(2n 4) x ( + x 2 ) n (2n 3)(2n 5)... (2n 2)(2n 4)... 2 x (2n 3)(2n 5) x2 (2n 2)(2n 4)... 2 arctan x + C dx x(x n + ) = a + x a x dx = x n + x(x n + ) dx a + x a 2 x dx = 2 x n dx x(x n + ) dx = x dx x(x n + ) = ln x x n + + C n IN + adx a 2 x + 2 xdx a 2 x 2 a + x a x dx = a arcsin x a a 2 x 2 + C n IN\, x n x n + dx = ln x n ln(xn + ) n IN + 8

21 Als van px + q ax 2 + bx + c dx a, b, c, p, q IR de nulpunten a en a 2 van de noemer reëel en px + q ax 2 + bx + c = px + q a(x a )(x a 2 ) = A + A 2 x a x a 2 verschillend zijn, dan geldt: px + q ax 2 + bx + c dx = A dx + A 2 x a dx x a 2 Hierin zijn de constanten A en A 2 te bepalen uit px + q A (x a 2 ) + A 2 (x a ) na substitutie voor x van a resp. a 2. Als de nulpunten reëel en gelijk zijn, dan geldt: px + q ax 2 + bx + c = A x α + B (x α) 2 px + q ax 2 + bx + c dx = A px + q p(x α) ax 2 = + bx + c a(x α) 2 + B a(x α) 2 dx x α + B dx (x α) 2 Hierin zijn de constanten A 4n B te bepalen uit px + q = p(x α) + B. Als de nulpunten niet reëel zijn, dan geldt: px + q ax 2 + bx + c dx ax 2 + bx + c = A(2ax + b) ax 2 + bx + c + px + q ax 2 + bx + c dx = A ln ax2 + bx + c + B Hierin zijn de constanten A en B te bepalen uit px + q = A(2ax + b) + B. dx ax 2 + bx + c = B dx a[{x + (b/2a)} 2 + {(4ac b 2 )/4a 2 }] = B dx ax 2 + bx + c = B x + (b/2a) arctan ak k Theorema van Rolle: Middelwaardestelling: B ax 2 + bx + c dx [a{x + (b/2a)} 2 + k 2 ] px + q ax 2 + bx + c dx = A ln ax2 + bx + c + B x + (b/2a) arctan + C ak k Als een functie f(x) continu is op [a, b], differentieerbaar op < a, b > en f(a) = f(b), dan is er minstens punt c < a, b > zo, dat f (c) =. Als een functie f(x) continu is op [a, b] en differentieerbaar op < a, b >, dan is er minstens punt c < a, b > zo, dat f (c) = {f(b) f(a)}/(b a) Als een functie f(x) continu is op [a, b], differentieerbaar op < a, b > en f (x) > resp. f (x) <, dan is f monotoon stijgend resp. dalend op [a, b]. Als de functies f(x) en g(x) continu zijn op [a, b], differentieerbaar op < a, b > en g(x), dan is er een punt c < a, b > zo, dat f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). Stel: f(a) = g(a) = f(x) g(x) f(x) f(a) = g(x) g(a) = f (ξ) g (ξ) 9 x a, ξ < a, x >

22 f (ξ) lim x g (ξ) = lim f (ξ) ξ g (ξ) = lim f (x) x a g (x) Stelling van l Hopital: Als de functies f(x) en g(x) differentieerbaar zijn in een gereduceerde omgeving van x = a, g (x) en f(a) = g(a) =, dan geldt: f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Stel: y = x x x= = ln y = x ln x x= = y = lim x xx = Stel: y = [( + m ) m ] m= = ln y = [m ln( + m )] m= = /m 2 +m ln y = /m 2 m= = y = e ( lim + m = e m m) Stel: y = [m( m a )] m= = [m(a /m )] m= =. y = y = [ ( /m 2 )a /m ] ln a /m 2 m= = ln a lim m( m a ) = ln a m [ ] [ ] ln x /x = /x x= /x 2 = [ x] x= = x= [ ln( + m ] ) /m [ a /m ] /m m= m= Als f (a) = en f (a) bestaat, dan is f(a) een relatief extreem als f (a), en wel een min. voor f (a) > en een max. voor f (a) <. Als f (x) in een punt c < a, b > van teken wisselt, dan is f(c) een buigpunt en heeft f(x) hier een buigraaklijn. Regel van Leibniz: Als u(x) en v(x) n keer differentieerbare functies zijn, dan geldt voor de n-de afgeleide van het produkt van u(x) en v(x): D (n) x {u(x)v(x)} = n k= ( ) n k D (n k) x u(x)d (k) v(x) Een oneigenlijke integraal van de -ste soort wordt gedefinieerd als: a f(t)dt = lim x x a f(t)dt x 2

23 Eerste majorantencriterium: Is a f(t)dt divergent, dat is a Als voor t a geldt dat f(t) g(t) en convergent, dan is g(t)dt ook divergent. a f(t)dt ook convergent. a g(t)dt is f(t) Als vanaf t = a geldt dat f(t) > en g(t) > en is lim t g(t) >, dan zijn f(t)dt en a g(t)dt beide convergent of beide divergent. a Stel: g(t) = t p a dt t p = f(t) lim t g(t) = lim t f(t)tp > bestaat a p. Tweede majorantencriterium: { [x p a p ]/[ p] p > p f(t)dt is convergent voor p > en divergent voor Als g(t) en vanaf t = a geldt dat g(t) f(t) g(t), dan is f(t)dt convergent als g(t)dt convergent is. Als de functie f(t) singulier is in t = b dan wordt de oneigenlijke integraal van de 2-de soort gedefinieerd als: b a x f(t)dt = lim f(t)dt x b a De elliptische integraal van de -ste soort is van de vorm a ϕ a dϕ k 2 sin 2 < k < ϕ De integrand is te schrijven als een convergente machtreeks die term voor term geïntegreerd kan worden: ϕ dϕ = ϕ + k 2 sin 2 2 k2 ϕ ϕ sin 2 ϕdϕ k4 sin 4 ϕdϕ + Uit 2 π sin 2p ϕdϕ = 3 5 (2p ) p 2π volgt dan de zgn. complete integraal: 2 π dϕ k 2 sin 2 ϕ = 2 π { + ( 2 )2 k 2 + ( ) 3 2 k ( ) } k < k < De elliptische integraal van de 2-de soort is van de vorm ϕ k 2 sin 2 ϕdϕ < k < 2

24 De integrand is te schrijven als een convergente machtreeks die term voor term geïntegreerd ϕ ϕ kan worden: k 2 sin 2 ϕdϕ = ϕ 2 k2 sin 2 ϕdϕ 3 ϕ 2 4 k4 sin 4 ϕdϕ 3 Voor ϕ = 2π volgt hieruit voor de complete integraal: 2 π k 2 sin 2 ϕdϕ = 2 π { ( 2 )2 k 2 ( ) 3 2 k 4 ( ) k 6 } < k < Een aftelbare verzameling is een verz. die gelijkmachtig is met de verz. IN, d.w.z. een verz. waarvan de elmenten één-eenduidig corresponderen met IN. Een rij is een functie die gedefinieerd is op een verz. van gehele getallen. Eerste limietstelling van Cauchy: Als voor de rij {u n } de lim (u n+ u n ) bestaat, dan n u n bestaat ook de lim en geldt: n n u n lim n n = lim (u n+ u n ) n Tweede limietstelling van Cauchy: Als u n > is en voor de rij {u n } bestaat de u n+ lim, dan bestaat ook de lim n un en geldt: n u n n lim n n u n+ un = lim n u n De rij met complexe termen {u n } heeft alleen dan een limiet als zowel de rij der reële delen {u n } als die der imaginaire delen {v n } een limiet heeft. De n-de partiële som S n van een rij {u n } wordt gedefinieerd als de som van de eerste n n termen: k= u k De rij van de partiële sommen {S n } heet de bij {u n } behorende reeks. Een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie van een reeks is dat de algemene term u n tot nul nadert: lim u n = n De meetkundige reeks wordt gedefinieerd als: xn x = + x + x2 + + x n + x + x x n = x xn x ; x < n IN + x lim n n x = lim ( + x + n x2 + + x n ) = x x < De Harmonische reeks HR is een divergente reeks van de vorm: HR = 22 n= n

25 De hyperharmonische reeks HHR is een reeks van de vorm: HHR = De HHR is convergent voor p > en divergent voor p. Als u n een reeks met pos. en neg. termen is, dan vormt u n de reeks der absolute waarden. Als u n convergent (divergent) is, dan heet u n absoluut convergent resp. absoluut divergent. Een absoluut convergente reeks is convergent; een absoluut divergente reeks kan convergent of divergent zijn. Een alternerende reeks is een reeks met afwisselend pos. en neg. termen. Kenmerk van Leibniz: n= n p Een alternerende reeks waarvan de termen in absolute waarde monotoon tot nul naderen is convergent. Een absoluut convergente reeks met complexe termen is convergent. Als s = u + u + u 2 + en s 2 = v + v + v absoluut convergente reeksen zijn, dan is de produktreeks gelijk aan s s 2 = w + w + w met w = u v w = u v + u v w 2 = u v 2 + u v + u 2 v... w n = u v n + u v n + u 2 v n u n v + u n v Een machtreeks is een reeks van de vorm n= van O(, )langs de X-as herleid worden tot de vorm Als n= c n (x x ) n ; deze kan d.m.v. een transformatie n= c n x n. c n x n convergeert voor x = x, dan is deze absoluut convergent voor elke x waarvoor geldt dat x < x. Als n= x > x. c n x n divergeert voor x = x, dan is deze divergent voor elke x waarvoor geldt dat Een machtreeks die convergent is voor x = a is dus convergent op < a, a]; dit heet het convergentie-interval dat als uiterste kan bestaan uit het punt O of uit <, >. Voor tussenliggende intervallen heeft de verz. {a} een kleinste bovengrens, de zgn. convergentiestraal ρ. De machtreeks is dus convergent op < ρ, ρ > en divergent buiten [ ρ, ρ]. Delen door een oneindige reeks kan alleen als de reeks een machtreeks is, daar de deling dan geschreven kan worden als een binomiaalreeks. ( ) cos x = x2 2! + x4 4! = + x2 2! + x4 4! Daar het rechterlid voor elke eindige waarde van x convergeert en voor x < 2 π; 2 π > geldt dat cos x < ; >, is x2 2! + x4 4! < voor x < 2 π; 2 π > 23

26 cos x = { + A(x) } = A(x) + {A(x)} 2 {A(x)} 3 + cos x = + ( x 2 ) 2! x4 4! + + ( x2 2! + x4 4! ) 2 ( ( A = ) x2 2! + x4 4! ) 3 x2 2! + x4 4! + cos x = + x2 2! x4 4! + x6 6! + x4 2!2! 2x6 2!4! + + x6 2!2!2! + cos x = + x x x { ( )} sin x = x x3 3! + x5 5! = x + x2 3! + x4 5! Daar het rechterlid voor elke eindige waarde van x convergeert en voor x < ; π > geldt dat sin x < ; >, is x2 3! + x4 5! < voor x < ; π > sin x = ( ) ( ) x 2 2 ( ) 3 x + 3! x4 5! + + x2 3! + x4 5! x2 3! + x4 5! + sin x = { } + x2 x 3! x4 5! + x6 7! + x4 3!3! 2x6 3!5! + + x6 3!3!3! + sin x = x + x 6 + 7x x Het oneindig produkt u i is convergent als i= eindig is, ofwel als lim n u n =. lim u u u 2... u n bestaat en niet nul en n Het oneindig produkt ( ± α i ) is convergent als α i convergeert. i= Volgens de Stelling van de Moivre geldt: (cos α + i sin α) p = cos pα + i sin pα Tevens geldt: (cos α + i sin α) p = cos p α + ip cos p α sin α p(p cos p 2 α sin 2 α + 2! i p sin p α Vergelijking van de beide reële - en imaginaire delen geeft: cos pα = cos p α p(p cos p α sin 2 α + 2! sin pα = p cos p p(p )(p 2) α sin α cos p 3 α sin 3 α + 3! De 2-de vergelijking is te schrijven als: { } sin pα = sin α p cos p p(p )(p 2) α cos p 3 α sin 2 α + 3! i= 24

27 Stel: p = 2q + q IN i p C De laatste term binnen de accolades is sin p α = sin 2q α. Daar alle machten van cos α even exponenten bezitten, kunnen ze geschreven worden als machten van sin 2 α, zodat de uitdrukking tussen de accoladess een gehele rationale functie van sin 2 α van de q-de graad is waarvan de wortels, als ze nul gesteld wordt, te schrijven zijn als: β 2, β2 2,..., β2 q sin pα = sin α{(β 2 sin2 α)(β 2 2 sin2 α)... (β 2 q sin 2 α)} pα = nπ n IN + sin pα = α = π p, 2π p,, qπ p β 2 sin2 α = β 2 = sin2 (π/p) β2 2 sin2 α = β2 2 = sin2 (2π/p)... βq 2 sin 2 α = βq 2 = sin 2 (qπ/p) sin pα = sin α {( sin 2 π p sin2 α )... ( sin 2 qπ )} p sin2 α {( ) ( )} sin pα = sin α sin2 α sin 2... sin2 α (π/p) sin 2 (qπ/p) Stel: pα = x α = x p sin α = sin x p = x p 3! sin 2 α sin 2 (π/p) = sin2 (x/p) sin 2 (π/p) (x/p)2 (π/p) 2 = x2 sin x = sin x p {( x2 π 2 ) ( x2 (2π) 2 π 2 ) ( ( x p ) 3 + p sin x p x p sin 2 α sin 2 (2π/p) = sin2 (x/p) x2 (3π) 2 )... sin 2 (2π/p) (x/p)2 (2π/p) 2 = x2 2π 2... } p sin x p x ( ) sin x = x x2 k 2 π 2 k= Substitutie van x = 2 π geeft: ( = 2 π ) ( 2 2 ) ( ) Produkt van Wallis: = 2 π π = Analoog geldt voor cos pα (met p = 2q q IN + ): cos pα = (β 2 sin2 α)(β 2 2 sin2 α)... (β 2 q sin 2 α) pα = (n + 2 π) n IN cos pα = α = 2 π p, 2 π p,, (q 2 )π p cos pα = ( sin 2 2 π p sin2 α ) ( sin 2 2 π p sin2 α ) ( sin 2 (q 2 )π p sin 2 α ) 25

28 ( ) ( cos pα = sin2 α sin 2 ) α sin 2 ( 2 π/p) sin 2 [(q 2 )π/p] Substitutie van x = pα geeft: ( ) ( ) ( ) cos x = x2 ( x2 2 π)2 ( x2 2 π)2 (2 2 π)2 [ x 2 ] cos x = {(2k ) k= 2 π}2 x x dx = dx + x 2 2 x x 2 dx + 3 x x 4 dx x x 6 dx arcsin x = x + 2 x x x7 7 + x < Uit arcsin x + arccos x = 2 π volgt: arccos x = 2 π x 2 x x x7 7 x < x x dx + x 2 = x dx x x 2 dx + x x 4 dx x 6 dx + arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + x < Substitutie van x = in de reeks van arctan x resp. x = 2 π 4 = π 2 = π 6 = De functiewaarde in het punt x = h van y = f(x) is in eerste benadering te schrijven als: f(h) f() + h tan α = f() + hf () Een tweede benadering volgt uit de identiteit: f(h) = f() + t f (t)dt = f() h f (t)d(h t) f(h) = f() [f (t)(h t)] h + h f (t)(h t)dt f(h) = f() + hf () + h f (t)(h t)dt in de reeks van arcsin x geeft: Als f(x) voldoende vaak differentieerbaar is, dan volgt door herhaalde partiële integratie de 26

29 Formule van MacLaurin: f(h) = f() + hf () + h2 2! f () + + hn n! f (n) () + R n (h) Hierin is R n (h) = (n!) h (h t) n f (n+) (t)dt de restterm. Stel: F (t) = (n!) (h t) n f (n+) (t) R n (t) = h F (t)dt = F (h) F () = hf (θh) < θ < R n (h) = (n!) h(h θh) n f (n+) (θh) Restterm van Cauchy: R n (h) = ( θ) n h(n+) f (n+) (θh) n! < θ < Stel: h > en f (n+) continu in [, h] met een min. m en max. M Daar (h t) n op [, h] volgt dan dat (n!) h m(h t) n dt R n (h) (n!) h M(h t) n dt mh n+ (n + )! R n(h) Mhn+ (n + )! Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat f (n+) elke waarde tussen m en M minstens keer aanneemt op [, h] is een getal ξ = θh zo, dat geldt: R n (h) = Dit is de Restterm van Lagrange. Stel: f(a + h) = ϕ(h) hn+ (n + )! f (n+) (θh) < θ < ϕ()=f(a) ϕ () = f (a)... ϕ (n) () = f (n) (a) ϕ (n) (t) = f (n) (a + t) ϕ(h)=ϕ() + hϕ () + h2 2! ϕ () + + hn n! ϕ(n) () + R n (h) Formule van Taylor: f(a + h) = f(a) + hf (a) + h2 2! f (a) + + hn n! f (n) (a) + R n (h) Substitutie van a = en h = x geeft: f(x) = f() + hf () + h2 2! f () + + hn n! f (n) () + R n (h) Voor de afgeleide van een machtreeks f(x) = n= 27 c n x n x < ρ geldt:

30 f (x) = nc n x n x < ρ n= Daar f (x) weer een machtreeks is, is deze weer differentieerbaar Een machtreeks is op < ρ, ρ > onbeperkt vaak differentieerbaar. De integraal van f(x) is c n x n+ gelijk aan: F (x) = n + x < ρ n= Een machtreeks kan dus term voor term gedifferentieerd en geïntegreerd worden. Uit D x [e x ] x= = D 2 x[e x ] x= =... = D n x[e x ] x= = volgt: Substitutie van x door x ln a geeft: e x = + x + x2 2! + x3 3! + a x = + x ln a + x2 2! ln2 a + x3 3! ln3 a + Uit D n x[sin x] x= = [sin(x + 2 nπ)] x= en D n x[cos x] x= = [cos(x + 2 nπ)] x= volgt: sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + Daar ln x en zijn afgeleiden voor x = oneindig groot worden, is ln x niet in een Taylorreeks te ontwikkelen. Voor x < is dit wel mogelijk voor ln( + x). Uit D n x[ln( + x)] x= = [( ) n (n )!( + x) n ] x= = ( ) n (n )! volgt: ln( + x) = x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + x < Substitutie van x = geeft de Reeks van Broucker: ln 2 = Aftrekking van ln( x) = x 2 x2 3 x3 van ln( + x) = x 2 x2 + 3 x3 + geeft: ln + x x = 2(x + 3 x3 + 5 x5 + ) Stel: z = + x z z = z z + ln z = 2 { z z + + ( z z + ) 5 ( ) z 5 + } z + Stel: + x x = a + z a a > x = ln(a + z) = ln a + 2 z 2a + z { z 2a + z + ( ) z 3 + ( ) z 5 + } 3 2a + z 5 2a + z 28

31 D n x[( + x) m ] x= = [m(m )(m 2)... (m n + )( + x) m n ] x= D n x[( + x) m ] x= = m(m )(m 2)... (m n + ) Binomiaalreeks: ( + x) m = + mx + m(m ) x Voor x = en m = volgt hieruit de Reeks van Euler: 2 = + + m(m )(m 2) x x < De sinus hyperbolicus sinh x resp. cosinus hyperbolicus cosh x wordt gedefinieerd als: sinh x = 2 (ex x x ) cosh x = 2 (ex + x x ) De tangens hyperbolicus wordt gedefinieerd als: tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x Voor de som resp. het verschil van sinh(a ± b) en cosh(a ± b) geldt: sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b sinh(a b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b cosh(a + b) = sinh a cosh b cosh a sinh b cosh(a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b Hieruit volgt voor de som resp. het verschil van tanh(a ± b): tanh a + tanh b tanh(a + b) = + tanh a tanh b tanh a tanh b tanh(a b) = tanh a tanh b 29

32 Uit b = a volgen de verdubbelingsformules: Uit cosh = volgt tevens: sinh 2a = 2 sinh a cosh a cosh 2a = sinh 2 a + cosh 2 a tanh 2a = 2 tanh a + tanh 2 a cosh 2 a sinh 2 a = Substitutie van z = ia a IR in sin z = 2 i (e iz e iz ) en cos z = 2 (eiz + e iz ) geeft: sin ia = 2 (ea e a ) resp. cos ia = 2 (ea + e a ) Hieruit volgt voor tan ia: sin ia = i sinh a cos ia = cosh a tan ia = i tanh a Uit de definitie van de hyperbolische functies volgt voor hun afgeleide: D x sinh x = cosh x D x cosh x = sinh x D x tanh x = cosh 2 x Hieruit volgt voor de onbepaalde integraal: sinh xdx = cosh x + C cosh x = sinh x + C dx cosh 2 x = tanh x + C Substitutie van d cosh x = sinh xdx en d sinh x = cosh xdx in tanh xdx resp. cotanh xdx geeft: tanh xdx = ln cosh x + C cotanh xdx = ln sinh x + C dx dx/ cosh 2 sinh x cosh x = x tanh x dx sinh x = 2d 2 x = 2 sinh 2 x cosh 2 x d tanh x tanh x dx = ln tanh x + C sinh x cosh x dx sinh x = ln tanh 2 x + C 3

33 dx cosh x = 2 dx e x + e x = 2 d x dx e 2x + = 2 de x e 2x + dx cosh x = 2 arctan ex + C y = 2 (ex e x ) e 2x 2ye x = e x = y + y 2 + x = ln(y + y 2 + ) Aftrekking resp. optelling van e x = + x + x2 2! + en e x = x + x2 2! geeft: sinh x = x + x3 3! + x5 5! + cosh x = + x2 2! + x4 4! + De inverse van sinh x wordt op IR gedefinieerd als de area sinus hyperbolicus x: arsinh x = ln(x + x 2 + ) y = 2 (ex + e x ) e 2x 2ye x + = e x = y + y 2 x = ln(y + y 2 ) De inverse van cosh x wordt op [, > gedefinieerd als de area cosinus hyperbolicus x: arcosh x = ln(x + x 2 ) y = ex e x e x + e x = e2x e 2x + ye2x + y = e 2x e 2x = + y y x = 2 ln + y y De inverse van tanh x wordt op <, > gedefinieerd als de area tangens hyperbolicus x: artanh x = 2 ln + x x 3

34 Uit de definitie van de inverse hyperbolische functies volgt voor hun afgeleide: D x arsinh x = x 2 + D x arcosh x = x 2 D x artanh x = x 2 Een functie f(x, y) van 2 variabelen is een voorschrift waarbij aan elk element van (een deelverz. van) IR IR op éénduidige wijze een reëel getal wordt toegevoegd: f : (x, y) z = f(x, y) Een functie f(x, y) gedefinieerd in een gereduceerde omgeving van (x, y ) heeft voor (x, y) (x, y ) de limiet L als bij elke ε > een δ bestaat zo, dat f(x, y) L < ε als < (x x ) 2 + (y y ) 2 < δ 2, waarbij L onafhankelijk moet zijn van de wijze waarop (x, y) naar (x, y ) nadert. Een functie f(x, y) gedefinieerd in een omgeving van (x, y ) is continu in (x, y ) als geldt: lim (x,y) (x,y ) f(x, y) = f(x, y ) De partiële afgeleide f x (x, y) resp. f y (x, y) van een functie f(x, y) wordt gedefinieerd als: f x (x, y) = f x = lim f(x + x, y) f(x, y) x x f y (x, y) = f y = lim y Voor de 2-de partiële afgeleiden geldt: 2 f y x = 2 f x y f(x, y + y) f(x, y) y Een functie f(x, y) is (totaal) differentieerbaar in (x, y ) als er functies ϕ en ψ bestaat continu in (x, y ) zo, dat geldt: f(x, y) f(x, y ) = (x x )ϕ(x, y) + (y y )ψ(x, y) f(x, y ) f(x, y ) Stel: y = y lim = ϕ(x, y ) = f x x x x x f(x, y) f(x, y ) Stel: x = x lim = ψ(x, y ) = f y y y y y De totale differentiaal df van f(x, y) wordt gedefinieerd als: Hierin is df = f(x + h, y + k) f(x, y). df = h f x + k f y De richtingsafgeleide f/ α in de richting α van f(x, y) wordt gedefinieerd als: f α = lim f(x + ρ cos α, y + + ρ sin α) f(x, y ) ρ ρ 32

35 Hierin is h = ρ cos α, k = ρ sin α en ρ = h 2 + k 2. Als f(x, y) totaal differentieerbaar is, dan bestaan er functies ϕ en ψ continu in (x, y ) zo, dat geldt: f(x + ρ cos α, y + ρ sin α) f(x, y ) =ρ cos αϕ(x + ρ cos α, y + ρ sin α)+ ρ sin αψ(x + ρ cos α, y + ρ sin α) f(x + ρ cos α, y + ρ sin α) f(x, y ) ϕ(x + ρ cos α, y + ρ sin α) lim =ρ cos α lim + ρ ρ ρ ρ ψ(x + ρ cos α, y + ρ sin α) ρ sin α lim ρ ρ f α = f f cos α + x y sin α Een functie f(x,..., x m ) is homogeen van de n-de graad als geldt: f(λx,..., λx m ) = λ n f(x,..., x m ) Voor λ = volgt hieruit de Stelling van Euler: m i= f (λx ) x + + f (λx m ) x m = nλ n f(x,..., x m ) x i f x i = nλ n f(x,..., x m ) Middelwaardestelling voor een functie van 2 veranderlijken: Als f(x, y) gedefinieerd is op een deelgebied G van IR IR met A(x, y ) en B(x + h, y + k) punten in G en de rechte lijn tussen A en B geheel in G ligt, dan is er minstens getal θ <, > zo, dat geldt: f(x + h, y + k) = f(x, y ) + hf x (x + θh, y + θk) + kf y (x + θh, y + θk) Stel: F (t) = f(x + ht, y + kt) ( F (t) = hf x + kf y h x + k y ) f(x + ht, y + kt) ( F (t) = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy h x + k ) 2 f(x + ht, y + kt) y... ( F (n) (t) = h x + k ) n f(x + ht, y + kt) y Substitutie in de formule van MacLaurin geeft de formule van Taylor voor een functie van 2 veranderlijken z = f(x, y): ( f(x + h, y + k) =f(x, y ) + h Hierin is R n (h, k) = n! (n )! ( h ( h x + k y x + k ) f(x, y ) + ( h y 2! x + k y ) n f(x, y ) + R n (h, k) x + k y ) n f(x + θh, y + θk) < θ < ) 2 f(x, y )

36 Als F (t) = F {f(t), g(t)} een samengestelde functie is van x = f(t) en y = g(t), dan geldt voor de afgeleide functie van F (t): df dt = F x df dt + F y dg dt Substitutie van z = F (x, y) geeft: dz dt = z x dx dt + z y dy dt Als f (u, v) = f{ϕ(u, v), ψ(u, v)} een samengestelde functie is van x = ϕ(u, v) en y = ψ(u, v), dan geldt voor de afgeleide functie van f (u, v): f u = f x ϕ u + f y ψ u f v = f x ϕ v + f y ψ v Substitutie van z = f(x, y) geeft: z u = z x x u + z y y u z v = z x x v + z y y v Als u en v uit x = ϕ(u, v) en y = ψ(u, v) zijn op te lossen, dan geldt: u = g(x, y) en v = h(x, y) z = f {g(x, y), h(x, y)} = f(x, y) f x = f u g x + f v h x f y = f u g y + f v h y Differentiatie van x = ϕ(u, v) en y = ψ(u, v) naar x resp. y geeft: = ϕ u g x + ϕ v h = ϕ x u g y + ϕ v h y = ψ u g x + ψ v h = ψ x u g y + ψ v h y De functionaaldeterminant ofwel Jacobiaan J wordt gedefinieerd als: J = (ϕ, ψ) (u, v) = ϕ u ψ v ϕ v ψ u Als J, dan volgt hieruit voor g/ z, h/ x, g/ y en h/ y: g x = ψ/ v J h x = ψ/ u J g y = ϕ/ v J h y = ϕ/ u J 34

37 b Stel: I(α) = a I(α + k) I(α) k f(x, α)dx b a I(α + k) I(α) k b f α dx + 2 f 2 α 2 dx a Als a en b ook van α afhangen, dan geldt: [ ] [ ] I I Substitutie van = f(b) en x x I(α) = d 2 I dα 2 = I(a, b) = x=b e αx dx = α [e αx ] x 2 e αx dx = 2 α π I(a, b) = ab di da = 2 π = b a b di dα = f α dx a x=a f(x, α + k) f(x, α) dx k di dα = I α + I b b α + I α a α = f(a) geeft: b di dα = f db da dx + f(b) f(a) α dα dα a dx a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x = a 2 [ { }] b arctan a tan x 2 π = α di dα = xe αx dx = α 2 x n e αx dx = n! α n+ 2 π 2 π 2a cos 2 xdx (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) 2 = π 2a 2 b 2 π n IN + d tan x + (b 2 /a 2 ) tan 2 x = ab dx a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x = en di db = 2 π dx (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) 2 = π 4ab π 2ab 2 π d(b/a) tan x + (b 2 /a 2 ) tan 2 x 2b sin 2 xdx (a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) 2 = π 2ab 2 ( a 2 + b 2 ) 35

38 Een impliciete functie van veranderlijke is van de vorm: F (x, y) = y = f(x) F {x, f(x)} = F x + F y df dx = df dx = F/ x F/ y ( F x x + F y df ) + ( F dx y x + F y df ) df dx 2 F x F x y df dx + F y d2 f dx F y x df dx + 2 F y 2 2 F x F x y df dx + 2 F y 2 dx = ( ) df 2 = dx ( ) df 2 + F dx y d2 f dx 2 = Een impliciete functie van 2 veranderlijken is van de vorm: F (x, y, z) = z = f(x, y) F {x, y, f(x, y)} = F x + F z f x = F y + F z f y = Stel: { F (x, y, z) = G(x, y, z) = f x = F/ x F/ z f y = F/ y F/ z y = f(x) z = g(x) { F {x, f(x), g(x)} = G{x, f(x), g(x)} = F x + F y df dx + F z dg dx = G x + G y df dx + G z dg dx = Als J = F y G z F z G df, dan volgt hieruit voor y dx en dg dx : df (F, G)/ (z, x) = dx J dg (F, G)/ (x, y) = dx J Een noodzakelijke voorwaarde opdat ( de ) impliciet door ( F ) (x, y) = bepaalde functie y = f(x) df F een extreem bezit in x volgt uit: = = dx x x (x,y ) f (x ) < f(x ) is een relatief max. f (x ) > f(x ) is een relatief min. f (x ) volgt uit substitutie van f (x ) in de uitdrukking voor x f (x ) = F xx(x, y ) F y (x, y ) ( F x + F y df ) = : dx Een functie z = f(x, y) heeft een extreem in (x, y ) als geldt: f x (x, y ) = f y (x, y ) = Dit zijn noodzakelijke voorwaarden; dergelijke punten heten stationaire punten. 36

39 Uit f(x + h, y + k) f(x, y ) = 2 {h2 f xx (x, y ) + 2hkf xy (x, y ) + k 2 f yy (x, y )} + εr 2 met r = h 2 + k 2 r ε volgt dan dat het gedrag van f(x + h, y + k) f(x, y ) vnl. bepaald wordt door de kwadratische vorm tussen de accolades. Er geldt nu: f(x, y ) is een extreem als f xx (x, y )f yy (x, y ) f 2 xy(x, y ) >, en wel een max. als f xx (x, y ) < (ofwel f yy (x, y ) < ) min. als f xx (x, y ) > (ofwel f yy (x, y ) > ) Stel: f : (x, y) f(x, y) met nevenvoorwaarde: ϕ(x, y) = ϕ(x, y) = y = y (x) ϕ{x, y (x)} = f{x, y (x)} = f (x) df dx = f x + f y df dx ϕ x + ϕ y dy dx = dy dx = ϕ/ x ϕ/ y df dx = ( f/ x)( ϕ/ y) ( f/ y)( ϕ/ x) ϕ/ y Noodzakelijke voorwaarde opdat df dx = is: f/ x ϕ/ x f/ y ϕ/ y = Stel: F (x, y, z) = z = f(x, y) noodzakelijke voorwaarden voor een extreem zijn: f/ x = f/ y = F x + F z f x = F y + F z f y = 2 F x F x z f x + 2 F z 2 F x = F y = ( ) f 2 + F x z 2 f x 2 = 2 F x y + 2 F x z f y + 2 F y z f x + 2 F z 2 f x f y + F z 2 f x y = 2 F y F y z f y + 2 F z 2 ( ) f 2 + F y z 2 f y 2 = Substitutie van f/ x = en f/ y = geeft: 2 F x 2 + F z 2 f x 2 = 2 F x y + F z 2 f x y = 2 F y 2 + F z 2 f y 2 = 2 f x 2 = F/ x 2 2 F/ z 2 f x y = F/ x y 2 F/ z 2 f y 2 = F/ y 2 2 F/ z 37

40 Stationaire punten zijn ook m.b.v. de Lagrange Multiplicatorenmethode te bepalen. Stel: f : (x, y) f(x, y) ϕ(x, y) = y = y (x) f (x) = f{x, y (x)} De functie w (x) = w{x, y (x)} = f{x, y (x)} + λϕ{x, y (x)} met λ IR een zgn. multiplicator, heeft dezelfde extremen als f (x) dw dx = f x + f ( y dy ϕ dx + λ x + ϕ y dy dx ) = f ( ) f dy x + λ ϕ x + y + λ ϕ y dx = Als λ zo bepaald wordt dat de term tussen haken nul is, dan zijn de -ste 2 termen ook nul. Samen met de nevenvoorwaarde geeft dat 3 vergelijkingen met 3 onbekenden, waaruit x en y zijn op te lossen: f x + λ ϕ x = f y + λ ϕ = ϕ(x, y) = y Een lijnintegraal is een integraal waarvan de integrand een scalaire functie gedefinieerd op een kromme in R 2 of R 3 is. Een kromme K : r(t) = (X(t), Y (t), Z(t)) is georiënteerd als op K een pos. richting gedefinieerd is. Stel: f : (x, y, z) f(x, y, z) is een continue functie van R 3 R, gedefinieerd op K. Voor de lijnintegraal van f langs K naar x geldt dan: K f(x, y, z)dx = t=β t=α f{x(t), Y (t), Z(t)}Ẋ(t)dt Analog uitdrukkingen gelden voor de lijnintegraal naar y en z; voor de lijnintegraal naar de booglengte σ geldt, met σ = s(t): K f(x, y, z)dσ = t=β t=α f{x(t), Y (t), Z(t)}ṡ(t)dt Eigenschappen van lijnintegralen: cf(x, y, z)dx = c f(x, y, z)dx c IR K K f(x, y, z)dx + g(x, y, z)dx = {f(x, y, z) + g(x, y, z)}dx K K K f(x, y, z)dx = f(x, y, z)dx K K f(x, y, z)dx = f(x, y, z)dx + f(x, y, z)dx K = K + K 2 K K K 2 Als z = f(x, y) een begrensde, niet-negatieve functie is gedefinieerd op een gesloten rechthoek R = {(x, y) a x b c y d}, dan wordt de inhoud van het deel van de ruimte bepaald door {(x, y, z) a x b c y d z f(x, y)} gedefinieerd door de Riemann dubbelintegraal: f(x, y)dxdy = f(x, y)dr R 38 R

41 Hierin is R het integratiegebied en dxdy = dr het oppervlakte-element. Eigenschappen van dubbelintegralen: {f(x, y) ± g(x, y)}dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy R R R λf(x, y)dxdy = λ f(x, y)dxdy λ IR f(x, y)dxdy = R f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy R = R + R 2 R R R 2 m en M min. resp. max van f op R m Opp R f(x, y)dxdy M Opp R Uit de laatste eigenschap volgt dat f(x, y)dxdy = µ m µ M Opp R R R f(x, y)dxdy = µ Opp R Daar f continu is op R neemt felke waarde aan tussen m en M er is een punt (ξ, η) R zo, dat geldt: f(ξ, η) = f(x, y)dxdy Opp R Middelwaardestelling van de integraalrekening: R R f(x, y)dxdy = f(ξ, η) Opp R (ξ, η) R Een dubbelintegraal is te herleiden tot een zgn. herhaalde integraal, waarbij de volgorde van de integraties verwisseld mag worden: R R R f(x, y)dxdy = d c b dy a f(x, y)dx = b a d dx c f(x, y)dy Een gladde boog is een puntverz. met vectorvergelijking r(t) = (X(t), Y (t)) t [a, b]. Een Jordankromme is een gesloten, bij gedeelten gladde kromme die zichzelf niet snijdt. Een kromme heet rectificeerbaar als hij een zekere lengte bezit. Voor een dubbelintegraal die gedefinieerd is op een gebied G = {(x, y) a x b ϕ (x) y ϕ 2 (x)} geldt: G f(x, y)dxdy = b a dx ϕ 2 (x) ϕ (x) f(x, y)dy 39

42 Voor een dubbelintegraal die gedefinieerd is op een gebied G = {(x, y) c y d ψ (y) x ψ 2 (y)} geldt: G f(x, y)dxdy = d c dy ψ 2 (y) ψ (y) f(x, y)dx Voor een dubbelintegraal die gedefinieerd is op een gebied waarbij G omsloten wordt door een Jordankromme, geldt: G f(x, y)dxdy = b a dx ϕ 2 (x) ϕ (x) f(x, y)dy = d c dy ψ 2 (y) ψ (y) f(x, y)dx Een convex gebied is een gebied waarvan elk tweetal punten door een lijnstuk kan worden verbonden dat geheel binnen dat gebied ligt. Een enkelvoudig samenhangend gebied R is een gebied met de eigenschap dat voor elke Jordankromme J die geheel in R ligt, ook het binnengebied van J geheel in R ligt. Volgens de Stelling van Green geldt: ( Q R x P y ) dxdy = Q x = P y J J R : P (x, y)dx + Q(x, y)dy = J P (x, y)dx + Q(x, y)dy Uit Q/ x = P/ y volgt tevens dat B P (x, y)dx + Q(x, y)dy dan onafhankelijk is van de weg van A naar B. A De uitdrukking P (x, y)dx + Q(x, y)dy heet een differentiaalvorm. Een exacte differentiaal is een differentiaalvorm die de totale differentiaal is van een functie F P (x, y)dx + Q(x, y)dy is exact als er een functie F bestaat zo, dat P (x, y) = F x (x, y) en Q(x, y) = F y (x, y), ofwel als P/ y = Q/ x. De functie F is dan te schrijven als: F (x, y) = (x,y) (x,y ) P (ξ, η)dξ + Q(ξ, η)dη Daar (x, y ) een willekeurig pu t in R is, is F (x, y) bepaald op een constante na. De integratieweg van (x, y ) naar (x, y) is een willekeurige (bij gedeelten gladde) kromme. Als de punten (x, y ), (x, y ), (x, y) en (x, y) in een convex gebied liggen, dan is de lijnintegraal te herleiden tot een gewone integraal: F (x, y) = x x P (t, y )dt + y y Q(x, s)ds = y y Q(x, s)ds + x x P (t, y)dt 4

43 { u = U(x, y) Stel: beeldt elk punt (x, y) van een gebied G in het X, Y -vlak één-eenduidig v = V (x, y) af op een punt (u, v) van een gebied H in het U, V -vlak. { x = X(u, v) Voor de inverse transformatie geldt dan: y = Y (u, v) De coördinaten (u, v ) van een punt in het U, V -vlak heten kromlijnige coördinaten. { { { x = X(u, v) u = U(x, y) u = U{X(u, v), Y (u, v)} Substitutie van in geeft: y = Y (u, v) v = V (x, y) v = V {X(u, v), Y (u, v)} = U x X u + U y Y u = V x X u + V y Y u = U x X v + U y Y v = V x X v + V y Y v X u = D V y Y u = D V x X v = D U y Y Substitutie in (X, Y ) (u, v) geeft: (X, Y ) (u, v) = (U, V ) (x, y) Stel: v = D U x, met D = (U, V ) (x, y) Een gebied G, begrensd door de Jordankromme K : (x, y) = (ϕ (t), ϕ 2 (t)) wordt d.m.v. de transformatie x = X(u, v) en y = Y (u, v) afgebeeld op een gebied H, begrensd door de Jordankromme L Als K eenmaal linksom doorlopen wordt, dan geldt: O = K xdy = t Op K geldt: { x = ϕ (t) = X(u, v) y = ϕ 2 (t) = Y (u, v) O = t t t ϕ (t)ϕ 2 (t)dt { Y ϕ (t) u dψ dt + Y v dψ } 2 dt dt Als een punt K linksom doorloopt, dan doorloopt het beeldpunt L linksom als D = (X, Y )/ (u, v) > en rechtsom als D < O = O X(u, v) Y du + X(u, v) Y D u v dv L Toepassing van de Stel. van Green met P (u, v) = X(u, v) Y u Q u P v = D O = D Ddudv = D dudv D H H f(x, y)dxdy = f{x(u, v), Y (u, v)} (X, Y ) (u, v) dudv G H Bij overgang op cylindercoördinaten geldt: en Q(u, v) = X(u, v) Y v geeft: 4