USolv-IT formularium c

Transcriptie

1 USolv-IT formularium c 4 april 01 Inhoudsopgave 1 COMBINATORIEK Telproblemen Variaties Herhalingsvariaties Permutaties Herhalingspermutaties Combinaties Herhalingscombinaties Aantal deelverzamelingen van een verzameling Het duivenhokprincipe Het binomium van Newton Kansrekening Formule van Laplace Belangrijke kanswetten ANALYSE 8.1 Soorten relaties Reële functies Invloed van parameters op de grafiek van een functie Eerstegraadsfuncties Tweedegraadsfuncties Veeltermfuncties Gebroken rationale functies Goniometrische functies Exponentiële functies Logaritmische functies Grafieken van enkele bijzondere functies GETALLEN Rijen Machten met gehele exponenten n-de machtswortels Machten met reële exponenten

2 INHOUDSOPGAVE INHOUDSOPGAVE 3.5 Absolute waarde Formules (merkwaardige producten, quotiënten...) Deelbaarheid in ZZ Complexe getallen Statistiek ALGEBRA Vergelijkingen Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen) Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen) Bikwadratische vergelijkingen Vergelijkingen van de n-de graad Irrationale vergelijkingen GONIOMETRIE Goniometrische getallen van een hoek In een rechthoekige driehoek De goniometrische cirkel Formules Oplossen van driehoeken Goniometrische functies VLAKKE MEETKUNDE Stelling van Thales Driehoeken Oppervlakte (O) Eigenschappen Merkwaardige lijnen De middenparallel Congruente driehoeken Gelijkvormige driehoeken Driehoeksongelijkheid Vierhoeken Parallellogram Trapezium Veelhoeken Cirkels Omtrek: Oppervlakte: Raaklijn-normaal Boog-koorde Middelpuntshoek-omtrekshoek Binnen- en buitenomtrekshoek Sector-segment Macht van een punt t.o.v. de cirkel Koordenvierhoek

3 1 COMBINATORIEK 6.6 Analytische meetkunde Afstand tussen twee punten Midden van een lijnstuk Afstand van een punt tot een rechte Loodrechte stand - evenwijdigheid De vergelijking van de cirkel Vectoren Definitie: Coördinaat van een vector (componentenkoppel) Optellen van vectoren Scalaire vermenigvuldiging Norm van een vector Ongelijkheid van Minkowski Hoek tussen twee vectoren Scalair product van twee vectoren Orthogonaliteit van vectoren: RUIMTEMEETKUNDE Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren Prisma Piramide Cilinder Kegel Bol Vectoren Coördinaten in de ruimte Richtingsvectoren-richtingsgetallen Vergelijkingen van een rechte Vergelijking van een vlak Middelpuntsvergelijking van een bol Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen LOGICA Verklaring van de gebruikte symbolen Logische stellingen Uitspraakvormen met kwantoren COMBINATORIEK 1.1 Telproblemen Variaties Wat? Een variatie van p elementen uit n elementen (p n) is een geordend p- 3

4 1.1 Telproblemen 1 COMBINATORIEK tal van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. Voorbeeld. Enkele variaties van 3 elementen uit{a, b, c, d} zijn abc, abd, acb, acd,... Formule. Het aantal variaties van p elementen uit n elementen (1 p n): 1.1. Herhalingsvariaties V p n = n! (n p)! Wat? Een herhalingsvariatie van p elementen uit n elementen is een geordend p-tal van elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. Eenzelfde element mag meer dan eens voorkomen! Voorbeeld. Enkele herhalingsvariaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn aaa, aab, abc, aba, acc,... Formule. Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n elementen is: V p n = n p Permutaties Wat? Een permutatie van n verschillende elementen is een variatie van n elementen uit n elementen. Voorbeeld. Alle permutaties van 3 elementen uit {a, b, c} zijn abc, acb, bac, bca, cab, cba. Formule. Het aantal permutaties van n elementen is: Herhalingspermutaties P n = n! Wat? Herhalingspermutaties zijn permutaties van n elementen waarbij onder de n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen voorkomen. Voorbeeld. Enkele herhalingspermutaties van a, a, b, c zijn aabc, abca, abac,.... 4

5 1.1 Telproblemen 1 COMBINATORIEK Formule. Stel l i het aantal keer dat elk van de p verschillende elementen a i voorkomt en n het totaal aantal elementen, dan is het aantal herhalingspermutaties van die n elementen: Combinaties n! P n l1,l,...,lp = l 1!l!... l p! Wat? Een combinatie van p elementen uit n elementen (p n) is een deelverzameling van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. De volgorde is niet van belang! Voorbeeld. Alle combinaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} Formule. Het aantal combinaties van p elementen uit n elementen is: Herhalingscombinaties C p n = n! p!(n p)! Wat? Herhalingscombinaties zijn combinaties van p elementen uit n elementen waarbij onder de n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen voorkomen. Voorbeeld. Enkele herhalingscombinaties van 7 elementen uit {a, a, a, b, b, b, c, c, c} zijn {a, a, a, b, b, b, c}, {a, a, b, b, b, c, c},... Formule. Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n elementen is: C p n = C p n+p Aantal deelverzamelingen van een verzameling Het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen is n Het duivenhokprincipe Worden er n voorwerpen geplaatst in r laden, met n > r, dan is er minstens één lade die minstens twee voorwerpen bevat. 5

6 1. Kansrekening 1 COMBINATORIEK Het binomium van Newton In onderstaande formules wordt volgende notatie gebruikt: ( ) n n! = p p!(n p)! Dit noemen we de binomiaalcoëfficiënten. De binomiaalformule: ( ) ( ) ( (a+b) n n = a n n + a n 1 n b+ 0 1 ) ( a n b n n 1 ) ( ab n 1 n + n ) b n Of ook nog: (a + b) n = n ( n i i=0 ) a n i b i 1. Kansrekening 1..1 Formule van Laplace Voor volgende formules is het belangrijk de begrippen uitkomstenverzameling en gebeurtenis te begrijpen. Een uitkomstenverzameling (universum) is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten bij een kansexperiment, bv. bij een dobbelsteen : U = {1,, 3, 4, 5, 6}. Een gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenverzameling, bij het voorbeeld van de dobbelsteen zijn {6}, {1,, 4} mogelijke gebeurtenissen. De formule van Laplace: Stel n het aantal elementen van het universum U en p het aantal elementen van de gebeurtenis A, dan is de kans voor de gebeurtenis (P (A)): P (A) = p n Zo is bv. de kans om met een dobbelsteen 3 of 4 te gooien : P ({3, 4}) = 6 = Belangrijke kanswetten Zekere gebeurtenis: P (U) = 1 Onmogelijke gebeurtenis: P ( ) = 0 6

7 1. Kansrekening 1 COMBINATORIEK Zij Ā (=U\A) het complement van de gebeurtenis A, dan geldt: P (A) + P (Ā) = 1 Zij A en B twee gebeurtenissen, dan geldt: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Gevolg: als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A B = ), dan geldt: Samengestelde experimenten: P (A B) = P (A) + P (B) (i) Afhankelijke deelexperimenten / voorwaardelijke kans: Voorbeelden: Je trekt, zonder teruglegging van de kaarten, twee kaarten uit een spel. Hoe groot is de kans dat je als eerste kaart een harten trekt en als tweede kaart een klaveren? Formule: Stel p(a B) de voorwaardelijke kans van A als B reeds gerealiseerd is, dan geldt: Uitbreiding: P (A B) = P (B) P (A B) P (A B C) = P (A) P (B A) P (C A B) Het voorbeeld wordt dus: P = (ii) Onafhankelijke deelexperimenten: Voorbeelden: Je trekt, met teruglegging van de kaarten, twee kaarten uit een spel. Wat is de kans dat de eerste kaart een harten is en de tweede een klaveren? Formule: Zij A en B onafhankelijke gebeurtenissen, dan geldt: P (A B) = P (A) P (B) Het voorbeeld wordt dus: P =

8 ANALYSE ANALYSE.1 Soorten relaties 1. Relatie: Een relatie van A naar B is een verzameling van koppels waarvan het eerste element tot A behoort en het tweede tot B.. Functie: Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens één beeld heeft. 3. Afbeelding: Een afbeelding van A in B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A juist één beeld heeft. 4. Injectie: Een injectie van A in B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A juist één beeld heeft en elk element van B het beeld is van hoogstens één element van A. 5. Surjectie: Een surjectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van minstens één element van A. 6. Bijectie: Een bijectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van juist één element van A.. Reële functies..1 Invloed van parameters op de grafiek van een functie Zij een functie f(x) gegeven en beschouwen we de functies af(x α)+β waarbij a, α en β parameters zijn. Dan hebben de verschillende parameters volgende invloed op de grafiek van f(x): α : verschuiving in de richting van de X-as over α éénheden: * naar rechts: als α positief is * naar links: als α negatief is β : verschuiving in de richting van de Y -as over β éénheden: * naar boven: als β positief is * naar onder: als β negatief is a : uitrekking van de grafiek met factor a 8

9 . Reële functies ANALYSE.. Eerstegraadsfuncties Vorm. f : x ax + b met a 0 Grafiek. Een rechte waarbij a de richtingscoëfficiënt is en b het stuk afgesneden op de y-as. y a < 0 a > x Als a > 0, is de rechte stijgend. Als a < 0, is de rechte dalend. Het snijpunt met de X-as is ( b, 0) en met de Y -as (0, b) a Formules. Indien twee punten van de rechte (x 1, y 1 ) en (x, y ) gegeven zijn, is de richtingscoëfficiënt: a = y y 1 x x 1 De vergelijking van de rechte is dan: y y 1 = a(x x 1 ) Tekenverloop. x b a ax + b tegengesteld teken van a 0 teken van a +..3 Tweedegraadsfuncties Vorm. f : x ax + bx + c met a 0 9

10 . Reële functies ANALYSE Grafiek. Een parabool, waarbij a de aard van de parabool aangeeft: als a > 0, dan is de holle kant naar boven (dalparabool) als a < 0, dan is de holle kant naar beneden (bergparabool) Verder geldt dat a de uitrekkingsfactor voorstelt van de parabool t.o.v. de standaardparabool: P y = x. Formules. De top van de parabool wordt gegeven door: t ( b 4ac b, ) a 4a en de symmetrie-as: S x = b a De topvergelijking van de parabool met top t (α, β) P y = a(x α) + β Tekenverloop. Stel x i de eventuele nulpunten van de functie f : x ax + bx + c. De discriminant wordt gegegeven door volgende formule: en de nulpunten zijn dan b 4ac x 1, = b ± b 4ac a 10

11 . Reële functies ANALYSE * Discriminant > 0 x x 1 x + ax + bx + c teken van a 0 tegengesteld teken van a 0 teken van a * Discriminant = 0 x x 1 = x + ax + bx + c teken van a 0 teken van a * Discriminant < 0 x + ax + bx + c teken van a..4 Veeltermfuncties Vorm. f : x a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 met a n 0 Formules. Euclidische deling: zij f(x), d(x) 0 IR[x] dan bestaat er juist één q(x) en r(x) IR[x] zodat geldt: f(x) = d(x) q(x) + r(x) met graad(r(x)) < graad(d(x)) of r(x) = 0 Praktisch voorbeeld Reststelling: De rest van een deling van f(x) door x a is gelijk aan f(a) Criterium van deelbaarheid: Enkele stellingen: x a f(x) f(a) = 0 11

12 . Reële functies ANALYSE * Het verschil van twee gelijknamige machten is deelbaar door het verschil van de grondtallen. x n a n = (x a)(x n 1 + ax n + a x n a n x + a n 1 ) * De som van twee gelijknamige oneven machten is deelbaar door de som van de grondtallen. x n+1 +a n+1 = (x+a)(x n ax n 1 +a x n... a n 1 x+a n ) Methode van Horner: zie..5 Gebroken rationale functies Vorm. Kenmerken. f : x g(x) met g(x) en h(x) veeltermen en graad(h(x)) 1 h(x) * domein: IR\h 1 {0} * f 1 {0} = g 1 {0} domein f..6 Goniometrische functies Periodieke functies Een functie is een periodieke functie als en slechts als er een getal ω IR 0 bestaat zodat x domf : f(x + ω) = f(x). Het kleinste positief getal ω waarvoor dit geldt, noemen we de periode van de functie. Elementaire goniometrische functies De sinusfunctie: f : x sin x Kenmerken: * domein: IR * bereik: [ 1, 1] * f 1 {0} = {kπ k ZZ} * periode: π 1

13 . Reële functies ANALYSE * grafiek De cosinusfunctie: f : x cos x Kenmerken: * domein: IR * bereik: [ 1, 1] * f 1 {0} = {(k + 1) π k ZZ} * periode: π * grafiek De tangensfunctie: f : x tan x Kenmerken: * domein: IR\{(k + 1) π k ZZ} * bereik: IR * f 1 {0} = {kπ k ZZ} * periode: π * grafiek De cotangensfunctie: f : x cotgx Kenmerken: * domein: IR\{kπ k ZZ} * bereik: IR * f 1 {0} = {(k + 1) π k ZZ} 13

14 . Reële functies ANALYSE * periode: π Algemene sinusfuncties: f : x a sin(b(x c)) + d Kenmerken: * a is de amplitude (maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand) π * periode: b * domein: IR * bereik: [ a + d, a + d] * c : verschuiving in de richting van de X-as over c éénheden: * naar rechts: als c positief is * naar links: als c negatief is * d : verschuiving in de richting van de Y -as over d éénheden: * naar boven: als d positief is * naar onder: als d negatief is Toepassing: f : x a sin x + b cos x Methode voor het omvormen tot een algemene sinusfunctie: Formules f(x) = a sin x + b cos x = a(sin x + b cos x) a Stel b a = tan ϕ met ϕ ]0, π [ als b a > 0 en ϕ ] π, 0[ als b a < 0 = a(sin x + tan ϕ cos x) = a(sin x + sin ϕ cos x) cos ϕ a = (sin x cos ϕ + sin ϕ cos x) cos ϕ a = sin(x + ϕ) cos ϕ 14

15 . Reële functies ANALYSE..7 Exponentiële functies Vorm Kenmerken * domein: IR * bereik: IR + 0 * f 1 {0} = Speciaal geval Grafiek f : x a x met a IR + 0 \{1} f : x e x met e het getal van Euler (e =, )..8 Logaritmische functies Definitie logaritmen a IR + 0 \{1} : y = log ax a y = x Speciale gevallen Briggse logaritme : log x is de logaritme met grondtal a = 10 Neperiaanse logaritme: ln x is de logaritme met grondtal a = e Vorm f : x log a x met a IR + 0 \{1} Kenmerken * domein: IR + 0 * bereik: IR Grafiek * f 1 {0} = {1} 15

16 . Reële functies ANALYSE Formules * Gevolg van de definitie: * Logaritme van een product. log a a y = y en a log a x = x x 1, x, x 3 IR + 0 : log a (x 1 x x 3 ) = log a x 1 + log a x + log a x 3 * Logaritme van een quotiënt. x 1, x IR + 0 : log a ( x 1 x ) = log a x 1 log a x * Logaritme van een macht. * Verandering van grondtal. x IR + 0 ; r IR : log a x r = r log a x log b x = log a x log a b..9 Grafieken van enkele bijzondere functies * Absolute waardefunctie: y = x y * Geheelfunctie (trapfunctie): y = x Dit is een functie waarbij x het grootste geheel getal voorstelt kleiner dan of gelijk aan x. x 16

17 3 GETALLEN * De functie y = x 3 GETALLEN 3.1 Rijen 1. Rekenkundige rijen Wat? Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term de som is van de vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we het verschil van de rij. Voorbeelden. 1, 3, 5, 7, 9, , 90, 80, 70, 60,... Formules. * Algemene term. Stel t n de n-de term van de rij en v het verschil. t n = t n 1 + v t n = t 1 + (n 1)v * Rekenkundig gemiddelde. a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een rekenkundige rij b = a + c Eigenschap: In een rekenkundige rij met een oneven aantal termen is de middelste term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van alle termen. * Som van de n termen van een eindige rekenkundige rij (s n ): s n = n t 1 + t n 17

18 3. Machten met gehele exponenten 3 GETALLEN * Toepassing: som van de eerste n van nul verschillende natuurlijke getallen. s n = n n + 1. Meetkundige rijen Wat? Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term het product is van de vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we de reden van de rij. Voorbeeld. 1,, 4, 8, 16,..., 3, 9, 7 4, 81 8,... Formules. * Algemene term. Stel t n de n-de term van de rij en r de reden. t n = t n 1 r t n = t 1 r n 1 * Meetkundig gemiddelde. a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een meetkundige rij b = a c * Som van de n termen van een eindige meetkundige rij (s n ): s n = t 1(r n 1) r 1 * Som van de termen van een convergerende meetkundige rij (s): Als 0 < r < 1, dan convergeert de meetkundige rij en is de som van de termen: s = t 1 1 r 3. Machten met gehele exponenten met natuurlijke exponenten * Definitie: Zij n IN en a IR, dan geldt: a n = a a a... a } {{ } n keer * Afspraak: a 0 = 1 met gehele exponenten 18

19 3.3 n-de machtswortels 3 GETALLEN * Definitie: Zij n IN en a IR 0, dan geldt : a n = 1 a n rekenregels voor machten met gehele exponenten Zij m, n ZZ en a, b IR 0, dan geldt: 3.3 n-de machtswortels Definitie w is een n-de machtswortel van a a.s.a w n = a a m a n = a m+n a m a n = a m n (a m ) n = a mn a m b m = (a b) m * Als n even is, heeft elk positief van 0 verschillend getal a precies twee n-de machtswortels: een positieve ( n a) en een negatieve ( n a). * Als n oneven is, heeft elk getal één n-de machtswortel ( n a) (kan positief of negatief zijn) Bestaansvoorwaarden * n even n f(x) bestaat f(x) 0 en x behoort tot het domein van f vb: * n oneven 4 x + 1 bestaat x x 1 n f(x) bestaat voor alle x die tot het domein van f behoren. vb: 3 x + 1 bestaat voor alle x IR 3.4 Machten met reële exponenten met gebroken rationale exponenten m * Definitie: Zij n IN 0, m ZZ en a IR + 0, dan geldt: a n = n a m * Voorbeeld: 83 = 3 8 = 4 19

20 3.5 Absolute waarde 3 GETALLEN met reële exponenten * Voorbeeld: 3 π rekenregels voor machten met reële exponenten Zij r, s IR en a, b IR + 0, dan geldt: 3.5 Absolute waarde a s a r = a s+r a s a r = a s r (a s ) r = a sr a s b s = (a b) s Definitie: x = { x x IR +, x x IR. Eigenschappen: * x = 0 x = 0 * x y = x y * x y x + y x + y * a IR + : x a a x a * a IR + : x > a x > a of x < a 3.6 Formules (merkwaardige producten, quotiënten...) (a ± b) = a ± ab + b (a ± b) 3 = a 3 ± 3a b + 3ab ± b 3 a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 4 b 4 = (a b )(a + b ) = (a b)(a + b)(a + b ) Of ook : a 4 b 4 = (a b)(a 3 + a b + ab + b 3 ) Voor (a + b) 5, (a + b) 6,... zie 0

21 3.7 Deelbaarheid in ZZ 3 GETALLEN 3.7 Deelbaarheid in ZZ Definitie: a, d ZZ : d a q ZZ : a = dq Stelling i.v.m. lineaire combinaties: Zij a, b, d ZZ d a en d b d xa + yb, x, y ZZ Euclidische deling: a ZZ, b IN 0 :!q ZZ,!r ZZ : a = bq + r met 0 r < b Grootste gemene deler ggd(a, b): Zij a, b IN 0 ggd(a, b) = d d del (a) del (b) en c del (a) del (b) : c d Eigenschap: De grootste gemene deler van twee van nul verschillende natuurlijke getallen is de kleinste positieve van nul verschillende lineaire combinatie met gehele coëfficiënten van die twee getallen. Kleinste gemeen veelvoud kgv(a, b): Zij a, b, m IN 0 kgv(a, b) = m m azz bzz en c azz bzz IN 0 : c m Eigenschap: kgv(a, b) ggd(a, b) = a b Priemgetallen: Definitie: Zij p IN, dan is p een priemgetal a.s.a. del(p) IN = {1, p}. Eigenschap: Elk natuurlijk getal, groter dan 1, is op unieke wijze te ontbinden in priemfactoren: n = p α1 1 pα pα pαq q met p 1, p,... p q priemgetallen en α 1, α,... α q IN 0. Het aantal delers van een natuurlijk getal n is dan (α 1 + 1)(α + 1)(α 3 + 1)... (α q + 1). 1

22 3.8 Complexe getallen 3 GETALLEN 3.8 Complexe getallen 1. De vorm a + bi Eigenschappen en begrippen: * i = 1 * Als z = a + bi dan is z = a bi het complex toegevoegde. Er geldt: z 1 + z = z 1 + z. De goniometrische vorm z 1 z = z 1 z Voorstelling in het complexe vlak: Goniometrische vorm: a + bi = r(cos θ + i sin θ) Product en quotiënt van twee complexe getallen: Zij z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) en z = r (cos θ + i sin θ ). Er geldt: z 1 z = r 1 r (cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ ) z 1 z = r 1 r (cos(θ 1 θ ) + i sin(θ 1 θ ) n-de macht van een complex getal: n ZZ : (r(cos θ + i sin θ)) n = r n (cos nθ + i sin nθ) Formule van De Moivre: (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ n-de machtswortels uit een complex getal z = r(cos θ + i sin θ): n r (cos θ + k 360 n + i sin θ + k 360 ) met k ZZ n

23 3.9 Statistiek 3 GETALLEN 3. Exponentiële schrijfwijze van een complex getal x + iy Formules Gevolg x + iy = re θi = r(cos θ + i sin θ) e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) cos z = 1 (ezi + e zi ) sin z = 1 i (ezi e zi ) 4. Veeltermen over C * Elke veelterm over C van de n-de graad heeft precies n nulpunten in C. * Als het complexe getal a + bi een nulpunt is van een veelterm met reële coëfficiënten, dan is ook het complex toegevoegde getal a bi een nulpunt van deze veelterm. 3.9 Statistiek 1. Enkele begrippen: Populatie (universum): de verzameling van personen of objecten waarvan men kenmerk(en) wil onderzoeken Steekproef: deelverzameling van de populatie, verzameling van die elementen van de populatie waarvoor de waarnemingen worden uitgevoerd. Variabele: kenmerk dat men bij de elementen van de populatie wil nagaan. Aan de variabele worden waarden toegekend.. Frequentietabel: Stel x 1, x, x 3,..., x n een steekproef met omvang n en p verschillende waarden. x absolute frequentie relatieve frequentie x 1 n 1 f 1 x n f... x p n p f p Absolute frequentie: n i is het aantal keer dat de waarde x i voorkomt in de steekproef; er geldt: p n i = n i=1 3

24 4 ALGEBRA De relatieve frequentie: f i = n i n en er geldt: OF in procent: f i = n i n 3. Gemiddelde( x): x = 1 n p i=1 n i x i p f i = 1 i=1 100 en er geldt: p f i = 100 i=1 Dit wordt ook wel gewogen gemiddelde genoemd. 4. Variantie (s ) en standaardafwijking (s): s = 1 n s = 1 n p n i (x i x) i=1 p n i (x i x) i=1 4 ALGEBRA 4.1 Vergelijkingen Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen) Vorm. ax + b = 0, a 0 Formule. Deze vergelijking heeft altijd één oplossing: x = b a 4.1. Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen) Vorm. ax + bx + c = 0, a 0 4

25 4.1 Vergelijkingen 4 ALGEBRA Formules. Het aantal oplossingen hangt af van het teken van de discriminant (D): D = b 4ac Als D > 0, dan zijn er twee verschillende oplossingen: x 1, = b ± D a Als D = 0, dan zijn er twee gelijke oplossingen: x 1 = x = b a Als D < 0, dan zijn er geen oplossingen. De som (s) en het product (p) van de oplossingen: s = b a en p = c a Een uitdrukking van de tweede graad ontbinden in factoren (als D 0): ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) met x 1, x de oplossingen van de vergelijking ax + bx + c = Bikwadratische vergelijkingen Vorm. ax 4 + bx + c = 0, a 0 Methode. Door middel van een substitutie t = x herleid je de bikwadratische vergelijking tot een vierkantsvergelijking in t. De gevonden oplossingen voor t moet je daarna nog terug naar de variabele x omzetten Vergelijkingen van de n-de graad Vorm. a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 Methode. Probeer de n-de graadsuitdrukking te ontbinden in factoren, ofwel op het zicht ofwel via de methode van Horner. Volgens deze laatste zoek je een 5

26 4.1 Vergelijkingen 4 ALGEBRA deler van de vorm x a. Criterium van deelbaarheid: x a f(x) f(a) = 0 Verder zoek je het quotiënt met het rekenschema van Horner. Voorbeeld. Los op: x 3 + x 5x + = 0 f(1) = 0 x 1 f(x) Het quotiënt is dan x + 3x, zodat we krijgen: Verdere ontbinding levert: (x 1)(x + 3x ) = 0 (x 1)(x De oplossingenverzameling is dan {1, )(x ) = 0, 3 17 } Irrationale vergelijkingen Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarbij de variabele x onder het wortelteken voorkomt. Voorbeelden: x + = x (1) x = 5 x + 1 () De methode van oplossen bestaat erin te kwadrateren tot de vierkantswortels verdwenen zijn. 6

27 4.1 Vergelijkingen 4 ALGEBRA Er zijn wel enkele voorwaarden op te stellen: bestaansvoorwaarden en kwadrateringsvoorwaarden. De oplossingen: De bestaansvoorwaarde: x + = x x + 0 (1) x () De kwadrateringsvoorwaarde: De vergelijking wordt dan: x 0 x + = x (3) x + = x (4) x x = 0 (5) x = 1 of x = (6) De eerste oplossing voldoet niet aan de voorwaarden, de tweede wel, dus de oplossingenverzameling is {}. De bestaansvoorwaarden: De vergelijking wordt dan: x = 5 x + 1 x + x + 1 = 5 x 0 (7) (8) (9) x (10) x 1 (11) x + x(x + 1) + x + 1 = 5 (1) x(x + 1) = 4 x (13) x(x + 1) = 1 x (14) (15) 7

28 5 GONIOMETRIE De kwadrateringsvoorwaarde: 1 x 0 (16) x 1 (17) Verder krijgen we dan: x(x + 1) = 144 4x + x (18) x = 144 (19) 5 Deze oplossing voldoet aan alle voorwaarden, dus de oplossingenverzameling is { }. 5 GONIOMETRIE 5.1 Goniometrische getallen van een hoek In een rechthoekige driehoek sin α = A C 5.1. De goniometrische cirkel cos α = B C tg α = sin α cos α = A B cotg α = 1 tgα = B A 8

29 5.1 Goniometrische getallen van een hoek 5 GONIOMETRIE Formules Grondformule en afgeleide formules Verwante hoeken 1 sin α = cosecα 1 cos α = secα cos α + sin α = 1 * Tegengestelde hoeken (α en α) 1 + tg α = sec α 1 + cotg α = cosec α sin( α) = sin α cos( α) = cos α tg ( α) = tg α cotg ( α) = cotg α * Supplementaire hoeken (α en π α) sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α tg (π α) = tg α cotg (π α) = cotg α * Complementaire hoeken (α en π α) sin( π α) = cos α cos( π α) = sin α tg ( π α) = cotg α cotg ( π α) = tg α * Antisupplementaire hoeken (α en π + α) sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α tg (π + α) = tg α cotg (π + α) = cotg α 9

30 5.1 Goniometrische getallen van een hoek 5 GONIOMETRIE * Anticomplementaire hoeken (α en π + α) Som- en verschilformules Formules van Simpson sin( π + α) = cos α cos( π + α) = sin α tg ( π + α) = cotg α cotg ( π + α) = tg α cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β tg (α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β tg (α β) = tg α tg β 1 + tg α tg β sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = cos α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β sin α β cos α β sin α β Formules voor de dubbele hoek sin(α) = sin α cos α cos(α) = cos α sin α tg(α) = tg α 1 tg α t-formules Stel tg α = t, dan kunnen we sin α, cos α en tg α schrijven in functie van 30

31 5. Goniometrische functies 6 VLAKKE MEETKUNDE t. sin α = t 1 + t cos α = 1 t 1 + t t tg α = 1 t Oplossen van driehoeken Rechthoekige driehoeken * De stelling van Pythagoras: C = A + B Willekeurige driehoeken * De sinusregel: A sin α = B sin β = C sin γ = R met R de straal van de omgeschreven cirkel. * De cosinusregel: 5. Goniometrische functies Zie Sectie?? op pagina??. A = B + C BC cos α B = A + C AC cos β C = A + B AB cos γ 6 VLAKKE MEETKUNDE 6.1 Stelling van Thales De lijnstukken ingesneden door evenwijdige rechten op een snijlijn zijn evenredig met de overeenkomende lijnstukken ingesneden op elke andere snijlijn. ab bc = a b b c 31

32 6. Driehoeken 6 VLAKKE MEETKUNDE In het bijzonder geldt bij evenwijdige projectie: De projecties van evenwijdige lijnstukken hebben dezelfde verhouding als de lijnstukken zelf. 6. Driehoeken 6..1 Oppervlakte (O) Of ook: O = B H O = 1 A B sin γ = 1 B C sin α = 1 C A sin β 6.. Eigenschappen De som van de hoeken van een driehoek is 180. α + β + γ = 180 Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de nietaanliggende binnenhoeken. δ = α + γ In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras: C = A + B met C de schuine zijde en A, B de rechthoekzijden. 3

33 6. Driehoeken 6 VLAKKE MEETKUNDE 6..3 Merkwaardige lijnen Zwaartelijnen (Z a, Z b, Z c ) De drie zwaartelijnen gaan door één punt, het zwaartepunt. Eigenschap v.h. zwaartepunt:het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in twee stukken waarvan de lengtes zich verhouden als en 1. m a z = 1 za Hoogtelijnen (H a, H b, H c ) De drie hoogtelijnen gaan door één punt. bissectrice De drie bissectrices gaan door één punt dat bovendien het middelpunt is van de ingeschreven cirkel. Middelloodlijnen (M 1, M, M 3 ) De drie middelloodlijnen gaan door één punt dat bovendien het middelpunt is van de omgeschreven cirkel De middenparallel De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat de middens van twee zijden verbindt. Een driehoek heeft er drie. Er geldt bovendien: m 1 m = 1 ac 33

34 6. Driehoeken 6 VLAKKE MEETKUNDE 6..5 Congruente driehoeken Definitie congruente veelhoeken: Congruente veelhoeken zijn veelhoeken die door verplaatsing in elkaar kunnen overgaan m.a.w. die elkaar volledig kunnen bedekken. Gevallen van congruentie bij driehoeken * Twee driehoeken zijn congruent als ze één zijde en twee hoeken gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn congruent als ze twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn congruent als ze de drie zijden gelijk hebben Gelijkvormige driehoeken Definitie gelijkvormige veelhoeken: Gelijkvormige veelhoeken zijn veelhoeken die gelijke hoeken hebben en waarvan de overeenkomstige zijden evenredig zijn. Gevolg: abc a b c ab a b = bc b c = ca c a Gevallen van gelijkvormigheid bij driehoeken * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee hoeken gelijk hebben. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene evenredig zijn met twee zijden van de andere en de ingesloten hoeken gelijk zijn. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de drie zijden van de ene evenredig zijn met de drie zijden van de andere. * Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de zijden van de ene evenwijdig lopen met of loodrecht staan op de zijden van de andere Driehoeksongelijkheid Zij A, B en C de lengtes van de zijden van een driehoek (A B C), dan geldt: C B A B + C C A B A + C B A C B + A 34

35 6.3 Vierhoeken 6 VLAKKE MEETKUNDE 6.3 Vierhoeken Parallellogram * Definitie: Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn. * Oppervlakte (O): O = B H * Eigenschap: De diagonalen snijden elkaar middendoor. * Speciale gevallen: Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. Eigenschap: De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen de hoeken middendoor. Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken. Eigenschap: De diagonalen zijn gelijk. Een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden Trapezium * Definitie: Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden. * Oppervlakte (O): O = b + B H * Middenparallel: m 1 m = b + B 35

36 6.4 Veelhoeken 6 VLAKKE MEETKUNDE 6.4 Veelhoeken De som van de hoeken van een n-hoek is gelijk aan: (n )180 (n )180 Elke hoek van een regelmatige n-hoek is gelijk aan: n 6.5 Cirkels Zij r de straal van de cirkel Omtrek: πr 6.5. Oppervlakte: πr Raaklijn-normaal * Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die juist één punt gemeen heeft met de cirkel. * Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. * De normaal in een punt op de cirkel is de loodlijn in dit punt op de raaklijn Boog-koorde * Een boog is een deel van de cirkelomtrek. * Lengte van een cirkelboog: αr * Een koorde is een lijnstuk dat de eindpunten van een boog verbindt. 36

37 6.5 Cirkels 6 VLAKKE MEETKUNDE Middelpuntshoek-omtrekshoek * Een omtrekshoek meet de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog. * Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk Binnen- en buitenomtrekshoek * Een binnenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als de halve som van de boog binnen de hoek en de boog binnen de overstaande hoek. α = 1 ( ab + cd) * Een buitenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als het halve verschil van de bogen binnen de hoek. α = 1 ( ab cd) Sector-segment * Een cirkelsegment is de figuur gevormd door een boog en zijn koorde. 37

38 6.6 Analytische meetkunde 6 VLAKKE MEETKUNDE * Een cirkelsector is de figuur gevormd door een boog en de stralen naar zijn eindpunten. * Oppervlakte van een cirkelsector: 1 αr Macht van een punt t.o.v. de cirkel Het product van de afstanden van een punt p tot de snijpunten van een veranderlijke rechte door p met de cirkel, is constant; die constante noemen we de macht van het punt tot de cirkel. pa pb = pc pd Koordenvierhoek * Een koordenvierhoek is een vierhoek ingeschreven in een cirkel. * In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken α en β elkaars supplement. 6.6 Analytische meetkunde Afstand tussen twee punten Zij p(x 1, y 1 ) en q(x, y ) twee punten dan geldt: d(p, q) = pq = (x x 1 ) + (y y 1 ) 38

39 6.7 Vectoren 6 VLAKKE MEETKUNDE 6.6. Midden van een lijnstuk Zij a(x 1, y 1 ) en b(x, y ) twee punten in het vlak, dan is de coördinaat van het midden (m) van het lijnstuk [ab]: ( x1 + x co(m) =, y ) 1 + y Afstand van een punt tot een rechte Zij A ax + by + c = 0 een rechte en p(x 1, x ) een punt, dan geldt: d(p, A) = ax 1 + by 1 + c a + b De normaalvergelijking van een rechte L ax + by + c = 0 is: ax + by + c a + b = Loodrechte stand - evenwijdigheid * Twee rechten met respectieve richtingscoëfficiënten m 1 en m staan loodrecht op elkaar a.s.a m 1 m = 1. * Twee rechten met respectieve richtingscoëfficiënten m 1 en m zijn evenwijdig a.s.a. m 1 = m De vergelijking van de cirkel Zij m(x 1, y 1 ) het middelpunt en r de straal van de cirkel, dan is de (middelpunts)vergelijking: 6.7 Vectoren Definitie: C(m, r) (x x 1 ) + (y y 1 ) = r Vector ab is de verzameling van alle lijnstukken die dezelfde lengte, richting en zin hebben als het georiënteerde lijnstuk ab. Grafisch wordt ab voorgesteld door één representant van die verzameling. Met plaatsvector p wordt vector op bedoeld, met o de oorsprong van het vlak. 39

40 6.7 Vectoren 6 VLAKKE MEETKUNDE 6.7. Coördinaat van een vector (componentenkoppel) Bij plaatsvectoren geldt: co( p) = co(p) = (x 1, x ) De coördinaat van ab is dezelfde als die van zijn plaatsvector Optellen van vectoren Voor het optellen van vectoren geldt de regel van het parallellogram. Met coördinaten: als co( V ) = (x 1, y 1 ) en co( W ) = (x, y ) dan is: Scalaire vermenigvuldiging co( V + W ) = (x 1 + x, y 1 + y ) Het r-voud van een vector V is een vector met lengte r maal de lengte van V, richting dezelfde als die van V en zin dezelfde als die van V (r 0) of tegengesteld aan die van V (r 0). Met coördinaten: als co( V ) = (x 1, y 1 ), dan is: Norm van een vector co(r V ) = (rx 1, ry 1 ) De norm van een vector: ab is de afstand d(a, b). Met coördinaten: als co( V ) = (x 1, y 1 ) dan is: V = x 1 + y Ongelijkheid van Minkowski Hoek tussen twee vectoren V + W V + W Als U en V verschillend zijn van 0, co( U) = (x 1, y 1 ) en co( V ) = (x, y ) en ϕ de hoek tussen beide vectoren, dan is: cos(ϕ) = x 1 x + y 1 y x 1 + y 1 x + y 40

41 7 RUIMTEMEETKUNDE Scalair product van twee vectoren Als U en V verschillend zijn van 0 en ϕ de hoek is tussen beide vectoren, dan is het scalair product: U V = U V cos(ϕ) Met coördinaten: U V = x 1 x + y 1 y Orthogonaliteit van vectoren: Twee vectoren U en V zijn orthogonaal als U V = 0. 7 RUIMTEMEETKUNDE 7.1 Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren Prisma Stel G de oppervlakte van het grondvlak. I = G h 7.1. Piramide Stel G de oppervlakte van het grondvlak. I = 1 3 G h Cilinder I = πr h De zijdelingse oppervlakte van een rechte cilinder: O = πrh 41

42 7. Vectoren 7 RUIMTEMEETKUNDE Kegel I = 1 3 πr h De zijdelingse oppervlakte van een rechte kegel: O = πr h + r Bol I = 4 3 πr3 De oppervlakte: O = 4πr 7. Vectoren Zie hoofdstuk over vectoren in Sectie?? op pagina??. 7.3 Coördinaten in de ruimte Richtingsvectoren-richtingsgetallen pq is een richtingsvector van de rechte A pq A De coördinaat van een richtingsvector van A noemen we een stel richtingsgetallen van A. Voorbeeld: Zij p(x 1, y 1, z 1 ) en q(x, y, z ) twee punten gelegen op de rechte A. Dan is pq een richtingsvector van A en is co( pq) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) een stel richtingsgetallen van A Vergelijkingen van een rechte * Rechte bepaald door punt en richtingsvector: Zij p(x 1, y 1, z 1 ) een punt van de rechte en q(a 1, b 1, c 1 ) een richtingsvector, 4

43 7.3 Coördinaten in de ruimte 7 RUIMTEMEETKUNDE dan zijn de parametervergelijkingen: x = x 1 + ra 1 y = y 1 + rb 1 z = z 1 + rc 1 en de Cartesiaanse vergelijkingen : x x 1 a 1 = y y 1 b 1 = z z 1 c 1 * Rechte bepaald door twee punten: Zij p(x 1, y 1, z 1 ) en q(x, y, z ) twee punten van de rechte, dan zijn de parametervergelijkingen: x = x 1 + r(x x 1 ) y = y 1 + r(y y 1 ) z = z 1 + r(z z 1 ) en de Cartesiaanse vergelijkingen: Vergelijking van een vlak x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 = z z 1 z z 1 * Vlak bepaald door een punt en twee onafhankelijke richtingsvectoren: Zij p(x 1, y 1, z 1 ) een punt en q(a 1, b 1, c 1 ) en r(a, b, c ) twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de parametervoorstelling: x = x 1 + ka 1 + la y = y 1 + kb 1 + lb z = z 1 + kc 1 + lc * Cartesiaanse vergelijking van een vlak: ux + vy + wz + t = 0 met u, v, w, t IR en n (u, v, w) een normaalvector van dat vlak. (Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht staat op het vlak.) 43

44 7.3 Coördinaten in de ruimte 7 RUIMTEMEETKUNDE * Determinantvergelijking van een vlak: Zij p(x 1, y 1, z 1 ) een punt en q(a 1, b 1, c 1 ) en r(a, b, c ) twee onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak, dan is de determinantvergelijking: x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 a 1 b 1 c 1 0 = 0 a b c 0 Zij p 1 (x 1, y 1, z 1 ), p (x, y, z ) en p 3 (x 3, y 3, z 3 ) drie punten van het vlak, dan is de determinantvergelijking: x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 x y z 1 = 0 x 3 y 3 z Middelpuntsvergelijking van een bol Zij Σ(m, r) een bol met middelpunt m(x 1, y 1, z 1 ) en straal r, dan is de middelpuntsvergelijking: Σ(m, r) (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = r Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen * Bol met middelpunt in de oorsprong: Σ x + y + z = r * Cilindervlak met rotatieas de Z-as: C x + y = r 44

45 8 LOGICA * Kegelvlak met rotatieas de Z-as: K x + y = (z h) tg α * Hyperboloïde: H x + y z = 1 * Paraboloïde: P x + y = 4z 8 LOGICA 8.1 Verklaring van de gebruikte symbolen In wat volgt worden volgende symbolen gebruikt: symbool verklaring P, Q, R uitspraken niet of en als...dan als en slechts als voor alle er bestaat 8. Logische stellingen 1. ( P ) P. (P Q) ( P Q) 3. ((P Q) P ) Q 4. ((P Q) Q) P 5. ( (P Q) P ) Q 45

46 8.3 Uitspraakvormen met kwantoren 8 LOGICA 6. (P Q) Q) P 7. Contrapositie van de implicatie:(p Q) ( Q P ) 8. Wetten van De Morgan: (P Q) P Q (P Q) P Q 9. Commutativiteiten: P Q Q P P Q Q P (P Q) (Q P ) 10. Associativiteiten: (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) ((P Q) R) (P (Q R)) 11. Distributiviteiten: P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) 1. Transitiviteiten: ((P Q) (Q R)) (P R) ((P Q) (Q R)) (P R) 8.3 Uitspraakvormen met kwantoren Stel P (x) een uitspraakvorm in de veranderlijke x en A een referentieverzameling. Dan gelden volgende wetten: ( x A : P (x)) x A : P (x) ( x A : P (x)) x A : P (x) Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding- GelijkDelen 3.0 Unported. Bezoek om een kopie te zien van de licentie of stuur een brief naar Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. 46