VLAAMS VERBOND VAN HET KATHOLIEK SECUNDAIR ONDERWIJS LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS WISKUNDE. Derde graad KSO/TSO

Transcriptie

1 VLAAMS VERBOND VAN HET KATHOLIEK SECUNDAIR ONDERWIJS LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS WISKUNDE Derde graad KSO/TSO Leerplan A: uur/week Leerplan B: 6 uur/week Leerplan C: 4 uur/week Leerplan D: 3 en 2 uur/week Licap - Brussel - september 1992

2 INHOUD 1 BEGINSITUATIE DOELSTELLINGEN... 6 LEERPLAN A VOOR ZES PLUS TWEE LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING DIDACTISCHE WENKEN... 9 LEERPLAN B VOOR ZES LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING DIDACTISCHE WENKEN LEERPLAN C VOOR VIER LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING DIDACTISCHE WENKEN LEERPLAN D VOOR DRIE OF TWEE LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING DIDACTISCHE WENKEN ADDENDUM BIBLIOGRAFIE AV Wiskunde 3 3de graad KSO-TSO

3 1 BEGINSITUATIE De beginsituatie voor de derde graad is afhankelijk van de gekozen studierichting in de tweede graad waarbij drie leerplannen in aanmerking konden komen. 1 Na studierichtingen waarin het leerplan A voor 5 wekelijkse lestijden gevolgd werd 1 De leerlingen hebben de bewerkingen met reële getallen bestudeerd en de ordening van die reële getallen onderzocht. Hierbij kwamen aan bod: ontbinding in factoren, merkwaardige producten, oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste graad, bewerkingen met vierkantswortels en met machten met rationale exponenten. 2 De leerlingen hebben de Briggse logaritmen bestudeerd. 3 De leerlingen hebben cartesiaanse vergelijkingen van rechten leren opstellen en 2x2-stelsels leren oplossen. 4 De leerlingen hebben de eigenschappen van vlakke figuren benaderd vanuit congruentie en gelijkvormigheid. 5 De leerlingen hebben transformaties (verschuivingen, draaiingen, spiegelingen, projecties) gebruikt om eigenschappen van vlakke figuren te onderzoeken. 6 De leerlingen hebben een verband gelegd tussen verschuivingen en vectoren, bewerkingen met vectoren gemaakt en dit toegepast in meetkundige situaties. 7 De leerlingen hebben eerstegraadsfuncties en tweedegraadsfuncties bestudeerd en hun grafieken getekend. Ze zijn vertrouwd met het verloop en de tekenverandering van veeltermfuncties. Ze kunnen vierkantsvergelijkingen en tweedegraadsongelijkheden oplossen. Ze hebben eveneens geleerd een euclidische deling op veeltermen uit te voeren. 8 De leerlingen hebben de voornaamste begrippen uit de goniometrie bestudeerd en kunnen de betrekkingen tussen de elementen van een driehoek toepassen. Zij hebben de functies y = a.sin[b(x + c)] bestudeerd en de betekenis van de parameters a, b en c onderzocht. 9 De leerlingen hebben de complexe getallen bestudeerd. 10 De leerlingen hebben in verband met de voorgaande inhouden een rekentoestel leren hanteren. 2 Na studierichtingen waarin het leerplan B voor vijf wekelijkse lestijden gevolgd werd Hier gelden dezelfde verworvenheden als in de studierichtingen waarin het leerplan A voor vijf wekelijkse lestijden gevolgd werd uitgezonderd de onderwerpen opgesomd in 5, 6 en 9. 3 Na studierichtingen waarin het leerplan C voor drie wekelijkse lestijden gevolgd werd 1 De leerlingen hebben kennis gemaakt met de irrationale getallen en met de vierkantswortel uit een positief reëel getal. 2 De leerlingen hebben geleerd bewerkingen uit te voeren met eentermen en veeltermen, uitgezonderd de euclidische deling, en hierbij aandacht besteed aan merkwaardige producten en ontbinding in factoren. 3 De leerlingen hebben vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste graad en 2x2-stelsels leren oplossen. AV Wiskunde 5 3de graad KSO-TSO

4 4 De leerlingen hebben eigenschappen van vlakke figuren benaderd vanuit congruentie en gelijkvormigheid. 5 De leerlingen hebben cartesiaanse vergelijkingen van rechten leren opstellen. 6 De leerlingen hebben vierkantsvergelijkingen leren oplossen. 7 De leerlingen hebben de betrekkingen tussen de elementen van een rechthoekige driehoek leren toepassen. 8 De leerlingen hebben. ofwel elementaire begrippen uit de goniometrie bestudeerd en de betrekkingen tussen de elementen van een willekeurige driehoek leren toepassen;. ofwel grafische voorstellingen van empirische functies leren aflezen en interpreteren. 4 Na de studierichting Handel waarin het leerplan D voor vier wekelijkse lestijden gevolgd werd Voor deze leerlingen gelden de verworvenheden opgesomd in het leerplan C onder de nummers 1, 2, 3, 4, 5 en 7 en in het leerplan A onder de nummers 7 en DOELSTELLINGEN In vergelijking met de tweede graad vertoont de derde graad een grotere differentiatie in uitgebreidheid, opvatting en uitwerking van de leerinhoud. De doelstellingen voor deze graad zijn dus sterk uiteenlopend volgens het aantal wekelijkse lestijden en de gekozen studierichting. AV Wiskunde 6 3de graad KSO-TSO

5 LEERPLAN A VOOR ZES PLUS TWEE LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING Opmerkingen - Het leerplan wordt aangeboden als een graadleerplan. De leerkrachten bepalen in onderling overleg welke onderwerpen in het eerste leerjaar behandeld worden en welke onderwerpen in het tweede leerjaar. Het is zonder meer duidelijk dat in het tweede leerjaar geen onderwerpen mogen behandeld worden die reeds in het eerste leerjaar behandeld werden. - Dit leerplan is enkel bestemd voor de studierichtingen waar 6 u./w. in het fundamenteel gedeelte plus 2 u./w. via het complementair gedeelte wordt aangeboden. - Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel maar ook op de beperkingen ervan. - Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan in van de brochure. - Dit leerplan sluit aan bij het leerplan A uit de tweede graad. 1 Reële functies 1.1 Rationale functies: begrip, domein, nulpunten en tekenonderzoek. 1.2 Irrationale functies: begrip, domein, nulpunten. 1.3 Het verloop van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie. Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden. 1.4 Cyclometrische functies. 1.5 Logaritmische en exponentiële functies: begrip, eigenschappen, domein. Het getal e. Vergelijkingen. 2 Analyse 2.1 Reële getallen: orde-eigenschappen, decimale voorstelling, infimum en supremum. 2.2 Limiet van een functie in +4 en -4 en in een punt a. Berekenen van limieten. 2.3 Continuïteit van een functie in een punt en over een deelverzameling van het domein. 2.4 Afgeleide: begrip, afgeleide functie, interpretaties. Vergelijking van de raaklijn aan een kromme in een punt ervan. Rekenregels voor het afleiden. De tweede afgeleide. Middelwaardestelling. 2.5 Toepassingen van afgeleiden. - Studie van het verloop van functies: stijgen, dalen, extrema, buigpunten, raaklijnen, asymptoten, grafische voorstelling. - Extremaproblemen, de regel van de l'hospital, benaderen van nulpunten. AV Wiskunde 7 3de graad KSO-TSO

6 2.6 Bepaalde integraal: begrip, interpretaties, eigenschappen. 2.7 Primitieve functies, verband met bepaalde integralen. Integratiemethoden. 2.8 Toepassingen: berekening van lengten, oppervlakten en inhouden, toepassingen uit andere disciplines. 3 Rijen en reeksen 3.1 Rekenkundige en meetkundige rijen. 3.2 Convergentie van een rij. 3.3 Som van een oneindige meetkundige rij. 3.4 Convergentie van een reeks, reeksontwikkeling van een functie, formules van Taylor en Maclaurin. 4 Matrixrekening - stelsels 4.1 Matrices: begrip, bewerkingen. 4.2 Elementaire rijoperaties; methode van Gauss-Jordan voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. 4.3 Determinant van een matrix. 4.4 Methode van Cramer voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. 4.5 Opstellen van oplossingsvoorwaarden (eliminant). 5 Ruimtemeetkunde 5.1 Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken. Projecties. 5.2 Hoeken. Loodrechte stand. 5.3 Analytische beschrijving van punten, rechten en vlakken, van het scalair produkt van twee vectoren, van loodrechte standen, afstanden, hoeken. 5.4 De bol: vergelijking, raakvlak. 5.5 Prisma, parallellepipedum, balk, kubus, piramide, viervlak, cilinder, kegel, bol: eigenschappen, oppervlakte- en volumeproblemen. 5.6 Facultatief. - Analytische beschrijving van enkele krommen en oppervlakken (voorbeelden). - Voorstelling van functies van twee veranderlijken. 6 Combinatieleer 6.1 Variaties met en zonder herhaling, permutaties, combinaties. 6.2 Binomiaalgetallen en de driehoek van Pascal. 6.3 Binomium van Newton. 7 Beschrijvende statistiek 7.1 Globale voorstellingen van statistische gegevens, interpretaties. 7.2 Beschrijvende maten: centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus); spreidingsmaten (variantie, standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte). 7.3 Facultatief: correlatie en lineaire regressie. 8 Kansrekenen 8.1 Kansbegrip, berekenen van kansen. 8.2 Voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen. 8.3 Facultatief: discrete stochastische veranderlijke: kansverdeling, gemiddelde en variantie. 8.4 Facultatief: binomiale verdeling, poissonverdeling, normale verdeling. AV Wiskunde 8 3de graad KSO-TSO

7 9 Analytische meetkunde 9.1 Afstand en loodrechte stand in het euclidisch vlak. - Analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten. - Scalair produkt van twee vectoren; analytische uitdrukking. - Analytische voorwaarde voor loodrechte stand. - Afstand van een punt tot een rechte. 9.2 Euclidisch, affien en projectief vlak en hun onderlinge samenhang. - Punten en rechten. - Invarianten en toepassingen betreffende karakteristieke figuren gevormd door punten en rechten. - Analytische voorstelling van elementaire transformaties. 9.3 Kegelsneden. - Algemene vergelijking van de tweede graad, canonieke vormen, classificatie, speciale kegelsneden (cirkels, orthogonale hyperbolen). - Bundels kegelsneden. - Doorsnede van rechte en kegelsnede, raaklijnen en asymptoten, normalen, doorsnede van twee kegelsneden. - Pooltheorie: pool, poollijn, toegevoegde punten, middelpunt, middellijn, hoofdrichtingen, assen en toppen, brandpunten en richtlijnen, excentriciteit. 9.4 Meetkundige plaatsen: vergelijking, schets. 9.5 Facultatief: beperkte studie van enkele algebraïsche krommen. Parametervergelijkingen. 9.6 Poolcoördinaten, toepassingen. 4 DIDACTISCHE WENKEN 1 Reële functies Nadat men in het tweede leerjaar van de tweede graad veeltermfuncties heeft bestudeerd, zal men nu kennis maken met nieuwe reële functies: de gebroken rationale, de irrationale, de goniometrische, de cyclometrische en tenslotte de exponentiële en de logaritmische functies. Het is telkens de bedoeling het begrip goed te omschrijven, in te gaan op het bepalen van het domein en de nulpunten en de verandering van het teken te onderzoeken. Voor de gebroken rationale functies volstaat het met functies te werken waarvan teller en noemer door de leerlingen kunnen ontbonden worden. Men zal de nodige aandacht besteden aan de rekenvaardigheden. Enkele voorbeelden van gebroken rationale vergelijkingen zullen de leerlingen vertrouwd maken met het stellen van bestaansvoorwaarden. Het invoeren van irrationale functies zal met de nodige omzichtigheid moeten gebeuren. Men moet er rekening mee houden dat men slechts van goed gekozen veeltermen het teken kan bepalen zodat het bepalen van het domein van een irrationale functie een haalbare kaart blijft. De functies y = a.sin[b(x + c)] werden in het tweede leerjaar van de tweede graad onderzocht. De leerlingen maakten daarbij kennis met de begrippen amplitude, periode en verschuiving. Men herhaalt, in het kort, deze begrippen en breidt ze uit naar de cosinusfunctie. Voor de tangensfunctie maakt men gebruik van puntvoor-punt-constructies. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen is nodig om nulpunten van goniometrische functies te bepalen. De leerlingen leren een verantwoorde keuze maken uit de ter beschikking staande formules en manipuleren deze om de voornaamste types vergelijkingen tot grondvormen te herleiden. Aan het oplossen van stelsels zal geen overdreven belang gehecht worden. Van stelsels van twee vergelijkingen waarvan slechts één een goniometrische is, zal het volstaan de oplossingsmethode uit te leggen voor enkele type-stelsels. Het is voldoende het oplossen van stelsels van twee goniometrische vergelijkingen door een paar voorbeelden te behandelen. AV Wiskunde 9 3de graad KSO-TSO

8 Alhoewel eliminatie reeds optreedt bij het oplossen van stelsels, is het nodig dat men de eliminatie afzonderlijk toelicht door enkele voorbeelden die in de analytische meetkunde kunnen voorkomen. Een omslachtige behandeling van de goniometrische ongelijkheden is geenszins nodig. Men bedenke hierbij dat de toepassingen vooral te vinden zijn bij het tekenonderzoek van de afgeleide van een goniometrische functie waarbij vooral ongelijkheden aangetroffen worden van de vorm sin(ax + b), 0. Bijzondere zorg moet worden besteed aan de inverse relaties van de goniometrische functies die zelf geen functies zijn. Door de goniometrische functies evenwel te beperken zal men laten zien dat de inverse relaties van die beperkte functies wel functies zijn. Het is wenselijk hierbij de grafiek van cyclometrische functies uit deze van de rechtstreekse functies af te leiden, gebruikmakend van het verband dat bestaat tussen de grafieken van twee inverse functies in een rechthoekig assenstelsel. Hoe de leerkracht de logaritmische en de exponentiële functies zal aanbrengen, zal van zijn eigen oordeel (voorkeur) afhangen. De keuze van behandelen zal echter bepalend zijn voor de plaats in het geheel van het leerplan. Volgens een eerste werkwijze wordt logaritme gedefinieerd als de inverse van een macht, die toelaat de exponent te berekenen als grondtal en resultaat van de machtsverheffing gekend zijn. Het is duidelijk dat hiervoor het exponentbegrip moet uitgebreid worden tot reële exponenten. Voldoende aandacht moet worden besteed aan de beperkingen die in de definitie ingebouwd zijn. Steunend op de definitie kan men de voornaamste eigenschappen van logaritmen aantonen. Door punt-voor-punt-constructies van goedgekozen logaritmische en exponentiële functies kan men de voornaamste eigenschappen van de grafiek afleiden. Een tweede mogelijkheid is de ln-functie aan te brengen via een goed gekozen integraalfunctie. Daarna komt de willekeurige logaritmische functie ter sprake en van daaruit wordt de exponentiële functie afgeleid. Het is hoe dan ook wenselijk dat het getal van Euler (e) de nodige aandacht krijgt. Er zal in ieder geval gewezen worden op de impakt van deze transcendente functies op andere disciplines. Een rijke illustratie via voorbeelden van groeimodellen, intrest-berekening, enzovoort zal hier niet overbodig zijn. Voor het oplossen van exponentiële en logaritmische vergelijkingen zal men een aantal oplossingsmethoden aanleren maar zeker niet overdrijven in de moeilijkheidsgraad. 2 Analyse Vooraf zal de kennis van de verzameling van de reële getallen aangevuld worden. In het bijzonder is de volledigheid van ú belangrijk. De eigenschap van het supremum kan toegepast worden op het meer nauwkeurig bepalen van decimale voorstellingen van reële getallen. Het benaderen van reële getallen met eindige decimale voorstellingen kan belicht worden. Analyse is een van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde in deze studierichtingen. De leerstof zal de leerlingen zeker boeien als de opbouw voldoende afgestemd wordt op de twee einddoelen: 1 beschikken over een algemene methode om een grote waaier van reële functies te onderzoeken en deze in grafiek te brengen; 2 het integraalrekenen toepassen op meetkundige en andere problemen. Daartoe vereist de opbouw een zorgvuldige planning die bewijzen van stellingen kan overslaan zonder in oppervlakkigheid te vervallen. In deze optiek zijn afgeleiden belangrijker dan continuïteit en limieten en zullen daarom ook ruimere aandacht moeten krijgen. Er is meer dan één opbouw mogelijk. De volgorde in de leerstofafbakening is niet bindend. Zo kan nog steeds "continuïteit" aan "limieten" voorafgaan en "convergentie van rijen" met behulp van het limietbegrip ingevoerd worden. In deze opbouw moet een selecte keuze gebeuren uit het overgrote aantal bewijsvoeringen, zowel in functie van de beschikbare tijd als met het oog op de specifiek kritische vorming die de analyse kan meegeven. Ook de moeilijkheidsgraad van de oefeningen moet verantwoord zijn vanuit de twee hoger vermelde einddoelen. AV Wiskunde 10 3de graad KSO-TSO

9 Bij een andere opbouw van de analyse kan convergentie en divergentie van een rij dienen tot de opbouw van het limietbegrip van een rij en van functies in het algemeen. De eigenschappen van limieten zullen, naast de onontbeerlijke rekenvaardigheden, het inzichtelijke bevorderen. Een beperkte keuze van oefeningen volstaat hier. Het begrip continuïteit van een reële functie in een element van het domein komt tot stand door de limiet van de functie te vergelijken met de functiewaarde. Hierdoor wordt de grafische betekenis van continu-doorlopende grafiek mogelijk. Het invoeren van de afgeleide van een reële functie in een element van het domein kan op verschillende manieren gebeuren. Er bestaan geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. De afgeleide als maat voor de ogenblikkelijke verandering van een functie in een punt wordt grafisch ondersteund door de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn. Het belang van de afgeleiden moet geïllustreerd worden door een geschikte keuze te maken uit haar toepassingsgebieden. De voornaamste formules voor het afleiden van elementaire functies kunnen als toepassingen van de corresponderende limietregels opgesteld worden. Bij het berekenen van afgeleiden is het toepassen van formules een noodzaak. Het bekomen resultaat wordt, indien nodig, tot zijn meest bruikbare vorm herleid. Het verband tussen stijgen en dalen van een functie enerzijds en het teken van haar afgeleide anderzijds is eenvoudig intuïtief te zien. In deze studierichtingen wordt echter een meer rigoreuze behandeling verwacht. Hierbij steunt men op eigenschappen van reële getallen en op een aantal stellingen over continue functies over een gesloten interval. Men zal de middelwaardestellingen (Rolle, Lagrange) moeten vermelden en hun betekenis toelichten. Via tegenvoorbeelden zal men grafisch aantonen dat de voorwaarden van deze stellingen wel degelijk nodig zijn. Het opstellen van de regel van de l'hospital is hier zeker op zijn plaats. Geschikt gekozen oefeningen zullen de leerlingen overtuigen van de efficiëntie van deze techniek. De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe wijze kan overbrengen. Voor de leerlingen is het tekenen van een grafiek, aan de hand van een functievoorschrift, een belangrijke vaardigheid. Met behulp van de afgeleide wordt de methode om grafieken te schetsen verbeterd. Een studie van het tekenverloop van de afgeleide functie levert een eerste beeld van de grafiek. Het berekenen van een aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met de assen, eventueel nog enkele andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid. Het oplossen van maxima- en minimaproblemen, ook uit andere disciplines, kan nu ook via de theorie van de afgeleiden aan bod komen. Zin voor controle van een gevonden resultaat is belangrijk. Het aanbrengen van de bepaalde integraal kan met de theorie van de onder- en de bovensommen. De eigenschappen van de bepaalde integraal zullen grafisch toegelicht worden. Sommige bewijzen kunnen weggelaten worden. De hoofdstelling van de integraalrekening koppelt het begrip bepaalde integraal aan afgeleide. In plaats van via het lange proces van ondersommen beschikt men nu over een middel om langs een kortere weg bepaalde integralen te berekenen. De leerkracht zal niet overdrijven in het aanleren van integratiemethoden. Niet voor de hand liggende substituties zijn overbodig. Men beperkt zich tot integratiemethoden die voldoende zijn voor het afwerken van dit leerplan. In de categorie van de meetkundige toepassingen komen dan de klassieke problemen aan bod: oppervlakteberekening van een vlak gebied, lengteberekening van een vlakke kromme, oppervlakteberekening en inhoudsberekening van een omwentelingsoppervlak. Afhankelijk van de samenstelling van de groep kan een geschikte keuze gemaakt worden voor toepassingen uit andere disciplines. 3 Rijen en reeksen Rijen kunnen een belangrijke rol spelen bij de studie van limieten of bij de opbouw van integralen. Dit onderwerp kan bijgevolg ook geïntegreerd worden in de studie van de analyse. Vooreerst bestudeert men de meetkundige en de rekenkundige rij. Het berekenen van de algemene term en het opzoeken van de som van de eerste n termen zal zeker behandeld worden. AV Wiskunde 11 3de graad KSO-TSO

10 Het voorstellen van termen met indices en het gebruik van het sommatieteken krijgen de nodige aandacht en verruimen het algebraïsch instrumentarium. Eventueel kan men rekenkundige en meetkundige rijen met elkaar vergelijken. Rekenkundig en meetkundig gemiddelde spelen dan een analoge rol. Men zal het belang van rijen illustreren door een aantal praktische vraagstukken. De limiet van een rij in +4 zal leiden tot de begrippen convergentie en divergentie. Via de geassocieerde partieelsommen wordt de convergentie van reeksen besproken. Een illustratie via de overeenkomstige rekenkundige en meetkundige reeksen zal leiden tot enkele belangrijke besluiten. De formule van Lagrange zal veralgemeend worden en leiden tot de formules van Taylor en Maclaurin. Deze formules vormen een basis voor de benadering van een functie door veeltermfuncties. Deze formules kunnen gebruikt worden om veeltermbenaderingen op te stellen voor bijvoorbeeld cos x, sin x, (1 + x) q (q is een rationaal getal), ln(1 + x), e x,... Hier is er gelegenheid tot numeriek rekenwerk. 4 Matrixrekening - stelsels Het hoofddoel van dit onderwerp is het leren oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de methode van Gauss-Jordan of volgens de methode van Cramer. Matrices en determinanten treden hierbij als hulpmiddelen op. Men kan dit onderwerp op één van de volgende manieren uitwerken. Een mogelijkheid is dat men eerst matrices behandelt en daarna de toepassing ervan bij het oplossen van stelsels. Om het begrip matrix, het produkt van matrices,... aan te brengen kan men gebruik maken van een van de talrijke toepassingen van matrices binnen en buiten de wiskunde. Een andere mogelijkheid voor het uitwerken van dit onderwerp is dat men alles aanbrengt aan de hand van het oplossen van stelsels. Elementaire rijoperaties vinden hun oorsprong in het vervangen van stelsels door andere equivalente stelsels. Matrices worden dan geïntroduceerd om het schrijfwerk te beperken. De coëfficiënten van de onbekenden en de rechterleden uit de vergelijkingen vormen een schema, een matrix. Nu kan gedefinieerd worden wat men onder een matrix verstaat, wat de coëfficiëntenmatrix en de uitgebreide matrix van een stelsel zijn en wat elementaire rijoperaties zijn. De optelling en de vermenigvuldiging van matrices worden dan behandeld. De vermenigvuldiging van matrices komt voor in de notatie A.X = B voor een stelsel. Er kan hier ingegaan worden op enkele eigenschappen van het vermenigvuldigen van matrices: de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, is associatief als de bewerking mogelijk is, niet alle matrices hebben een inverse, het bestaan van nuldelers,... De inverse van een matrix kan berekend worden via elementaire rijoperaties. Hoe men een determinant aanbrengt zal afhangen van de gekozen optie. Men kan dit doen vanuit het inverteren van matrices of op zuiver algebraïsche wijze. Men zal er in elk geval op wijzen dat de determinant een rol zal spelen bij het oplossen van vierkante stelsels. De rang van een matrix kan men bepalen met behulp van hoofddeterminanten of door het uitvoeren van een aantal rijoperaties. De algemene oplosbaarheidsvoorwaarde voor een stelstel (rang van de coëfficiëntenmatrix = rang van de uitgebreide matrix) moet vermeld worden. Deze voorwaarde kan uit voorbeelden afgeleid worden. Het oplossen van stelsels zal bij voorkeur geschieden via de Gauss-Jordan reductiemethode. De regel van Cramer levert een elegante formule voor het oplossen van sommige stelsels. Die regel heeft echter ook nadelen: voor grotere stelsels vraagt het uitrekenen van de determinanten veel tijd en de methode is niet op alle stelsels toepasbaar. Naast het oplossen van stelsels zal ook het bespreken van eenvoudige stelsels aan bod komen. Dat bepaalde stelsels voor bepaalde waarden van de coëfficiënten oplosbaar zijn en voor andere strijdig, zal aanleiding geven tot het opstellen van de oplosbaarheidsvoorwaarden (elimineren). Men zal er ook op wijzen dat men een oplosbaarheidsvoorwaarde kan formuleren zonder de oplossing zelf te zoeken. Bij de eliminatie kan het opstellen van de nodige en voldoende voorwaarde opdat twee tweedegraadsvergelijkingen een gemeenschappelijke oplossing zouden hebben een interessante nieuwe toepassing vormen. AV Wiskunde 12 3de graad KSO-TSO

11 5 Ruimtemeetkunde De ruimtemeetkunde moet als een verlengstuk gezien worden van de vroeger bestudeerde vlakke meetkunde. Als aanloop kan men de studie van punten, rechten en vlakken en hun onderlinge ligging op een intuïtieve manier onderzoeken en meetkundig formuleren. Bijzondere aandacht moet geschonken worden aan de ontwikkeling van het ruimteliijk inzicht en aan het vertrouwd maken van de leerlingen met het schetsen in een plat vlak. Om de elementen uit die ruimte analytisch te beschrijven zal men een basis in die ruimte invoeren. Punten, rechten en vlakken, meetkundige voorwaarden,... krijgen nu een algebraïsche vertaling, die soms handiger blijkt te zijn. Belangrijk zijn de vraagstukken die verband houden met het opstellen van vergelijkingen van rechten en vlakken die aan zekere voorwaarden voldoen. Transformaties van de ruimte (projectie, spiegeling,...) kunnen eventueel behandeld worden. Nadat men het scalair produkt ingevoerd heeft komen nieuwe metrische problemen ter sprake. Hoeken en afstanden kunnen nu gemakkelijker berekend worden. In de opbouw van de ruimtemeetkunde zal men de studie van de bekendste veelvlakken en oppervlakken integreren. Alhoewel enkele basisformules omtrent oppervlakte en inhoud intuïtief aanvaard kunnen worden (zelfs bewezen kunnen worden in de analyse), zal men hier mogelijkheden inbouwen om oppervlakte- en inhoudsproblemen meetkundig te behandelen. Eigenschappen uit de ruimtemeetkunde zullen op de meeste opportune manier behandeld wor-den: vectorieel, analytisch of synthetisch. 6 Combinatieleer De combinatieleer bestaat vooral in het oplossen van telproblemen die onder andere voorkomen bij het berekenen van kansen. Deze studie zal omvatten: het opzoeken van het aantal variaties, permutaties en combinaties. Het spreekt vanzelf dat elk geval geïllustreerd moet worden met een reeks aangepaste voorbeelden en dat bij het inoefenen in de eerste plaats de soort van groepering onderzocht moet worden. Het bepalen van de binomiaalformule van Newton kan gebeuren door het berekenen van (a + b) 2, (a + b) 3,..., (a + b) n. Dit leidt eveneens tot het opstellen van de driehoek van Pascal. 7 Beschrijvende statistiek Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het ordenen, samenvatten en overzichtelijk voorstellen van gegevens (zowel kwalitatieve als kwantitatieve) afkomstig uit allerlei disciplines. Verklarende statistiek daarentegen formuleert conclusies, met een zekere betrouwbaarheid en maakt daarbij gebruik van kansrekening. Ruwe statistische gegevens worden geordend, grafisch voorgesteld en samengevat. Het ordenen van de gegevens gebeurt aan de hand van een frequentietabel. Het groeperen brengt met zich reeds een samenvatting van de informatie en dus een verlies aan informatie mee. Als er minder klassen gemaakt worden, gaat er meer informatie verloren, maar is het resulterende frequentiediagram overzichtelijker en andersom. Er zijn veel mogelijkheden om statistische gegevens grafisch voor te stellen. Het is belangrijk dat de leerlingen een aantal frequent voorkomende grafische voorstellingen leren lezen en interpreteren. Men zal niet nalaten er enkele te tekenen. Een verdere stap in het verwerken van statistische gegevens met behulp van kwantitatieve kenmerken zijn de centrummaten en spreidingsgetallen. Het is noodzakelijk de leerlingen erop te wijzen dat sommige getallen, gebruikt in de statistiek, geregeld misbruikt worden. Een typisch voorbeeld in dit verband is dat van gegevens over inkomens. Meestal ligt hierbij het "rekenkundig gemiddelde" hoger dan de "mediaan". Wie er belang bij heeft mensen te doen geloven dat het "gemiddelde" inkomen hoog is, gebruikt het "rekenkundig gemiddelde" en wie daarentegen de indruk wil wekken dat het "gemiddelde" inkomen laag is, kiest de "mediaan". AV Wiskunde 13 3de graad KSO-TSO

12 Een systematische behandeling van mogelijke grafische voorstellingen, kentallen voor het centrum en de spreiding van frequentieverdelingen, riskeert te ontaarden in een dorre opsomming. Het is beter deze voorstellingen en kentallen gaandeweg in te voeren bij het behandelen van een groot aantal voorbeelden, die zo realistisch en actueel mogelijk gekozen worden. 8 Kansrekenen In de kansrekening stelt men eerst duidelijk wat een uitkomstenverzameling is en wat onder een gebeurtenis wordt verstaan. Hierbij sluit aan wat een enkelvoudige en een samengestelde gebeurtenis is. Deze begrippen kunnen aangebracht worden door middel van gemakkelijk uit te voeren experimenten. De combinatieleer zal hier gebruikt worden voor het oplossen van de optredende telproblemen. Beschouwingen over de voorwaarden waaraan de kansen moeten voldoen, kunnen er toe leiden een axiomatisch kansmodel op te stellen. Men kan hierbij aandacht besteden aan de zogenaamde uniforme kansverdeling wat vrij veel maar niet uitsluitend voorkomt. De voornaamste formules van de kansleer, de somregel en de produktregel, zullen zeker besproken worden. Hun bijzondere gevallen zijn daarvan een uitloper. Men zal dus ondermeer het onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen via voorbeelden illustreren. De regel van de voorwaardelijke kans kan het eindpunt vormen. Voor de klassen die het aankunnen, kan een ruimer perspectief aangeboden worden. Het definiëren van een stochastische veranderlijke, zowel continue en discrete, kan het verband met de analyse duidelijk maken. Nadat men de twee voornaamste parameters van een verdeling: wiskundige verwachting en standaardafwijking van een stochastische veranderlijke, heeft gedefinieerd, kan men enkele belangrijke kansverdelingen onderzoeken. 9 Analytische meetkunde De bedoeling van dit programmaonderdeel is een belangrijke bijdrage te leveren tot de meetkundige vorming van de leerlingen. Dit gebeurt hier aan de hand van een groot en coherent geheel, dat een duidelijk beeld geeft van de mogelijke wisselwerking tussen meetkunde en algebra. Hierbij wordt geleerd hoe men meetkundige problemen kan oplossen met analytische methoden. Het is een synthese van wat vroeger gezien werd en tevens een basis voor verdere wiskundige studies. Men leert nu gebruik te maken van "vlakken" die weliswaar meetkundig abstracter zijn maar die anderzijds belangrijke voordelen bieden. Het algebraïsch rekenwerk zal dikwijls eenvoudiger zijn omdat men bijvoorbeeld de assenstelsels beter aan de figuren kan aanpassen, omdat men gebruik kan maken van complexe getallen, enz. Bovendien wordt het mogelijk efficiënter te werken omdat men verschillende problemen in het gewone vlak kan oplossen als speciale gevallen van één overkoepelende theorie in het "abstracter vlak". Denk hier aan lineaire systemen van kegelsneden, algemene snijpuntstheorie, pooltheorie. Het bewust en gecontroleerd hanteren van abstractere modellen als wiskundige techniek kan in deze leerstof zeer duidelijk geïllustreerd worden. Deze nieuwe hulpmiddelen worden aangewend om wat ingewikkelder configuraties van punten en rechten in het vlak te bestuderen. Verder zal men, als veralgemening van de cirkel, ook nulpunten van willekeurige kwadratische vergelijkingen onderzoeken: de kegelsneden. 1 AFSTAND EN LOODRECHTE STAND IN HET EUCLIDISCH VLAK De afstand tussen twee punten uitgedrukt met behulp van hun coördinaten in een cartesiaans assenstelsel wordt als een eenvoudige toepassing van de stelling van Pythagoras bekomen. Een meetkundige definitie van het scalair produkt van twee vectoren maakt gebruik van afstanden en hoeken. Een vertrekpunt kan hier de "correctieterm" zijn in de cosinusregel, als men die vergelijkt met de stelling van Pythagoras. De analytische uitdrukking voor dit scalair produkt is eenvoudig en met behulp van de cosinusregel te vinden. Wil men het bewijs van de bilineariteit leveren, dan zal vooraf de coördinaat van de som van twee vectoren en van een veelvoud van een vector moeten bepaald worden. AV Wiskunde 14 3de graad KSO-TSO

13 Uit de analytische uitdrukking van het scalair produkt wordt de voorwaarde voor de orthogonaliteit van twee rechten afgeleid. De kans wordt hier geboden om vraagstukken en eigenschappen uit de meetkunde analytisch te behandelen. Een overzicht van de merkwaardige punten in een driehoek kan hierbij aansluiten. 2 EUCLIDISCH, AFFIEN EN PROJECTIEF VLAK In dit leerstofpunt worden verschillende vlakken ingevoerd. Deze vlakken staan niet los van het vlak zoals dat tot nu toe bekend is. Het is niet in de eerste plaats de bedoeling om een structurele studie te maken van het projectief vlak en het gecomplementeerd affien vlak. De klemtoon ligt veeleer op het laten inzien hoe ze als hulpmiddel gebruikt worden om meetkundige problemen handig en efficiënt op te lossen. Dit wordt onder ander getoond door een aantal reeds behandelde problemen over rechten opnieuw op te lossen en nieuwe begrippen en problemen (zoals dubbelverhouding, harmonische puntenviertallen, bundels rechten,...) te bestuderen. Om de verschillende vlakken en hun onderling verband te behandelen, kan men verschillende wegen gebruiken. Hierbij moet de klemtoon liggen op het oplossen van concreet voorstelbare meetkundige problemen in het gewone vlak. De structuren zijn niet zo precies afgebakend, maar worden wel op een geleidelijke en gemotiveerde wijze ingevoerd vertrekkend van het bekende vlak. Het begrip "assenstelsel" wordt uitgebreid door een willekeurige basis in B 0 te kiezen. Op die manier bekomt men affiene assenstelsels {0,e 1,e 2 } en affiene coördinaten. Rechten hebben nog steeds eerstegraadsvergelijkingen in zulk assenstelsel, maar de eenvoudige uitdrukking voor het scalair produkt is niet meer geldig in een affien assenstelsel. Dit heeft tot gevolg dat problemen in verband met afstanden en hoeken veel moeilijker op te lossen zijn in een niet-rechthoekig assenstelsel. Komen deze metrische begrippen echter niet voor, dan wordt de analytische oplossing eenvoudiger omdat een affiene ijk gemakkelijker kan aangepast worden aan figuren zoals een driehoek, een parallellogram,... Men kan dit aantonen door enkele affiene begrippen als deelverhouding (en dus midden), zwaartelijnen,... opnieuw te behandelen. Aspecten van transformatiemeetkunde kunnen opnieuw belicht worden. Op deze manier ontstaat een (niet volledig geformaliseerd) beeld van de scheiding tussen het affien en het euclidisch vlak. Vervolgens wordt een abstracter vlak opgebouwd, namelijk het gecompleteerde vlak, waar punten en richtingen de nieuwe "punten" worden (eigenlijke punten en punten op 4). Ook "rechten" worden opnieuw gedefinieerd. De analytische beschrijving van dit vlak vertrekt van de invoering van homogene coördinaten ten overstaan van een affiene ijk. Het is mogelijk meer algemene projectieve ijken in te voeren. Dit zijn homogene stelsels waarbij grondpunten niet meer op de rechte op 4 moeten liggen. Algebraïsch kan men met affienhomogene coördinaten werken zoals met projectieve coördinaten. Op dit punt gekomen kan men wijzen op een meer algemene structuur, namelijk het projectief vlak. 3 KEGELSNEDEN Tot dusver werden figuren bestudeerd die opgebouwd zijn uit punten en rechten. Rechten hebben eerstegraadsvergelijkingen. Bij de studie van de parabool in het tweede leerjaar van de tweede graad zijn ook al kwadratische vergelijkingen aan bod gekomen. Cirkels, ellipsen en hyperbolen, gedefinieerd als meetkundige plaatsen, leiden ook tot dergelijke vergelijkingen. Het is de bedoeling puntenverzamelingen beschreven door kwadratische vergelijkingen nu algemeen te bestuderen. Bij deze studie is het eenvoudig te vertrekken van het projectief vlak, waar men nulpunten van homogene tweedegraadsveeltermen met drie veranderlijken zal bestuderen. Dit is een logische uitbreiding van de "rechten" uit het projectief vlak die nulpunten waren van homogene eerstegraadsvergelijkingen. Daar het bij tweedegraadsvergelijkingen algebraïsch al eenvoudiger is over te werken, zal men nu ook punten met complexe coördinaten toelaten. Dit leidt tot een niet-geformaliseerde invoering van het gecomplexifieerd vlak. Hier is weer geen abstracte studie van deze structuur vereist, maar er moet worden getoond hoe dit vlak wordt aangewend bij het oplossen van "reële" meetkundige problemen. AV Wiskunde 15 3de graad KSO-TSO

14 Eerst worden snijpuntstheorie en pooltheorie (met inbegrip van raaklijntheorie) ontwikkeld. Deze vormen de basis voor verdere affiene begrippen (middelpunten, middellijnen, toegevoegde middellijnen, asymptoten) en euclidische begrippen (assen, toppen, normalen,...). Deze studie zal uiteindelijk leiden tot de volledige classificatie van tweedegraadskrommen in ellipsen (cirkels), hyperbolen en parabolen. De keuze van een aangepaste ijk leidt tot eenvoudige vergelijkingen. Dit belangrijke punt kan men telkens meetkundig illustreren. Door een gepast assenstelsel te kiezen met de assen als X- en Y-as komt men tot de euclidische canonieke vorm. De projectieve theorie van lineaire systemen van kegelsneden (bundels en netten) is een efficiënt middel om snel de vergelijkingen van families kegelsneden te vinden. De analogie met rechtenbundels kan een startpunt zijn. Een analytische definitie van bundels als lineaire combinaties van de vergelijkingen van de basiskegelsneden is dan nogal voor de hand liggend. Elke kegelsnede kan men beschouwen als een zestal op een factor na bepaald en dus een "punt" uit een nieuwe projectieve ruimte. Een bundel is dan een "rechte" in deze ruimte. Dergelijke interpretaties kunnen de leerlingen een "veralgemeende meetkundige intuïtie" bijbrengen. Bij het zoeken van de hoofdrichtingen en de assen heeft men een verband met eigenwaarden en eigenvectoren van 2x2-matrices. Men bepaalt brandpunten en excentriciteit van kegelsneden met behulp van de canonieke vergelijking. Hier kan men dan terugkeren tot de definities van deze kegelsneden als meetkundige plaatsen. Indien enigszins mogelijk zal men niet nalaten ook op het ontstaan van de kegelsneden als doorsneden van een kegel en een vlak te wijzen. Een korte schets van de belangrijke historische rol van kegelsneden (o.a. in de Griekse wiskunde) kan ook verrijkend zijn. 4 MEETKUNDIGE PLAATSEN Kegelsneden, maar ook vele andere krommen, verkrijgt men als meetkundige plaatsen. De meetkundige voorwaarden die een meetkundige plaats karakteriseren, vertolken zich, na de keuze van een ijk, als een voorwaarde voor de coördinaten: de vergelijking van de meetkundige plaats in die ijk. Naast gevallen waar men rechtstreeks de definitie van de meetkundige plaats in een analytische voorwaarde omzet, zal men ook voorbeelden bespreken van meetkundige plaatsen die gedefinieerd worden als snijpunten van families geassocieerde krommen. De betekenis van "elimineren" van de parameter, als het opstellen van de oplossingsvoorwaarden zonder eerst de oplossingen zelf te zoeken, kan hier zeer duidelijk geïllustreerd worden. Het verschijnen van "singuliere" en "parasitische" delen kan dan precies verklaard worden. Om het "meetkundig" denken van de leerlingen te bevorderen, is het aangewezen bij de studie van meetkundige plaatsen zich niet te beperken tot het afleiden van de vergelijking ervan. Het bepalen van een ruwe schets van de meetkundige plaats is leerrijk en werkt stimulerend en controlerend. Dit kan gebeuren met de volgende (niet exhaustieve) lijst van hulpmiddelen: - bepalen van gebieden, - bepalen van symmetrieassen, - bepalen van snijpunten met de coördinatenassen, - bepalen van asymptotische richtingen en asymptoten, - bepalen van bijzondere punten en raaklijnen in deze punten. Deze laatste twee items kunnen voor algebraïsche krommen op korte en elementaire wijze behandeld worden door gebruik te maken van de snijpuntstheorie (snijden van de kromme met de rechte). Dit kan aangebracht worden vertrekkend van de reeds behandelde theorie voor kegelsneden en kan geïllustreerd worden via enkele eenvoudige klassieke voorbeelden. Het opent tevens perspectieven voor verdere studie. Tevens kan gebruik gemaakt worden van de methoden die in de analyse ontwikkeld werden. AV Wiskunde 16 3de graad KSO-TSO

15 5 POOLCOÖRDINATEN Het invoeren en bespreken van poolcoördinaten in het georiënteerd euclidisch vlak als alternatieve analytische beschrijving van figuren moet niet noodzakelijk als laatste hoofdstuk worden aangepakt. Bij de definitie zal men zeker wijzen op verschillen met cartesiaanse coördinaten: de pool heeft geen coördinaten en één punt heeft meerdere stellen poolcoördinaten t.o.v. een gekozen poolstelsel. Het nut van poolcoördinaten kan blijken uit de eenvoudige poolvergelijking van sommige krommen (o.a. cirkels en kegelsneden). In meer technische toepassingen komen bijvoorbeeld cycloïden voor. Bij de transformatieformules tussen geassocieerde stelsels (pool- en cartesiaans stelsel) is de interpretatie als modulus en argument van het beeldpunt in het complex vlak voor de poolcoördinaat enerzijds, en als reëel en imaginair deel van de cartesiaanse coördinaten anderzijds, interessant. Dit opent tevens nieuwe perspectieven op het gebruik van de complexe getallen bij meetkundige problemen (en omgekeerd). AV Wiskunde 17 3de graad KSO-TSO

16 LEERPLAN B VOOR ZES LESTIJDEN PER WEEK 3 LEERSTOFAFBAKENING Opmerkingen - Het leerplan wordt aangeboden als een graadleerplan. De leerkrachten bepalen in onderling overleg welke onderwerpen in het eerste leerjaar behandeld worden en welke onderwerpen in het tweede leerjaar. Het is zonder meer duidelijk dat in het tweede leerjaar geen onderwerpen mogen behandeld worden die reeds in het eerste leerjaar behandeld werden. - Het is niet de bedoeling een afzonderlijke studie te maken van de werking van het rekentoestel. Telkens waar het verantwoord is, zal men het rekentoestel gebruiken, wijzend op de mogelijkheden van het toestel maar ook op de beperkingen ervan. - Voor het gebruik van de computer binnen de lessen wiskunde verwijzen we naar het addendum achteraan in de brochure. - De leerstofpunten 1 tot en met 8 sluiten aan bij het leerplan A en het leerplan B uit de tweede graad, de leerstofpunten 9 en 10 bij het leerplan A en de leerstofpunten 11 en 12 bij het leerplan B. 1 Reële functies 1.1 Rationale functies: begrip, domein, nulpunten en tekenonderzoek. 1.2 Irrationale functies: begrip, domein, nulpunten. 1.3 Het verloop van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie. Eenvoudige goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden. 1.4 Cyclometrische functies. 1.5 Logaritmische en exponentiële functies: begrip, eigenschappen, domein. Het getal e. Eenvoudige vergelijkingen. 2 Analyse 2.1 Reële getallen: orde-eigenschappen, decimale voorstelling, infimum en supremum. 2.2 Limiet van een functie in +4 en -4 en in een punt a. Berekenen van limieten. 2.3 Continuïteit van een functie in een punt en over een deelverzameling van het domein. 2.4 Afgeleide: begrip, afgeleide functie, interpretaties. Vergelijking van de raaklijn aan een kromme in een punt ervan. Rekenregels voor het afleiden. De tweede afgeleide. 2.5 Toepassingen van afgeleiden. - Studie van het verloop van functies: stijgen, dalen, extrema, buigpunten, raaklijnen, asymptoten, grafische voorstelling. - Extremaproblemen, de regel van de l'hospital. 2.6 Bepaalde integraal: begrip, interpretaties, eigenschappen. 2.7 Primitieve functies, verband met bepaalde integralen. Integratiemethoden. 2.8 Toepassingen: berekening van oppervlakten en inhouden, toepassingen uit andere disciplines. AV Wiskunde 18 3de graad KSO-TSO

17 3 Matrixrekening - stelsels 3.1 Matrices: begrip, bewerkingen. 3.2 Elementaire rijoperaties; methode van Gauss-Jordan voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. 3.3 Facultatief: determinant van een matrix. 3.4 Facultatief: methode van Cramer voor het oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. 3.5 Facultatief: opstellen van oplossingsvoorwaarden (eliminant). 4 Combinatieleer 4.1 Variaties met en zonder herhaling, permutaties, combinaties. 4.2 Binomiaalgetallen en de driehoek van Pascal. 4.3 Binomium van Newton. 5 Beschrijvende statistiek 5.1 Globale voorstellingen van statistische gegevens, interpretaties. 5.2 Beschrijvende maten: centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus); spreidingsmaten (variantie, standaardafwijking, variatiecoëfficiënt, variatiebreedte). 6 Kansrekenen 6.1 Kansbegrip, berekenen van kansen. 6.2 Voorwaardelijke kans, onafhankelijke gebeurtenissen. 7 Analytische meetkunde 7.1 Analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten. 7.2 Scalair produkt van twee vectoren; analytische uitdrukking. 7.3 Analytische voorwaarde voor loodrechte stand. 7.4 Afstand van een punt tot een rechte. 7.5 Vergelijking van een cirkel. Raaklijnen. 8 Ruimtemeetkunde 8.1 Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken. 8.2 Hoeken. Loodrechte stand. 8.3 Projecties. 8.4 Elementaire eigenschappen van lichamen. 8.5 Vraagstukken op het berekenen van oppervlakte en inhoud van een prisma, een parallellepipedum, een balk, een kubus, een piramide, een cilinder, een kegel, een bol. De leerstofpunten 9 en 10 zijn alleen bestemd voor leerlingen die in de tweede graad het leerplan A hebben gevolgd. 9 Analytische meetkunde 9.1 Ellips, hyperbool, parabool: definities, canonieke vergelijking, grafiek, assen van symmetrie, raaklijn, normaal, asymptoot, middellijn. 9.2 Facultatief: methoden voor het opzoeken van meetkundige plaatsen. 9.3 Poolcoördinaten. AV Wiskunde 19 3de graad KSO-TSO

18 10 Rijen en reeksen 10.1 Rekenkundige en meetkundige rijen Convergentie van een rij Som van een oneindige meetkundige rij Facultatief: convergentie van een reeks, reeksontwikkeling van een functie, formules van Taylor en Maclaurin. De leerstofpunten 11 en 12 zijn alleen bestemd voor leerlingen die in de tweede graad het leerplan B hebben gevolgd. 11 Goniometrie 11.1 Som- en verschilformules Formules voor de dubbele hoek Formules van Simpson. 12 Complexe getallen 12.1 Definities, hoofdbewerkingen Oplossen van vierkantsvergelijkingen met negatieve discriminant De goniometrische vorm van complexe getallen De formule van de Moivre. Toepassingen. 4 DIDACTISCHE WENKEN 1 Reële functies Nadat men in het tweede leerjaar van de tweede graad veeltermfuncties heeft bestudeerd, zal men nu kennis maken met nieuwe reële functies: de gebroken rationale, de irrationale, de goniometrische, de cyclometrische en tenslotte de exponentiële en de logaritmische functies. Het is telkens de bedoeling het begrip goed te omschrijven, in te gaan op het bepalen van het domein en de nulpunten en de verandering van het teken te onderzoeken. Voor de gebroken rationale functies volstaat het met functies te werken waarvan teller en noemer door de leerlingen kunnen ontbonden worden. Men zal de nodige aandacht besteden aan de rekenvaardigheden. Enkele voorbeelden van gebroken rationale vergelijkingen zullen de leerlingen vertrouwd maken met het stellen van bestaansvoorwaarden. Het invoeren van irrationale functies zal met de nodige omzichtigheid moeten gebeuren. Men moet er rekening mee houden dat men slechts van goed gekozen veeltermen het teken kan bepalen zodat het bepalen van het domein van een irrationale functie een haalbare kaart blijft. De functies y = a.sin[b(x + c)] werden in het tweede leerjaar van de tweede graad onderzocht. De leerlingen maakten daarbij kennis met de begrippen amplitude, periode en verschuiving. Men herhaalt, in het kort, deze begrippen en breidt ze uit naar de cosinusfunctie. Voor de tangensfunctie maakt men gebruik van puntvoor-punt-constructies. Bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen zal men zich best beperken tot het oplossen van de grondvormen en van ontbindbare vergelijkingen. Het is voldoende ongelijkheden van de vorm sin(ax + b) # c op te lossen. Bijzondere zorg moet besteed worden aan de inverse relaties van de goniometrische functies die zelf geen functies zijn. Door de goniometrische functies evenwel te beperken zal men laten zien dat de inverse relaties van die beperkte functies wel functies zijn. Het is wenselijk hierbij de grafiek van cyclometrische functies uit deze van de rechtstreekse functies af te leiden, gebruikmakend van het verband dat bestaat tussen de grafieken van twee inverse functies in een rechthoekig assenstelsel. AV Wiskunde 20 3de graad KSO-TSO

19 Hoe de leerkracht de logaritmische en de exponentiële functies zal aanbrengen, zal van zijn eigen oordeel (voorkeur) afhangen. De keuze van behandelen zal echter bepalend zijn voor de plaats in het geheel van het leerplan. Volgens een eerste werkwijze wordt logaritme gedefinieerd als de inverse van een macht, die toelaat de exponent te berekenen als grondtal en resultaat van de machtsverheffing gekend zijn. Het is duidelijk dat hiervoor het exponentbegrip moet uitgebreid worden tot reële exponenten. Voldoende aandacht moet worden besteed aan de beperkingen die in de definitie ingebouwd zijn. Steunend op de definitie kan men de voornaamste eigenschappen van logaritmen aantonen. Door punt-voor-punt-constructies van goedgekozen logaritmische en exponentiële functies kan men de voornaamste eigenschappen van de grafiek afleiden. Een tweede mogelijkheid is de ln-functie aan te brengen via een goed gekozen integraalfunctie. Daarna komt de willekeurige logaritmische functie ter sprake en van daaruit wordt de exponentiële functie afgeleid. Het is hoe dan ook wenselijk dat het getal van Euler (e) de nodige aandacht krijgt. Er zal in ieder geval gewezen worden op de impakt van deze transcendente functies op andere disciplines. Een rijke illustratie via voorbeelden van groeimodellen, intrestberekening, enz. zal hier niet overbodig zijn. Bij het oplossen van vergelijkingen zal men zich beperken tot het oplossen van de meest voorkomende, namelijk a f(x) = b en tot vergelijkingen die herleidbaar zijn tot vierkantsvergelijkingen. 2 Analyse Vooraf zal de kennis van de verzameling van de reële getallen aangevuld worden. In het bijzonder is de volledigheid van ú belangrijk. De eigenschap van het supremum kan toegepast worden op het meer nauwkeurig bepalen van decimale voorstellingen van reële getallen. Het benaderen van reële getallen met eindige decimale voorstellingen kan belicht worden. Analyse is een van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde in deze studierichtingen. De leerstof zal de leerlingen zeker boeien als de opbouw voldoende afgestemd wordt op de twee einddoelen: 1 beschikken over een algemene methode om een grote waaier van reële functies te onderzoeken en deze in grafiek te brengen; 2 het integraalrekenen toepassen op meetkundige en andere problemen. Daartoe vereist de opbouw een zorgvuldige planning die bewijzen van stellingen kan overslaan zonder in oppervlakkigheid te vervallen. In deze optiek zijn afgeleiden belangrijker dan continuïteit en limieten en zullen daarom ook ruimere aandacht moeten krijgen. Er is meer dan één opbouw mogelijk. De volgorde in de leerstofafbakening is niet bindend. Zo kan nog steeds "continuïteit" aan "limieten" voorafgaan en "convergentie van rijen" met behulp van het limietbegrip ingevoerd worden. In deze opbouw moet een selecte keuze gebeuren uit het overgrote aantal bewijsvoeringen, zowel in functie van de beschikbare tijd als met het oog op de specifiek kritische vorming die de analyse kan meegeven. Ook de moeilijkheidsgraad van de oefeningen moet verantwoord zijn vanuit de twee hoger vermelde einddoelen. Bij een andere opbouw van de analyse kan convergentie en divergentie van een rij dienen tot de opbouw van het limietbegrip van een rij en van functies in het algemeen. De eigenschappen van limieten zullen, naast de onontbeerlijke rekenvaardigheden, het inzichtelijke bevorderen. Een beperkte keuze van oefeningen volstaat hier. Het begrip continuïteit van een reële functie in een element van het domein komt tot stand door de limiet van de functie te vergelijken met de functiewaarde. Hierdoor wordt de grafische betekenis van continu-doorlopende grafiek mogelijk. Het invoeren van de afgeleide van een reële functie in een element van het domein kan op verschillende manieren gebeuren. Er bestaan geschikte aanknopingspunten bij situaties die de leerlingen bekend zijn. De afgeleide als maat voor de ogenblikkelijke verandering van een functie in een punt wordt grafisch ondersteund door de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn. Het belang van de afgeleiden moet geïllustreerd worden door een geschikte keuze te maken uit haar toepassingsgebieden. AV Wiskunde 21 3de graad KSO-TSO

20 De voornaamste formules voor het afleiden van elementaire functies kunnen als toepassingen van de corresponderende limietregels opgesteld worden. Bij het berekenen van afgeleiden is het toepassen van formules een noodzaak. Het bekomen resultaat wordt, indien nodig, tot zijn meest bruikbare vorm herleid. Het verband tussen stijgen en dalen van een functie enerzijds en het teken van haar afgeleide anderzijds is eenvoudig intuïtief te zien. In deze studierichtingen wordt echter een meer rigoreuze behandeling verwacht. Hierbij steunt men op eigenschappen van reële getallen en op een aantal stellingen over continue functies over een gesloten interval. Men kan de middelwaardestellingen (Rolle, Lagrange) vermelden en hun betekenis toelichten. Via tegenvoorbeelden zal men grafisch aantonen dat de voorwaarden van deze stellingen wel degelijk nodig zijn. Het opstellen van de regel van de l'hospital is hier zeker op zijn plaats. Geschikt gekozen oefeningen zullen de leerlingen overtuigen van de efficiëntie van deze techniek. De grafiek van een functie is als visuele voorstelling interessant omdat zij veel informatie op een zeer directe wijze kan overbrengen. Voor de leerlingen is het tekenen van een grafiek, aan de hand van een functievoorschrift, een belangrijke vaardigheid. Met behulp van de afgeleide wordt de methode om grafieken te schetsen verbeterd. Een studie van het tekenverloop van de afgeleide functie levert een eerste beeld van de grafiek. Het berekenen van een aantal oordeelkundig gekozen punten (extrema, buigpunten, snijpunten met de assen, eventueel nog enkele andere punten) zorgt voor meer nauwkeurigheid. Het oplossen van maxima- en minimaproblemen, ook uit andere disciplines, kan nu ook via de theorie van de afgeleiden aan bod komen. Zin voor controle van een gevonden resultaat is belangrijk. Het aanbrengen van de bepaalde integraal kan met de theorie van de onder- en de bovensommen. De eigenschappen van de bepaalde integraal zullen grafisch toegelicht worden. Sommige bewijzen kunnen weggelaten worden. De hoofdstelling van de integraalrekening koppelt het begrip bepaalde integraal aan afgeleide. In plaats van via het lange proces van ondersommen beschikt men nu over een middel om langs een kortere weg bepaalde integralen te berekenen. De leerkracht zal niet overdrijven in het aanleren van integratiemethoden. Niet voor de hand liggende substituties zijn overbodig. Men beperkt zich tot integratiemethoden die voldoende zijn voor het afwerken van dit leerplan. In de categorie van de meetkundige toepassingen komen dan de klassieke problemen aan bod: oppervlakteberekening van een vlak gebied, oppervlakteberekening en inhoudsberekening van een omwentelingsoppervlak. Afhankelijk van de samenstelling van de groep kan een geschikte keuze gemaakt worden voor toepassingen uit andere disciplines. 3 Matrixrekening - stelsels Het hoofddoel van dit onderwerp is het leren oplosssen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen volgens de methode van Gauss-Jordan (of volgens de methode van Cramer). Matrices (en determinanten) treden hierbij als hulpmiddel(en) op. Men kan dit onderwerp op één van de volgende manieren uitwerken. Een mogelijkheid is dat men eerst matrices behandelt en daarna de toepassing ervan bij het oplossen van stelsels. Om het begrip matrix, het produkt van matrices,... aan te brengen kan men gebruik maken van een van de talrijke toepassingen van matrices binnen en buiten de wiskunde. Een andere mogelijkheid voor het uitwerken van dit onderwerp is dat men alles aanbrengt aan de hand van het oplossen van stelsels. Elementaire rijoperaties vinden hun oorsprong in het vervangen van stelsels door andere equivalente stelsels. Matrices worden dan geïntroduceerd om het schrijfwerk te beperken. De coëfficiënten van de onbekenden en de rechterleden uit de vergelijkingen vormen een schema, een matrix. Nu kan gedefinieerd worden wat men onder een matrix verstaat, wat de coëfficiëntenmatrix en de uitgebreide matrix van een stelsel zijn en wat elementaire rijoperaties zijn. De optelling en de vermenigvuldiging van matrices worden dan behandeld. De vermenigvuldiging van matrices komt voor in de notatie A.X = B voor een stelsel. Er kan hier ingegaan worden op enkele eigenschappen van het vermenigvuldigen van matrices: de vermenigvuldiging van matrices is niet commutatief, is associatief als de bewerking mogelijk is, niet alle matrices hebben een inverse, het bestaan van nuldelers,... AV Wiskunde 22 3de graad KSO-TSO