2. WEERGAVE VAN GEGEVENS

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2. WEERGAVE VAN GEGEVENS"

Transcriptie

1 2. WEERGAVE VAN GEGEVENS 2.1. Binaire getallen Zoals we reeds in het vorige hoofdstuk aanhaalden werken computers zoals binaire apparaten, i.e. hun output kan in twee mogelijke toestanden bestaan. We definieerden een computer als een apparaat dat data ontvangt, opslaat en informatie verwerkt. In dit hoofdstuk zullen we de manier waarop de gegevens in de computer worden weergegeven wat van naderbij bekijken. We zullen ons hier vooral toespitsen op de weergave van getallen. In het binaire talstelsel worden alle waarden voorgesteld gebruik makend van twee binaire getallen 0 en 1. Om meer dan twee mogelijke toestanden tegelijkertijd te kunnen weergeven moeten logischerwijze een reeks enkelvoudige binaire apparaten gegroepeerd worden. In de meeste gevallen worden deze groepen van binaire outputs geïnterpreteerd als voorstelling van getallen en worden ze bijgevolg binaire getallen genoemd. Alle individuele getallen of "digits" van deze getallen worden binaire digits of bits genoemd. Binaire getallen worden op een gelijkaardige manier als de klassiek gekende decimale getallen gebruikt. We weten inderdaad dat het getal 294 wil zeggen {2 honderdtallen + 9 tientallen + 4 eenheden}, waar elk van deze getallen een hogere macht van 10 vertegenwoordigt dan zijn rechterbuur : = 294 Het enige verschil bij binaire getallen is dat elke opeenvolgende plaats aan de linkerkant een macht van twee voorstelt en dat de enig mogelijke getallen 0 en 1 zijn. Het binaire getal betekent dus in het decimale stelsel : Computervaardigheden 39

2 = = 27 Er is natuurlijk wel af en toe verwarring mogelijk, bv. tussen het binaire getal 10 en het decimale getal 10. Wanneer een mogelijke ambiguïteit zou kunnen optreden kan men achter het binaire getal de basis van het talstelsel in subscript vermelden. Op die manier kan men schrijven dat 10 2 =2 10 en = De omgekeerde conversie, van decimaal naar binair, is iets minder evident, maar toch nog vrij eenvoudig. Het volgende algoritme beschrijft de omzetting van een positief decimaal getal naar een binair getal : 1. Ga van start met B leeg 2. Zo lang D niet nul is herhaal de volgende sequentie : a. als D even is, voeg 0 aan de linker kant van B bij b. als D oneven is, voeg 1 aan de linker kant van B bij c. Deel D door twee, rond naar beneden af en ga terug naar 2a Als voorbeeld bekijken we in Figuur 2.1. de omzetting van de decimale getallen 19 en 116 naar binaire getallen : Omzetten van 19 naar binair : 19 is oneven B = 1, D = 9 9 is oneven B = 11, D = 4 4 is even B = 011, D = 2 2 is even B = 0011, D = 1 1 is oneven B = 10011, D = 0 Computervaardigheden 40

3 Omzetten van 116 naar binair : 116 is even B = 0, D = is even B = 00, D = is oneven B = 100, D = is even B = 0100, D = 7 7 is oneven B = 10100, D = 3 3 is oneven B = , D = 1 1 is oneven B = , D = 0 Figuur 2.1. Omzetting van decimaal naar binair Voorstellen van gehele getallen Vermits alle computers informatie behandelen als bits (0 of 1) kunnen gehele getallen ("integers") gemakkelijk binair opgeslagen worden. Bij de opslag van een geheel getal in een computer, kan het binaire equivalent ervan worden opgeslagen als een bitpatroon. Zo kan het gehele getal 19 worden opgeslagen als het bitpatroon 10011, terwijl 116 kan worden opgeslagen als Het kan voor een computer echter moeilijk zijn om te bepalen waar de ene waarde in het geheugen eindigt en waar de andere waarde begint, vermits binaire getallen een verschillend aantal bits kunnen bevatten. Dit probleem wordt door de meeste computers en programma's opgelost door gehele getallen steeds door eenzelfde aantal bits weer te geven (gewoonlijk gaat het hier om 32 bits) ; aan de linkerkant van elk binair getal worden 0-en bijgeplaats totdat de ganse sequentie 32 bits lang is. De computer zal dus het getal 19 voorstellen als : Vermits elk geheel getal 32 bits lang is, kunnen er in total 2 32 = verschillende bitpatronen voorgesteld worden. Men verdeelt nu, bij conventie, deze patronen gelijk over positieve en negatieve gehele getallen. Programma's die dus 32 bits gehele getallen gebruiken kunnen dus 2 32 /2 = 2 31 = niet-negatieve Computervaardigheden 41

4 getallen (met inbegrip van 0) en 2 32 /2 = 2 31 = negatieve getallen opslaan. De overeenkomst tussen gehele getallen en bitpatronen wordt samengevat in Figuur 2.2. Wanneer je Figuur 2.2. bekijkt, is het je waarschijnlijk opgevallen dat bitpatronen die met een 1 beginnen overeenkomen met negatieve waarden, terwijl deze die met de 0 bit beginnen overeenkomen met niet-negatieve getallen. De eerste bit in elk bitpatroon fungeert dus als de zogenaamde tekenbit voor het getal. Zo begint het bitpatroon van 3 met een 0 (de tekenbit) en eindigt het met de 31-bit weergave van 3 : Analoog komt het bitpatroon van het decimale getal 100 overeen met een 0, gevolgd door de 31-bits voorstelling van het getal 100, nl Als men op deze manier negatieve getallen zou gaan willen coderen, dan kon men allereerst een 1 schrijven, gevolgd door de 31-bits voorstelling van de absolute waarde van het negatieve getal. Bitpatroon Decimale waarde ( 2 31 = ) ( = ) ( = ) ( 3) ( 2) ( 1) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( = ) ( = ) ( = ) Figuur 2.2. Voorstelling van gehele getallen als bitpatronen. Nu blijkt dat deze voorstellingswijze voor decimale getallen een aantal belangrijke nadelen heeft. Allereerst zou een systeem met dergelijke voorstellingswijze het patroon Computervaardigheden 42

5 als een negatieve nul identificeren. Vermits in het decimale stelsel slechts één nul voorkomt, die daarenboven niet negatief of positief is, is het voorkomen van twee voorstellingen voor nul onnodig en verwarrend. Tevens blijkt dat de optelling van twee binaire getallen, waar we verder in dit hoofdstuk even dieper op ingaan, onnodig gecompliceerd wordt. Om deze moeilijkheden te vermijden zullen computers op exact de tegengestelde manier bitpatronen gaan toekennen aan de negatieve getallen. Dit betekent inderdaad dat het negatieve gehele getal dat het grootste is in absolute waarde ( 2 31 ) overeen zal komen met het kleinste bitpatroon ( ), terwijl het negatieve decimale getal met de kleinste absolute waarde ( 1) overeenkomt met het grootste bitpatroon ( ). Naast het voorkomen van een negatieve nul, blijkt deze notatie, ook de two's complement representatie of de twee-complement notatie genoemd, de binaire optelling een stuk gemakkelijker te maken. Het optellen van binaire getallen is in principe niet verschillend van het optellen van decimale getallen. In het decimale talstelsel worden, bij de optelling van twee getallen, de cijfers in de overeenkomstige kolommen opgeteld vertrekkend van rechts. Wanneer de som een getal geeft bestaande uit twee cijfers (een getal 10), dan wordt de 1 overgedragen naar de volgende kolom (wanneer het getal tussen 10 en 19 ligt). Op een gelijkaardige manier worden bij de optelling van binaire getallen de overeenkomstige bits opgeteld vertrekkend aan de rechterkant. Als de som van twee bits een 2-bits getal oplevert (een getal 10 2 ), dan wordt de 1 overgedragen naar de volgende kolom. Als voorbeeld bekijken we de optelling van twee binaire getallen in Figuur Figuur 2.3. Voorbeelden van binaire optelling. Computervaardigheden 43

6 2.3. Voorstellen van reële getallen Het opslaan van gehele getallen in de computer kan op een vrij intuïtieve basis begrepen worden. Ook reële getallen (t.t.z. niet-gehele getallen) kunnen binair opgeslagen worden, maar de overeenkomst is veel minder direct. Een reëel getal kan op twee manieren weergegeven worden : de decimale en de wetenschappelijke notatie. Je kan inderdaad het getal ook weergeven als E3 (of ). Als reële getallen in de wetenschappelijke notatie geschreven worden, dan wordt de voorstelling genormaliseerd zodat slechts één bit voorkomt aan de linkerkant van de komma. Een aantal voorbeelden van de omzetting van de decimale naar de wetenschappelijke notatie van reële getallen zijn : Elk reëel getal kan op een unieke manier geïdentificeerd worden door de twee bestanddelen van deze genormaliseerde vorm : het fractionele gedeelte (t.t.z. de getallen die rond de komma staan) en de exponent (t.t.z. de macht van 10). Vermits de komma steeds voorkomt tussen het eerste en het tweede getal van het fractioneel deel, is het mogelijk hem niet in beschouwing te nemen bij de weergave van het getal. Men kan op deze manier elk onderdeel van een reëel getal in de wetenschappelijke notatie behandelen als een geheel getal. Zo kan het voorgaande voorbeeld , genormaliseerd tot , voorgesteld worden door de gehele getallen (123456, 3). Analoog kan 50.0, genormaliseerd tot in de wetenschappelijke notatie, worden voorgesteld door ( 5,1) en kan , genormaliseerd tot in de wetenschappelijke notatie tot , worden voorgesteld als (99, 4). Reële getallen die in dit formaat worden opgeslagen noemt men "floating-point" getallen (in het Nederlands spreekt men van zwevende komma getallen). Deze benaming komt van het feit dat het normalisatieproces de komma laat drijven totdat er één getal aan de linkerkant ervan overblijft. In 1985 werd door het "Institute of Electrical and Electronics Engineers" (IEEE) een standaard weergave voor de opslag van "floating-point" getallen vooropgesteld dat sindsdien door praktisch alle computer- en software constructeurs wordt gevolgd. Computervaardigheden 44

7 Volgens deze IEEE standaard kan een "floating-point" getal worden voorgesteld door ofwel 32 bits (4 bytes) of 64 bits (8 bytes). De 32-bits voorstelling, ook "single precision" (enkele precisie) genoemd, gebruikt 24 bits om het fractionele gedeelte op te slaan (met inbegrip van de teken-bit) en 8 bits voor de exponent. Dit geeft aanleiding tot een reeks van mogelijke waarden die gaan van ongeveer tot Bij de 64-bits voorstelling daarentegen, ook "double precision" (dubbele precisie) genoemd, worden 53 bits voorzien voor het fractionele gedeelte (m.i.v. de teken-bit) en 11 bits voor de exponent, zodaning dat een veel groter aantal mogelijke waarden kunnen weergegeven worden (van ongeveer tot ). De IEEE voorstelling van "floating point" getallen wordt nog eens schematisch weergegeven in Figuur Meer details over de IEEE enkele en dubbele precisie weergave is buiten het bereik van dit opleidingsonderdeel. Het is echter belangrijk van in te zien dat een reëel getal uiteindelijk wordt weergegeven door twee gehele getallen (een fractioneel gedeelte en een exponent) die gecombineerd worden tot een karakteristiek binair patroon. We merken tevens op dat sommige bitpatronen worden voorbehouden voor "speciale waarden", bv. NaN, wat staat voor "Not-a-Number". In Matlab, het programma waarin we zullen programmeren, is dit het resultaat van onbepaalde wiskundige operaties, zoals 0/0, /, 0, -, enzovoort. Tekenbit Tekenbit Exponent (8 bits) Fractioneel gedeelte (23 bits) Exponent (11 bits) Fractioneel gedeelte (52 bits) Figuur 2.4. IEEE weergave van "floating-point" getallen. Computervaardigheden 45

8 Vermits er echter een oneindig aantal reële waarden zijn maar slechts een eindig aantal 32- of 64-bitpatronen, is het niet verwonderlijk dat computers niet alle reële getallen kunnen voorstellen, zelfs niet diegene die in het gebied van de enkele en dubbele precisie liggen. Wanneer het resultaat van een berekening een reëel getal oplevert dat niet exact kan worden weergegeven, dan zal de computer de waarde afronden naar het patroon dat het dichtste tegen die waarde ligt. Voor een enkele precisie "floating-point" getal wil dit zeggen dat een precisie van ongeveer 7 cijfers na de komma kan gehaald worden. Dit wil zeggen dat de computer elk getal dat meer dan 7 beduidende cijfers bevat zal afronden. Gebruik makend van dubbele precisie kunnen 16 cijfers na de komma gehaald worden. Wanneer het resultaat van een wiskundige operatie resulteert in een getal dat te groot is om weergegeven te worden in onze representatie, dan spreekt men van een "overflow". Merk op dat een "overflow" zowel kan optreden langs de positieve kant (t.t.z. het getal is te groot om weer te geven) als langs de negatieve kant (het getal is te klein om het weer te geven). Men spreekt hier dan respectievelijk van een positieve en van een negatieve "overflow". Wanneer het getal (of de absolute waarde) van het getal te klein is om weer te geven spreekt men van een "underflow" ; ook hier kan men het onderscheid maken tussen een positieve en een negatieve "underflow". In de meeste programmeertalen zal een onderscheid gemaakt worden tussen gehele getallen en reële getallen, door gehele getallen voor te stellen als 32-bits patronen en reële getallen d.m.v. het "floating-point" format. Matlab gebruikt echter één enkele representatie, nl. de IEEE dubble precisie "floating-point" weergave. Gehele getallen worden weergegeven als zogenaamde "floating integers", d.w.z. dat ze essentiëel worden opgeslagen in hun "floating-point" voorstelling. Een belangrijk gegeven in het rekenen met computers is te weten hoe klein het verschil kan zijn tussen twee getallen dat de computer kan herkennen. Deze grootheid noemt men de "machine eps" (waar eps de afkorting is voor het Griekse epsilon). Deze maat voor de nauwkeurigheid van de machine wordt bepaald door het kleinste "floatingpoint" getal te zoeken dat, wanneer opgeteld bij "floating-point" 1.000, een resultaat geeft verschillend van Getallen die kleiner zijn dan de machine eps zijn effectief nul in de computer. In Matlab bedraagt deze machine eps Computervaardigheden 46

9 2.4. Voorstellen van karakters In tegenstelling tot gehele en reële getallen is er geen voor de hand liggende of natuurlijke overeenkomst tussen karakters en binaire getallen. Het is daarom dat arbitraire systemen zijn opgesteld om karakters voor te stellen als bitpatronen. De standaard code om karakters voor te stellen is de ASCII (American Standard Code for Information Interchange) code, waarbij elk karakter overeenkomt met een specifiek 8- bits patroon. De ASCII codes voor de meest gebruikelijke karakters zie je afgebeeld in Figuur 2.5. Merk op dat de drie karakter-subgroepen, cijfers, kleine en hoofdletters elk worden voorgesteld door opeenvolgende binaire getallen. Aan de cijfers worden de binaire getallen met decimale waarden vanaf 48 tot en met 57 toegekend, de hoofdletters gaan van 65 tot 90 en de kleine letters van 97 tot en met 122. Deze rangschikking is belangrijk, omdat het in een Matlab programma (en ook in andere programmeertalen) de mogelijkheid geeft om twee karakterwaarden met elkaar te vergelijken. Zo zal in Matlab de sequentie van uitdrukkingen : c1 = 'a' c2 = 'b' c1 < c2 de logische vector 1 opleveren, waarbij "1" staat voor het feit dat de uitdrukking op de derde lijn waar is. Dit komt omdat Matlab de ASCII codes voor c1 en c2 met elkaar vergeleken heeft. Vermits een string een opeenvolging van karakters is, kan men deze voorstellen door een sequentie van bytes, waarbij elke byte overeenkomt met de ASCII code voor het specifieke karakter. Zo zal het woord "genoom" worden voorgesteld door het bitpatroon weergegeven in Figuur 2.6, waarbij de eerste byte (8 bits) overeenkomt met de ASCII code voor "g", de tweede met de ASCII code voor "e", enz. Het is daarom dat in Matlab, wanneer strings met elkaar vergeleken worden, deze vergelijking karakter per karakter gebeurt. Inderdaad, wanneer je de volgende uitdrukkingen in Matlab invoert : s1 = 'ann' s2 = 'ban' s1 < s2 Computervaardigheden 47

10 dan zou je de volgende logische vector moeten krijgen omdat de ASCII codes van de twee ingevoerde strings element per element vergeleken worden (de twee strings moeten echter wel dezelfde lengte hebben). Ondanks het feit dat 8-bits ASCII codes voldoende zijn om Nederlandse tekst voor te stellen, zijn ze veel te klein om bepaalde andere alfabetten voor te stellen. De Chinese taal bv. bevat duizenden karakters en het is dus onmogelijk om deze allemaal van elkaar te onderscheiden wanneer men gebruik maakt van slechts één byte geheugen. De steeds toenemende internationalisering zorgt er daarom voor dat ASCII stilaan vervangen wordt door Unicode, een 16-bits code systeem dat de meeste karaktersets uit vreemde talen kan ondersteunen. Om deze overgang van ASCII naar Unicode te vereenvoudigen hebben de ontwikkelaars ervoor gezorgd dat Unicode terugwaarts compatibel is met ASCII. Dit wil zeggen dat de Unicode voor een "traditioneel" karakter gelijk is aan de ASCII code ervan, voorafgegaan door 8 nullen. Zo zal 'f' in ASCII overeenkomen met en met in Unicode Voorstellen van andere vormen van gegevens en data Tot dusver hebben we besproken hoe de basis datatypen, zoals gehele en reële getallen, karakters en strings, in de computer worden opgeslagen als patronen van binaire getallen. Bij het opslaan en manipuleren van waarden van deze gegevens, zullen programma's de voorstellingswijzen die we reeds hebben behandeld gebruiken, tesamen met een aantal specifieke variaties. Zo zal een tekstverwerkingsprogramma bv. tekst opslaan gebruik makend van ASCII code's, maar zal het ook speciale karakter symbolen invoegen om bepaalde opmaak informatie aan te duiden. Computervaardigheden 48

11 ASCII karakter codes Code Karakter Code Karakter Code Karakter spatie ! A a " B b # C c $ D d % E e & F f G g ( H h ) I i * J j K k L l M m N n / O o P p Q q R r S s T t U u V v W w X x Y y : Z z ; [ { < \ = ] } > ^ ~ ? delete Figuur 2.5. De ASCII code voor karakters "g" "e" "n" "o" "o" "m" " Figuur 2.6. Voorstelling van een string als een sequentie van ASCII codes. Computervaardigheden 49

12 Computers zijn echter in staat om veel meer dan alleen maar getallen en karakters weer te geven. Om echter complexe data op een efficiënte manier te kunnen manipuleren en opslaan moeten computers beschikken over bijkomende technieken en algoritmen. Sommige van deze algoritmen laten toe data naar binaire getallen om te zetten, terwijl andere gebruikt worden om de data samen te drukken, waardoor de binaire weergave wordt ingekort. We zullen in de volgende paragrafen de meest courante methoden voor het opslaan van geluid en beelden in de computer aan bod laten komen Geluiden Vooraleer we dieper ingaan op de voorstelling van geluiden in de computer dienen we eerst stil te staan bij het verschil tussen digitaal en analoog. Data kan elektronisch op twee manieren voorgesteld worden, nl. als analoge of als digitale signalen. Analoge signalen stellen de data voor op een manier die analoog is aan de werkelijkheid ; hiermee bedoelen we dat signalen kunnen variëren over een oneindige reeks van waarden. Digitale signalen daarentegen gebruiken slechts een discreet (eindig) aantal waarden. Zo zijn radiosignalen bv. inherent analoog, vermits hun frequenties gemeten worden op een continue schaal. AM radiostations zenden uit op frequenties gaande van 535 tot 1700 kilohertz, terwijl FM stations op frequenties van 88 tot 108 megahertz uitzenden. Bij oudere radiotoestellen werd de frequentie voorgesteld als een welbepaalde positie op een draaiknop. De gebruiker stemde dan de radio af door aan de knop de draaien ; de positie van de knop liet echter toe om elke waarde in een continuum te gaan specifiëren. De meeste moderne radiotoestellen daarentegen stellen frequenties voor als discrete waarden, die worden afgebeeld als getallen op een klein scherm. Zo kunnen gebruikers van digitale radio's gewoonlijk FM frequenties kiezen tot op 0.1 megahertz, zoals bv en 106.8, terwijl ze AM frequenties kunnen kiezen tot op 10 kilohertz, zoals 1480 en Frequenties die tussen deze discrete waarden liggen kunnen dus niet weergegeven worden op de radio en kunnen dus niet gekozen worden. Er zijn echter verschillende andere types van gegevens die, net zoals radiofrequenties, zowel op een analoge als een digitale manier kunnen voorgesteld worden, afhankelijk van het gebruikte toestel en de technologie die erbij betrokken is. Een analoge Computervaardigheden 50

13 thermometer bv. bevat een kolom met een vloeistof, zoals alcohol of kwik, en geeft verschillende temperaturen aan naarmate de hoogte van de kolom verandert. Een digitale thermometer daarentegen geeft de temperatuur weer als een discreet getal, gewoonlijk tot op 0.1 C. Een ander voorbeeld is een klok. Bij een analoge klok bewegen de wijzers zich over een genummerde plaat, en duidt de positie van de wijzers op de schijf de tijd aan. Een digitale klok daarentegen geeft de tijd als een reeks van discrete getallen waarbij uur, minuten en soms ook seconden worden weergegeven. Van belang bij de keuze tussen analoge en digitale weergave is het aspect variabiliteit versus reproduceerbaarheid. Vermits analoge systemen gaan over een continue schaal van waarden, kan men een veel groter aantal unieke signalen weergeven. Zo laat bv. de knop aan een radio toe om de exacte frequentie te vinden voor de best mogelijke ontvangst van een bepaald radiostation. Het kan echter wel moeilijk zijn om later deze meest optimale positie te reproduceren. Wanneer je naar een ander station overschakelt en je zou na verloop van tijd opnieuw naar het oorspronkelijke station willen overschakelen dan dien je opnieuw de radio af te stellen zodanig dat de ontvangst optimaal is. Met een digitale radio ontvanger daarentegen zou het kunnen dat je de optimale radiofrequentie (bv ) moet afronden naar de dichtstbij gelegen weer te geven frequentie (106.9). Je kan de digitale instelling megahertz echter gemakkelijk onthouden en eenvoudig opnieuw instellen. Men kan in het algemeen stellen dat analoge weergave voldoende is voor de opslag van data die een hoge graad van variatie bezit maar die niet exact moet weergegeven worden. Bij een analoge radio dien je niet telkens exact de frequentie van het radiostation in te geven, je kan naar een zender luisteren zonder telkens de meest optimale frequentie te gaan zoeken. Op dezelfde manier zijn digitale thermometers en klokken vaak voldoende, vermits het slechts zelden voorkomt dat een persoon de exacte temperatuur en tijd dient te weten ; het is vaak voldoende om een ruwe schatting te maken door naar de thermometer of de klok te kijken. Onder welbepaalde omstandigheden echter kunnen deze nadelen van analoge weergave echter voor problemen zorgen ; zo kan het zijn dat een wetenschapper bij een experiment exact de temperatuur moet kunnen weergeven. Bij de opslag van gegevens in een computer is reproduceerbaarheid natuurlijk van zeer groot belang. De verandering van één enkele bit in een bestand kan de betekenis van de Computervaardigheden 51

14 data op een drastische manier veranderen. Het is daarom dat computers digitaal werken en dat ze data op een digitale manier bewaren en manipuleren. Geluiden zijn echter inherent analoge signalen. Elk geluid produceert een drukgolf met een unieke amplitude (hoogte of uitwijking, meestal gemeten in pascal (Pa)) en frequentie. In Figuur 2.7 zie voorbeelden van een aantal golfpatronen, gegenereerd door een stemvork, een viool, een fluit en een gong. Als deze geluidsgolven het oor bereiken, zullen ze het trommelvlies laten trillen ; deze trilling wordt dan door de hersenen geïnterpreteerd als geluid. stemvork viool fluit gong Figuur 2.7. Golfpatronen overeenkomend met een stemvork, viool, fluit en gong. Telefoons gaan deze golfpaketten vertalen in elektrische signalen met wisselende sterkte, die daarna over een draad verstuurd worden en aan het andere eind opnieuw in geluid worden omgezet. Platenspelers reproduceren geluiden door het interpreteren van golven, opgeslagen als groeven van variërende diepte en breedte op het oppervlak van een plaat. Cassette-spelers werken op een gelijkaardige manier ; golven worden vertaald in signalen van wisselende sterkte en dan bewaard als gemagnetiseerde plaatsen op een band. In de meeste gevallen zal het feit dat analoge signalen die op een band opgeslagen zijn niet exact kunnen weergegeven worden geen groot bezwaar vormen. De reden hiervoor is dat het menselijk oor in de meeste gevallen bepaalde inconsistenties en fouten in de Computervaardigheden 52

15 geluidsweergave niet zal opmerken. Wanneer een bepaalde opname een aantal keren gedupliceerd wordt dan kunnen kleine fouten zich beginnen opstapelen, wat na verloop van tijd een duidelijk merkbaar verlies van kwaliteit met zich zal meebrengen. Digitale opnames daarentegen kunnen exact gereproduceerd worden, zodat een CD herhaaldelijk kan gecopiëerd worden zonder verlies van kwaliteit. Alvorens een geluid digitaal kan opgeslagen worden moet de analoge golf in een sequentie van discrete waarden omgezet worden. Dit noemt men digitale sampling, waarbij de amplitude van de golf op regelmatige intervallen gemeten wordt, waarna de sequentie van deze discrete set van meetwaarden opgeslagen wordt. Je kan dit proces geïllustreerd zien in Figuur dpa 100 dpa 0 dpa 100 dpa 200 dpa Figuur 2.8. Digitalisatie van een analoge geluidsgolf. De amplitude van de golf, hier gemeten in decipascals boven of onder normale luchtdruk, wordt opgenomen als een gehele waarde. Om geluiden nauwkeurig te kunnen reproduceren moeten zeer regelmatig metingen gedaan worden. Om geluid van CD kwaliteit te verkrijgen zijn er minimum metingen per seconde nodig. Het gevolg hiervan is dat zelfs korte opnames reeds grote hoeveelheden ruimte voor stockage nodig hebben. Er zijn daarom verschillende technieken ontwikkeld om de groote van digitale geluidsbestanden te verminderen. Een voorbeeld hiervan is het zogenaamde MP3 format, waardoor de grootte van geluidsbestanden met een factor 10 of meer kan gereduceerd worden. Computervaardigheden 53

16 Beelden Net zoals bij geluiden zijn er ook een hele reeks formats en compressie technieken voorhanden voor de opslag van beelden. De eenvoudigste manier om beelden op een computer weer te geven is als bitmap. Een bitmap verdeelt een figuur in een grid van punten, die pixels worden genoemd (een samentrekking van "picture elements"), waarna elke pixel in een bitpatroon wordt omgezet. In het geval van een zwart-wit figuur kan elke pixel als één enkele bit weergegeven worden, zoals je kan zien in Figuur 2.9, die toont hoe een eenvoudig zwart-wit figuurtje kan onderverdeeld worden in 64 pixels, die worden opgeslagen als 64 bits. Er dient hierbij echter opgemerkt te worden dat het in dit voorbeeld om een vrij ruwe verdeling gaat, wat resulteert in sommige pixels die deels zwart en deels wit zijn. Wanneer dit gebeurt krijgt de pixel meestal de bit-waarde toegewezen van de hoofdkleur ; in dit voorbeeld zal het dus zo zijn dat een roostertje dat hoofdzakelijk zwart is wordt voorgesteld als een 0. Figuur 2.9. Creatie van een bitmap uit een zwart-wit figuurtje De term resolutie verwijst naar de scherpte of de duidelijkheid van een afbeelding. Omdat elke pixel een bepaalde kleurwaarde toegewezen krijgt, zullen bitmaps die in kleinere pixels onderverdeeld zijn een hogere resolutie hebben. Het is echter zo dat elke bijkomende pixel de benodigde opslagruimte met één bit verhoogt. Het maken van een bitmap van een kleurplaatje vereist meer dan één bit om elke pixel voor te stellen. In de meeste gevallen wordt elke pixel in een 24-bits code vertaald, de zogenaamde RGB waarde van de pixel. Deze term is afkomstig van het feit dat de kleur van de pixel wordt ontleed in verschillende intensiteiten van rood, groen en blauw. Elk van deze drie componenten krijgt 8 bits toegewezen, zodat intensiteiten van 0 tot 255 kunnen weergegeven worden (hierbij zal 0 overeenkomen met een complete afwezigheid van de desbetreffende kleur en 255 met maximale intensiteit). In Figuur 2.10 zie je de RGB waarden voor een aantal typische HTML kleuren weergegeven. Computervaardigheden 54

17 Typische HTML kleuren Kleur (R,G,B) Kleur (R,G,B) Kleur (R,G,B) rood (255,0,0) groen (0,128,0) blauw (0,0,255) donkerrood (139,0,0) donkergroen (0,100,0) donkerblauw (0,0,139) crimson (220,20,60) olijf (128,128,0) lichtblauw (173,216,230) roze (255,192,203) lichtgroen (144,238,144) purper (128,0,128) violet (238,130,238) bruin (165,42,42) grijs (128,128,128) oranje (255,165,0) wit (255,255,255) zwart (0,0,0) Figuur Typische HTMP kleuren en hun (R,G,B) voorstelling. Merk op dat bv. de verschillende roodschakeringen worden gecreëerd door de intensiteit van de rode component aan te passen. Andere kleuren, zoals bv. crimson en roze, vereisen het mengen van de drie componenten. Vermits er voor elke kleur 256 mogelijke intensiteiten zijn, kunner er dus = verschillende kleurencombinaties voorgesteld worden. In het Microsoft Windows besturingssysteem ben je ongetwijfeld reeds bitmaps tegengekomen. Bitmaps worden hier frequent gebruikt om iconen en achtergrondfiguren voor te stellen, en krijgen hierbij de extensie BMP. Ondanks het feit dat bitmaps eenvoudig te beschrijven en te begrijpen zijn, vereisen ze veel geheugen wanneer complexe beelden dienen opgeslagen te worden. Twee andere populaire formats voor de opslag van beelden zijn GIF (Graphics Interchange Format) en JPEG (Joint Photographic Experts Group). Deze starten beiden vanaf een bitmap weergave en gebruiken dan verschillende methoden om het beeld compacter te maken. Deze compressie houdt in dat algoritmes worden toegepast waardoor het bitpatroon van het beeld wordt verkort. Bij het GIF formaat worden technieken gebruikt waardoor zich herhalende patronen aanwezig in het beeld efficiënt worden opgeslagen. Neem bv. het zwart-wit beeldje uit Figuur 2.9 ; dit beeldje bevat drie lijnen die volledig zijn opgebouwd uit witte pixels. Wanneer het GIF format gebruikt wordt, zal dit patroon slechts éénmaal opgeslagen worden, waarbij er dan een speciaal merkteken wordt ingebracht op de plaats waar elk patroon begint. Door het opslaan van patronen die frequent voorkomenk kan de grootte van de uiteindelijke weergave van het beeld sterk gereduceerd worden. Computervaardigheden 55

18 Het GIF format is een verliesloos formaat, aangezien er tijdens de compressie geen informatie verloren gaat. Dit betekent dat het oorsponkelijke beeld exact kan gerecupereerd worden. JPEG daarentegen gebruikt echter compressietechnieken die niet volledig omkeerbaar zijn. Zo zal bij het JPEG formaat bv. van verschillende pixels die in de buurt van elkaar liggen de gemiddelde waarde van hun kleur opgeslagen worden. Bij een kleurenfoto zijn kleurenveranderingen vaak geleidelijk en kan de JPEG aanpak gebruikt worden om de grootte van het beeld te reduceren zonder de kwaliteit van het beeld veel te verlagen. In de praktijk zal men het GIF format typisch gebruiken voor beelden met lijnen en, meer in het algemeen, discrete grenzen, omdat in dat geval precisie noodzakelijk is. Het JPEG format daarentegen zal vaak gebruikt worden voor foto's, waar tot op zekere hoogte precisie kan opgeofferd worden voor een betere compressie te verkrijgen. Tenslotte vestigen we de aandacht op een vrij evidente vraag nl. hoe een computer weet van een bepaald gegeven dat is opgeslagen over welke soort data het gaat. Zo kan het bij het bitpatroon gaan om het gehele getal 97, het karakter "a", de exponent van een bepaald reëel getal of zelfs een onderdeel van een beeld. Het antwoord op deze vraag is eigenlijk eenvoudig : zonder de aanwezigheid van enige context kan de computer dit onderscheid niet maken. Wanneer een programma een gegeven in het geheugen opslaat, dan is het de verantwoordelijkheid van dat programma om te onthouden over welke gegevens een welbepaalde reeks van bitpatronen voorstelt. Computervaardigheden 56

COMMUNICATIE- EN COMPUTERVAARDIGHEDEN IN DE CHEMIE

COMMUNICATIE- EN COMPUTERVAARDIGHEDEN IN DE CHEMIE COMMUNICATIE- EN COMPUTERVAARDIGHEDEN IN DE CHEMIE 4 e les Prof. Dr. Frank De Proft 22 oktober 2004 Derde les : Hoofdstuk 1 : Basisbegrippen Inleiding Enkele basisbegrippen 1 Vierde les : Binaire getallen

Nadere informatie

COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN

COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN 4 e les Prof. Dr. Frank De Proft 9 oktober 24 Derde les : Hoofdstuk : Computervaardigheden Enkele basisbegrippen» Hardware» Software» Internet en het web Binaire getallen

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2 WEERGAVE VAN GEGEVENS

HOOFDSTUK 2 WEERGAVE VAN GEGEVENS HOOFDSTUK 2 WEERGAVE VAN GEGEVENS 2.. Binaire getallen 2.2. Voorstellen van gehele getallen 2.3. Voorstellen van reële getallen 2.4. Voorstellen van karakters 2.5. Voorstellen van andere vormen van gegevens

Nadere informatie

5,7. Samenvatting door een scholier 903 woorden 28 september keer beoordeeld. Informatica. Samenvatting Informatica Hoofdstuk 2

5,7. Samenvatting door een scholier 903 woorden 28 september keer beoordeeld. Informatica. Samenvatting Informatica Hoofdstuk 2 Samenvatting door een scholier 903 woorden 28 september 2006 5,7 24 keer beoordeeld Vak Informatica Samenvatting Informatica Hoofdstuk 2 2.1 Teken en betekenis Uit welke 2 delen bestaat informatie? Betekenis

Nadere informatie

6,2. Paragraaf 2.1. Paragraaf 2.2. Samenvatting door een scholier 1375 woorden 10 december keer beoordeeld. Informatica Informatica actief

6,2. Paragraaf 2.1. Paragraaf 2.2. Samenvatting door een scholier 1375 woorden 10 december keer beoordeeld. Informatica Informatica actief Samenvatting door een scholier 1375 woorden 10 december 2006 6,2 6 keer beoordeeld Vak Methode Informatica Informatica actief Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.1 Kranten dienen om informatie te verspreiden. Een

Nadere informatie

Talstelsels en getalnotaties (oplmodel)

Talstelsels en getalnotaties (oplmodel) Talstelsels en getalnotaties (oplmodel) herhalingsvragen 1. Waarom werken computers binair? Omdat binaire computers veel makkelijker te maken is. De kans op fouten is ook veel kleiner. het spanningsverschil

Nadere informatie

Voorbeeld casus mondeling college-examen

Voorbeeld casus mondeling college-examen Voorbeeld casus mondeling college-examen Examenvak en niveau informatica havo Naam kandidaat Examennummer Examencommissie Datum Voorbereidingstijd Titel voorbereidingsopdracht 20 minuten van analoog naar

Nadere informatie

Voorbeeld casus mondeling college-examen

Voorbeeld casus mondeling college-examen Voorbeeld casus mondeling college-examen Examenvak en niveau informatica vwo Naam kandidaat Examennummer Examencommissie Datum Voorbereidingstijd Titel voorbereidingsopdracht 20 minuten van analoog naar

Nadere informatie

slides12.pdf December 14, 2001 1

slides12.pdf December 14, 2001 1 Onderwerpen Inleiding Algemeen 12 Getallen Getallen Representaties Rekenen Problemen Piet van Oostrum 12 dec 2001 INL/Alg-12 1 X INL/Alg-12 1 X Getallen Soorten getallen Wat is een getal? Experiment: met

Nadere informatie

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni 2001 4,7 331 keer beoordeeld Vak Wiskunde Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je

Nadere informatie

1 Rekenen in eindige precisie

1 Rekenen in eindige precisie Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen

Nadere informatie

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig)

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) In elektronische realisatie zijn 10 verschillende toestanden moeilijk

Nadere informatie

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken. Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor

Nadere informatie

THEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal)

THEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal) THEORIE TALSTELSELS De binaire code Het geheugenelement van de computer kan slechts twee verschillende waarden bevatten. De schakelingen uit de computer werken daarom met een tweetallig ofwel binair stelsel.

Nadere informatie

Vectoren, matrices en beeld. Figuur: Lena. Albert-Jan Yzelman

Vectoren, matrices en beeld. Figuur: Lena. Albert-Jan Yzelman Vectoren, matrices en beeld Figuur: Lena Vectoren, matrices en beeld Hoe coderen we foto s zodat ze te gebruiken zijn op computers? Wat verwachten we van de bestandsgrootte? Hoe verkleinen we de benodigde

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: Digitale signalen

Hoofdstuk 6: Digitale signalen Hoofdstuk 6: Digitale signalen 6. Algemeenheden Het decimale talstelsel is het meest gebruikte talstelsel om getallen voor te stellen. Hierin worden symbolen gebruikt ( t.e.m. 9 ) die ondubbelzinning de

Nadere informatie

Talstelsels, getalnotaties en Ascii code

Talstelsels, getalnotaties en Ascii code Talstelsels, getalnotaties en Ascii code 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor wordt in digitale systemen als

Nadere informatie

Bouwstenen voor PSE. Datatypes en Datastructuren

Bouwstenen voor PSE. Datatypes en Datastructuren Bouwstenen voor PSE Datatypes en Datastructuren Definitie Datatype Klasse van dataobjecten tesamen met operaties om ze te construeren, te manipuleren en te verwijderen. Een datatype omvat een specificatie

Nadere informatie

Over Bits Pixels Dpi & Extensies

Over Bits Pixels Dpi & Extensies Over Bits Pixels Dpi & Extensies Pixels, kleurdiepte en kleur Een digitale afbeelding bestaat uit een verzameling van "pixels" die liggen gerangschikt in een rechthoekig raster van rijen en kolommen. Elke

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN

COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN COMPUTERVAARDIGHEDEN EN PROGRAMMEREN 3 e les Prof. Dr. Frank De Proft 12 oktober 2004 Tweede les : Inleiding Computerwetenschappen vs. computervaardigheden - Algoritmen 1 Derde les : Enkele basisbegrippen»

Nadere informatie

Activiteit 1. Tel de punten Binaire Getallen. Samenvatting. Kerndoelen. Vaardigheden. Leeftijd. Materiaal

Activiteit 1. Tel de punten Binaire Getallen. Samenvatting. Kerndoelen. Vaardigheden. Leeftijd. Materiaal Activiteit 1 Tel de punten Binaire Getallen Samenvatting Data in de computer worden opgeslagen als een serie van nullen en enen. Hoe kunnen we woorden en getallen weergeven met alleen deze twee symbolen?

Nadere informatie

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.

Nadere informatie

Hexadecimale en binaire getallen

Hexadecimale en binaire getallen Bijlage G Hexadecimale en binaire getallen Binaire en andere talstelsels De getallen waar wij gewoonlijk mee werken zijn genoteerd volgens het decimale stelsel. Het decimale stelsel is een zogenoemd positiestelsel.

Nadere informatie

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0. REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door

Nadere informatie

De horizontale lijnen geven de normale luchtdruk weer. Boven de horizontale lijn verhoogt de luchtdruk, onder de lijn vermindert de luchtdruk.

De horizontale lijnen geven de normale luchtdruk weer. Boven de horizontale lijn verhoogt de luchtdruk, onder de lijn vermindert de luchtdruk. Audio Introductie Geluid is een trilling van deeltjes, die zich voortplant in lucht of in een ander medium, zoals water. Een andere definitie: geluid is een voortschrijdende verandering van luchtdruk.

Nadere informatie

Interne voorstelling. types en conversies. Binaire en andere talstelsels. Voorstelling van gegevens: bits en bytes

Interne voorstelling. types en conversies. Binaire en andere talstelsels. Voorstelling van gegevens: bits en bytes Interne voorstelling types en conversies Het geheugen wordt ingedeeld in een aantal gebieden van gelijke grootte. Een gebied van 8 bits noemt men een byte (nible een groep van bits). Een (computer)woord

Nadere informatie

Blog-Het gebruik van variabelen in Excel VBA

Blog-Het gebruik van variabelen in Excel VBA Blog-Het gebruik van variabelen in Excel VBA Versie : 2012.01.31.1 (Blog http://www.reinder.eu) Dank voor de leuke reacties op het vorige blog en ook dank voor de kritische noot over het nivo dat de gebruiker

Nadere informatie

QR-code op aanvoerbrief 2.xx.0: Specificaties

QR-code op aanvoerbrief 2.xx.0: Specificaties QR-code op aanvoerbrief 2.xx.0: Specificaties Door: Bert Velthuijs Datum 1e versie: 5 april 2012 (versie 0.xx) Datum laatste wijziging 20 september 2012 Huidige Versie: 2.xx.0 Wijzigingen 19 juli 2012

Nadere informatie

Bijlage D. Binair rekenen

Bijlage D. Binair rekenen Bijlage D Binair rekenen Bits, bytes en computerwoorden Alle huidige computersystemen zijn gebaseerd op digitale logica. Elk geheugenelement kent een geladen en een niet-geladen positie. Vaak wordt dit

Nadere informatie

DEC SDR DSP project 2017 (2)

DEC SDR DSP project 2017 (2) DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal

Nadere informatie

Kleuren met getallen Afbeeldingen weergeven

Kleuren met getallen Afbeeldingen weergeven Activiteit 2 Kleuren met getallen Afbeeldingen weergeven Samenvatting Computers slaan tekeningen, foto s en andere afbeeldingen op door het gebruik van getallen. De volgende opdracht laat zien hoe. Kerndoelen

Nadere informatie

2 Elementaire bewerkingen

2 Elementaire bewerkingen Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 19 2 Elementaire bewerkingen 1 BINAIRE GETALLEN In het vorige hoofdstuk heb je gezien dat rijen bits worden gebruikt om lettertekens, getallen, kleuren, geluid en video

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Eenheden. In het dagelijks leven maken we van talloze termen gebruik, waarvan we ons de werkelijke herkomst eigenlijk niet goed realiseren.

Eenheden. In het dagelijks leven maken we van talloze termen gebruik, waarvan we ons de werkelijke herkomst eigenlijk niet goed realiseren. Eenheden In het dagelijks leven maken we van talloze termen gebruik, waarvan we ons de werkelijke herkomst eigenlijk niet goed realiseren. Hoe we grote getallen klein maken Als we naar de groenteboer gaan

Nadere informatie

talstelsels F. Vonk versie 1 30-7-2013

talstelsels F. Vonk versie 1 30-7-2013 2013 talstelsels F. Vonk versie 1 30-7-2013 inhoudsopgave 1. inleiding... - 2-2. binair... - 4-3. hexadecimaal... - 10-4. octaal (vwo)... - 17-5. bonus opgaves... - 20-6. wat heb je geleerd... - 21 - Dit

Nadere informatie

Registers & Adressering. F. Rubben, ing 2008-2010

Registers & Adressering. F. Rubben, ing 2008-2010 Registers & Adressering, ing 2008-2010 Inhoud Leerstof tot nu toe Opbouw registers Benaming registers Opbouw data Verloop programma Leerstof tot nu toe: Bouw PLC Intern Extern fabrikanten Aansluiten I/O

Nadere informatie

Binaire getallen? Werkboek. Doeblad

Binaire getallen? Werkboek. Doeblad Een computer is een soort grote rekenmachine. Hij bestaat uit een aantal onderdelen. Een belangrijk onderdeel is de harde schijf. Dit is het geheugen van de computer. Die bewaart alle informatie en documenten.

Nadere informatie

Proeftentamen in1211 Computersystemen I (NB de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)

Proeftentamen in1211 Computersystemen I (NB de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets) TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Informatietechnologie en Systemen Afdeling ISA Basiseenheid PGS Proeftentamen in1211 Computersystemen I (NB de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)

Nadere informatie

A. Wat zijn digitale afbeeldingen? B. Bitonaal, grijswaarden of kleur en de bitdiepte C. Resolutie, bestandsgrootte, compressie en bestandsformaten

A. Wat zijn digitale afbeeldingen? B. Bitonaal, grijswaarden of kleur en de bitdiepte C. Resolutie, bestandsgrootte, compressie en bestandsformaten CURSUS DIGITAAL ATELIER AFBEELDINGEN A. Wat zijn digitale afbeeldingen? B. Bitonaal, grijswaarden of kleur en de bitdiepte C. Resolutie, bestandsgrootte, compressie en bestandsformaten A. Wat zijn digitale

Nadere informatie

b. Van veel apparaten bestaat een digitale variant naast de normale. Denk bijvoorbeeld aan klokken en thermometers.

b. Van veel apparaten bestaat een digitale variant naast de normale. Denk bijvoorbeeld aan klokken en thermometers. H1P1 Opdracht 1 Digitaal a. Wat betekent het woord digitaal? In getallen. b. Van veel apparaten bestaat een digitale variant naast de normale. Denk bijvoorbeeld aan klokken en thermometers. Beschrijf het

Nadere informatie

Basisbegrippen i.v.m. kleur op beeldschermen, afbeeldingsformaten en resoluties

Basisbegrippen i.v.m. kleur op beeldschermen, afbeeldingsformaten en resoluties Basisbegrippen i.v.m. kleur op beeldschermen, afbeeldingsformaten en resoluties Kleurdiepte De hoeveelheid kleurinformatie die een pixel op een beeldscherm kan bevatten wordt bepaald door de bitdiepte.

Nadere informatie

Tentamen Computersystemen

Tentamen Computersystemen Tentamen Computersystemen baicosy06 2e jaar bachelor AI, 2e semester 23 september 2013 13u-15u IWO 4.04A (blauw), Academisch Medisch Centrum, Meidreef 29, Amsterdam ZuidOost Het is niet toegestaan communicatieapparatuur

Nadere informatie

Handleiding website Pax Christi

Handleiding website Pax Christi Handleiding website Pax Christi deel II Inhoudstafel 1. Invoegen van afbeeldingen... 1 1.1 Wat is een digitale afbeelding?...1 1.2 Het invoegen van een digitale afbeelding in een bericht... 2 2. Posten

Nadere informatie

De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2)

De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2) De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2) E. Gernaat (ISBN 978-90-79302-11-6) 1 Procescomputer 1.1 Microprocessoren algemeen De informatie-verwerking zoals is behandeld, is vrijwel geheel

Nadere informatie

OPDRACHTKAART. Thema: Multimedia/IT. Audio 4. Digitaliseren MM-02-10-01

OPDRACHTKAART. Thema: Multimedia/IT. Audio 4. Digitaliseren MM-02-10-01 OPDRACHTKAART MM-02-10-01 Digitaliseren Voorkennis: Je hebt Multimedia-opdrachten 1 tot en met 3 en audio-opdracht 1 t/m 3 (MM-02-03 t/m MM-02-09) afgerond. Intro: Geluid dat wij horen is een analoog signaal.

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Opslaan van afbeeldingen als JPG

Opslaan van afbeeldingen als JPG Opslaan van afbeeldingen als JPG 1 Computerclub Volwassenen, Jeugd en Informatica vzw www.vji.be Fotogroep VJI Digitale fotografie Opslaan van afbeeldingen als JPG Stefan Cruysberghs www.scip.be Juni 2003

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Muziek. Muziek. Analoog rekenen. Hoofdstuk 1: Van analoog naar digitaal. Analoog. Digitaal. Analoog. Gebruik makend van fysische grootheden Cf Babbage

Muziek. Muziek. Analoog rekenen. Hoofdstuk 1: Van analoog naar digitaal. Analoog. Digitaal. Analoog. Gebruik makend van fysische grootheden Cf Babbage Analoog rekenen Gebruik makend van fysische grootheden Cf Babbage Analoge electronica http://www.chem.uoa.gr/applets/appletopamps/appl_opamps2.html Hoofdstuk : Van analoog naar digitaal De rekenlat of

Nadere informatie

Variabelen en statements in ActionScript

Variabelen en statements in ActionScript Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer

Nadere informatie

Pascal uitgediept Data structuren

Pascal uitgediept Data structuren Pascal uitgediept Data structuren MSX Computer & Club Magazine nummer 68-juni/juli 1994 Herman Post Scanned, ocr ed and converted to PDF by HansO, 2001 In deze aflevering wordt bekeken hoe zelf een datastructuur

Nadere informatie

+ = Talstelsels. Maar wat is dan: -

+ = Talstelsels. Maar wat is dan: - Talstelsels Wie leert rekenen doet dat in het begin vaak met z n vingers erbij: 1 + 4 = Elke vinger krijgt een naam : één, twee,.tien. Eigenlijk is er helemaal geen sprake van rekenen, maar van tellen:

Nadere informatie

Lab Webdesign: Javascript 3 maart 2008

Lab Webdesign: Javascript 3 maart 2008 H5: OPERATORS In dit hoofdstuk zullen we het hebben over de operators (of ook wel: operatoren) in JavaScript waarmee allerlei rekenkundige en logische bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. Daarbij zullen

Nadere informatie

Rekenen met computergetallen

Rekenen met computergetallen Rekenen met computergetallen Getallenstelsel en notaties Getallen in computers zijn opgebouwd met het kleinste element dat een computer kent: een bit. Een bit kan twee logische waardes bevatten, een nul

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies 17 Operaties op bits In hoofdstuk 1 is gezegd dat C oorspronkelijk bedoeld was als systeemprogrammeertaal om het besturingssysteem UNIX te implementeren. Bij dit soort toepassingen komt het voor dat afzonderlijke

Nadere informatie

b) Teken op de bijlage welke lampjes van het klokje branden om 19:45:52. Schrijf eronder hoe je dit bepaald/berekend hebt. (3p)

b) Teken op de bijlage welke lampjes van het klokje branden om 19:45:52. Schrijf eronder hoe je dit bepaald/berekend hebt. (3p) NATUURKUNDE KLAS 4 PW HOOFDSTUK PW HOOFDSTUK 3-23/03/2011 Totaal: 3 opgaven, 29 punten. Gebruik eigen BINAS toegestaan. Opgave 1: binair klokje Er bestaan klokjes die de tijd binair weergeven. Zie figuur

Nadere informatie

Foto s en Videobewerking

Foto s en Videobewerking Foto s en Videobewerking Arie Noteboom Computer Huis Mijdrecht Nr. 1 Doelstellingen Begrijpen hoe digitale foto s zijn opgebouwd en kunnen worden bewerkt en bewaard. Op basis daarvan foto s kunnen uitsnijden

Nadere informatie

Het JPEG compressie algoritme, IS

Het JPEG compressie algoritme, IS Het JPEG compressie algoritme, IS 10918-1 Een overzicht van het JPEG compressie algoritme door Mathias Verboven. Inhoudsopgave Inleiding.... 2 Stap 1: inlezen bronbestand.... 3 Stap 2: Veranderen van kleurruimte....

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

Labo digitale technieken

Labo digitale technieken .. Het gebied "elektronica" is reeds geruime tijd onderverdeeld in twee specialiteiten, namelijk de analoge en de digitale technieken. Binnen analoge schakelingen gebeurt de signaalverwerking met lineaire

Nadere informatie

2 Algemene opbouw van een computersysteem

2 Algemene opbouw van een computersysteem Procescomputer E. Gernaat 1 Microprocessoren algemeen Informatie-verwerking zoals behandeld is momenteel vrijwel geheel overgenomen door microprocessoren. Wanneer we voortborduren op het idee van combinatorische

Nadere informatie

Fout detecterende en verbeterende codes

Fout detecterende en verbeterende codes Profielwerkstuk Fout detecterende en verbeterende codes Een compacte module over het onderwerp fouten detectie en verbetering Gemaakt door Roy van Schaijk, Boris Kloeg en Willy Mackus Inhoudsopgave. Introductie

Nadere informatie

Informatica 2. Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen

Informatica 2. Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen Informatica 2 Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen 1 Op dit lesmateriaal is een Creative Commons licentie van toepassing. 2014 Remie Woudt remie.woudt@gmail.com

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

http://www.playgarden.com/ Inleiding 8

http://www.playgarden.com/ Inleiding 8 http://www.playgarden.com/ Inleiding 8. Inleiding.. Wat is zippen? Regelmatig moet je grote bestanden van de ene computer naar de andere doorgegeven. Dit doe je dan via het internet, via een netwerk, met

Nadere informatie

7,6. Samenvatting door A woorden 12 april keer beoordeeld. Natuurkunde. Natuurkunde Systemen. Systemen

7,6. Samenvatting door A woorden 12 april keer beoordeeld. Natuurkunde. Natuurkunde Systemen. Systemen Samenvatting door A. 1243 woorden 12 april 2013 7,6 12 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Natuurkunde Systemen Systemen We onderscheiden 3 soorten gegevensverwerkende systemen: meetsysteem: meet een grootheid

Nadere informatie

Als we bv 2 db-waardes hebben: -31db en -52db dan kunnen we zeggen dat het verschil 21dB is. Maar klopt dit wel? Daarom controleren we even:

Als we bv 2 db-waardes hebben: -31db en -52db dan kunnen we zeggen dat het verschil 21dB is. Maar klopt dit wel? Daarom controleren we even: Db en afgeleiden 1 Inleiding Door de jaren heen zijn er veel verschillende Decibel afgeleiden ontstaan en ook veel verwarring. Volgend artikel is gebaseerd op een artikel door Lionel dumond en is vertaald

Nadere informatie

De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2)

De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2) De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2) Timloto o.s. / E. Gernaat / ISBN 978-90-79302-06-2 Op dit werk is de Creative Commens Licentie van toepassing. Uitgave: september 2012

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch?

Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch? Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch? Inhoudsopgave Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch?...1 Wat is een computerprogramma eigenlijk?...2

Nadere informatie

0 of laag niveau V verboden zone 1 of hoog niveau. Voorbeeld van een digitaal signaal als functie van de tijd

0 of laag niveau V verboden zone 1 of hoog niveau. Voorbeeld van een digitaal signaal als functie van de tijd 5. Herhalingsvragen 1. Leg met eigen woorden en figuren uit: Wat is het verschil tussen analoog en digitaal? Analoog is continue, er zijn oneindig veel mogelijkheden tussen minimum en maximum. Digitaal

Nadere informatie

De Blu-ray Disc. Uitwerkingen opgaven. Een vakoverstijgende opdracht voor 5 havo en 5/6 vwo. Jean Schleipen Philips Research, Eindhoven

De Blu-ray Disc. Uitwerkingen opgaven. Een vakoverstijgende opdracht voor 5 havo en 5/6 vwo. Jean Schleipen Philips Research, Eindhoven Een vakoverstijgende opdracht voor 5 havo en 5/6 vwo (natuurkunde, wiskunde, elektrotechniek, meet- en regeltechniek) Jean Schleipen Philips Research, Eindhoven Opgave 2 = x 2 3 + x 2 2 + x 2 + x 2 = 4

Nadere informatie

Deel 1. Wat is HDR fotografie?.

Deel 1. Wat is HDR fotografie?. Deel 1. Wat is HDR fotografie?. Inleiding. Met het intrede van de digitale fotografie is ook de beeldbewerkingsoftware in een stroomversnelling geraakt. Eén van de meest recente ontwikkelingen is de High

Nadere informatie

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4 Decimaliseren Samenvatting Decimaliseren is nodig, omdat alle apparaten voor hun instelling een decimaal getal nodig hebben. Bijvoorbeeld: een infuuspomp kan wel op 0,8 ml/min ingesteld worden, maar niet

Nadere informatie

Fotograferen in RAW. Haal alles uit het RAW-formaat van je digitale camera

Fotograferen in RAW. Haal alles uit het RAW-formaat van je digitale camera Fotograferen in RAW Haal alles uit het RAW-formaat van je digitale camera Fotografeer je in JPEG, de computer in je camera slaat je foto op aan de hand van je voorinstellingen. JPEG is een internationale

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 9

Informatica: C# WPO 9 Informatica: C# WPO 9 1. Inhoud Functies (functies met return-waarde) 2. Oefeningen Demo 1: Som Demo 2: Min en max of array Demo 3: Retourneer array van randomwaarden A: Absolute waarde A: Afstand A: Aantrekkingskracht

Nadere informatie

ALL SKY FOTO'S PROCEDURE

ALL SKY FOTO'S PROCEDURE ALL SKY FOTO'S Naast het meten van de zenitluminantie via foto s is het ook mogelijk om van elke locatie de hele hemel te meten. Dit gebeurt via een all sky foto, waarbij de gehele hemel in een locatie

Nadere informatie

Zwart-wit en grijstinten

Zwart-wit en grijstinten Zwart-wit en grijstinten 1. Kleur elk vakje dat een stukje lijn bevat zwart. Opdracht 1 is een eenvoudige opdracht vergelijkbaar met wat de computer op het beeldscherm ook doet. Normaal zie je dit niet

Nadere informatie

Getalformaten, timers en tellers

Getalformaten, timers en tellers Getalformaten, timers en tellers S_CU CU S PV R CV DEZ CV_BCD S_ODT S TV BI R BCD 1 pagina 1 Getalformaten (16 bits) PG CPU BCD W#16#296 Voorteken (+) 2 9 6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 Positieve getallen

Nadere informatie

Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Getallensystemen, verzamelingen en relaties Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,

Nadere informatie

Algemeen. Aansluitend bij dit doel, volgt het Wis & Co project de ontwikkeling van een grote groep 4-5-jarigen op gedurende een periode van 5 jaar.

Algemeen. Aansluitend bij dit doel, volgt het Wis & Co project de ontwikkeling van een grote groep 4-5-jarigen op gedurende een periode van 5 jaar. Algemeen Een goede beheersing van STEM-competenties (Science Technology Engineering Mathematics) is cruciaal in onze moderne samenleving. We weten echter nog maar weinig over hoe deze competenties bij

Nadere informatie

Exact periode = 1. h = 0, Js. h= 6, Js 12 * 12 = 1,4.10 2

Exact periode = 1. h = 0, Js. h= 6, Js 12 * 12 = 1,4.10 2 Exact periode 1.1 0 = 1 h = 0,000000000000000000000000000000000662607Js h= 6,62607. -34 Js 12 * 12 = 1,4. 2 1 Instructie gebruik CASIO fx-82ms 1. Instellingen resetten tot begininstellingen

Nadere informatie

communicatie is onderhevig aan fouten

communicatie is onderhevig aan fouten 1.1 Een communicatiemodel Algemeen communicatiemodel Model voor datacommunicatie Verschil datacommunicatie en telecommunicatie Communicatie schematisch communicatie is onderhevig aan fouten Datacommunicatie

Nadere informatie

2 Kennismaking met het scherm

2 Kennismaking met het scherm 84 1 Inleiding Met Microsoft Office Picture Manager kan je op een eenvoudige manier jouw afbeeldingen bekijken, beheren, bewerken en delen. Paint kan je openen via Starten - Alle Programma s - Microsoft

Nadere informatie

Ratio Docentenmateriaal De getallenlijn

Ratio Docentenmateriaal De getallenlijn juni 2004 Ratio Docentenmateriaal De getallenlijn Inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn Bespreking per paragraaf In tienen 4 2 Grafieken 4 Van gewone breuk naar decimale breuk 4 4 Onderzoek 5 Tijdsplan

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Illustratie 2

Hoofdstuk 1. Illustratie 2 Hoofdstuk 1 Numerical Methods College 2 A. Floating-point representatie (Hoofdstuk 1) B. Matlab A.A.N. Ridder Twee belangrijke onderwerpen die moeten leiden tot een beter begrip van de numerieke problematiek:

Nadere informatie

Les B-02 Technologie: elektronische schakelingen

Les B-02 Technologie: elektronische schakelingen Les B-02 Technologie: elektronische schakelingen 2004, David Lans In de module A heb je geleerd hoe informatie (getallen, tekens, beeldpunten) door een binaire waarde, een reeks 0-en en 1-en, kan worden

Nadere informatie

Het grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1

Het grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1 1. Inleiding In vorig hoofdstuk hebben we het gehad over invoerelementen, verwerking en uitvoerelementen. Je hebt geleerd dat al deze elementen maar 2 toestanden kennen en kunnen verwerken, namelijk de

Nadere informatie

Zo gaat jouw kunstwerk er straks uitzien. Of misschien wel heel anders.

Zo gaat jouw kunstwerk er straks uitzien. Of misschien wel heel anders. Spirograaf in Python Een kunstwerk maken Met programmeren kun je alles maken! Ook een kunstwerk! In deze les maken we zelf een kunstwerk met Python. Hiervoor zal je werken met herhalingen en variabelen.

Nadere informatie

Les A-06 Digitale informatie: tekst, beeld en geluid

Les A-06 Digitale informatie: tekst, beeld en geluid Les A-06 Digitale informatie: tekst, beeld en geluid In deze les wordt behandeld hoe tekst, beeld en geluid kan worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en, digitale informatie.

Nadere informatie

Inleiding Digitale Techniek

Inleiding Digitale Techniek Inleiding Digitale Techniek Week 2 Binaire getallen, BCD, Gray, ASCII, 7-segment Jesse op den Brouw INLDIG/205-206 Decimaal talstelsel Ons talstelsel is een zogenaamd positioneel talstelsel. Een getal

Nadere informatie

Computervaardigheden I

Computervaardigheden I 2 Inhoud Computervaardigheden I Hoofdstuk 1 Basisvaardigheden dataverwerking Rekenblad - Navigeren door een venster - Bewaren - Formules (relatieve referenties) - Floating Point (precisie) - Formules (absolute

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie