COMPLEXE FUNCTIETHEORIE II: CAUCHY

Transcriptie

1 COMPLEXE FUNCTIETHEORIE II: CAUCHY Dr N. P. Dekker De Stelling van Cauchy Deze tekst sluit aan op paragraaf van het boek van J.M.Aarts, Complexe Functies (Epsilon- Uitgave 20), dat in het eerste deel van de cursus Complexe Functies gebruikt is. Ook de stof van par.7 over machtreeksen wordt bekend verondersteld. In paragraaf is de zogeheten lokale versie van de Stelling van Cauchy bewezen (zie.3). Deze zegt dat de kringintegraal van een analytische functie nul is, mits de kring zich geheel bevindt binnen een cirkelschijf D die zelf binnen het definitiegebied G van de functie ligt. Het gaat ons er in eerste aanleg om, ons vrij te maken van deze strenge beperkingen. Dit leidt tot de globale versie van de Stelling van Cauchy. In dit dictaat wordt naar het boek van Aarts verwezen met JMA. In het volgende is vaak sprake van een kromme en van een parametrisering van een kromme. Zie voor de definities 2.2. Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, zullen alle krommen geacht worden stuksgewijs continu-differentieerbaar te zijn. Als aanduiding voor krommen gebruiken we vaak de letters W of K. Een bijbehorende parametervoorstelling, gedefinieerd op het interval [0,] duiden we standaard aan met t w(t) respectievelijk t k(t). Voor cirkels gebruiken we een aparte notatie: Γ r (a) is de eenmaal linksom doorlopen cirkel om a met straal r; een bijbehorende parameter voorstelling is dus t γ r (a)(t) = a + r exp(2πit), 0 t. Als a = 0 dan laten we deze weg in de notatie; we schrijven dan Γ r respectievelijk γ r (t) = r exp(2πit). Terzijde. In het boekje van Aarts worden krommen doorgaans geacht stuksgewijs glad te zijn. Dat is echter niet nodig voor de definitie van de lijnintegraal [zie 9.. en 9.6]. Een (nu nog niet direct te overzien) voordeel van de minder zware eis is dat een constante kromme w(t) = w 0, t [a, b] wel continu-differentieerbaar (maar niet stuksgewijs-glad) is. We kunnen dus wel degelijk spreken van de integraal van een continue functie langs een puntkromme, welke uiteraard gelijk is aan nul! We beginnen met het introduceren van wat begrippenapparaat. Met name de index van een gesloten kromme t.o.v. een punt, en het begrip homotopie van krommen. Stelling. Zij W een gesloten kromme, en p een punt buiten W. Dan is 2πi z p dz een geheel getal. Bewijs: We zullen bewijzen dat exp( W W z pdz) =, d.w.z., dat w (t) exp( dt) =. 0 w(t) p Definieer daartoe g(s) = exp( s w (t) 0 w(t) p continu-differentieerbaar is, en bekijk de functie t dt). Neem voor het gemak even aan dat W (helemaal) g(t) w(t) p. Deze is dan differerentieerbaar op

2 het interval (0, ) en nog continu in de punten 0 en. De afgeleide ervan is g (t)(w(t) p) w (t)g(t) (w(t) p). 2 Door g (t) uit te rekenen ziet men dat deze afgeleide nul is! De functie is dus constant op heel g(0) w(0) p = g() w() p [0, ]. Dit betekent dat. Maar w(0) = w(). Dus moet g(0) = g(), wat we moesten bewijzen. [Maak zelf de generalisatie voor een stuksgewijs-c kromme.] Het nu volgende is een hulpstelling die laat zien dat in sommige gevallen de differentiatie naar de complexe variabele z onder een integraal mag worden uitgevoerd. Lemma. Laat φ en ψ continue functies [0, ] C zijn. Bekijk de functie g, gedefinieerd op G := C\ψ[0, ] door φ(t) g(z) = ψ(t) z dt. 0 Dan is de functie g in een omgeving van ieder punt p G te ontwikkelen in een machtreeks n=0 a n(z p) n. In het bijzonder is g dus op heel G onbeperkt differentieerbaar. Voor de successieve afgeleiden in z = p geldt: g (n) (p) = n! 0 φ(t) dt. (ψ(t) p) n+ Bewijs: Zij p G en r > 0 zodat de afsluiting van U r (p) in G ligt. Dan is voor alle t [0, ] en z U r (p): ψ(t) p > z p. Dus is ψ(t) z = ψ(t) p (z p) = ψ(t) p z p ψ(t) p = ψ(t) p z p ( ψ(t) p )n. De verzameling ψ[0, ] is compact, en p heeft daartoe een afstand R die groter is dan r. De laatste reeks wordt dus gemajoreerd door een meetkundige reeks met reden r/r, en is dus uniform convergent op [0, ]. Hetzelfde geldt na vermenigvuldiging met de (begrensde!) functie φ(t). Termsgewijze integratie van de ontstane reeks is dus toegestaan: g(z) = (z p) n φ(t) dt. (ψ(t) p) n+ n=0 Hier staat dat g(z) de som is van een convergente machtreeks in de variabele z met coeëffienten Daaruit volgt het gestelde. a n = 0 0 φ(t) dt. (ψ(t) p) n+ Definitie. Zij W een gesloten kromme. Voor iedere z W heet opzichte van de kromme W. Notatie Ind W (z). 2πi W n=0 dw w z de index van z ten We bekijken Ind W (z) als functie van z op C\W. In termen van de parametrisering w(t) van W kunnen we schrijven: Ind W (z) = w (t) 2πi 0 w(t) z dt. Volgens het lemma is dit een continue (want differentieerbare) functie, die volgens de stelling ervoor slechts gehele waarden aanneemt. De index is dus constant op iedere samenhangende deelverzameling van C\W! Voorbeeld. Voor W nemen we de eenmaal linksom doorlopen cirkel Γ r (a). We laten zien dat Ind Γr (a)(z) =, als z a < r, respectievelijk: =0 als z a > r. Welnu: Laat eerst z a < r zijn. Als z = a, hebben we: Ind Γr (a)(a) = 2πi 0 2 2πir exp(2πit) dt =. r exp(2πit)

3 Maar Ind Γr (a) is constant op z a < r; dus geldt op die hele cirkelschijf Ind Γr (a)(z) =. Voor iedere z met z a > r geldt: dw w z 2πr. max ( w Γ r (a) w z ) = 2πr min w Γr (a)( z w ) = 2πr dist(z, Γ r (a)). Γ r(a) Laat z nu een straal vanuit a naar oneindig doorlopen. Dan gaat dist(z, Γ r (a)) naar +. Het quotient gaat dus naar 0. Maar, naar we weten, is de index constant op het buitengebied van de cirkel. Dus is deze daar overal 0. Het voorgaande en berekening van de index voor andere krommen [zie de opgaven O.6, O.7 en O.8] geeft voeding aan de gedachte dat, voor elke gesloten kromme W, het getal Ind W (α) het aantal keren aangeeft, dat de kromme W loopt om het punt α (en wel linksom als de uitkomst positief is, en rechtsom als de uitkomst negatief is); anders gezegd het is de toename van arg(z α) (op een factor 2πi na) als z de kromme W doorloopt. In wat nu volgt is G steeds een gebied. Laat W 0 en W gesloten krommen in G zijn. We gaan definieren wat we bedoelen als we zeggen dat W 0 door continue deformatie binnen G in W is over te voeren. Die krommen zullen dat homotoop in G genoemd worden. Definitie. Laat W 0 en W twee gesloten krommen in G zijn, met bijbehorende, op het interval [0, ] gedefinieerde parametriseringen. W 0 heet homotoop in G met W [Notatie: W 0 G W ] als er een continue functie Φ : [0, ] [0, ] G bestaat met de eigenschappen:. Φ(s, 0) = w 0 (s), s [0, ], 2. Φ(s, ) = w (s), s [0, ], 3. Φ(0, t) = Φ(, t), t [0, ]. Schrijft men w t (s) = Φ(s, t), dan staat hier voor iedere t de parametrisering van een (niet noodzakelijk stuksgewijs-c ) gesloten kromme W t die helemaal in G ligt, een soort tussenkromme tussen W 0 en W. Door t van 0 tot te laten lopen deformeert W 0 gaandeweg (binnen G) tot W. Lemma. G bepaalt een equivalentierelatie binnen de verzameling van alle (stuksgewijs -C ) krommen in G. Dit wil zeggen: G is. reflexief ( W 0 G W 0 voor iedere W 0 ) 2. symmetrisch (W 0 G W W G W 0 ) 3. transitief ((W 0 G W W G W 2 ) W 0 G W 2 ) Verifieer dit! [Zie eventueel: J.B.Conway, Functions of one Complex Variable, IV.4.] We schrijven W 0 G 0 als de gesloten kromme W 0 in G homotoop is met een puntkromme, d.w.z. met een constante kromme: W, w (s) = w, waarin w een vast punt in G. Vanwege de transitiviteit is W 0 dan homotoop met iedere puntkromme in G [Waarom?]; vandaar deze vereenvoudigde notatie (die dus niet impliceert dat het punt 0 in G ligt!). Zo n kromme heet homotoop-nul of samentrekbaar in G. Definitie. Een gebied G heet enkelvoudig samenhangend als iedere gesloten kromme W in G samentrekbaar is. 3

4 Voorbeelden. Verifieer dat de eenheidsschijf Γ (0) enkelvoudig samenhangend is. [Aanwijzing: Φ(s, t) = ( t)w(s).] 2. Verifieer dat het gecoupeerde vlak C\(, 0] enkelvoudig samenhangend is. [Aanwijzing: Φ(s, t) = ( t)w(s) + t] 3. Verifieer dat de gepunteerde eenheidsschijf Γ (0)\0 niet enkelvoudig samenhangend is. [Suggestie: Als het niet lukt, wacht dan tot na Gevolg 3 hieronder.] We komen nu bij de stelling, die centraal staat in de complexe-functietheorie, de stelling van Cauchy. Deze vertelt onder welke condities je mag verwachten dat van een gegeven analytische functie de kringintegraal langs een bepaalde gesloten kromme nul is; of, wat er nauw mee verband houdt, wanneer twee kringintegralen van dezelfde functie aan elkaar gelijk zijn. Stelling van Cauchy. Zij f : G C een analytische functie, en laat W 0 en W gesloten krommen zijn zo dat W 0 G W. Dan is f(z)dz = f(z)dz. W 0 W Bewijs. [vgl J.B.Conway, l.c.]: Dit verloopt in een aantal stappen.. Zij Φ : [0, ] [0, ] G een homotopie-afbeelding volgens de definitie. Daar Φ continu is en [0, ] [0, ] compact, is Φ uniform continu op [0, ] [0, ], en de beeldverzameling Φ([0, ] [0, ]) is een compacte deelverzameling van G. Dit laatste betekent dat Φ([0, ] [0, ]) een positieve afstand heeft tot de rand van G; noem deze afstand r. Uit de genoemde uniforme continuiteit volgt dat er een postief getal δ bestaat zo dat (s s ) 2 + (t t ) 2 < δ 2 Φ(s, t) Φ(s, t ) < r. 2. Laat n een natuurlijk getal zijn zo dat 2/n < δ. Verdeel het eenheidsvierkant in n 2 deelvierkanten : J j,k = [ j n, j + n ] [ k n, k + n ], voor 0 j, k n. De beelden van de hoekpunten van de deelvierkanten geven we aan met Z j,k : Z j,k = Φ( j n, k ) (0 j, k n). n Daar de doorsnede van elke J j,k kleiner is dan 2/n, ligt het beeld onder Φ daarvan geheel in een open schijf rond Z j,k met straal r: Φ[J j,k ] B(Z j,k, r). Bekijk nu (voor willekeurige j, k) de gesloten lijnentrek (polygon) P j,k [Z j,k, Z j+,k, Z j+,k+, Z j,k+, Z j,k ]. Uit de constructie blijkt dat deze geheel binnen de schijf B(Z j,k, r) ligt. Daarop is dus de lokale versie van de Stelling van Cauchy (JMA,.3) van toepassing: P j,k f(z)dz = 0. 4

5 3. Voor iedere k is Q k = [Z 0,k, Z,k, Z 2,k,..., Z n,k ] een gesloten polygon. Merk nu op dat n f(z)dz = f(z)dz f(z)dz. P j,k Q k Q k+ j=0 Aangezien de eerst-vermelde som nul (volgens stap 2.), vinden we f(z)dz = f(z)dz. Q k Q k+ Dit wil zeggen dat de waarde van de kringintegraal langs Q k onafhankelijk is van de waarde van k. Bij gevolg: f(z)dz = f(z)dz. Q 0 Q n 4. Rest nog te bewijzen dat f(z)dz = W 0 f(z)dz, en Q 0 f(z)dz = W f(z)dz. Q n We kijken alleen naar de eerste uitspraak: Bekijk, voor willekeurige vast j, de punten Z j,0 en Z j+,0. Deze liggen beide op de kromme W 0 : Z j,0 = W 0 (j/n), Z j+,0 = W 0 (j + /n). De gesloten kromme W j,0, die bestaat uit het doorlopen van W 0 tussen de parameterwaarden s = j/n en s = (j + )/n en vervolgens (terug) het segment [Z j+,0, Z j,0 ] ligt geheel binnen de schijf B(Z j,0, r). De kringintegraal van f daarlangs is dus nul, opnieuw volgens de lokale Stelling van Cauchy. Tel weer op: n f(z)dz = 0. W j,0 Hier staat precies: j=0 f(z)dz = f(z)dz. W 0 Q 0 Daarmee is de stelling van Cauchy bewezen. Gevolg. Als f : G C analytisch is, en W 0 is samentrekbaar in G, dan is W 0 f(z)dz = 0. Gevolg 2. Als G enkelvoudig samenhangend is, dan geldt voor iedere analytische functie f en iedere gesloten kromme W in G: f(z)dz = 0. W Het voorgaande werpt nieuw licht op de betekenis van de index van een punt t.o.v. een gesloten kromme W. Veronderstel dat a niet op W gelegen is, en dat W door continue deformatie in het 5

6 gebied C \{a} is over te voeren in een k maal doorlopen cirkel Γ zoals in opgave O.7. Dan volgt uit de stelling van Cauchy: Ind W (a) = 2πi W z a dz = 2πi Γ z a dz = Ind Γ(a) = k. Blijkbaar telt de index het aantal omlopen (linksom) van W rond het punt a. Verder blijkt dat enkelvoudige samenhang te maken heeft met de afwezigheid van gaten in G. Immers, als G enkelvoudig samenhangend is, dan geldt voor iedere a buiten G: 2πi W z a dz = Ind W (a) = 0 voor iedere gesloten kromme W in G. M.a.w.: geen enkele gesloten kromme loopt (netto) heen om een punt dat buiten G ligt, oftewel G kent geen gaten. Zo is bijvoorbeeld het gebied C\{0} niet enkelvoudig samenhangend ; immers in dit geval ligt 0 niet in G, terwijl voor de eenmaal linksom doorlopen eenheidscirkel geldt Ind Γ (0) =. De notie homotopie wordt ook toegepast voor niet-gesloten krommen, mits deze hetzelfde begin en eindpunt hebben. Definitie. Laat K 0, K : [0, ] G twee krommen in het gebied G zijn, zo dat K 0 (0) = K (0) = a en K 0 () = K () = b. De krommen K 0 en K heten homotoop in G als er een continue afbeelding Ψ : [0, ] [0, ] G bestaat zo dat:. Ψ(s, 0) = K 0 (s), s [0, ], 2. Ψ(s, ) = K (s), s [0, ], 3. Ψ(0, t) = a, Ψ(, t) = b, t [0, ]. Veronderstel dat zo de kromme K 0 in het gebied G homotoop is met K. Als nu eerst K 0 wordt doorlopen, en vervolgens K in omgekeerde richting, dan ontstaat een gesloten kromme W = K 0 +( K ). Het is een niet moeilijke (maar niet helemaal triviale) oefening om te laten zien dat W homotoop-nul (samentrekbaar) is in G. Dan volgt onmiddellijk [vgl desgewenst Conway, l.c.]: Gevolg 3. Als in G de krommen K 0 en K met beginpunt a en eindpunt b homotoop zijn, dan is voor iedere analytische functie f op G: f(z)dz = f(z)dz. K 0 K Gevolg 4. Als G enkelvoudig samenhangend is, is voor iedere analytische functie f op G, een lijnintegraal van deze functie f alleen afhankelijk van begin- en eindpunt van de integratieweg. Gevolg 5. Als G enkelvoudig samenhangend is, dan heeft iedere analytische functie f op G een primitieve [n.l. bijvoorbeeld: z dw, waarin K(a, z) een willekeurige kromme K(a,z) binnen G van a naar z is.]. Gevolg 6. Als G enkelvoudig samenhangend is en 0 ligt niet in G, dan bestaat op G een tak van log, d.w.z. een analytische functie g zo dat e g(z) = z voor alle z G. 2 Taylorontwikkeling In de hoofdstuk laten we eerst zien dat een functie f die analytisch (d.w.z. continu-differentieerbaar) is op een gebied G, in een cirkelschijf rond elk punt a van G te schrijven is als de som van een 6

7 convergente machtreeks a n (z a) n. Met andere woorden: f(z) is lokaal te ontwikkelen in een machtreeks. Die machtreeks blijkt uniek te zijn, de Taylorreeks van f rond a. Dit feit is van grote betekenis, en contrasteert sterk met de situatie in R. Met functies van het type f(t) = t α sin(/t) [t > 0], f(t) = 0 [t 0], kan men voorbeelden maken van reële functies die k maal continu-differentieerbaar maar niet k + maal differentieerbaar, resp. k maal differentieerbaar zonder k maal continu-differentieerbaar te zijn. Omdat een machtreeks-functie willekeurig vaak differentieerbaar is, bestaat zoiets blijkbaar niet in C. Zelfs bestaan in het reële geval voorbeelden waarbij een functie in een punt oneindig vaak differentieerbaar is, zonder lokaal de som te zijn van haar Taylorreeks; bijvoorbeeld f(t) = exp( /t 2 ) [t > 0], f(t) = 0 [t 0]. We beginnen met een hulpstelling, die in feite een voorlopige versie is van de Integraalformule van Cauchy die we later nog nader zullen tegen komen. Hulpstelling. Zij G een gebied, en f : G C een analytische functie. Zij verder a G en r een positief getal dat zo is gekozen dat de schijf {z z a r} geheel in G ligt. Dan geldt voor iedere z met z a < r: f(z) = 2πi Γ r (a) w z dw. Bewijs: Zij z een punt met z a < r. Uit de gegevens blijkt dat Ind Γr (a)(z) =, en dat dus dw = 2πi. w z Dus ook vanzelfsprekend: Rest dus te bewijzen dat Γ r(a) Γ r (a) f(z) = f(z) 2πi Γ r(a) w z dw. Γ r(a) f(z) dw = 0. w z Noem δ := r a z. Voor iedere ρ < δ ligt de cirkel Γ ρ (z) geheel binnen G, en bovendien is Γ ρ (z) G\z Γ r (a) [Ga na!]. Volgens de stelling van Cauchy is dus f(z) f(z) dw = dw. w z w z voor iedere ρ < δ. Nu is f differentieerbaar in z. Er is dus wel een ɛ > 0, die tegelijk kleiner is dan δ, zodat f(z) f (z) +, w z voor w z < ɛ. Maar dan hebben we voor iedere ρ < ɛ: f(z) dw 2πρ( f (z) + ). w z Γ ρ (z) Omdat ρ overigens willekeurig was, is hiermee bewezen dat de laatstgenoemde integraal nul is. De uitdrukking w z reeks. Bijvoorbeeld aldus: Γ ρ(z) in de integraalformule nodigt uit tot ontwikkelen in een meetkundige w z = w a (z a) = w a z a w a 7 = w a n=0 ( ) n z a, w a

8 mits z a w a <. Dit gebruiken we in het bewijs van de hoofdstelling. Hoofdstelling (Taylor-ontwikkeling). Zij G een gebied, a G, en f : G C een analytische functie. Zij verder r een positief getal zo dat de schijf {z z a r} geheel in G ligt. Dan bestaat er een machtreeks a n (z a) n die convergeert op de schijf, en waarvoor geldt: f(z) = a n (z a) n n=0 voor alle z met z a < r. De coeëffienten van a n van de machtreeks zijn onafhankelijk van de waarde van r. De convergentiestraal R van de machtreeks is (dus) tenminste gelijk aan dist(a, G c ). De machtreeksvoorstelling geldt dus tenminste op de grootste cirkelschijf om a die nog binnen G ligt. De coeëffienten van de ontwikkeling zijn uniek; daarvoor gelden twee formules:. a n = f (n) (a), n! 2. a n = dw, 2πi Γ r (a) (w a) n+ waarin r een willekeurig positief getal kleiner dan dist(a, G c ) is. Bewijs: Zij z a < r. Volgens de hulpstelling geldt: f(z) = 2πi w z dw. Γ r (a) We maken gebruik van de bovenvermelde ontwikkeling van w z in een meetkundige reeks. Merk op dat, daar w op de cirkel w a = r ligt, wordt voldaan aan de eis z a w a <. We vinden: f(z) = 2πi = 2πi Γ r(a) n=0 Γ r (a) n=0 w a ( ) n z a dw w a (w a) n+ (z a)n dw. De vraag is nu of integratie en sommatie mogen worden verwisseld. Daartoe valt aan te tonen dat de reeks achter het som-teken, voor vaste a en z, uniform (in w) convergeert op de cirkel Γ r (a). Dit laatste volgt uit het kriterium van Weierstrass: w Γ r (a) : (z a)n (w a) n+ M f z a n r n+, waarin M f = max{ f(z) : z Γ r (a)}. De laatste meetkundige reeks convergeert omdat de reden kleiner is dan. Na het omwisselen van de volgorde van sommatie en integratie staat er: f(z) = 2πi n=0 Γ r(a) (w a) n+ (z a)n dw = Dit heeft de vereiste vorm met coeëffienten a n, a n = 2πi Γ r (a) [ 2πi n=0 dw, (w a) n+ Γ r(a) (w a) n+ dw](z a)n. 8

9 die inderdaad onafhankelijk zijn van de keuze van z (mits z a < r). Nu is vastgesteld dat f(z) = n=0 a n(z a) n voor alle z met z a < r, volgt ook dat a n = f (n) (a). n! Dit impliceert dat de voorstelling uniek is, en in het byzonder dat de waarde van de integraal in de eerste voorstelling van a n onafhankelijk is van r [wat ook volgt uit de stelling van Cauchy]. De voorstelling in de vorm van een Taylorreeks geldt voor alle z met z a < dist(a, G c ). Voor voorbeelden, zie JMA paragraaf 9. Uit de stelling blijkt dat iedere continu-differentieerbare functie vanzelf onbeperkt differentieerbaar is (zelfs lokaal ontwikkelbaar is een machtreeks). De vraag rijst of er dan wel differentieerbare complexe functies zijn die niet continu-differentieerbaar zijn. Het antwoord is ontkennend; de stelling die dit uitspreekt wordt aangeduid als de stelling van Goursat. Het bewijs ervan loopt via de stelling van Morera, waarmee we in JMA,.4 kennis maakten. We schetsen van de laatste stelling een wat eleganter bewijs: Stelling van Morera. Zij G een gebied, en f : G C een continue functie, zo dat R f = 0 voor iedere standaardrechthoek R die geheel in G ligt. Dan is f analytisch op G. Bewijs: Omdat analyticiteit een lokale eigeschap is, mogen we zonder bezwaar aannemen dat G een cirkelschijf U r (a) is. We zullen aantonen dat f op U r (a) een primitieve F heeft. Die primitieve is dan blijkbaar continu-differentieerbaar, en dus op de schijf te schrijven als som van een machtreeks: F (z) = n=0 A n(z a) n. Iets dergelijks geldt dan voor f omdat immers F (z) = f(z) voor alle z. Om de functie F te definieren, een opmerking vooraf: In de definitie komt een integraal voor langs twee zijden van een standaardrechthoek, van een hoekpunt (bijvoorbeeld) z naar het overstaande hoekpunt (bijvoorbeeld) w. In dit verband duiden we de beide overige hoekpunten aan met z w, resp. w z, waarbij z w het hoekpunt is met Iz w = Iz. d.w.z. dus links of rechts van z. Verder is L z,w de polygonweg [z, z w, w]. Merk op dat uit de gegevens volgt dat de integraal van f langs L z,w gelijk is aan die langs [z, w z, w], als z en w binnen de schijf liggen. Voor iedere z U r (a) definieren we F (z) = f(u)du. L a,z We laten zien dat F een primitieve van f op U r (a) is. Neem daartoe een willekeurig punt z is de schijf, en laat w een ander (variabel) punt daarin zijn. Bezie de uitdrukking F (w) F (z). Omdat de kringintegraal f(u)du = 0, is Bij gevolg is [a z,a w,z w,z,a z] F (w) = F (z) + f(u)du. L z,w F (w) F (z) f(z) = L z,w (f(u) f(z))du l(l z,w) w z w z w z max { f(u) f(z) : u L z,w}. Nu is l(l z,w) w z 2, en f is continu in het punt z zo dat max{ f(u) f(z) : u L z,w } 0, voor w z. 9

10 Daarmee is bewezen dat F (z) = f(z). Stelling van Goursat. Zij G een gebied, en f : G C een differentieerbare functie. Dan is f analytisch op G. Bewijs: Merk eerst weer op dat z.b.d.a. aangenomen mag worden dat G een open cirkelschijf is. Zie nu het bewijs in JMA, 6.. Daar wordt aangetoond dat f = 0 voor iedere standaardrechthoek R die geheel in G ligt. De stelling volgt nu uit de stelling van Morera. R 3 Gehele functies. Een functie die analytisch is op geheel C heet een gehele functie (eng.: entire function). Daarvoor geldt dus een machtreeksvoorstelling f(z) = a n z n, n=0 met convergentiestraal. Breekt deze voorstelling af (a n = 0 voor n > m) dan is f(z) een veelterm of polynoom; de hoogste n waarvoor a n 0 is de graad van het polynoom. Anders is f(z) een gehele transcendente functie. Voor gehele functies geldt een befaamde stelling: Stelling van Liouville. Een begrensde gehele functie is constant. Voor het bewijs maken we gebruik van een hulpstelling, die overigens direct volgt uit de aard van de Taylor-ontwikkeling: Hulpstelling: Afschattingen van Cauchy. Zij f een functie die analytisch is op de schijf U R (a), en veronderstel dat f(z) M voor alle z U R (a). Dan geldt voor alle n: f (n) (a) n!m R n. Bewijs: Bekijk de Taylor-ontwikkeling van f(z) op U R (a). Volgens de hoofdstelling uit het vorige hoofdstuk zijn er twee formules om de coeëffienten van de machtreeks voor te stellen. Daaruit blijkt: voor iedere r < R. Dus Neem nu de limiet r R. f (n) (a) n! = 2πi Γ r(a) dw, (w a) n+ f (n) (a) n! 2π M n!m 2πr = rn+ r n. Bewijs van de stelling van Liouville: Zij f een begrensde gehele functie: f(z) M voor alle z C. Zij verder f(z) = a n z n, n=0 de voorstelling van f(z) als machtreeks met centrum 0. Daar de convergentiestraal + is, gelden de afschattingen van Cauchy voor iedere waarde van R: a n = f (n) (0) n! M R n. 0

11 Hieruit volgt dat a n = 0 voor alle n. Dit betekent dat f een constante functie is. [Voor een iets ander bewijs, zie JMA, 3.8.] Bij wijze van toepassing bewijzen we: Hoofdstelling van de algebra. Ieder polynoom van graad n heeft een nulpunt. Bewijs: Zij p(z) een polynoom van graad n. Veronderstel dat p geen nulpunten heeft. Dan is f(z) = /p(z) een gehele functie. Omdat lim z p(z) = [Ga na!], is f begrensd op heel C, en dus, volgens Liouville, constant. Maar dan is p ook constant, een tegenspraak. Als a nu een nulpunt is van p(z) dan kan een factor (z a) buiten haakjes worden gehaald: p(z) = (z a) p (z). waarin p (z) een veelpterm van de graad n is. Immers, toepassing van de delings-algorithme geeft p(z) = (z a) p (z) + c waarin p (z) de graad n heeft en c een constante is. Substitutie van z = a toont dat c = 0. Als n 2 is, kan de hoofdstelling weer worden toegepast op p (z), enzovoorts. Zo ziet men dat p(z) kan worden ontbonden in precies n lineaire factoren: p(z) = α(z a )(z a 2 )... (z a n ). 4 Nulpunten van analytische functies Als a een nulpunt is van de veelterm p(z), dan kunnen daaruit, zoals we zagen, een of meer factoren (z a) worden uitgedeeld. D.w.z. p(z) = (z a) k q(z), waarin q(z) een continue functie (weer een veelterm) is, met q(a) 0. We zeggen dat p(z) een nulpunt van de orde k heeft in a. Iets soortgelijks vindt men bij sommige gecompliceerder functies. Zo is de reële functie log x in de buurt van het nulpunt x = te schrijven als log x = (x )h(x), waarin h een functie is die in de buurt van x = continu is met h() 0. Men kan dus zeggen dat log een nulpunt van eerste orde in x = heeft. Bij een functie als f(x) = x 3 met betrekking tot x = 0 geldt dit echter niet: na eenmaal uitdelen van een factor x blijft een factor over die nog steeds nul is in x = 0, maar bij uitdelen van x 2 blijft een functie over die discontinu is in x = 0. Het nulpunt heeft dus geen orde. Een andere kwestie t.a.v. het nulpunts-gedrag van reële functies, wordt geillustreerd aan een functie als f(x) = x 2 sin(/x) (x 0), f(0) = 0. Deze functie is differentieerbaar op heel R, met oneindig veel nulpunten, die zich verdichten naar het nulpunt x = 0. Deze wanorde doet zich niet voor in de complexe-functietheorie: daar heeft ieder nulpunt van een analytische functie een welbepaalde orde. En: nulpunten van een analytische functie kunnen zich niet verdichten naar een punt van het definitiegebied; in het bijzonder bevat ieder compact deel van het definitiegebied maar eindig veel nulpunten. Definitie. Zij f een functie van R naar R, of van C naar C, a een punt van het definitiegebied D van f. We noemen a een regulier nulpunt van f met orde of multipliciteit k, indien f(a) = 0 en er een continue functie g bestaat zo dat voor alle t D in een omgeving van a. g(a) 0, en f(t) = (t a) k g(t),

12 Stelling. Zij G een gebied, en f : G C een analytische functie, die niet identiek nul is op G. Als a een nulpunt is van f, dan geldt:. Er is een r > 0 zo dat op de schijf U r (a) het punt a het enige nulpunt van f is. [M.a.w.: de nulpunten van f verdichten zich niet in G.] 2. a is een regulier nulpunt, met een welbepaalde orde k. [M.a.w.: ieder nulpunt heeft een orde.] Bewijs: Zie daarvoor JMA, Bewijs van 20.. In dit bewijs wordt f(z) in de buurt van a geschreven als f(z) = (z a) k (γ k + γ k+ (z a) +...), met γ k 0. De nulpuntsorde van a is dus k. Omdat γ k = f (k) (a)/k!, is de orde ook zonder Taylor-ontwikkeling aldus vast te stellen: Gevolg. Zij a een nulpunt van f. Dan is de orde k bepaald door: f(a) = 0, f (a) = 0,..., f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. De stelling impliceert dat, als de nulpunten van f zich verdichten naar een punt van het gebied G, f identiek nul is op G. Daaruit volgt: Identiteitsstelling. Zij G een gebied, en f, g : G C twee analytische functies. Laat V een deelverzameling van G zijn met een verdichtingspunt in G [bijvoorbeeld een convergent rijtje punten van G, een cirkelschijf in G, een segment, o.i.d.]. Als f(z) = g(z) in de punten van V, dan is f(z) = g(z) in alle punten van G [m.a.w. f g]. Als x f(x) een op een interval I gedefinieerde reële (of complex-waardige) functie is, en we slagen erin een gebied G C en een analytische functie F : G C aan te wijzen zo dat I G, en F (x) = f(x), x I, dan zeggen we dat F een analytische voortzetting van f tot G is. Zo is de functie log z een analytische voortzetting van de op (0, ) gedefinieerde reële functie ln x tot G = C \ (, 0]. Uit de identiteitsstelling volgt: Stelling (eenduidigheid van analytische voortzetting). Als F en F 2 analytische voortzettingen zijn van dezelfde reële functie f tot hetzelfde gebied G, dan is F F 2. Dit betekent bijvoorbeeld dat uit de, voor reële x bekende betrekking sin(π/2 x) = cos x onmiddellijk volgt: sin(π/2 z) = cos z voor alle z C. Evenzo volgt de relatie cosh 2 (z) sinh 2 (z) = voor alle complexe z onmiddellijk uit de corresponderende reële uitspraak. Men noemt dit wel het principe van permanentie van een functionaalvergelijking. 5 Singulariteiten We beschouwen weer een analytische functie f, gedefinieerd op een gebied (of algemener, open verzameling) G. Een punt op de rand van G (waar f dus niet is gedefinieerd) wordt soms aangeduid als een singulariteit van f. [Men zou immers geneigd zijn, via limietovergang de waarde van f in dat punt ook te definieren, maar er gebeurt dan iets bijzonders.] Men onderscheidt ge-isoleerde en niet-geisoleerde singulariteiten. 2

13 Definitie. Een punt a G c heet een geisoleerde singulariteit van f als er een gereduceerde omgeving U r (a) \ {a} is die geheel in het definitiegebied G van f ligt. Zo is z = 0 een geisoleerde singulariteit van de functies sin z z, z, exp z, maar niet van log z of van / sin( z ). Onze beschouwing richt zich geheel op geisoleerde singulariteiten. Het blijkt dat er 3 soorten te onderscheiden zijn. De eerste (en eenvoudigste) zijn de ophefbare singulariteiten. Definitie. Zij a een geisoleerde singulariteit van f, en r zo gekozen dat U r (a) \ {a} G. Dan heet a ophefbaar als f in a zo gedefinieerd kan worden dat f daardoor analytisch wordt op geheel U r (a). Zo is z = 0 een ophefbare singulariteit van de functie sin z z, want door de formule g(z) = ( ) n z 2n (2n + )! n=0 wordt kennelijk een analytische functie gedefinieerd op heel C die samenvalt met de gegeven functie voor z 0. De byzondere aard van complexe analytische functies maakt dat van ophefbaarheid een aantal equivalente definities te geven is: Continuiteitsstelling van Riemann. Zij a een geisoleerde singulariteit van de functie f. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:. a is een ophefbare singulariteit; 2. lim z a f(z) bestaat (eindig); 3. lim z a f(z) is eindig; 4. f(z) is begrensd op een gereduceerde omgeving van a; 5. lim z a (z a)f(z) = 0. Bewijs: Alle implicaties van boven naar beneden zijn evident. Voor de implicatie (5) (), zie JMA, het bewijs van Stelling De daar geconstrueerde functie h(z) is analytisch, en zet f voort in z = a. Met dit resultaat kunnen we een algemener versie van de Integraalformule van Cauchy bewijzen, dan we eerder tegenkwamen: Stelling (Integraalformule van Cauchy). Zij G een gebied, f : G C een analytische functie, en W een gesloten kromme in G, waarvoor geldt W G 0. Dan geldt voor iedere z G \ W : Ind W (z)f(z) = 2πi W w z dw. Bewijs: Neem z vast, zoals aangegeven. Bekijk de functie w f(z). w z 3

14 Daar f analytisch is in z, heeft deze functie een ophefbare singulariteit in het punt z. Daar de functie overigens analytisch is op G, kan daarop de Stelling van Cauchy worden toegepast: f(z) dw = 0. w z Dus W w z dw = W W f(z) dw = f(z) w z W w z dw = 2πi Ind W (z)f(z). De stelling van Riemann nodigt uit tot het volgende onderscheid tussen geisoleerde singulariteiten: (O): Voor a geldt lim z a f(z) < +, (P): Voor a geldt lim z a f(z) = +, (E): Voor a geldt lim z a f(z) bestaat niet. In geval (O) is sprake van een ophefbare singulariteit. Deze singulariteiten worden vaak niet tot de echte singulariteiten gerekend: substitutie van een geschikte waarde in a maakt van f daar een reguliere (analytische) functie. In geval (P) noemt men a een pool; in geval (E) heeft men een essentiële singulariteit. Voorbeelden:. De functie z heeft een pool in z = 0, want lim z 0 z = De functie exp z heeft een essentiële singulariteit in z = 0, want lim z 0 exp z bestaat niet, immers de limiet voor z = x 0 heeft een andere waarde dan die voor z = x 0. We kijken nu in het bijzonder naar het verschijnsel pool : Laat a een pool zijn van f. Uit definitie volgt dat dan lim z a /f(z) = 0. Definieer nu (op een omgeving van a): g(z) = (z a), g(a) = 0. f(z) Dan is g analytisch (op een omgeving van a) met een nulpunt in a. Dit nulpunt heeft een orde k. Dus g(z) is te schrijven als: We concluderen: g(z) = (z a) k g 0 (z), met g 0 analytisch en g 0 (a) 0. Stelling. Als a een pool is van f dan bestaat een gereduceerde omgeving U r (a) \ {a} van a waarop f(z) te schrijven is als: f(z) = (z a) k h(z), waarin h een op U r (a) analytische functie is met h(a) 0. Het getal k is uniek; het heet de orde of multiplicteit van de pool a. Een pool a is dus op te heffen door f(z) met een voldoend hoge macht van (z a) te vermenigvuldigen. De orde van een pool a is dus de laagste macht van (z a) waarmee f(z) vermenigvuldigd moet worden om de pool juist op te heffen. 4

15 Het voorgaande duidt op een correspondentie tussen de polen van f en de nulpunten van /f (die twee kanten op gaat). Kortweg: Voorbeelden: a : pool[nulpunt] van orde k van f a : nulpunt[pool] van orde k van /f.. De functie f(z) = z (z 2 3z+2)(z 2) heeft een pool van tweede orde in z = 2, want lim f(z) = +, lim (z 2)f(z) = +, lim (z z 2 z a z a 2)2 f(z) = 2. Bovendien heeft de functie een eerste-orde pool in z =. 2. De functie f(z) = sin z z heeft een eerste-orde pool in z = 0, want zf(z) = sin z 2 z ophefbare singulariteit in 0. heeft een We kunnen tegen de zaak ook nog op een andere manier aankijken. Zij f(z) = (z a) k h(z) de schrijfwijze van f(z) zoals in de stelling aangegeven. Omdat h analytisch is op U r (a) met h(a) 0, is h(z) te ontwikkelen in een machtreeks b n (z a) n met b 0 0. Dus: We schrijven: en = f(z) = (z a) k {b 0 + b (z a) +...} b 0 (z a) k + b (z a) k b k z a + b k + b k+ (z a) S(z) = b 0 (z a) k + b (z a) k b k z a, T (z) = b k + b k+ (z a) +... = b n (z a) n k. S(z) heet het hoofddeel of het singuliere deel van f(z) bij a, en T (z) het Taylordeel. We concluderen: Stelling Als a een pool is van f dan bestaat een gereduceerde omgeving U r (a) \ {a} van a waarop f(z) te schrijven is als: f(z) = S(z) + T (z), waarin S(z) een rationale functie is met slechts één pool, e.w. in a en van dezelfde orde als voor f, en T (z) een functie die analytisch is op U r (a). Een pool van de orde k in a kan men dus (ook) opheffen door van f(z) een geschikte rationale functie (n.l. een veelterm van de graad k in /(z a)) af te trekken. Zo is sin z z 2 = z3 {z z2 3! +...} = z + { z 3! +...}. Het hoofddeel in z = 0 is dus /z. Tenslotte zijn er de essentiële singulariteiten, die echter in de toepassingen een veel minder grote rol spelen. Daarover bestaat een fraaie stelling, de stelling van Casorati en Weierstrass. Deze zegt ruwweg dat in willekeurig kleine omgeving van de singulariteit ieder complex getal nog willekeurig dicht wordt benaderd. De precieze formulering is te vinden in JMA, Er is trouwens een, minder gemakkelijk te bewijzen, stelling van Picard die zegt dat in iedere omgeving van een essentiële singulariteit alle waarden van C worden aangenomen, op ten hoogste een na! Verifieer dat juist dit het gedrag is dat men treft bij de functie exp(/z) en het punt z = 0. n=k 5

16 6 Breuksplitsing We kijken speciaal naar de consequenties van het voorgaande voor rationale functies. Gegeven is een rationale functie r(z) = p(z) q(z), met onderling ondeelbare veeltermen p(z) en q(z). De enige singulariteiten op C zijn polen, en wel precies in de nulpunten van q(z). We maken gebruik van de hoofdstelling van de algebra : q(z) is te schrijven als product van lineaire factoren q(z) = β.(z b ) m... (z b n ) m n, waarin b j, (j =,..., n) de nulpunten van q(z) zijn met bijbehorende multipliciteiten m j. Dit betekent dat r(z) een pool heeft in elke b j met multipliciteit m j. Het hoofddeel van r(z) bij b j is dus te schrijven als m j A j,k S j (z) = (z b j ) k. Nu is S j (z) zelf een rationale functie met maar één pool, namelijk b j, en dus is r(z) k= n S j (z) j= een rationale functie met uitsluitend ophefbare singulariteiten; dat is dus een polynoom P (z)! Voor r(z) vinden we zo de volgende schrijfwijze: We concluderen: r(z) = P (z) + n S j (z), Hulpstelling. Iedere rationale functie r(z) is te schrijven als de som van een polynoom en een A eindig aantal breuken (met verschillende a en/of k). Deze schrijfwijze is uniek (op volgorde (z a) k der termen na); zij heet de breuksplitsing van r(z). Rekenvoorbeeld: Bepaal de breuksplitsing van r(z) := j= (z 2 + )(z ) 3. De functie heeft eerste-orde polen in i, i en een derde-orde pool in. breuksplitsing de volgende vorm heeft: We weten dus dat de met S i (z) = r(z) = P (z) + S i (z) + S i (z) + S (z), A z i, S i(z) = B z + i, S (z) = C z + D (z ) 2 + E (z ) 3. Het polynoom P (z) is nul omdat r(z) 0 voor z. De vijf constanten bepalen we als volgt: A = lim(z i)r(z) = lim z i z i (z + i)(z ) 3 = i, 8 B = lim (z + i)r(z) = lim z i z i (z i)(z ) 3 = i 8, 6

17 E = lim(z ) 3 r(z) = lim z z z 2 + = /2. Tenslotte C en D; daarvoor kijken we preciezer naar de uitdrukking (z ) 3 r(z) = (z ) 3 (S i (z) + S i (z)) + C(z ) 2 + D(z ) + E. Het rechterlid is continu in z =. Voor het linkerlid mogen we dus, ook in z =, lezen z 2 +. Differentieer nu naar z; men vindt 2z (z 2 + ) 2 = d dz ( z 2 + ) = d (...) + 2C(z ) + D. dz Substitueer nu z =, dan volgt er D = /2. We hebben niet de moeite genomen om de eerste term rechts te differentieren: deze heeft een derde-orde nulpunt in z = ; na substitutie daarvan in de afgeleide is de uitkomst toch nul! Differentieer nogmaals: Substitueer weer z =, dan volgt C = /4. Dus 6z 2 2 (z 2 + ) 3 = d2 (...) + 2C. dz2 r(z) = i 8(z i) + i 8(z + i) + /4 z + /2 (z ) 2 + /2 (z ) 3. 7 Laurent-ontwikkeling Laat n= b nw n een machtreeks zijn met positieve convergentiestraal ρ (eventueel ). Substitueer hierin w = z a. Dan ontstaat een reeks oftewel n= n= b n (z a) n, a n (z a) n, waarin a k = b k, die convergeert voor z a > /ρ (resp. z a > 0, als ρ = ), en wel uniform op ieder compact deel van {z : z a > /ρ}. Als nu verder n=0 a n(z a) n een gewone machtreeks is met convergentiestraal R > /ρ, dan convergeert de reeks op een ring n= a n (z a) n := n= a n (z a) n + a n (z a) n n=0 ann(a; r, R) = {z C : r < z a < R}, waarin r = /ρ eventueel 0, en R eventueel + kan zijn. De convergentie is absoluut is ieder punt z van de ring, en uniform op iedere compacte deelverzameling van de (open) ring. Een reeks van dit type heet een Laurentreeks. Een Laurentreeks stelt blijkbaar op zijn convergentiering een analytische functie voor. We stellen nu de omgekeerde vraag: Gegeven is een functie die analytisch is op een gebied G. Neem aan dat de ring ann(a; r, R) geheel in G ligt. Is f(z) dan op ann(a; r, R) voor te stellen als som van een convergente Laurentreeks? Het antwoord geeft de stelling van Laurent: 7

18 Stelling (Laurent-ontwikkeling). Zij G een gebied, f een functie die analytisch is op G, en a C, alsmede r en R zo gekozen dat ann(a; r, R) niet leeg is en geheel in G ligt. Dan is f te ontwikkelen in een Laurentreeks: f(z) = a n (z a) n, z ann(a; r, R), met coeëffienten a n : n= a n = dw, 2πi Γ ρ (a) (w a) n+ voor alle n Z, waarin ρ willekeurig is te kiezen zo dat r < ρ < R. De convergentie is absoluut voor alle z in de ring, en uniform op compacte deelverzamelingen van de ring. De voorstelling is bovendien uniek: Als f(z) op de ring ann(a; r, R) geschreven is als som van een Laurentreeks f(z) = n= b n(z a) n, dan is dit vanzelf de Laurentontwikkeling, d.w.z. b n = a n voor alle n. Bewijs: Hiervoor verwijzen we naar JMA, 2.. en 2.2. Daarbij valt een kanttekening te maken. Cruciaal in het bewijs is, dat geldt: f(z) = 2πi w z dw, waarin de daar gedefinieerde kromme W = K +C 2 K +C voorstelt. [pag 96, onder het midden.] Dit is als volgt te verantwoorden: De functie w w z is analytisch (voor vaste z), en de kromme W is in G \ {z} homotoop met een cirkel Γ ɛ (a) met voldoend kleine straal ɛ [Ga na.]. Omdat, volgens de Integraalformule van Cauchy, f(z) = 2πi w z dw, W Γ ɛ (a) volgt het gewenste direct uit de hoofdstelling van Cauchy. Voor voorbeelden wordt verwezen naar JMA, Merk daarbij op dat in de voorbeelden. en 2. het uitvoeren van de breuksplitsing overbodig is; dit geldt niet bij voorbeeld 3.. Als a een geisoleerde singulariteit is van een functie f, dan kan men de stelling van Laurent toepassen op een gepunteerde cirkel om a, d.w.z. een ring van de vorm ann(a; 0, R). De Laurentontwikkeling hierop bevat informatie over de aard van de singulariteit. Stelling. Zij f(z) = n= a n (z a) n, z ann(a; 0, R) de Laurentontwikkeling van f op een gepunteerde schijf rond een geisoleerde singulariteit a van f. Dan geldt: Als a n = 0, n < 0 dan is a een ophefbare singulariteit. Als, voor zekere k > 0, a k 0 terwijl a n = 0, n < k dan is a een pool van orde k. Als a n 0 voor oneindig veel negatieve n, dan is a een essentiële singulariteit. Het bewijs volgt onmiddellijk uit de betreffende definities. Dat de functie sin z z 3 een tweede orde pool heeft in z = 0, volgt dus direct uit de voorstelling: sin z z 3 = z 3 {z z3 /3! +...} = /z 2 /3!

19 Dat exp(/z) een essentiële singulariteit heeft in 0 is te zien uit exp(/z) = + z + 2z De residuenstelling Zij G een open verzameling in C. We bekijken functies f(z), die analytisch zijn op G behoudens in een (eventueel oneindig) aantal in G gelegen, geïsoleerde singulariteiten van f. Zijn alle singulariteiten ophefbaar, dan heet f ook wel holomorf op G: men kan dan f wel opvatten als een op heel G gedefinieerde analytische functie. Komen er in G wel polen maar geen essentiële singulariteiten van f voor, dan heet f meromorf op G. Een meromorfe functie is op te vatten als een continue functie van G naar de Riemann-sfeer [vgl JMA, 4.9], als men in elke pool a de waarde f(a) definieert door f(a) :=. Veronderstel dat a G een geïsoleerde singulariteit van f is. De Laurent-ontwikkeling van f(z) op een gepunteerde schijf rond a zij gegeven door: f(z) = n= a n (z a) n, (0 < z a < r). ( ) Door f(z) te integreren langs een (eenmaal linksom doorlopen) cirkel Γ r (a) met straal kleiner dan r, vindt men (omdat termsgewijze integratie is toegestaan!): f(z)dz = 2πi.Ind Γr (a)(a).a = 2πi.a. Γ r(a) Definitie Zij (*) de Laurent-ontwikkeling van f(z) op een gepunteerde schijf rond een geïsoleerde singulariteit a. Dan heet de coëfficiënt a het residu van f(z) in het punt z = a. Notatie: a = Res(f(z), a). De bovenstaande formule is een bijzonder geval van de Residuenstelling: Zij G een open verzameling, en f een functie die analytisch is op G behoudens in een eindig aantal in G gelegen geïsoleerde singulariteiten z, z 2,..., z m. Laat W een (als steeds stuksgewijs continu-differentieerbare) gesloten kromme in G zijn, die door geen der punten z j, j =,..., m gaat, terwijl W G 0. Dan geldt: W m f(z)dz = 2πi.( Ind W (z j )Res(f(z), z j )). j= Bewijs: De functie g, gedefinieerd door g(z) := f(z) m S j (z) waarin S j (z) het hoofddeel van de Laurentontwikkeling van f(z) rond het punt a j is, is holomorf op G. [Ga na waarom!] Pas nu de stelling van Cauchy toe. Dan volgt het gestelde direct. Om de integraal f(z)dz te berekenen moet men dus de residuen uitrekenen in alle singulariteiten z j die binnen W gelegen zijn, preciezer, waarvan de index t.o.v. W niet nul is. Als W a een essentiële singulariteit is, dan is het bepalen van Res(f(z), a) niet eenvoudig, tenzij men j= 9

20 bijvoorbeeld toevallig de Laurentontwikkeling van f(z) rond z = a kent. Is a een pool, dan is het residu doorgaans wel gemakkelijk uit te rekenen. Lemma. Is a een pool van f van de orde k, en g de analytische voortzetting van de functie z (z a) k f(z) op een omgeving van a, dan is Res(f(z), a) = (k )! g(k ) (a). Bewijs: Omdat a een pool van orde k is, ziet de Laurent-ontwikkeling van f(z) rond z = a er aldus uit: f(z) = a k (z a) k a z a + a 0 + a (z a) Dus g(z) = a k +... a (z a) k + a 0 (z a) k De coefficient a vindt men dus zoals aangegeven. In de meeste gevallen die men tegenkomt gaat het om een pool van eerste orde. De formule luidt dan: Res(f(z), a) = lim z a (z a)f(z). Deze limiet is soms niet zo gemakkelijk uit te rekenen. Dan helpt vaak de volgende truc: Lemma 2. Zij a een pool van eerste orde van de functie f. Neem aan dat f(z) geschreven staat (of kan worden) als f(z) = g(z) h(z) waarbij a een eerste-orde nulpunt is van h, terwijl g(a) 0. Dan is Bewijs: Res(f(z), a) = g(a) h (a). g(z) Res(f(z), a) = lim. z a h(z) Omdat h(a) = 0 staat in de noemer het differentiequotient van h(z) bij a. Omdat verder g(z) continu is in a, volgt de formule nu direct. [Waarom is zeker dat h (a) 0?]. Residu-rekening kan ondermeer worden toegepast bij het berekenen van sommige reële (vaak oneigenlijke) integralen en het sommeren van reeksen. Voorbeelden zijn: JMA 3.7, 5.6, en 9.3. Laat f analytisch zijn op C \ {a,..., a n } en laat C R = {z : z = R} zodanig zijn dat a i < R voor alle i. Dan definiëren we het residu van f in oneindig als volgt: Res(f(z), ) = f, 2πi C R waarbij C R rechtsom doorlopen wordt. Als we de sleutelgat methode toepassen in combinatie met de Stelling van Cauchy dan vinden we voor f: Propositie. Res(f(z), ) + n i= Res(f(z), a i) = 0. We kunnen Res(f(z), ) ook direct berekenen met behulp van de transformatie z = /w: Res(f(z), ) = f(z) dz = ( ) f dw 2πi C R 2πi C /R w w 2 ( ( ) = Res f ) z z 2, 0. z a 20

21 9 Meromorfe functies Neem aan dat f : G C een meromorfe functie is met een eindig aantal polen p, p 2,..., p m herhaald naar multipliciteit d.w.z. eenzelfde pool wordt zovaak vermeld als zijn multipliciteit bedraagt. De nulpunten van f zijn z, z 2,..., z n, eveneens herhaald naar multipliciteit. We leiden eerst een formule af voor de logarithmische afgeleide van f(z), d.w.z. voor de uitdrukking f (z) f(z). De verzameling polen duiden we aan met P, de verzameling nulpunten met Z. We bekijken eerst f op G \ P. Daarop laat f(z) zich schrijven als f(z) = (z z )... (z z n ) g(z), met g analytisch, zonder nulpunten op G \ P. Dus f (z) = (z z )... (z z n ) g (z) + Dus geldt: voor alle z G \ (P Z). n (z z )... (z z l )(z z l+ )... (z z n ) g(z). l= f (z) f(z) = n l= + g (z) z z l g(z), De functie g heeft polen in p, p 2,..., p m, dezelfde als f. Dus is de functie h, gedefinieerd door h(z) = (z p )... (z p m ) g(z), een functie zonder polen of nulpunten in heel G. Net als boven geldt: voor alle z G \ P. h (z) m h(z) = + g (z) z p k g(z), k= Beide formule tezamen geven de volgende formule voor de logarithmische afgeleide van f(z): f (z) f(z) = n l= z z l m k= + h (z) z p k h(z), voor alle z G \ (P Z). Daarin is h /h een functie die analytisch is op geheel G. Dit voert tot de volgende stelling: Stelling (Argument-principe). Zij f een functie die meromorf is op G met polen in p, p 2,..., p m herhaald naar multpliciteit en nulpunten in z, z 2,..., z n, eveneens herhaald naar multipliciteit. Laat W gesloten kromme in G zijn zo dat W G 0, die niet gaat door een van de polen of nulpunten van f. Dan geldt: f (z) 2πi W f(z) dz = n l= Ind W (z l ) m Ind W (p k ). Bewijs: Dit volgt direct uit de formule voor de logarithmische afgeleide, door toepassing van de stelling van Cauchy. Als, zoals in JMA 24.2 wordt aangenomen, W een gesloten kromme is die om elk nulpunt en elke pool één keer heen loopt in positieve zin, dan is n l= Ind W (z l ) juist het aantal nulpunten van k= 2

22 f binnen W, en m k= Ind W (p k ) het aantal polen van f binnen W, beide geteld naar multipliciteit. Men is gewend het eerste getal aan te geven met N, en het tweede met P : n N := Ind W (z l ), P := l= m Ind W (p k ). k= Dan staat er: f (z) dz = N P. 2πi W f(z) Men noemt de stelling ook wel de N-P stelling. De benaming argument-pricipe berust op het volgende: Zij t w(t) een parametrisering van W op het interval [0,]. Dan is f (z) 2πi W f(z) dz = f (w(t))w (t) dt = (f w) 2πi 0 f(w(t)) 2πi 0 f w = dw 2πi f(w ) w = Ind f(w )(0). Dit laatste is dus de index van de beeldkromme f(w ) ten opzicht van 0, oftewel (intuitief) het aantal windingen dat f(z) rond 0 maakt als z de kromme W doorloopt. Of, nog anders gezegd, de toename van arg(f(z)) als z de kromme W doorloopt (op een factor 2π na). Samengevat: (N P ) 2π = de toename van arg(f(z)) als z de kromme W doorloopt. Een befaamde toepassing van het Argument-principe is de stelling van Rouché. Deze zegt, in algemene termen, dat het aantal nulpunten binnen een contour W van een functie f niet verandert als men op f een op W relatief kleine verstoring aanbrengt. Stelling van Rouché. Zij f op G een analytische functie, en W een gesloten kromme in G zo dat W G 0, en die niet gaat door de nulpunten van f. Zij g een op G eveneens analytische functie zo dat z W : g(z) < f(z). Dan is N f+g = N f. [Hierin is N f+g het boven gedefinieerde getal N voor de gestoorde functie f + g.] Bewijs: Merk eerst op dat, ook F g geen nulpunten op W heeft; immers Welnu, omdat in dit geval P = 0: N f+g N f = 2πi { Na enige herleiding vindt men: z W : F g (z) = f(z) + g(z) f(z) g(z) > 0. W N f+g N f = 2πi F g f F g W f } = 2πi { { f + g W f + g f f } W ( + g/f) + g/f = dw 2πi h(w ) w, waarin h = + g/f. Nu is voor alle z W : h(z) = g(z)/f(z) <. Dit wil zeggen dat beeld van W onder de functie h geheel in het rechter halfvlak ligt. Dus is volgens de stelling van Cauchy dw h(w ) w = 0. We concluderen: N f+g = N f. Het is mogelijk de stelling van Rouché te veralgemenen tot meromorfe functies. De uitspraak heeft dan betrekking op N P. [Zie Conway, V.3.8.]. Voor een voorbeeld, zie JMA,

23 0 Het maximumprincipe. Een cursus Complexe-functietheorie kan niet worden afgesloten zonder vermelding van het maximumprincipe van analytische functies. Dit heeft betrekking op het gedrag van de absolute-waarde functie f als f zelf analytisch is. Het blijkt dat f op een gebied G zelfs geen lokaal maximum kan aannemen, tenzij de functie f zelf constant is. Voor het bewijs kan men gebruik maken van een gevolg van de Integraalformule van Cauchy, dat wel de Middelwaardestelling van Gauss wordt genoemd: Hulpstelling. Zij f analytisch op de cirkelschijf U R (a), en 0 < r < R. Dan is f(a) = 2π 2π 0 f(a + re it )dt. [Dus, de waarde van f in het middelpunt van de cirkel is gelijk aan het gemiddelde van zijn randwaarden.] Bewijs: Pas de integraalformule van Cauchy toe, en parametriseer de resulterende integraal. Dan komt er: f(a) = 2πi Γ r (a) w a dw = 2π f(a + re it ) 2πi 0 re it ire it dt = 2π f(a + re it )dt. 2π 0 Maximum-modulus stelling. Zij G een gebied, en f een op G analytische functie en a een punt van G. Als de functie f in a een lokaal maximum aanneemt, dan is f constant. Bewijs: Laat δ > 0 zo zijn dat U δ (a) G en f(z) f(a) op U δ (a). Zij 0 < r < δ. Uit de Hulpstelling volgt dat f(a) 2π f(a + re it ) dt. 2π 0 Nu is f(a + re it ) f(a) voor 0 t 2π. Voor geen enkele waarde van t is f(a + re it ) < f(a) anders zou door de continuïteit het rechterlid van de ongelijkheid kleiner dan f(a) worden. Dus f(a + re it ) = f(a) voor elke t [0, 2π) en elke r (0, δ). Voor elke z U δ (a) geldt dus f(z) = f(a). Met opgave 7.8. in JMA kunnen we nu concluderen dat f(z) = f(a) op de schijf U δ (a). Omdat G samenhangend is volgt nu uit de Identiteitsstelling van 4 dat f(z) = f(a) op geheel G. Gevolg. Zij G een begrensd gebied, met rand G, en laat K de (dus) compacte verzameling K = G G, de afsluiting van G zijn. Laat verder f : K C een continue functie zijn, die analytisch is op G. Dan neemt f zijn maximum op de rand G aan: max{ f(z) : z K} = max{ f(z) : z G}. Vanzelfsprekend is er ook een minimum-modulus stelling. Bijvoorbeeld aansluitend op het laatstvermelde Gevolg : Als aan de gegeven condities is voldaan, dan geldt: ofwel f heeft een nulpunt op G, of f neemt zijn minimum aan op de rand G van G. [Ga na.] EINDE 23