Logisch denken over kansen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Logisch denken over kansen"

Transcriptie

1 Logisch denken over kansen In zee met wiskunde D TU Eindhoven, 29 januari 2007 Mirte Dekkers en Klaas Landsman Radboud Universiteit Nijmegen Genootschap voor Meetkunde en Kwantumtheorie

2 Is kansrekening wiskunde? Meneer Jeavons zei dat ik van wiskunde hield omdat het veilig was. Hij zei dat ik van wiskunde hield omdat ik dan problemen kon oplossen, en die problemen waren moeilijk en interessant, maar er kwam wel altijd een duidelijk antwoord uit. En wat hij bedoelde was dat wiskunde anders was dan het leven, want in het leven komen er geen duidelijke antwoorden uit. (Mark Haddon, Het wonderbaarlijke voorval met de hond in de nacht)

3 Kansrekening is wiskunde! Kansrekening (en statistiek) is het onderdeel van de wiskunde dat dit vak met het leven verbindt Kansrekening geeft meestal een getal. Maar dat is nog geen duidelijk antwoord : betekenis is vaak onduidelijk Over de betekenis van die getallen moet je eerst logisch en conceptueel leren nadenken (ook daar ligt wiskunde!) Logisch en conceptueel nadenken over kansen is op het vwo zelfs belangrijker dan bij andere onderdelen van de wiskunde (waar dat op de universiteit kan of nooit)

4 Kansrekening op het vwo Huidige situatie: wiskunde A1, A12, B1, B12 bevatten hetzelfde pakket Combinatoriek en kansrekening en bovendien Statistiek (A B) : vier vakken wiskunde (A, B, C, D) A = A12 m.b.t. Kansrekening en statistiek (200 slu) B bevat geen Kansrekening en statistiek C heeft op papier hetzelfde programma als A D (experimenteerfase): slu voor K&S in te vullen als A12 (in 160 slu) of specifiek

5 Standpunt Resonansgroep K&S is zó belangrijk voor vervolgopleidingen en leven dat de basis in wiskunde A én B (en C) thuishoort Voortgezette meetkunde past beter in wiskunde D Logisch/axiomatisch-deductief denken kan via K&S (of Analyse) worden aangeleerd (i.p.v. via meetkunde) Wiskunde D moet K&S verdiepen De situatie in is dus onbevredigend

6 Mes snijdt aan twee kanten Op mijn school, Dalton Voorburg, wordt overwogen het vak Wiskunde D voorlopig niet in te voeren. Voornaamste redenen: nog geen vaststaand examenprogramma, wordt niet vereist door vervolgopleidingen, misschien kleine (dus dure) groepjes. Daar heeft de wiskundesectie bezwaar tegen gemaakt. Vooral ons argument dat er dan N&T leerlingen naar het vervolgonderwijs zullen gaan zonder enige kennis van kansrekening en statistiek vindt weerklank. Onze inventieve conrector heeft nu bedacht dat die module kansrekening en statistiek wel zo ongeveer in de 100 slu vrije ruimte binnen Wiskunde D (VWO) kan worden geschoven. Of dat we misschien het vak Wiskunde D (VWO) meer slu moeten geven (bijv. 760 slu) zodat kansrekening en statistiek er weer in zou kunnen. Heel creatief allemaal, wij als wiskundesectie zien hier niet veel in. Wij blijven pleiten voor invoering van het hele vak Wiskunde D. Daar zijn voldoende goede redenen voor. Maar, is bekend hoe andere scholen het probleem hebben opgelost? Dus in het bijzonder: wat gebeurt op scholen die Wiskunde D niet invoeren met de domeinen "kansrekening en statistiek"? En hoe wordt dat dan beloond bij de leerlingen? Jos Remijn, SG Dalton, Voorburg (WiskundEbrief )

7 Advies B & D voor Comprimeer A12 materiaal K&S voor D tot 120 slu Vul 40 slu in met spannend keuzeonderwerp Zorg dat logisch en conceptueel nadenken over kansen een rol speelt in dit keuzeonderwerp Een suggestie daartoe is het thema van vandaag: Het driedeurenprobleem (40 slu) Ander geschikt onderwerp voor wiskunde D (ligt tussen K&S en Wiskunde in wetenschap): Bestaat Toeval? (80 slu)

8 Het driedeurenprobleem (Monty Ha! Problem, Ziegenproblem) Quizmaster en deelnemer staan voor drie deuren Achter één deur staat een Ferrari Achter de andere twee deuren staat een geit De deelnemer kiest een deur (die dicht blijft) De quizmaster (die weet waar de auto staat) opent een andere deur, waar een geit staat De quizmaster vraagt de deelnemer of hij zijn keuze wil wijzigen Wat moet hij doen?

9 De juiste oplossing Als hij wisselt is de kans dat hij wint 2/3 Als hij niet wisselt is de kans dat hij wint 1/3 Het is dus verstandig om te wisselen Maar veel mensen denken dat het niets uitmaakt! De oplossing is contra-intuïtief

10 Kansboom Wat maakt de verschillende mogelijkheden even waarschijnlijk? Wat betekenen de kansen? Is de uitkomst niet van tevoren bepaald? De specifieke keuze van de quizmaster komt niet voor

11 Ask Marilyn (Vos Savant) Ik maak me grote zorgen over het gebrek aan wiskundig inzicht bij het grote publiek. Help alstublieft door uw fout toe te geven Ongelooflijk dat u uw fout nog steeds niet inziet nadat u door zeker drie wiskundigen bent verbeterd U hebt het volledig mis... Hoeveel woedende wiskundigen zijn ervoor nodig om u te overtuigen?

12 Probleem is kapstok voor: Axioma s van de kansrekening Bayes, 1761 (eindig veel mogelijke uitkomsten) Kolmogorov, 1933 (willekeurig veel uitkomsten) Interpretatie(s) van de kansrekening Gebruik voorwaardelijke kansen en regel v. Bayes

13 Axioma s kansrekening Kansexperiment heeft (eindige) lijst Z van uitkomsten Voorbeeld: Z = {1,2,3,4,5,6} bij worp met dobbelsteen Kans is functie P: {Combinaties van uitkomsten} [0,1] Voorbeeld: { {1},..., {6}, {1,2},..., {1,2,3},..., Z = {1,2,3,4,5,6} } P(A of B) = P(A) + P(B) als A en B elkaar uitsluiten P(Z) = 1 (de zekere gebeurtenis heeft kans 1)

14 Met verzamelingen: Uitkomstruimte van kansexperiment is verzameling Z Kans is functie P: {deelverzamelingen van Z} [0,1] P(A B) = P(A) + P(B) als A B = P(Z) = 1 (de zekere gebeurtenis heeft kans 1) N.B. dit geldt voor eindige verzamelingen Z

15 Voorwaardelijke kansen Een voorwaardelijke kans heeft 2 argumenten P(A B) = P(A en B)/P(B) (als P(B) 0) Hieruit volgt de regel van Bayes: P (A B) = P (B A)P (A) P (B) Let op hoe deze regel in de praktijk wordt gebruikt: P(A B) als kans op A nadat B heeft plaatsgevonden (terwijl P(A B) eigenlijk slaat op tijd vóór B zeker was)

16 Interpretaties kansrekening Objectief: kans bestaat echt (in de natuur) kans is relatieve frequentie Geldt alleen voor herhaalbare kansexperimenten Subjectief: kans is mentale constructie kans is mate van geloof Ook van toepassing op éénmalige kansexperimenten Beide interpretaties kennen problemen, maar voldoen aan axioma s als ze van toepassing zijn

17 Relatieve frequentie als getal Herhaal een kansexperiment N keer: kans op A is P (A) = #(A) N Nadeel: soms grote afwijkingen van objectieve kans Neem dus limiet voor grote N: kans op A is #(A) P (A) = lim N N Talloze problemen: bestaat limiet? Hangt deze af van volgorde experimenten? Operationele definitie?... Met en zonder limiet is aan axioma s voldaan

18 Mentale kans als getal Mate van geloof uitgedrukt als wed-ratio Docent en leerling sluiten weddenschap af op A Leerling kiest wed-ratio P(A) Docent kiest inzet I(A) positief of negatief Leerling betaalt docent P(A)I(A) Als A optreedt betaalt docent aan leerling I(A) Als A niet optreedt betaalt docent niets Wie wint hangt af van uitkomst en van het teken van I(A) Dutch book stelling: functie P voldoet aan axioma s desda docent niet door slimme keuze van inzetten een Dutch book kan maken (i.e. weddenschap die leerling altijd verliest)

19 Oplossing driedeurenprobleem Met frequentie-interpretatie: speel het spel N keer met toevallige keuzes quizmaster (auto) en deelnemer (deur) zonder correlaties (dus niet auto achter deur 1, 2, 3, 1, 2, 3,.. en keuze deur idem dito). Uitmiddeling geeft dan het juiste antwoord (kansboom) Met mentale interpretatie: bepaal subjectieve kansen die deelnemer aan relevante gebeurtenissen toekent (bijv. A₁: auto staat achter deur 1) Druk kans op auto met en zonder wisselen uit in (subjectieve) voorwaardelijke kansen Regel van Bayes geeft vervolgens het juiste antwoord

20 Subjectieve kansen Voor de quizmaster zijn alle kansen 0 of 1 Voor de deelnemer zijn de kansen als volgt: P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3 (A₁: auto staat achter deur 1) Stel dat deelnemer deur 1 kiest, dan geldt tevens: P(Q₁) = 0; P(Q₂) = P(Q₃) = 1/2 (Q₁: quizmaster opent deur 1) Quizmaster opent deur die niet gekozen was én geit toont: P(Q₂ A₃) = P(Q₃ A₂) = 1 maar P(Q₂ A₁) = P(Q₃ A₁) = 1/2

21 Berekening Deelnemer kiest deur 1 en quizmaster opent deur 2 Kans dat deelnemer wint als hij wisselt is P(A₃ Q₂) Kans dat hij wint als hij niet wisselt is P(A₁ Q₂) Regel van Bayes: P(A B) = P(B A)P(A)/P(B) P(A₃ Q₂) = P(Q₂ A₃)P(A₃)/P(Q₂) = (1 ⅓) / ½ = ⅔ P(A₁ Q₂) = P(Q₂ A₁)P(A₁)/P(Q₂) = (½ ⅓) / ½ = ⅓ Dit is het juiste antwoord: Kans dat deelnemer wint als hij wisselt is 2/3 Kans dat hij wint als hij niet wisselt is 1/3

22 Wat leren de scholieren? Kansrekening heeft een axiomatische fundering (net als euclidische meetkunde, analyse,...) Er bestaan verschillende interpretaties van de kansrekening, die elk aan de axioma s voldoen Het driedeurenprobleem kan worden opgelost met zowel de objectieve frequentie-interpretatie als met de subjectieve mentale interpretatie Andere illustratie voorwaardelijke kansen en regel van Bayes: de zaak Lucia de B.

Interpretaties van kansen, de Dutch Book stelling en het driedeurenprobleem

Interpretaties van kansen, de Dutch Book stelling en het driedeurenprobleem Interpretaties van kansen, de Dutch Book stelling en het driedeurenprobleem Mirte Dekkers en Klaas Landsman mdekkers@math.ru.nl landsman@math.ru.nl Institute for Mathematics, Astrophysics, and Particle

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17 1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17 De Kolmogorov

Nadere informatie

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is an author's version which may differ from the publisher's version. For additional information about this

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012

Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012 Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren

Nadere informatie

Toeval is logisch. Van Huygens tot Freudenthal. Inleiding. Is kansrekening wel wiskunde? 42 Toeval is logisch

Toeval is logisch. Van Huygens tot Freudenthal. Inleiding. Is kansrekening wel wiskunde? 42 Toeval is logisch Over de invulling van wiskunde D hebben velen hun mening gegeven. De Resonansgroep heeft voor kansrekening en statistiek in plaats van meetkunde in wiskunde B gepleit. Nu het in D terechtgekomen is, komt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

college 4: Kansrekening

college 4: Kansrekening college 4: Kansrekening Deelgebied van de statistiek Doel: Kansen berekenen voor het waarnemen van bepaalde uitkomsten Kansrekening 1. Volgordeproblemen Permutaties Variaties Combinaties 2. Kans 3. Voorwaardelijke

Nadere informatie

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip 27 januari 2014 Deze les Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intuïtie Kanstheorie volgens Laplace (1749-1827) De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 1 November 1 / 26 2 Statistiek Vandaag: Power Grootte steekproef Filosofie 2 / 26 Power 3 / 26 Power Def. De power (kracht) van een hypothese toets is (1 β),

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.1 Waarschijnlijkheidsrekening 1 Beschouw een toevallig experiment (de resultaten zijn aan het toeval te danken) Noem V de verzameling van alle mogelijke uitkomsten

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012 Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert

Nadere informatie

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid

Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2006 Les 9 Voorwaardelijke kansen, de Regel van Bayes en onafhankelijkheid Sommige vragen uit de kanstheorie hebben een antwoord dat niet met de intuïtie van iedereen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Kansrekening en Statistiek p.1 Overzicht Kansrekening en Statistiek - Geschiedenis - Loterij - Toetsen

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Kansrekening

Hoofdstuk 4 Kansrekening Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen

Nadere informatie

Wiskunde in de profielen

Wiskunde in de profielen Wiskunde in de profielen Wiskunde in de profielen Wiskunde staat los van de rekentoets Alle leerlingen doen de rekentoets deze telt voor VWO mee in zak-slaag-regeling C&M Wiskunde C (of A) E&M Wiskunde

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 5 Oktober 1 / 20 1 Kansrekening Indeling: Binomiaalcoëfficiënten Monty Hall Geschiedenis Filosofie 2 / 20 Binomiaalcoëfficiënten 3 / 20 Binomiaalcoëfficiënten

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en

Nadere informatie

Op het vwo heb je wiskunde A, B, C en D. Wiskunde A, B en C horen bij een profiel, wiskunde D is een keuzevak.

Op het vwo heb je wiskunde A, B, C en D. Wiskunde A, B en C horen bij een profiel, wiskunde D is een keuzevak. Let op: In de wiskundefilm wordt gezegd dat je naast wiskunde B ook wiskunde A kunt kiezen als examenvak in het vrije deel. Dit is niet toegestaan. De enige combinatie die is toegestaan, is wiskunde B

Nadere informatie

Examenprogramma wiskunde D vwo

Examenprogramma wiskunde D vwo Examenprogramma wiskunde D vwo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek

Nadere informatie

De Dutch Book Stelling

De Dutch Book Stelling De Dutch Book Stelling Een bachelorscriptie van Mirte Dekkers Onder begeleiding van Klaas Landsman Nijmegen, juli 2006 Inhoudsopgave Voorwoord 5 Samenvatting 7 1 Verschillende interpetaties van kansen

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 7228 14 maart 2014 Regeling van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 22 februari 2014, nr. VO/599178,

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober

Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober Statistiek voor A.I. College 7 Dinsdag 2 Oktober 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft is de kans op een positieve

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Examenprogramma wiskunde A vwo

Examenprogramma wiskunde A vwo Examenprogramma wiskunde A vwo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein Bg Functies

Nadere informatie

Theorie Bayes. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/44470

Theorie Bayes. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/44470 Auteurs Laatst gewijzigd Licentie Webadres Its Academy 16 november 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/44470 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van

Nadere informatie

Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren

Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Voorwaardelijke kans Rekenregels Onafhankelijkheid Voorwaardelijke Onafhankelijkheid

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

3 Kansen vermenigvuldigen

3 Kansen vermenigvuldigen 3 Kansen vermenigvuldigen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Vermenigvuldigen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl

Nadere informatie

totale studielast: 320 uur Dit vak heeft ook een Centraal Examen, dat voor 50% het eindcijfer bepaalt.

totale studielast: 320 uur Dit vak heeft ook een Centraal Examen, dat voor 50% het eindcijfer bepaalt. PTA wiskunde A HAVO cohort 2014-2016 ST=SE-toets SP=SE-praktische opdracht VT=voortgangstoets VP=voortgangs-praktische opdracht HD=handelingsdeel Weeknummers zijn een indicatie: er kunnen geen rechten

Nadere informatie

In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden.

In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden. In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden. Wiskunde is een verplicht vak bij de profielen EM, NG en NT. Als je CM kiest hoef je wiskunde niet verplicht

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Havo A deel 1 begint met het niet-examenonderwerp Statistiek (was hoofdstuk 4). Al snel wordt de grafische rekenmachine ingezet en ook bij de andere

Nadere informatie

Twee keuzevakken. NLT en Wiskunde D De een of de ander? 1 juli 2011. Nelleke den Braber Landelijk coördinatiepunt NLT

Twee keuzevakken. NLT en Wiskunde D De een of de ander? 1 juli 2011. Nelleke den Braber Landelijk coördinatiepunt NLT Twee keuzevakken NLT en Wiskunde D De een of de ander? 1 juli 2011 Nelleke den Braber Landelijk coördinatiepunt NLT Schoolexamenvakken sinds 2007 NLT: NG&NT leerlingen Wiskunde D: Alleen leerlingen met

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 13 September 1 / 47 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

Bestaat toeval? De Bell-ongelijkheden en het Bohr-Einstein debat. Mirte Dekkers Klaas Landsman

Bestaat toeval? De Bell-ongelijkheden en het Bohr-Einstein debat. Mirte Dekkers Klaas Landsman Bestaat toeval? De Bell-ongelijkheden en het Bohr-Einstein debat Mirte Dekkers Klaas Landsman Institute for Mathematics, Astrophysics, and Particle Physics (IMAPP) en Genootschap voor Meetkunde en Kwantumtheorie

Nadere informatie

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) =

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) = 2.1 Kansen [1] Voorbeeld 1: Als je gooit met twee dobbelstenen zijn er in totaal 6 6 = 36 mogelijke uitkomsten. Deze staan in het rooster hiernaast. De gebeurtenis som is 6 komt vijf keer voor. Het aantal

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars

Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars-10630996. Docent: Wil Baars Les: 1 Klas:4VWO Aantal leerlingen:21 Lesonderwerp Het vaasmodel: introductie Beginsituatie De leerling weet dat het aantal

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 30735 6 november 2013 Regeling van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 28 oktober 2013, nr. VO/541608,

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit HOOFDSTUK : Kansrekening. De productregel Opgave : van de knikkers zijn rood rood uit II ) d. 0, e. 0, Opgave : 0 twee wit 0, ) 0 0 ) 0 0 ) 0 0 blauw en rood 0, wit en groen 0, d. geen blauw 7 0, ) 0 0

Nadere informatie

van de verwachtingswaarde groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen te verkiezen boven rood?..

van de verwachtingswaarde groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen te verkiezen boven rood?.. Verwacht winst altijd Prof. dr. Herman Callaert Een verrassende toepassing van de verwachtingswaarde bij kansmodellen. groen is te verkiezen boven blauw en blauw is te verkiezen boven rood is dan groen

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken

Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Hoofdstuk 5 Machten en Eponenten (V Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle -en die je mag invullen in de formule

Nadere informatie

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 5 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp Kansrekening doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat

Nadere informatie

Een paradox bij kansrekenen

Een paradox bij kansrekenen Een paradox bij kansrekenen 1 Inleiding Sinds Zeno aantoonde dat de snelvoetige Achilles de schildpad nooit zou inhalen, hebben vele paradoxen de wiskundige gemeenschap bezig gehouden. Ook de kanstheorie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B.

Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B. Kansloos: van Willem Ruis tot Lucia de B. Peter Grünwald Centrum voor Wiskunde en Informatica Kruislaan 413, 1098 XJ Amsterdam homepages.cwi.nl/~pdg 1.1 Kansloze Situaties Uitspraken van de vorm deze gebeurtenis

Nadere informatie

Vaardigheden Algebra en tellen Verbanden Verandering Statistiek en kansrekening Keuzeonderwerpen

Vaardigheden Algebra en tellen Verbanden Verandering Statistiek en kansrekening Keuzeonderwerpen Léon Tolboom Vaardigheden Algebra en tellen Verbanden Verandering Statistiek en kansrekening Keuzeonderwerpen Hier gaat het voornamelijk over het kunnen vertalen van een probleem naar de wiskunde, het

Nadere informatie

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof [PW] appendix D.1 kansrekening kansen: 1. Je gooit met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Tweede fase en profielkeuze. drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium

Tweede fase en profielkeuze. drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium Tweede fase en profielkeuze Door: drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium wej@veurslyceum.nl Programma 1) Uitleg over decanaat en Tweede Fase 2) Wat zijn profielen en welke profielen zijn er?

Nadere informatie

Het Wiskunde A1,2 examen

Het Wiskunde A1,2 examen 166 NAW 5/3 nr. 2 juni 2002 Het Wiskunde A1,2 examen Bert Zwaneveld Bert Zwaneveld afdeling Natuur- en Technische Wetenschappen Open Universiteit Nederland Postbus 2960, 6401 DL Heerlen bert.zwaneveld@ou.nl

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2 Hoofdstuk III Kansrekening Les 1 Combinatoriek Als we het over de kans hebben dat iets gebeurt, hebben we daar wel intuïtief een idee over, wat we hiermee bedoelen. Bijvoorbeeld zeggen we, dat bij het

Nadere informatie

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen:

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen: 4.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Een bestuur bestaat uit 6 personen. Uit deze 6 personen wordt eerst een voorzitter, dan een secretaris en tot slot een penningmeester gekozen. Bereken het aantal manieren om

Nadere informatie

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.3 16.3 uur 2 4 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

les 2 toeval en waarschijnlijkheid

les 2 toeval en waarschijnlijkheid systemen ams blok 1 les 2 toeval en waarschijnlijkheid bestaat toeval? toevallig stond er deze week een artikel over toeval in de volkskrant maar was dit wel toeval? was het voorbestemd? wat is

Nadere informatie

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2

is, dat de zijde met cijfer boven te liggen komt, evenzo als de kans voor de koningin 1 2 Hoofdstuk III Kansrekening Les Combinatoriek Als we het over de kans hebben dat iets gebeurt, hebben we daar wel intuïtief een idee over, wat we hiermee bedoelen. Bijvoorbeeld zeggen we, dat bij het werpen

Nadere informatie

Hoofdsponsors Technische Universiteit Eindhoven Transtrend BV ORTEC Centraal Bureau voor de Statistiek All Options

Hoofdsponsors Technische Universiteit Eindhoven Transtrend BV ORTEC Centraal Bureau voor de Statistiek All Options Voorbeelden Voorbeelden van opgaven uit de eerste ronde 1 Als je 6 5 4 3 2 1 uitrekent kom je uit op 720. Hoeveel delers heeft het getal 720? (Een deler van een getal n is een positief geheel getal waardoor

Nadere informatie

(Eerlijk) verdelen, breuken (taal), meetkunde, meten

(Eerlijk) verdelen, breuken (taal), meetkunde, meten Titel Strokenstrijd roep / niveau roep 5/6 Leerstofaspecten (Eerlijk) verdelen, breuken (taal), meetkunde, meten Benodigdheden Stroken; A3 in de lengte in vieren (smalle strook), bij voorkeur in verschillende

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Didactiek van Informatieverwerking en Statistiek voor leerlingen van 12-16?

Didactiek van Informatieverwerking en Statistiek voor leerlingen van 12-16? Didactiek van Informatieverwerking en Statistiek voor leerlingen van 12-16? Ontwikkeling van een module en boek voor de 2 e graads lerarenopleiding wiskunde. Informatieverwerking en Statistiek Gerard van

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

09 H7 Dubbele implicaties. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

09 H7 Dubbele implicaties. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 29 November 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/46161 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

Welke Wiskunde moet ik kiezen?

Welke Wiskunde moet ik kiezen? Welke Wiskunde moet ik kiezen? Welke Wiskundes zijn er? Welke Wiskunde past bij mij? Welke Wiskunde heb ik nodig? Welke Wiskunde kan ik op het Erasmiaans volgen? Welke Wiskundes zijn er? Wiskunde A Wiskunde

Nadere informatie

ctwo Experimenteel examenprogramma 2014 vwo wiskunde D definitieve versie

ctwo Experimenteel examenprogramma 2014 vwo wiskunde D definitieve versie ctwo Experimenteel examenprogramma 2014 vwo wiskunde D definitieve versie 20 februari 2009 1 ctwo CONCEPTEXAMENPROGRAMMA 2014 vwo wiskunde D Het examenprogramma voor vwo wiskunde D is gericht op de leerlingen

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansrekening voor de tweede graad. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg 1. Kans als relatieve frequentie...1 1.1. Van realiteit naar

Nadere informatie

Tweede fase en profielkeuze. drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium

Tweede fase en profielkeuze. drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium Tweede fase en profielkeuze Door: drs. J. van Wesel Decaan HAVO/Atheneum /Gymnasium wej@veurslyceum.nl Programma 1) Uitleg over decanaat en Tweede Fase 2) Wat zijn profielen en welke profielen zijn er?

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie