4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

Transcriptie

1 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (met als bekend voorbeeld de Google PageRank matrix) en binnen het modelleren van fysische processen: temperatuur, dichtheid, en concentratie zijn allemaal niet-negatief. Definitie 4.1 (Positieve/niet-negatieve matrix) Laat (a ij ) = A R n k. Als a ij > 0 voor alle i, j {1,..., n} schrijven we A > 0 en heet A een positieve matrix. Als a ij 0 voor alle i, j {1,..., n} schrijven we A 0 en heet A een niet-negatieve matrix. Opmerking 4.2 Als gevolg schrijven we A > B als A B > 0 en A B als A B 0 Daarnaast bedoelen we met A < B dat B > A, met A B dat B A, enzovoorts. Tot slot schrijven we A voor de matrix waarvan de entries de absolute waarden zijn van die van A. Opmerking 4.3 Als x R en x 0 en x 0 dan is x > 0. Echter, als A R n k met nk > 1 en A 0 en A 0, impliceert dit niet dat A positief is: zie bijvoorbeeld A = [1 0]. Zonder bewijs vermelden we de volgende elementaire eigenschappen. Lemma 4.4 (E1) Als A > 0 en x 0, x 0, dan is Ax > 0; (E2) Als A > 0 en x > y dan is Ax > Ay; (E3) Als A 0 en x y dan is Ax Ay; (E4) Voor alle A R n k en x R k geldt dat Ax A x ; (E5) Voor alle matrices A en B waarvoor AB bestaat geldt dat AB A B. 4.1 De Neumannrij en de Neumannreeks Als r R en r < 1 dan convergeert dat de meetkundige reeks j=0 r k = 1 1 r, want 1 + r + r2 + + r k = 1 rk+1 1 r (1) voor alle k en lim k r k+1 = 0. Een soortgelijk resultaat werd voor matrices met bepaalde eigenschappen bewezen door de Duitse wiskundige Carl Neumann. Carl Neumann ( ) Eerst een definitie, die de voorwaarde r < 1 voor convergentie helpt te generaliseren. 1

2 Definitie 4.5 (Spectraalstraal) Laat A C n n. De spectraalstraal van A is het reële, niet-negatieve getal ρ(a) = max{ λ λ σ(a)} waarbij σ(a) de verzameling van eigenwaarden van A is, het spectrum van A. De verzameling {z C z ρ(a)} heet de spectrale schijf, met als rand de spectrale cirkel. Dus ρ(a) is de straal van de kleinste schijf rond 0 C waarop alle eigenwaarden van A liggen. Deze schijf is spectrale schijf. C 0 ρ(a) } ρ(a) is een eigenwaarde Figuur 4.1 Het spectrum, de spectrale cirkel, de spectrale schijf, en de spectraalstraal. Opmerking 4.6 De spectraalstraal ρ(a) is niet altijd een eigenwaarde van A. Zie A = [ 1]. De met (1) corresponderende uitspraak verdelen we over een lemma en twee stellingen. Lemma 4.7 Laat λ C met λ < 1 en laat l N. Dan geldt dat ( ) k lim λ k l = 0. (2) k l Bewijs. Dit volgt uit de begrenzing van de binomiaalcoëfficiënt middels ( ) k = l k! k(k 1)... (k l + 1) = kl l!(k l)! l! l!, en de eventueel herhaalde toepassing van de regel van de l Hopital. Stelling 4.8 (Neumannrij) Laat A C n n en veronderstel ρ(a) < 1, dan geldt dat de limiet voor k van de Neumannrij (A k ) k 0 gelijk is aan de nulmatrix, lim k Ak = 0. Bewijs. Eerder bewezen we dat er voor alle A C n n een X GL n (C) bestaat zo, dat T X 1 0 T.. AX = (3) T p 2

3 waarbij T j = λ j I +M j met M j C m j m j strict bovendriehoeks. Hierbij is m j de meetkundige multipliciteit van de eigenwaarde λ j van A. Nu volgt eenvoudig dat T1 k A k 0 T = X k Tp k X 1. Omdat de beide matrices λ j I en M j commuteren, vinden we met behulp van het binomium van Newton dat voor alle k N, T k j = (λ j I + M j ) k = k l=0 ( ) k λ k l j Mj l = l m j l=1 ( ) k λ k l j Mj l. l waarbij de laatste gelijkheid geldt omdat M j nilpotent is met index ten hoogste m j. Omdat λ j < 1 wegens de aanname dat ρ(a) < 1 volgt met Lemma 4.7 dat de limiet voor k naar oneindig van T k j gelijk is aan de nulmatrix, en dus ook die van Ak. Opmerking 4.9 De voorwaarde ρ(a) < 1 is noodzakelijk voor de convergentie van de Neumannrij naar de nulmatrix, maar niet noodzakelijk voor convergentie. Zie bijvoorbeeld A = I. Stelling 4.10 (Neumannreeks) Laat A C n n en veronderstel dat ρ(a) < 1, dan geldt dat A k = (I A) 1. (4) j=0 Bewijs. Voor iedere gehele k 0 geldt dat (I + A + A A k )(I A) = I A k+1. De limiet voor k van het rechterlid bestaat volgens Lemma 4.8 en dus vinden we dat A k (I A) = I. j=0 Omdat I A vierkant is, is de som links van de matrix I A kennelijk zijn inverse.. Opmerking 4.11 De voorwaarde ρ(a) < 1 is noodzakelijk voor de convergentie van de Neumannreeks in Stelling 4.10, omdat in een convergente som de individuele termen naar nul convergeren. De voorwaarde is echter niet nodig voor de inverteerbaarheid van I A. Zie A = [ ] met σ(a) = {2, 4}, I A = [ en merk op dat I A inverteerbaar is wegens det(i A) = 3 ondanks dat ρ(a) = 4. ] 3

4 4.2 Perron-Frobeniustheorie voor positieve matrices Oskar Perron en Georg Frobenius bewezen resultaten voor eigenwaarden en eigenvectoren van niet-negatieve matrices. Oskar Perron ( ) en Georg Ferdinand Frobenius ( ) De bewijzen zijn het eenvoudigst voor positieve matrices. Lemma 4.12 Laat A R n n. Als A > 0 dan is zijn spectraalstraal ρ(a) > 0. Bewijs. Stel dat ρ(a) = 0. Dit betekent dat alle eigenwaarden van A gelijk zijn aan nul. Maar dan is A nilpotent en bestaat er dus een p met A p = 0. Echter, als A > 0 dan is duidelijk ook A k > 0 voor alle k. Deze tegenspraak bewijst de bewering. Lemma 4.13 Laat A R n n, A > 0. Als Ax = x voor zekere x 0, x 0, dan is x > 0. Bewijs. Volgens (E1) uit Lemma 4.4 is Ax > 0. Omdat Ax = x geldt dus ook x > 0. Stelling 4.14 Laat A R n n. Als A > 0 dan bestaat er een x > 0 zodanig dat waarbij ρ(a) de spectraalstraal is van A. Ax = ρ(a)x. (5) Bewijs. Veronderstel op grond van Lemma 4.12 zonder verlies van algemeenheid dat ρ(a) = 1. Dit impliceert dat er een λ σ(a) bestaat met λ = 1 en een y 0 waarvoor Ay = λy. Voor deze λ en y geldt y = λ y = λy = Ay A y = A y, waarbij we gebruik maken van eigenschap (E4) uit Lemma 4.4. We concluderen dat w = A y y 0. (6) We gaan bewijzen dat zelfs w = 0 door een tegenspraak af te leiden uit de veronderstelling dat w 0. Omdat A > 0 volgt met (E1) uit Lemma 4.4 dat zowel Aw > 0 als dat A y > 0, oftewel, AA y > A y > 0. (7) Omdat iedere entry van AA y groter is dan de overeenkomstige entry van A y, bestaat er een ε > 0 met 1 AA y > A y > 0. (8) 1 + ε 4

5 Schrijf nu B = A en z = A y. 1 + ε Met deze notatie verandert (8) in Bz > z > 0. Maar dan is met (E2) uit Lemma 4.4 ook B 2 z = B(Bz) > Bz want B > 0, en met inductie zien we dat B k z > z > 0 voor alle k N. Echter ρ(b) = ρ(a) 1 + ε = ε < 1, dus geeft Stelling 4.8 dat B k 0 voor k. Dit is in tegenspraak met B k z > z > 0 voor alle k. Dus w = 0, oftewel, A y = y. Maar dan is x = y 0 een eigenvector van A behorende bij een eigenwaarde λ = 1 van A, en uit Lemma 4.13 volgt tot slot dat x > 0. Opmerking 4.15 Het feit dat B k 0 is niet in tegenspraak met B k z > 0 voor alle k. Het is dus noodzakelijk om de ongelijkheid B k z > z > 0 te bewijzen in plaats van slechts B k z > 0. De eigenruimte van de eigenwaarde ρ(a) van A bevat dus een positieve vector x > 0. We laten zien dat alle andere eigenvectoren behorende bij ρ(a) hier veelvouden van zijn. Stelling 4.16 Laat A R n n en veronderstel dat A > 0. Dan is dim ker(a ρ(a)i) = 1. Bewijs. Veronderstel wegens Lemma 4.12 zonder verlies van algemeenheid dat ρ(a) = 1. Uit Stelling 4.14 volgt dat er een x > 0 bestaat met Ax = x. Laat nu y 0 met Ay = y. We tonen aan dat y een veelvoud is van x. Merk hiertoe op dat er een α R bestaat zodanig dat z = y + αx 0, terwijl z ook ten minste één entry gelijk aan nul heeft. Als nu z 0 volgt uit Az = z en Lemma 4.13 dat z > 0, wat in tegenspraak is met het feit dat z ten minste één entry gelijk aan nul heeft. Dus z = 0 en dus is y = αx een veelvoud van x. Definitie 4.17 (Perronvector) Laat A R n n met A > 0. De unieke x > 0 waarvoor Ax = ρ(a)x en e x = 1, waarbij e = e e n de all-ones vector is, heet de Perronvector van A. Opmerking 4.18 Een van de bekendste en recent in de belangstelling staande Perronvectoren is de Google PageRank vector van Larry Page en Sergey Brin. Stelling 4.19 De enige eigenwaarde van 0 < A R n n met absolute waarde ρ(a) is ρ(a). Bewijs. Volgens Stelling 4.14 is ρ(a) σ(a). Resteert de uniciteit aan te tonen. Veronderstel op grond van Lemma 4.12 zonder verlies van algemeenheid dat ρ(a) = 1. Laat λ σ(a) met λ = 1. Dan bestaat er dus een y 0 met Ay = λy. Hiervoor geldt net als in het bewijs van Steling 4.14 dat A y = y > 0. Per definitie van matrix-vectorvermenigvuldiging impliceren de respectievelijke gelijkheden A y = y en Ay = λy, dat voor alle k {1,..., n}, y k = n a kj y j en λy k = j=1 n a kj y j (9) j=1 en dus, n n a kj y j = y k = a kj y j. (10) j=1 j=1 5

6 Nu geldt dat de absolute waarde z 1 + +z n van de som van n complexe getallen alleen gelijk is aan de som z , + z n van de absolute waarden als ze allemaal hetzelfde argument hebben. C 0 φ z z n = z z n φ = arg(z 1 ) = = arg(z n ) Figuur 4.2 Driehoeksgelijkheid in C alleen bij gelijke argumenten. Dus concluderen we uit (10) en het feit dat y > 0 dat y k = α k y 1 met α k > 0 voor alle k {1,..., n}. Dus is y een eventueel complex veelvoud y 1 α van een positieve vector α. Maar dan is ook α een eigenvector van A behorende bij eigenwaarde λ. En omdat Aα reëel is, gelijk aan λα, en in het bijzonder positief, is λ dat ook. We concluderen dat λ = 1. En dus is λ = 1 de enige eigenwaarde van A op de spectrale cirkel. 4.3 De machtsmethode, ook wel Von Mises-iteratie genaamd De Von Mises-iteratie, ook wel machtsmethode genoemd, is een methode, al gebruikt door Jacobi, om een eigenvector te berekenen horend bij de unieke eigenwaarde van A die het grootst is in absolute waarde, en waarvan de eigenruimte dimensie één heeft. Richard von Mises ( ) en Carl Jacobi ( ) We bewijzen nu dat de Neumannrij (A k ) k N ook kan convergeren als ρ(a) = 1. Stelling 4.20 Laat A R n n met A > 0. Veronderstel dat ρ(a) = 1. Dan geldt dat waarbij Au = u > 0 met u = 1 en A w = w 0. lim k Ak = uw (11) Bewijs. Omdat A > 0 is volgens Stelling 4.14 ρ(a) = 1 een eigenwaarde van A, en bestaat er een unieke positieve eigenvector u > 0 met u = 1 zo, dat Au = u. Dus bestaat er een Schurdecompositie van A van de vorm [ ] A = UT U 1 b waarbij T =, met U U = I en Ue 0 R 1 = u. 6

7 De eigenwaarden van R zijn de eigenwaarden van A ongelijk aan 1. Op grond van Stelling 4.19 zijn deze allemaal kleiner dan 1 in absolute waarde. Dus ρ(r) < 1. We berekenen nu machten van A, A k = ( [ 1 b U 0 R ] ) k [ U 1 b = U 0 R Met volledige inductie kan eenvoudig worden aangetoond dat [ 1 b 0 R ] k [ 1 b(i + R + + R = k 1 ) 0 R k ] k U. Omdat ρ(r) < 1 volgt met behulp van Lemma 4.8 en Stelling 4.10 dat [ 1 b(i R) 1 lim k Ak = U 0 0 en dus vinden we dat ]. (12) ] U = Ue 1 v U waarbij v = [1, b(i R) 1 ] lim k Ak = uw waarbij u = Ue 1 en w = v U. Omdat kennelijk lim k (A ) k = wu is w een eigenvector bij λ = 1 van de getransponeerde matrix A. Dit bewijst de bewering.. Gevolg 4.21 Als x R n zodanig is dat w x = α 0, dat lim k Ak x = u(w x) = αu. Dus, de rij (A k x) k 0 convergeert naar een niet-triviaal veelvoud van de eigenvector bij λ = 1. Opmerking 4.22 Matrixvermenigvuldiging is associatief: (A k )x = A k 1 (Ax). Het is echter veel rekenwerk om A tot de k-de macht te verheffen en A k te vermenigvuldigen met x. Efficiënter is x 1 = Ax uit te rekenen, dan x 2 = Ax 1, tot en met x k = Ax k 1 = A k x. Het laatste vergt k matrix-vectorvermenigvuldigingen, het eerste k matrix-matrixvermenigvuldigingen. Opmerking 4.23 De Google Pagerankvector wordt in de praktijk niet precies uitgerekend, maar in drie decimalen nauwkeurig benaderd met x k = Ax k 1 = A k x voor zekere k << n. 4.4 Een alternatief analytisch bewijs Perron-Frobeniusstellingen kunnen ook worden bewezen middels technieken uit de Analyse. Definitie 4.24 (Convexe verzameling) Een verzameling C R n heet convex als voor iedere x, y C geldt dat tx + (1 t)y C voor alle t [0, 1]. Een belangrijk Nederlands resultaat uit de Analyse zegt het volgende. Stelling 4.25 (Dekpuntstelling van Brouwer) Laat D R n gesloten, begrensd, en convex zijn, en f : D D continu. Dan bestaat er een x D waarvoor f(x) = x. 7

8 Luitzen Brouwer ( ) Opmerking 4.26 Ingeval D = [a, b] een gesloten interval is, zegt de stelling niets anders dan dat de grafiek van f de lijn y = x snijdt, wat direct uit de Tussenwaardestelling volgt. De dekpuntstelling aannemende wordt Perron-Frobeniustheorie iets inzichtelijker en intuïtiever. Als voorbeeld (her-)bewijzen we het volgende resultaat. Stelling 4.27 Laat A R n n. Als A > 0 dan heeft A een positieve eigenvector behorende bij een positieve eigenwaarde. Bewijs. Associeer met de matrix A > 0 de lineaire afbeelding L A : R n 0 R n 0, x Ax van het onbegrensde niet-negatieve orthant R n 0 naar zichzelf. Definieer S = {x R n 0 e x = 1}. Oftewel, S is het deel van het hypervlak met vergelijking x x n = 1 dat in R n 0 ligt. Dan is S gesloten, begrensd, en convex. Bekijk nu de continue afbeelding K A : S S : x Ax e Ax = Dan is K A continu als quotiënt van continue afbeeldingen. L A(x) e L A (x). R S = {x R 3 0 e x = 1} K A : S S x Ax e Ax S Volgens Stelling 4.25 is er een x S is met K A (x) = x. Voor deze x geldt dus dat Ax = (e Ax)x. Omdat x S geldt dat x 0 en x 0. Omdat x 0 en x 0 is Ax > 0. Omdat Ax = (e Ax)x vinden we dus tot slot dat e Ax > 0 en x > 0. 8

9 4.5 Genormeerde ruimten We geven de definitie van een norm op een complexe vectorruimte. Definitie 4.28 (Norm, genormeerde ruimte) Zij (V, C) een vectorruimte. Een afbeelding : V R heet een norm als deze voldoet aan de volgende norm-axioma s: (1) v 0 voor alle v V en v = 0 als en alleen als v = 0, (2) αv = α v voor alle α C en v V, (3) v + w v + w voor ale v, w V. Een vectorruimte V die voorzien is van een norm heet een genormeerde ruimte. Voorbeeld 4.29 Laat p R met 1 p <. Dan definiëren de toevoegingen 1 p n x p = x j p en x = max { x j } (13) j {1,...,n} j=1 normen op C n, en geldt bovendien dat lim p x p = x. Opmerking 4.30 De norm in (13) is afkomstig van een inproduct als en alleen als p = 2. Definitie 4.31 (Operatornorm) Laat (V, V ) en (W, W ) genormeerde ruimtes zijn. Dan is de toevoeging L(v) W L hom(v,w ) = sup. (14) v 0 v V een norm op hom(v, W ), de operatornorm genaamd. De operatornorm kan als volgt worden gebruikt om normen van matrices te definiëren. Definitie 4.32 (Geïnduceerde matrixnorm) Laat C n en C k voorzien zijn van de respectievelijke normen C n en C k. Dan is A C n k = max x 0 de door C n en C k geïnduceerde matrixnorm op C n k. Ax C n. (15) x C k Opmerking 4.33 De Frobeniusnorm op C n k is niet geïnduceerd door normen op C n en C k. 4.6 Niet-negatieve matrices als limiet van positieve matrices We bekijken nu de niet-negatieve matrices A 0 die niet positief zijn. Met andere woorden, we gaan uit van tenminste één entry gelijk aan nul. De volgende observatie is triviaal. Opmerking 4.34 Ieder niet-negatieve n n matrix A 0 is de limiet van een rij positieve matrices (A k ) k 1. Een voorbeeld van zo n rij is A k = A + 1 k ee > 0, waarbij e = e e n de all-ones vector is. 9

10 Sommige eigenschappen van positieve matrices blijken soms zelfs in de limiet niet meer op te gaan voor niet-negatieve matrices, zoals blijkt uit de volgende voorbeelden. Voorbeeld 4.35 Laat A = (16) Dan is ρ(a) = 0. Dus Lemma 4.12 geldt niet voor alle A 0. Wel is ρ(a) σ(a), net zoals in Stelling Echter, A heeft geen eigenvector v > 0 bij ρ(a). In contrast met Stelling 4.19 heeft A twee lineair onafhankelijke niet-negatieve eigenvectoren horend bij ρ(a). Voorbeeld 4.36 De matrix A = [ ]. (17) heeft twee verschillende eigenwaarden 1 en 1 op de spectrale cirkel, wat wezenlijk anders is dan voor positieve matrices, zie Stelling Omdat [ ] [ ] A 2k 1 0 = en A 2k =, bestaat de limiet voor k van A k niet, in tegenstelling tot Stelling 4.20 voor positieve matrices. De limiet van A k x bestaat alleen als x 1 = x 2. Stelling 4.37 Laat A R n n, A 0. Dan bestaat er een 0 x 0 zo, dat Ax = ρ(a)x. Bewijs. Laat A k = A + 1 k ee > 0 voor iedere k N. Schrijf ρ k = ρ(a k ) en laat p k > 0 de unieke Perronvector van A k zijn, oftewel, A k p k = ρ k p k, e p k = 1. (18) Omdat eigenwaarden continu zijn als functies van de entries van de matrix, zijn ook continue functies van die eigenwaarden, zoals de spectraalstraal, continu. Dus geldt dat lim ρ k = lim ρ(a k) = ρ( lim A k) = ρ(a). (19) k k k De verzameling van bijbehorende Perronvectoren {p k } k=1 is bevat in [0, 1]n en dus begrensd. Volgens de stelling van Bolzano-Weierstrass heeft {p k } k=1 een convergente deelrij {p k l } l=1, waarvoor dus geldt lim p k l = p 0 en e p = e lim p kl = lim e p kl = 1 (20) l l l waaruit volgt dat p 0. Tot slot vinden we omdat beide afzonderlijke limieten bestaan dat Ap = lim l A kl lim p kl = lim A kl p kl = lim ρ kl p kl = lim ρ kl l l l l lim p kl = ρ(a)p. (21) l En dit bewijst de bewering. Opmerking 4.38 Stelling 4.37 bewijst niet dat de Perronvector p 0 van A 0 de limiet is van de rij (p k ) k N van Perronvectoren van de matrices A k, en ook niet dat deze uniek is. 10

11 4.7 Grafentheorie binnen de lineaire algebra Om verdere resultaten te kunnen bewijzen over niet-negatieve matrices introduceren wat enkele begrippen uit de grafentheorie binnen de lineaire algebra. Definitie 4.39 (Verbindingsgraaf) Laat (a ij ) = A R n n. De gerichte graaf G(A) = (V, E) bestaande uit de punten V = {1,..., n} en de pijlen E V V met (i, j) E als en alleen als a ij 0 heet de verbindingsgraaf van A. Grafen vormen een wiskundige structuur die voor het eerst werd bestudeerd door Euler. Leonhard Euler ( ) Omgekeerd kunnen we met iedere gerichte graaf een matrix associëren. Definitie 4.40 (Verbindingsmatrix) Zij G = (V, E) een gerichte graaf met V = {1,..., n}. De matrix (m ij ) = M(G) {0, 1} n n waarvoor m ij = 1 als en alleen als er in G een pijl van vertex i naar vertex j gaat heet de verbindingsmatrix van G. Dus m ij = 1 (i, j) E. Voorbeeld 4.41 Hier tekenen we de verbindingsgraaf G(A) van de gegeven matrix A en de verbindingsmatrix M(G(A)) van die graaf. A = G(A) = M(G(A)) = Merk op dat A = M(G(A)) als en alleen als A {0, 1} n n Definitie 4.42 (Wandeling) Zij G = (V, E) een gerichte graaf. Een rij vertices (v 0,..., v p ) V p+1 van een gerichte graaf G heet een wandeling van lengte p van v 0 naar v p als (v j, v j+1 ) E voor alle k {0,..., p 1}. Opmerking 4.43 De wandelingen in G = (V, E) van lengte 1 zijn precies de edges e E. Voorbeeld 4.44 Er zijn precies tien wandelingen van lengte twee in de verbindingsgraaf G(A) van A uit Voorbeeld 4.41, te weten (1, 2, 3), (1, 2, 4), (2, 3, 4), (2, 4, 1), (2, 4, 2), (3, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 2), (4, 2, 3), (4, 2, 4). Dit zijn uiteraard alle mogelijkheden om een wandeling van lengte 1 met 1 stap uit te breiden. 11

12 De volgende stelling veralgemeniseert de observatie uit het voorgaande voorbeeld. Stelling 4.45 Zij G een graaf met verbindingsmatrix B = M(G). Schrijf w(i, j, k) voor het aantal verschillende wandelingen in G van i naar j van lengte k. Dan geldt dat Het rechterlid is de entry van B k op positie (i, j). w(i, j, k) = e i B k e j. (22) Bewijs. Laat l 1,..., l p de vertices zijn die een wandeling van lengte één verwijderd zijn van i, oftewel, de directe buren van i. Deze buren zijn als volgt verkrijgbaar uit de i-de rij van B, Daarnaast geldt natuurlijk dat e i B = (e l1 + + e lp ). (23) w(i, j, k) = w(l 1, j, k 1) + + w(l p, j, k 1). (24) Veronderstel nu als inductie-hypothese dat (22) correct is voor alle wandelingen van lengte k 1, oftewel, dat w(i, j, k 1) = e i B k 1 e j (25) voor alle i, j. Dan vinden we in combinatie met (24) en (23) dat w(i, j, k) = e l 1 B k 1 e j + + e l p B k 1 e j = (e l1 + + e lp ) B k 1 e j = e i BB k 1 e j (26) en dus is (22) ook geldig voor het bepalen van de hoeveelheid verschillende wandelingen van lengte k. Omdat de inductie-basis is verwoord in Opmerking 4.43 bewijst dit de stelling. Het bewijs van Stelling 4.45 is gevisualiseerd in Figuur 4.3. l 1 e l 1 B k 1 e j e i B = e l e l p i l 2 e l 2 B k 1 e j j. e l 1 B k 1 e j + +e l p B k 1 e j = ( e i B ) B k 1 e j = e i Bk e j l p e l p B k 1 e j Figuur 4.3 Illustratie van het bewijs van Stelling Voorbeeld 4.46 Keren we terug naar Voorbeeld 4.41, dan berekenen we dat M(G(A)) 2 = = (27) De entries ongelijk aan nul in M(G(A)) 2 komen overeen met de tien wandelingen van lengte twee in G(A) die zijn opgesomd in Voorbeeld

13 Definitie 4.47 (Drager) De drager supp(a) van een matrix (a ij ) = A K n k is de verzameling van alle paren (i, j) waarvoor a ij 0. Opmerking 4.48 Als A 0 dan is supp(a) = supp(m(g(a))). Ook geldt dat de dragers van M(G(A)) k en A k dan aan elkaar gelijk zijn. Zo geldt bijvoorbeeld schematisch dat = , ongeacht de exacte waarden van de positieve entries van de matrix in het linkerid. We formuleren dit resultaat in zijn volle algemeenheid in de volgende stelling. Stelling 4.49 Laat A, B 0. Als supp(a) = supp(b) dan geldt dat supp(a k ) = supp(b k ) voor alle k N. 4.8 Reducibiliteit en irreducibiliteit We introduceren nu tot slot een combinatorische eigenschap van matrices die de Perron- Frobeniustheorie voor positieve matrices deels laat generaliseren voor niet-negatieve matrices. Definitie 4.50 (Reducibiliteit) Gegeven A R n n met verbindingsgraaf G(A). Als er in G(A) voor ieder paar i, j {1,..., n} met i j een wandeling van i naar j bestaat dan heet A irreducibel. Als A niet irreducibel is, heet A reducibel. Equivalent aan deze definitie is, met behulp van Stelling 4.45, de volgende karakterisering. Gevolg 4.51 A R n n, A 0 is irredicibel als voor ieder paar i, j {1,..., n} er een k N bestaat zo, dat e i Ak e j 0. Opmerking 4.52 Merk op dat irreducibiliteit van A 0 niet impliceert dat er een N N bestaat zo, dat A k > 0 voor alle k N. Zie bijvoorbeeld A = 0 0 1, A 2 = 1 0 0, A 3 = 0 1 0, A 4 = A Dus is (e j Ak e j ) k N gelijk aan de 3-periodieke rij 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,.... De volgende stelling geeft een polynoom in A dat wel positief is. Stelling 4.53 Als A 0 irreducibel is dan is (I + A) n 1 > 0. Bewijs. Veronderstel dat A 0 irreducibel is. Laat i j. Per definitie bestaat er een wandeling van i naar j. De kortste wandeling van i naar j heeft uiteraard lengte ten hoogste n 1. Definieer nu de graaf G als G(A) met daaraan toegevoegd voor iedere vertex een extra pijl naar zichzelf indien deze niet al bestaat. Dan heeft G de volgende eigenschappen: G = G(I + A); 13

14 er bestaat een wandeling in G van lengte n 1 van iedere vertex i naar zichzelf; ieder wandeling van lengte l < n 1 van i naar j kan worden aangevuld tot lengte n 1. Omdat er in G(A + I) voor ieder tweetal punten i, j {1,..., n} een wandeling van lengte precies n 1 bestaat van i naar j, volgt uit Stelling 4.45 dat alle entries van [M(G(A+I))] n 1 positief zijn. Stelling 4.49 geeft nu dat ook (A + I) n 1 > 0. Dit bewijst de bewering. 4.9 Perron-Frobeniustheorie voor irreducibele A 0 Laat A 0. Veronderstel dat A irreducibel is. Dan weten we dat B = (A+I) n 1 > 0. Dus op B is de Perron-Frobeniustheorie voor positieve matrices van toepassing, en we concluderen: 0 < ρ(b) σ(b), er bestaat een x > 0 waarvoor Bx = ρ(b)x, de dimensie van de kern van B ρ(b)i is gelijk aan één, ρ(b) is de enige eigenwaarde van B op de spectrale cirkel. We destilleren hieruit de volgende informatie over de matrix A. Lemma 4.54 Laat 0 A R n n en B = (I + A) n 1. Dan geldt λ σ(a) (1 + λ) n 1 σ(b). (28) Bewijs. Laat Av = λv. Dan is (I + A)v = v + λv = (1 + λ)v, en dus (I + A)(I + A)v = (I + A)(1 + λ)v = (1 + λ) 2 v. Een eenvoudig inductie-argument bewijst nu de bewering. Opmerking 4.55 De omgekeerde implicatie in (28) geldt ook, maar is veel moeilijker te bewijzen, bijvoorbeeld via Jordanvormen. Gevolg 4.56 Lemma 4.54 en Opmerking 4.55 combineren tot λ σ(a) (1+λ) n 1 σ(b). Lemma 4.57 Laat 0 A R n n. Veronderstel dat A irreducibel is. Laat B = (I + A) n 1. Dan geldt dat ρ(b) = (1 + ρ(a)) n 1. (29) Bewijs. De eigenwaarden van B zijn gelijk aan (1 + λ) n+1, met λ σ(a), en dus is ρ(b) = max λ σ(a) (1 + λ)n 1 = ( max λ σ(a) 1 + λ )n 1 = (1 + ρ(a)) n 1. De tweede gelijkheid geldt omdat er een λ σ(a) bestaat zo, dat 1 + λ 1, namelijk λ = ρ(a) σ(a). De derde geldt omdat als de schijf z ρ één naar rechts verschuift in C, het punt met grootste modulus in de verschoven schijf het punt z = 1 + ρ is. Lemma 4.58 Laat 0 A R n n. Veronderstel dat A irreducibel is. Dan is ρ(a) > 0. Bewijs. Omdat A irreducibel is, bestaat er wegens Definitie 4.50 een wandeling van zekere positieve lengte k van vertex 1 naar 1 in de verbindingsgraaf G(A) van A. Maar dan bestaat er ook een wandeling van 1 naar 1 van lengte lk voor alle l N. Wegens Stelling 4.45 geldt nu dat e 1 Akl e 1 > 0 voor alle l N. Dus is A niet nilpotent, en dus is ρ(a) > 0. 14

15 Stelling 4.59 Laat 0 A R n n. Als A irreducibel is dan bestaat er een v > 0 zo, dat Av = ρ(a)v. Tevens is dim(ker(a ρ(a)i)) = 1. Bewijs. Volgens Stelling 4.37 is ρ(a) een eigenwaarde van A en bestaat er een v 0 zo, dat Av = ρ(a)v. Laat nu B = (I + A) n 1. Dan is Bv = (1 + ρ(a)) n 1 v = ρ(b)v wegens Lemma 4.54 en Lemma 4.57 en dus is v een veelvoud van de positieve Perronvector van B. Deze v is dus een positieve eigenvector van A horende bij eigenwaarde ρ(a). Tot slot, stel dat ook Aw = ρ(a)w voor zekere w R n. Dan volgt met Lemma 4.54 en Lemma 4.57 dat Bw = ρ(b)w. Omdat volgens Stelling 4.16 dim(ker(b ρ(b)i)) = 1 zijn v en w lineair afhankelijk. Dus is ook de kern van A ρ(a)i ééndimensionaal. Opmerking 4.60 De eigenschap dat een positieve matrix precies één eigenwaarde op de spectrale cirkel heeft, geldt niet voor irreducibele niet-negatieve matrices. De matrix B uit (16) die twee verschillende eigenwaarden heeft op de spectrale cirkel is immers irreducibel. 15