Werkcollege 1 - Grondslagen voor de berekening van staalconstructies

Transcriptie

1 Werkcollege - Grondslagen voor de berekening van staalconstructies Opgave : Vloeien door een trekkract - restspanningen Drie staven, elk met een dwarsdoorsnede A = cm², zijn door starre dwarsbalken verbonden en worden aan een trekkract onderworpen. Er wordt verondersteld dat et rekspanningsdiagram bilineair is (ideaal elastisc plastisc). Staven en ebben een vloeigrens van Pa, staa eet een ogere vloeigrens van 6 Pa. Bepaal: - de uiterste trekkract F u die op de staven mag worden aangebract - de restspanningen in de staven indien na et bereiken van F u de staven ontlast worden Oplossing: De maimale trekkract F u wordt bereikt indien alle staven vloeien. Staven en vloeien eerst, aangezien zij de laagste vloeigrens ebben. Bij verder toename van de rek blijt de normaalkract in deze staven beouden (bilineair elastisc-plastisc gedrag) en neemt de rek in staa toe tot daar ook de vloeigrens bereikt wordt. De uiterste trekkract is dus: F u A A A,,, = cm² ( kn/cm² + 6 kn/cm² + kn/cm²) = 8 kn De ontlasting van de staven gesciedt elastisc. Vermits de staven door starre dwarsbalken zijn verbonden, ondergaan ze allen dezelde verkorting en is de aname ΔF van de trekkract in alle staven even groot. Fu F kn 8 => F = 8 - = - kn (druk) F = 6 8 = 8 kn (trek) F = 8 = - kn (druk)

2 erk op dat na ontlasten geen kracten meer inwerken op de staven. De som van de residuele kracten moet aldus nul zijn. De restspanningen worden daarna bepaald door de restkracten te delen door de dwarsdoorsnede van de staven: kn / cm² Pa 8 Pa Pa

3 Opgave : Vloeien door buiging blijvende vervormingen en residuele spanningen Een eenvoudig opgelegde balk met rectoekige doorsnede (breedte b, oogte ) is onderworpen aan een constant buigend moment = / pl over zijn lengte. Bepaal et spanningsverloop in de doorsneden en de doorbuiging in et midden van de overspanning. Vervolgens wordt de balk ontlast. Bepaal de residuele spanningen over de doorsneden en de blijvende doorbuiging in et veldmidden. Oplossing: In de eerste stap moet bepaald worden o de doorsnede belast wordt in et elastisc o plastisc gebied. Voor et bepalen van et elastisc moment moet de vormactor van de doorsnede gekend zijn. Voor een rectoek is dit,5 (zie teorie). p e p p,5 p Aangezien et aangrijpend moment groter is dan et elastisc moment bevindt de ligger zic gedeeltelijk in de plastisce zone. Een deel van de doorsnede zal dus reeds vloeien. Het spanningsdiagram ziet er dus als volgt uit: Het spanningsverloop wordt aldus volledig bepaald door de ligging van. We bepalen nu door uit te drukken dat de spanningen over de doorsnede een buigend moment opleveren dat gelijk is aan / pl.

4 b b p b b Om deze uitdrukking op te lossen naar, ebben we de uitdrukking van et plastisc moment in unctie van nodig. Dit wordt algemeen gedaan door uit te drukken dat de spanningen over de volledig plastisce doorsnede een buigend moment opleveren dat gelijk is aan pl. In dit eenvoudige geval kan men de uitdrukking ecter direct vinden door de ormule voor et plastisc moment pl = W pl toe te passen voor een rectoek: p b Indien deze uitdrukking gesubstitueerd wordt in bovenstaande vergelijking bekomt men: Dit betekent dus dat de elt van de doorsnede zal vloeien. De vezels op een astand van et zwaartepunt ebben de rek /E en de rek van de uiterste vezels is dubbel zo groot (potese van Bernoulli: de doorsneden blijven vlak, ook in et elastoplastisc domein). Over de lengte van de balk eerst dus de constante kromming χ: E E / / ) ( De doorbuiging in et midden van de ligger wordt bepaald met de integralen van or: m d v m d E / m d E

5 5 Het buigend moment m ten gevolge van de eeneidsbelasting is: / /. d E v / E E E Als alternatie kan de integraal m d ook gezien worden als de oppervlakte onder de momentenlijn m (drieoek): 8 m d Vervolgens wordt de ligger ontlast. Bij ontlasten gedraagt de doorsnede zic elastisc en worden de spanningen gegeven door de elasticiteitsleer: σ = - /I Het moment op de ligger tijdens de ontlastingsase is p. De totale residuele spanning aan de bovenvezel is dan: totaal boven /, p b b 8 8

6 De residuele spanning in de vezel op oogte / is: 8 6 / / 5 6 De residuele spanning ter oogte van de neutrale vezel is gelijk aan nul. Tussen de ierboven vermelde punten is et spanningsverloop lineair. De resulterende normaalkract en et buigend moment ten gevolge van de residuele spanningen is uiteraard nul, aangezien geen uitwendige belastingen op de ligger aangrijpen. De klimming van de doorsnede in et veldmidden tijdens et ontlasten wordt opnieuw berekend met de integraal van or: v m d EI m d b² b³ E m d ² E 8 E De totale blijvende doorbuiging is dan: v res v v E 5 E 6

7 Opgave : Het criterium van Henck Hüber von ises In een punt van een staalconstructie, vervaardigd van staal S5, werken de volgende spanningen (in Pa): z 5 z 6 z 8 z Bepaal: - de vergelijkingsspanning. Gedraagt et materiaal zic nog elastisc? - de actor waarmee de uidige belasting mag vermenigvuldigd worden zodat vloeien optreedt (onderstel ierbij dat et materiaal zic lineair gedraagt. - bij welke waarde van vloeien zal optreden, gesteld dat de overige spanningscomponenten un waarde beouden. - de oodspanningen en de geassocieerde oodrictingen Oplossing: e , Pa 5 Pa Het materiaal is dus nog in de elastisce ase. e De actor waarmee de belasting nog mag vermenigvuldigd worden is: e,55 Om te bepalen bij welke vloeien van de doorsnede zal optreden, wordt e gelijkgesteld aan de vloeispanning : ,66 Pa 55,66 Pa 7

8 De oodspanningen en oodrictingen worden bepaald door volgend eigenwaardenprobleem op te lossen: Dit geet een derdegraads vergelijking met onbekende λ: De oplossing van deze vergelijking geet de oodspanningen: 7 Pa Pa Pa De oodrictingen n, n en n z worden bepaald door in de volgende uitdrukking de drie verscillende waarden λ in te voeren. z z z z z n n n z Vervolgens moeten de oodrictingen ook nog genormaliseerd worden door te stellen dat de som van de kwadraten van de rictingscosinussen gelijk moet zijn aan de eeneid: n n n z 8

9 Opgave : Vormactor van een massieve ronde doorsnede Bepaal de vormactor van onderstaande massieve ronde doorsnede: Oplossing: W W p e We bepalen eerst et elastisc weerstandsmoment: W e z I boven z² da Deze integraal wordt omgezet in polaire coördinaten: da r. dr. d z r. sin r² sin r dr d D / r³ dr sin d D 6 cos D d 6 9

10 We R 6 R 6 R R Het plastisc weerstandsmoment is gelijk aan de som van de statisce momenten van beide proielelten ten opzicte van de plastisce neutrale as. W p S trek S trek D / z r dr d D / r ³ sin dr d... D D³ W p R 6 De vormactor is dus: W W p e / R R 6,697,7 Etra opgave: Vormactor van een massieve ruitdoorsnede Bepaal de vormactor van een massieve ruitdoorsnede met breedte b en oogte. Tip: Bepaal et elastisc en plastisc weerstandsmoment van één vierde van de ruit Oplossing:

11 Opgave 5: Vormactor van een monosmmetrisce kokerdoorsnede Gegeven de stalen kokerdoorsnede zoals getekend in onderstaande iguur. De staalsoort is S75. Bepaal de vormactor van de doorsnede bij buiging om de sterke as. Oplossing: Het gegeven proiel is asmmetrisc rond de verbuigingsas, dit betekent dat de neutrale vezel verscillend is voor een elastisce en plastisce berekening (zie onderstaande iguur). a) Elastisce berekening Vooreerst moet de ligging van de elastisce neutrale as bepaald worden: z e S A A mm²

12 Het statisc moment van de doorsnede wordt berekend t.o.v. de ondervezel: S mm³ 665 z e 5, 8 mm 5 Nu de ligging van de elastisce neutrale lijn gekend is, kan et elastisc weerstandsmoment bepaald worden: z 8 5 e 5 5 z e , z 6 mm e W e z 6,57. mm ma z ; z e e 6,57. mm 68, mm 678,9 mm³ b) Plastisce berekening Opnieuw wordt ier eerst de ligging van de neutrale as bepaald. De plastisce neutrale as verdeelt de doorsnede zodanig dat de oppervlakte in druk gelijk is aan de oppervlakte in trek: A A z z z p, 5 mm p p W p S trek S druk z p 5 5 z z p 5 p 8 z p 5 956,5 mm Vormactor: W W p e 956,7 679

13 Opgave 6: Bezwijkbelasting van een perstatisce balk Een stalen I-proiel IPE, vervaardigd van staal S5, is aan de linkerzijde ingeklemd en rust aan et andere uiteinde op een rol. De balk eet een lengte van 9m en is onderworpen aan twee gelijke puntlasten F. Gevraagd: - Bepaal de draagkract volgens de elasticiteitsleer - Bepaal de draagkract volgens de plasticiteitsleer - Indien de constructie wordt ontlast na et bereiken van de plastisce draagkract, bepaal dan de residuele momentenlijn en de oekverdraaiing in. Proielgegevens van IPE uit een catalogus: W el 557, cm W pl 68, cm,5 kn/ cm² I 856 cm E kn/ cm² Oplossing: a) Elastisce berekening van de draagkract Het stelsel is eenmaal perstatisc. We zoeken de momentenlijn met beulp van de integralen van or. Daartoe nemen we een isostatisc opgelegd ulplicaam dat we in belasten met een eeneidskractenkoppel. Om et inklemmingsmoment te vinden, drukken we uit dat de oekverdraaiing in (α ) nul moet zijn (via de integralen van or): m d EI EI F 6 EI F EI F EI F F F en F F

14 De momentenlijn ziet er dus als volgt uit: Vermits et buigend moment et grootst is in punt (aan de inklemming), wordt de vloeispanning daar eerst bereikt. Dit gebeurt wanneer De elastisce draagkract van de balk is dus: el et F e F e e e We 557,,5 9, 85 kncm 9,85 F e, 6 kn b) Plastisce berekening van de draagkract Aangezien et moment aan de inklemming et grootst is, wordt et eerste plastisce scarnier gevormd aan de inklemming. F p F p Bij de vorming van et eerste plastisce scarnier zal de constructie ecter nog niet bezwijken. De belasting kan nog verder worden opgevoerd tot een tweede plastisc scarnier ontstaat. Punt gedraagt zic ierbij als een volmaakt plastisc scarnier en in punten en nemen de momenten nog toe. Vermits et moment in punt groter is dan et moment in punt zal daar eerder een plastisc scarnier tot ontwikkeling komen. Dit gebeurt bij de belasting F u. et p F u p F u p p Wp 68, cm,5 kn/ cm 767, kncm F. 767, kncm. 65, cm p u 6 kn

15 De plastisce berekening eet dus een bepaalde winstmarge ten opzicte van de elastisce berekening: F F u e 65,6,6 kn kn,5 Nét voor et bezwijken van de constructie zijn de momenten in punten en dus gelijk aan moment in punt is: p Fu. p p c) Residuele momentenlijn Plastisc belasten tot net voor bezwijken geet volgende momentenlijn (zie b)): p p. Het Elastisc ontlasten over F u momentenlijn in de elastisce ase): p geet onderstaande momentenlijn (zie ook iguur van de Superpositie levert de residuele momentenlijn: Punt : p p p Punt : 9 p p 9 p 5

16 Punt : 8 9 p p 9 p erk op dat deze momentenlijn lineair is. Dit is logisc aangezien geen eterne belastingen aangrijpen op de ligger. d) Bepaling van de oekverdraaiing in punt na ontlasten De oekverdraaiing (α ) na ontlasten wordt bepaald aan de and van de residuele momentenlijn en de integraal van or. Net als in a) nemen we daartoe een isostatisc opgelegd ulplicaam dat we in belasten met een eeneidskractenkoppel. EI p EI p 6

17 Opgave 7: Elasto-plastisce bepaling van de doorbuiging Een isostatisc opgelegde stalen balk met lengte = mm is in et midden van de overspanning onderworpen aan een puntlast F die daar net et plastisc moment teweegbrengt. De balk eet een rectoekige doorsnede met breedte b = 5 mm en oogte = mm. De staalsoort is S75. Bepaal de doorbuiging (i) in de onderstelling dat et moment-krommingsdiagram geïdealiseerd bilineair is (ii) volgens een plastisce zone analse Oplossing: We construeren vooreerst et buigend momentendiagram. (i) Indien et moment-krommingsdiagram geïdealiseerd bilineair is, geldt overal χ = /EI en kan de doorbuiging dadelijk volgens de elasticiteitsleer (bv. Integralen van or o de stelling van Greene) bepaald worden: v e m d E m d EI ² EI p p Uit opgave weten we dat p b, dus: ² 75² ve, 7 mm E (ii) Bij een plastisce zone analse bakenen we een gebied a waar zic plastisce vervormingen voordoen (zie iguur). Buiten deze zone geldt eveneens χ = /EI, maar erbinnen moet et verband tussen en χ worden opgesteld. We maken gebruik van smmetrie en leggen de oorsprong van de abscis in et midden van de overspanning. 7

18 8 Het plastisc en elastisc moment worden gegeven door volgende uitdrukkingen: p b p p e b 6 We deiniëren nu de abscis ξ = /. De oorsprong ligt uiteraard ook in et midden van de overspanning. Vervolgens bepalen we de uitdrukking voor de momentenlijn op basis van deze abscis: / p p We zoeken nu de plaats in de ligger waar de overgang van plastisce naar elastisce zone plaatsvindt: e p e e e p ) ( e 6 e De overgang van elastisce naar plastisce zone bevindt zic dus op een astand /6 van et midden van de ligger. We bepalen nu et verband tussen en χ in de plastisce zone. Zij de alve oogte van de elastisce zone van de rectoekige doorsnede.

19 9 b b b Via de uitdrukking van de momentenlijn p b kunnen we komen tot een vergelijking voor in unctie van de abscis ξ: 6 Het verband tussen en χ voor de volledige ligger wordt dus: ) ( 6 / 6 / ) ( 6 / ) ( ) ( gebied plastisc voor E E gebied elastisc voor E EI EI pl De doorbuiging volgens de elasto-plastisce zone analse kan nu bepaald worden aan de and van de integraal van or. Daartoe kunnen we twee verscillende ulplicamen nemen: Enerzijds kunnen we een ulplicaam nemen met als lengte / die ingeklemd is aan et linker uiteinde en vrij is aan et recter uiteinde. We belasten dit ulplicaam met een eeneidskract ter oogte van et recteruiteinde. We bekomen dan volgende integraal voor de doorbuiging: d v v p d d / d Anderzijds kunnen we als ulplicaam de volledige isostatisce ligger nemen, belast met een eeneidskract in et midden. Hierbij bekomen we logiscerwijs dezelde integraal:

20 v v p / d / d Vervolgens wordt een stapsgewijze integratie uitgevoerd volgens de uitdrukking van χ resultaat uit aple: v p, 85 mm 7 E De doorbuiging volgens een elastisce berekening (zie (i)) kan nu ook op een andere manier bepaald worden: v e /. E d E E / / d d E / d E / / E E 8

21 Etra opgaves: Bezwijkbelasting van perstatisce balken Etra opgave Een stalen I-proiel met ametingen zoals gegeven in de iguur, vervaardigd van staal S5, is aan de linkerzijde ingeklemd en rust aan et andere uiteinde op een rol. De balk eet een lengte van 5m en is onderworpen aan een puntlast P op een astand / van et linkeruiteinde. Gevraagd: - Bepaal de draagkract volgens de elasticiteitsleer - Bepaal de draagkract volgens de plasticiteitsleer - Indien de constructie wordt ontlast na et bereiken van de plastisce draagkract, bepaal dan de residuele momentenlijn en de oekverdraaiing in A. Oplossing: - 7 el Draagkract volgens de elasticiteitsleer: Pe 5 9, 76 kn - 5 pl Draagkract volgens de plasticiteitsleer: Pu, 5 kn - 7 pl Hoekverdraaiing in punt A na ontlasten: A 5 EI,8 rad, 8 Etra opgave Een stalen I-proiel met dezelde ametingen als in etra opgave, vervaardigd van staal S5, is aan de linker- en recterzijde ingeklemd. De balk eet een lengte van 5m en is onderworpen aan een puntlast P op een astand / van et linkeruiteinde.

22 Gevraagd: - Bepaal de draagkract volgens de elasticiteitsleer - Bepaal de draagkract volgens de plasticiteitsleer - Indien de constructie wordt ontlast na et bereiken van de plastisce draagkract, bepaal dan de residuele momentenlijn, de oekverdraaiingen in A en B en de verplaatsing in C. Oplossing: - 7 el Draagkract volgens de elasticiteitsleer: Pe 7, 8 kn - pl Draagkract volgens de plasticiteitsleer: Pu 9 7, 5 kn - pl Hoekverdraaiing in punt A na ontlasten: A 7 EI,6 rad, - pl Hoekverdraaiing in punt B na ontlasten: B 7 EI,6 rad, - pl ² Verplaatsing in punt C na ontlasten: vc EI, 5 mm