Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer"

Transcriptie

1 Trainingsboek Wiskunde B VWO 2015

2 Beste leerling, Welkom op de examentraining Wiskunde B VWO! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je zorgt dat je overzicht houdt. Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met examenvragen. Tijdens dit oefenen zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen, ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden. De stof die behandeld wordt komt uit de syllabus, die te vinden is op en de oefenvragen zijn gebaseerd op eerdere examenvragen. Ook de eerdere examens zijn te vinden op Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken. Op de volgende pagina volgt het programma voor vandaag. We verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! Het doel van de training is immers te leren hoe je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een heel jaar hard werken We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer Hoofdcoördinator Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

3 Tips en trics voor voorbereiden en tijdens je examens Examens voorbereiden Tip 1: Je bent al voor een belangrijk deel voorbereid. Laat je niet gek maken door uitspraken als Nu komt het er op aan. Het examen is een afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd genoeg kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je Engelse kennis was verdwenen. De beste garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt gedaan. Tip 2: Maak een planning voor de voorbereiding die je nog nodig hebt. Deze voorbereidingen bestaan uit twee onderdelen: leren en vragen oefenen. Als je hiermee aan de slag gaat, plan dan niet teveel studie-uren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders moet je iedere keer opnieuw opstarten. Wissel verschillende taken en vakken af, want op die manier kun je je beter concentreren. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede komt, is leren op vaste tijdstippen. Je hersenen zijn dan na een paar keer voorbereid op die specifieke activiteit op dat specifieke moment. Tip 3: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken) Alleen maar lezen in je boek verandert al snel naar staren in je boek zonder dat je nog wat opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat het ook echt een samenvatting wordt. Veel docenten hebben tegenwoordig een eigen youtube-kanaal. Maak daar gebruik van, want op die manier komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen je prima beheerst. Tip 4: Leer alsof je examens zit te maken Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon een uurtje weg), maak je tafel zo leeg mogelijk. Je traint op deze manier je hersenen om tijdens je echte examensituatie niet veel aandacht aan de omgeving (en het gemis van je telefoon) te hoeven besteden. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

4 Zorg voor jezelf! Tip 1: Verdiep je in ontspanningstechnieken Rust in je hoofd is van groot belang tijdens het leren. Sommigen weten dit prima uit zichzelf voor elkaar te krijgen, maar anderen kost dit wat meer moeite. Gelukkig zijn hier trucs voor, die we ontspanningsoefeningen noemen. Ademhalingsoefeningen kunnen al genoeg zijn maar ook yoga helpt je zeker om tot rust te komen. Voor deze ontspanningsoefeningen hoef je geen uren uit te trekken, 10 minuten is al voldoende. Sporten kan ook een goede ontspanningstechniek zijn, al kost dat natuurlijk meer tijd. Bijkomend voordeel is dan wel weer dat je beter kunt denken (en dus leren) als je fit bent. Tip 2: Vergeet niet te slapen Chinese en Amerikaanse onderzoekers hebben ontdekt waarom slapen goed is voor je geheugen. Tijdens je slaap worden er namelijk nieuwe synapsen opgebouwd. Dit zijn verbindingen tussen je hersencellen. Hoewel het onderzoek is uitgevoerd bij muizen, zeggen de onderzoekers dat ook stampende scholieren hier een les uit kunnen trekken: Langdurig onthouden lukt beter als je na het leren gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren. Want, muizen die een uurtje leerden en daarna gingen slapen haalden betere resultaten dan muizen die drie uur trainden en daarna wakker gehouden werden. Tip3: Let op wat je eet Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de kinderschoenen, toch zijn er al belangrijke, handige zaken uit naar voren gekomen. En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed. Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda s leveren meer langdurige energie dan koekjes. Koffie, thee en sigaretten hebben geen positief effect op je geheugen, dus vermijd deze zaken zo veel mogelijk. En dan het examen zelf En dan is de dag gekomen. Je zit in de gymzaal, het ruikt een beetje vreemd, je voelt je een beetje vreemd. De docent of misschien zelfs wel de rector begint te gebaren en dan begint het uitdelen. Dan het grote moment: je mag beginnen. Tip 1: Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd Wat doe je tijdens het examen? - Rustig alle vragen lezen - Niet blijven hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet - Schrijf zoveel mogelijk op maar. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren. - Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die gevraagd worden. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk zonde van de tijd. - Vul bij meerkeuzevragen duidelijk maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan duidelijk aan. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

5 - Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen en je uitrekken is alleen maar goed voor je concentratie. En het helpt ook om stijve spieren te voorkomen. - Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van een) vraag overslaan. Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is. Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC, rek je even uitgebreid uit. Als je goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te hebben om toch gewoon je examen te halen. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

6 Programma Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Kennismaking en inleiding Algebraïsche bewerkingen Differentiëren en integreren Goniometrie Meetkunde Exponentiële en logaritmische functies Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

7 Blok 1 Kennismaking en inleiding Kennismaking We gaan een lange maar leuke dag tegemoet, daarom nemen we nu even de tijd om elkaars naam te leren kennen. Ook zal geïnventariseerd worden welke onderwerpen extra aandacht verdienen in deze groep omdat ze als moeilijk ervaren worden. Inleiding We zullen je nu wat algemene tips geven voor het aanpakken van een examenvraag bij wiskunde. Als je nog vragen hebt over het examen krijg je nu ook de kans om deze te stellen, al mag dat de hele dag door natuurlijk. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

8 Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Volgorde van bewerkingen 1. Haakjes 2. Machten/wortels 3. Vermenigvuldigen/delen 4. Optellen/aftrekken Vooral voor de invoer in je GR is dit belangrijk De breuk x 3 voer je in je GR in als (x-3)/(x+5). x+5 Als je een breuk tot een macht verheft, dan zet je de breuk tussen haakjes: (2/3)^2 Ook als je een breuk in de macht hebt, moet deze tussen haakjes: 0,8^(1/7) Rekenen met breuken Vermenigvuldigen a b c a c = d b d Delen a b / c d = a b d a d = c b c Optellen a b + c d = ad bd + bc ad + bc = bd bd Kruislings vermenigvuldigen a b = c a d = b c d Wortels A B = AB A = B A = B 2 Als je een vergelijking op lost is het altijd goed om je antwoorden te controleren, maar als je een wortel weg gewerkt hebt is het zelfs essentieel omdat niet alle verkregen antwoorden altijd een oplossing geven voor het beginprobleem. Je kunt er wel vanuit gaan dat je alle oplossingen gevonden hebt. Ga dit voor jezelf na bij x + 2 2x + 5 = 3x + 2. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

9 Ongelijkheden Een methode om ongelijkheden op te lossen is 1. Gelijkstellen en oplossen. Je vindt dan de snijpunten van de twee functies. 2. Plotten op je GR en kijken of je vergelijking voor of na de snijpunten voldoet aan de ongelijkheid. 3. Controleren op het domein voor wortels breuken logaritmen Voorbeeld: x 2 < 4 1. Gelijkstellen en oplossen x 2 = 4 x 2 = 16 x = Plot op je GR x 2 < 4 als x < Onder de wortel mag het niet negatief worden x 2 0 x 2 Antwoord 2 x < 18 Functies Lineair Kwadratisch y = a x + b y = a x 2 + b x + c abc formule: b ± b2 4ac 2a Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

10 Blok 3 Differentiëren en integreren Differentiëren: y = a x n y = n a x n 1 x = x x = x 1 Rekenregels Somregel: Productregel: Quotiëntregel: Kettingregel: s(x) = g(x) + h(x) s (x) = g (x) + h (x) p(x) = f(x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) q(x) = f(x) q (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2 k(x) = f(g(x)) k (x) = f (g(x)) g (x) De kettingregel kun je ook meerdere keren achter elkaar toepassen. Test dit met y = (sin x 2 + x) 3 Standaard y = sin x y = cos x y = cosx y = sin x y = e x y = e x y = a x y = a x ln a y = ln x y = 1 x g y = log x y = 1 ln g 1 x Helling Als je de helling wilt weten van 1 punt in de grafiek gebruik je differentiëren. Als je de helling wilt weten tussen 2 punten (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ) gebruik je a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Raaklijn opstellen De raaklijn van f(x) voor een punt (x, y)stel je als volgt op: 1. Schrijf op y = ax + b 2. Bereken de afgeleide f (x). 3. Bereken a door je x-waarde in te vullen in f (x). 4. Bereken b door je y-, a-, en x-waarde in te vullen in y = ax + b. Stijgen, dalen & toppen De afgeleide zegt veel over het verloop van de functie. f (x) > 0 stijgend f (x) < 0 dalend f (x) = 0 minimum, maximum of zadelpunt Integreren: y = a x n Y = a n+1 xn+1 (+C) Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

11 Standaard y = sin x Y = cos x (+C) y = cosx Y = sin x (+C) y = e x Y = e x (+C) y = a x Y = 1 ln a ax (+C) y = ln x Y = x ln x x (+C) Oppervlakte tussen twee functies f(x) en g(x) 1. Bepaal de snijpunten a en b, exact als dit gevraagd wordt of op je GR met intersect. b a 2. Als f(x) > g(x) bereken (f(x) g(x))dx Omwentelingslichaam f(x) wentelen om de x-as tussen a en b b π(f(x)) 2 dx a f(x) wentelen om de y-as 1. Schrijf y = f(x) om naar x = g(y) 2. Als het x-interval [a, b] gegeven is, dan kun je het y-interval [p, q] bepalen met p = f(a) en q = f(b) q π(g(y)) 2 dy p Baanlengte Als je de lengte tussen a en b wilt berekenen voor een functie f(x) gebruik je de formule b 1 + (f (x)) 2 dx a Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

12 Blok 4 Goniometrie Eerst worden klassikaal de tabellen van sinus, cosinus en tangens doorgenomen en de regels voor het rekenen hiermee. Formule f(x) = b + a sin (c (x d)) of f(x) = b + a cos (c (x d)) a = amplitude b = evenwichtstand c = 2π / periode d = verschuiving van standaard formule naar rechts Tabel x π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin x = = = 1 cos x = = = 0 tan x = K. N. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

13 Eenheidscirkel Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

14 Vergelijkingen oplossen De sinus en cosinus zijn periodieke functies, daarom moet je er rekenen mee houden dat je voor een vergelijking meerdere oplossingen krijgt. Vaak wordt gevraagd om alle oplossingen op een gegeven domein te geven. Om deze oplossingen te vinden kun je de volgende stappen volgen. 1. Zodra je een vergelijking hebt van de vorm sin (a) =... of cos (a) =... kijk in de tabel, de eenheidscirkel of de functie zelf (GR) wat een oplossing is van deze vergelijking. 2. Denk na over de tweede oplossing. Er geldt 2 e oplossing sinus = π 1 e oplossing 2 e oplossing cosinus = 1 e oplossing 3. Schrijf achter allebei je oplossingen +2π k 4. Los verder op tot je een vergelijking hebt van de vorm x =... (5. Kijk welke oplossingen er binnen het gegeven domein vallen) Oefen klassikaal met sin x = 1 2 cos 2x 1 2 = 0 op het domein (0,2π) Standaard Naast het oplossen van vergelijkingen waar een sinus en/of cosinus in voor komen, moet je ook vergelijkingen om kunnen schrijven. Hieronder staan de formules die je uit je hoofd moet kennen, in het tekstvak staan de formules die je bij je examen zult krijgen. sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 sin x = sin x cos x = cos x sin(t + u) = sin t cos u + cos t sin u sin(t u) = sin t cos u cos t sin u cos(t + u) = cos t cos u sin t sin u cos(t u) = cos t cos u + sin t sin u sin t + sin u = 2 sin t+u t u cos 2 2 sin t sin u = 2 sin t u t+u cos 2 2 cos t + cos u = 2cos t+u t u cos 2 2 cos t cos u = 2 sin t+u t u sin 2 2 Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

15 Parameters Bij parameters bereken je vaak eerst t en vul je deze hierna weer in om je x- en y-coördinaten te vinden. Verder staan hieronder verschillende formules die je toe moet kunnen passen bij het rekenen met parameters. Horizontale raaklijn x (t) = 0 Verticale raaklijn y (t) = 0 Keerpunt x (t) = 0 en y (t) = 0 Snelheid v(t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Baanlengte parameterkromme (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt a b Afstand tot O(0,0) x 2 (t) + y 2 (t) Snijpunten y-as x(t) = 0 Snijpunten x-as y(t) = 0 Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

16 Blok 5 Meetkunde Wat geldt voor goniometrie, geldt ook voor meetkunde: door het veel te oefenen, krijg je er handigheid in. Je zult zien dat er vaak dezelfde regels nodig zijn en dat je, als je deze eenmaal wat beter kent, snelheid kunt krijgen in het toepassen hiervan. Bedenk wel dat dit maar één onderdeel van de dag is dus dat je dit waarschijnlijk thuis ook nog moet oefenen. Veelgebruikte stellingen F-hoeken en Z-hoeken Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn dan zijn de F- en Z-hoeken gelijk 180 vind je terug in een gestrekte hoek som van de hoeken van een driehoek overstaande hoeken van een koordenvierhoek gelijkbenige driehoek twee hoeken zijn gelijk twee zijden zijn gelijk stelling van Thales Als in ABC geldt C = 90 dan ligt punt C op de cirkel met middellijn AB (werkt ook omgekeerd) stelling van de constante hoek Als punt B over één van de cirkelbogen tussen de vaste punten A en C beweegt, dan verandert de grootte van ABC niet. Of: hoeken met als overstaande zijde dezelfde koorde AC zijn gelijk, mits ze aan dezelfde kant van de koorde liggen. Conflictlijn van een... met een... punt lijn punt middelloodlijn Parabool lijn deellijn of middelparallel Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

17 Opzet meetkundig bewijs Begin door voor jezelf op zoek te gaan naar het antwoord. Schrijf op wat ze willen dat je bewijst en wat je al weet vanuit de opgave, ga dan na hoe je dit zou kunnen bewijzen en of je gegevens hebt die je hier bij gaan helpen. Pas als je in klad zelf hebt bedacht hoe je tot het antwoord komt, ga je het in het net uitwerken. Wat niet wil zeggen dat je niets op schrijft, maar je maakt je nog niet druk over een juiste opbouw, alleen over informatie verzamelen. Voorbeeld Ze vragen naar evenwijdigheid. Deze vind je met behulp van F- en Z-hoeken. Wil je F- hoeken gebruiken, dan moet je dus op zoek gaan naar twee hoeken op dezelfde lijn en je weet dat de lijnen die deze hoek met die lijn maken evenwijdig zijn. Kun je deze niet vinden kun je op zoek gaan naar Z-hoeken. Nogmaals: oefening baart kunst. Als je weet hoe je het aan gaat pakken schrijf je stapsgewijs op hoe je bij het antwoord komt. Hou hierbij in je achterhoofd dat iemand anders je bewijs moet kunnen lezen en alle stappen moet kunnen volgen. Vergeet ook niet de naam van een stelling met een steekwoord op te schrijven als je deze toe past. Bij je examen krijg je een lijst van steekwoorden die je hierbij kunnen helpen, deze lijst staat ook achterin je examenbundel. Je mag in de bijlage figuurtjes of letters zetten die je in je bewijs weer gebruikt. Bijvoorbeeld een * in een hoek en alle andere hoeken waarvan je zeker weet dat ze even groot zijn om naar die hoeken te verwijzen. Vergeet nooit: sluit af met een conclusie. gelijke hoeken vind je onder andere in Z- en F-hoeken en overstaande hoeken deellijnen gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken congruente driehoeken parallellogrammen en ruiten cirkels met gelijke bogen of koorden gelijke lengtes vind je onder andere in deellijnen en middelloodlijnen gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken congruente driehoeken parallellogrammen en ruiten cirkels met gelijke bogen en koorden stralen van een cirkel diagonalen van ruit en rechthoek evenwijdigheid vind je met behulp van Z- en F-hoeken drie punten liggen op een rechte lijn vind met behulp van gestrekte hoek = 180 Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

18 Blok 6 Exponentiële en logaritmische functies Opgaven met exponentiële en logaritmische functies komen jaarlijks terug in de examens van Wiskunde VWO B. Hierbij is het belangrijk om de rekenregels te kennen die hier bij horen. Verder wordt er vooral gebruik gemaakt van e x en ln x. Bedenk hierbij dat e een getal is (e = 2,7183 ) met de unieke eigenschap dat de exponentiële functie hiervan niet verandert als je e differentieert of integreert, en dat ln x = log x. Je kunt een exponentiële vergelijking oplossen met behulp van logaritmen. a x a = b x = log b Rekenregels exponentiële functies a p a q = a p+q a p / a q = a p q (a p ) q = a pq c a b = a b/c a 0 = 1 Rekenregels logaritmische functies a log b = g log b g log a g log a + g log b = g log(a b) g g g log a log b = log( a ) b g log a b = b g log a Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

19 Opgaven Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Opgave 1: Een rechthoek in stukken De punten A(1, 1) en B(3, 1 3 ) liggen op de grafiek van y = 1 x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P(p, 1 p ) ligt op de grafiek van y = 1 x, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In figuur 1 zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven. a) Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan 1 2. De som van de oppervlakten van de grijze stukken rechtsboven en linksonder is 4 3 ( p p ). Er is een waarde van p waarvoor deze som van de oppervlakten maximaal is. b) Bereken exact deze waarde van p. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

20 Opgave 2: Gelijke oppervlakken De parabool met vergelijking y = 4x x 2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4 ) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt A. Zie figuur 1. A heeft de coördinaten ( 4 a, 4a a 2 ). a) Toon dit aan. Het deel van V boven de lijn OA heeft oppervlakte 1 6 (4 a)3. b) Toon dit aan. c) Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

21 Opgave 3: De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De grootte van de dampdruk hangt af van de soort vloeistof en van de temperatuur in de gesloten ruimte. Voor het verband tussen de dampdruk en de temperatuur geldt de volgende formule: log P = k m (met T > n) T n Hierin is P de dampdruk in bar en T de temperatuur in kelvin en zijn k, m en n constanten die afhangen van de soort vloeistof. Voor aceton, een zeer vluchtige vloeistof, geldt (bij benadering) k = 4,146, m = 1144 en n = 53,15, dus log P = 4, (met T > 53,15) T 53,15 Het kookpunt van een vloeistof is de temperatuur waarbij de dampdruk precies 1 bar bedraagt. a) Bereken op algebraïsche wijze het kookpunt van aceton. Rond je antwoord af op een geheel aantal kelvin. In de figuur hieronder is voor aceton de grafiek getekend van de dampdruk P als functie van de temperatuur T voor temperaturen tussen 250 en 300 kelvin. Uit de figuur krijgen we de indruk dat de functie P stijgend is. b) Beredeneer aan de hand van de formule, zonder te differentiëren, dat de functie inderdaad stijgend is. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

22 Opgave 4: Hoogwaterstanden Onder invloed van de maan ontstaan eb en vloed. Een periode van eb en vloed duurt 12 uur en 25 minuten en de hoogste waterstand gedurende zo n periode heet een hoogwaterstand. Elke periode van eb en vloed levert dus één hoogwaterstand op. Om in te schatten hoe groot de risico s bij hoogwaterstanden zijn, stelt men op grond van een groot aantal metingen een formule op. Deze formule is van de vorm f(h) = 10 a b h, met a en b constanten. Hierin is h de hoogte in meters boven NAP en f (h) het gemiddeld aantal keren per jaar dat een hoogwaterstand de waarde van h overschrijdt. In Hoek van Holland geldt voor hoogwaterstanden tussen 0,9 m en 2,5 m boven NAP: a = 4,3 en b = 1,9. a) Bereken welke waarde van h volgens de formule gemiddeld één keer per jaar wordt overschreden. Rond je antwoord af op één decimaal. Als de zeespiegel, en daarmee ook de hoogwaterstanden, 0,1 m zou stijgen, zou dit leiden tot een groter gemiddeld aantal keren per jaar dat de waarde h = 2,5 in Hoek van Holland wordt overschreden. b) Bereken hoeveel keer zo groot dit gemiddeld aantal keren zou zijn. Metingen tonen aan dat de waarden a = 4,3 en b =1,9 voor h = 2,5 tot te kleine waarden van f (h) leiden. Men vermoedt dat een hoogwaterstand van 3,9 meter boven NAP, zoals bij de watersnoodramp in Zuidwest-Nederland in 1953, gemiddeld ongeveer eens per 100 jaar voorkomt. Volgens de formule zou dat maar eens per 1288 jaar zijn. We zoeken daarom nieuwe waarden voor a en b, die aan de volgende voorwaarden voldoen: - h = 2,5 levert dezelfde waarde van f (h) op als met de oude waarden voor a en b het geval was; - h = 3,9 levert voor f (h) de waarde 0,01 op. c) Bereken de nieuwe waarden van a en b. Rond deze waarden af op één decimaal. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

23 Opgave 5: Verzadigingsgraad van hemoglobine Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de hemoglobine in het bloed. De zuurstof wordt in de longen aan de hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeven. Het percentage van de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de verzadigingsgraad van hemoglobine genoemd. Deze verzadigingsgraad hangt af van de partiële zuurstofdruk; dit is het deel van de totale luchtdruk in de longen dat veroorzaakt wordt door de zuurstof. In 1910 heeft de fysioloog Hill gevonden dat onder bepaalde omstandigheden het verband tussen de partiële zuurstofdruk p en de verzadigingsgraad v van hemoglobine kan worden benaderd met de formule: v = 100p3 p Hierin is: v de verzadigingsgraad van hemoglobine in procenten en p de partiële zuurstofdruk in mmhg (millimeter kwik, de toen gebruikte eenheid voor druk). a) Bereken de partiële zuurstofdruk als de verzadigingsgraad van hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmhg. In de figuur is de grafiek getekend van v als functie van p volgens de benaderingsformule van Hill. v Hill vond zijn formule doordat hij ontdekte dat evenredig is met 100 v p3. De evenredigheidsconstante is Dat wil zeggen: v 100 v = 0,00004p3 b) Herleid de formule v 100 v = 0,00004p3 tot de formule v = 100p3 p Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

24 Blok 3 Differentiëren en integreren Opgave 1: Een symmetrisch gebroken functie F(x) = 2x 2 ln(1 + e x ) is een primitieve van f(x) = 2 a) Toon dit aan. Opgave 2: Kostenfuncties In de economie onderscheidt men de volgende kosten bij de productie van een hoeveelheid q van een bepaald product: - de totale kosten T(q). - de marginale kosten M(q), die benaderd kunnen worden door T (q). In deze opgave geldt: M(q) = T (q) - de gemiddelde kosten G(q) = T(q) q. Voor een bepaald product kunnen de totale kosten van de productie worden berekend met de formule T(q) = 0,2 q 3 1,2 q 2 + 4,2 q + 1, met q de geproduceerde hoeveelheid in duizendtallen en T(q) de totale kosten in duizenden euro s. a) Bereken met behulp van differentiëren bij welke productiehoeveelheid q de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. In het algemeen geldt dat de totale kosten T(q) eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgend zijn. In figuur 1 is deze situatie weergegeven. 1+e x Omdat derdegraadsfuncties T met T(q) = a q 3 + b q 2 + c q + d zich onder bepaalde voorwaarden voor a, b, c en d op deze manier gedragen, worden deze vaak gebruikt om de totale kosten te beschrijven. Voor een bruikbare derdegraadsfunctie T moet gelden: a > 0, c > 0 en d > 0. Een voorwaarde voor b kan worden gevonden door te bedenken dat de marginale kosten M(q) = T (q) eerst afnemen en vervolgens toenemen. Dan moet er dus een productiehoeveelheid q zijn waarbij de marginale kosten M(q) minimaal zijn. b) Toon aan dat hieruit volgt dat b < 0. In figuur 2 is de grafiek van een willekeurige totale kostenfunctie T getekend. De functie T hoeft niet een derdegraadsfunctie te zijn. De grafiek van T is een vloeiende kromme en vertoont dus geen knikken. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

25 Ook zijn in figuur 2 de grafieken getekend van de marginale kostenfunctie M met M(q) = T (q) en de gemiddelde kostenfunctie G met G(q) = T(q) q. Verder is in figuur 2 aangegeven dat voor q = q 0 de gemiddelde kosten G(q) minimaal zijn. Dit betekent dat geldt: G (q 0 ) = 0 Het lijkt of de grafieken van G en M elkaar voor q = q 0 snijden. In economieboeken wordt inderdaad beweerd dat voor q = q 0 de marginale kosten M(q) en de gemiddelde kosten G(q) aan elkaar gelijk zijn. c) Toon op algebraïsche wijze aan dat uit G (q 0 ) = 0 volgt dat deze bewering waar is. Opgave 3: Kleinste amplitude Voor elke waarde van a, met a 1, is de functie f a met domein [0, π ] gegeven door f a (x) = a sin x ln a In de figuur is voor enkele waarden van a de grafiek van f a getekend. Voor elke waarde van a is de grafiek van f a een sinusoïde. In de figuur is te zien dat de amplitude bij a 2 kleiner is dan bij a = of a = Er is een waarde van a waarvoor de amplitude minimaal is. De grafiek van f a bij deze waarde van a is in de figuur gestippeld getekend. a) Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as en de grafiek van f a met de kleinste amplitude. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

26 Opgave 4: De vergelijking van Antoine (vervolg van Blok 2 Opgave 3) Hoe de dampdruk bij een bepaalde temperatuur reageert op een verandering van die temperatuur, wordt weergegeven door de afgeleide waarde dp (in bar/kelvin). a) Bereken voor aceton de waarde van dp bij een kamertemperatuur van 293 kelvin. dt Rond je antwoord af op drie decimalen. Opgave 5: Eerste- en derdegraadsfunctie De functies f en g zijn gegeven door f(x) = (x 2 1)(x ) en g(x) = x De grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt A(0,1 1 ) en de x-as in het punt 2 B (1 1 2, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan de grafiek van f. a) Toon dit aan met behulp van differentiëren. In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend. dt De grafiek van f verdeelt driehoek OAB in twee delen. b) Toon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het linkerdeel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechterdeel. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

27 Blok 4 Goniometrie Formules die je altijd bij je examen krijgt: Opgave 1: Buiteling Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel waarvan de straal OE 1 meter is. In figuur 1 zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de halve eenheidscirkel noemen we R. Dus op elk moment staat PQ loodrecht op OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER. Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E. Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en E het punt (1, 0). Zie figuur 2. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

28 In figuur 2 is het lijnstuk PQ op tijdstip t getekend voor een waarde van t tussen 0 en π. Omdat de straal van de halve cirkel 1 m is en de snelheid van R gelijk is aan 1 m/s, geldt EOR = t (rad) en RP = t (m). x(t) = cos(t) + t sin (t) Voor de coördinaten van P geldt: { met 0 t π y(t) = sin(t) t cos (t) a) Toon de juistheid aan van de formule voor x(t) met 0 t π In figuur 3 zijn drie standen van PQ getekend en de gehele baan van P. De grootte van de snelheid in m/s van het punt P na t seconden noemen we v(t). Er geldt: v(t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Hieruit volgt: v(t) = t. b) Toon dit aan. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

29 c) Bereken exact de lengte van de baan van P. Opgave 2: Bebuikte rechthoeken Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechterkant aangevuld met een cirkelsegment. Zo n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een buik. Zie figuur 1. In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met middelpuntshoek t radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze driehoeken hebben ook een hoek met grootte t radialen. De oppervlakte O van het gebied is een functie van t, met 0 < t < ½ π. Er geldt: O(t) = 16t + 24 sin 2t a) Toon de juistheid van deze formule aan. b) Bereken de exacte waarde van O als de hoogte van het gebied 4 is. Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte O maximaal. c) Bereken de exacte waarde van deze hoogte. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

30 Opgave 3: Onderzetter Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O. De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α. Zie figuur 1. We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α, waarbij 0 α π. Er geldt: l = 10 cos ( 1 2 α) en b = 6 sin(1 2 α) a) Toon aan dat de formules voor l en b juist zijn. b) Bereken exact de waarde van b als l = 8. Als we α van 0 tot π laten toenemen, zal b toenemen en l afnemen. c) Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

31 Er geldt: OQ = sin α d) Toon aan dat de formule voor OQ juist is. Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt O liggen. Zie figuur 2. e) Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. Rond je antwoord af op twee decimalen. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

32 Opgave 4: Tussen twee sinusgrafieken De functies f en g zijn gegeven door f(x) = sin x en g(x) = sin(x + 1 π). In figuur 1 zijn de 3 grafieken van f en g getekend op het domein[0,2π]. De grafieken van f en g snijden elkaar op dit domein bij x = 1 π in het punt A en bij x = 4 π in 3 3 het punt B. Zie figuur 1. V is het vlakdeel dat tussen A en B wordt ingesloten door de grafieken van f en g. a) Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van V. De functie h is gegeven door h(x) = 1 (f(x) + g(x)). In figuur 2 zijn de grafieken van f, g en 2 h getekend op het domein [0,2π]. b) Bereken exacte waarden van a en b zo dat 1 (f(x) + g(x)) te herleiden is tot 2 a sin(x + b). Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

33 Opgave 5: Een W Een punt P beweegt in het Oxy-vlak volgens de vergelijkingen: x(t) = cos( π 15 t) { y(t) = cos( 4π 15 t) Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. De baan die P doorloopt, heeft de vorm van een W. Op tijdstip t = 0 start P in punt A(1, 1) en op tijdstip t = 15 bevindt P zich voor het eerst in punt B( 1, 1). In de figuur zijn de baan die P doorloopt, de punten A en B én de lijn met vergelijking y = x getekend. Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking y = x. a) Bereken dit aantal seconden. Op een zeker moment tijdens de beweging van A naar B passeert P de y-as. Daarbij neemt de x-coördinaat van P af. b) Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat van P op dat moment. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

34 Blok 5 Meetkunde Lijstje met kernwoorden van stellingen die je altijd bij je examen krijgt en mag gebruiken zonder nadere toelichting: Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

35 Opgave 1: Een koordenvierhoek? Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van C liggen de punten K en L op de omgeschreven cirkel zo dat CK = CL. De koorde KL snijdt de zijden AC en BC in P en Q. Zie figuur 1. Er geldt: BAC = QCL + CLK a) Bewijs dit. b) Bewijs dat vierhoek ABQP een koordenvierhoek is. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

36 Opgave 2: Gelijke afstanden Tussen de landen A en B ligt een zee die begrensd is door een cirkelboog en een deel van lijn g. Het punt M is het middelpunt van de cirkelboog. Zie figuur 1. We bekijken de punten in de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen. In figuur 2 is zo n punt L getekend: de afstand LP van punt L tot land A is gelijk aan de afstand LQ van punt L tot land B. Hierin is P de loodrechte projectie van L op g en is Q het snijpunt van de lijn door M en L met de cirkelboog. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

37 Om de ligging van punt L te onderzoeken, is in figuur 2 een hulplijn k getekend evenwijdig aan lijn g. De afstand tussen de twee evenwijdige lijnen is gelijk aan de straal van de cirkelboog met middelpunt M. Punt R is de loodrechte projectie van L op k. Dus L ligt op PR en de lengte van PR is de afstand tussen g en k. Er geldt: L ligt op de middelloodlijn van MR. a) Bewijs dit. b) Teken in de figuur hieronder de meetkundige plaats van alle punten in de zee die op gelijke afstand van beide oevers liggen. Licht je werkwijze toe. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

38 Opgave 3: Evenwijdige lijnen en een rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen de punten A, B, C en D zo dat AC een middellijn is en de lijnstukken AB en CD evenwijdig zijn. Zie figuur 1. a) Bewijs dat vierhoek ABCD een rechthoek is. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

39 Door punt D trekken we de lijn l evenwijdig aan AC. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in punt E. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S. Zie figuur 2. b) Bewijs dat CSE = 3 CDE. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

40 Opgave 4: Vier punten op een cirkel Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een middellijn AB. k is de raaklijn aan de cirkel in punt B. Op de cirkel liggen twee punten P en Q zodanig dat P en Q beide aan dezelfde kant van AB liggen én dat Q op de kleinste boog tussen B en P ligt. De snijpunten van de lijnen AP en AQ met k zijn respectievelijk P' en Q'. geldt: ABP AP'B. Er a) Bewijs dit. Je mag hierbij tekenen in de figuur. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

41 b) Bewijs dat P, Q, Q' en P' op één cirkel liggen. Je mag hierbij tekenen in de figuur. Opgave 5: Koordenvierhoek Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een lijnstuk AB buiten de cirkel. De lijn door A en B snijdt de cirkel niet. Punten P en Q worden zodanig op de cirkel gekozen dat aan de volgende voorwaarden is voldaan: - koorde PQ is evenwijdig aan lijnstuk AB; - lijnstuk AQ snijdt de cirkel in R; - lijnstuk BP snijdt de cirkel in S; - AQ snijdt BP binnen de cirkel. Zie de figuur hieronder. a) Bewijs dat ABSR een koordenvierhoek is. Je mag hierbij tekenen in de figuur Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

42 Blok 6 Exponentiële en logaritmische functies Opgave 1: Logaritmen en vierde macht De functies f en g zijn gegeven door f (x) = 4 ln x en g(x) = (ln x) 4 met x > 0. De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. Zie figuur 1. Er is een waarde van p waarvoor de lengte van lijnstuk AB maximaal is. a) Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

43 Opgave 2: Een exponentiële functie In figuur 1 is voor x 0 de grafiek getekend van de functie f die gegeven is door f(x) = 8x e x Deze grafiek heeft één top, die we A noemen. a) Bereken exact de x-coördinaat van A. Zoals je in figuur 2 ziet, past een vierkant met zijde 1 waarvan één zijde op de x-as ligt, ruimschoots in het gebied tussen de grafiek van f en de x-as. b) Onderzoek met een berekening of een vierkant met zijde 2 waarvan één zijde op de x-as ligt, ook nog in dit gebied past. We bekijken nu voor positieve waarden van n met n 1 de functie g n die is gegeven door g n (x) = 8nx e nx De grafieken van g n snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n 1 nog een ander snijpunt. In tabel 1 staat voor enkele waarden van n de x-coördinaat van dit andere snijpunt. Voor de vier waarden van n uit de tabel geldt: x snijpunt = 1 ln n n 1 Hieruit ontstaat het vermoeden dat deze formule voor snijpunt x klopt voor elke positieve waarde van n met n 1. c) Toon aan dat dit vermoeden juist is. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

44 In figuur 3 zijn de grafieken getekend van f en de functie g 3, gegeven door g 3 (x) = 24x grafieken van f en g 3 sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in figuur 3 grijs gemaakt. d) Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel. e3x. De Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

45 Opgave 3: Het standaard proefglas Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven. Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn. Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het ISO Standard Wine Tasting Glass. De eisen die aan dit standaard proefglas worden gesteld, zijn vastgelegd in een ISO-rapport. Aan de hand van de gegevens in dit rapport heeft een technisch tekenaar een model van het standaard proefglas getekend. Een zijaanzicht van dit model zie je in figuur 1. Om dit model te maken heeft de tekenaar drie wiskundige functies gebruikt. De bijbehorende grafieken beschrijven de buitenkant van het glas. Door deze grafieken om de x-as te wentelen, ontstaat een model van het standaard proefglas. In figuur 2 zijn de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as getekend. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

46 Kromme AB is de grafiek van de functie f met f(x) = 4,5 + 28,0 e 0,452x op het domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f (x) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om de x-as ontstaan de buitenkant van de voet en de steel van het wijnglas. De voet en de steel zijn massief. a) Bereken het volume van de voet en de steel samen. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm3. Om CD te tekenen wordt een bergparabool gebruikt met C als top. Een formule van deze parabool kan worden gevonden door eerst kromme CD te verschuiven zo dat C terechtkomt op O(0, 0). In figuur 3 zijn de kromme CD en de beeldkromme OE getekend en is ook de verschuiving weergegeven. Kromme OE is deel van een bergparabool met top O en heeft dus een formule van de vorm y = a x 2, met a < 0. Nu kan gebruik gemaakt worden van de translatie die kromme OE afbeeldt op kromme CD. In figuur 3 is ook deze translatie weergegeven. b) Stel een formule op voor kromme CD. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

47 In figuur 4 zijn opnieuw de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as getekend. Voor het proeven van wijn wordt een glas bij voorkeur met 50 ml wijn gevuld. Daarom wil de tekenaar in figuur 4 het punt aangeven tot waar het standaard proefglas gevuld moet worden om 50 ml wijn te bevatten. Dit punt P ligt op kromme BC. Kromme BC is de grafiek van de functie g met g(x) = x x 6600 op het domein [55,3; 87,5]; hierbij zijn g(x) en x in mm. In figuur 4 is het vlakdeel V grijs gemaakt dat wordt begrensd door de verticale lijnen door B en door P, de x-as en kromme BP. Als V wordt gewenteld om de x-as, heeft het omwentelingslichaam dus een inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte van het glas verwaarloosd. c) Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. Rond je antwoord af op een geheel getal. Opgave 4: Medicijn in actieve vorm Sommige medicijnen kennen een passieve en een actieve vorm. Ze worden in passieve vorm ingespoten en door het lichaam omgezet in actieve vorm. De hoeveelheid medicijn in passieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten nog niet is omgezet in actieve vorm, noemen we p(t). Als 25 mg wordt ingespoten, geldt de volgende formule: p(t) = 25 e k t Hierbij is k een positieve constante waarvan de waarde afhangt van het type medicijn. Hoe groter k, hoe sneller het medicijn in passieve vorm wordt omgezet in actieve vorm. Om de werkzaamheid van het medicijn te onderzoeken, meet men hoe lang het duurt tot 99% van de hoeveelheid medicijn in passieve vorm is omgezet naar medicijn in actieve vorm. Deze tijdsduur t 99 hangt af van k. a) Druk t 99 uit in k. Het medicijn in actieve vorm wordt door de lever afgebroken. De omzetting van medicijn in passieve vorm naar medicijn in actieve vorm en de afbraak van medicijn in actieve vorm vinden gelijktijdig plaats. Een patiënt krijgt een injectie met een dergelijk medicijn. De hoeveelheid medicijn in actieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten in het lichaam zit, noemen we a(t). Voor a(t) geldt: a(t) = 25(e 0,1t e 0,4t ) In figuur 1 is de grafiek van a getekend. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

48 Het maximum van a noemen we a max. Dit maximum wordt aangenomen op tijdstip t max. b) Bereken t max met behulp van differentiëren. Als maat voor de tijdsduur die een medicijn werkzaam is, wordt gekeken naar de zogenoemde FWHM (Full Width at Half Maximum). Dat is de breedte van de piek in de grafiek van a ter hoogte van 1 2 a max. Anders gezegd: de FWHM geeft aan hoe lang de hoeveelheid medicijn in actieve vorm in het lichaam minstens 50% is van de maximale hoeveelheid a max. In figuur 2 is de FWHM aangegeven. c) Bereken de FWHM in uren nauwkeurig. Opgave 5: De vergelijking van Antoine (vervolg van Blok 3 Opgave 4) Voor andere stoffen dan aceton gelden soortgelijke formules; alleen de waarden van k, m en n zijn anders. De vorm van de formule is universeel en staat sinds 1888 bekend als de vergelijking van Antoine. In de tijd dat Antoine de vergelijking opstelde, gebruikte men voor de dampdruk nog de eenheid mmhg (millimeter kwik) in plaats van bar. Voor de temperatuur gebruikte men de eenheid C (graden Celsius) in plaats van kelvin. Voor het verband tussen de dampdruk p in mmhg en de dampdruk P in bar geldt: P = p 750 Voor het verband tussen de temperatuur t in C en de temperatuur T in kelvin geldt: Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

49 T = t + 273,15 De eerder genoemde formule voor de dampdruk van aceton kan men herschrijven tot een formule van de vorm: log p = a 1144 t + b Hierin is p de dampdruk in mmhg, is t de temperatuur in C en zijn a en b constanten. a) Bereken a en b. Rond de waarde van a af op twee decimalen en rond de waarde van b af op een geheel getal. Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

50 Uitwerkingen Blok 2 Algebraïsche bewerkingen Opgave 1: Een rechthoek in stukken a) maximumscore 5 Er moet gelden: (3 p) (1 1 p ) = 1 2 (1) Haakjes uitwerken geeft 3 3 p p (1) Herleiden van deze vergelijking tot p p + 3 = 0 (1) 2 (p 2) (p 1 1 ) = 0 dus p = 1 1 of p = (of: p = 31 2 ± geeft p = 1 1 of p = 2) (2) 2 2 b) maximumscore 5 De afgeleide van de som is 4 ( p2) (2) 4 3 ( p 2) = 0 geeft p2 = 3 (2) De som is maximaal als p = 3 ( p = 3 voldoet niet) (1) Opgave 2: Gelijke oppervlakken a) maximumscore 4 4x x 2 = ax (1) 4 x = a (of x = 0 ) (1) x = 4 a (1) y = a(4 a) = 4a a 2 (1) of ( 4 a, 4a a 2 ) ligt op de lijn y = ax, want 4a a 2 = a(4 a) (1) Aangetoond moet worden dat ook 4a a 2 = 4(4 a) (4 a) 2 (1) 4(4 a) (4 a) 2 herleiden tot 4a a 2 (2) b) maximumscore 6 4 a De oppervlakte van het deel van V boven de lijn OA is (4x x 2 ax)dx (1) 0 Een primitieve van 4x x 2 ax is 2x x3 1 2 ax2 (2) [2x x3 1 2 ax2 ] 0 4 a = 2(4 a) (4 a)3 1 2 a(4 a)2 (1) 2(4 a) 2 1 (4 3 a)3 1 a(4 2 a)2 herleiden tot 1 (4 6 a)3 (2) of 4 a De oppervlakte van het deel van V boven de lijn OA is (4x x 2 ax)dx (4 a) (4a a 2 ) (1) Een primitieve van 4x x 2 is 2x x3 (1) [2x x3 ] 0 4 a = 2(4 a) (4 a)3 (1) 1 2 (4 a) (4a a2 ) = 1 2 (4 a) a (4 a) = 1 2 a(4 a)2 (1) 2(4 a) 2 1 (4 3 a)3 1 a(4 2 a)2 herleiden tot 1 (4 6 a)3 (2) c) maximumscore 5 De oppervlakte van V is 1 (4 6 0)3 = 32 (2) 3 Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

51 1 (4 6 a)3 = (1) (4 a) 3 = 32 (1) 3 a = 4 32 (1) of 4 De oppervlakte van V is (4x x 2 )dx = [2x x3 ] 0 0 (1) De oppervlakte van V is (4 6 a)3 = (1) (4 a) 3 = 32 (1) 3 a = 4 32 (1) (1) Opgave 3: De vergelijking van Antoine Opgave 4: Hoogwaterstanden Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

52 Opgave 5: Verzadigingsgraad van hemoglobine Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

53 Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

54 Blok 3 Differentiëren en integreren Opgave 1: Een symmetrisch gebroken functie Opgave 2: Kostenfuncties Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

55 Opgave 3: Kleinste amplitude Opgave 4: De vergelijking van Antoine Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

56 Opgave 5: Eerste- en derdegraads functie Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

57 Blok 4 Goniometrie Opgave 1: Buiteling a) maximumscore 5 De x-coördinaat van P is OR' + PP', met R' de projectie van R op de x-as en P' de projectie van P op RR' (1) OR' = cos(t) (1) PRP' = π ORR' = t (2) PP = t sin(t) (en dus x(t) = cos(t) + t sin(t) ) (1) b) maximumscore 6 x (t) = sin(t) + 1 sin(t) + t cos(t) = t cos(t) en y (t) = cos(t) 1 cos(t) t sin(t) = t sin(t) (3) (x'(t)) 2 + ( y'(t)) 2 = (t cos(t) 2 + (t sin(t)) 2 = t 2 (cos 2 (t) + sin 2 (t)) = t 2 (2) v(t) = t 2 = t (omdat t 0 ) (1) Opmerking Als de productregel niet is toegepast, voor deze vraag geen punten toekennen. c) maximumscore 3 π π De lengte van de baan van P is v(t)dt = 0 t dt (1) 0 Een primitieve van t is ½ t 2 (1) De lengte van de baan van P is ½ π 2 m (1) of De snelheid neemt gelijkmatig toe van 0 op t = 0 tot π op t = π (1) De gemiddelde snelheid is dus ½ π (of de grafiek tekenen van de lijn v = t voor 0 t π ) (1) De lengte van de baan van P is π 1 π = π2 m (1) Opgave 2: Bebuikte rechthoeken a) maximumscore 6 De oppervlakte van elke cirkelsector is t π 2π 42 = 8t (2) Elke driehoek heeft oppervlakte 1 4 cos t 4 sin t (2) 2 O(t) = 2 8t cos t 4 sin t = 16t + 48 sin t cos t (1) 2 Dus O(t) = 16t sin t cos t = 16t + 24 sin 2t (1) b) maximumscore 4 De hoogte is 4, dus sin t = 2 (1) 4 Dit geeft t = 1 π (1) 6 De oppervlakte is dan 2 2 π (2) 3 c) maximumscore 7 O (t) = cos 2t (2) O is maximaal als cos 2t = 1 (1) 3 Dit geeft 1 2 sin 2 t = 1 3 en dus sin2 t = 2 3 (2) Hieruit volgt (omdat 0 < t < ½ π) sin t = 2 3 (1) De hoogte is 8 sin t = (1) Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

58 Opgave 3: Onderzetter Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

59 Opgave 4: Tussen twee sinusgrafieken Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

60 Opgave 5: Een W Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

61 Blok 5 Meetkunde Opgave 1: Een koordenvierhoek? a) maximumscore 5 BAL = BCL; stelling van de constante hoek (1) LAC = LKC; stelling van de constante hoek (1) Dus BAC = QCL + LKC (1) LKC = CLK ; gelijkbenige driehoek (1) Dus BAC = QCL + CLK (1) b) maximumscore 4 LQC = PQB ; overstaande hoeken (1) Uit de vorige vraag volgt: BAC = QCL + CLK (1) In driehoek CLQ geldt QCL + CLQ + LQC =180 ; hoekensom driehoek (1) Combineren geeft BAC + PQB =180, dus vierhoek ABQP is een koordenvierhoek; omgekeerde koordenvierhoekstelling (1) Opgave 2: Gelijke afstanden Nationale Examentraining Wiskunde B VWO

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

De vergelijking van Antoine

De vergelijking van Antoine De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Hey jij daar! We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Hey jij daar! We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Trainingsboek Wiskunde B VWO 016 Hey jij daar! Welkom op de examentraining Wiskunde B HAVO! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof

Nadere informatie

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eerste- en derdegraadsfunctie

Eerste- en derdegraadsfunctie Eerste- en derdegraadsfunctie e functies f en g zijn gegeven door f( x) ( x )( x ) en gx ( ) x. e grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt (0, ) en de x-as in het punt (, 0). e grafiek van

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 19 juni uur Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Hey jij daar! We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Hey jij daar! We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Trainingsboek Wiskunde VMBO Basis 2016 Hey jij daar! Welkom op de examentraining Wiskunde VMBO-Basis! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

leeftijd kwelder (in jaren)

leeftijd kwelder (in jaren) Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-II

wiskunde B vwo 2016-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B Profi

Examen VWO. Wiskunde B Profi Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-I

wiskunde B bezem vwo 2018-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 204 tijdvak woensdag 4 mei.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I Sauna Om 5. uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment,9t wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: St ( ) 8 e. Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de

Nadere informatie

- havovwo.nl Formules Goniometrie

- havovwo.nl Formules Goniometrie Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t - - Eerste- en derdegraadsfunctie

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie