30/06/2005. Theoretische Inleiding bij de Fresnelproef

Transcriptie

1 30/06/005 Theoretische Inleiing ij e Fresnelproef

2

3 I Zichtaar maken van een Interferentiepatroon Licht kan eschreven woren als een elektromagnetische golf. Algemeen gelt voor een golf (us.v. ook voor een watergolf of een geluisgolf) at er voortplanting om ostakels heen kan plaatsvinen. Hierij kunnen in het ijzoner interferentieverschijnselen waarneemaar woren. Dat wil zeggen: er zijn plaatsen met afwisselen lage en hoge intensiteit (kleine, resp. grote amplitue) op afstanen van elkaar ie mee epaal woren oor e golflengte(n) van e etrokken golf. We moeten nu echter eerst egrijpen hoe een ergelijk patroon (van afwisselen lage en hoge intensiteit) tot stan komt. Pas als we it egrijpen kunnen we een formule afleien waarin e afstanen in een interferentiepatroon woren uitgerukt in (oner meer) e relevante golflengte. In een eenvouig moel om interferentieverschijnselen te egrijpen kunnen we geruikmaken van het principe van Huygens. Volgens Huygens kan elk punt van een golffront eschouw woren als een puntron at zelf weer olgolven (in het geval van een rieimensionale situatie) uitzent. s scherm Fig. I. Schematische voorstelling van het Huygensprincipe I. Interferentie van een lange rechte spleet lichtron w x s scherm Fig. I. Schema van een opstelling met een erekene intensiteitvereling. In e erekening is uitgegaan van een puntlichtron met λ=600 nm, en spleetreete = 0. mm waarij = 0 cm en s = 00 cm gekozen is. Volgens het principe van Huygens eschouwen we elk punt in e spleet als een ron van golven. Echter e afstan van verschillene punten in e spleet tot het punt P op

4 het scherm is verschillen (zie fig.i.3). Golven afkomstig van verschillene punten in e spleet kunnen elkaar ter plekke P us versterken (constructieve interferentie) of verzwakken (estructieve interferentie). In het ijzoner zal uitoving van twee ijragen optreen als het afstansverschil van twee Huygens ronnen tot punt P 3 5 een oneven aantal maal e halve golflengte eraagt (us λ, λ, λ, waarij λ e golflengte). P r r x s Fig. I.3 scherm Bijragen van verschillene punten in e spleet tellen op ter plekke van een waarnemingspunt P. Neem nu aan at het scherm ver weg staat (an gelt : s ): we kunnen an alle stralen ie het punt P ereiken vanuit e spleet als vrijwel parallel eschouwen. Met eze veronerstelling valt nu snel af te leien oner welke hoeken (van uit e spleet gezien) er minima in het interferentiepatroon zullen optreen. Uitoving (eerste minimum) als: sin = λ. sin Fig. I.4 Huygens' principe voor een enkele spleet. Voor het vinen van het eerste minimum eschouwen we stees paarsgewijs punten in e spleet ie op een afstan van elkaar liggen (zie fig.i.4). Voor lichtstralen oor zo n puntenpaar uitgezonen oner een hoek eraagt het weglengteverschil tot aan het scherm sin. Als at weglengteverschil gelijk is aan λ oven e ijragen uitgezonen oner eze hoek voor al eze paren uit. Oner ie

5 voorwaare vinen we us een eerste min imum (met, in eze enaering een intensiteit gelijk aan nul) in het interferentiepatroon op het scherm. Fig. I.5 Relatie tussen si n, tan en (ra). Als we voor het gemak aannemen at e hoek klein is (.w.z. (ra) ) mogen we geruiken at sin ª tan ª (ra) (zie fig.i.5). Het eerste minimum vinen we an op een afstan x (zie fig.i.) van e gegeven oor λs x ª, (I.) oner een hoek waarvoor gelt λ ª. (I.) Analoog kunnen we ook e hoek waarvoor het tweee minimum optreet vinen (zie fig.i.6). 4 4 Uitoving (tweee minimum) als: sin = λ. 4 4 sin Fig. I.6 Toepassing van het Huygensprincipe voor het vinen van het tweee minimum. Algemeen gelt in it eel at het k e minimum wort gevonen oner een hoek k waarvoor gelt 3

6 λ sin k = ± k ( k =,, ). (I.3) Aan e han van eze uitrukkingen kunnen we praktisch (aangenomen at er een zichtaar patroon valt te ontekken!) een eerste epaling van e golflengte λ oen. N.B. Ook ij een rone opening treen interferentieverschijnselen op. Het patroon estaat aarij uit concentrische cirkels, waarij (in goee enaering) een iets gemoificeere formule voor e hoek k van het k e minimum gelt n.l. (D is hier e iameter van e rone opening) λ sin k =. k ( k =,, ). (I.4) D I. Een complicatie: voorwaare van coherentie Interferentie leit niet noozakelijk tot een zichtaar en scherp patroon. Als vooreel: naarmate het licht van e geruikte lichtron een reer spectrum omvat zal er meer en meer een vervaging van het patroon optreen. Ook zal het patroon verwijnen als e hoekafmeting B van e ron (zoals gezien van uit e spleet) van ezelfe grootte ore is als, of groter is an, e hoek waaroner het eerste minimum wort gevonen (zie fig.i.7). x lichtron w B x s scherm Fig. I.7 Overlappene uigingspatronen als e ron openingshoek B te groot is in vergelijking met e hoek waaroner het eerste minimum wort gevonen. Beschouw nu e lichtron als een verzameling van puntronnen versprei over e hele openingshoek B. Voor een puntron ie oner een hoek t.o.v. e wort gezien zal ook het uigingspatroon van eze puntron op het scherm verschoven verschijnen. Het gevolg is at e overlappene, verschoven patronen van alle ijragene puntronnen het resulterene uigingspatroon oen vervagen of zelfs oen verwijnen. Om een herkenaar uigingspatroon aan te treffen is het aarom noig e ronhoek B voloene klein te maken. Voloene klein etekent hier: klein in vergelijking tot een karakteristieke hoekmaat van het uigingspatroon van een puntron. Hiervoor kunnen we.v. e hoek nemen waaroner het eerste minimum wort gevonen. Met e schattingen w λ ª B en, ª (I.5) 4

7 moet an woren geconstateer at in situaties waarij B aanzienlijk groter is an er geen herkenaar patroon zal woren gevonen. Bij het geleielijk vergroten van B verwachten we at het uigingspatroon geleielijk zal vervagen als B ª tot het (ijna) niet meer als uigingspatroon te herkennen is. Er is natuurlijk geen uniek omslagpunt voor zichtaarhei aan te geven maar wel waar ongeveer at omslagpunt zal liggen. In e praktijk geruiken we als criterium voor zichtaarhei het egrip coherentievoorwaare n.l., zichtaarhei (of in ieer geval: enige mate van zichtaarhei) wort verwacht als maar w λ (een coherentievoorwaare). (I.6) Dit criterium corresponeert us met B (zie vgl.(i.5)). Als een verwacht uigingspatroon niet (goe) zichtaar is kan aan e han van it criterium woren nagegaan of e einige ronafmetingen hierij een rol heen. I.3 Afeelen met een unne (sferische) lens Bij optische experimenten is het vaak hanig, en soms noozakelijk, geruik te maken van e afeelene eigenschappen van lenzen. We eschouwen e lenzen als ieaal; at wil zeggen: afeelen met een lens gaat zoner fouten (of wel: zoner aerraties). Voor een unne lens is e epalene groothei e ranpuntsafstan f (en aarnaast natuurlijk e iameter van e lens). De eie ranpunten liggen hierij symmetrisch ron het centrum van e lens op een afstan f van het centrum. f f x F F y p q Fig. I. 8 Afeelen met een lens. Beelvorming kan nu woren egrepen met e volgene twee principes: lichtstralen gericht oor het centrum van e lens gaan zoner afuiging rechtoor; lichtstralen gericht oor een ranpunt woren oor e lens afgeogen ( geroken ) parallel aan e as van e lens. In ijgaane figuur wort schematisch e eelvorming weergegeven. Met wat eenvouige meetkune kan aarmee e lenzenformule als volgt woren afgelei. We geruiken echter niet e hierij geruikelijke symolen voor e voorwerpsafstan en 5

8 e eelafstan. Voor eze grootheen geruiken we respectievelijk e letter p en e letter q ter vermijing van verwarring met e al ingevoere symolen. Van een voorwerp ter grootte x op voorwerpsafstan p van e lens wort een scherpe afeeling gemaakt ter grootte y op afstan q van e lens. De stralengang voor een rietal stralen (oor respectievelijk het centrum en oor e eie ranpunten van e lens) is geteken in fig.i.8. Hieruit volgen e volgene relaties: y q V = (vergroting/verkleining). x p y f q- f = ( = ) fi ( p - f)( q- f) = f. x p- f f y q p p- f p Met = volgt = = - en us x p q f f fi + =. p q f TIP: De kleinste afstan tussen voorwerp en eel eraagt 4f, waarij e vergroting eraagt. (I.7) 6

9 II Meetaar maken van een Interferentiepatroon: Golflengteepaling II. Duele spleet interferentie We eschouwen nu interferentie van een uele spleet. In fig.ii. is schematisch e opstelling geteken. De eie spleten staan hierij onerling parallel en zijn zeer lang in vergelijking met hun onerlinge afstan a. Verer nemen we aan at e reete van e eie spleten klein is in vergelijking met hun onerlinge afstan a. x lichtron w S a s scherm Fig. II. Opstelling voor interferentie ij een uel spleetsysteem (schematisch). De intensiteitvereling is ereken voor een puntlichtron met λ=600 nm, spleetafstan a=.0 mm/spleetreeten = 0. mm waarij = 500 cm en s =00 cm gekozen is. We geruiken weer het principe van Huygens waarij e twee spleten als ronnen woren eschouw. Als het afstansverschil van e twee spleten tot een punt P op een scherm een geheel aantal golflengten eraagt zal er alaar versterking (constructieve interferentie) optreen; als het afstansverschil een oneven aantal maal e halve golflengte eraagt treet er uitoving van e lichtintensiteit op. Constructieve interferentie als Δr = r - r = ± kλ met k = 0,,,. P r r x a s scherm Fig. II. Interferentie met twee spleten. 7

10 Als we aannemen at e afstan s tot het scherm veel groter is an e spleetafstan a kunnen we afleien (vgl. fig.ii. met fig.i.4) at maxima in het interferentiepatroon optreen als λ sin k ª ± k ( k = 0,,, ). (II.) a Constructieve interferentie als a sin =± kλ met k = 0,,,. r a r a asin Fig. II.3 Interferentie van twee spleten als scherm op grote afstan staat ( s a ). Met ehulp van het Huygens principe kunnen we (ij enaering) ook e intensiteitvereling afleien. Voor een punt P op afstan x van e (zie fig.ii.) is het afstansverschil Δr tot e spleten (ongeveer) gelijk aan asin. Als e hoek an mogen we weer geruikmaken van e relatie sin ª tan. Het afstansverschil Δr is aarmee te noteren als ax Δr ª asin ª a tan ( = ). (II.) s Het faseverschil Δφ van e twee golven ie vanuit e eie spleten het punt P ereiken is geefinieer als Δr ax Δφ π ( ª π ). (II.3) λ λs Als e ene golf een ijrage Acos( ωt) geeft ter plekke P, an is e ijrage van e anere golf aarmee Acos( ωt + Δφ). Hierij is A e amplitue en ω e (cirkel)frequentie van e lichtgolf. Verer gelt, ω= π c, (II.4) λ met c e lichtsnelhei. Superpositie van eze eie golven ij P leit tot interferentie met als resultaat voor e somgolf AP ( t) = Acos( ωt) + Acos( ωt + Δφ) = Acos( Δφ)cos( ωt + Δφ). (II.5) De amplitue van het licht ij P eraagt us Ac os( Δφ ). De lichtintensiteit I ( x ) op plaats x (kwarateren van e amplitue) is an evenreig met 8

11 ax ( ) cos ( ) cos ( ). (II.6) I x Δφ = π λs Ook hiermee kunnen we afleien at het k e maximum te vinen is op plaats x k waarvoor gelt λs xk = ± k ( k = 0,,, ). (II.7) a De uele spleet opstelling in fig.ii. iet als vooreel in vergelijking met e enkele spleet opstelling (fig.i.) een eter zichtaar patroon at ovenien op gelijke afstanen minima en maxima te zien geeft. Verer heen we al met elementaire mielen een intensiteitvereling voor een uelspleet systeem kunnen afleien. Daarmee is een experimentele situatie gerealiseer ie nauwkeuriger te analyseren is en ie aarmee (in principe) een nauwkeuriger epaling van e golflengte λ mogelijk maakt. II. De fraunhofer opstelling Bij zowel e enkele spleet als e uele spleet configuratie is het zaak e grootte van e hoeken t.o.v. e zo veel mogelijk te eperken. B.v. om een scherp patroon zichtaar te maken moet e ronhoek (vanuit e spleet gezien) voloene klein zijn (coherentievoorwaare). Dit kan ereikt woren oor e ronafstan voloene groot te maken. Ook is e enaering gemaakt at het afstansverschil tussen e eie spleten en het punt P oner een hoek gegeven wort oor asin (vergelijk fig.ii. met fig.ii.3). Deze enaering is eter naarmate e schermafstan s (zie fig.ii.) groter is. Overigens is het om uelspleet interferentie te kunnen zien al zonermeer vereist at zowel e ronafstan als e schermafstan s voloene groot zijn (zie fig.ii.). L L x P F F f a f scherm ranvlak Fig. II.4 Fraunhofer opstelling voor uelspleet systeem. De lichtron staat hierij in het ranpunt van lens L; het scherm staat in het ranpunt van lens L. Door e afeelene eigenschappen van lenzen te geruiken kunnen we op een van zelfsprekene manier aan eze eie eisen voloen. De afeelene eigenschappen van lenzen woren aarvoor geruikt om zowel e ron als het scherm virtueel op oneinige afstan t.o.v. het spletensysteem te plaatsen. De alus aangepaste opstelling wort aangeui als een fraunhofer opstelling (zie fig.ii.4 voor een uelspleet 9

12 configuratie). De opstellingen ie we tot usverre heen eschouw (us zoner geruik van lenzen) woren aangeui als fresnel opstellingen. Het werken met een fraunhofer opstelling iet us uielijke voorelen, waarij in principe een etere epaling van e golflengte λ mogelijk wort. Voor e uelspleet configuratie van fig.ii.4 treen (net als ij e gemaakte enaeringen voor e uelspleet fresnel opstelling) maxima in het interferentiepatroon op oner hoeken k waarvoor λ sin k = ± k ( k = 0, ±, ±, ). (II.8) a Bij e afleiing van eze formule zijn, uitgaan van het principe van Huygens voor voortplanting van elektromagnetische golven, nog maar heel weinig enaeringen gemaakt. Als we voor het gemak nog wel e enaering sin ª tan maken volgt aaruit een eenvouige uitrukking voor e plaats van e maxima in het interferentiepatroon (zie fig.ii.4), λf x k = k ( k = 0, ±, ±, ). (II.9) a II.3 Hulpmielen ij waarneming: het oculair Bij optische experimenten wort vaak geruikgemaakt van oogwaarneming. Het oog is een ijzoner gevoelig waarnemingsinstrument, maar we moeten hierij wel naenken hoe e eelvorming op het netvlies tot stan komt. Bij het kijken naar een scherm waarop een interferentiepatroon zichtaar is it geen proleem: e ooglens wort ij waarneming (onewust) zo aangepast at het patroon scherp op het netvlies wort afgeeel. De eperking van eze manier van werken ligt in het grote verlies aan intensiteit: alleen licht at via reflectie aan het scherm het oog ereikt wort zo enut. Veel meer lichtintensiteit is eschikaar oor het oog in e lichtunel te plaatsen: het oognetvlies neemt nu rechtstreeks e rol over van het scherm. De complicatie waar we echter mee te maken heen ligt in e rol van e ooglens: afhankelijk van waarop het oog focusseert zullen verschillene eelen kunnen ontstaan. Dit kan zelfs tot onenighei tussen waarnemers leien over wat er te zien is! Een tweee proleem etreft e meetaarhei van het patroon: ook al is er een uielijk interferentiepatroon op het netvlies geprojecteer an ontreken toch e mielen om op eze wijze afstansepalingen in het patroon uit te voeren. Om eze ezwaren zo veel mogelijk te onervangen wort geruik gemaakt van een zgn. oculair (eyepiece). Een oculair is een hulpmiel waarmee verer ook e voor het oog eschikare lichtintensiteit nog kan woren verhoog. Fig. II.5 Schema van een Huygens' oculair. 0

13 Stanaar wort in een oculair geruikgemaakt van twee lenzen, aangeui als vellens en als ooglens. Afhankelijk van e wijze van eelvorming woren oculairen onervereel in een aantal verschillene typen. Een eenvouig type is het Huygens oculair, waarij een tusseneel (tussen e eie lenzen) wort gemaakt. Dit tusseneel evint zich (vrijwel) in het ranvlak van e tweee lens, zoat waarneming met vrijwel ongeaccommoeer oog geeurt. Verer is in it ranvlak een wijzerpin (reticle) geplaatst ie us overlapt met het tusseneel van het interferentiepatroon. Door het oculair op een translatietafel met micrometerverstelling te plaatsen kunnen we hiermee e wijzerpin nauwkeurig (meetaar en reprouceeraar) oor het interferentiepatroon ewegen. Met it hulpmiel zal in veel gevallen een veel etere epaling van een patroonafstan kunnen geeuren an ij waarnemen vanaf een scherm. Een schema van een Huygens oculair is in fig.ii.5 weergegeven.

14

15 III Interferentie ij eelvorming III. Interferentie ij afeeling Een manier om e afmeting(en) van een lichtgeven oject te epalen is via een afeeling op een scherm. In onerstaane fig.iii. wort e meetsituatie weergegeven, waarij e afeeling oor miel van een lens geeurt. Men zou nu nietsvermoeen kunnen enken at met eze techniek stees kleinere afmetingen kunnen woren epaal naarmate maar e kwaliteit van e afeelene optica en e mogelijkheen om kleinere eelafmetingen te epalen vereter woren. Na enig naenken zal eze conclusie echter moeten woren ijgestel: het feit at licht een golfverschijnsel is impliceert automatisch at hierij funamentele eperkingen zijn te verwachten afhankelijk van e golflengte(n) λ van het uitgezonen licht. Deze eperkingen zijn gekoppel aan e einige afmetingen van e geruikte optische elementen. Aners gezeg: een optisch element geraagt zich voor het licht als een (egrense) opening waarij er us altij sprake zal zijn van uigingsverschijnselen ie e eelvorming eïnvloeen. Een sferische lens moet in it veran woren eschouw als een ron gat. Bij afeeling van een puntvormige lichtron zal op het afeelingscherm us een uigingspatroon verschijnen. Het hoofmaximum van it patroon zal aarij een hoekmaat van e ore van λ / D eslaan (waarij D e iameter van e lens). f f P F x F s p q Fig. III. Buigingsverschijnsel ij een lens. Om e rol van e einige iameter van e lens te veruielijken is hier (gescheien van e lens) een spleet geplaatst. Door e spleet op e geruikelijke wijze op te elen kan hiermee e plaats van het eerste minimum in het uigingspatroon woren ereken. Voor een spleetiafragma kan aan e han van fig.iii. woren nagegaan at e plaats van het eerste minimum in het uigingspatroon ligt ij (zie vgl.(i.)): λs x =±. (III.) Als een ron gat (iameter D) als iafragma wort geruikt (.v. e sferische lens zelf!) moet weer e extra factor. woren toegevoeg. Bij scherpe afeeling van 3

16 een monochromatische puntron verschijnt an op het scherm een uigingspatroon waarij e eerste onkere ring een straal r heeft van λs r =.. (III.) D Als er nu twee icht ij elkaar gelegen puntronnen tegelijk woren afgeeel (.v. ij een telescoop: twee sterren; of ij een microscoop: twee cellen) zullen e eie uigingspatronen op het scherm overlappen. De vraag is an of e eie uigingspatronen ij afeeling van eze puntronnen van elkaar zijn te onerscheien. Hiervoor wort vaak het zogenaame Rayleigh criterium gehanteer: als e uigingspatronen op een afstan groter an r (straal van e eerste onkere ring) van elkaar liggen zijn e eie eelen van elkaar te onerscheien. Ga zelf na op welke hoekafstan e puntronnen an echt (us aan e voorwerpszije) van elkaar staan. III. Hoekoplossenvermogen ij afeeling Oogwaarneming: maak een schatting aan e han van stanaar pupilafmetingen welke kleinste hoekmaat oor het oog onerscheien kan woren. In onerstaane figuur is schematisch een afeelen systeem weergegeven waarmee een puntron wort afgeeel. Dit systeem mag meerere lenzen omvatten ie we echter vervangen enken oor een enkele lens op e aangegeven plaats. We nemen verer aan at op ie plaats zich ook het egrenzene iafragma met spleetreete evint. Ga na at e hoekafstan α ie aan e voorwerpszije nog kan woren opgelost gegeven wort oor λ λ α = (. ij een ron iafragma met iameter D) = D (III.3) Fig. III. Schematische weergave van het eperkte hoekoplossene vermogen van een afeelen systeem, aangegeven met e hoek α. Deze hoek wort irect epaal oor het eerste minimum in het uigingspatroon in het eelvlak ij scherpe afeeling van een puntron. De intensiteitvereling van een ergelijk uigingspatroon is rechts van het scherm weergegeven. 4

17 IV Toepassing van Interferentie ij Tralies IV. Opstelling met tralie Bij interferentie aan een uele spleet in een fraunhofer opstelling heen we in principe een goee aansluiting tussen theorie en experimentele realisatie. Beperkingen in e golflengte epaling zullen voornamelijk te wijten zijn aan onnauwkeurighei in het meetproces. Eén elangrijk aspect is hierij e relatieve reete (t.o.v. hun onerlinge afstan) van interferentiestrepen. We spreken in it veran van (spectrale) resolutie, hier veronen met e nauwkeurighei waarmee e maxima in het interferentiepatroon praktisch kunnen woren epaal. Voor uelspleet interferentie is al e intensiteitvereling afgelei (zie vgl.(ii.6)), n.l. ax I( x) cos ( β), waarij hier β = π. (IV.) λf L L x P F F f a f scherm ranvlak Fig. IV. Fraunhofer-opstelling voor een vier-spletensysteem. Een nauwkeuriger epaling van e golflengte zou ereikaar zijn als we een nauwere intensiteitvereling konen realiseren. Een configuratie waarmee it ereikt kan woren estaat niet uit twee maar een groot aantal evenwijige spleten (op stees gelijke afstanen) in een fraunhofer opstelling. Ook voor een ergelijke opstelling kan er al met eenvouige mielen een nauwkeurige eschrijving woren ontwikkel. Een veel-spletensysteem met spleten op gelijke afstan van elkaar uien we kort aan als tralie. Een tralie wort gekarakteriseer oor e spleetafstan a en oor het totaal aantal spleten N. De opstelling is voor een vier-spletensysteem schematisch gegeven in fig.iv.. Maximum intensiteit vinen we in P als e afstan, van twee irect naast elkaar liggene spleten tot P, een geheel aantal malen λ eraagt. De formule voor het uele spleetsysteem λf xk = k ( k = 0, ±, ±, ). (IV.) a 5

18 is us in principe ook hier gelig (in eze formule is weer aangenomen at e enaering sin ª tan toegestaan is). Elk van e ijragen van e afzonerlijke spleten werkt hier versterken. Het elangrijke punt is nu echter, at tussen twee (hoof) maxima meerere punten zijn waar totale uitoving plaatsvint (in plaats van maar één locatie ij e uele spleet). B.v. in een vier-spletensysteem vint totale uitoving plaats als e afstan van punt P tot irect naurige spleten een oneven aantal malen e halve golflengte verschilt. Maar er treet ook totale uitoving op als e afstan tot e eerste en ere (en aarmee ook e afstan tot e tweee en viere spleet) een oneven aantal malen e halve golflengte verschilt. Enig naenken leert an at voor een vier-spletensysteem tussen twee hoofmaxima op rie plaatsen totale uitoving plaatsvint. Analoog treen er voor een N-spletensysteem stees N- minima op tussen twee naurige hoofmaxima. Als N parallelle spleten op onerlinge afstan a geruikt woren (at is: uniform elicht woren) kunnen we een uitrukking voor e intensiteitvereling afleien. De afleiing verloopt analoog aan e afleiing voor e intensiteitvereling van e uele spleet. Voor licht uitgezonen oner een hoek eraagt het fase verschil Δφ voor golven van irect naurige spleten ook hier sin Δφ = π a, (IV.3) λ en e som van alle spleetijragen ij P eraagt an A ( t) = Acos( ωt) + Acos( ωt + Δφ) + Acos( ωt + Δφ) + + Acos( ωt+ ( N -) Δφ). P Deze sommatie kan met wat algera woren uitgereken en resulteert in Δφ (IV.4) sin( NΔφ) AP () t = A cos( ωt+ ( N - ) Δφ). (IV.5) sin( ) Voor e intensiteitvereling volgt (uitgerukt in x, waarij weer aangenomen at gelt sin ª tan ), sin ( Nβ) ax I( x), waarij hier β= π. sin ( β) λf (IV.6) Voor N =, 4, 0 zijn ijgaan in fig.iv. grafische voorstellingen van eze (genormaliseere) intensiteitverelingen gegeven. N.B. De afstan tussen e interferentielijnen veranert us niet ij toename van het aantal elichte spleten (stees op afstan a van elkaar). Wat wel veranert, is e scherpte (of: spectrale resolutie) waarmee het patroon zichtaar wort: it hangt af van het aantal spleten N at in het experiment ijraagt aan het interferentiepatroon. De reete van e maxima neemt aarij omgekeer evenreig met het aantal geruikte spleten N af. Experimenteel zal echter naarmate gewerkt wort met een groter aantal spleten e reete van e maxima meer en meer oor anere factoren woren epaal (.v. oor lensfouten). 6

19 Fig. IV. Theoretisch interferentie patroon voor -, 4- en 0 spleten volgens vgl.(iv.6). De intensiteitverelingen zijn op hun respectieve maxima genormaliseer. Op eze schaal zijn e verelingen voor N= en N=4 in verticale richting verschoven over respectievelijk 0. en 0. schaalelen. 7

20

21 V Samenvatting van een aantal resultaten V. Enkele spleet: uiging ij einige ronreete en einige spleetreete In het eerste hoofstuk is al vastgestel at het hoekinterval waaroner een spleet wort elicht (einige ronafmetingen) irecte gevolgen kan heen voor e zichtaarhei van een interferentiepatroon. Een criterium is aartoe ingevoer, e zgn. coherentievoorwaare, w λ. (V.) waaroner het estreken hoekinterval voloene is eperkt om een interferentiepatroon te kunnen waarnemen. De vraag ie we nu willen eschouwen luit: In welk opzicht en in welke mate moet e eenvouige theorie ie voor uiging is eschouw woren gewijzig ij elichting oner een hoek? In e eenvouige theorie voor uiging aan een spleet wort aangenomen at er een vlakke golf wort aangeoen aan e spleet zoanig at e Huygens ronnen in e spleet allen een zelfe fase heen. Vanwege e einige afmetingen van zowel e lichtron als e spleet is it alleen ij enaering correct. In het volgene gaan we onerzoeken hoeveel faseverschil er ontstaat ij elichting oner verschillene hoeken. We zullen aarij het λ/ criterium hanteren (maximum faseverschil van 80 o over e spleet) als criterium voor zichtaarhei. w r r r o Fig. V. Verschillen in fase ij elichting van een spleet met einige reete oor een ron met reete w. w r0 = + ( w) ª ( + 8 ); ( w- ) r = + ( w- ) ª (+ 8 ); ( w+ ) r = + ( w+ ) ª (+ 8 ). w Ær - r ª. (V.) 9

22 B x lichtron w B x "Coherentievoorwaare": w λ ( ) B s scherm Fig. V. Schematische weergave van het effect van e einige ronhoek B op het uigingspatroon van een enkele spleet. Voer in criterium voor zichtaarhei: r - r λ. Æ coherentievoorwaare: w (V.3) λ. (V.4) Fig. V.3 Berekene intensiteitvereling: parameters λ = 600 nm, = 0. mm, = 0 cm en s = 00 cm. Breete lichtron, linker figuur 0.5 mm, rechter figuur mm, onerste figuur,.5 mm. 0

23 V... Het effect van e einige spleetreete Ook als we met een puntron werken (op e as!) wort een spleet niet estraal met een vlakke golf. Het is echter snel in te zien at aan het λ/ criterium volaan is als maar λ. 4 Afleiing: r = r = + ( ) ª ( + 8 ); Ær, - r0 ª. 8 Criterium voor zichtaarhei hier: r - r λ., 0 (V.5) λ Æ voorwaare:. 4 (V.6) (V.7) r r o r Fig. V.4 Effect van einige spleetreete op het vormen van een uigingspatroon. Fig. V.5 Berekene intensiteitvereling (punt lichtron) parameters: λ= 600 nm, = 0. mm, = cm en s = 00 cm. V... Het effect van e einige schermafstan Om voor een enkele spleet een herkenaar uigingspatroon te kunnen zien moet e uitgereihei van e geometrische schauw van e spleet op het scherm voloene klein zijn in vergelijking met e uitgereihei van het uigingspatroon. (We gaan er voor het gemak van uit at e elichting geeurt met een puntron ie in het

24 oneinige staat en op e ligt; naar e praktijk vertaal: e elichting van e spleet moet voloene coherent zijn om eze eschouwing te kunnen houen.) x lichtron w x 0 s scherm Fig. V.6 Schematische weergave van e opstelling. We kunnen it ook aners formuleren: in e afleiing van e plaats van het eerste minimum is aangenomen at het scherm zo ver weg staat at e lichtstralen vanuit e reete van e spleet vrijwel parallel naar het minimum lopen. Hiermee volgt een criterium voor e schermafstan s, n.l. λ. (V.8) λ (Vergelijk e uitgereihei van het uigingspatroon: s, s met spleetreete ). Fig. V.7 Berekene intensiteitvereling (punt lichtron): parameters: λ= 600 nm, = mm, = 0 cm en s = 0 cm. V. Duelspleet interferentie Ook ij elichting van een uele spleet moet aan het λ/ criterium woren volaan. De coherentievoorwaare neemt an e onerstaane vorm aan, w λ r - r λ, waaruit. a (V.9) In vergelijking met e enkele spleet is er nu echter wel een verschil. Bij elichting met een puntron, geplaatst op e van e uele spleet, lijft e elichting van e eie spleten t.o.v. elkaar coherent, ook als a groot wort gemaakt. Er is an wel aangenomen at e spleetreeten verwaarloosaar klein zijn.

25 N.B. Een grote spleetafstan a heeft wel consequenties aan e schermzije: Bij een te grote a (in vergelijking met e ronafstan ) kan er geen uelspleet interferentiepatroon zichtaar woren. r a w r r o Fig. V.8 Effect van einige ronafmeting ij uelspleet interferentie. V... Het effect van e einige schermafstan x lichtron w S a s scherm Fig. V.9 Zichtaar maken van uelspleet interferentie. Om uelspleet interferentie te kunnen waarnemen moet elk van e eie spleten, afzonerlijk eschouwt, een reelijke intensiteit op e as heen. Als weer e hoek waaroner het eerste minimum te vinen is an moeten we us eisen at a λ - > S 0, waaruit. < (V.0) Daarmee wort ereikt at ij voloene grote schermafstan s een minimum van het uigingspatroon aan e anere kant van e ligt. Dat etekent us at ook ij geruik van een puntron e ronafstan niet te klein mag zijn. Maar er moet us ook een eis woren gestel aan e afstan s, n.l. a λ s t a waaruit volgt. s (V.) 3

26 Fig. V.0 Links: uelspleet interferentiepatroon, rechts: afzonerlijk patroon enkele spleten. Parameters: puntlichtron λ = 600 nm; a =.0 mm, = 0. mm = 00 cm, s = 00 cm Fig. V. Links: uelspleet interferentiepatroon, rechts: afzonerlijk patroon enkele spleten. Parameters: puntlichtron λ = 600 nm; a =.0 mm, = 0. mm = 0 cm, s = 00 cm V.3 Simulaties ij meerspleten systemen (vgl Fraunhofer vs Fresnel) Fig. V. Bovenste patroon: uelspleet patroon met puntlichtron λ= 600 nm; a =.0 mm, = 0. mm; = 0000 cm, s = 0000 cm. Onerste patroon: vierspleet patroon met puntlichtron λ= 600 nm; a =.0 mm, = 0. mm; = 0000 cm, s = 0000 cm. 4

27 Fig. V. Vierspleten patronen voor: puntlichtron λ = 600 nm; a =.0 mm, = 0. mm; Bovenste patroon: = 000 cm, s = 000 cm; onerste patroon: = 0000 cm, s = 0000 cm 5