3.Logaritmische grafieken en exponentiële verbanden.

Transcriptie

1 Info Toegepaste wiskunde Inhoudsopgave 1.Rekenen met grote en kleine getallen. Onderwerpen Contexten 1.1 Machten. 1. Negatieve machten. 1. Voorvoegsels en wetenschappelijke notatie. Molrekenen. 1.4 Druk en kracht Massa, kracht en druk. 1.5 Luchtdruk. 1.6 Druk van een vloeistofkolom. Luchtdruk en vacuum. Drukmeting 1.7 Kleine en grote getallen bij gassen. Gaswet en Gasconstante, berekening van massa 1.8 Kernfysica. Massa omzetten in energie. 1.9 Kleine en grote getallen in het bloed. Hb en Ht -gehalte 1. Nanotechnologie. Grafeen..Machten, wortels en logaritmen. Onderwerpen Contexten.1 Macht en wortel. Berekeningen aan oppervlaktes.. Hogere macht en hogere machtswortel. Berekeningen aan inhoud vaveel voorkomende D- figuren, zoals kubus, balk, cilinder en bol.. Oneigenlijke machten..4 Logaritmen met grondtal..5 Logaritme en geluid. Geluidsniveau L in db als exponent van de geluidsintensiteit..6 Geluid en afstand. Kwadratenwet..7 Logaritme en chemie. ph en poh.8 Regels voor logaritmes.9 Logaritme en spectrofotometrie. E als exponent van T..Logaritmische grafieken en exponentiële verbanden. Onderwerpen Contexten.1 Exponentiële groei en afname.. Exponentiële groei en afname. Halfwaardetijd en isotoopdatering.. Exponentieel verloop radioactiviteit. Temperatuurverloop..4 Exponentieel verloop bij afkoeling. Halfwaardedikte..5 Exponentieel stralingsabsorptie. Logaritmische fase van het groeiproces..6 Exponentiële groei bij bacteriën. 1 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

2 4.Mathematiseren. Onderwerpen en contexten 4.1 Vergelijking opstellen bij verdunnen en verdampen. 4. Vergelijking opstellen bij mengen van oplossingen. 4. Vergelijking opstellen bij contractie bij mengen van vloeistoffen 4.4 Verhoudingsgetallen bij interpoleren om samenstelling te bepalen. 4.5 Vergelijking opstellen bij warmteuitwisseling. 4.6 Twee vergelijkingen met twee onbekenden en opstellen bij mengproces. 4.7 Vergelijking opstellen bij dichtheidsmetingen met opwaartse kracht. 5.Lineaire verbanden. Onderwerpen Contexten 5.1 Recht evenredig verband Betekenis hellinggetal bij praktische toepassingen. 5. Lineaire verbanden Kalibratiegrafiek fotospectrometer. Extinctie als functie van concentratie Geleidbaarheid als functie van concentratie 6.Grafieken met Excel. 6.1 Grafieken volgens functievoorschrift. 6. Grafieken van meetgegevens. info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

3 Verantwoording Toegepaste wiskunde. In het basisdeel gecijferdheid is veel aandacht besteed aan rekenvaardigheid, nauwkeurigheid van het antwoord, het omzetten en gebruiken van de juiste eenheden en het omvormen van eenvoudige formules. Integraal hiermee zijn fysische concepten als dichtheid, vochtigheid, concentratie, snelheid, toerental, volume-, massa- en warmtestroom behandeld. In dit deel wordt de rekenvaardigheid uitgebreid met machten, wortels en logaritme, het gebruik van de wetenschappelijke notatie en lineaire verbanden. Formules worden complexer door gebruik te maken van wortels, allerlei soorten exponenten en logaritmen. Gebruik van logaritmische schaalverdelingen, werken met een spreadsheetprogramma en interpoleren bij tabel en grafiek zijn belangrijke basis- vaardigheden. Grootheden als geluidsniveau (L), zuurgraad(ph) en extinctie(e) zijn wiskundig gezien exponenten. Lastige wiskundige begrippen krijgen door de vele beroepscontexten in dit boek veel meer betekenis, waardoor je een beter inzicht krijgt in de praktische toepassing. In onderwijsland spreken we van de grote T achter de kleine t. Belangrijk voor competentiegericht onderwijs. Er wordt ook een begin gemaakt met het mathematiseren, het vertalen van een fysisch proces zoals verdunnen, mengen of dichtheidsmeting in een wiskundige formule en/of vergelijking. Wiskundige formulering en fysische concepten zijn belangrijke middelen bij beschrijven van technologie. In de editie van 015 is het onderdeel lineaire verbanden toegevoegd. Lineaire verbanden zoals die veelvuldig voorkomen bij het kalibreren van meetapparatuur worden besproken aan de hand van grafieken en tabellen. Bij alle opgaven, waar geoefend wordt, is het doel helder. Het bij gecijferdheid geïntroduceerde didactisch concept met reflectievragen en maken van het eigen toolboek is ook nu weer belangrijk om kennis te construeren en vast te leggen voor later gebruik. De site is een belangrijke ondersteuning. Hier zijn hulpmiddelen te vinden zoals voorbeeldtoetsen, links naar internetsites, filmpjes, afbeeldingen voor je toolboek, pencasts, powerpointtools, exceltools en extra uitleg. Tot slot wil ik Claartje Eggermont, docent exacte vakken aan het Summacollege, bedanken voor al haar kritische en opbouwende opmerkingen. Succes! De auteurs info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

4 1. Rekenen met grote en kleine getallen. 1.1 Machten. Een macht bestaat uit een grondtal en een exponent. Blz. 9 a is het grondtal en 5 is de exponent. Een macht is een herhaalde vermenigvuldiging. Om goed te kunnen rekenen met machten en om een goede controle te hebben op de antwoorden is het belangrijk dat je de regels van machten kunt toepassen. De regels bij rekenen met machten: 1. Vermenigvuldigen met hetzelfde grondtal.. Vermenigvuldigen met verschillende grondtallen.. Delen met hetzelfde grondtal. 4. Macht van een macht. Voorbeelden: Voorbeeld 1: a b a c a b = 18 a b c Voorbeeld : = 0 = info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

5 Blz. Voorbeeld 4 a 8 a = a a Voorbeeld 4 5 a b ab 4 b a = a 4 b Voorbeeld = 6 5 = 4 5 Voorbeeld 6 4 ( a ) 5a ( a ) 1 5a a = 6 a = 5a 8 Voorbeeld 7 ( ) 5 ( ) = 6 = 40 = 4 Voorbeeld 8 ( ) a ( ) = 6 8 a 6 = 8a Opgave 1.1 Schrijf de volgende notatie zo kort mogelijk 5 ( ) a = ( ) ( b ) a b = ( ) ( a a ) c = ( ) d a + a = e a + a = f ( a ) = 5 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

6 a g ( ) = b Blz R1 Opgave e kun je niet korter schrijven omdat a en a verschillende termen zijn. Geef nog enkele voorbeelden. Geldt dat ook voor en? R Reken (-) uit op je rekenmachine. Is je antwoord -8? Wat heb je fout gedaan? R Reken op je rekenmachine uit ( 5 ) en ( 5 ). Verklaar het verschil. R4 ( a + b) a + b Waarom? Laat ook zien door voor a en b eenvoudige getallen in te vullen. WIMS Kies voor machtuitrekenen III 1. Oefenen met wetenschappelijke notatie. 1. Oefenen met vermenigvuldigen SCI-getallen. 1.4 Oefenen met delen SCI-getallen. 1.5 Oefenen met toepassen SCI-getallen. 1. Negatieve machten. a is het grondtal en - is de exponent. 1 Je kunt schrijven als a -. a - omdat er boven de deelstreep tekort zijn We kennen de negatieve exponent ook al bij de wetenschappelijke notatie. 0,0056= 5,6 6 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

7 Hier wordt de exponent van - gezien als de plaats achter de komma van het eerste cijfer (5 is het derde cijfer achter de komma) 5,6 5,6 is ook Blz. 16 Opgave 1.7 c 00 L =...hl. d 0,00 ml =...nl e, -6 kg =...μg f N= kn g g =...kg Schrijf zonder voorvoegsel en bij voorkeur in SCI-mode. a kg = g = 6 g b - mm =... m c,5 ml =...L d 1,89 μl =..L e 00 km = m f,5 ms =.s g,1 MA =.A h 700 nm =.m i,5 GJ =.J j,1 ns =.s k 40 mm = m l 6, -4 dm =.m m,1 mm =.m 1.4 R Welke notatie heeft jouw voorkeur en waarom?,1 g,,1 kg of 0 g 6,0 atomen of μg,,6-5 g of 0,00006 g Opgave 1.9 Eenheden converteren(omzetten). a,1 - m/min =,1 mm/s b 60 µm =.m c,45 nm =...m d,78-6 L/min = cm /s e 0,00 L =..nm 7 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

8 1.7 R15 Een smal en een breder bekerglas zijn tot dezelfde hoogte gevuld met water. Waarom is de druk op de bodem bij beide bekerglazen even groot? R16 Als je voor g=0 N/kg neemt dan geeft een waterhoogte van 1 cm een druk van 0 Pa. Laat zien waarom. Welke druk hoort dan bij een waterkolom van 5,7 cm? 1.7 Kleine en grote getallen bij gassen Blz. 5 Een gas bestaat uit moleculen die afhankelijk van de temperatuur met grote snelheid kriskras door elkaar bewegen. Bij lucht van 0 0 C hebben de moleculen een gemiddelde snelheid van ongeveer 40 m/s. In een afgesloten ruimte botsen ze voortdurend tegen de wanden en dat veroorzaakt een druk. Lucht is een mengsel van verschillende soorten gassen en bestaat voornamelijk uit zuurstof en stikstof. In onderstaande tabel zijn de belangrijkste gassen vermeld. In lucht zit ook altijd waterdamp, bij 0 0 C maximaal 17 g/m. 1. chemische samenstelling van normale omgevingslucht Als lucht wordt samengeperst zullen de moleculen vaker botsen en neemt de druk toe. Het gas wordt samengeperst door een groter gewicht op de zuiger te plaatsen. De zuiger en gewicht worden tegengehouden door de botsende moleculen. Rechts is de dichtheid van de moleculen groter en is het aantal botsingen per seconde groter. De druk van het gas (p) is dus hoger. Als het volume (V) zo klein wordt, wordt de druk zo groot info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

9 Blz. 6 Als de lucht wordt verwarmd zullen de moleculen sneller gaan bewegen en zullen ze vaker en harder botsen, de druk en de temperatuur nemen toe. De druk neemt evenredig toe met de absolute temperatuur. De absolute temperatuur begint bij 0 K (Kelvin), het absolute nulpunt. De temperatuur waarbij alles stilstaat. 0 K is de laagste temperatuur die er is en deze is gelijk aan -7,15 0 C. Als je lucht gaat afkoelen gaat bij C de zuurstof al condenseren in vloeistof en gaat bij C de stikstof condenseren. Een 1-atomig gas zoals Helium kun je afkoelen tot C ofwel 4 K. Voor een ideaal gas geldt: p is evenredig met T (in K). Een ideaal gas is een gas waarbij je het volume van de moleculen ten opzichte van de ruimte waarin het gas zich bevindt mag verwaarlozen Gassen zoals O, N, CO, Ar en He helium gedragen zich bij in een groot temperatuurgebied als ideale gassen. Voor zo n ideaal gas geldt de algemene gaswet: p V T = C p is de druk in N/m of Pascal (Pa). V is het volume van het gas in m. T is de temperatuur van het gas in K ( K = 0 C + 7). Nm J C is de gasconstante in of K K Deze hangt alleen af van het aantal moleculen (n). Als je een gas samendrukt wordt het volume kleiner en neemt de druk toe en p V blijft hetzelfde. Als je een gas in een afgesloten ruimte verwarmt neemt de temperatuur en de druk toe en blijft T p constant. 9 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

10 Blz. 7 Als je een gas samenperst en verwarmt krijg je een extra stijging van de pv druk en blijft constant. T Voor 1 mol van een gas (N A = 6,0 deeltjes) geldt: J Gasconstante R = 8,14 K mol Je kunt de algemene gaswet ook schrijven als: p V T = n R waarin n het aantal mol van het gas is. Voorbeeld 1: Bereken het volume van 1 mol lucht bij 0 0 C (9 K) en 1 bar. Lucht heeft bij normale omstandigheden een druk van ongeveer 1 bar. 1 bar = 5 Pa pv 8,14 9 = 1 8,14 V = = 4,4 m 5 T Voorbeeld : Bereken het aantal mol zuurstof en het aantal moleculen zuurstof in 1 mol lucht. 1 mol lucht bevat 0,94 vol% O ofwel 0,094 mol O. n = 0,094 mol O N = 0,094 6,0 = 1,6 moleculen O Voorbeeld : Voor lucht van 0 0 C en 1 bar geldt: ρ = 1,9 kg m -. De massa van 1 mol lucht is 8,8 g. (M(lucht) = 8,8 g/mol) a Bereken het aantal moleculen in 1 liter lucht. 1,9 1Llucht = 1,9g= mol 8,8 1,9 N = 6,0 =,70 moleculen 8,8 b Bereken het aantal Argon-atomen per liter lucht. 1L lucht bevat,70 moleculen Hiervan is 0,94 vol% Ar 0, L lucht bevat,70 =,54 atomenar 0 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

11 . Machten, wortels en logaritmen. Blz. 4.1 Kwadraat en wortel. = = 0 in het kwadraat of tot de macht is 0. 0 = De wortel van 0 is. Kwadrateren of tot de macht verheffen is een getal met zichzelf vermenigvuldigen. Worteltrekken is het positieve getal zoeken dat bij kwadrateren weer het getal oplevert dat onder het wortelteken staat. Kwadrateren en worteltrekken zijn omgekeerde (inverse) bewerkingen, zoals optellen en aftrekken en vermenigvuldigen en delen. Voorbeeld 1: 5 = 5 Voorbeeld : x = 5 x1 = 5 = 5of x = 5 = 5 Voorbeeld : 5 x = 5 x = x1 afgerondopdecimalen x Voorbeeld 4: a = a=9 Voorbeeld 5: 1 5 = of =,89 of a + = a+ = 9 a= 7 x x 5 = =,89 Voorbeeld 6: x = xals x> 0en xals x< 0 Dus ( ) = ( x= ) en ( ) = ( ) = ( x= ) 11 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

12 .6 R15 R16 Waaromis a hetzelfde alsa? ( a ) a a = a want = Waarom is b = b? Tot welke macht moet je x 0,1 verheffen om x te krijgen? 1 Opgave.9 Blz. 4 Oneigenlijke machten. Schrijf de volgende wortels als oneigenlijke macht. a 8 = 5 4 b a = c 4 16 = d x = e 8 = Schrijf de volgende oneigenlijke machten als een wortel. 1 4 f a = 1 g x = h 5 = Bereken a. 1 i a = 4 j a = 1 k a = 5 5 l a = 4 4 Opgave. Oneigenlijke machten en rekenregels voor machten Herleid of bereken de volgende formules of getallen. 4 a T =8,4 Bereken T b 1,5 1 c ( ) = d ( a b ) 1,5 ( b ) =... = a e 4 = 1... f (00) = b info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

13 Opgave.11 Rekenen aan warmtestraling. Een kookplaatje heeft een oppervlak van 400 cm. De constante ε = 1. a Bereken de warmtestroomdichtheid in W/m bij een temperatuur van C. b Bereken de warmtestroom in W bij een temperatuur van C. c Bereken de temperatuur van het kookplaatje bij een warmtestroom van 500 W..4 Logaritmen met grondtal. Blz. 4 a = a a a a is de macht a is het grondtal is de exponent Als a gegeven is kun je de waarde van de macht uitrekenen. Als a =,5 dan a =,5 = 15, 65 4 a = 4 a a a Is een oneigenlijke macht en tevens een hogere machtswortel. Als 4 4 a =,5dan a =,5 a 4 = 1, = a a a 4 4 Als a =,5dan a =,5 = 0, 50 a = 5 a= 5 = 5 1 = 1,71 Het grondtal kun je berekenen via een hogere machtswortel of via een oneigenlijke macht 1,71 = 5 1 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

14 a = 5 a= log(5) = 1,465 1, 465 = 5 Als je exponent moet berekenen gebruik je de bewerking logaritme nemen. a =00 = 00 a= log(00) = log(a) wordt geschreven als Blz. 44 log(a) In de praktijk komen we vaak de macht met grondtal tegen. Onderwerpen als geluid, zuurconcentratie en extinctie zijn daar voorbeelden van. Daar komen we in de toepassingen op terug. Voorbeeld 1: a = 00 a= log( log(00) = en ) =,dat kun jezozien! log(0,01) = - ofwel 0,01= - = 00 a 1,70 50= a= log(50) = 1,70 ofwel = 50 Je kunt alle positieve getallen schrijven als een macht met grondtal. Als getal < 1 dan exponent < 0 log( -6 ) = - 6 Als getal >1 dan exponent > 0 log( 6 ) = 6 Als het getal =1 dan exponent = 0 log(1) = 0 want 1 = 0 14 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

15 .5 Logaritme en geluid Blz. 46 Een reeks drukschommelingen nemen we waar als geluid..1 Bij een geluidsbron (luidspreker, stem, muziekinstrument) worden trillingen uitgevoerd die worden doorgegeven door de luchtmoleculen. Er ontstaan geluidsgolven, drukverhogingen en verlagingen worden door de luchtmoleculen doorgegeven. Dit gaat met de gemiddelde snelheid waarmee de luchtmoleculen bewegen, namelijk ongeveer 40 m/s. Als de afstand tussen twee plaatsen met hogere druk,4 meter bedraagt, zal de druk op een bepaalde plaats 0 per seconde veranderen van hoger naar lager. We spreken van een geluidstoon van 0 Hz. 5 Een drukvariatie van Pa is voor een gemiddeld menselijk oor juist waarneembaar. Men noemt dit de gehoorgrens. Dit is dus een drukvariatie op een luchtdruk van 5 Pa. Bij een drukvariatie van 0 Pa krijgen we oorpijn, we noemen dit de pijngrens. Met de drukschommelingen die op een bepaalde plaats voorbijkomen komt er ook een bepaalde hoeveelheid energie per seconde en per m voorbij. Men noemt dit de geluidsintensiteit I in W/m. 15 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

16 Blz. 47 Bij de gehoorgrens : Bij de pijngrens: I I = 1 W m 0 = =1 W Het menselijk oor is gevoelig voor een bereik van -1 tot 0 W/m. Het oor is een zeer vernuftig instrument, het heeft een logaritmische of exponentiële gevoeligheid. Een verandering van -1 naar -11 wordt even sterk waargenomen als een verandering van -11 naar -, enz. m Van gehoorgrens tot pijngrens zijn er dus 1 stappen die we als even sterke toename van het geluid waarnemen. De exponent bij het grondtal is dus bepalend voor sterkte waarmee we geluid horen, dus ook voor de geluidshinder. Vandaar dat we sterkte van het geluid aangeven met de exponent van het verhoudingsgetal t.o.v. gehoorgrens. Dit noemen we het geluidsniveau L in B (bel) of db (decibel). Geluidshinder wordt ook gemeten in db. L= log( I I ) inb of L= log( ) I = L= log( 1 I L= 4dB 4,= log( I = 4, 1 = 7,7 6 ) = log( ) = 6B= 60dB Het verhoudingsgetal is dus 6 en de exponent is 6. 1 I ) =,0 1 8 = W m In onderstaande schaalverdeling zijn geluidsdruk(p), geluidsintensitei (I) en geluidsniveau(l) uitgezet. 4, indb 16 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

17 .7 ph is de exponent (of log) van de concentratie van de H O + - ionen. Blz. 54 In water komen H O + -ionen(hydroniumionen), OH - - ionen(hydroxilionen) en H O-moleculen voor. Een hydronium-ion bestaat uit een watermolecuul en een H + -ion. Een zeer klein gedeelte van de watermoleculen (H O) is opgesplitst in ionen. Het opsplitsen van water in ionen en omgekeerd het vormen van watermoleculen uit ionen is bij een bepaalde temperatuur in evenwicht. HO HO + + OH - Neutraal water bevat -7 mol H O + -ionen per liter en -7 mol OH - - ionen per liter. Gemiddeld is 1 op de miljoen watermoleculen dus opgesplitst in ionen. Water is om die reden een zeer slechte geleider van elektrische stroom.. Als je in water een zuur oplost dan neemt de concentratie van de H O + - ionen toe die van de (OH - ) ionen af. Als je in water een base oplost neemt de concentratie van de (OH - ) ionen toe en die van de H O + -ionen af [HO ] [OH ] = Er geldt: [H O + ] = concentratie H O + in mol/l 1 mol = 6,0 deeltjes De hoeveelheid mol wordt gebruikt bij het rekenen met atomen, moleculen, ionen en andere kleine deeltjes. 1 mol waterstofatomen weegt 1,008 gram 1 mol zuurstofatomen weegt 15,999 gram 1 mol watermoleculen weegt 18,016 gram (15, ,008) In het periodiek systeem kun de molmassa van alle elementen vinden. In neutraal water, waarvan maar 1 op de miljoen moleculen is opgesplitst, zitten dus per liter ,0 = 6,0 hydronium- en hydroxil-ionen. Als je [ H O + ] schrijft als macht met grondtal dan noemt men de (- exponent) de zuurgraad ofwel de ph. 17 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

18 Voorbeeld 1 Blz. 55 [H O + ] = 7 exponent= mol exponent= 7 exponent= 7 L ph = 7 Voorbeeld + [H mol O ] = 0,0 = L ph = 1,49 1,49 want log(0,0) = 1,49 + Men schrijft ook wel : ph = log[ HO ] Of in woorden : de ph is de exponent als je de concentratie schrijft als een macht met grondtal. En natuurlijk geldt ook :[ H O + ] = ph In onderstaande figuur is de ph-waarde van enkele zuren en basen te zien. 18 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

19 .8 Regels voor logaritmen. Blz. 58 log( a b) = log( a) + log( b) p a kun je schrijven als een macht van, bijvoorbeeld q ook b kun je schrijven als een macht van, bijvoorbeeld a= b= p q a b= ofwellog( a) = p ofwellog( b) = q p q = p+ q log( a b) = log( a) + log( b) ofwellog( a b) = p+ q Voorbeeld 1 log() = 0,01 en log() = 0,477 Bereken zonder rekenmachine log(6), log(00) en log(0,0) log(6) = log() + log() = 0,778 log(00) = log() + log(0) = 0,01 + =,01 log(0,0)= log() + log(0,01) = 0,477 = -1,5 a log( ) = log( a) log( b) b Alsa= en b= q p ofwellog( a) = p ofwellog( b) = q p a p q a dan = = ofwellog( ) = q b b a log( ) = log( a) log( b) b p q Voorbeeld log() = 0,01 en log() = 0,477 Bereken zonder rekenmachine log(/), log(1,5) en log(0,0) log(/) = log() - log() = 0,01 0,477 = -0,176 log(1,5) = log() - log() = 0,477-0,01 = 0,176 log(0,0)= log(/0) = log() - log(0) = 0,477 = -1,5 19 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

20 .9 E is de exponent (of log) van de transmissie van licht. Blz. 60 In een laboratorium meet men de absorptie van licht dat door een gekleurde oplossing gaat. Daarmee kan de concentratie van de opgeloste stof bepaald worden. Als ijking wordt de absorptie gemeten van een aantal concentraties van de opgeloste stof. Als de kleur van de vloeistof blauw is kun je het best met rood licht meten (complementaire kleur). Deze methode noemt men spectrofotometrie (zie onderstaande afbeelding). Een cuvet wordt gevuld met een gekleurde vloeistof en in het apparaat geplaatst. Bij een bepaalde concentratie van de kleurstof wordt het 0,6 de deel van het licht, ofwel 60% doorgelaten. Transmissie T = 0,60 Als de concentratie van de kleurstof zo groot is wordt het 0,6 de deel van het 0,6 de doorgelaten. T( stock) = (0,6) T( c) = (0,6) c= c( stock) n T( n c) = (0,6) c= n c( stock) Als je T (stock)schrijft als een macht van, dan noemt men de ( exponent) de extinctie E ( Engels: absorbance A). 0 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

21 Blz. 61 log(0,6) = 0, T = 0,6= E = exponent = 0, als c= c( stock) T( c) = 0,6 E = 0,444 als c= n c( stock) T( n c) = 0,6 E = 0, n 0, n = ( = ( 0, 0, ) ) n = = 0,444 0, n De -exponent (extinctie E) is dus evenredig met de concentratie. Door de E van een onbekende concentratie te meten kan dan de concentratie bepaald worden Voorbeeld 1 Een blauw gekleurde oplossing geldt: Alsc= 1,00 g dan E = 0,097 L Alsc=,00 g dan E = 0,194 L Bereken het percentage licht dat in beide gevallen doorgelaten wordt. Alsc= 1,00 g L Alsc=,00 g L dan dan E = 0,097 T E = 0,194 T = = 0,097 0,194 = 0,80 = 0,64 Bij een concentratie van 1,00 g/l wordt 80% doorgelaten. Bij een concentratie van,00 g/l wordt 64% doorgelaten. Dit klopt want 80% van 80% = 0,8 0,8 = 0,64 (64%) In onderstaande figuur is nog eens te zien waarom bij een grote concentratie de transmissie hetzelfde is als bij een dubbel cuvet. 1 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

22 . Logaritmische grafieken en exponentiële verbanden..1 Logaritmisch papier en schaalverdeling. Blz. 64 Bij een log-schaalverdeling wordt niet het getal zelf maar de exponent uitgezet. Het grote voordeel is dat het bereik erg groot kan zijn. Het nadeel is dat de schaalverdeling niet lineair is en dat de afleesonnauwkeurigheid groot kan zijn. exponent van A =,7 dus A =,7 = 5000 ( max significante cijfers) exponent van B = 0,75 dus B = 0,75 = 5,6 ( max significante cijfers) exponent van C = -1,75 dus C = -1,75 = 0,018 ( max significante cijfers) Omgekeerd is het nodig dat je een getal uit kunt zetten op een log-schaal. Voorbeeld 1 Zet het getal 000 uit op de log-schaal. D= 000 log(000) =, 000=, Dus het getal D ligt op schaaldeel, aan de log-kant. info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

23 Opgave.9 Groei van je spaarrekening en berekening met logaritme. Je hebt een kapitaal van Є1780 en ontvangt per jaar een rente van 4%. Na hoeveel jaar is je kapitaal met 60% toegenomen? Blz. 7 Er geldt dan : 1,6 1780= 1780 (1,04) 1,6 = (1,04) n= 1,04 n log(1,6) = n log(1,6) log 1,04) ( ) = 1 Na 1 jaar is het kapitaal met 60% toegenomen. a Bereken het kapitaal na jaar. b Na hoeveel jaar is het kapitaal met 70% gegroeid? c Na hoeveel jaar is het kapitaal Є 000? d Na hoeveel jaar is de rente Є 00? Opgave. Groei van je spaarrekening en Excel. Met een spreadsheet programma als Excel kun je snel een formule laten uitrekenen voor verschillende waardes op de x-as en daarmee een tabel en/of grafiek maken. Het beginkapitaal is Є00,- en de jaarlijkse rente is 9 %. a Maak met Excel een grafiek waarin K is uitgezet tegen n voor een periode van 9 jaar. b Maak met Excel ook een logaritmische grafiek op enkellog papier. info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

24 .1 Exponentiële afname bij radioactief verval. Blz. 76 Atoomkernen zijn opgebouwd uit neutronen en protonen, die op hun beurt weer opgebouwd uit de elementaire kerndeeltjes. Sommige atoomkernen zijn niet stabiel en gaan spontaan over in een andere kern. Daarbij komt straling en/of een deeltje vrij. Zo n kern is radioactief. Het aantal kernen dat per seconde vervalt hangt af van de hoeveelheid kernen die er zijn. Bij 00 kernen vervallen er zoveel als bij 500. De tijd dat de helft van die 00 kernen vervallen zijn is gelijk aan de tijd dat de helft van de 500 kernen vervallen zijn. De tijd waarin de helft van de kernen vervalt noemt men de halfwaardetijd (t 1/ ). Zie onderstaande figuur. Een bolletje staat voor 1 mol atomen. Voorbeeld: op t = 0 zijn er 16 mol atoomkernen van een bepaald element op t = 0 s zijn er nog 8 mol atoomkernen over. op t = 00 s zijn er nog 4 mol kernen over. op t = 00 s zijn er nog mol kernen over. op t = 400 s is er nog 1 mol kernen over. op t = 500 s is er nog 0,5 mol kernen over. De formule voor radioactief verval: 1 N = N( 0) ( ) n N = aantal kernen dat na bepaalde tijd nog niet vervallen is in kg, mol of % N(0) = aantal kernen in het begin in kg, mol of % n is het aantal keer de halfwaardetijd Iedere keer als n 1 toeneemt is weer de helft vervallen. Als n = dan blijft de helft van de helft ofwel ¼ deel over. 1 bolletje is 1 mol atoomkernen Iedere kern heeft zijn eigen halfwaardetijd, die kan variëren van milliseconden tot biljoenen jaren.hieronder zijn enkele waardes opgenomen. 4 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

25 Blz. 77 Vertikaal is het aantal in % uitgezet tegen horizontaal het aantal maal de halfwaardetijd. Als je de halfwaardetijd kent, kun je voor ieder tijdstip de waarde van n uitrekenen en dus ook het percentage van de nog niet vervallen kernen berekenen. tijd n= N(0) = 0%; n= N = N(0) (0,5) N = N(0) (0,5) n log(0,) = N(0) = 0%; N = 0% n= t 1 Voorbeeld 1 Een bepaald radioactief element heeft een halfwaardetijd van 00 jaar. Bereken hoeveel procent er nog over is na 4500 jaar. Voorbeeld 0,5 jaar jaar tijd =, 8,0= 18,6 min n = 4,5 N( na4500 jaar) = 0% (0,5) Een radioactieve stof heeft een halfwaardetijd van 8,0 min Bereken na hoeveel tijd nog 0% over is. 0% = 0% (0,5) log(0,) log(0,5) =, n 0,= 0,5 4,5 n = 4,4% 5 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

26 4 Mathematiseren. Blz. 90 We gaan een aantal veel voorkomende praktische toepassingen vertalen in wiskundige vergelijkingen en betekenis van de uitkomst van de wiskundige vergelijking verklaren met de praktische toepassing. Ofwel we gaan een praktisch probleem mathematiseren. 4.1 Vergelijking opstellen bij verdunnen en indampen. Als je een oplossing wil verdunnen neem je 1 deel van de te verdunnen oplossing (stock) en 9 delen verdunning (meestal water). Stel: Je wil 50 ml maken van 1 g/l door een oplossing van g/l te verdunnen. Je neemt dus 1 deel g/l op een 9 delen water. Dus x ml van g/l en 9 x ml water. x = 50 x= 5mL Dus 5 ml van g/l en 9 5 ml water. Bij het verdunnen blijft de massa van de opgeloste stof hetzelfde. mg mg 5mL= 1 50mL= 50mg ml ml Algemeen: c V = c V = massa opgeloste stof info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

27 Opgave 4.8 Herleiden van formules door haakjes weg te werken. Werk de haakjes weg: Blz. 95 a 1 ( x + ) = b (,1x + 0,) = c (00x + 00y+ ) = d 4190 (50 x ) = e 1,5 00 ( p 0) = f 0,0 ( x ) 0= Opgave 4.9 Oplossen van vergelijkingen 1. Bereken de waarde van x en controleer je antwoord. 4. a 1 x = 4 b 500 =50 x c 1 ( x + ) = 4 d 0,5(x + 4) = 4 e, (0 0,1x ) = 5 x+ f = x+ 1 g x= x x+ h = x+ 1 x i = + x 4 Opgave 4. Oplossen van vergelijkingen. Bereken de waarde van de onbekende en controleer je antwoord door de berekende waarde in te vullen: a 1x + = 0,5 b,5 6 V =,5 c 6 ( x ) = x+ d d 05 =0, e 40A = 6, ,01 f ( B ) = 4 7 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

28 4. Vergelijking opstellen bij mengen van twee zoutoplossingen met verschillende concentraties. Blz. 96 Als je twee zoutoplossingen A en B mengt zal de massa van het mengsel gelijk zijn aan de som van A en B. m = m + m massabalans van alles samen mengsel A B Als er geen chemische reactie optreedt zal ook de massa van de opgeloste zouten voor en na het mengen gelijk blijven. m ( zout in mengsel) = m(zout in A) + m(zout in B) Voorbeeld 1: Je moet kg van een NaCl-oplossing maken van 1,5 g door de kg oplossingen A en B te mengen. A : c= 1,0g NaCl en B: c= 1,4g NaCl kg kg Bereken de hoeveelheden van A en B Oplossing: Stel je neemt x kg van A, dan heb je ( x) kgvan B m(nacl in mengsel) = m(naclin A) + m(naclin B) kg 1,5 g kg = xkg 1,0 g kg 1,5= x+ 14 1,4x 1,5= 14 0,4x + ( x) kg 1,4 1,5 0,4x= 1,5 x= =,75 kg 0,4 Je moet dus,75 kg van A mengen met 6,5 kg van B. g kg 8 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

29 Blz. 1 Opgave 4.15 Interpoleren bij mengsel ethanol en water 1. Je hebt met een densimeter de dichtheid bepaald van mengsel ethanol/water. De gemeten waarde is 0,95 g/cm. Bereken door interpolatie het volumepercentage alcohol. 9 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

30 4.6 Twee vergelijkingen met twee onbekende variabelen. Blz. 4 In de praktijk komt het nogal eens voor dat je twee vergelijkingen met twee onbekende krijgt. Voorbeeld 1: Voor cola en koffie moet je 11,00 betalen en voor 1 cola en 4 koffie moet je,50 betalen. Wat kost 1 koffie en 1 cola? Stel cola kost x en koffie kost y. x+ y= 11 x+ 4y =,5 x+ y= 11 x+ 8y= 1 } } 1 om ook hierx te krijgen! termen links en rechts van elkaar aftrekken 0 5y = y= = 5 y= x=,5 4y x=,5 4 =,50 Dus 1 koffie kost,00 en 1 cola kost,50 Oplossen via substitutie (invullen) Eerst x en y isoleren uit vergelijking 1 of en vervolgens invullen in de andere vergelijking: 11 x+ y= 11 y= x+ 11 y= x+ y invullen in detweedevergelijking geeft: 11 x+ 4y=,5 x+ 4( x+ ) =, ,5 44 x x+ =,5 x=,5 = 1,5 5x= 1,5 x= =, y=,5+ = + = = 0 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

31 Opdracht 4.5 Slimme manier om de dichtheid te meten. Om de dichtheid van een houtsoort bepalen door een blok in water te laten drijven. Het blok heeft de afmetingen,0,0,0 cm. Het blok steekt 19 mm boven het water uit. De dichtheid van water is 00 kg m -. Blz a b c d e f R1 Bereken het volume van het verplaatste water. Bereken de massa van het verplaatste water. Bereken de massa van het blok. Bereken het volume van het blok. Bereken de dichtheid van het hout in kg/l. Als je bij de hoogte meten boven het water een fout maakt van 1 mm, wat heeft dit dan voor invloed op het antwoord? Waarom is de massa van het blok gelijk aan de massa van het water? Als het blok voor de helft boven het water uitsteekt is de dichtheid van het hout de helft van die van water. Leg uit waarom. Hoe groot is de dichtheid van het hout als het blok blijft zweven? Leg uit waarom. Bepaal met behulp van de applet op de site van 4.1 de dichtheid van eikenhout, balsahout en ethanol. Het blok steekt x cm boven het water uit. g Bedenk een formule voor het volume van het verplaatste water met daarin de letter x. h Bedenk een formule voor de massa van het verplaatste water met daarin de letter x. i Bedenk een formule voor de dichtheid met daarin de letter x. m... g Dus: ρ = = V cm J Controleer de juistheid van de formule bij h door voor x 1,9 cm in te vullen. 1 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

32 5 Lineaire verbanden. Blz. 111 Onderzoekers veronderstellen op grond van de gevonden resultaten vaak een lineair verband tussen twee grootheden. Een voordeel is dat je daar eenvoudig mee kun rekenen. We maken hierbij een onderscheid tussen een recht evenredig en een gewoon lineair verband. 5.1 Recht evenredig verband. Als je een veer uitrekt heb je voor een twee keer zo grote uitrekking ook een twee keer zo grote kracht nodig. We zeggen dat de kracht en de uitrekking recht evenredig zijn met elkaar. x(cm) F(N) F F In de tabel rechtsboven zie je een aantal metingen. Als je die waarden uitzet in een grafiek krijg je een rechte lijn door de oorsprong, het punt (0,0). De formule hierbij is: F = k x k noemen we de evenredigheidsconstante F(N) Uitrekking van een veer 0 0,0,0 0,0 0,0 x(cm) info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

33 Opgave 5.1 Blz. 11 Recht evenredig lineair verband. a Bereken de evenredigheidsconstante k uit het voorbeeld. De evenredigheidsconstante heeft vaak ook een eenheid die iets betekent. b Bepaal de eenheid van k. (Tip: schrijf in de berekening van vraag a de eenheden achter de getallen.) c Vul in: de betekenis de eenheid is: als de veer. cm wordt uitgerekt is daarvoor een kracht nodig van.. N. d Vul k in: de formule wordt dan De evenredigheidsconstante wordt ook wel de helling of het hellingsgetal van de grafiek genoemd. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt (r.c) genoemd. In Engelse literatuur noemt men dit de slope. Het hellingsgetal geeft aan hoeveel eenheden de grafiek stijgt als je 1 eenheid naar rechts gaat (zie figuur links) 0 00 Uitrekking van een veer F(N) omhoog naar rechts Hellingsgetal in deze grafiek = ,0,0 0,0 0,0 x(cm) Een andere veer wordt uitgerekt en opgemeten, zie grafiek rechts. e Bepaal ook van deze veer het hellingsgetal k. f Is dit een stuggere veer of een slappere veer dan de eerste? Leg uit. g Wat is juist? Streep door. Een grote/kleine k betekent een sterke (stugge) veer. info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

34 Opgave 5.6 Blz. 117 Spectrofotometer. Van twee Fe + -oplossingen met verschillende concentraties wordt de extinctie E gemeten met een spectrofotometer. Bij een concentratie c van 0,0 mol/l is de extinctie 0,7 en bij een concentratie van 0,00 mol/l is hij 0,5. a Teken de E,c-grafiek waarin E op de verticale as is uitgezet. b Bereken het hellingsgetal. Blijkbaar is het hellingsgetal niet constant. c De grootheden zijn wel/niet recht evenredig. d Wat is de oorzaak hiervan? Voor een onbekende vloeistof wordt een extinctie gemeten van 0,465. e Bepaal uit de grafiek zo nauwkeurig mogelijk de concentratie van deze oplossing. f Verzin een manier om door berekening de concentratie van deze oplossing te bepalen. Opgave Lineair verband. Als de rechte lijn in een grafiek niet meer door de oorsprong gaat, is er geen evenredigheid meer en spreken we van een lineair verband. Auto met constante snelheid Een auto A rijdt met een constante snelheid van 15 m/s over een rechte weg. Op t = 0 s is hij op een afstand (symbool s) van 0 m rechts van een afgesproken nulpunt. In een plaatje ziet dat er zo uit: afgesproken nulpunt 15 m/s 0 0 s (m) In wiskundige symbolen noteren we deze situatie als: s A (0) = 0 m. A omdat het over auto A gaat en we straks ook auto B voorbij zien rijden tussen de haakjes staat het tijdstip 4 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

35 a Vul de volgende tabel verder in: Blz. 118 t (s) s A (t) (m) s A (t) (m) 0 0 s A (0) = s A (1) = s A () = s A (4) = s A (6) =. t s A (t) =. Je kunt de hele beweging van auto A dus beschrijven met: s A ( t) = 15t+ 0, men noemt dit een functienotatie. Bij een functie geef je duidelijk aan wat de onafhankelijke variabele is, in dit geval is dat de tijd t. De afhankelijke variabele hangt af van de tijd en dat is hier dus de plaats s. We schrijven ook wel: s A = 15 t +0 dit noemen we een formule. Als we de horizontale as van de tekening op de vorige pagina 90 linksom draaien, kunnen we een s,t-diagram tekenen. Dus een grafiek met s als functie van de tijd t. a Welk getal staat er bij het vraagteken? s (m) ? t (s) 5 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

36 b Maak de verticale as af. c Teken nu de grafiek van s A (t) = t. Blz. Ook hier is een hellingsgetal te vinden, nl. 15. Het getal 0 is het snijpunt met de verticale as ofwel de asafsnijding. (Engels: intercept) s A ( t) = 15t+ 0 hellingsgetal asafsnijding d Wat is de eenheid van het hellingsgetal? e Wat stelt dit dus voor? f Voor welk tijdstip t geldt: s A (t) = 68 m? g Geef het punt s A (5) in de grafiek aan. Opgave 5. Wiskundige grafiek 1. In de volgende grafiek zijn y en x zijn niet recht evenredig. wiskundige grafiek y 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0,0,0 1,0 0, ,0 -,0 -,0-4,0-5,0-6,0-7,0-8,0 x a Waar zie je dat aan? Tip: Bepaal voor enkele punten de waarde van en vergelijk deze met elkaar. y x De algemene functie voor een wiskundige rechte lijn is: y = a x+ b a is de richtingscoëfficiënt (het hellingsgetal) b is de asafsnijding 6 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken

37 Blz. 11 Δ = verschil a vinden we dan met: b Bereken de richtingscoëfficiënt. wiskundige grafiek 0, ,0 Je kunt ook bedenken: De richtingscoëfficiënt geeft aan hoeveel eenheden de grafiek stijgt als je 1 eenheid naar rechts gaat. y 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0,0,0 1,0 -,0 -,0-4,0-5,0-6,0-7,0-8,0 Δx Δy x De asafsnijding kun je hier nog simpel aflezen. Verderop leren we hoe je hem ook kunt berekenen. c Lees de asafsnijding b af. d Stel de functie y(x) op; dus vul de getallen voor a en b in. e Controleer de functie door uit te rekenen bij welke waarde van x een waarde hoort van y = 6,7. f Teken ook de grafiek van de functie y(x) = 4 x. g Bereken de x- en y-coördinaat van het snijpunt. 7 info Toegepaste wiskunde 015 Vervoort Boeken