Wiskundige toepassingen uit de wereld van de techniek

Transcriptie

1 Wiskundige toepassingen uit de wereld van de techniek 1. Waarom deze bijscholing?. Welke wiskunde hebben leerlingen nodig in de technische vakken? 3. Uit het werkhuis gegrepen a. De fietsenstalling b. Verspaningsberekeningen voor de freesmachine c. Meettechniek in de machinebouw d. CNC 1. Waarom deze bijscholing? Gerd Hautekiet In nijverheidstechnische tso-richtingen wordt er wiskunde gegeven op drie niveaus. Zo krijgt de derde graad Industriële Wetenschappen 8 uur wiskunde per week. Deze leerlingen worden voorbereid om verder te studeren na hun secundaire studies en ze zijn meestal erg gemotiveerd voor wiskunde. Theoretisch-technische richtingen zoals Elektronica, Hout- en bouwkunde, Elektromechanica krijgen in de tweede graad 5 uur wiskunde en in de derde graad nog 4 of 3 uur wiskunde per week. Deze leerlingen kunnen na hun secundaire studies ofwel verder studeren ofwel meteen aan de slag op de arbeidsmarkt. De praktisch-technische richtingen zoals Mechanische Vormgevingstechnieken, Houttechnieken, Autotechnieken krijgen in de tweede graad 3 uur wiskunde per week en in de derde graad nog slechts uur wiskunde per week. De meeste van deze leerlingen gaan onmiddellijk werken na hun secundaire studies, sommigen wagen zich aan een professionele bachelor. Het is niet altijd gemakkelijk om deze leerlingen te boeien voor wiskunde. Waarom moeten wij deze wiskunde leren?, Wat kunnen wij daar nu mee doen? zijn misschien wel de meest gestelde vragen. In de leerplannen van het vrij onderwijs voor deze groep van leerlingen staat onder andere het onderwerp mathematiseren en oplossen van problemen. De basisdoelstellingen zijn: problemen herkennen, analyseren en helder formuleren, heuristische methodes gebruiken binnen de context van het gestelde probleem en ten slotte een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terug te kijken op de oplossingsweg en de gevoerde berekeningen. En bovendien moeten de leerlingen nog vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen. Hiermee leggen de leerplannen de lat hoog voor leerlingen en leerkrachten. De pedagogisch-didactische wenken geven aan dat in de praktijk allerlei situaties aanleiding kunnen geven tot interessante probleemstellingen en dat die problemen kunnen aangereikt worden binnen andere vakken, in het bijzonder de technische vakken. Het is goed dat dit gewenst wordt, maar in de handboeken wiskunde vind je weinig of geen aangepast materiaal voor deze richtingen. Een bijkomend probleem is dat dikwijls leerlingen van verschillende richtingen samen zitten voor wiskunde. Deze leerlingen zijn vaak niet thuis in elkaars technische vakken. Denk bijvoorbeeld aan een klas waar leerlingen uit de studierichtingen Elektrotechnieken en Mechanische Vormgevingstechnieken samen zitten. Ik geef zelf wiskunde en fysica in verschillende nijverheidstechnische richtingen in de VTST te Turnhout. Voor dit project deed ik een rondvraag bij enkele collega s van de technische vakken uit de studiegebieden mechanica, hout en elektriciteit. Het was echt zinvol om met leerkrachten technische vakken te praten over wiskunde. Ik ben mijn collega s dan ook dankbaar voor het materiaal dat ik hier bijeen kan brengen. De gesprekken waren een boeiende kennismaking met allerlei termen en werkwijzen die mij onbekend waren. Ik was verbaasd te merken dat de lat op technisch gebied soms verbazend hoog gelegd wordt. Ik zag ook dat elke afdeling zijn eigen gewoontes heeft. Eenheden worden soms weggelaten omdat ze voor de betrokken vakmensen zo vanzelfsprekend zijn. En tekeningen zeggen veel meer dan woorden. 1

2 Deze gesprekken met mijn collega s waren essentieel voor dit project. Als je je wiskundelessen in de nijverheidstechnische richtingen zinvoller wil maken voor je leerlingen, kan ik je alleen maar aanraden om zelf ook contact te zoeken met leerkrachten van de technische vakken. In een tweede deel bespreek ik enkele onderwerpen en technieken die in bijna alle technische vakken aan bod komen. Ook enkele pijnpunten komen aan bod. Voor het derde deel vertrok ik van echte problemen uit de werkhuizen, ik probeerde ze te kaderen en maakte er werkteksten bij. Ik had in de eerste plaats de bedoeling bruikbaar materiaal te leveren voor leerkrachten die in nijverheidstechnische richtingen wiskunde geven. Maar ik denk dat de inhoud ook interessant is voor iedere leerkracht die echte techniek wil binnenhalen in de wiskundeles.. Welke wiskunde hebben leerlingen nodig in de technische vakken? Onderwerpen en problemen De twee openingsvragen in onze gesprekken met collega s van technische vakken waren diegene die iedereen verwacht: Welke wiskundige onderwerpen worden gebruikt in de technische vakken? en Welke wiskundige moeilijkheden ondervinden de leerlingen? Op twee punten die hierbij naar voor kwamen, omzetten van eenheden en omvormen van formules, gaan we verderop wat dieper in. De andere problemen geven we weer onder de vorm van een lijstje: De stelling van Pythagoras en het oplossen van rechthoekige driehoeken blijken zowat overal terug te komen. Er is nogal wat verwarring over de exponent 1 in bijvoorbeeld tan 1 (x) en x 1. Het is inderdaad verwarrend dat we hetzelfde symbool gebruiken om een functie om te keren en om een breuk om te keren. Het gebruik van machten van 10 en het rekenen hiermee levert problemen op bij de leerlingen. Het rekenen met machten (gekend uit de wiskundeles) wordt weinig in andere vakken gebruikt waardoor ze het inzicht niet verwerven. In niet-wiskundige situaties vallen leerlingen vaak terug op het gebruik van tabellen zoals ze dit in de lagere school geleerd hebben. Bijvoorbeeld met de tabel hieronder vinden ze dan dat 45 cm² = 0,045 m². m² dm² cm² Met hun bagage uit de wiskundeles uit het secundair zouden ze de omzetting als volgt kunnen doen: 4 45cm 45 (10 m) 4510 m. Als leerlingen deze methode kennen en begrijpen, kunnen ze die toepassen in andere situaties. Een ander probleem dat verbonden is met machten van 10, is het intypen van machten van 10 op de rekenmachine. Dat is voor leerlingen moeilijk. Ze weten vaak niet dat de toets EE op de grafische rekenmachine hetzelfde betekent als maal 10 tot de macht. Ook het gebruik van een grafische rekenmachine levert problemen op. Sommige leerlingen gebruiken een dergelijke rekenmachine, maar leerkrachten technische vakken kennen dit toestel meestal niet. Ze hebben er vaak schrik van omdat alle formules er in opgeslagen kunnen worden. Hier kun je als leerkracht wiskunde een rol spelen, bijvoorbeeld door een demonstratie te geven aan de collega s en te tonen welke meerwaarde een grafische rekenmachine kan brengen voor hun vak: meer overzicht bij berekeningen omwille van een groter scherm, gebruik van geheugens, gebruik van lijsten om veel berekeningen in één keer te doen... Omzetten van eenheden Een andere moeilijkheid is het omzetten van eenheden. We geven een voorbeeld. Hoe leer je leerlingen de omrekening maken van km/h naar m/s? Vaak wordt dat nu met een trucje gedaan. Maar leerlingen vergeten dan of het nu maal 3,6 is of gedeeld door 3,6. Het blijft belangrijk dat ze de redenering hier achter kennen: km 1000m 15 m m ,. h 3600s 3,6 s s Natuurlijk kunnen leerlingen en leerkrachten die de omzetting veel nodig hebben, wel terugvallen op het trucje. Ze weten bijvoorbeeld dat een snelheid in km/h altijd het grootste getal oplevert. Anderen onthouden een

3 referentieomzetting, bijvoorbeeld 0 m/s = 7 km/h. Leerkrachten van technische vakken zijn zelf niet noodzakelijk sterk in wiskunde, wel in hun vak. Ze kiezen eerder voor het praktische trucje en kunnen zo verdere uitleg omzeilen. Omvormen van formules Ook met het omvormen van formules blijken deze leerlingen het moeilijk te hebben. We geven eerst een voorbeeld van een eenvoudige formule. De wet van Ohm geeft het verband tussen elektrische spanning, stroom en weerstand en is de basisformule van de elektriciteit: U = R I. Hier is U de spanning in volt, R de elektrische weerstand in ohm en I de stroomsterkte in ampère. Deze formule moeten de leerlingen in alle mogelijke vormen kunnen gebruiken: niet alleen spanning in functie van weerstand en stroom, maar ook stroom in functie van spanning en weerstand, enzovoort. Leraren technische vakken en ook de leerlingen gebruiken de driehoek uit de onderstaande figuur om deze formule om te vormen (en wij hebben ze van de leerlingen overgenomen). U R I De letters zijn zo geschikt dat je alle formules uit de driehoek kunt aflezen door je vinger te leggen op de U variabele die je zoekt. Als je je vinger bijvoorbeeld op de I legt, zie je dat I. Om te onthouden of de punt R van de driehoek naar boven of onder wijst, merk je uiteraard op dat deze lijkt op een kerstboom, waarvan de verlichting een toepassing kan zijn op de wet van Ohm! Deze methode kun je ook gebruiken voor formules die dezelfde wiskundige structuur hebben, bijvoorbeeld: P U I met P het vermogen, U de elektrische spanning en I de stroomsterkte; E Pt met ΔE het energieverbruik, P het elektrisch vermogen en Δt de tijdsduur; Q I t met Q de elektrische lading, I de stroomsterkte en Δt de tijdsduur. P ΔE Q U I P Δt I Δt De formules waar de leerlingen mee werken, zijn echter niet altijd zo eenvoudig als die hierboven. Soms gaat het om behoorlijk ingewikkelde formules met veel symbolen. Daarmee moet de waarde van één of andere grootheid berekend worden of moet er over de grootte van de uitdrukkingen nagedacht worden (positief of negatief, groter of kleiner dan 1 ). Dikwijls moet de formule ook nog omgevormd worden. Dit gebeurt door de verschillende (vak)leerkrachten niet altijd op dezelfde manier. Elke leerkracht moet zich hiervan bewust zijn. Als wiskundeleerkracht weet je niet altijd waar deze formules voor dienen, maar bij formules met x en y weet je dat ook niet en heb je daar meestal geen probleem mee. Als leerlingen de formule wel kennen, is het ook leuk dat ze die aan jou kunnen uitleggen. We geven twee voorbeelden: 3

4 Om de grootte van de kracht F tussen twee magneten te berekenen, kun je de volgende formule gebruiken: m1m F. Haal hier r uit, de onderlinge afstand tussen de twee magneten. Hoe doe jij dat? Hoe leg jij 41 r dit uit? ns nr De slip van een asynchrone motor wordt gegeven door de volgende formule: s, met n s het ns toerental van de stator, n r het toerental van de rotor, ns nr het toerentalverschil of het verlies. Als n s = 1500 toeren per min en s 0, 0 bereken dan n r. Uit deze formule volgt dat s altijd kleiner is dan 1. Waarom? 3. Uit het werkhuis gegrepen a. De fietsenstalling Een technische school krijgt regelmatig een vraag of ze dit of dat niet kan maken. Dit kan gaan over een metalen container, een gelaste dakconstructie voor een oranjerie, een werktafel voor een kleuterklas, een reuzenkop voor de actie Koffiestop van Broederlijk Delen... In het beste geval heeft de betrokkene een foto of een ontwerptekening bij van het voorwerp. Eerst moet dan een nauwkeurige technische tekening gemaakt worden, het materiaal moet gekozen worden, er moet uitgerekend worden hoeveel materiaal er nodig is, hoeveel de productie kost... Fietsenstalling De lasafdeling krijgt een bestelling voor 10 fietsenstallingen. Er moet heel wat gerekend en beslist worden om een prijsofferte te kunnen maken en om het materiaal te kunnen bestellen. We bekijken hier alleen de achterwand gemaakt van polycarbonaatplaten. Eigenschappen voor Polycarbonaat Soortelijk gewicht Maximale gebruikstemperatuur 100 kg/m³ 13 C Lineaire uitzettingscoëfficiënt K Hardheid M70 Brandgedrag B Polycarbonaat is een uiterst sterke kunststof, die gebruikt wordt als slagsterkte een vereiste is of als vandalisme een risico inhoudt. Polycarbonaat is bestand tegen hogere temperaturen. Het is plooibaar met een plooibank. Als je de foto goed bekijkt, zie je dat de platen niet helemaal tegen de grond komen. Op de volgende figuur zie je een voorbereidende schets. De eigenschappen van polycarbonaat zijn in een tabel samengevat. 4

5 5

6 1. Welke eenheid wordt gebruikt op de tekening? (mm). Hoe breed is de fietsenstalling? (4780 mm = 4,780 m) 3. Wat stelt het getal 1751 voor? (Het is de straal van de cirkelboog) Om te weten hoeveel materiaal we nodig hebben voor één fietsenstalling, moeten we de hoogte van een niet gebogen plaat berekenen. De formule kan opgezocht worden in een technisch hulpboekje. 4. Welke formule kan je gebruiken om deze hoogte te bepalen? de formule voor de booglengte van een cirkelboog : l 5. Zoek de nodige gegevens op de tekening. ( d 1751mm 350mm en 93 ) 6. Bereken de hoogte van de plaat. l b 350 mm mm 360 b d 360 De standaardmaat van een polycarbonaatplaat is De afmeting 050 is niet breed genoeg voor een fietsenstalling maar de platen kunnen tegen elkaar geplaatst worden met behulp van profielen. Ze moeten op maat gezaagd worden. 7. Hoeveel stukken heb je nodig voor één fietsenstalling? Geef de exacte zaagmaten. (3 stukken: ( keer) en (1 keer)) 8. Hoeveel volledige platen heb je nodig voor 10 fietsenstallingen als je zo weinig mogelijk afval wil? De platen zijn behoorlijk duur! (Er gaan drie smalle stroken uit één plaat. Voor 10 smalle stroken heb je dus 4 platen nodig. Het antwoord is dus 4.) 9. Hoeveel m² afval heb je? (14,1 m²) 10. Hoeveel kg afval is dit als je weet dat de platen 4 mm dik zijn? (Het volume vind je door de oppervlakte te vermenigvuldigen met de dikte van de platen: 0,056 m³; de massa bedraagt 67,78 kg want de massadichtheid is 100 kg/m³.) De prijs van de platen zonder btw is 38,88 /m² voor kleurloze en 4,77 /m² voor opale platen. 11. Wat is de kostprijs van een plaat (kleurloos en opaal)? ( 43,10 voor de kleurloze en 67,4 voor de opale platen.) De school krijgt 30% korting op standaardmaten. 1. Wat is de prijs voor alle platen na korting zonder en met 1% btw? ( 4084,08 en 4941,73 voor de kleurloze en 449,66 en; 5436,11 voor opale platen. Het is belangrijk stap voor stap te rekenen: eerst min 30% voor de korting, daarna plus 1% voor de BTW. Het is niet correct om meteen min 9% te berekenen!) Aan de zijkanten komt er een andere soort platen. En er moet nog gelast worden. Ook daarbij zijn interessante wiskundige vragen te stellen en berekeningen uit te voeren. 6

7 b. Verspaningsberekeningen voor de freesmachine Verspanen is de term voor een aantal vormgevingstechnieken waarbij door middel van een beitel materiaal wordt verwijderd totdat de gewenste vorm of dikte is ontstaan. Na deze bewerking is de vorm van het object uiterlijk veranderd en is de oorspronkelijke massa minder geworden. Het snijgereedschap voert tegelijkertijd een draaibeweging en een toevoerbeweging uit. Tijdens de bewerking wordt het materiaal verwijderd waarbij dan de spanen of krullen ontstaan. Voorbeelden van verspanende bewerkingen zijn boren, vijlen, frezen, tappen en draaien. Verspanen kan plaatsvinden op metaal, hout en kunststof. Maar ook het schaven van een plak kaas en het schillen van een aardappel kan je als verspanen bekijken! Bij het machinaal verspanen wordt het werkstuk rechtlijnig langs het roterende werktuig bewogen en worden kommavormige spaandeeltjes gevormd. Een frees-tand, d.w.z. een tand van een beitelas van een freesmachine, volgt een cycloïdale curve. Het loont beslist de moeite om zo n machine van dichtbij te gaan bekijken! Verspaningsberekeningen De figuren hieronder tonen de beitelas van een freesmachine. n fz vc vf In de figuren worden volgende symbolen gebruikt: sz is de (golf)slaglengte in mm; vf is de aanvoer- of voedingssnelheid in m/min; deze geeft aan hoe snel je het hout door de machine stuurt; vc is de snijsnelheid in m/s; n geeft het aantal omwentelingen van de freesas per minuut; z is het aantal messen op één as; hm is de gemiddelde dikte van de kommaspaan in mm; 7

8 a is de freesdiepte in mm; d is de freesdiameter in mm; e is de golfslagdiepte in µm. De oppervlaktekwaliteit van het werkstuk wordt bepaald door de slaglengte sz, de golfslagdiepte e en de gemiddelde spaandikte hm. We bekijken eerst hoe verschillende factoren de slaglengte kunnen beïnvloeden, daarna doen we enkele verspaningsberekeningen en ten slotte zoeken we de meest geschikte en veilige snijsnelheden. Volgende formules worden gegeven: vf 1000 sz n z hm sz a d sz 1000 e 4 d De golfslaglengte sz ontstaat als volgt: het werkstuk wordt langzaam en rechtlijnig aangevoerd met een constante aanvoersnelheid vf. Tegelijkertijd draait het werktuig met z tanden met een bepaald aantal toeren n per minuut. 1. Bekijk eerst de formule voor de slaglengte. In welke eenheid staat de slaglengte? (In mm). Vanwaar komt de factor 1000 in de formule? (m omzetten in mm. De omzetting in eenheden wordt dus opgenomen in de formules!) 3. Als je de aanvoersnelheid vf met een factor verhoogt, wat gebeurt er dan met de slaglengte? (Deze wordt ook keer zo groot.) 4. Welk wiskundig verband bestaat er dan tussen de slaglengte en de aanvoersnelheid? (Een rechtevenredig verband) 5. Als je het toerental halveert, wat gebeurt er dan met de slaglengte? (De slaglengte verdubbelt.) 6. Welk wiskundig verband bestaat er tussen de slaglengte en het toerental? (Een omgekeerd evenredig verband) 7. Bij vermindering van het aantal tanden (z) wordt de slaglengte dan groter of kleiner? (Groter) 8. Welk verband bestaat er tussen het aantal tanden en de slaglengte? (Een omgekeerd evenredig verband) Verspaningsberekeningen zijn vooral belangrijk voor de aankoop van machines. De aankoop hangt af van de hardheid van het hout dat bewerkt moet worden en de frezen die gebruikt worden. Het hout mag niet verbranden, de spaanafname (afvoer van het afval) moet vlot verlopen en de slaglengte moet zo klein mogelijk zijn. Stel a = 30 mm, d = 10 mm, n = 4000 toeren/min, vf = 48 m/min en z = Bereken de waarde voor sz, hm en e ( sz mm, hm 1mm en e 8, 33µm ) Voor fijn freeswerk moet de slaglengte sz liggen tussen 0,3 mm en 0,8 mm, voor ruw freeswerk mag dit,5 mm tot 5 mm zijn. 10. Als je het freeswerk wil verfijnen, hoe moet je dan de aanvoersnelheid, het aantal messen en het toerental veranderen? (Aanvoersnelheid verlagen, aantal messen en toerental verhogen.) Bij ruw freeswerk is de gemiddelde dikte van de kommaspaan tussen 0,15 mm en 0,40 mm, bij fijn freeswerk is dit tussen 0,015 mm tot 0,04 mm. 11. Hoe moeten a en d veranderen om dit freeswerk te verfijnen als sz hetzelfde blijft? (Freesdiepte verminderen en diameter van frees vergroten) 8

9 De snijsnelheid vc is de snelheid waarmee de messen over het hout gaan. Ze hangt af van het toerental en de freesdiameter. We zoeken het juiste verband tussen deze drie grootheden. Stel dat vc = 60 m/s en de diameter d = 10 mm. Bereken dan het maximale toerental. 1. Bereken eerst de afgelegde weg per omwenteling. ( π d π 10 mm 0, 377 m ) 13. Bereken dan de afgelegde weg per minuut. m ( 60 60s 3600m ) s 14. Bereken nu n max. ( 3600 toeren toeren 9554 ) 0,377 min min Stel dat het toerental 6000 omw/min is en de freesdiameter 140 mm is. 15. Bereken de snijsnelheid. (De afgelegde weg per omwenteling is π 140 mm 0, 4398 m. De afgelegde weg per min na 6000 omwentelingen is ,4398 m = 638,9 m. De snijsnelheid van de messen is 638,9 m m 43,98.) 60 s s 16. Stel een algemene formule op voor de snijsnelheid. π d n ( vc ) Stel dat het maximale toerental 7000 omw/min is en de snijsnelheid 90 m/s. 17. Bereken de diameter van de frees vc (De diameter is 45,5 mm.we vinden dit door omvormen van formules: d.) n De aanbevolen snijsnelheid hangt af van de hardheid van het hout en het aantal messen. Dit kun je aflezen in tabellen en grafieken. De snijsnelheden bij freesgereedschappen mogen niet lager zijn dan 30 m/s en niet hoger dan 100 m/s. Bij een snijsnelheid lager dan 30 m/s is er meer kans op terugslag en dat is niet veilig bij handinvoer. Bij hoge snijsnelheden worden de beitels te warm en kan het hout verbranden. De diameter is 0 mm en het toerenaantal kan variëren tussen 6000 en 8000 toeren/min. 18. Bereken de snijsnelheden. π06000 m ( 69 en s 19. Zijn ze veilig? π08000 m 9 ) s (Ja, want het resultaat ligt tussen 30 en 100 m s.) 9

10 0. Hieronder vind je een grafiek waarin je de aanbevolen snijsnelheden kan aflezen. Vind je je antwoorden op vraag 18 terug? Duid ze aan op de grafiek. 1. De diameter van het snijgereedschap is 140 mm en de snijsnelheid vc = 45 m/s. Lees in de grafiek het maximale toerental af. Bereken ook de correcte waarde.(het maximale toerental ligt in de buurt van 6100 t/min. De correcte waarde is 6138, 8 t/min. We berekenen deze waarde weer door vc omvorming van formules: n.) d 10

11 c. Meettechniek in de machinebouw In de machinebouw moeten afstanden en hoeken zeer nauwkeurig afgemeten en ingesteld kunnen worden. Zo wordt voor lengtes gestreefd naar een nauwkeurigheid van 0,1 of zelfs 0,01 mm en voor hoeken kan die tot 1 gaan. De eerste twee werkteksten hieronder behandelen twee technieken om hoeken te meten. In de laatste werktekst worden lengten gemeten. De sinusliniaal De sinusliniaal De sinusliniaal is één van de verschillende instrumenten die men in de machinebouw gebruikt om hoeken in te stellen of op te meten. Indien je de werking van een sinusliniaal niet kent, raden we aan een kijkje te nemen op [3]. Je vindt er de presentatie waarop de afbeeldingen hieronder gebaseerd zijn. De sinusliniaal bestaat uit twee cilinders waarvan de diameters d nauwkeurig gelijk zijn. (Wanneer we in wat volgt gelijk gebruiken, bedoelen we altijd gelijk binnen de vooropgestelde nauwkeurigheid, die meestal heel groot is. Ook afstand, hoek en evenwijdigheid dienen begrepen te worden in die zin.) Deze cilinders zijn zó aan een dwarsstuk bevestigd, dat de afstand tussen hun assen gelijk is aan een gekende lengte L van bijvoorbeeld 100 mm. Boven- en ondervlak van het dwarsstuk zijn evenwijdig. Voor het instellen of meten van een bepaalde hoek wordt de sinusliniaal met de ene cilinder op de vlakplaat of op de machinetafel geplaatst en onder de andere cilinder plaatst men een reeks eindmaten : dit zijn metalen plaatjes met een precies gekende dikte, nauwkeurig tot 0,001 mm (bij kamertemperatuur). De volgende foto toont een set eindmaten in een beschermend koffertje. L // // De foto hieronder illustreert het gebruik van een sinusliniaal. Schematisch kan deze schikking worden voorgesteld zoals op de onderstaande afbeelding. 11

12 L H 1. Waarom kun je stellen dat de hoek tussen de vlakplaat en het bovenvlak van de sinusliniaal overeenkomt met de hoek op de afbeelding? (Boven- en onderkant van de liniaal zijn evenwijdig en beide cilinders hebben bovendien dezelfde diameter.). Wat is het verband tussen de hoek, de hoogte H van de eindmaten en de afstand L tussen de contactpunten? (Aangezien de hoogte loodrecht op het werkvlak wordt gemeten, is de getekende driehoek H rechthoekig. Bijgevolg geldt: sin. Het is dit verband dat de naam sinusliniaal verklaart.) L 3. Stel dat je een werkstuk onder een hoek van 5 moet plaatsen vooraleer je het kunt frezen of slijpen. Je beschikt over een sinusliniaal met afstand L tussen de steunpunten gelijk aan 00 mm. Welke hoogte moet je dan met behulp van de eindmaten samenstellen om deze hoek te realiseren? Geef je antwoord tot op 0,01 mm nauwkeurig. ( H Lsin 00 mm sin 5 84,5 mm ) Stel nu dat je de hoek wil meten tussen twee vlakken van een werkstuk. Dan moet je de hoogte H met behulp van eindmaten zó aanpassen dat het ene vlak van het stuk op de sinusliniaal ligt en het andere precies evenwijdig is met het werkvlak. (Dit laatste moet met een meetklok gecontroleerd worden.) // L H De hoek tussen de vlakken van het werkstuk is gelijk aan die tussen het sinusliniaal en het werkvlak (verwisselende binnenhoeken, zij het verschoven). 4. Het bovenvlak van het werkstuk is evenwijdig met de vlakplaat wanneer met eindmaten een hoogte H = 57,37 mm is gevormd. Wat is de hoek tussen beide vlakken? 57,37 mm ( sin 16 40'10" ) 00 mm 1

13 Meetrollen Meetrollen zijn cilinders waarvan de diameter nauwkeurig bekend is. Om hiermee afstanden en hoeken te bepalen, wordt er altijd gebruik gemaakt van eigenschappen van driehoeken. Een eerste werktekst toont hoe twee meetrollen gebruikt kunnen worden om een inwendige hoek nauwkeurig te bepalen. Hierbij is de gebruikte wiskunde beperkt. De tweede werktekst is wiskundig iets moeilijker en toont hoe je een niet rechtstreeks op te meten afstand kunt berekenen. Hoeken meten met meetrollen Het meten van de hoek tussen platte vlakken kan onder andere gebeuren met meetrollen. Gebruik twee meetrollen met dezelfde (binnen de vooropgestelde nauwkeurigheid) gekende diameter d. Leg ze langs één zijde, boven elkaar, tegen één vlak van de tweevlakshoek. De maten H en h kunnen nu opgemeten worden, bijvoorbeeld door middel van een schuifmaat. 1 B C P H h 1 H A h 1. Verklaar waarom de gezochte hoek 1 gelijk is aan de hoek BAC in de rechthoekige driehoek ABC. (De hoek 1 is de hoek tussen het linkervlak van de tweevlakshoek en de getekende verticale. Doordat de diameters van beide cilinders gelijk zijn, zijn ook de stralen gelijk, zodat AB evenwijdig is met het linkervlak van de tweevlakshoek. De zijde AC is bovendien ook verticaal, zodat de hoek tussen deze zijden ook 1 is.). Verklaar waarom AC H h. (De lengte H h bestaat uit de straal van de bovenste cilinder plus de afstand CP. De afstand AC is de straal van de onderste cilinder plus de afstand CP. Aangezien beide cilinders dezelfde straal hebben, is AC gelijk aan H h.) 3. Waaraan is AB gelijk? ( AB = d ) 4. Stel d = 40,00 mm, H = 13,6 mm en h = 94,75 mm. Gebruik deze afmetingen om in driehoek ABC de hoek 1 te berekenen, tot op de seconde nauwkeurig. AC H h cos 0, Hieruit volgt dat '7".) AB d ( 1 5. Om de hoek te meten, moet je de bovenste cilinder tegen de rechterwand van de tweevlakshoek leggen. De hoogte H is nu 19,38 mm. Bereken hieruit 1 +. H h (Dezelfde formule cos blijft geldig. Bijgevolg is 30 01'54". Voor 1 + vinden d we 74 34'1''.) 13

14 Afstanden berekenen met meetrollen Zwaluwstaartpassingen worden niet alleen in houten constructies gebruikt, maar ook voor het aaneenzetten van metalen onderdelen. Correcte afmetingen zijn daarbij essentieel. We beperken ons in wat volgt tot de uitwendige zwaluwstaart. De te kennen afmetingen zijn de breedtes a en b. De gegevens zijn de hoogte h en de hoek. b h a In realiteit hebben zwaluwstaarten niet de scherpe randen uit de bovenstaande figuur: de inwendige hoeken kunnen gewoonweg niet zo scherp gemaakt worden en de uitwendige worden bewust afgerond omdat ze gevaarlijk zijn en vaak spontaan afbreken of bramen vertonen. Vandaar dat a en b niet rechtstreeks te meten zijn. Er zijn in de machinebouw verschillende technieken ontwikkeld om a en b te berekenen, wanneer h en gekend zijn. Meetrollen zijn één van de mogelijkheden. Twee meetrollen met nauwkeurig gekende diameter d worden in de hoeken van de zwaluwstaart geplaatst en de afstand X wordt precies opgemeten. X b C E h T d Indien de zwaluwstaart perfect symmetrisch is, geldt dat: 1. Aan welke gekende afmeting is DA gelijk? ( DA d ) D A B a P Q R S a X DA AB.. De figuur geeft aan dat BC de hoek ˆ ABE in twee verdeelt en dus een bissectrice is van die hoek. Welke meetkundige eigenschappen laat ons toe tot dit besluit te komen? (De verzameling van punten even ver van twee snijdende rechten p en q bestaat uit de twee rechten r en s die de hoeken, gevormd door p en q, in twee gelijke delen verdelen. Aangezien B en C op dezelfde afstand van AB en BE liggen (0 resp. d ), is BC zo n bissectrice.) 14

15 3. In de driehoek ABC zijn de zijde om AB te berekenen. AC d en de hoek ABC ˆ d AC AC 1 ( tan d AB ) AB tan tan tan gekend. Gebruik deze gegevens 4. Leid uit de antwoorden op de vorige vragen een formule af voor a waarin enkel de gekende afmetingen X, d en voorkomen. d d 1 1 ( a X X d 1 ) tan tan Nu a gekend is, kan hieruit vervolgens b berekend worden. Op de figuur zie je immers dat b a PQ. 5. Met behulp van de formules voor rechthoekige driehoeken is het mogelijk om een formule voor PQ te vinden, die enkel gebruik maakt van de gekende afmetingen X, h, en a. Stel die formule op. QT QT h (In driehoek PQT geldt: tan PQ PQ tan tan.) 6. Gebruik je antwoorden op vragen 4 en 5 om de volgende formule aan te tonen: 1 h b X d 1. tan tan h 1 h ( b a PQ a X d 1 tan ) tan tan d. CNC CNC is de afkorting van Computer Numerical Control. CNC-machines zijn machines om materialen te bewerken waarbij alles vrijwel automatisch gestuurd wordt. Zo kunnen heel snel en nauwkeurig stukken gemaakt worden in metaal of hout. Dit gebeurt op basis van een programma dat meestal wordt gegenereerd in een Computer-aided manufacturing of CAM-systeem. Alle nodige afmetingen zijn terug te vinden op een technische tekening. Ook hier is het voor ons wiskundigen even wennen aan de manier waarop de afmetingen en hoeken aangeduid worden, namelijk zoveel mogelijk buiten de tekening omdat deze anders onduidelijk wordt. De notatie van coördinaten in het programma gebeurt ook anders dan we in wiskunde gewoon zijn. Bijvoorbeeld P10X130Y45 zouden wij in wiskunde aanduiden als P 10 (130,45). 15

16 CNC en pralines Onderstaand werkstuk is een onderdeel van een machine om pralines te maken. Een werkstuk op een CNC-freesmachine moet altijd eerst geprogrammeerd worden. Daarvoor moeten de nodige coördinaten bepaald worden. Alle coördinaten worden gegeven ten opzichte van een werkstuknulpunt O, het snijpunt van de x-as en de y-as. 16

17 De coördinaten van sommige punten zijn gemakkelijk te bepalen. 1. Bepaal de coördinaten van P4 en P6. (P4: X = 130, Y = 45 en P6: X = 97, Y = 48). Bepaal de coördinaten van P1 en P8. (P1: X = 0, Y= 3 en P8: X = 35, Y = 3) Andere punten vragen wat meer berekening. 3. Welke hoek maakt OP met de y-as? (15, OP staat immers loodrecht op de raaklijn aan de cirkelboog) 4. Bepaal nu de coördinaatgetallen van P. ( X 3 sin(15 ) 8, 8 en Y 3cos(15 ) 30,91 ) Om de coördinaatgetallen van P3 te bepalen kun je best een rechthoekige driehoek construeren met PP3 als schuine zijde. 5. Hoe groot is de scherpe hoek? Hoe groot is de opstaande rechthoekszijde? (15 en 45 30,91 14,09 ) 6. Bepaal nu de andere rechthoekszijde. 14,09 ( 5, 58) tan( 15) 7. Wat zijn nu de coördinaten van P3? (X = 5,58 8,8 = 44,30 en Y = 45) 8. Bepaal de coördinaten van de overige punten. (P5: X = 130 en Y =,77 en bij P7: X = 61,53 en Y = 48) Bibliografie [1] [] hout/leermiddelen/inhoud/dictaten/ Technologie/Factoren bij het verspanen van hout.pdf [3] [4] De Clippeleer, W, Tabellenboek voor metaaltechniek, Wolters Plantyn [5] De Smet, A, Deel 1: Meettechniek in de machinebouw, eigen beheer [6 ] G. Hautekiet, P. Tytgat, Uitwiskeling 6/3 (010),