LICHTGEWICHT CONSTRUEREN Ontwerpen met koolstofvezel composieten

Transcriptie

1 Fontys Hogeschool Engineering Kenniscentrum Mechatronica LICHTGEWICHT CONSTRUEREN Ontwerpen met koolstofvezel composieten Door: Bart Bastings Fontys Hogeschool Engineering Rachusmolen AH Eindhoven 12 mei 2012

2 Samenvatting Dit onderzoek heeft als opdracht het vergroten van de kennis op het gebied van construeren met koolstofvezel composieten. Om deze opdracht te vervullen is een literatuurstudie gedaan waaruit een set rekenregels is opgesteld waarmee de elastische eigenschappen van koolstofvezel composieten zijn te berekenen. Deze rekenregels zijn in een Matlab programma gegoten zodat ze makkelijk toepasbaar zijn voor ontwerpers en tijdens een vervolgonderzoek. Ook biedt het programma de mogelijkheid om inzicht in het gedrag van koolstofvezel composieten te verkrijgen middels de figuren die ermee te maken zijn. Het programma is gevalideerd en vergeleken met gelijksoortige programma s. Omdat koolstofvezel composieten anisotroop gedrag vertonen dat niet voorkomt bij conventionele materialen, is er uitgebreid aandacht aan dit gedrag geschonken. Met behulp van het laminaat programma zijn eigenschappen van laminaten in beeld gebracht en wordt het eigenaardige gedrag inzichtelijk. Samen met aanbevelingen voor laminaatopbouw uit de literatuur dient deze studie als ontwerprichtlijn voor het werken met koolstofvezel composieten. Onder de machinebouwers leeft de gedachte om koolstofvezel composieten in te zetten vanwege de verwachtte gunstige dempende eigenschappen. Er is een experiment opgezet om deze dempende eigenschappen te onderzoeken. Het experiment toont niet aan dat koolstofvezel composieten in hun normale vorm een betere demping bezitten dan traditionele materialen. Er is echter wel hoop op verbetering wanneer viskeuze tussenlagen in de laminaten worden gebruikt. Ook is de opgebouwde meetopstelling bruikbaar voor een vervolgonderzoek naar de dempende kwaliteiten van koolstofvezel composieten. Er is onderzocht of het eindige elementen programma COMSOL Multiphysics bruikbaar is voor het uitvoeren van numerieke analyses op koolstofvezel composieten. De conclusie is dat het programma slechts beperkt bruikbaar is wegens een gebrek aan een specifieke laminaten of composiet module.

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding Aanleiding en Achtergrond Probleemstelling Opdracht en Doelstellingen Werkwijze Opbouw Verslag Koolstofvezel Composieten Eigenschappen Samenstelling Fabricagemethoden Handlamineren Autoclaaf Pultrusie Vacuümzak Vacuüminjectie Prepreg Theorie Elasticiteit van Koolstofvezel Composieten Technische Constanten van een Lamel Stijfheidsmatrix van een Lamel Transformatie Stijfheidsmatrix Positie en Diktes Lamellen Laminaatstijfheden Laminaat Complianties Technische Constanten van een Laminaat Aanbevelingen voor Laminaatopbouw Anisotropie van Koolstofvezel Composieten 21 I

4 4.1 Anisotroop Gedrag Lamel: Transversale Isotropie Laminaat: Orthotropie Materiaaleigenschappen van Laminaten Unidirectioneel Laminaat Multidirectionele Laminaten Quasi-Isotroop Gedrag Koppeleffecten Afschuif Koppeling Koppelmatrix B Tailor Made Symbolenlijst 37 Appendices 39 A Rekken en Krommingen 40 A.1 Rekken A.1.1 Cirkel van Mohr A.2 Krommingen B Laminaat Programma 45 B.1 Materiaal.m B.1.1 Tclaml.m B.1.2 Qmat.m B.2 Lamopbouw.m B.3 Laminaat.m B.3.1 Diktes.m B.3.2 Tmat.m B.3.3 Compliantie.m B.4 Tcplot.m B.5 Verplaatsingen.m B.6 Demping.m B.7 Validatie Laminaat Programma B.7.1 Validatie Technische Constanten Lamel B.7.2 Validatie Stijfheidsmatrices B.7.3 Validatie Technische Constanten Laminaat B.7.4 Conclusie Validatie B.8 Vergelijk met Andere Programma s B.8.1 Vergelijk met Efunda B.8.2 Vergelijk met Lamisens B.8.3 Conclusie Vergelijk Bibliografie 76 II

5 HOOFDSTUK 1 Inleiding 1.1 Aanleiding en Achtergrond Vanaf begin 2009 zal het eerste vliegtuig met een volledig koolstof composiet romp, de Boeing 787, toeristen over de hele wereld vervoeren. In 2007 werd, zoals al een aantal jaar op rij, de Tour De France gewonnen op een koolstofvezel fiets. Begin 2008 werd Oscar Pistorius, een mindervalide sprinter, uitgesloten van deelname aan atletiekwedstrijden van het IAAF, omdat zijn koolstofvezel beenprotheses hem een voordeel zouden verschaffen boven valide sprinters. Ook in de Formule 1 is het al jaren geen vreemd gezicht meer dat alle deelnemers starten in een koolstofvezel monocoque racewagen. Zelfs een traditioneel ingestelde wereld als die van de musici, prijst de zuiverheid en klank van koolstofvezel cello s en violen (Luis and Clark, 2008). In de vliegtuigindustrie, de geneeskunde en de sport zijn koolstofvezel composieten niet meer weg te denken, en volledig geaccepteerd als hoogwaardig materiaal. In de machinebouw zijn het echter nog altijd staal en aluminium die de scepter zwaaien. De constructeurs blijven denken, ontwerpen en construeren in het vertrouwde staal en aluminium. Dit terwijl eerdergenoemde voorbeelden aantonen dat koolstofvezel composieten de traditionele materialen verslaan als het uiterste van een constructie gevraagd wordt. Om concurrentie het hoofd te bieden moeten machinebouwers voortdurend innoveren door snellere, lichtere en nauwkeurigere machines te ontwerpen. Lichtgewicht materialen zoals koolstofvezel composieten hebben de belofte om deze trend waar te maken. Hierdoor groeit langzaamaan de belangstelling voor koolstofvezel als constructiemateriaal, maar blijkt ook dat de kennis om deze composieten toe te passen niet breed aanwezig is bij machinebouwers. Het Kenniscentrum Mechatronica wil daarom, in samenwerking met een aantal partners uit het MKB en de machinebouw, kennis over het construeren met koolstofvezel composieten vergaren en toepasbaar maken. Het streven is koolstofvezel composieten in de machinebouw net zo geaccepteerd te maken als dat nu het geval in de geneeskunde, vliegtuigindustrie en sport is. 1

6 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Probleemstelling Ontwerpen en construeren in composieten is nog te nieuw en onzeker voor machinebouwers. Het ontbreekt de huidige generatie ontwerpers en constructeurs aan de benodigde specifieke kennis, ontwerprichtlijnen, rekenregels en ervaring. Voor bouwen met koolstofvezel geldt nu nog het spreekwoord: onbekend maakt onbemind. 1.3 Opdracht en Doelstellingen Voor de machinebouw is het van belang dat er kennis met betrekking tot het ontwerpen en construeren in koolstofvezels wordt opgebouwd. Ook zullen er ontwerprichtlijnen en rekenregels moeten worden opgesteld. Deze kennis, richtlijnen en regels dienen in een praktisch toepasbare vorm voor de machinebouw beschikbaar te komen. De opdracht kan worden geformuleerd als het genereren van inzicht en kennis op het gebied van construeren met koolstofvezel composieten. De belangrijkste onderzoeksgebieden van deze opdracht zullen zijn: materiaaleigenschappen dempende eigenschappen constructieregels Uit bovenstaande opdracht en probleemstelling zijn een aantal doelstellingen voortgevloeid. Deze doelstellingen zijn te omschrijven als: opstellen van rekenregels voor de bepaling van elastische eigenschappen realiseren van een rekenmodel voor het bepalen van de elastische eigenschappen ontwerprichtlijnen voor het ontwerpen van koolstofvezel composieten beschikbaar stellen dempende eigenschappen van koolstofvezel composieten bepalen door middel van het uitvoeren van experimenten toepasbaarheid van eindige elementen methode bij het ontwerpen in koolstofvezel composieten onderzoeken 1.4 Werkwijze De in paragraaf 1.3 genoemde doelen worden bereikt door middel van het uitvoeren van een literatuurstudie, fysieke experimenten, berekeningen met eenvoudige modellen en eindige elementen analyses. Er is reeds genoeg literatuur beschikbaar over de eigenschappen van koolstofvezel composieten. Vaak zijn deze werken echter toegespitst op wetenschappelijk onderzoek, niet op praktische toepasbaarheid. Doel van de literatuurstudie is om bruikbare reken- ontwerpregels te destilleren uit de, voornamelijk op theorie toegespitste, beschikbare werken. De theoretische kennis zal worden opgenomen in een Matlab programma, zodat dit programma kan dienen als rekenmodel tijdens het ontwerpen van een koolstofvezel composiet. Er worden proefstukken gemaakt en getest, teneinde de invloed van de opbouw van een koolstofvezel laminaat op de dempende kwaliteiten te onderzoeken. Ook wordt onderzocht of en hoe een eindige elementen programma door een ontwerper van koolstofvezel composieten kan worden gebruikt. De literatuurstudie, resultaten uit de experimenten, rekenmodellen en eindige elementen analyses worden gebruikt om ontwerprichtlijnen en rekenregels op te stellen die bruikbaar zijn voor constructeurs in de machinebouw.

7 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Opbouw Verslag Omdat koolstofvezel composieten een relatief nieuwe materiaalsoort vertegenwoordigen, zal in hoofdstuk 2 ingegaan worden op de eigenschappen, samenstelling en fabricagemethoden van dit materiaal. In hoofdstuk 3 wordt een theoretisch kader opgesteld waarmee een programma wordt geschreven dat als rekenmodel voor de elasticiteit van koolstofvezel composieten dient. Het tweede deel van dit hoofdstuk gaat in op de theorie achter de dempende eigenschappen van koolstofvezel composieten. Deze theorie wordt in hoofdstuk?? gebruikt om een experiment op te zetten waarmee de demping van het materiaal is te bepalen. Hoofdstuk 4 behandeld de anisotropie van koolstofvezel composieten. Dit gedrag is niet bekend bij staal en aluminium, en wordt inzichtelijk gemaakt met behulp van het ontwikkelde rekenmodel en de daarmee gemaakte figuren. Het hoofddoel van dit hoofdstuk is het aanreiken van een set ontwerprichtlijnen die gebruikt kunnen worden voor het ontwerpen van koolstofvezel composieten. Als laatste komt in hoofdstuk?? het gebruik van een eindige elementen methode aan bod. Het verslag wordt afgesloten met een conclusie en perspectief, waarin wordt teruggeblikt op de opdracht en doelstellingen en aanbevelingen worden gedaan voor een vervolgonderzoek. Dit verslag bevat twee bijlagen, waarvan de eerste ingaat op de theorie achter rekken en krommingen in een laminaat. Deze theorie is benodigd voor het ontwikkelde laminaat programma. De tweede bijlage betreft het laminaat programma zelf. Hierin wordt de werking van het programma beschreven, wordt het programma gevalideerd en wordt het vergeleken met vergelijkbare programma s. Ook is in deze bijlage de Matlab code van het programma te vinden.

8 HOOFDSTUK 2 Koolstofvezel Composieten Alle materialen die opgebouwd zijn uit meerdere lagen of delen met verschillende eigenschappen zijn, in de ruimste zin des woords, composieten te noemen. Dit onderzoek richt zich echter op de vezelversterkte kunststoffen, en dan voornamelijk op de koolstofvezel composieten (Carbon Fibre Reinforced Plastic, kortweg CFRP). In de volgende paragrafen wordt uitgelegd wat de eigenschappen van koolstofvezel composieten zijn, hoe ze zijn opgebouwd en wat de fabricagemethoden zijn. 2.1 Eigenschappen De redenen dat koolstofvezel composieten in de belangstelling van ontwerpers en constructeurs staan zijn de gunstige materiaaleigenschappen ten opzichte van traditionele materialen. Vooral de stijfheid van een koolstofvezel composiet bij een laag gewicht of lage dichtheid is interessant voor ontwerpers. In figuur 2.1 zijn de elasticiteitsmodulus van een aantal materialen tegen de dichtheid uitgezet. Uit deze figuur wordt meteen duidelijk wat de aantrekkelijkheid van CFRP s is, namelijk de hoge stijfheid bij relatief lage dichtheid. De lijnen voor materiaalselectie geven de specifieke stijfheden weer, dat zijn de stijfheden per massa-eenheid. Deze lijnen kunnen gebruikt worden om te construeren naar licht gewicht. De drie verschillende lijnen geven weer: E/ρ, de specifieke stijfheid voor een op trek belastte staaf. E/ρ, de specifieke stijfheid van een op buiging belastte balk en 3 E/ρ de specifieke stijfheid van een op buiging belastte plaat (Nijhof, 2004, p. 226). Composieten hebben geen hogere stijfheid dan metalen, door hun lage dichtheid zijn de relatieve stijfheden wel hoger dan die van metalen. In tabel 2.1 zijn de specifieke stijfheden van een aantal materialen te zien, hierin is ook de maximale waarde van de vormfactor φ max meegenomen. Deze waarde geeft aan hoe effectief 4

9 HOOFDSTUK 2. KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 5 Figuur 2.1: Ashby diagram, elasticiteitsmodulus E tegen dichtheid ρ. (Ashby, 2005) Tabel 2.1: Dichtheid, stijfheid, vormfactor voor een balk, specifieke stijfheden en specifieke stijfheid met vormfactor, voor een aantal verschillende materialen. (Ashby, 2005) Materiaal [ ρ E φ max E/ρ kg/m 3 ] [Gpa] [ ] E/ρ 3 E/ρ 1020 staal T4 Al GFRP a hout CFRP b CFRP c a Glass Fibre Reinforced Plastic, isotroop b unidirectioneel, waarden ρ en E uit Daniel en Ishai (1994) c (quasi-)isotroop, waarden ρ en E uit Daniel en Ishai (1994) φmax E/ρ

10 HOOFDSTUK 2. KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 6 een materiaal vormgegeven kan worden om een bepaalde vorm van belasting te weerstaan. 1 Ook hier wordt duidelijk dat koolstofvezel composieten ondanks hun lagere absolute stijfheid dan staal, een hoge relatieve stijfheid voor zowel trek als buiging hebben. De laatste kolom neemt ook de maximale waarde van de vormfactor mee, hierdoor verliest hout zijn aantrekkelijkheid als constructiemateriaal. Tabel 2.1 maakt vooral duidelijk dat met koolstofvezel composieten zowel stijf als licht geconstrueerd kan worden. Bovendien blijken CFRP s een relatief hoge maximale vormfactor te hebben, wat voor ontwerpers interessant kan zijn. Een grote vormfactor betekend immers een grote vormvrijheid. In tegenstelling tot veelgebruikte materialen als staal en aluminium zijn CFRP s niet isotroop en homogeen, maar veelal anisotroop en inhomogeen. Dit betekend dat de materiaaleigenschappen afhankelijk zijn van de positie in het materiaal en de richting van de belasting, de oorzaak hiervan wordt nader behandeld in paragraaf 2.2. Een ontwerper dient hier uiteraard rekening mee te houden, wat gezien de schaarste aan praktische informatie omtrent CFRP s nog niet meevalt. 2.2 Samenstelling De kracht van een composiet is de samenwerking tussen de twee componenten, in het geval van koolstofvezel composieten zijn dat de vezel en matrix. De vezels zijn lange dunne (diameter 10 µm) filamenten koolstof, en kunnen een elasticiteitsmodulus van wel 300 Gpa hebben. Helaas kunnen vezels enkel op trek belast worden, bij druk of buiging hebben vezels geen stijfheid. Bovendien hebben vezels of vezelbundels geen vaste vorm. Om de goede eigenschappen van CFRP te verkrijgen is het nodig de vezels te impregneren met de matrix. Het onderlinge verband tussen de vezels wordt gelegd door de matrix. Een goede hechting tussen matrix en vezels zorgt er voor dat de belasting van de ene op de andere vezel kan worden overgedragen. Ook beschermt de matrix de vezels tegen invloeden van buitenaf. Over het algemeen is het matrixmateriaal een thermohardende kunststof zoals epoxy-hars, met een stijfheid die rond de 3 GPa ligt. Ook al is de elasticiteitsmodulus van epoxy-hars vele malen lager dan die van het vezelmateriaal, middels zijn uitstekende klevende eigenschappen vangt de epoxy-hars de schuifspanningen op. Zodoende kunnen de losse vezels of vezelbundels niet langs elkaar afschuiven, en wordt het composiet een sterk en stijf geheel. Een gevolg van de opbouw van composieten (lange vezels in een matrix), is dat de materiaaleigenschappen niet homogeen en isotroop zijn. Een belasting in de richting van de vezels zal door die vezels opgevangen worden. Een belasting loodrecht op de vezels, zal door de vezels én de matrix opgevangen moeten worden. De matrix heeft een aanzienlijk lagere elasticiteitsmodulus dan de vezel, wat de oorzaak van het anisotrope karakter van het composiet is. De materiaaleigenschappen van een composiet zijn zodoende richtingsafhankelijk. Een composiet waarvan de vezels allemaal in dezelfde richting liggen (unidirectioneel) zal in die richting vele malen stijver zijn dan in de richting loodrecht daarop (zie figuur 4.3 in paragraaf 4.2.1). De vezels van een composiet kunnen zo gelegd worden dat er een (semi-) isotroop gedrag verkregen wordt, dit heeft echter als consequentie dat de stijfheid beduidend lager zal liggen 1. De waarden van φ max zijn empirisch bepaald voor verschillende materialen. De waarde geeft de stijfheid, ten opzichte van een massieve vierkante balk, weer. Meer hierover is te vinden in Ashby (2005); Ashby e.a. (2007).

11 HOOFDSTUK 2. KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 7 dan bij een unidirectioneel composiet (zie figuur 4.10 in paragraaf 4.2.3). Het variëren van de opbouw van een composiet geeft een ontwerper veel vrijheid, de stijfheden van het materiaal kunnen in elke richting zelf worden gekozen. De inhomogeniteit van een composiet is slechts op microscopisch niveau merkbaar, en wordt daarom buiten beschouwing gelaten. 2.3 Fabricagemethoden Het maken van een koolstofvezel composiet begint bij het kiezen van de vezel en matrix, daarna kunnen deze worden samengevoegd en kan er een product worden gemaakt. Er zijn vele soorten vezels en matrixmaterialen te verkrijgen, met evenzoveel verschillende eigenschappen. Uitgebreide informatie over vezels en harsen is onder andere te vinden in Berthelot (2007); Funke (2003). Over het algemeen komt het er bij de fabricage van koolstofvezel composieten op neer om de vezels of vezelmatten in de juiste richting te leggen. Daarbij de juiste dikte te kiezen en de vezels met genoeg matrixmateriaal te impregneren. Hierna moet het composiet uitharden, wat betekend dat het matrixmateriaal hard wordt en het composiet zijn uiteindelijke sterkte, stijfheid en vorm krijgt. Dit proces van stapelen van lagen vezels wordt lamineren genoemd en is in figuur 2.2 weergegeven voor een [45/0/45/90/90/30] laminaat. 2 Afzonderlijke lamellen worden qua richting zo gestapeld dat een laminaat met de gewenste eigenschappen verkregen wordt. Figuur 2.2: Gestapelde lamellen in een [45/0/45/90/90/30] laminaat. (Berthelot, 2007) Omdat een ontwerper de materiaaleigenschappen voor een groot deel kan kiezen door het juiste fabricageproces te nemen, moet men daar tijdens de ontwerpfase rekening mee houden. Ontwerpen in koolstofvezel composieten is niet alleen het ontwerpen van de constructie, maar ook het ontwerpen van de materiaaleigenschappen. Dit wordt ook wel tailor made genoemd, naar het op specificatie samenstellen van de eigenschappen. In hoofdstuk 4.4 wordt hier nader op ingegaan. Er zijn verschillende fabricagetechnieken voor het maken van koolstofvezel composieten, een aantal daarvan worden kort besproken. Meer gedetailleerde informatie over de fabricagetechnieken van koolstofvezel composieten kan onder andere gevonden worden in van der Ven (1993) en VKCN (2008). 2. De standaard notatiewijze voor laminaten geeft voor elke lamel de richting in graden, waarbij de lamellen met een / worden gescheiden.

12 HOOFDSTUK 2. KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN Handlamineren Bij handlamineren worden vezelmatten over een mal gelegd, waarna deze met het matrixmateriaal worden geïmpregneerd. Uitharden kan bij kamertemperatuur of in een oven onder druk (autoclaaf). Om luchtinsluitsels in het product te voorkomen worden de geïmpregneerde matten ook wel in een vacuümzak in de oven gelegd Autoclaaf Om een hoog vezelvolumegehalte in het uiteindelijke composiet te verkrijgen worden geïmpregneerde vezelmatten in een vacuümzak in een autoclaaf gelegd, waar ze onder hoge druk en temperatuur uitharden. Door het hoge vezelvolumegehalte en het lage aantal luchtinsluitsels zijn de producten uit een autoclaaf van hoge kwaliteit Pultrusie Pultrusie is het fabriceren van profielen van koolstofvezel composiet. Vezelbundels worden met het matrixmateriaal geïmpregneerd en door een matrijs getrokken. Doordat de profielen voornamelijk vezels in de lengterichting hebben, is het materiaalgedrag zeer anisotroop Vacuümzak De Vacuümzak technologie wordt vaak gebruikt in combinatie met andere technieken. De vezelmatten worden geïmpregneerd en op een mal in de vacuümzak geplaatst. De zak wordt vacuüm getrokken, en het composiet wordt door de luchtdruk tegen de mal aangedrukt. Er zijn hoge vezelvolumegehaltes te halen, waarbij luchtinsluitsels door het vacuüm worden voorkomen Vacuüminjectie Deze techniek is een variatie op het handlamineren. vezelmatten worden op een mal gelegd en in een vacuümzak geplaatst. Door middel van de onderdruk in de vacuümzak wordt het matrixmateriaal in de vezels gezogen. Als de vezels compleet zijn geïmpregneerd wordt de vacuümzak afgesloten en in de oven geplaatst. Voordeel van deze techniek is een grote vormvrijheid, hoge vezelvolumegehaltes en weinig luchtinsluitsels Prepreg Prepreg is eigenlijk geen verwerkingstechniek, maar een verschijningsvorm van de vezels en matrix. Een prepreg is een mat waarin vezelbundels voorgeïmpregneerd zijn en in elke gewenste vorm gesneden kan worden. De prepregs kunnen losse vezelbundels bevatten, maar ook weefsels van vezels. Meestal worden verschillende prepregs gestapeld tot een geheel en in een autoclaaf of vacuümzak in de oven uitgehard.

13 HOOFDSTUK 3 Theorie Om te kunnen ontwerpen, construeren of rekenen met koolstofvezel composieten is het noodzakelijk de theorie erachter te kennen en begrijpen. Zoals in 2.2 naar voren is gekomen, zijn CFRP s niet homogeen en niet isotroop. Dit gegeven betekent dat een ontwerper of constructeur zijn huidige denkwijze moet aanpassen aan de specifieke eigenschappen van composietmaterialen. In de volgende paragrafen wordt een theoretisch kader opgesteld dat als uitgangspunt dient voor de rest van het onderzoek. Uitkomsten van berekeningen, experimenten en analyses hebben pas nut als de oorzaken verklaard kunnen worden aan de hand van de achterliggende theorie. 3.1 Elasticiteit van Koolstofvezel Composieten De elasticiteit van een koolstofvezel composiet hangt af van de afzonderlijke elasticiteiten van de vezel en matrix, en de verhouding tussen vezelgehalte en matrixgehalte. Ook de stapeling van de afzonderlijke lamellen en de diktes van de lamellen zijn van invloed op de uiteindelijke materiaaleigenschappen. In de volgende paragrafen worden de verschillende stappen besproken die moeten worden gezet om te komen tot een set materiaalparameters voor een compleet composiet. De volgorde die wordt gehanteerd is gebaseerd op de voorgestelde manier om technische constanten voor een laminaat te berekenen door Daniel en Ishai (1994, p. 178). Samengevat komt dit op het volgende neer: 1. Bepalen van de technische constanten van een lamel (3.1.1) 2. Bepalen van de stijfheidsmatrix Q van een lamel (3.1.2) 3. Transformeren van de stijfheidsmatrix via vezeloriëntatie (3.1.3) 4. Diktes en posities afzonderlijke lamellen inbrengen (3.1.4) 5. Laminaatstijfheden A, B en D bepalen (3.1.5) 6. Laminaat complianties a, b c en d bepalen (3.1.6) 9

14 HOOFDSTUK 3. THEORIE Technische constanten van het laminaat bepalen (3.1.7) Technische Constanten van een Lamel Een materiaal kan worden gekarakteriseerd door zijn drie technische constanten. Deze constanten zijn de Elasticiteismodulus E, de poissonverhouding of dwarscontractiecoëfficient µ en de glijdings- of afschuivingsmodulus G. De elasticiteitsmodulus is de verhouding tussen de spanning σ en rek ε op een materiaal, gedefinieerd volgens: (Nijhof, 2004, p. 7) E 1 σ 1 ε 1 (3.1) Waar de indices de richtingen aangeven (zie figuur 3.1). Een spanning in de x 1 richting veroorzaakt niet aleen een rek ε 1 maar ook een dwarsrek ε 2 in de x 1 richting. De bijbehorende poissonverhouding wordt gedefinieerd door: (Nijhof, 2004, p. 7) µ 12 ε 2 ε 1 (3.2) De twee indices bij de poissonverhouding geven aan dat de spanning in de x 1 -richting een dwarsrek in de x 2 -richting als gevolg heeft. Als laatste wordt de glijdingsmodulus gedefinieerd als: (Nijhof, 2004, p. 7) G 12 τ 12 γ 12 (3.3) Met schuifspanning τ en afschuifhoek γ. In figuur 3.1(c) en 3.1(d) worden deze schuifspanning en afschuifhoek gegeven door σ en ε, wegens het gebruik van de verkorte notatie 1. De drie technische constanten zijn voor een isotroop materiaal aan elkaar gerelateerd via: (Nijhof, 2004, p. 5) E G = (3.4) 2(1 + µ) Voor een orthotroop materiaal als CFRP geldt dit verband echter niet meer, en zullen de technische constanten afzonderlijk bepaald moeten worden. In figuur 3.1 zijn de technische constanten voor een unidirectioneel koolstofvezel composiet grafisch weergegeven. Vanwege het anisotrope karakter van het composiet zijn de technische constanten in meerdere richtingen gedefinieerd. Namelijk de longitudinale richting, in de lengterichting van de vezels en de transversale richting, loodrecht op de vezelrichting. Voor de meeste traditionele materialen zijn de waarden van deze technische constanten bekend en staan uitgebreid beschreven in literatuur. Voor CFRP s zijn deze constanten echter afhankelijk van de samenstelling van het composiet, zodat er geen standaard waarde te geven is. Deze waarden zijn enkel bekend als de fabrikant van bijvoorbeeld een prepreg of compleet product ze opgeeft. Als een composiet wordt gemaakt door handlamineren of door vacuüminjectie met vezelmatten, zullen deze waarden moeten worden berekend. Een belangrijke waarde hierbij is het vezelvolumegehalte of vezelvolumefractie, dat aangeeft wat de verhouding tussen 1. In bepaalde literatuur wordt een verkorte notatie gebruikt, waarin σ voor spanning en schuifspanning wordt gebruikt en ε voor rek en afschuifhoek. Zie figuur 3.1(f) of Nijhof (2004, p. 26) voor een uitleg hierover.

15 HOOFDSTUK 3. THEORIE 11 x 2 x 2 E T = σ 3 ε 3 ; µ TT = ε 2 ε 3 E L = σ 1 ε 1 ; µ LT = ε 2 ε 1 ε 2 ε 2 σ 3 σ 3 σ 1 σ 1 ε 3 x 3 ε 1 x 1 (b) Longitudinale elasticiteitsmodulus en transversaal-longitudinale poissonverhouding. x 2 σ 6 G LT = σ 6 ε 6 x 2 σ 4 G TT = σ 4 ε π ε 6 σ π ε 4 σ 4 glijdings- (c) Longitudinaal-transversale modulus. x 1 (a) Transversale elasticiteitsmodulus en poissonverhouding. (d) Transversale glijdingsmodulus. x 3 x 2 σ 2 x 2, y σ y = σ 2 ε 2 E T = σ 2 ε 2 µ TL = ε 1 ε 2 τ yx = σ 6 ε 1 = ε x τ yz = σ 4 ε τ xy = σ 2 = ε y 6 ε τ zy = σ 3 = ε z 4 σ x = σ 1 ε 4 = γ yz ε τ xz = σ 5 = γ zx 5 τ zx = σ 5 ε 6 = γ xy σ z = σ 3 x 1, x σ 2 ε 1 x 1 x 3, z (e) Transversale elasticiteitsmodlulus en transversaal-longitudinale poissonverhouding. (f) Conventionele (x y z) en verkorte (x 1 x 2 x 3) notatiewijze voor spanningen, rekken en afschuifhoeken. Figuur 3.1: Technische constanten voor een unidirectioneel CFRP. De vezels liggen in de x 1 -richting, aangegeven door de donkere cirkels en lijnen. Ook is de verkorte notatiewijze weergegeven.

16 HOOFDSTUK 3. THEORIE 12 het volume aan vezels en matrixmateriaal is. Hiervoor gelden de volgende vergelijkingen (de mengselregels): (Nijhof, 2004, p. 4) v f = V f ; v m = V m ; v f + v m = 1 (3.5) V c V c Waarin V staat voor volume, met als indices f, m en c voor respectievelijk vezel, matrix en composiet, en v voor volumefractie. De technische constanten voor een CFRP met unidirectionele vezels met cirkelvormige doorsnede kunnen worden berekend aan de hand van de formules van Halpin, Tsai en Hahn (Tsai en Hahn, 1980) en formules uit (Nijhof, 2005) en (Nijhof, 2004, p. 6 en p. 94). Deze formules zijn gebaseerd op de mengselregels en gelden voor een composiet waarvan de matrix isotroop is en de vezels transversaal isotroop zijn. 2 Longitudinale elasticiteitsmodulus E L : E L = v f E f + v m E m (3.6) Waarin E f en E m de elasticiteitsmoduli van respectievelijk de vezel en matrix zijn. De dwarscontractiecoëfficiënt µ LT : µ LT = v f µ f + v m µ m (3.7) Waarin µ f de longitudinale dwarscontractiecoëfficiënt van de vezel is, en µ m die van de matrix. De Glijdingsmodulus G LT, via η LT : η LT = 1 ( 1 + G ) m 1 v f 1 en = + 2 G f G LT v f + η LT v m G f Waar G m en G f de glijdingsmodulus van de matrix en vezel zijn. η LT v m v f + η LT v m 1 G m (3.8) Nu kan de compressiemodulus k worden bepaald, via η k met: ( 1 η k = 1 + G ) m 1 en 2(1 µ m ) k f k = v f 1 + η k v m 1 (3.9) v f + η k v m k f v f + η k v m k m Waar k f en k m de compressiemoduli van de vezel en matrix zijn. Deze zijn, voor de vezel en matrix afzonderlijk, als volgt te berekenen: E k = (3.10) 3(1 2µ) De transversale glijdingsmodulus G TT kan berekend worden met behulp van η TT : ( 1 η TT = 3 4µ m + G ) m 4(1 µ m ) G f 1 G TT = v f v f + η TT v m 1 G f + η TT v m v f + η TT v m Uiteindelijk kan de transversale elasticiteitsmodulus E T berekend worden: (3.11) 1 G m (3.12) 1 = E T 4G TT 4k + µ2 LT (3.13) E L 2. De vezel gedraagt zich rotatie-othotroop, wat betekend dat een materiaal-as in de richting van de vezel ligt en de andere twee hier loodrecht op staan met een arbitraire rotatie. (Berthelot, 2007, p. 100). Zie ook paragraaf en figuur 4.1 op pagina 22

17 HOOFDSTUK 3. THEORIE Stijfheidsmatrix van een Lamel Voor een anisotroop materiaal geldt voor de relatie tussen spanningen en rekken de algemene wet van Hook (Geers, 2004, p. 100). In tensornotatie en 3-dimensionaal is deze gegeven door: σ = 4 Q : ε (3.14) Waar σ de spanningsvector is welke 9 elementen bevat. Ook de rekvector ε bevat 9 elementen, wat als gevolg heeft dat de 4 e orde stijfheidstensor 4 Q 81 elementen heeft. Wegens symmetrie van de spannings- en rekvector worden het aantal onafhankelijke constanten in de stijfheidstensor gereduceerd tot 36. Omdat de stijfheidstensor links-, rechts- en middensymmetrisch is ( 4 Q = 4 Q LT = 4 Q RT = 4 Q T ), blijven er 21 onafhankelijke componenten over. Wegens orthotropie 3 van een vezelversterkte lamel, blijven er 9 onafhankelijke constanten over die de stijfheid van de lamel beschrijven (Berthelot, 2007, p. 100). In het geval van vlakspanning (σ z = τ xz = τ yz = 0, Geers (2004, p. 115)) in het transversaal isotrope laminaat (Daniel en Ishai, 1994, p. 54) en (Berthelot, 2007, p. 166) blijft de volgende vergelijking over: σ 1 Q 11 Q 12 0 σ 2 = Q 12 Q 22 0 τ Q 66 ε 1 ε 2 γ 6 (3.15) De rekken en spanningen zijn aan elkaar gerelateerd via de stijfheidsmatrix Q, welke slechts 4 onderling onafhankelijke constanten bevat. Notatie is volgens figuur 3.1(f), waarbij schuifspanning en afschuifhoek zijn weergegeven door τ en γ om het verschil met de normale spanning en rek te accentueren. De nullen in de matrix (Q 16 = Q 26 = Q 61 = Q 62 = 0) betekenen dat er geen koppeling is tussen trekspanning en afschuifhoek, en tussen schuifspanning en vlakke rek. De technische constanten van een lamel, die in paragraaf zijn bepaald, kunnen in de stijfheidsmatrix worden ingevuld via (van der Ven, 1993, p. 104): Q 11 = Q 22 = Q 12 = E L 1 µ LT µ TL E T 1 µ LT µ TL µ TL E L = 1 µ LT µ TL µ LT E T 1 µ LT µ TL (3.16) Q 66 = G LT Waarbij wordt opgemerkt dat dwarscontractiecoëfficiënt µ TL aan µ LT, E L en E T is gerelateerd via het Maxwell verband (van der Ven, 1993, p. 105): µ LT E L = µ TL E T (3.17) Naast de stijfheidsmatrix Q, kan ook een compliantiematrix S worden bepaald. Deze matrix relateerd de rekken en afschuifhoek aan de aangebrachte spanningen volgens: (Daniel en Ishai, 3. Zie ook paragraaf en figuur 4.2 op pagina 23.

18 HOOFDSTUK 3. THEORIE , p. 59) ε 1 S 11 S 12 S 16 σ 1 ε 2 = S 21 S 22 S 26 σ 2 (3.18) γ 6 S 61 S 62 S 66 τ 6 Deze compliantiematrix is de geinverteerde van de stijfheidsmatrix volgens: (Berthelot, 2007, p. 98) S = Q 1 (3.19) In paragraaf wordt duidelijk welke relevantie S heeft Transformatie Stijfheidsmatrix De stijfheidsmatrix Q geeft het verband tussen spanningen en rek op een materiaal aan, als deze aangrijpen op de materiaalassen x 1 en x 2. Als een lamel echter geroteerd is ten opzichte van deze assen, of als de kracht op het materiaal onder een bepaalde hoek θ aangrijpt, zal Q getransformeerd moeten worden. Hiervoor wordt een lokaal assenstelsel gedefinieerd dat onder hoek θ is geroteerd ten opzichte van het globale assenstelsel. x 2 x 2 x 1 θ x 1 Figuur 3.2: Een materiaalblokje waarvan de vezels onder een hoek θ met het globale assenstelsel (x 1 en x 2 ) liggen. Het lokale assenstelsel (x 1 en x 2) is met de zelfde hoek θ ten opzichte van het globale assenstelsel geroteerd. De stijfheidsmatrix Q dient eenzelfde rotatie te ondergaan als het lokale assenstelsel, hiervoor wordt transformatiematrix T geïntroduceerd. (Daniel en Ishai, 1994, p. 57) cos 2 θ sin 2 θ 2 sin θ cos θ T = sin 2 θ cos 2 θ 2 sin θ cos θ (3.20) sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ Nu kan de getransformeerde stijfheidsmatrix Q bepaald worden via: (van der Ven, 1993, p. 109). 4 Q = T 1 Q T T (3.21) 4. Nijhof (2004, p. 57) geeft hiervoor Q = T Q T T. Dit komt echter niet overeen met (van der Ven, 1993; Berthelot, 2007)

19 HOOFDSTUK 3. THEORIE 15 Uit vergelijkingen 3.20 en 3.21 wordt duidelijk dat een lamel waarvan de vezels onder een hoek θ = 0 of θ = π liggen, transformatiematrix T de eenheidsmatrix wordt, en daardoor de getransformeerde stijfheidsmatrix Q gelijk blijft aan Q. De technische constanten voor een lamel dat een rotatie heeft ondergaan kunnen berekend worden in de richting van het globale assenstelsel. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van de compliantiematrix S, gedefinieerd in vergelijking 3.19, toegepast op de getransformeerde stijfheidsmatrix Q, zodat S = Q 1. Volgens Daniel en Ishai (1994, p. 63) gelden de volgende relaties: Ē 1 = 1 S 11 Ē 2 = 1 S 22 Ḡ 12 = 1 S 66 µ 12 = S 21 S 11 µ 21 = S 12 S 22 (3.22) η 16 = S 61 S 11 η 61 = S 16 S 66 η 26 = S 62 S 22 η 62 = S 26 S 66 Hierin is η de afschuif-koppelcoëfficiënt, welke de koppeling tussen trekspanning en afschuifhoek, en tussen schuifspanning en rek beschrijft. Bij een orthotrope lamel zullen deze koppelcoëfficiënten echter 0 zijn, wegens de 0-elementen in de Q matrix. De streepjes boven de constanten geven aan dat het om een enkele lamel gaat, en niet om een laminaat Positie en Diktes Lamellen Een koolstofvezel composiet bestaat meestal uit meerdere lamellen die op elkaar zijn gestapeld. Elke lamel in zo n laminaat heeft een bepaalde dikte en een bepaalde afstand tot de middellijn van het laminaat. In figuur 3.3 is aangegeven hoe een laminaat is opgebouwd uit verschillende lamellen. x 3 lamel n lamel k h k 1 h k middenvlak x 2 lamel 2 lamel 1 h 2 h 1 h 0 Figuur 3.3: Een laminaat waarin de ligging en diktes van de verschillende lamellen is aangegeven. Elke lamel in een laminaat kan een andere vezelrichting of zelfs vezel soort bevatten. Om tot de technische constanten van het totale laminaat te komen, moeten de stijfheden van onderlinge lamellen gecombineerd worden tot een overkoepelende set stijfheden. Daarom is het nodig

20 HOOFDSTUK 3. THEORIE 16 de eigenschappen van elke lamel en de ligging en dikte van elke lamel in het rekenmodel mee te nemen. Hiervoor worden de normaalkrachten en momenten die op een lamel werken gerelateerd aan de lamel deformaties door middel van de volgende vergelijkingen: (Berthelot, 2007, p. 253) N(x 1, x 2 ) = n k=1 hk h k 1 σ k dx 3 en M(x 1, x 2 ) = n k=1 hk h k 1 x 3 σ k dx 3 (3.23) Waar met k de specifieke lamel wordt aangegeven en met n het totaal aantal lamellen. De afstand van de boven- en onderkant van een lamel tot de middellijn van het laminaat wordt aangegeven met h k en h k 1 (zie figuur 3.3). In figuur 3.4 worden de normaalkrachten, buigen torsiemomenten op een lamel weergegeven. Deze krachten en momenten zijn per lengte eenheid gedefinieerd. De verkregen normaalkrachten en momenten worden in paragraaf x 3 M 6 M 1N1 h N 6 x 2 M2 M 6 N 6 M 6 M 2 N 2 N 2 M1 M 6 N 6 N 6 x 1 N 1 Figuur 3.4: Normaalkrachten N 1 en N 2, afschuifkracht N 6, buigmomenten M 1 en M 2 en torsiemoment M 6 op een lamel. gebruikt om de stijfheden van een laminaat te berekenen Laminaatstijfheden Voorgaande paragrafen behandelden de eigenschappen van afzonderlijke lamellen, in deze paragraaf worden de lamellen gecombineerd tot een laminaat waarvan de stijfheden worden bepaald. Hiervoor worden rektensor ε en krommingstensor κ geïntroduceerd als: (Berthelot, 2007, p. 267) ε 1 κ 1 ε = ε 2 en κ = κ 2 (3.24) ε 6 κ 6

21 HOOFDSTUK 3. THEORIE 17 In bijlage A worden deze rekken en krommingen toegelicht. Nu kan de normaalspanning uit vergelijking 3.23 worden gerelateerd aan de rek en kromming via: (Berthelot, 2007, p. 271) N = A ε + B κ (3.25) En kunnen de momenten worden gerelateerd aan de rek en kromming via: (Berthelot, 2007, p. 272) M = B ε + D κ (3.26) Waar vlakstijfheidsmatrix A, koppelmatrix B en buigstijfheidsmatrix D worden gegeven door: (Berthelot, 2007, p. 271) A= n (h k h k 1 )Q k k=1 B= n k=1 D= n k=1 1 ( h 2 2 k h 2 ) k 1 Q k 1 ( h 3 3 k h 3 k 1 ) Q k (3.27) Hieruit volgt de gecombineerde relatie tussen krachten en momenten op het laminaat enerzijds, en de rekken en krommingen anderzijds. In matrixvorm luidt deze vergelijking: (Berthelot, 2007, p. 272) N 1 N 2 N 6 M 1 M 2 M 6 A 11 A 12 A 16 B 11 B 12 B 16 A 12 A 22 A 26 B 12 B 22 B 26 = A 16 A 26 A 66 B 16 B 26 B 66 B 11 B 12 B 16 D 11 D 12 D 16 B 12 B 22 B 26 D 12 D 22 D 26 B 16 B 26 B 66 D 16 D 26 D 66 ε 1 ε 2 ε 6 κ 1 κ 2 κ 6 (3.28) In korte notatie: [ ] N = M [ ] [ ] A B εκ B D (3.29) De matrices A, B en D zijn symmetrisch, zoals te zien is in vergelijking Uit deze vergelijking wordt duidelijk dat de koppelmatrix B de normaalkrachten aan de kromming, en de momenten aan de vlakke rek koppelt. Gevolg hiervan is dat een materiaal waarvan B 0, een buiging of torsie ondergaat als er een spanning in het vlak wordt aangebracht, en dat het een vlakke rek ondergaat als er een torsie of moment wordt uitgeoefend. In figuur 3.4 zijn deze krachten en vervormingen aangegeven. Dit soort effecten zijn meestal niet wenselijk, zodat de opbouw van een laminaat zo moet worden gekozen dat voor de koppelmatrix geldt: B = 0. Dit kan worden verkregen door een symmetrische laminaatopbouw, wat betekend dat de lamellen aan de ene kant van de middellijn van het laminaat dezelfde dikte, richting en eigenschappen hebben als de lamellen op dezelfde afstand van de middellijn, aan de andere kant (Daniel en Ishai, 1994, p. 153). Voorbeelden van dergelijke koppeleffecten zijn te vinden in hoofdstuk 4.

22 HOOFDSTUK 3. THEORIE Laminaat Complianties Zoals gedaan is voor de stijfheidsmatrix Q van een lamel in paragraaf 3.1.2, kunnen ook voor het laminaat de compliantiematrices worden bepaald. Deze matrices leggen het verband tussen de rekken en krachten op een laminaat. Omdat in een laminaat de spanningen niet gelijk zijn over de dikte van het laminaat, maar de rekken wel, zijn deze compliantiematrices erg nuttig. In korte notatie: (Nijhof, 2004, p. 176) [ ] [ ] [ ] εκ = a b N (3.30) b T d M Waarin a de vlakcomplianties, b de koppelcomplianties en d de buigcomplianties zijn. Ze zijn gegeven door: (Nijhof, 2004, p. 178) a = ( A B D 1 B ) 1, b = ( B D B 1 A ) 1, d = ( D B A 1 B ) 1 (3.31) Bovendien geldt: [ ] 1 [ A B = a b B D b T d ] (3.32) Ook hier wordt duidelijk dat koppelcompliantie b voor een (meestal) ongewenste koppeling tussen momentkracht en vlakke rek, en normaalkracht en kromming zorgt (hoofdstuk 4) Technische Constanten van een Laminaat Om te construeren of ontwerpen in koolstofvezel composiet is het nodig de eigenschappen van het te gebruiken laminaat te kennen. Hiervoor kunnen de technische constanten worden gebruikt. Deze technische constanten kunnen worden bepaald met de in paragraaf berekende complianties via: (Daniel en Ishai, 1994, p. 171) E 1 = 1 a 11 E 2 = 1 a 22 G 12 = 1 a 66 µ 12 = a 21 a 11 µ 21 = a 12 a 22 (3.33) η 16 = a 61 a 11 η 61 = a 16 a 66 η 26 = a 62 a 22 η 62 = a 26 a 66 Voor een ontkoppeld laminaat (B = 0), is de vlakcompliantie a alleen afhankelijk van A, volgens a = A 1. In het geval van een gekoppeld laminaat, waar B 0, zal een andere vlakcompliantie a worden verkregen wegens de koppeleffecten. De technische constanten van een ontkoppeld laminaat kunnen op een tweede manier worden berekend, via: (Nijhof, 2004, p. 204) E 1 = A 11 A 22 A 2 12 ; E 2 = A 11 A 22 A 2 12 ; µ 12 = A 12 ; G 12 = A 66 h A 22 h A 11 A 22 h Deze set vergelijkingen is enkel geldig wanneer koppelmatrix B=0. (3.34) De technische constanten voor een laminaat zijn geldig voor spanningen en rekken in het vlak van het laminaat, niet voor buiging of torsie. Dit omdat de constanten worden bepaald via

23 HOOFDSTUK 3. THEORIE 19 vlakcompliantiematrix a, welke de spanning in het vlak aan de rek in het vlak relateerd via Bij het gebruik van technische constanten worden de koppeleffecten gedeeltelijk genegeerd. Bij het bepalen van bijvoorbeeld E 1 worden de koppeleffecten wel meegenomen in de waarde van de stijfheid, via a, welke afhankelijk is van vlakstijfheid A en koppelmatrix B maar wordt geen rekening gehouden met het feit dat een laminaat een buiging uit het vlak zal ondergaan. Dit komt doordat een technische constante meestal wordt gebruikt via (bijvoorbeeld): ε = σ/e Waarin de buiging ten gevolge van het koppeleffect volledig wordt genegeerd. In dat geval is het raadzaam om niet meer met de technische constanten van een laminaat te rekenen maar om vergelijking 3.30 te gebruiken, uitleg daarover is te vinden in bijlage A Aanbevelingen voor Laminaatopbouw In voorgaande paragrafen is duidelijk geworden dat het ontwerpen van een koolstofvezel composiet een groot inzicht in de (wiskundige) theorie van laminaten vereist. Er zijn echter een aantal vuistregels die tijdens het ontwerpen in het oog gehouden kunnen worden om een en ander te vergemakkelijken. Onderstaande lijst geeft een overzicht. Zorg er voor dat koppelmatrix B = 0, zodat er geen ongewenste koppeleffecten optreden. De matrix in vergelijking 3.28 geeft in combinatie met figuur 3.4 weer hoe de koppelmatrix B krommingen uit het vlak relateert aan normaalkracht in het vlak (zie paragraaf 4.3.2). Ook is hier te zien dat rekken in het vlak via B worden gekoppeld aan momentkrachten uit het vlak. Ontkoppeling kan worden bereikt door het symmetrisch opbouwen van een laminaat ten opzichte van het middenvlak, dat wil zeggen dat er aan beide kanten van het middenvlak op dezelfde afstand lamellen liggen met dezelfde eigenschappen, diktes en richtingen. Voorbeeld van een symmetrische stapeling is [45/0/0/45] (zie figuur 4.5 op bladzijde 25). Een ontkoppeld laminaat heeft bovendien als voordeel dat de technische constanten enkel afhangen van vlakstijfheidsmatrix A, via A 1 = a. Of volgens vergelijking 3.34 zijn te berekenen. Bij een laminaat waarvan elke lamel onder een hoek θ, een zelfde lamel onder een hoek θ als tegenhanger heeft, treden geen afschuif-koppelingen op. In dat geval zijn A 16 = A 61 = A 26 = A 62 = 0, en zijn de afschuif-koppelcoëfficiënten η = 0. Er treed in dat geval geen afschuiving op bij een normaalkracht (zie paragraaf 4.3.1). Voorbeeld van een dergelijke stapeling is [45/0/0/-45] (zie figuur 4.6 op bladzijde 26). Als het laminaat bovendien symmetrisch is opgebouwd (B = 0), gedraagt het laminaat zich orthotroop. Dit kan bereikt worden door een dergelijke stapeling: [0/45/-45/-45/45/0] (zie figuur 4.7 op bladzijde 26). Het is mogelijk om quasi-isotroop gedrag te verkrijgen. De wiskundige theorie hierachter wordt beschreven in Nijhof (2004, p. 200). In het kort komt het er op neer dat een laminaat bestaande uit 3 of meer identieke orthotrope lamellen in gelijkmatig verdeelde richtingen, zich in het vlak isotroop gedragen. Voorbeeld stapelingen zijn: [0/60/-60] (zie figuur 4.9 op bladzijde 28), [0/45/-45/90] enzovoorts. Hierbij moet worden benadrukt dat dit alleen geldt in het vlak, dus voor de vlakstijfheidsmatrix

24 HOOFDSTUK 3. THEORIE 20 A (de technische constanten worden in dat geval via a bepaald en zijn dientengevolge niet quasi-isotroop). Als een laminaat wordt opgebouwd zodat ook koppelmatrix B = 0, dan zijn de technische constanten via A te bepalen en zijn derhalve wel quasi-isotroop. Dit betekend dat de materiaaleigenschappen in het vlak door slechts 2 onderling onafhankelijke parameters worden beschreven (E 1 = E 2 en µ 12 = µ 21 ). Een stapeling waarvoor deze vlakke isotropie en ontkoppeling geldt, is bijvoorbeeld [0/60/-60/-60/60/0] (zie figuur 4.10 op bladzijde 29). Aan de hand van bovenstaande tips kan een laminaat worden geconstrueerd waarvan het gedrag inzichtelijk is. Naast het globale gedrag van een laminaat is het voor een ontwerper of constructeur van belang om de technische constanten van het laminaat te kennen. In voorgaande paragrafen zijn de stappen gezet om van de stijfheidsgegevens van een matrixmateriaal en de vezel tot een set technische constanten van een compleet laminaat te komen. Het uitvoeren van deze stappen is met de hand nogal een tijdrovend werk, wegens alle matrix operaties die moeten worden uitgevoerd. Een rekenprogramma als Matlab kan dit vele malen sneller, daarom is er in het kader van dit onderzoek een Matlab programma gemaakt dat deze taken automatiseert. In bijlage B is het programma en de te hanteren werkwijze beschreven. Ook wordt in deze bijlage het programma gevalideerd (B.7) en vergeleken met andere programma s (B.8).

25 HOOFDSTUK 4 Anisotropie van Koolstofvezel Composieten In 2.2 is naar voren gekomen dat een koolstofvezel composiet anisotroop gedrag vertoont, en in hoofdstuk 3 is het zogenaamde koppeleffect geïntroduceerd. Om inzicht in deze begrippen en de oorzaken ervan te krijgen zal dit hoofdstuk dieper ingaan op de anisotropie van een CFRP en op de mogelijkheid van het tailor made aspect van koolstofvezel composieten. Het tweede doel van dit hoofdstuk is de mogelijkheden van het laminaat programma presenteren. Een beschrijving en validatie van dat programma is te vinden in bijlage B, maar de mogelijkheden van dit programma komen in dit hoofdstuk aan het licht. Alle berekeningen en plaatjes in dit hoofdstuk zijn gemaakt met behulp van het laminaat programma. De genoemde laminaten in dit hoofdstuk bestaan allen uit dezelfde lamellen, met enkel een andere stapelvolgorde. De lamellen hebben de volgende eigenschappen: E L =127 GPa, E T =11 GPa, µ LT =0.25 en G LT =4.5 GPa. 4.1 Anisotroop Gedrag De anisotropie van koolstofvezel composieten zorgt voor een extra barrière wanneer men inzicht wil krijgen in het gedrag van een CFRP. De anisotropie van een CFRP wordt veroorzaakt door de opbouw van het laminaat, uit vezels en lamellen Lamel: Transversale Isotropie Een enkele lamel in een laminaat bestaat uit lange koolstofvezels en een matrixmateriaal. Omdat de vezels veel stijver zijn dan het matrixmateriaal, is de stijfheid in de vezelrichting groter dan de stijfheid loodrecht op de vezelrichting. Dit betekend voor het materiaalgedrag van een lamel dat de eigenschappen voor twee verschillende richtingen moeten worden bepaald. Namelijk in de vezelrichting en in alle richtingen loodrecht daarop. Dit gedrag wordt 21

26 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 22 Figuur 4.1: Transversale isotropie voor een lamel, de cirkels in het materiaalblokje geven de vezels weer. transversale isotropie genoemd, naar het isotrope karakter in de transversale (loodrecht op de vezels) richting. Figuur 4.1 geeft deze vorm van anisotropie weer. Zoals te zien is in de figuur, is de richting van de vezels bepalend voor de stijfheid. De richtingen loodrecht daarop (in een cirkel om de vezel) zijn minder stijf. Alle unidirectionele laminaten vertonen dit type materiaalgedrag. In het geval van transversale isotropie is het materiaalgedrag te beschrijven met 5 onderling onafhankelijke materiaalparameters, te weten: E L E T µ LT µ TL en G LT De overige parameters, µ TT G TL en G TT zijn uit eerdergenoemde vijf parameters te bepalen Laminaat: Orthotropie Een laminaat dat uit meerdere lamellen met meerdere vezelrichtingen bestaat, gedraagt zich niet meer transversaal isotroop, maar orthotroop. Dit betekend dat er drie onderling onafhankelijke richtingen zijn aan te wijzen waarin de materiaaleigenschappen zijn te definieren. De combinatie van drie richtingen en drie materiaalparameters geven de volgende negen constanten voor een orthotroop materiaal: E 1 E 2 E 3 G 12 G 23 G 31 µ 12 µ 23 en µ 31 Een laminaat wordt vaak als dunne plaat beschouwd, waarin een vlakspanning toestand heerst zodat er slechts vier onderling onafhankelijke constanten over blijven. Te weten: E 1 E 2 G 12 en µ 12 Zie ook paragraaf op pagina 13. Figuur 4.2 geeft de drie richtingen van een orthotroop laminaat weer. 1. Zie ook paragraaf en figuur 3.1 op pagina 11.

27 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 23 Figuur 4.2: De drie richtingen van een orthotroop laminaat, de cirkels geven de vezels weer. In dit geval betreft het een [0/90] laminaat. 4.2 Materiaaleigenschappen van Laminaten Het orthotrope gedrag van laminaten kan inzichtelijk worden gemaakt door de verschillende materiaalparameters in de hoofdrichtingen weer te geven. Voor een aantal verschillende laminaten worden de eigenschappen in x- en y- richting gegeven. De derde orthotrope richting, is de richting uit het vlak (de globale z-richting) en wordt hier buiten beschouwing gelaten Unidirectioneel Laminaat Het meest eenvoudige koolstofvezel composiet is een laminaat dat uit slechts een laag bestaat. Dit laminaat heeft daardoor één hoofdrichting en wordt zodoende unidirectioneel genoemd. Een unidirectioneel laminaat waarin de vezels in de richting van de globale x 1 -as liggen, is het [0] laminaat in figuur 4.3 (de vezels liggen onder een hoek van 0 met de x 1 -as). Een dergelijke figuur wordt ook wel polair stijfheidsdiagram genoemd, omdat de stijfheid (en glijdingsmodulus of dwarscontractiecoëfficient) over een hoek van 360 wordt getekend. E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) Elasticiteitsmodulus van een unidirectioneel [0] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een unidirectioneel [0] laminaat. Figuur 4.3: Eigenschappen van een unidirectioneel [0] laminaat. Uit de figuur wordt duidelijk dat de stijfheid in de vezelrichting vele male hoger is dan in de andere richtingen. Een op trek belast element zou prima met deze configuratie kunnen

28 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 24 worden opgebouwd. Als het element echter ook op afschuiving of torsie (in het geval van een koker vormige doorsnede) wordt belast, is deze configuratie minder gunstig. Dit komt doordat in het geval van afschuiving en torsie niet de E-modulus maar de glijdingsmodulus G van belang is. Zoals te zien in figuur 4.3(b), is de glijdingsmodulus in de vezelrichting lager dan in alle andere richtingen. De glijdingsmodulus is het hoogst in de 45 en -45 richting. Als dit element op afschuiving of torsie belast zou worden, is het beter de belasting onder een hoek van 45 aan te brengen, of de vezelrichting met dezelfde hoek te veranderen. Helaas heeft dit op de stijfheid een desastreus effect, zoals te zien is in figuur 4.3(a) bij een hoek van 45 of Multidirectionele Laminaten Een laminaat dat meer dan één vezelrichting bevat wordt een multidirectioneel laminaat genoemd. Wegens de opbouw uit meerdere lamellen is het gedrag van een dergelijk laminaat complexer dan dat van een unidirectioneel laminaat. Figuur 4.4 laat een [0/90] laminaat zien, waar de twee vezelrichtingen duidelijk in de stijfheid naar voren komen. In vergelijking met figuur 4.3 is de maximale stijfheid een stuk lager, doordat het laminaat uit twee loodrecht op elkaar gestapelde lamellen bestaat. E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) Elasticiteitsmodulus van een [0/90] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [0/90] laminaat. Figuur 4.4: Eigenschappen van [0/90] laminaat. Uit figuur 4.4(b) komt naar voren dat de glijdingsmodulus nog meer richtingsafhankelijk is dan die van het unidirectionele laminaat. Ook dit laminaat zou uitstekend geschikt zijn om op afschuiving of torsie belast te worden wanneer het over een hoek van 45 of -45 wordt gedraaid. De stijfheid zal dan echter fors afnemen. Wanneer een element in zowel de normaalrichting als op afschuiving wordt belast, is het zaak een hoge stijfheid in de globale x 1 -richting alsmede een hoge waarde van de glijdingsmodulus te creëren. Uit figuren 4.3(a) en 4.4(a) blijkt dat het voor de stijfheid in de x 1 -richting van belang is de lamellen zo te stapelen dat de vezelrichting overeenkomt met de x 1 -richting.

29 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 25 Voor de glijdingsmodulus moeten de lamellen echter onder een hoek van 45 of -45 worden geplaatst. Dit betekend dat een laminaat dat op trek en afschuiving wordt belast een [45/0/0/45] stapeling zou kunnen hebben. E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) Elasticiteitsmodulus van een [45/0/0/45] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [45/0/0/45] laminaat. Figuur 4.5: Eigenschappen van [45/0/0/45] symmetrisch opgebouwd laminaat. Figuur 4.5 geeft de eigenschappen van een dergelijk laminaat weer. Uit de figuur wordt duidelijk dat het gedrag niet symmetrisch om de x 1 -as is, terwijl de symmetrische opbouw misschien anders zou doen vermoeden. In veel gevallen zal een dergelijk gedrag niet wenselijk zijn (een draaiing van de belasting met 15 heeft een positief effect op de stijfheid, terwijl een draaiing van -15 de stijfheid drastisch verminderd). Om toch een gedrag te krijgen dat symmetrisch is om de x 1 -as, zullen extra lamellen moeten worden toegevoegd. Een mogelijkheid is om de onderste 45 lamel te vervangen door een -45 lamel. Een dergelijke stapeling zorgt voor de eigenschappen zoals ze in figuur 4.6 zijn weergegeven. De stijfheid in de x 1 richting is gelijk gebleven, de glijdingsmodulus in deze richting is licht gedaald. Het gedrag is nu wel symmetrisch geworden. Om de glijdingsmodulus nog wat te verhogen kunnen wederom extra lamellen in de 45 en -45 richting worden gelegd. Een optie is om een [0/45/-45/-45/45/0] stapeling te kiezen. Figuur 4.7 geeft een dergelijk laminaat weer. Opvallend is de hoge glijdingsmodulus ten opzichte van de vorige laminaten. De stijfheid is echter wederom licht gedaald, omdat er geen lamellen in de 0 richting zijn toegevoegd. Het toevoegen van dit soort lamellen op de juiste plaats in het laminaat kan de stijfheid verhogen. Enkele opties en de effecten daarvan zijn weergegeven in tabel 4.1. Zoals te verwachten was, komt uit deze tabel naar voren dat de stapelvolgorde een grote invloed op de materiaaleigenschappen van een laminaat heeft. De stijfheid in de x 1 -richting varieert met een factor 7 tussen het laagste en het hoogste geval. Ook voor de glijdingsmodulus is er een dergelijk grote spreiding te vinden. Uit de polaire stijfheidsdiagrammen De kolom

30 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) Elasticiteitsmodulus van een [45/0/0/-45] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [45/0/0/-45] laminaat. Figuur 4.6: Eigenschappen van [45/0/0/-45] laminaat. 150 E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) E-modulus van een [0/45/-45/-45/45/0] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [0/45/-45/-45/45/0] laminaat. Figuur 4.7: Eigenschappen van [0/45/-45/-45/45/0] ontkoppeld laminaat.

31 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 27 Tabel 4.1: Materiaaleigenschappen voor verschillende laminaten. E 1 E 2 µ 12 G 12 B = 0 η = 0 stapeling [GPa] [GPa] [-] [GPa] [0] ja ja [0/90] nee ja [45/0/0/45] ja nee [45/0/0/-45] nee ja [45/-45/-45/45] ja ja [0/45/-45/-45/45/0] ja ja [0/45/-45/0/-45/45/0] ja ja [0/45/-45/0/0/-45/45/0] ja ja waarboven B = 0 staat, geeft aan of een laminaat ontkoppeld is of niet (hoofdstuk 3.1.5). De kolom ernaast geeft aan of de afschuif-koppeling afwezig is (hoofdstuk 3.1.3). Beide begrippen worden in hoofdstuk 4.3 verder toegelicht Quasi-Isotroop Gedrag In het geval van koolstofvezel composieten wordt veelal nadruk op de anisotropie van het materiaal gelegd. In de meeste gevallen, zoals in vorige paragraaf ook naar voren kwam, gedraagt een dergelijk laminaat zich ook anisotroop. Het is echter mogelijk om isotroop gedrag in het vlak te verkrijgen. Deze quasi-isotropie is in hoofdstuk al eens aan bod gekomen, en is het gevolg van een bepaalde stapelvolgorde van de lamellen in een laminaat. Als alleen gekeken wordt naar de vlakstijfheidsmatrix A, is het mogelijk om een laminaat bestaande uit drie lamellen zo te construeren dat deze vlakstijfheidsmatrix onafhankelijk is van de belastingsrichting. Figuur 4.8 geeft een dergelijk laminaat weer. Het laminaat heeft een [0/60/120] stapeling, zodat de richtingen evenredig over een hoek van 360 zijn verdeeld. Dit heeft als gevolg dat het gedrag in het vlak isotroop is. De technische constanten zoals ze te zien zijn in de figuur zijn berekend volgens vergelijking 3.34, welke enkel geldig is wanneer geldt dat koppelmatrix B 0. Dat is nu niet het geval, maar dit voorbeeld maakt wel duidelijk dat de stijfheid in het vlak, via vlakstijfheidsmatrix A, in dit geval richtingsonafhankelijk is. Wanneer de technische constanten op de correcte wijze (volgens vergelijking 3.33 op bladzijde 18) worden bepaald, wordt figuur 4.9 verkregen. Duidelijk wordt dat de echte stijfheid van dit laminaat niet quasi-isotroop is. Oorzaak hiervan is het koppeleffect, dat volgens vergelijking 3.30 vlakcompliantie a beïnvloedt. Het [0/60/-60] laminaat in figuur 4.9 heeft exact dezelfde opbouw als het laminaat uit figuur B.3 op bladzijde 74. Het verschil is de gebruikte vezel. Het laminaat uit figuur B.3 bevat een veel minder stijve vezel, wat terugkomt in de anisotropie van het materiaal; de stijfheid is minder afhankelijk van de richting. Om het koppeleffect van het [0/60/-60] kwijt te raken, kan een [0/60/-60/-60/60/0] stapeling worden gekozen zoals in figuur 4.10 is gedaan. Het laminaat is nu gespiegeld om het

32 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) E-modulus van een [0/60/120] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [0/60/120] laminaat. Figuur 4.8: Eigenschappen van [0/60/120] laminaat. De eigenschappen zijn aan de hand van vlakstijfheidsmatrix A bepaald, het koppeleffect is dus niet meegenomen. E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) Elasticiteitsmodulus van een [0/60/-60] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [0/60/-60] laminaat. Figuur 4.9: Eigenschappen van [0/60/-60] laminaat. Berekend via compliantiematrix a.

33 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 29 middenvlak en is derhalve ontkoppeld (zie 4.3). E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) E-modulus van een [0/60/-60/-60/60/0] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [0/60/-60/-60/60/0] laminaat. Figuur 4.10: Eigenschappen van [0/60/-60/-60/60/0] quasi-isotroop laminaat. Uit deze figuur blijkt dat het laminaat zich in het vlak isotroop gedraagt, en dus quasi-isotroop genoemd mag worden. 4.3 Koppeleffecten In hoofdstuk 3 is naar voren gekomen dat er twee soorten koppeleffecten zijn. Namelijk de afschuif-koppeleffecten η en de koppeleffecten ten gevolge van koppelmatrix B. Beide effecten hebben als oorzaak een bepaalde stapelvolgorde van de lamellen in een laminaat. Ook hebben ze beide als gevolg dat er effecten in een laminaat optreden die niet aanwezig zijn in normale isotrope materialen Afschuif Koppeling In paragraaf zijn de afschuif-koppelcoëfficiënten η 16, η 26, η 61 en η 62 gedefinieerd. Om te kunnen begrijpen wat de effecten van deze coëfficiënten zijn wordt vergelijking 3.30 uitgeschreven voor de vlakke rekken en vlakke krachten (de effecten van koppelmatrix B worden genegeerd): ε 1 a 11 a 12 a 16 N 1 ε 2 = a 21 a 22 a 26 N 2 (4.1) ε 6 a 61 a 62 a 66 N 6 Omdat de afschuif koppelcoëfficiënten η volgens vergelijking 3.33 afhangen van a 16, a 26, a 61 en a 62, geeft vergelijking 4.1 weer hoe ze afschuiving aan vlakke belasting koppelen, en hoe

34 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 30 ze vlakke rek koppelen aan afschuif-belasting. Want uit 4.1 volgt: ε 1 = a 11 N 1 + a 12 N 2 + a 16 N 6 wat betekend dat vlakke rek ε 1 onder andere afhankelijk is van afschuifbelasting N 16. Voor de afschuifrek wordt gevonden: ε 6 = a 61 N 1 + a 62 N 2 + a 66 N 6 zodat een vlakke spanning (bijvoorbeeld N 1 ) een afschuiving ten gevolge heeft. Met het laminaat programma kunnen de deformaties die een laminaat ondergaat worden weergegeven, dit is gedaan in figuur Het [30] laminaat deformeert ten gevolge van een spanning in de x 1 -richting, dat is de x-richting in de figuur. Figuur 4.11: Grafische weergave van afschuiving ten gevolge van een vlakke spanning. De afschuiving ten gevolge van een rek in x 1 -richting is in deze figuur duidelijk te zien. Het laminaat bestaat uit een enkele lamel in de 30 richting. Het is niet moeilijk voor te stellen dat een dergelijk laminaat zal gaan afschuiven ten gevolge van een vlakke spanning. Deze afschuif koppeling komt ook naar voren in vlakcompliantie a, welke volgens het laminaat programma de volgende waarden heeft: a = 1.0e-006 * Hieruit valt op te maken dat de waardes van η 16, η 26, η 61 en η 62 inderdaad niet 0 zijn. In figuur 4.12 is de cirkel van Mohr voor de rekken weergegeven. Het laminaat programma tekent deze cirkel zodat ook grafisch kan worden gezien of er in een laminaat een afschuif koppeling aanwezig is.

35 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN ɛxy ɛ 2 a R 2θ ɛ γ xy Figuur 4.12: Cirkel van Mohr voor de hoofdrekken van een [30] laminaat, belast in de x 1 -richting. ɛ xx De cirkel van Mohr geeft op de horizontale as de vlakke rek aan, en op de verticale as de afschuif rek. De parameters van de cirkel van Mohr zijn: ɛ 1 = ɛ 2 = a = R = θ = Voor een laminaat zonder afschuif koppeling zou hoek θ in de cirkel van Mohr 0 zijn. Omdat er in dat geval geen afschuif rek aanwezig is. Als nu gekeken wordt naar het [45/0/0/45] laminaat uit paragraaf (figuur 4.5) dan blijkt dat deze stapelvolgorde een afschuif koppeling tot gevolg heeft. Dit blijkt uit de waarden van compliantiematrix a volgens het laminaat programma: a = 1.0e-007 * De waarden van a 16, a 26, a 61, en a 62 zijn niet 0, zodat er een afschuif koppeling aanwezig is. Dit bleek niet uit figuur 4.5, terwijl het een zeer onwenselijke eigenschap van een laminaat kan zijn. 2 Tijdens het ontwerpen van een laminaat zal dus altijd gecontroleerd moeten worden of een dergelijke afschuif koppeling in het materiaal aanwezig is Koppelmatrix B De koppeleffecten ten gevolge van koppelmatrix B zorgen voor een koppeling tussen krachten in het vlak en rekken uit het vlak (kromming). Ook hier geeft vergelijking 3.30 weer hoe deze 2. Er zijn ook situaties denkbaar waarin een koppeleffect juist wenselijk is. Zo worden sommige windturbines expres met een koppeleffect geconstrueerd, zodat de vorm van de wieken zich aanpast aan de snelheid.

36 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 32 koppeling in zijn werkt gaat: [ ] [ εκ = a b b T d ] [ ] N M Uitgeschreven voor vlakke rek ε 1 geeft deze vergelijking (zie vergelijking 3.28 op pagina 17 ter verduidelijking): ε 1 = a 11 N 1 + a 12 N 2 + a 16 N 6 + b 11 M 1 + b 12 M 2 + b 16 M 6 Waardoor de buigende momenten M 1 en M 2 en torsiemoment M 6 een vlakke rek ten gevolge hebben, wanneer koppelmatrix B 0. Hetzelfde kan gedaan worden voor buigrek κ 1 : κ 1 = b 11 N 1 + b 12 N 2 + b 16 N 6 + d 11 M 1 + d 12 M 2 + d 16 M 6 Wat als gevolg heeft dat een vlakke kracht (bijvoorbeeld spanning in de x 1 -richting, N 1 ) een kromming κ teweeg brengt als koppelmatrix B 0. Via het laminaat programma kan grafisch duidelijk worden gemaakt welke effecten een belasting op een laminaat heeft. In figuur 4.13 is een [0/90] laminaat weergegeven waarop een vlakke spanning in de x 1 -richting staat. Figuur 4.13: Een [0/90] laminaat waarop een vlakke spanning staat. Het koppeleffect zorgt in dit geval voor een kromming om de x 2 -as ten gevolge van de spanning in de x 1 -richting. Volgens het laminaat programma heeft koppelmatrix B de volgende waarden: b = 1.0e-004 * De waarden van b 11 en b 22 zijn niet 0, wat betekend dat er een koppeling is tussen vlakke rek en buigend moment, en tussen kromming en vlakke spanning. 3 Want B heeft de volgende 3. Element b 12 is in de orde van 10 22, wat verwaarloosbaar klein is. Dit element zou precies 0 moeten zijn, maar door een afrondfout in Matlab krijgt dit element zijn huidige waarde.

37 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 33 invloed: ε 1 =... + b 11 M ε 2 =... + b 22 M κ 1 =... + b 11 N κ 2 =... + b 22 N In paragraaf zijn de materiaaleigenschappen van een [0/90] laminaat weergegeven in figuur 4.4. Hieruit bleek dat de stijfheid en glijdingsmodulus sterk georiënteerd zijn, maar niet of het laminaat gekoppeld is. Nu blijkt dat dit laminaat gekoppeld is, wat een ongewenste eigenschap kan zijn. Vandaar is het zaak om bij het ontwerpen van een laminaat na te gaan of en welke koppeleffecten in het laminaat aanwezig zijn. Deze effecten komen namelijk niet aan het licht als enkel naar de stijfheid of glijdingsmodulus, al dan niet in een polair diagram, gekeken wordt. Een interessante stapelvolgorde qua koppeleffect is een [30/-30] stapeling, omdat in dit geval de vezelrichting van de lamellen boven en onder het middenvlak tegengesteld zijn. In figuur 4.14 zijn de eigenschappen van een dergelijk laminaat weergegeven. E-modulus [GPa] G-modulus [GPa] (a) E-modulus van een [30/-30] laminaat (b) Glijdingsmodulus van een [30/-30] laminaat. Figuur 4.14: Eigenschappen van [30/-30] laminaat. Uit deze figuur blijkt niets speciaals, de stijfheid en glijdingsmodulus hebben normale waarden en zijn ook gespiegeld om de 0 richting. Als echter wordt gekeken naar de complianties van dit laminaat, dan wordt voor koppelcompliantie a en b het volgende gevonden: voor a

38 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 34 a = en b b = 1.0e-007 * e-004 * Hieruit blijkt dat a niet voor een afschuif koppeling zorgt, maar dat b wel voor een koppeling zorgt. Vergelijking 3.30 wordt uitgeschreven voor de torsie-kromming component κ 6, wat het volgende oplevert (de bijdrage van buigcompliantie d wordt buiten beschouwing gelaten): κ 6 = N N N 6 + d 61 M Dit betekent dat vlakke spanning, N 1 of N 2, voor een tordering van het laminaat zorgt, doordat de elementen b 61 en b 62 niet 0 zijn. Het effect van deze koppeling kan inzichtelijk worden gemaakt met het laminaat programma, wat in figuur 4.15 is gedaan. Figuur 4.15: Het effect van een vlakke spanning in de x 1 -richting op een [30/-30] laminaat. Net zoals bij de afschuif koppeleffecten kan dit gedrag ongewenst zijn, en zal een ontwerper rekening moeten houden met de ontkoppeling van het laminaat.

39 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN Tailor Made Een voordeel van koolstofvezel composieten ten opzichte van normale materialen is dat de materiaaleigenschappen ontworpen kunnen worden. Een ontwerper of constructeur moet dus niet alleen de geometrie van het ontwerp bepalen, maar ook de technische constanten van het gebruikte laminaat. Een term die hiervoor gebruikt wordt is tailor made. In de vorige paragrafen zijn een aantal voorbeelden van dit aspect te zien geweest. In paragraaf zijn aanbevelingen voor laminaat opbouw gegeven, maar voordat naar deze aanbevelingen wordt gekeken zal een ontwerper eerst moeten vaststellen wat de gewenste materiaaleigenschappen van het product zouden moeten zijn. Een op trek belaste staaf heeft namelijk andere eisen dan een op torsie belaste cilinder. Een constructie welke voornamelijk op trek wordt belast, zal zijn stijfheid voornamelijk ontlenen aan lamellen in de 0 richting. Figuur 4.3 laat zien dat de stijfheid van een laminaat waarvan de lamellen in dezelfde richting liggen erg hoog is, maar tevens ook erg anisotroop gedrag vertoont. In paragraaf zijn de eigenschappen van verschillende stapelvolgordes te zien, waaruit de logische conclusie volgt dat het verhogen van de stijfheid gebeurt door meerdere lamellen met de vezelrichting in de richting van de belasting te leggen. Voor de glijdingsmodulus geldt hetzelfde als voor de stijfheid, meerdere lamellen in de juiste richting zorgen voor een hogere stijfheid. In het geval van de glijdingsmodulus moeten de lamellen echter onder een hoek van 45 en -45 gelegd worden. Een cilinder die op torsie wordt belast zal veel torsiestijfheid ontlenen aan lamellen in de 45 en -45 richting, wegens de hoge glijdingsmodulus van deze lamellen. In het geval dat de cilinder ook in de lengterichting wordt belast, kunnen lamellen in diezelfde richting worden toegevoegd. Naast het bepalen van de technische constanten van het laminaat is het ook van belang te weten of een laminaat ontkoppeld is. In veel gevallen is het koppeleffect ongewenst en zal een stapeling moeten worden gekozen waarbij het laminaat ontkoppeld wordt, of waarbij het effect te verwaarlozen valt. De effecten van koppeling zijn in paragraaf 4.3 aan bod gekomen, en in paragraaf worden een aantal vuistregels genoemd waarmee ontkoppeling te verkrijgen is. Met het laminaat programma (appendix B) kan voor alle genoemde aspecten van het ontwerpen van de materiaalparameters van een koolstofvezel composiet te pas komen. Het met de hand bepalen van de materiaalparameters van een laminaat is vrij complex en tijdrovend. Daarom wordt aangeraden om een laminaat te analyseren met een eindige elementen programma of met het laminaat programma. Zonder een dergelijke analyse is er geen inzicht in het gedrag van het laminaat en kunnen ongewenste koppeleffecten optreden. Ook kan de stijfheid van een laminaat zonder analyse moeilijk worden ingeschat en zullen voorspellingen met betrekking tot het gedrag onnauwkeurig zijn. Naast het tailor made ontwerpen van koolstofvezel composieten, is het ook mogelijk om standaard constructiedelen te bestellen bij bepaalde leveranciers. Dit zijn meestal profielen, buizen, kokers of platen. Met deze onderdelen is het mogelijk een constructie te ontwerpen in CFRP. Een nadeel van deze methode is dat de grote kracht van composieten, namelijk het ontwerpen van de materiaaleigenschappen, niet wordt benut. De leverancier ontwerpt een profiel of plaat meestal zo dat deze algemeen inzetbaar zijn, en zal dus naar enigzins isotroop gedrag streven. Dit terwijl een optimaal ontworpen constructie-element veelal sterk anisotroop

40 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 36 gedrag zal vertonen. Voor een machinebouwer zal een koolstofvezel composiet voornamelijk interessant zijn als alle eigenschappen, dus ook de tailor made eigenschap van een CFRP worden benut.

41 Symbolenlijst δ Dempingscoëfficiënt [ ] δ l ɛ η γ Logaritmisch decrement [ ] Hoofdrek [ ] Afschuif-koppelcoëfficiënt [ ] Afschuifhoek [ ] κ Kromming: torsie en buiging [m 1 ] µ Poissonverhouding of dwarscontractiecoëfficient [ ] ω 0 ω d φ max Ongedempte eigenfrequentie [rad/sec] Gedempte eigenfrequentie [rad/sec] Maximale waarde vormfactor [ ] ρ Dichtheid [kg/m 3 ] σ Spanning op een materiaalblokje [Pa] τ Schuifspanning [Pa] θ Hoekverdraaing [rad] ε Rek [ ] κ Hoofdkromming [ ] ξ Visceuze dempingsfactor [ ] A Vlakstijfheidsmatrix [Pa m] a Vlakcomplianties [(Pa m) 1 ] B Koppelmatrix [Pa m 2 ] b Koppelcomplianties [(Pa m 2 ) 1 ] b Breedte proefstuk [m] c Buigstijfheid [N/m] D Buigstijfheidsmatrix [Pa m 3 ] 37

42 HOOFDSTUK 4. ANISOTROPIE VAN KOOLSTOFVEZEL COMPOSIETEN 38 d Buigcomplianties [(Pa m 3 ) 1 ] d Dempingsconstante [Ns/m] E Elasticiteitsmodulus [Pa] F Kracht [N] G Glijdingsmodulus of afschuivingsmodulus [Pa] h Dikte proefstuk [m] h k I Afstand k-de lamel tot middellijn laminaat [m] Eenheidsmatrix [ ] I Oppervlakte traagheid [m 4 ] k Compressiemodulus [Pa] k Nummer van een specifiek lamel [ ] k Veerstijfheid [N/m] L Lengte [m] M Buig- of torsiemoment per lengte eenheid op een lamel [N] m Massa [kg] N i Hoofdrek-richting, voor i de hoofdrek [ ] N Normaalkracht of afschuifkracht per lengte eenheid op een lamel [N/m] n Aantal lamellen in een laminaat [ ] n Aantal periodes [ ] Q Q Getransformeerde stijfheidsmatrix [Pa] Stijfheidsmatrix [Pa] 4 Q 4 e orde stijfheidstensor [pa] S Compliantiematrix [pa 1 ] T Transformatiematrix [ ] T d u u v f v m v Gedempte periodetijd [sec] Uitwijking van een proefstuk [m] Verplaatsing in x-richting [m] Volumefractie vezel [ ] Volumefractie matrix [ ] Verplaatsing in y-richting [m] V c Volume composiet [m 3 ] V f Volume vezels [m 3 ] V m Volume matrix [m 3 ] w Verplaatsing in z-richting [m] x Plaats in het lokale coördinatenstelsel [m] y Plaats in het lokale coördinatenstelsel [m]

43 Appendices 39

44 BIJLAGE A Rekken en Krommingen In hoofdstuk 3 zijn de rektensor ε en krommingstensor κ (3.24, pagina 16) geïntroduceerd, welke met vergelijking 3.30 berekend kunnen worden uit de laminaat complianties en de krachten op het laminaat: [ ] [ εκ = a b b T d ] [ ] N M De normaalkrachten en momenten zijn weergegeven in figuur 3.4 op pagina 16. De laminaat complianties kunnen worden berekend met het laminaat programma. Om nu de vervorming van het laminaat ten gevolge van een bepaalde kracht te berekenen, is het nodig te weten hoe de rekken ε en krommingen κ zijn gedefinieerd. In deze bijlage zal worden uiteengezet hoe de vervorming van een laminaat, in rekken en krommingen, kunnen worden berekend als de laminaat complianties bekend zijn. Ook zal de implementatie van deze theorie in het laminaat programma worden uitgelegd. A.1 Rekken De vlakke rekken in een laminaat zijn volgens Berthelot (2007, p. 267) als volgt gedefinieerd: ε = ε 1 ε 2 ε 6 = u x v y u y + v x (A.1) 40

45 BIJLAGE A. REKKEN EN KROMMINGEN 41 Waar x en y de coördinaten van een punt zijn, en u en v de verplaatsingen van dat punt in respectievelijk de x en y richting. Een vlakke vervorming wordt dus gegeven door twee verplaatsingen van een punt (u en v). De derde waarde van ε, ε 6, geeft de afschuiving weer, welke een combinatie van de twee verplaatsingen, u en v, is. Figuur A.1 laat deze vervormingen zien. v y y y y u y y u x x (a) Vlakke rek. x Figuur A.1: Vlakke rek en afschuiving. (b) Afschuiving. v x x x Als de rekken bekend zijn, kan voor een willekeurig punt in het laminaat, via de bijbehorende x- en y-coördinaat, de verplaatsing worden berekend. Hiervoor dienen de differentiaalvergelijkingen in A.1 te worden opgelost. Dit levert: u = xε 1 + C 1 v = yε 2 + C 2 en voor afschuiving: u = yε 6 v x y + C 3 v = xε 6 u y x + C 4 (A.2) De integratieconstanten vallen weg door de randvoorwaarden op x = 0: u = 0, y = 0: v = 0 en x, y = 0: v x = u = 0. De derde en vierde term zijn de bijdragen van de afschuiving y op de verplaatsing. Omdat er nu vier termen zijn om twee onbekenden uit te rekenen is het wenselijk om tot een systeem met twee vergelijkingen te komen. Hiervoor worden de hoofdrekken geïntroduceerd. Het is mogelijk een coördinatenstelsel te kiezen waarin de drie rekken tot slechts twee rekken worden gereduceerd. De afschuiving valt dan weg, en alle rekken kunnen dan worden geschreven in termen van de twee overgebleven hoofdrekken, en de twee hoofdrek-richtingen. De hoofdrekken worden gegeven door de eigenwaarden van rektensor ε, en de hoofdrek-richtingen door de eigenvectoren van de rektensor. Dit eigenwaarden probleem kan op de bekende manier worden opgelost (Geers, 2004, p. 55): det(ε ɛi) = 0 (A.3)

46 BIJLAGE A. REKKEN EN KROMMINGEN 42 Hieruit volgen de twee hoofdrekken ɛ 1 en ɛ 2. De richtingen van deze hoofdrekken kunnen nu worden berekend met (Geers, 2004, p. 55): (ε ɛ i I) N i = 0 i 1, 2 (A.4) Alle rekken van het laminaat kunnen nu worden uitgedrukt in de twee hoofdrekken ɛ 1 en ɛ 2 en de twee hoofdrek-richtingen N 1 en N 2, in deze nieuwe richting bestaat geen afschuiving meer. Dit heeft als gevolg dat ook alle vervormingen van het laminaat geschreven kunnen worden in de twee nieuwe hoofdrichtingen. De hoofdrek-richtingen N 1 en N 2 worden gekozen als basis voor een nieuw assenstelsel, waarin alle coördinaten en rekken kunnen worden geschreven. Omdat dit nieuwe assenstelsel in de richting van de hoofdrekken ligt, zijn er geen afschuivingen aanwezig en kunnen de verplaatsingen als volgt worden geschreven: ũ = xɛ 1 (A.5) ṽ = ỹɛ 2 Waar de tildes aangeven dat het om het nieuwe, getransformeerde, coördinatenstelsel gaat. Met de verkregen formules is het mogelijk de vlakke vervormingen van een laminaat als gevolg van een bepaalde belasting te berekenen. Dit heeft als voordeel dat het gedrag van een laminaat grafisch inzichtelijk kan worden gemaakt, als deze vervormingen worden getekend. Het laminaat programma tekent de vervormingen ten gevolge van een belasting automatisch. De implementatie hiervan is te vinden in B.5 A.1.1 Cirkel van Mohr Met de hoofdrekken, geïntroduceerd in de vorige paragraaf, is het mogelijk om de cirkel van Mohr te tekenen voor de rekken en afschuiving van het laminaat. Deze cirkel geeft een grafische weergave van de rekken en afschuivingen en is derhalve erg handig om inzicht te verkrijgen in het gedrag van een laminaat. Een voorbeeld van de cirkel van Mohr wordt gegeven in figuur A.2 In de cirkel zijn de hoofdrekken ɛ 1 en ɛ 2, de afschuiving γ xy (ofwel ε 6 ) en de rotatie van het nieuwe assenstelsel over de hoek θ te zien. Om de cirkel te tekenen zijn behalve de waarden van de hoofdrekken en afschuiving, ook het middelpunt a, en de straal R van de cirkel, alsmede θ benodigd. Deze waarden kunnen als volgt worden berekend (Geers, 2004, p. 70): a = 1 2 (ɛ 1 + ɛ 2 ) R = 1 2 (ɛ 1 ɛ 2 ) θ = 1 2 arcsin ( γxy R ) (A.6) Met behulp van de cirkel van Mohr voor de rekken, is snel te zien hoe een laminaat zicht gedraag ten gevolge van een opgelegde belasting. In B.5 is de implementatie van deze cirkel van Mohr in het laminaat programma gegeven.

47 BIJLAGE A. REKKEN EN KROMMINGEN 43 γ xy R εxy ε 2 a 2θ ε 1 ε xx Figuur A.2: Cirkel van Mohr voor de rekken in een laminaat. A.2 Krommingen Zoals in paragfraaf A.1 voor vlakke rekken is gedaan, kunnen ook voor de krommingen van een laminaat de vervormingen worden bepaald. De krommingen κ zijn te bepalen met vergelijking 3.30, en zijn als volgt gedefinieerd (Berthelot, 2007, p. 268): κ = κ 1 κ 2 κ 6 = 2 w x 2 2 w y w x y (A.7) Waar w de verplaatsing uit het vlak (in de z-richting) is, figuur A.3 geeft w weer. Op dezelfde z w w x Figuur A.3: Verplaatsing w, uit het vlak en hoek w x. wijze als voor de rekken gedaan is, kunnen deze vergelijkingen worden uitgeschreven. Ook x

48 BIJLAGE A. REKKEN EN KROMMINGEN 44 hier ontstaat het probleem dat er drie vergelijkingen zijn voor slechts één onbekende: w(x) = 1 2 x2 κ 1 + C 1 x + C 2 w(y) = 1 2 y2 κ 2 + C 3 y + C 4 en voor torsie: (A.8) w(x, y) = 1 2 xyκ 6 + C 5 x + C 6 De integratieconstanten verdwijnen omdat geldt: op x = 0: w = 0 en w x w = 0 en w y = 0. = 0 en op y = 0: Nu is het mogelijk om net als in paragraaf A.1 de hoofd-krommingen met bijbehorende hoofdrichtingen te bepalen via vergelijkingen A.3 en A.4. Hieruit volgt de uiteindelijke vergelijking voor de verplaatsing in de z-richting (w): w( x, ỹ) = 1 2 ( x2 κ 1 + ỹ 2 κ 2 ) (A.9) De verplaatsing w is nu enkel afhankelijk van de getransformeerde coördinaten x en ỹ en de hoofdkrommingen κ 1 en κ 2. De hoofdkromming κ 1 is de buiging van het laminaat rond de eerste hoofdrichting, κ 2 is de buiging om de tweede hoofdrichting. Torsie van het laminaat is een combinatie van de twee hoofdkrommingen. Het laminaat programma tekent deze krommingen van het laminaat automatisch als de gebruiker een belasting opgeeft, de implementatie hiervan is te vinden in B.5.

49 BIJLAGE B Laminaat Programma In paragraaf 3.1 is een manier beschreven om de technische constanten van een laminaat te berekenen uit de eigenschappen van de losse vezel en matrix. Deze werkwijze is geautomatiseerd in een Matlab programma. De belangrijkste onderdelen van dit programma zijn de files laminaat.m, materiaal.m en lamopbouw.m. Het uitvoeren van laminaat.m roept de files materiaal.m en lamopbouw.m aan en haalt daar de door de gebruiker ingevoerde materiaalparameters en de opbouw van het laminaat uit. Deze gegevens worden door laminaat.m middels de functies dikstes.m, tmat.m en compliantie.m verwerkt tot een set technische constanten voor een compleet laminaat. Ook is het mogelijk om eenvoudig de vervormingen van een laminaat te berekenen als de opgelegde spanningen en momenten bekend zijn. Dit kan direct worden uitgevoerd (als de spanningen en momenten in matrices N en M zijn gezet) via vergelijking 3.30, de uit het programma verkregen a, b en d matrices en het verplaatsingen.m programma. Naast de technische constanten in de globale x en y richtingen, kan er ook een figuur worden getekend van de materiaaleigenschappen in een bepaalde hoek. Dit kan van pas komen als het laminaat niet in zijn hoofdrichtingen wordt belast. Het programma dat deze berekening uitvoert en de figuur tekent heet tcplot.m. In de laatste paragrafen van deze bijlage wordt het laminaat programma gevalideerd (B.7) en vergeleken met andere programma s (B.8). De mogelijkheden van dit programma worden in hoofdstuk 4 getoond. B.1 Materiaal.m Het laminaatprogramma heeft als input de materiaalparameters van de vezel en matrix nodig. Deze kan de gebruiker ingeven in de materiaal.m file. Ook is het mogelijk de gegevens van 45

50 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 46 een compleet lamel in te geven als deze bekend zijn. Als de gegevens van een lamel bekend zijn kan dit worden ingegeven door de waardes van: E L, E T, µ LT, µ TL, G LT en G TT in te geven. Als deze waardes niet bekend zijn, kunnen voor de vezel en matrix de volgende waarden worden ingegeven: E f, E m, ρ f, ρ m, µ f, µ m en v f. De waardes van de dichtheid (ρ) zijn niet per sé nodig voor de berekeningen van de technische constanten, maar kunnen gebruikt worden om de dichtheid van het totale laminaat te berekenen. Als de waardes voor vezel en matrix zijn ingegeven, en de volumefractie v f bekend is, roept het programma de functie tclaml.m aan om de technische constanten van de lamel te berekenen. De output van deze functie gaat naar qmat.m en wordt omgezet naar de stijfheidsmatrix Q voor een lamel. In het programma kunnen drie verschillende materialen worden ingegeven. Als het nodig is kan dit worden uitgebreid. De Matlab code van de materiaal.m file is hieronder weergegeven: %% Materiaal.m % materiaal is vector met eigenschappen % Kan op twee manieren: % 1) met parameters van vezel en matrix > technische constanten lamel 5 % 2) rechtstreekse invoer technische constanten lamel. %% Per materiaal: % Materiaal 1 %1): VIA vezel & matrix 10 Ef =220 e9 ;% [Pa] stijfheid fibre Em =3. 5 e9 ;% [Pa] stijfheid matrix rhof =1800 ; % [kg/m3] dichtheid vezel rhom =1200 ;% [kg/m3] dichtheid matrix Muf =0. 26 ;% [ ] poisson fibre 15 Mum =0. 3 ;% [ ] poisson matrix vf =0. 55 ;% [ ] volumefractie vezels [El,Et,Mult, Glt ]= tclaml (Ef,Muf,Em,Mum,vf) ; % tclaml runnen % tclaml berekend de technische constanten van een lamel in de % vezelrichting (longitidinaal) en loodrecht daarop (transversaal). 20 rhol1 = rhof *vf+ rhom *(1 - vf ); % dichtheid lamel 1 %2): Rechtstreeks (overschrijft waardes uit tclaml.m) % El= ;Et= ;Mult= ;Glt= ; % waardes zelf ingeven % % DAN KAN Q matrix worden berekend 25 Q1= qmat (El,Et,Mult, Glt ); % waardes voor output: M1 =[El,Et,Glt,1 e9* Mult ]; % voor output aan einde file % Materiaal 2 30 %1): VIA vezel & matrix Ef =200 e9 ;% [Pa] stijfheid fibre Em =3. 5 e8 ;% [Pa] stijfheid matrix rhof =1550 ; % [kg/m3] dichtheid vezel rhom =1200 ;% [kg/m3] dichtheid matrix 35 Muf =0. 26 ;% [ ] poisson fibre Mum =0. 3 ;% [ ] poisson matrix vf =0. 45 ;% [ ] volumefractie vezels [El,Et,Mult, Glt ]= tclaml (Ef,Muf,Em,Mum,vf) ;

51 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 47 % tclaml runnen 40 % tclaml berekend de technische constanten van een lamel in de % vezelrichting (longitidinaal) en loodrecht daarop (transversaal). rhol2 = rhof *vf+ rhom *(1 - vf ); % dichtheid lamel 3 %2): Rechtstreeks (overschrijft waardes uit tclaml.m) El =38 e9 ;Et =9 e9 ; Mult =0.32 ; Glt =3.6 e9 ; % waardes zelf ingeven 45 % % DAN KAN Q matrix worden berekend Q2= qmat (El,Et,Mult, Glt ) ; M2 =[El,Et,Glt,1 e9* Mult ]; % voor output aan einde file 50 % Materiaal 3 %1): VIA vezel & matrix Ef =440 e9 ;% [Pa] stijfheid fibre Em =3. 5 e9 ;% [Pa] stijfheid matrix rhof =1550 ; % [kg/m3] dichtheid vezel 55 rhom =1200 ;% [kg/m3] dichtheid matrix Muf =0. 20 ;% [ ] poisson fibre Mum =0. 35 ;% [ ] poisson matrix vf =0. 55 ;% [ ] volumefractie vezels [El,Et,Mult, Glt ]= tclaml (Ef,Muf,Em,Mum,vf) ; 60 % tclaml runnen % tclaml berekend de technische constanten van een lamel in de % vezelrichting (longitidinaal) en loodrecht daarop % (transversaal). rhol3 = rhof *vf+ rhom *(1 - vf ); % dichtheid lamel 3 65 %2): Rechtstreeks (overschrijft waardes uit tclaml.m) El =127.6 e9 ;Et =11 e9 ; Mult =0.25 ; Glt =4.5 e9 ; % waardes zelf % ingeven % % DAN KAN Q matrix worden berekend 70 Q3= qmat (El,Et,Mult, Glt ) ; M3 =[El,Et,Glt,1 e9* Mult ]; % voor output aan einde file %% OUTPUT: 75 % Materiaal 1: % technische constanten weergeven: disp ( Materiaal 1 ) disp ( El :[ Gpa ] Et :[ Gpa ] Glt :[ Gpa ] Mult : [ -] ) disp (1e -9* M1) 80 % Materiaal 2: % technische constanten weergeven: disp ( Materiaal 2 ) disp ( El :[ Gpa ] Et :[ Gpa ] Glt :[ Gpa ] Mult : [ -] ) 85 disp (1e -9* M2) % Materiaal 3: % technische constanten weergeven: disp ( Materiaal 3 ) 90 disp ( El :[ Gpa ] Et :[ Gpa ] Glt :[ Gpa ] Mult : [ -] ) disp (1e -9* M3)

52 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 48 B.1.1 Tclaml.m De functie tclaml.m berekend de technische constanten van een lamel. De formules die in deze file worden gebruikt zijn te vinden in paragraaf De code van deze functie is hieronder weergegeven. In de code is te zien dat er twee manieren zijn om E T te berekenen, volgens Halpin, Tsai en Hahn, en volgens Halpin en Tsai. Er is gekozen voor de eerste methode, omdat deze over het algemeen een wat voorzichtigere (lagere) schatting geeft. 1 0 function [ El, Et, Mult, Mutl, Glt, Gtt ] = t c l a m l ( Ef, Muf,Em,Mum, v f ) %% Functie tclaml.m % om technische constanten van lamel te bepalen. % lamel heeft nog geen richting, alleen samenstelling uit % vezel, matrix en volumefractie. 5 % % Formules uit Nijhof, blz. 94 % % Bepalen laminaatstijfheid in longitudinale, transversale richting. % Glijdingsmodulus in long. en trans. richting 10 % poissonverhouding % Wat is volumefractie? vm=1 v f ; % [%] volumefractie matrix, volumefractie fibre is gegeven 15 %% Parameters berekenen % Parameters Gf en Gm (glijdingsmodulus, fibre en matrix) bepalen: % G = E/(2 (1+nu)) Gf=Ef /(2 (1+Muf ) ) ; %[Pa] Gm=Em/(2 (1+Mum) ) ; %[Pa] 20 % Bepalen El (longitudinale stijfheid) lamel, met mengselregel: El = v f Ef + vm Em ; % [Pa] % Bepalen Mlt (long. trans. poissons) voor lamel 25 Mult = Muf v f + Mum vm ; % [ ] % Bepalen Glt (long. trans. glijmod.) van lamel. daar is Nlt voor nodig. % Nlt: Nlt = 0. 5 (1+(Gm/Gf ) ) ; % [ ] 30 Glt = 1 / ( ( v f /( v f+nlt vm) ) ( 1 / Gf ) + ( ( Nlt vm) / ( v f+nlt vm) ) ( 1 /Gm) ) ; % [Pa] % Bepalen compressiemodulus. % k(f&m) = E/(3 (1 2nu)) (fibre en matrix) % Uit Nijhof, PATO cursus. 35 % eerst voor fibre en matrix, dan voor lamel k f = Ef /(3 (1 2 Muf ) ) ; % [Pa] km = Em/(3 (1 2 Mum) ) ; % [Pa] % Voor lamel eerst Nk bepalen: Nk = (1/(2 (1 Mum) ) ) (1+(Gm/ k f ) ) ; % [ ] 40 % dan k, voor lamel: k = 1 / ( ( v f /( v f + Nk vm) ) ( 1 / k f ) + ( (Nk vm) / ( v f+nk vm) ) ( 1 /km) ) ; % [Pa] 1. In Nijhof (2004, p. 98) worden verschillende methoden om deze technische constanten te berekenen met elkaar vergeleken.

53 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 49 % Bepalen Gtt (Glijding trans. trans.) % Uit Nijhof, blz.94. (via vergelijk met Nijhof, PATO blijkt dat 45 % Gtt.f en Glt.f van een vezel gelijk zijn.) Dit omdat vezel isotroop wordt % beschouwd. % eerst Ntt bepalen: Ntt = (1/(4 (1 Mum))) (3 4 Mum+(Gm/Gf ) ) ; % [ ] % Dan Gtt voor lamel 50 Gtt = 1 / ( ( v f /( v f+ntt vm) ) ( 1 / Gf ) + ( ( Ntt vm) / ( v f+ntt vm) ) ( 1 /Gm) ) ; % [Pa] % bepalen Et (E mod, trans.) van lamel: % 2 mogelijkheden, Halpin, Tsaj en Hahn, of Halpin en Tsaj. % Halpin, Tsaj en Hahn: 55 EtHTH = 1 / ( ( 1 / ( 4 Gtt ) ) + (1/(4 k ) ) + ( Mult ˆ2/ El ) ) ; % [Pa] % Halpin en Tsaj: (Gebruikt in PATO cursus) Et = Em ( ( Ef+2 ( v f Ef+vm Em) ) / (vm Ef+vf Em+2 Em) ) ; % [Pa] % vergelijk tussen (Halpin, Tsaj en Hahn) en (Halpin en Tsaj) 60 v g l = EtHTH / Et ; % [ ] % H&T is hoger dan HTH, misschien kiezen voor HTH 65 %% Bepalen Mutl % Mutl kan met Et, El en Mult berekend worden. (Nijhof blz. 47) Mutl = ( Mult/ El ) Et ; % [ ] %% Output: % file levert technische constanten: t c =[ El ; Et ; Glt ; Gtt ; Mult 10ˆ9; Mutl 1 0 ˆ 9 ] ; 70 % technische constanten weergeven: disp ( El : [ Gpa ] Et : [ Gpa ] Glt : [ Gpa ] Gtt : [ Gpa ] Mult : [ ] Mutl : [ ] ) disp (1 e 9 tc ) B.1.2 Qmat.m De functie qmat.m zet de technische constanten in de stijfheidsmatrix Q volgens vergelijkingen 3.15 en De code is hieronder weergegeven. 0 function [Q] = qmat ( El, Et, Mult, Mutl, Glt ) %% functie Qmat % bepalen Qmatrix uit technische constanten % El, Et, Mult en glt moeten uit tclaml.m gehaald worden. % 5 % Formules uit Isaac M. Daniel blz. 55 %(Engineering Mechanics of Composite Materials) % s1 Q11 Q12 0 e1 % s2 = Q12 Q22 0 e2 % t6 0 0 Q66 y6 10 %% elementen Q matrix definieren % componenten matrix berekenen: Q11 = El/(1 Mult Mutl ) ; % [Pa] 15 Q22 = Et/(1 Mult Mutl ) ; % [Pa] Q12 = ( Mutl El )/(1 Mult Mutl ) ; % [Pa] Q12=Q21 Q66 = Glt ; % [Pa] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

54 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA %% Q matrix aanmaken Q=[Q11 Q12 0 ; Q12 Q22 0 ; 0 0 Q66 ] ; B.2 Lamopbouw.m In de file lamopbouw.m kan de gebruiker de opbouw van het laminaat ingeven. Een laminaat is opgebouwd uit verschillende lamellen. Deze lamellen liggen elk onder een bepaalde hoek met de globale as van het laminaat. Ook heeft elke lamel een bepaalde dikte en bestaat het uit een bepaald materiaal. Er wordt per lamel gevraagd om: type materiaal, richting en dikte. Dan wordt het laminaat opgebouwd door de verschillende lamellen te stapelen. Dit programma genereert ook een richtings- en een materiaalvector. Deze worden later gebruikt in het programma laminaat.m. De dichtheid van het totale laminaat wordt ook berekend. De code van deze file is hieronder weergegeven. 0 %% Lamopbouw.m % Opbouw laminaat % ingeven verschillende materialen (vezel en matrix) lamel + dikte % ingeven richtingen lamel 5 %% Opbouwmatrix ingeven: % materiaal als 1=Q1 (materiaal 1) ingeven. % Mat1 hoek1 dikte > materiaal, richting en dikte lamel 1 % Mat2 hoek2 dikte > materiaal, richting en dikte lamel 2 % Mat3 hoek3 dikte > materiaal, richting en dikte lamel 3 10 % enz. enz. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % LET OP!!! % kan alleen unidirectionele vezels ingeven! 15 % voor weefsels (angle of cross ply), geef de richtingen als % aparte lagen met halve dikte in. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Om invoerproces te vergemakkelijken, geef laminaten een afkorting: % L1=lamel 1, L2=lamel 2 enz. 20 L1=[ ] ; L2=[ ] ; L3=[ ] ; L4=[ ] ; L5=[ ] ; L6=[ ] ; L7=[ ] ; % afkorting LAM=[L1, L4, L4, L1 ] ; %Laminaatmatrix met materiaal, richting en dikte per lamel. 25 %% Opbouwmatrices % opbouw verdelen in 2 matrices % Materiaalvector M en richtingvector R % dikte wordt in DIKTES.M afgehandeld. M=LAM( :, 1 ) ; % materiaalvector M 30 R=LAM( :, 2 ) ; % richtingvector R %% Dichtheid % berekenen van dichtheid laminaat. % eerst dikte per materiaal bepalen 35 % kan voor 3 materialen, vergelijkbaar met materiaal.m dm1=sum(lam( (LAM( :, 1 ) = = 1 ), 3 ) ) ; % dikte laminaat met materiaal 1

55 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 51 dm2=sum(lam( (LAM( :, 1 ) = = 2 ), 3 ) ) ; % dikte laminaat met materiaal 2 dm3=sum(lam( (LAM( :, 1 ) = = 3 ), 3 ) ) ; % dikte laminaat met materiaal 3 40 d t o t=dm1+dm2+dm3 ; % totale dikte laminaat % dan dichtheid totale laminaat bepalen: Rholaminaat=(dm1/ dtot ) r h o l 1 +(dm2/ dtot ) r h o l 2 +(dm3/ dtot ) r h o l 3 B.3 Laminaat.m De belangrijkste file in het programma is laminaat.m deze file roept alle andere files aan en genereert de technische constanten van het laminaat. Als input gebruikt het de waardes uit de materiaal.m en lamopbouw.m programma s. De diktes van de lamellen en hun posities worden berekend met de functie diktes.m. Daarna wordt de stijfheidsmatrix Q van een lamel getransformeerd met behulp van transformatiematrix T 1 via tmat.m. Vervolgens worden de matrices A, B en D berekend voor het laminaat met behulp van vergelijking De B matrix wordt bekeken, om te bepalen of het laminaat ontkoppeld is of niet. 2 Ook wordt gekeken naar A om te bepalen of het laminaat orthotroop is (B = 0 en A 16 = A 26 = A 61 = A 62 = 0), symmetrisch is (B = 0) of dat het een gekoppeld laminaat is(b 0). In de eerste twee gevallen kunnen de technische constanten worden berekend met behulp van vlakstijfheidsmatrix A. In het andere geval is de vlakcompliantiematrix a benodigd. De code van dit programma is hieronder weergegeven. 0 %% LAMINAAT.m % script file om laminaten te berekenen % Heeft MATERIAAL.M en LAMOPBOUW.M nodig % Levert Rek, koppel en buigstijfheidsmatrices A, B en D % Ook compliantiematrices a, b en d worden gemaakt. 5 % deze geven compliantiematrix COMP %% Werkwijze: % 1) Geef materialen in script MATERIAAL.M in % 2) Geef laminaatopbouw in script LAMOPBOUW.M in 10 % 3) Draai deze file (laminaat.m) vanuit MATLAB %% Esthetische output disp ( ) ; 15 %% laden materialen m a t e r i a a l ;% runt MATERIAAL.M > materialen daar wijzigen % hieruit volgen Q1, Q2 en Q3, voor elk materiaal een Q matrix %% Laminaatopbouw laden 20 lamopbouw ; % runt LAMOPBOUW.M > opbouw daar wijzigen % hieruit volgt matrix LAM, met daarin voor elke lamel: % Matariaalsoort, richting, dikte % geeft vectoren M en R voor materiaal en richting 2. Helaas ontstaat er bij de berekening van B af en toe een afrondingsfout in Matlab. Dit komt doordat een klein getal (10 6 ) met een zeer groot getal (10 12 ) wordt vermenigvuldigd en daarna wordt opgeteld. Deze afrondingsfout zorgt voor een significante fout bij de berekening van a en dient dus te worden voorkomen. Dit wordt gedaan door kleine waardes in B expliciet op 0 te zetten (zie regels 69 t/m 78).

56 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA %% Positie lamellen bepalen % uit DIKTES.M en LAMOPBOUW de posities van de lamellen halen % LAMOPBOUW.M is al eerder gestart, dus LAM is bekend LD=d i k t e s (LAM) ; % LD is matrix met posities 30 %% Berekeningen % per lamel transformatiematrix Tinv maken (T is niet nodig) % per lamel Q laden en transformeren via Tinv % per lamel hk en hk 1 bepalen (uit LD halen) % berekenen A, B en D 35 % startwaardes ingeven n=size (LD, 1 ) ; % aantal lamellen % aanmaken lege A, B en D matrices A=zeros ( 3, 3 ) ; % reksijfheidsmatrix 40 B=zeros ( 3, 3 ) ; % koppelstijfheidsmatrix D=zeros ( 3, 3 ) ; % buigstijfheidsmatrix % met for loop alle lamellen doorlopen for i =1:n 45 i f M( i,1)==1, Q=Q1 ; % welk materiaal e l s e i f M( i,1)==2, Q=Q2 ; % welk materiaal e l s e i f M( i,1)==3, Q=Q3 ; % welk materiaal else disp ( i n c o r r e c t m a t e r i a a l > m a t e r i a a l.m aanpassen! ) end 50 hb=ld( i, 1 ) ; ho=ld( i, 2 ) ; % boven en onderkant lamel Tinv=tmat (R( i, 1 ) ) ; % Tinv bepalen via hoek Qt=Tinv Q Tinv ; % getransformeerde Q bepalen. % Zie einde file voor info. A=A+Qt ( hb ho ) ; % A matrix 55 B=B+(1/2) Qt ( hbˆ2 ho ˆ 2 ) ; % B matrix D=D+(1/3) Qt ( hbˆ3 ho ˆ 3 ) ; % D matrix end %% Symmetrie en Orthotropie 60 % controleren op symmetrie: [B]=[0] % en orthotropie: [B]=[0] en A13=A23=0 % Bij orthotropie zijn technische constanten uit [A] te halen % bij symmetrie zijn technische constanten uit [A] te halen % Als er geen symmetrie of orthotropie is, worden de 65 %technische constanten uit [a] gehaald. % eerst dikte laminaat h bepalen h=sum(lam, 1 ) ; h=h ( 1, 3 ) ; % dikte laminaat=h % Bekijken of B matrix 0 is: 70 Btemp=B; % aanmaken tijdelijke B matrix Btemp( abs (B( :, : ) ) < 1 e 4)=0; % waardes in B die kleiner zijn dan 1e 4 worden 0. % wegens afrond fout in MATLAB wordt B niet altijd 0 % waar deze wel 0 zou moeten zijn. Deze stap zet B handmatig op % 0 als B klein genoeg is. Kleinste te verwachten waarde van B 75 % is 1e 1. Fout is meestal in orde van 1e 10. Helaas heeft A een % waarde van 1e9 waardoor resultaten beïnvloed kunnen worden. B2=B; A2=A; D2=D; % tijdelijk B=Btemp ; % Nieuwe B matrix. 80 % Voor de zekerheid wordt dit trucje ook op A en D toegepast:

57 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA Atemp=A; % aanmaken tijdelijke A matrix Atemp( abs (A( :, : ) ) < 1 e 4)=0; A=Atemp ; Dtemp=D; % aanmaken tijdelijke D matrix Dtemp( abs (D( :, : ) ) < 1 e 4)=0; D=Dtemp ; % bepalen symmetrie of orthotropie i f B==0 & A(1,3)==0 & A(2,3)==0 % Orthotropie Ex=(A( 1, 1 ) A(2,2) A( 1, 2 ) ˆ 2 ) / ( h A( 2, 2 ) ) ; % Ex Ey=(A( 1, 1 ) A(2,2) A( 1, 2 ) ˆ 2 ) / ( h A( 1, 1 ) ) ; % Ey 90 Muxy=A( 1, 2 ) /A( 2, 2 ) ; % Muxy % wegen symmetrie van laminaat: Muxy/Ex = Muyx/Ey Muyx=Ey (Muxy/Ex) ; % Muyx Gxy=A( 3, 3 ) / h ; % Gxy disp ( ( semi ) Orthotroop m a t e r i a a l ) 95 t c c =[Ex/1 e9, Ey/1 e9, Muxy, Muyx, Gxy/1 e9 ] ; % technische constanten disp ( Ex [ Gpa ] Ey [ Gpa ] Muxy [ ] Muyx [ ] Gxy [ Gpa ] ) disp ( t c c ) % complianties bepalen, zodat rekken e kunnen worden berekend via: % e = COMP N, waar N de krachten op het laminaat zijn. 100 [ a, b, d,comp]= c o m p l i a n t i e (A, B,D) ; % programma COMPLIANTIE.M runnen e l s e i f B==0 % Symmetrie Ex=(A( 1, 1 ) A(2,2) A( 1, 2 ) ˆ 2 ) / ( h A( 2, 2 ) ) ; % Ex Ey=(A( 1, 1 ) A(2,2) A( 1, 2 ) ˆ 2 ) / ( h A( 1, 1 ) ) ; % Ey Muxy=A( 1, 2 ) /A( 2, 2 ) ; % Muxy 105 % wegen symmetrie van laminaat: Muxy/Ex = Muyx/Ey Muyx=Ey (Muxy/Ex) ; % Muyx Gxy=A( 3, 3 ) / h ; % Gxy disp ( symmetrisch m a t e r i a a l ) disp ( probeer A13=0 en A23=0 t e k r i j g e n ) 110 t c c =[Ex/1 e9, Ey/1 e9, Muxy, Muyx, Gxy/1 e9 ] ; % technische constanten disp ( Ex [ Gpa ] Ey [ Gpa ] Muxy [ ] Muyx [ ] Gxy [ Gpa ] ) disp ( t c c ) % complianties bepalen, zodat rekken e kunnen worden berekend via: % e = COMP N, waar N de krachten op het laminaat zijn. 115 [ a, b, d,comp]= c o m p l i a n t i e (A, B,D) ; % programma COMPLIANTIE.M runnen else % Zorg voor ORTHOTROOP materiaal! % Dit betekend het volgende: % [B]=[0] 120 % A13=A23=0 % Technische constanten kunnen voor gekoppeld materiaal % ([B]<>0) wel worden berekend, maar kunnen alleen met % grote omzichtigheid worden gebruikt. Nijhof blz % 125 % Technische constanten bepalen: % a, b en d worden met programma COMPLIANTIE.M berekend [ a, b, d,comp]= c o m p l i a n t i e (A, B,D) ; % programma COMPLIANTIE.M runnen Ex=1/(a ( 1, 1 ) h ) ; % Ex Ey=1/(a ( 2, 2 ) h ) ; % Ey 130 Muxy= a ( 2, 1 ) / a ( 1, 1 ) ; % Muxy Muyx= a ( 2, 1 ) / a ( 2, 2 ) ; % Muyx Gxy=1/(a ( 3, 3 ) h ) ; % Gxy A % geeft A weer B % geeft B weer. B moet 0 zijn!!! 135 D % geeft D weer. disp ( Laminaat i s n i e t ontkoppeld! ) disp ( c o n t r o l e e r : )

58 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 54 disp ( i s [B] = [ 0 ]? ) disp ( i s A13=A23=0? ) 140 disp ( i s D13=D23=0? ) % t c c =[Ex/1 e9, Ey/1 e9, Muxy, Muyx, Gxy/1 e9 ] ; % tech. const. disp ( Technische constanten : PAS OP MET GEBRUIK. Laminaat i s n i e t ontkoppeld! ) 145 disp ( Ex [ Gpa ] Ey [ Gpa ] Muxy [ ] Muyx [ ] Gxy [ Gpa ] ) disp ( t c c ) end %% Esthetische output 150 disp ( ) ; %% Extra info: %% Q trans, transformeren van Q via Tinv % 155 % Getransformeerde matrix Qt wordt berekend via: % Q11 Q12 0 % [Qt] = [Tinv] Q12 Q22 0 [Tinv] % 0 0 Q66 % Nijhof (Pato) blz 16(deel 6) en Van de Ven, blz 109, eq % Klopt volgens Daniel, blz 59, eq B.3.1 Diktes.m De functie diktes.m wordt aangeroepen om de diktes en posities van de lamellen te berekenen, zoals in figuur 3.3. Hieronder staat de code van deze file. 0 function [LD]= d i k t e s (LAM) %% diktes.m % neemt matrix LAM, uit laminaatopbouw.m % en berekend daar alle diktes (onder en bovenkant) van elke lamel uit. % levert matrix LD met waarden van hk en hk 1 (zie Daniel blz 151) 5 %% startcondities [ d]=lam( :, 3 ) ; % dikte matrix aanmaken n=length ( d ) ; % aantal rijen LD=zeros ( n, 2 ) ; % output matrix, eerste kol=hk (boven), 2e kol=hk 1(onder) 10 h0 =0.5 sum(d, 1 ) ; % hoogte middenvlak LD(1,1)= h0 ; % bovenkant laminaat (=bovenkant bovenste lamel) %% for loop beginnen for i =1:n 15 LD( i,2)=ld( i,1) d ( i, 1 ) ; i f i <n LD( i +1,1)=LD( i, 2 ) ; else end 20 end %% output LD; % matrix met diktes

59 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 55 B.3.2 Tmat.m Om matrix Q te transformeren is transformatiematrix T 1 benodigd. Deze wordt berekend met functie tmat.m, volgens vergelijkingen 3.20 en Hieronder staat de code van deze functie. 0 function [ Tinv ] = tmat ( hoek ) %% Functie tmat.m % om T matrix te bepalen. % om stijfheidsmatrix Q van de lamellen te transformeren naar algemeen % coördinaatstelsel. Geeft de ligging (richting) van de lamellen weer. 5 % met m=cos(theta), n=sin(theta) % Laminaat ligt in Theta=0 als hoofdrichting op x as ligt. % Positieve hoek Theta is draaien richting y as. % 10 %% LET OP!!! % Nijhof gebruikt een andere definitie voor de transformatiehoek van de % vezelrichting. Zie Nijhof blz. 58, fig % Dit heeft als gevolg dat Qt16 en Qt26 van teken veranderen. % Zie ook eq uit Nijhof, blz %% Ingeven hoek Theta Th = ( ( 2 pi ) / ( ) ) hoek ; %% Aanmaken elementen T matrix 20 c = cos (Th) ; % [ ] s = sin (Th) ; % [ ] % T matrix aanmaken: % T is nodig voor S matrix, Tinv wordt gebruikt voor Qmatrix. 25 % T=[c^2 s^2 2 c s; % s^2 c^2 2 c s; % c s c s c^2 s^2] ; % Nu inverse van T aanmaken (T 1) 30 % niet via >>inv(t) ; te omslachtig. Maar via eq. 3.62, blz 57 van I.Daniel Tinv = [ c ˆ2 s ˆ2 2 c s ; s ˆ2 c ˆ2 2 c s ; c s c s cˆ2 s ˆ 2 ] ; B.3.3 Compliantie.m Om de technische constanten van een symmetrisch of gekoppeld laminaat te berekenen zijn de complianties a, b en d nodig. Deze worden berekend met de functie compliantie.m, via vergelijking De code staat hieronder weergegeven. 0 function [ a, b, d,comp] = c o m p l i a n t i e (A, B,D) %% COMPLIANTIE.M % berekend compliantiematrix COMP % Uit Nijhof blz 178 % COMP = a b 5 % bt d % % [a]=inv([a] [B][D]^ 1[B]) % [b]= [a][b][d]^ 1

60 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA % [d]=inv([d] [B][A]^ 1[B]) % eerst inversen bepalen Ainv=inv (A) ; % inverse A % Binv=inv(B) ; % inverse B, niet nodig Dinv=inv (D) ; % inverse D a=inv (A B Dinv B) ; % compliantie a b= a B Dinv ; % compliantie b d=inv (D B Ainv B) ; % compliantie d 20 % compliantiematrix: COMP=[a b ; b d ] ; % compliantiematrix B.4 Tcplot.m De file tcplot.m is vergelijkbaar met laminaat.m in zijn werking. Het verschil zit in de extra for loop welke de technische constanten over een hoek θ uitrekent. Hierna worden deze constanten in poolcoördinaten weergegeven over een rotatie van 0 tot 360 graden. De code voor deze file is onderstaand weergegeven. 0 %% Plotten van technische constanten % tcplot.m % file om stijfheden in verschillende richtingen te plotten. % Zelfde als laminaat.m maar dan met for loop om verschillende richtingen % te berekenen. 5 %% Esthetische output disp ( ) ; 10 %% laden materialen m a t e r i a a l ;% runt MATERIAAL.M > materialen daar wijzigen % hieruit volgen Q1, Q2 en Q3, voor elk materiaal een Q matrix %% Laminaatopbouw laden 15 lamopbouw ; % runt LAMOPBOUW.M > opbouw daar wijzigen % hieruit volgt matrix LAM, met daarin voor elke lamel: % Matariaalsoort, richting, dikte % geeft vectoren M en R voor materiaal en richting 20 %% Positie lamellen bepalen % uit DIKTES.M en LAMOPBOUW de posities van de lamellen halen % LAMOPBOUW.M is al eerder gestart, dus LAM is bekend LD=d i k t e s (LAM) ; % LD is matrix met posities 25 %% Berekeningen % per lamel transformatiematrix T maken (Tinv, T is niet nodig) % per lamel Q laden en transformeren via Tinv % per lamel hk en hk 1 bepalen (uit LD halen) % berekenen A, B en D 30 % startwaardes ingeven

61 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 57 n=size (LD, 1 ) ; % aantal lamellen % eerst dikte laminaat h bepalen 35 h=sum(lam, 1 ) ; h=h ( 1, 3 ) ; % dikte laminaat=h % Lege matrix tech. const aanmaken: % welke hoeken? eindhoek = ; % van 0 tot 360 graden 40 staphoek = 1 ; % in stappen van... graden aantstap=eindhoek / staphoek +1 ; % aantal stappen mxtc=zeros ( aantstap, 6 ) ; % van 0 tot 360 in stappen van..., en 5 const. + hoek grad =0; % eerste hoek is 0 graden 45 %% for loop om richtingen te doorlopen: for gind =1:1: aantstap ; % Graden INDex loopt van 0 tot aantal stappen % aanmaken lege A, B en D matrices A=zeros ( 3, 3 ) ; % reksijfheidsmatrix B=zeros ( 3, 3 ) ; % koppelstijfheidsmatrix 50 D=zeros ( 3, 3 ) ; % buigstijfheidsmatrix % met for loop alle lamellen doorlopen for i =1:n i f M( i,1)==1, Q=Q1 ; % welk materiaal 55 e l s e i f M( i,1)==2, Q=Q2 ; % welk materiaal e l s e i f M( i,1)==3, Q=Q3 ; % welk materiaal else disp ( i n c o r r e c t m a t e r i a a l > m a t e r i a a l.m aanpassen! ) end hb=ld( i, 1 ) ; ho=ld( i, 2 ) ; % boven en onderkant lamel 60 Tinv=tmat (R( i,1) grad ) ; % Tinv bepalen via hoek, grad om te roteren Qt=Tinv Q Tinv ; % getransformeerde Q bepalen. % Zie einde file voor info. A=A+Qt ( hb ho ) ; % A matrix B=B+(1/2) Qt ( hbˆ2 ho ˆ 2 ) ; % B matrix 65 D=D+(1/3) Qt ( hbˆ3 ho ˆ 3 ) ; % D matrix end %% Bekijken of B matrix 0 is: Btemp=B; % aanmaken tijdelijke B matrix 70 Btemp( abs (B( :, : ) ) < 1 e 4)=0; % waardes in B die kleiner zijn dan 1e 4 worden 0. % wegens afrond fout in MATLAB wordt B niet altijd 0 % waar deze wel 0 zou moeten zijn. Deze stap zet B handmatig op % 0 als B klein genoeg is. Kleinste te verwachten waarde van B % is 1e 1. Fout is meestal in orde van 1e 10. Helaas heeft A een 75 % waarde van 1e9 waardoor resultaten beïnvloed kunnen worden. B=Btemp ; % Nieuwe B matrix. % Voor de zekerheid wordt dit trucje ook op A en D toegepast: Atemp=A; % aanmaken tijdelijke A matrix 80 Atemp( abs (A( :, : ) ) < 1 e 4)=0; A=Atemp ; Dtemp=D; % aanmaken tijdelijke D matrix Dtemp( abs (D( :, : ) ) < 1 e 4)=0; D=Dtemp ; %% Complianties berekenen: 85 [ a, b, d,comp]= c o m p l i a n t i e (A, B,D) ; % programma COMPLIANTIE.M runnen Ex=1/(a ( 1, 1 ) h ) ; % Ex Ey=1/(a ( 2, 2 ) h ) ; % Ey Muxy= a ( 2, 1 ) / a ( 1, 1 ) ; % Muxy

62 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 58 Muyx= a ( 2, 1 ) / a ( 2, 2 ) ; % Muyx 90 Gxy=1/(a ( 3, 3 ) h ) ; % Gxy %% Waardes in matrix stoppen: % [Grad Ex Ey Muxy Muyx Gxy] mxtc ( gind, : ) = [ grad Ex Ey Muxy Muyx Gxy ] ; % vector met constanten 95 grad=grad+staphoek ; % waarden grad verhogen. end 100 %% Poolcoördinaten: hoek=mxtc ( :, 1 ) / pi ; % hoek definieren, makkelijk om te plotten %% PLOTTEN % PLOT in poolcoördinaten figure ( 1 ) polar ( hoek, mxtc ( :, 2 ), b ) ; 105 t i t l e ( E modulus over hoek theta ) 110 figure ( 2 ) polar ( hoek, mxtc ( :, 6 ) ) ; t i t l e ( Gxy over hoek theta ) figure ( 3 ) polar ( hoek, mxtc ( :, 4 ) ) ; t i t l e ( Muxy over hoek theta ) B.5 Verplaatsingen.m Het gedrag van een laminaat kan inzichtelijk worden gemaakt door het tekenen van de vervorming ten gevolge van een opgelegde belasting. In hoofdstuk 4 zijn een aantal figuren te zien geweest (4.11, 4.12, 4.13 en 4.15) waarin de vervorming van het laminaat grafisch is weergegeven. Deze vervormingen zijn berekend aan de hand van vergelijking 3.30 en de rekken en krommingen zoals zijn gegeven in hoofdstuk A (vergelijkingen A.3, A.4, A.5 en A.9). Het laminaat programma berekend de rekken en krommingen voor een aantal verschillende punten in een denkbeeldig stukje laminaat. Voor elk punt (node) worden afzonderlijk de coördinaten getransformeerd naar het nieuwe assenstelsel volgens hoofdrichtingen N 1 en N 2. Hiervoor wordt een transformatiematrix T geïntroduceerd, welke de inverse van de matrix met hoofdrichtingen N is. Daarna worden de nodes vervormd via de hoofdrekken ɛ 1 en ɛ 2 en hoofdkrommingen κ 1 en κ 2. Vervolgens worden de nodes teruggetransformeerd naar de originele x- en y-coördinaten en getekend in een 3d ruimte. Als vergelijk wordt ook het onvervormde laminaat getekend. Hierbij dient te worden opgemerkt dat de regels voor rekken en krommingen slechts geldig zijn voor kleine deformaties, wegens de gebruikte linearisatie. De getekende vervorming dient voornamelijk als hulpmiddel bij het verkrijgen van inzicht in het materiaalgedrag. Ook tekent het laminaat programma de cirkel van Mohr voor de rekken in het laminaat. Dit gebeurt via de regels voor de cirkel van Mohr in paragraaf A.1.1. De code van het programma is onderstaand weergegeven. 0 %% verplaatsingen.m

63 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 59 % m file om de verplaatsingen van een punt te bepalen. % Eerst wordt de rek en krommingsvector genomen. % Dit gaat via: % e = COMP N 5 % k COMP M %COMP komt uit laminaat.m % de vector waar N en M in zitten moet zelf aangegeven worden. % N zijn krachten (normaal en schuif), en M zijn momenten (voor buig en torsie) % e zijn rekken; normaal en afschuif 10 % k zijn krommingen; buig en torsie %% INPUT % N zijn krachten per lengte eenheid: % Ook M is per lengte eenheid. 15 % Om juiste waarden te krijgen, moet de geometrie worden ingegeven % % GEOMETRIE: l e n g t e =0.1; % [m], lengte in meters b r e e d t e =0.01; % [m], breedte in meters 20 % Dikte kan uit LAMINAAT.M gehaald worden, heet daar h % eerst laminaat.m draaien: laminaat % laminaat, met output, zodat te zien is of laminaat ontkoppeld is. d i k t e=h ; % [m] 25 % NODES % plaatje (geometrie) wordt opgedeeld in een aantal nodes. nodel=l e n g t e / 2 0 ; nodeb=b r e e d t e / 1 0 ; % nu worden coordinaten van nodes gemaakt x=0: nodel : l e n g t e ; 30 y=0: nodeb : b r e e d t e ; o r i g=zeros ( length ( x ), length ( y ) ) ; % Krachten: % normaalkrachten: Nx=Fx/B en Ny=Fy/L % afschuiving: Nxy=Fxy/L > LET OP!!! Nxy=Nyx, maar Fxy =not Fyx!!! 35 % want: Nyx=Fyx/B % %% KRACHTEN INGEVEN: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Opgeven krachten (per oppervlak eenheid [N/m2]): 40 Fx=5e8 ; % [N/m2] kracht in x richting, over breedte Fy=0; % [N/m2] krecht in y richting, over lengte Fxy=0; % [N/m2] afschuifkracht in y richting op vlak met normaal x. % Opgeven momenten (per lengte eenheid [Nm/m]): 45 Mx=0; % [Nm/m] moment in x richting (om y as). In Newton meter, over breedte My=0; % [Nm/m] moment in y richting (om x as). In Newton meter, over lengte Mxy=0; % [Nm/m] torsiemoment in xy richting. In Newton meter, over breedte %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 50 % Berekenen Vector N (krachten vermenigvuldigen met lengte of breedte): N=[Fx d i k t e Fy d i k t e Fxy d i k t e Mx breedte My l e n g t e Mxy breedte ] ; %N %% Berekenen rekken: 55 rek=comp N %% Bepalen rektensor en krommingstensor:

64 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA t e n s e =[ rek ( 1 ) rek ( 3 ) ; % ex exy rek ( 3 ) rek ( 2 ) ] ; % rektensor e: exy ey tensk =[ rek ( 4 ) rek ( 6 ) ; % kx kxy rek ( 6 ) rek ( 5 ) ] ; % rektensor k: kxy ky 65 %% Rekken: % Als er geen afschuifrek is (rek(3)=tense(1,2)=tense(2,1)=0) dan zijn de % gegeven rekken de hoofdrekken. % Dan geldt dus: e1=rek(1), e2=rek(2) en richtingen N1=x en N2=y 70 i f t e n s e (1,2)==0 eh1=t e n s e ( 1, 1 ) ; eh2=t e n s e ( 2, 2 ) ; % hoofdrekken zijn de rekken eh=[ eh1 ; eh2 ] ; % hoofdrek matrix Nh1=[1 0 ] ; Nh2=[0 1 ] ; % hoofdrichtingen in x en y richting else 75 %% Bepalen Hoofdrekken en krommingen % Principal strains en principal directions bepalen % via Geers: blz. 55 % hoofdrekken: det e I epsilon =0 80 % hoofdrichtingen: (e I epsilon_i) N_i=0 % % de hoofdrekken zijn de eigenwaarden van de rektensor. eh=eig ( t e n s e ) ; % hoofdrekken eh1 en eh2 eh1=eh ( 1 ) ; eh2=eh ( 2 ) ; % hoofdrekken 85 % Hoofdrichtingen: N1temp=tense eye ( 2 ) eh1 ; N2temp=tense eye ( 2 ) eh2 ; 90 % Nu geldt: % N1temp N1=0 en N2temp N2=0 % Omdat N1temp(2,1)=N1temp(2,2)=0 (geldt altijd!!!) % kan de volgende vergelijking worden gedaan: % N1temp(1,1) N11+N1temp(1,2) N12=0 95 % zodat: N1temp(1,1)= N1temp N12 % kies N11 willekeurig positief (=1), zodat: N11=1; N12=N1temp(1,1)/ N1temp ( 1, 2 ) ; N1=[N11 N12 ] ; 100 % en voor N2: N21=1; % [x y] N22=N2temp(1,1)/ N2temp ( 1, 2 ) ; N2=[N21 N22 ] ; % [x y] 105 % normaliseren: Nh1=N1/norm(N1 ) ; Nh2=N2/norm(N2 ) ; end % genormaliseerde N1 % genormaliseerde N2 110 % Richtingen van hoofdrekken moeten worden genormaliseerd: % worden tevens in een matrix gezet: % Nh= N11 N12 < getransponeerd! % N21 N22 % zodat hoofdrekken met richtingen kunnen worden vermenigvuldigd tot

65 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA % rek in x en y richting. Nh=[Nh1 Nh2 ] ; % hoofdrichtingen in matrix (is nu getransponeerd) % hoofdrichtingen plotten: (worden vermenigvuldigd met 1/5 lengte, zodat ze % niet veel te lang of veel te kort worden) nhx1=[0 Nh1 ( 1 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % x waarden 120 nhy1=[0 Nh1 ( 2 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % y waarden nhz1 =[0 0 ] ; % z waarden nhx2=[0 Nh2 ( 1 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % x waarden nhy2=[0 Nh2 ( 2 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % y waarden nhz2 =[0 0 ] ; % z waarden 125 % Nh zijn hoofdrichtingen, nu wordt transformatiematrix T bepaald % T zorgt voor mapping van x y op N1 en N2 % transformatiematrix T is inverse van Nh: T=inv (Nh ) ; 130 % Nu kan elke x,y coordinaat omgezet worden in N1 en N2 coordinaten. % Via: T x %% Krommingen (curvatures) % Zelfde als rekken: 135 i f tensk (1,2)==0 kh1=tensk ( 1, 1 ) ; kh2=tensk ( 2, 2 ) ; % hoofdkrommingen zijn de krommingen kh=[ kh1 ; kh2 ] ; % hoofdkromming matrix Nkh1=[1 0 ] ; Nkh2=[0 1 ] ; % hoofdrichtingen in x en y richting else 140 kh=eig ( tensk ) ; % hoofdrekken eh1 en eh2 kh1=kh ( 1 ) ; kh2=kh ( 2 ) ; % hoofdrekken % Hoofdrichtingen: Nk1temp=tensk eye ( 2 ) kh1 ; 145 Nk2temp=tensk eye ( 2 ) kh2 ; Nk11=1; Nk12=Nk1temp(1,1)/ Nk1temp ( 1, 2 ) ; Nk1=[Nk11 Nk12 ] ; % [x y] 150 % en voor N2: Nk21=1; Nk22=Nk2temp(1,1)/ Nk2temp ( 1, 2 ) ; Nk2=[Nk21 Nk22 ] ; % [x y] 155 % normaliseren: Nkh1=Nk1/norm( Nk1 ) ; Nkh2=Nk2/norm( Nk2 ) ; end % genormaliseerde N1 % genormaliseerde N2 160 Nkh=[Nkh1 Nkh2 ] ; % hoofdrichtingen in matrix (is nu getransponeerd) % hoofdrichtingen plotten: (worden vermenigvuldigd met 1/5 lengte, zodat ze % niet veel te lang of veel te kort worden) nkhx1=[0 Nkh1 ( 1 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % x waarden nkhy1=[0 Nkh1 ( 2 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % y waarden 165 nkhz1 =[0 0 ] ; % z waarden nkhx2=[0 Nkh2 ( 1 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % x waarden nkhy2=[0 Nkh2 ( 2 ) ] 1 / 5 l e n g t e ; % y waarden nkhz2 =[0 0 ] ; % z waarden 170 % Nh zijn hoofdrichtingen, nu wordt transformatiematrix T bepaald % T zorgt voor mapping van x y op N1 en N2

66 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 62 % transformatiematrix T is inverse van Nh: Tk=inv (Nkh ) ; 175 %% Verplaatsingen % de verplaatsingen van elk punt worden gegeven in hoofdrichtingen % Un1 (verplaatsing u in richting N1) en Vn2 (verplaatsing v in richting N2) % Un1=En1 xn1 en Un2=En2 yn2 180 % eerst lege verplaatsingsmatrices aanmaken: u=zeros ( length ( x ), length ( y ) ) ; v=zeros ( length ( x ), length ( y ) ) ; w=zeros ( length ( x ), length ( y ) ) ; 185 % Dit moet voor elk punt worden berekend i =0; j =0; % loopvariabelen op 0 zetten for i =1:1: length ( x ) for j =1:1: length ( y ) node=[x ( i ) ; y ( j ) ] ; % node is coordinaat van punt 190 node=t node ; % coordinaat wordt getransformeerd verp=node. eh ; % verplaatsing wordt berekend uv=nh verp ; % verplaatsing wordt terug getransformeerd u ( i, j )=x ( i )+uv ( 1 ) ; v ( i, j )=y ( j )+uv ( 2 ) ; % verplaatsingen in matrices end 195 end % krommingen i =0; j =0; for i =1:1: length ( x ) 200 for j =1:1: length ( y ) node=[x ( i ) ; y ( j ) ] ; node=tk node ; verp=node. kh ; wxy=nkh verp ; 205 w( i, j )=( 1/2) wxy ( 1 ) ( x ( i ))ˆ2 (1/2) wxy ( 2 ) ( y ( j ) ) ˆ 2 ; end end %% Maxima 210 % Bepalen maxima % maximale uitwijking in x richting (u) umax=max(max( u ) ) ; % maximum u % maximale uitwijking in y richting (v) vmax=max(max( v ) ) ; % maximum v 215 % maximale uitwijking in z richting (w) wmax=max(max(w ) ) ; % maximum w % grootste uitwijking: totmax=max( [ umax vmax wmax ] ) ; 220 %% MOHR s strain circle % tekenen van rek cirkel van Mohr. % Cirkel heeft middelpunt (a,0) en straal R. % Hoek theta geeft richting van afschuifrek weer % a=1/2 (e1 + e2) % waar e1 en e2 de hoofdrekken zijn. 225 % R=1/2 (e1 e2) % waar e1 en e2 de hoofdrekken zijn. % eerst grootste hoofdrek bepalen: (ep1 is max, ep2 is min) ep1=max( eh1, eh2 ) ; ep2=min( eh1, eh2 ) ; a =(1/2) ( ep1+ep2 ) ; % middelpunt cirkel van Mohr

67 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 63 R=(1/2) ( ep1 ep2 ) ; % Straal cirkel van Mohr 230 % Dan x coördinaat van afschuifrek bepalen: exmr=sqrt (Rˆ2 ( rek (3))ˆ2)+ a ; % x coördinaat (+a want verschoven) % vector met pijl in afschuifrichting: afx =[a exmr ] ; afy =[0 rek ( 3 ) ] ; 235 % waarden van x en y samenstellen: hoek = 0 : : 2 pi ; % hoek waarover geplot wordt xmr=a+r ( cos ( hoek ) ) ; % waarde van x bij hoek ymr=r ( sin ( hoek ) ) ; % waarde van y bij hoek % Gradenboog voor theta: 240 thmax=asin ( rek ( 3 ) /R) ; % bepalen of hoek positief of negatief is: i f thmax < 0 stap = 0.01; % als hoek negatief is, wordt de stap ook negatief else 245 stap =0.01; % hoek is positief, stap ook end thhoek =0: stap : thmax ; % van 0 met stap naar thmax thx=a +(1/5) R cos ( thhoek ) ; % waardes x over theta thy =(1/5) R sin ( thhoek ) ; % waardes y over theta 250 %% controleren of linearisatie nog geldig is. % Linearisatie van rek mag enkel als rekken klein zijn % In Geers blz. 46 wordt de grens bij een verlenging van 1.05 gelegd. % dat is dus een rek van 5% 255 i f abs ( eh1 ) >0.05 disp ( rek i n N1 r i c h t i n g t e groot ) e l s e i f abs ( eh2 ) >0.05 disp ( rek i n N2 r i c h t i n g t e groot ) else 260 end %% Plotten % eerst origineel plotten: hold o f f 265 figure ( 1 ) mesh( x, y, o r i g, EdgeColor, blue ) alpha ( 0. 3 ) hold on surf (u, v,w) 270 colormap hsv plot3 ( nhx1, nhy1, nhz1, r o, nhx2, nhy2, nhz2, r > ) plot3 ( nkhx1, nkhy1, nkhz1, m o, nkhx2, nkhy2, nkhz2, m > ) xlabel ( x ) ylabel ( y ) 275 legend ( o r i g i n e e l, gedeformeerd, hoofdrek N1, hoofdrek N2, hoofdkromming N1, hoofdkromming N2 ) %axis([ ]) t i t l e ( V e r p l a a t s i n g e n ) 280 % Mohr cirkel: % instellen assen: margin=1/6 R; % margin om plot xmin=a R margin ; xmax=a+r+margin ; 285 ymin= R margin ;

68 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 64 ymax=r+margin ; % maximum afstand tot oorsprong: totmax=max( abs ( xmin ), abs (xmax ) ) ; % totmax is grootste afstand figure ( 2 ) 290 plot (xmr, ymr, b, afx, afy,, l i n e w i d t h, 2 ) % hoek theta tekenen: hold on plot ( thx, thy, b, l i n e w i d t h, 1 ) axis ([ totmax totmax totmax totmax ] ) 295 text ( thx ( 1 ), thy ( 1 ), 2\ theta, h o r i z o n t a l a l i g n m e n t, l e f t, v e r t i c a l a l i g n m e n t, bottom, f o n t s i z e,16, f o n t w e i g h t, bold ) % assen tekenen: hold on plot ( [ 0 0],[ totmax totmax ], k,[ totmax totmax ], [ 0 0 ], k )% x en y as 300 text ( ep1, 0, \ e p s i l o n 1, h o r i z o n t a l a l i g n m e n t, l e f t, v e r t i c a l a l i g n m e n t, top, f o n t s i z e,16, f o n t w e i g h t, bold ) text ( ep2, 0, \ e p s i l o n 2, h o r i z o n t a l a l i g n m e n t, r i g h t, v e r t i c a l a l i g n m e n t, top, f o n t s i z e,16, f o n t w e i g h t, bold ) text ( afx ( 2 ), afy ( 2 ), \gamma {xy}, h o r i z o n t a l a l i g n m e n t, r i g h t, 305 v e r t i c a l a l i g n m e n t, bottom, f o n t s i z e,16, f o n t w e i g h t, bold ) text ( a, 0, a, v e r t i c a l a l i g n m e n t, top, h o r i z o n t a l a l i g n m e n t, r i g h t, f o n t s i z e, 1 6 ) text ( ( 1 / 2 ) ( a+afx ( 2 ) ), ( 1 / 2 ) afy ( 2 ), R, v e r t i c a l a l i g n m e n t, top, f o n t s i z e, 1 6 ) 310 set ( figure ( 2 ), u n i t s, c e n t i m e t e r s ) set ( figure ( 2 ), p o s i t i o n, [ ] ) %title( Mohr strain circle, fontsize,18) xlabel ( \ e p s i l o n {xx}, f o n t s i z e, 18) ylabel ( \ e p s i l o n {xy}, f o n t s i z e, 18) 315 %% Output output =[ep1, ep2, rek ( 3 ), a, R, ( thmax /(2 pi ) ) / 2 ] ; disp ( Mohr s t r a i n c i r c l e : ) disp ( e1 e2 gamma( xy ) a R theta [ graden ] ) 320 disp ( output ) B.6 Demping.m Om de meetdata uit de experimenten te kunnen analyseren is een programma geschreven dat deze taken automatiseert. Het programma heeft als invoer de meetdata en een aantal door de gebruiker in te geven waarden nodig. Het programma berekend de dempingsconstante van een materiaal en laat de meetdata in een grafiek zien. De code van dit programma is hieronder weergegeven. 0 clear a l l %% DEMPING.M % programma om demping van materiaal te bepalen. % leest waarden van Laser interferrometer uit: % tg.output uit data kaart opslaan als meetdata1 enz. 5 % welk materiaal? % keuze uit: % orig = origineel koolstof

69 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA % A1 en A2 = [0/0/0/0] uit oven % B = [0/90/90/0] uit oven % C1 en C2 = [0/0/0/0] uit pers % Alu en Staal o r i g =1; A1=2; A2=3; B=4; C1=5; C2=6; Alu=7; S t a a l =8; 15 % ingeven materiaal: mat=o r i g ; % ingeven materiaal switch mat c a s e {1} 20 F=3.36; u=3.193 e 3; arm=83.1 e 3; b=21.7 e 3; h=1.0e 3; L=114e 3; s t a r t = e5 ; t i j d =3; mstrookje=4e 3; load data1 (CFRP). mat c a s e {2} F=24.8; u=5.839 e 3; arm=82.5 e 3; b=22.2 e 3; h=1.6e 3; L=125e 3; 25 s t a r t =6.245 e4 ; t i j d =1.3; mstrookje=7e 3; load data1 (A1 ). mat c a s e {3} F=0; u=0; arm=0; b=0; h=0; L=0; s t a r t =0; t i j d =0; mstrookje=7e 3; 30 c a s e {4} F=14.9; u= e 3; arm=82.5 e 3; b=22.0 e 3; h=1.5e 3; L=126e 3; s t a r t =43400; t i j d =0.75; mstrookje=6e 3; load data1 (B ). mat c a s e {5} 35 F=7.52; u= e 3; arm=82e 3; b=20.8 e 3; h=1.3e 3; L=121.6 e 3; s t a r t = e5 ; t i j d =3; mstrookje=5e 3; load data1 (C1 ). mat c a s e {6} F=0; u=0; arm=0; b=0; h=0; L=0; 40 s t a r t =0; t i j d =0; mstrookje =0; c a s e {7} F=5.98; u=3.126 e 3; arm=81.6 e 3; b=20.0 e 3; h=1.5e 3; L=115.2 e 3; s t a r t = e5 ; t i j d =3; mstrookje=10e 3; load data1 (ALU2 ). mat 45 c a s e {8} F=4.93; u=6.423 e 3; arm=81.5 e 3; b=20.8 e 3; h=0.7e 3; L=113.5 e 3; s t a r t =5.218 e4 ; t i j d =3; mstrookje=14e 3; load data1 (STAAL). mat o t h e r w i s e 50 disp ( v e r k e e r d e m a t e r i a a l k e u z e ) end %% Gegevens materiaal ingeven: % kracht op strookje, uitwijking strookje en arm van de kracht. 55 F=F ; % [N] kracht op boutje in strookje (via krachtopnemer) u=u ; % [m] uitwijking strookje (via laser interferrometer) arm=arm ; % [m] afstand inklemming tot midden boutje (schuifmaat) mstrookje=mstrookje ; % [kg] massa proefstuk, wordt samengevoegd met % massa spiegel 60 % Massa berekenen. % Alleen de massa van het totale strookje is bekend. Nu massa van enkle het % ingeklemde deel berekenen. mstrookje=mstrookje ( arm/l ) ; % volume strookje: 65 Vol=arm b h ; % dichtheid:

70 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 66 rho=mstrookje /Vol ; %% ingeven startpunt 70 s t a r t=s t a r t ; % ingeven waarde uit figuur bijv:(0.25e4) %ingeven totale tijd: t i j d=t i j d ; % [sec] % Sample frequentie is 5000 Hz f r e q =5000; % [Hz] 75 % Resolutie, afstand per puls: r e s =633e 9; % [m] aant=t i j d f r e q ; % aantal samples die worden meegenomen % nieuwe vector met samples aanmaken: 80 X=meetdata1 ( s t a r t : s t a r t+aant ) ; % gemiddelde bepalen: m=mean(x) ; % trilling rond y=0 zetten: 85 X=X m; % Omzetten naar meters i.p.v. encoderpulsen: X=X r e s ; % tijdvector toevoegen: 90 t i j d =0:1/ f r e q : t i j d ; %% nulpunten: % nulpunten grafiek zoeken: sgn=sign (X) ; % geeft 1 bij positief, 1 bij negatief en 0 bij nlpnt=find ( d i f f ( sgn ) >0); % nulpunten (index) nlpnttd=nlpnt (1/ f r e q ) ; % nulpunten (tijd) ynlpnt=zeros ( length ( nlpnt ), 1 ) ; % y waarde nulpunten begin=nlpnttd ( 1 ) ; % eerste waarde (beginpunt) 100 eind=nlpnttd (end ) ; % laatste waarde (eindpunt) % statistiek meetgegevens: aantp=length ( nlpnt ) 1; % aantal nulpunten (en dus periodes) % gemiddelde lengte (tijd) periode: 105 Td=(eind begin ) / ( aantp ) ; % [sec] % eigenfrequentie: fd=1/td ; % [Hz] Wd=(2 pi )/Td ; % gedempte eigenfrequentie [rad/sec] 110 %% Logaritmisch decrement bepalen: % eerste maximum: [ mx1, mx1idx]=max(x( nlpnt ( 1 ) : nlpnt ( 2 ) ) ) ; xmx1=mx1idx (1/ f r e q )+ nlpnttd ( 1 ) ; ymx1=mx1 ; 115 % tweede maximum (of n de maximum) % n=aantp, dus maximum in laatste periode [ mx2, mx2idx]=max(x( nlpnt (end 1): nlpnt (end ) ) ) ; xmx2=mx2idx (1/ f r e q )+ nlpnttd (end 1); 120 ymx2=mx2 ; %Logaritmisch decrement: d l =(1/ aantp ) log (mx1/mx2 ) ;

71 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 67 % dl=d Td > d=dl/td 125 d=d l /Td ; % delta [rad/sec] % ongedempte eigenfrequentie W0: W0=sqrt (Wdˆ2 + d ˆ 2 ) ; % omega0 [rad/sec] % KSI=d/W0 KSI=d/W0; % KSI [ ] 130 %% Materiaal parameters: % Totale massa, en buigstijfheid C mspiegel=12e 3 ; % massa spiegel [kg] % totale massa > m=1/3mstrookje+mspiegel 135 mtot =(1/3) mstrookje + mspiegel ; % massa totaal [kg] % Buigstijfheid C > C=F/u > C=3EI/L^3 = F/u (L=arm) C=F/u ; % [N/m] buigstijfheid totale constructie (dus niet van materiaal!!) % Buigstijfheid balk (EI), dus zonder lengte: EI =(1/3) (F armˆ3/u ) ; % Buigstijfheid balk 140 % oppervlakte traagheid I: I =1/12 b h ˆ 3 ; % traagheid E=EI/ I ; % stijfheid E 145 %% Dempingsconstante: % Nu kan dempingsconstante Dc bepaald worden % KSI= Dc/(2 sqrt(c mtot)) > Dc=KSI 2 sqrt(c mtot) Dc=2 KSI sqrt (C mtot ) ; % [ ] 150 %% output: % array met output maken: output0 =[1 e3 arm, 1 e3 b, 1 e3 h, 1 e3 mstrookje, 1e 3 rho ] ; output1 =[ aantp, Td, ymx1 1000, ymx2 1000, W0, Wd, dl, d, KSI ] ; output2 =[Dc, C/1 e3, EI, E/1 e9, I 1 e12, 1 e3 Dc/C, Dc/EI 1 e6 (Dc/EI 1/ rho ) ] ; 155 disp ( ) disp ( L = l e n g t e p r o e f s t u k [mm] ) disp ( b = b r e e d t e p r o e f s t u k [mm] ) disp ( h = d i k t e p r o e f s t u k [mm] ) disp ( m = massa p r o e f s t u k [ gram ] ) 160 disp ( rho = d i c h t h e i d [10ˆ3 kg/mˆ 3 ] ) disp ( n = a a n t a l p e r i o d e s [ ] ) disp ( Td = gemiddelde l e n g t e p e r i o d e [ s e c ] ) disp ( X1 = maximum 1 [mm], Xn = maximum n [mm] ) disp ( W0 = ongedempte e i g e n f r e q u e n t i e [ rad / s e c ] ) 165 disp ( Wd = gedempte e i g e n f r e q u e n t i e [ rad / s e c ] ) disp ( d l = l o g a r i t m i s c h decrement [ ] ) disp ( d = d e l t a ( d=d l /Pt ) [ rad / s e c ] ) disp ( KSI = v i s k e u z e dempingsratio [ ] ) disp ( Dc = dempingsconstante [ Ns/m] ) 170 disp ( C = B u i g s t i j f h e i d c o n s t r u c t i e [ 1 e 4 N/m] ) disp ( EI = B u i g s t i j f h e i d balk [N mˆ 2 ] ) disp ( E = S t i j f h e i d p r o e f s t u k [ Gpa ] ) disp ( I = Oppervlakte t r a a g h e i d p r o e f s t u k [ 1 e 12 mˆ 4 ] ) disp ( Dc/C=S p e c i f i e k e demping ( demping tegen b u i g s t i j f h e i d c o n s t r u c t i e )1 e3 [ s ] ) 175 disp ( Dc/EI=s p e c i f i e k e demping ( demping tegen b u i g s t i j f h e i d balk ) [ s /mˆ 3 ] ) disp ( Dc/EI 1/ rho = s p e c i f i e k e demping over de d i c h t h e i d [ s /kg ] ) disp ( L b h m rho ) disp ( output0 ) disp ( n Td X1 Xn W0 Wd d l 180 d KSI )

72 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA disp ( output1 ) disp ( Dc C EI E I 1 e3 Dc/C Dc/ EI Dc/EI 1/ rho ) disp ( output2 ) %% PLOTTEN figure ( 1 ) plot ( t i j d,x) hold on 190 plot ( nlpnttd, ynlpnt, r ) plot (xmx1, ymx1, ko ) plot (xmx2, ymx2, ko ) xlabel ( t i j d [ s e c ] ) ylabel ( u i t w i j k i n g [m] ) 195 legend ( u i t w i j k i n g, nulpunten (0+), maxima ) B.7 Validatie Laminaat Programma Om er zeker van te zijn dat de resultaten die behaald worden met het laminaat programma betrouwbaar zijn, wordt het programma op een aantal verschillende manieren gevalideerd. Als eerste wordt gevalideerd of de technische constanten voor een lamel juist worden berekend. Daarna wordt de rest van het programma gevalideerd aan de hand van voorbeelden uit Berthelot (2007) en Daniel en Ishai (1994). B.7.1 Validatie Technische Constanten Lamel De technische constanten van een lamel worden berekend met de file tclaml.m, waarin de formules uit paragraaf zijn verwerkt. In Nijhof (2005) staat een rekenvoorbeeld waarin de technische constanten van een lamel worden berekend uit de gegevens van de vezel en matrix. In tabel B.1 staan de resultaten van het rekenvoorbeeld en het laminaat programma weergegeven. De gegevens van de matrix en vezel zijn de volgende: E f = 220 Gpa, µ f = 0.26, E m = 3.5 Gpa, µ m = 0.3 en de vezelvolumefractie v f = Tabel B.1: Vergelijk tusen Nijhof en het laminaat programma. Constante Nijhof Lam. prog. a Halpin & Tsai b E L [GPa] E T [GPa] G LT [GPa] µ LT [-] a Laminaat programma, via Halpin Tsai en Hahn. b Laminaat programma, via Halpin en Tsai. In de tweede kolom staan de waardes die Nijhof heeft berekend, in de derde en vierde kolom de waardes uit het laminaat programma. Het verschil tussen kolom 3 en 4 is dat er twee

73 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 69 verschillende manieren zijn om de technische constante E T te berekenen, via de manier van Halpin, Tsai en Hahn en via Halpin en Tsai (Nijhof, 2004; Tsai en Hahn, 1980). In het programma wordt standaard gebruik gemaakt van de methode volgens Halpin, Tsai en Hahn, maar er kan voor de andere methode gekozen worden. Het enige verschil tussen Nijhof en het laminaat programma is de waarde van E T in kolom 3, omdat Nijhof de methode van Halpin en Tsai gebruikt. Het is niet verwonderlijk dat de resultaten overeenkomen, daar de gebruikte formules uit Nijhof (2004) komen. Uit deze vergelijking is op te maken dat de implementatie van deze formules correct is gedaan. B.7.2 Validatie Stijfheidsmatrices Het laminaat programma bepaald de stijfheidsmatrices van een laminaat aan de hand van de technische constanten van een lamel en de opbouw van het laminaat uit verschillende lamellen. Zoals in paragraaf 3 duidelijk is geworden, wordt eerst de stijfheidsmatrix Q voor een lamel berekend, daarna wordt deze getransformeerd naar de hoofdrichting van de vezels. Voor elke lamel wordt Q berekend en wordt via 3.27 en de dikte en positie van de lamel samengevoegd tot de stijfheidsmatrices A, B en D. Uiteindelijk kunnen de compliantiematrices a, b en d worden berekend via Rekken en afschuiving van een laminaat ten gevolge van aangebrachte krachten kunnen worden bepaald via De validatie van al deze stappen in het laminaat programma wordt gedaan aan de hand van rekenvoorbeeld uit Berthelot (2007, p. 276) en rekenvoorbeeld uit Berthelot (2007, p. 283). Het eerste voorbeeld gaat uit van een laminaat bestaande uit 4 unidirectionele lamellen met de volgende eigenschappen: E L = 38 GPa, E T = 9 GPa, G LT = 3.6 GPa en µ LT = De lamellen zijn gestapeld volgens [30/-15/15/-30], met de volgende diktes: [1/1.5/1.5/1] mm. Uit de stapelvolgorde valt meteen op te maken dat het laminaat niet symmetrisch is, en dus niet ontkoppeld zal zijn (koppelmatrix B 0). Berthelot geeft de volgende getransformeerde stijfheidsmatrix voor de lamel met richting -30 : Q -30 = GPa Het laminaat programma geeft: Qt = 1.0e+010 * Wat exact overeen komt, ook de andere getransformeerde stijfheidsmatrices komen overeen. Voor koppelmatrix B wordt het volgende verkregen (Berthelot): B = N

74 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 70 Laminaat programma: B = 1.0e+004 * Ook hier zijn geen afwijkingen, bovendien komen A en D overeen met het rekenvoorbeeld. Nu wordt het laminaat aangepast, de volgorde van de lamellen wordt: [30/-15/-30/15] met diktes: [1/1.5/1/1.5] mm. De volgende belastingen worden op het laminaat aangebracht: N 1 = N/m, N 2 = N/m en N 6 = N/m (zie figuur 3.4). Dit resulteert in (Berthelot): ε 1 = κ 1 = ε 2 = κ 2 = ε 6 = κ 6 = Volgens het laminaat programma (via vergelijking 3.30): >> COMP*N ans = e e e e e e+000 Wat klopt met Berthelot. Omdat vergelijking 3.30 gebruikt maakt van complianties a, b en d, betekenen de overeenkomsten tussen het programma en het rekenvoorbeeld dat ook de laminaat complianties correct worden berekend. Interessant is dat het gekoppelde laminaat een kromming en torsie ondergaat, terwijl er enkel spanningen in het vlak worden aangebracht. De oorzaak hiervan is dat het laminaat niet ontkoppeld is. Ook interessant is dat de A matrix bij beide rekenvoorbeelden hetzelfde is, maar dat B en D totaal anders zijn. Hieruit wordt duidelijk dat de stapelvolgorde van lamellen in een laminaat een grote invloed heeft op de uiteindelijke eigenschappen. B.7.3 Validatie Technische Constanten Laminaat Met het laminaat programma kunnen de technische constanten van een laminaat worden berekend. Deze technische constanten zijn dan bepaald ten opzichte van de x 1 en x 2 richtingen van het laminaat. In praktisch gebruik kan het echter nuttig zijn om deze constanten te weten voor andere richtingen dan de hoofdrichting. Hiervoor is het programma tcplot.m geschreven.

75 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 71 Dit programma kan gevalideerd worden met behulp van Daniel en Ishai (1994, p. 180), waar een aantal figuren staan waar de technische constanten over een hoek van 90 graden worden getekend. Omdat tcplot.m op laminaat.m is gebaseerd, is deze validatie ook van toepassing op laminaat.m. Daniel en Ishai gebruiken een laminaat van het materiaal AS4/3501-6, dat volgens Berenberg (2008) de volgende specificaties heeft: E L = 142 GPa, E L = 10.3 GPa, G LT = 7.2 GPa en µ LT = Er worden telkens twee laminaten met elkaar vergeleken, namelijk een unidirectioneel laminaat en een quasi-isotroop laminaat (zie paragraaf 3.1.8). In het laminaat programma wordt een laminaat bestaande uit 6 identieke (qua dikte en eigenschappen) lamellen gebruikt. In het unidirectionele geval liggen deze lamellen allemaal in dezelfde richting. In het quasiisotrope geval is de volgende stapeling toegepast [0/60/-60/-60/60/0]. Er worden tekeningen gemaakt van de volgende drie kengetallen voor een laminaat: E 1 /E T G 12 /G LT µ 12 Hierin zijn E 1, G 12 en µ 12 parameters die betrekking hebben op het laminaat, en zijn E T en G LT parameters die betrekking hebben op een enkele lamel. De getallen geven de waarde van de stijfheid en glijdingsmodulus in de hoofdrichting van het laminaat vergeleken met die van een lamel in de richting loodrecht op de hoofdrichting. In figuur B.1 zijn de grafieken weergegeven. De figuren die door tcplot.m zijn gemaakt komen exact overeen met de figuren uit Daniel en Ishai (1994). Duidelijk is te zien dat het quasi-isotrope laminaat zich ook echt isotroop in het vlak gedraagt met betrekking tot E, G en µ. In het unidirectionele geval wordt de invloed van de vezelrichting duidelijk weergegeven. B.7.4 Conclusie Validatie De drie hoofdfuncties van het laminaatprogramma, namelijk het bepalen van de technische constanten van een lamel, het bepalen van de stijfheidsmatrices en compliantiematrices en het berekenen van de technische constanten van een laminaat, blijken na validatie correct te werken. Ook het tekenen van de technische constanten van een laminaat over een hoek θ blijkt de juiste resultaten te geven. Er kan geconcludeerd worden dat het programma geschikt is om berekeningen aan composieten en laminaten uit te voeren. B.8 Vergelijk met Andere Programma s Naast de vraag of een programma correct werkt, is het van belang te weten hoe het programma presteert ten opzichte van vergelijkbare programma s. Zodoende wordt het laminaat programma vergeleken met andere programma s, om de voor- en nadelen en de verschillen tussen de programma s in kaart te brengen. De twee programma s waarmee wordt vergeleken zijn efunda en Lamicens.

76 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 72 E1/ET quasi-isotroop unidirectioneel hoek θ [graden] (a) Elasticiteitsmodulus voor een unidirectioneel en een quasi-isotroop laminaat. G12/GLT quasi-isotroop unidirectioneel hoek θ [graden] (b) Glijdingsmodulus voor een unidirectioneel en quasi-isotroop laminaat. 0.3 quasi-isotroop µ unidirectioneel hoek θ [graden] (c) Dwarscontractiecoëfficient van een unidirectioneel en een quasi-isotroop laminaat. Figuur B.1: Technische constanten voor een unidirectioneel en een quasi-isotroop laminaat.

77 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 73 B.8.1 Vergelijk met Efunda Op de website van efunda (engineering fundamentals, 2008) is een calculator voor laminaatstijfheid te vinden ( ufrp_abd_layout.cfm). Hier kan een laminaatopbouw worden ingegeven, waarna moet worden aangegeven wat de eigenschappen van elke lamel zijn. Dit kan door het kiezen van een van de vijf standaard materialen of door het handmatig invoeren van de eigenschappen van de lamel (E L, E T, G LT en µ LT ). Nu worden de matrices A, B en D berekend. Het programma kan geen compliantiematrices berekenen, wat een groot nadeel is wanneer het laminaat niet ontkoppeld is. Ook berekend het programma geen technische constanten voor het laminaat, waardoor het minder goed praktisch toepasbaar is. De resultaten die efunda levert komen overeen met de resultaten uit het laminaat programma. B.8.2 Vergelijk met Lamisens Het Duitse bedrijf R&G heeft op hun website ( een programma staan dat kan worden gebruikt om laminaten door te rekenen, genaamd Lamicens. Het programma is een Excel file en kan worden verkregen via Lamicens is geschreven door Herbert Funke, die ook Funke (2003) mede heeft geschreven. De gebruikshandleiding voor het programma Lamicens is op de volgende locatie te vinden: (Funke, 2004). Als het programma is gestart kunnen lamellen worden ingegeven. Het programma vraagt om een keuze te maken uit verschillende vezeltypen, helaas zijn er, behalve de naam en soortelijk gewicht, geen gegevens over deze vezels bekend. Ook bij het selecteren van het matrixtype dient gekozen te worden uit een aantal opties waarvan enkel de naam is gegeven. In de productcatalogus van het bedrijf (Funke, 2003) zijn de eigenschappen van de vezel en matrix niet eenvoudig terug te vinden. Hierna kan de dikte en richting van elke lamel worden ingegeven. De berekening kan gestart worden en het programma laat drie polaire diagrammen zien waarin E, G en µ worden getoond over een hoek θ van 360 graden. Het gebruik van Lamicens levert mooie plaatjes op, maar helaas kan de juistheid hiervan niet gecontroleerd worden. Dit komt doordat de gegevens van de lamellen niet bekend zijn. Ook maakt Lamicens enkel gebruik van vlakstijfheidsmatrix A bij het tekenen van de plaatjes. Dit betekend dat er voor een gekoppeld laminaat grote fouten worden gemaakt. Het is uit het programma niet op te maken of een laminaat ontkoppeld is of niet, de gebruiker moet dit dus zelf controleren. Figuur B.2 geeft een voorbeeld van een foutje in het programma. Het lijkt er op dat het een quasi-isotroop laminaat betreft, omdat de E modulus in alle richtingen gelijk is. Deze figuur is afkomstig uit Funke (2004), waar ook over quasi-isotroop materiaalgedrag wordt gesproken. Dit geldt echter alleen voor de vlakstijfheidsmatrix A, welke enkel gebruikt kan worden in het geval van een ontkoppeld laminaat (B=0). In dit geval is het laminaat niet ontkoppeld (zie 3.1.8) en moet compliantiematrix a berekend worden. Het laminaatprogramma geeft het resultaat dat in figuur B.3 is weergegeven. Hieruit wordt duidelijk dat het laminaat zich niet quasi-isotroop gedraagt, wegens koppelmatrix B. Zoals al in figuur B.1(a) te zien is geweest, zou een opbouw als [0/60/120/120/60/0] wel een ontkoppeling realiseren, waardoor figuur B.2 wordt verkregen. Het gebruik van Lamicens kan enkel als de gebruiker zeker weet dat het laminaat ontkoppeld is, anders maakt het programma fouten. Bovendien is niet inzichtelijk met welke eigenschap-

78 BIJLAGE B. LAMINAAT PROGRAMMA 74 Figuur B.2: Elasticiteitsmodulus van een [0/60/120] laminaat volgens Lamicens. (Funke, 2004) E [MPa] over hoek θ [graden] Figuur B.3: Elasticiteitsmodulus van het [0/60/120] laminaat, volgens het laminaat programma.